Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a...

Prof. Marcos Custódio

Matemática Financeira

Matemática Financeira 2

Conceitos Importantes

Matemática Financeira

– É a matemática das transações financeiras.

– As transações financeiras são caracterizadas pelos seus aspectos intertemporais.

– A Matemática Financeira trata da mensuração do dinheiro no tempo.

Matemática Financeira 3

Conceitos ImportantesMatemática Financeira

– A razão entre o futuro “F” e o presente “P” de uma operação, mede a variação do capital final por unidade de capital inicial; de outra maneira, a razão F/P mede também a prosperidade da operação, ou seja:

F/P = 1 Capital inicial permaneceu inalterado

F/P > 1 Valor futuro maior que capital inicial

F/P < 1 Valor futuro menor que capital inicial

– Os valores possíveis, para a razão F/P numa operação financeira, estão no intervalo:

0 F/P < +

Matemática Financeira 4

Capitalização Simples• No regime de juros simples, os juros de cada período

de capitalização são calculados sempre em função do capital inicial aplicado.

Ex: Considere um capital de $1.000,00 remunerado à taxa de juros simples de 2% a.m., durante o período de 2 meses.

$

1.040

20 = 1000 x 0,02

1.020

20 = 1000 x 0,02

1.000

1 2 n

Matemática Financeira 5

Capitalização Simples

• Conceito Financeiro de Juros

– Juros “J” são a remuneração do capital. Podem ser entendidos, de forma simplificada, como o valor do aluguel pago pelo uso do dinheiro.

J = P . i . n

Matemática Financeira 6

Capitalização Simples

CONVENÇÕES ADOTADAS:

• Juros Exatos

• Juros Comerciais

365

n i. P.J

360

n i. P.J

Matemática Financeira 7

Capitalização Simples

• Capital Inicial — “P”– Qualquer valor expresso em moeda e

disponível em determinada época.

• Capital Acumulado (Montante) — “S”– É a soma do capital inicial com os juros.

S = P + J S = P + (P . i . n)

S = P (1 + i . n)

Matemática Financeira 8

Capitalização Simples

• Valor Atual — VA– Corresponde ao valor de um compromisso, de

débito ou de crédito, em uma determinada data entre o início e o término do compromisso.

• Valor Nominal — VN– É o valor de “face” do título;– É o valor do título, em sua data de vencimento.

Matemática Financeira 9

Capitalização Simples VN

VA

P

0 nt n

Matemática Financeira 10

Capitalização Simples• Taxa de Juros — i– É a unidade de medida de remuneração do

capital no tempo.– É o juro de uma unidade monetária durante um

período.– É a razão entre os juros e o capital por unidade

de tempo.

forma unitária forma percentual

P

Ji 100

P

Ji%

Matemática Financeira 11

Capitalização Simples• Diagrama de Fluxo de Caixa– Os problemas financeiros dependem do fluxo

(entradas e saídas) de dinheiro no tempo, podendo ser representado do seguinte modo:

400

300

150

100

0 3 Entradas (+)

1 2 4 5 Saídas (-)

300

500

Matemática Financeira 12

Capitalização Simples

• Taxas Equivalentes– Taxa de juros e o período de capitalização

devem estar sempre na mesma unidade de tempo.

– Quando duas taxas aplicadas à um mesmo capital, pelo mesmo prazo, produzirem os mesmos juros, elas serão denominadas de taxas equivalentes.

– Ex: Qual a taxa mensal equivalente à taxa anual de 15%?

.a.m 1,25%12

15%i

Matemática Financeira 13

Capitalização Simples• Desconto — D– Operação típica de antecipação de recebíveis.– Consiste na diferença entre um valor nominal,

com seu valor atual na data da operação.

• Racional — Dr

– O valor do desconto é obtido com base no cálculo sobre o valor atual “n” períodos antes de seu vencimento.

• Irracional, Comercial ou Bancário — Dc

– É o valor que se obtém com base no cálculo sobre o valor nominal “n” períodos antes de seu vencimento.

Matemática Financeira 14

Capitalização Simples• Desconto Racional — Dr (Exemplo)

– Uma pessoa pretende saldar um título no valor de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencim. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter.

N

Dr{

V

n = 3 meses

Matemática Financeira 15

Capitalização Simples• Desconto Comercial — Dc (Exemplo)

– Uma duplicata no valor de $4.500,00, cujo vencimento era para 7 meses foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o desconto e o valor descontado.

N

Dr{

V

n = 2 meses

Matemática Financeira 16

Capitalização Composta• No regime de juros compostos, os juros de cada

período de capitalização são calculados sempre em função do montante do período anterior.Ex: Suponhamos um capital de $1.000,00 remunerado à

taxa i = 2%a.m., durante o período de 2 meses.

S

1.040,40 20,40

1.020 20

1.000

1 2 n

Matemática Financeira 17

Capitalização Composta• Montante– Imaginemos um capital de $100,00 aplicado à

taxa de 1% a.m. por um período de 3 meses.– Isto implica em resolver as equações:

S1 = 100 (1 + 0,01) = 101

S2 = 101 (1 + 0,01) = 102,01

S3 = 102,01 (1 + 0,01) = 103,03

– Se substituirmos, por exemplo, em S2 o valor de 101 por 100(1 + 0,01), teremos:

S2 = 100(1 + 0,01) (1 + 0,01) = 100(1+0,01)2 = 102,01

Generalizando Sn = P (1+i)n

Matemática Financeira 18

Capitalização Composta• Equivalência de Taxas

• Taxa Nominal– É a taxa de montagem da operação, nominalmente

contratada. A unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É normalmente expressa em termos anuais. Exemplo: 10%a.a., capitalizados mensalmente – 15%a.a, capitalizados trimestralmente.

