Progressão aritmética PA aritmética · Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica...

Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir

do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r, denominada razão da progressão

aritmética.

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:

a2 – a1 = a3 – a2

TERMO GERAL

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

an = a1 + (n – 1).r

A seqüência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1) é uma P.A.

Determine o valor de x.

a2 – a1 = a3 – a2

x – 2 – (1 – 3x) = 2x + 1 – (x – 2)

x – 2 – 1 + 3x = 2x + 1 – x + 2

4x – 3 = x +3

3x = 6

x = 2

Quantos múltiplos de 5 existem entre 21 e 83.

A seqüência é: (25, 30, 35, .......80)

an = a1 + (n – 1).r

80 = 25 + (n – 1) 5

55 = 5n – 5

60 = 5n

n = 12

Quantos múltiplos de 5 existem entre 4 e 96?

4 96

5 95

an = a1 + (n - 1)·r

95 = 5 + (n - 1)·5

90 = (n - 1)·5

90/5 = n - 1

18 = n - 1

n = 19

a1= 5 an= 95

r = 5

Se os lados de um triângulo retângulo estão em P.A.

podemos representá-los por:

3r, 4r e 5r

3r + 4r + 5r = 60

12r = 60

r = 5

Logo o valor da hipotenusa é (5r) 25m

3r5r

4r

O perímetro de um triângulo retângulo vale 60m.

Sabendo que seus lados estão em P.A., calcule o valor

da hipotenusa.

a20 = a1 + 19·r

a20 = 0 + 19·2

a20 = 38

A soma dos vinte primeiros números pares é:

NÚMEROS PARES:

0, 2, 4, 6 ...

P.A.

a1= 0 e r = 2

S20 = ( a1 + a20) · 20

2

S20 = ( 0 + 38 ) · 10

S20 = 380

(UNIOESTE) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000?

a) 65

b) 80

c) 69

d) 49

e) 67

(ENEM- 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, em

uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento

constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em

toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com

essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de

2012 a 2021 será de:

AnoProjeto da

Produção (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

a) 497,25.

b) 500,85.

c) 502,87.

d) 558,75.

e) 563,25.

(FGV) Um anfiteatro tem 12 fileiras de

cadeiras. Na 1ª fileira há 10 lugares, na 2ª

há 12, na 3ª há 14 e assim por diante (isto é,

cada fileira, a partir da segunda, tem duas

cadeiras a mais que a da frente). O número

total de cadeiras é:

a) 250

b) 252

c) 254

d) 256

e) 258

ENEM (Segunda aplicação 2016) Com o objetivo de trabalhar aconcentração e a sincronia de movimentos dos alunos de umade suas turmas, um professor de educação física dividiu essaturma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinteatividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada2s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3s e osalunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4s.

O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a baterpalmas quando ele registrou 1s. Os movimentos prosseguiram até ocronômetro registrar 60s.Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantesem que os três grupos bateram palmas simultaneamente.Qual é o termo geral da sequência anotada?

a) 12 n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5.b) 24 n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 2.c) 12 (n – 1), com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 6.d) 12(n – 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5.e) 24 (n – 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 3.

ENEM (2018) A prefeitura de um pequeno município dointerior decide colocar postes para iluminação ao longode uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central etermina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possuiiluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros dapraça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, eassim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância devinte metros entre os postes, até que o último poste sejacolocado a uma distância de 1 380 metros da praça.Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por postecolocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação dessespostes é:

a) R$ 512.000,00

b) R$ 520.000,00

c) R$ 528.000,00

d) R$ 552.000,00

e) R$ 584.000,00

(ENEM) O gráfico, obtido a partir de dados do Ministério doMeio Ambiente, mostra o crescimento do número de espéciesda fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, pelospróximos anos, a tendência de crescimento mostrada nográfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011será igual a:

a) 465

b) 493

c) 498

d) 538

e) 699

UNICENTRO (2016) Um funcionário alinhou 55 medalhas emcima da mesa, de modo que imediatamente após uma medalhade ouro havia uma de prata, imediatamente após uma de pratahavia uma de bronze e imediatamente após uma medalha debronze havia uma de ouro, e assim sucessivamente.

Considerando que a primeira e a última eram de ouro, assinale aalternativa que apresenta, corretamente, a quantidade de medalhas deouro.

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

Para se lembrar da fórmula é só lembrar da seguinte frase.

An = A1 + (n-1) . R

Ainda Não Arranjei um Namorado Rico!

Para lembrar da fórmula da soma dos termos é só lembrar da seguinte frase

Sn = (A1 + An) . n / 2

Sem Namorado? Arranja um Namorado Novo e divide para nós duas!

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica na qual cada

termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão

da progressão geométrica.

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:

qa

a

a

a

2

3

1

2

a1, a2, a3, ……., an

EXEMPLO: Determine o valor de x de modo que

(1 + x), (13 +x) e (49 + x) sejam termos

consecutivos de uma P.G.