11 12/1.. aama ii 1112

.. aama ii

Matemática Financeira 19

Capitalização Composta• Taxa Efetiva ou Capitalizada– É aquela que nos fornece o total dos juros

produzidos durante o prazo de capitalização.

• Taxa Real– É a taxa calculada com base na taxa efetiva da

aplicação ou empréstimo, corrigida pela taxa de inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento.

1P

Sief

11

1

inf

i

ii ef

R

Matemática Financeira 20

Capitalização Composta• Exemplo:

– Uma empresa obtém um empréstimo de $100.000,00 para ser liquidado por $110.000,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha durante a vida do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Supondo que nesse mesmo período a taxa de inflação tivesse sido de 2%, calcular as taxas nominal, efetiva e real.

Matemática Financeira 21

Capitalização Composta• Equivalência de Capitais– O conceito de equivalência permite

transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras, equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre alternativas de investimentos ou empréstimos.

– Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros.

– Data Focal — é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes.

Matemática Financeira 22

Capitalização Composta• Taxa Interna de Retorno (TIR)

– É através de uma equivalência Financeira, ou de capitais que podemos determinar o que se conhece como Taxa Interna de Retorno.

– A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de um ou mais pagamentos com o valor atual de um ou mais recebimentos.

Matemática Financeira 23

Capitalização Composta• Valor Presente Líquido

– Trata-se de uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento)

Matemática Financeira 24

Capitalizações• Juros Simples X Juros Compostos S

S = juros Comp.

S = juros simples

S1

P

0 1º período de Períodos

capitalização

Matemática Financeira 25

Anuidades• Rendas Certas ou Anuidades– É uma sucessão de pagamentos ou

recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital

• Classificação das Anuidades– Rendas certas ou determinísticas — São

aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados.

– Rendas aleatórias ou probabilísticas — Os valores e/ou datas de pagamentos ou recebimentos podem ser variáveis aleatórias.

Matemática Financeira 26

Anuidades• Classificação das Anuidades– Quanto ao prazo:

• Temporárias e perpétuas

– Quanto ao valor dos termos:• Constante e variável

– Quanto à forma de pagamento ou recebimento• Imediatas: postecipadas e antecipadas• Diferidas: postecipadas e antecipadas

– Quanto à periodicidade:• Periódicas e não-periódicas

Matemática Financeira 27

Anuidades• Modelo Básico de Anuidade– São as anuidades que são simultaneamente:

Temporárias — duração limitada. Constantes — termos iguais. Imediatas e postecipadas — exigíveis a partir

do 1º período e no fim de cada um deles. Períódicas — os períodos são iguais. E que a taxa de juros ( i ) seja referida ao

mesmo período dos termos.

Matemática Financeira 28

Anuidades• Valor Atual do Modelo Básico P

R R R R R

0 1 2 3 n-1 n• A soma do valor atual dos termos na data zero é dada por:

P = R/(1+i)1 + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 + ... + R/(1+i)n

P = R [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ]• Colocando-se a soma entre colchetes como sendo:

a n i = [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ]

Temos:

P = R . a n i

Matemática Financeira 29

Anuidades• Cálculo do Valor Atual para Anuidades

Postecipadas– O valor de a n i é obtido pela soma dos termos

de uma progressão geométrica. Substituindo-se os valores, teremos:

a n i =

P = R . a n i

ii

in

n

.1

11

Matemática Financeira 30

Anuidades• Cálculo do Montante para Anuidades

Postecipadas

s n i =

S = R . s n i

i

i n 11

Matemática Financeira 31

Anuidades• Cálculo das Anuidades Antecipadas

P = R + R .

P = R + R . a n-1 i

ii

in

n

.1

111

1

Matemática Financeira 32

Anuidades• Cálculo das Anuidades Diferidas– Séries diferidas são aquelas que apresentam

um prazo de carência.

R. a n i

P =

(1+i)k

k

n

n

i

ii

iR

P

1

.1

11.

Matemática Financeira 33

Sistemas de Amortização– De maneira geral, qualquer fluxo de

pagamentos para liquidar um empréstimo é um sistema de amortização. Vamos analisar alguns, classificados com nomes especiais, em razão de sua utilização mais freqüente. São eles:

– Sistema de Amortização Constante - SAC– Sistema Francês - Tabela Price– Sistema de Amortização Misto - SAM– Sistema Americano de Amortização - SAA

Matemática Financeira 34

Sistemas de Amortização• Sistema de Amortização Constante - SAC– Características: As parcelas de amortização

são iguais. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

Matemática Financeira 35

Sistemas de Amortização• Sistema Francês - Tabela Price– Características: As prestações são iguais e

consecutivas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

Matemática Financeira 36

Sistemas de Amortização• Sistema de Amortização Misto - SAM– Características: Prestações cujos valores são

resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

Matemática Financeira 37

Sistemas de Amortização• Sistema Americano de Amortização - SAA– Características: O principal é devolvido em

uma única parcela, após ter decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal.

– Prazo de carência — Corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser amortizado, à taxa de 10% a.s., para ser devolvido após uma carência de 2 anos

Matemática Financeira 38