(1 + x) (13 +x) (49 + x)

a1 a2 a3

2

3

1

2

a

a

a

a

x

x

x

x

13

49

1

13

(13 + x)2 = (1 + x)(49 + x)

169 + 26x + x2 = 49 + x + 49x + x2

169 + 26x = 49 + 50x

120 = 24x

x = 5

TERMO GERAL

P.A. a2

= a1

+ r

a3

= a1

+ 2r

a4

= a1

+ 3r

an = a1 + (n – 1).r

P. G. a2

= a1.q

a3

= a1.q

2

a4

= a1.q

3

an = a1.qn - 1

Determinar o 10o termo da P.G.( 2, 4, 8 ……)

?

22

4

2

10

1

a

q

a an = a1.qn - 1

a10 = a1 . q9

a10 = 2. 29

a10 = 210

a10 = 1024

Determine o número de termos da P.G (3, 6, …..768)

?n

768a

23

6q

3a

n

1

an = a1.qn - 1

768 = 3.2n - 1

256 = 2n - 1

28 = 2n - 1

8 = n – 1

n = 9

Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º termo

com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo.

obs.: Considere a P.G. de termos positivos.

a1, a2, a3, ……., a6

5

12500.61

q

aa

a1 . a1.q5 = 12500

a12. 55 = 12500

a12 . 3125 = 12500

a12 = 4

a1 = 2

a3 = a1.q2

an = a1.qn - 1

a3 = 2.52

a3 = 50

SOMA DOS TERMOS DA P.G.

FINITA

INFINITA

1q

1).(qaS

n

1

n

q1

aS 1

1q

1).(qaS

10

1

10

1q

1).(qaS

n

1

n

Calcular a soma dos 10 primeiros

termos da P.G. (2, 4, 8, ……)

12

1)2.(2S

10

10

S10 = 2. (1024 – 1)

S10 = 2. (1023)

S10 = 2046

A soma dos termos da P.G.

?S

2

1

121

q

1a1

,....)8

1,

4

1,

2

1,1(

21

1S

2

11

1S

q1

aS 1

S = 1.2

S = 2

( UFSC ) Se a, b, c são termos consecutivos de uma P.A.

de razão 5 e (a + 2), b, (c - 1) são termos consecutivos de

uma P.G., então o valor de a + b + c é:

P. A .

a, b, c r = 5

b = a + 5

c = a + 10

P. G .

(a + 2), b, (c - 1)

5a

10a5a

1

1

2

2a

b

c

a

b

(a + 5)2 = (a + 2).(a + 9)

a = 7

b = a + 5

c = a + 10

b = 12

c = 17

Portanto a + b + c = 36

(UDESC, 2011) Em uma escola com 512 alunos, umaluno apareceu com o vírus do sarampo. Se essealuno permanecesse na escola, o vírus se propagariada seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estariacontaminado; no segundo, dois estariamcontaminados; no terceiro, quatro, e assimsucessivamente. A diretora dispensou o alunocontaminado imediatamente, pois concluiu quetodos os 512 alunos teriam sarampo no:

a)9º diab) 10º diac) 8º diad) 5º diae) 6º dia

(UEL, 2009) “Thomas Malthus (1766-1834) asseguravaque, se a população não fosse de algum modo contida,dobraria de 25 em 25 anos, crescendo em progressãogeométrica, ao passo que, dadas as condições médias daTerra disponíveis em seu tempo, os meios de subsistênciasó poderiam aumentar, no máximo, em progressãoaritmética.”A lei de Malthus cita progressões aritméticas (PA) eprogressões geométricas (PG).Se os dois primeiros termos de uma sequência são x1 =6 e x2 = 12, o quinto termo será:

a) x5 = 16, se for uma PA, e x5 = 24, se for uma PG.b) x5 = 24, se for uma PA, e x5 = 96, se for uma PG.c) x5 = 30, se for uma PA, e x5 = 30, se for uma PG.d) x5 = 30, se for uma PA, e x5 = 96, se for uma PG.e) x5 = 48, se for uma PA, e x5 = 72, se for uma PG.

(ENEM 2018) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos

por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se

digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro

caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para

digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao

tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa

conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30

segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada

tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa

imediatamente após a liberação do sistema de espera.

O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio

foi igual a

a) 300.

b) 420.

c) 540.

d) 660.

e) 1 020.

(UFPE) Suponha que o preço de um automóvel se desvaloriza 10% ao ano nos seus 5 primeiros anos de uso. Se este automóvel novo custou R$ 10.000,00, qual será o seu valor em reais após os 5 anos de uso?

a) 5.550,00

b) 5.804,00

c) 6.204,30

d) 5.904,90

e) 5.745,20

(PUC) De acordo com a disposição dos números

abaixo,

A soma dos elementos da décima linha vale:

(A) 2066

(B) 5130

(C) 10330

(D) 20570

(E) 20660