PROVA 20190702 M19-Trelicas - WordPress.com...Jul 02, 2019  · PROVA_20190702_M19-Trelicas Author:...

Resolução 3a Prova - Treliças Estruturas Isostáticas

* Matriz dos valores das Cargas aplicadas sobre a estrutura:

Prova

1

2

3

4

F1

⎛⎝tonf⎞⎠

3

3

3

3

F2x

⎛⎝tonf⎞⎠

⋅15 cos ⎛⎝45 deg⎞⎠

⋅10 cos ⎛⎝45 deg⎞⎠

⋅15 cos ⎛⎝60 deg⎞⎠

⋅10 cos ⎛⎝60 deg⎞⎠

F2y

⎛⎝tonf⎞⎠

15 sin ⎛⎝45 deg⎞⎠

10 sin ⎛⎝45 deg⎞⎠

15 sin ⎛⎝60 deg⎞⎠

10 sin ⎛⎝60 deg⎞⎠

F3

⎛⎝tonf⎞⎠

5

7.5

5

7.5

F4x

⎛⎝tonf⎞⎠

7.5 cos ⎛⎝60 deg⎞⎠

10 cos ⎛⎝60 deg⎞⎠

7.5 cos ⎛⎝45 deg⎞⎠

5 cos ⎛⎝45 deg⎞⎠

F4y

⎛⎝tonf⎞⎠

7.5 sin ⎛⎝60 deg⎞⎠

10 sin ⎛⎝60 deg⎞⎠

7.5 sin ⎛⎝45 deg⎞⎠

5 sin ⎛⎝45 deg⎞⎠

F5

⎛⎝tonf⎞⎠

10

10

10

10

1. Determinação das Reações de Apoio:* partindo da hipótese de que todas as reações são POSITIVAS (Va e Vb para CIMA e Hb para a DIREITA).

＝ΣFx 0＝+-F2x F4x Hb 0

≔Hb +-F2x F4x

Isto é: a hipótese inicial para a reação horizontal está errada.=Hb

-6.857-2.071-2.197-1.464

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

tonf

CORREÇÃO: , para a ESQUERDA.≔Hb -Hb =Hb

6.8572.0712.1971.464

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

＝ΣFy 0＝+-----Va F1 F2y F3 F4y F5 Vb 0

Adotando-se: ＝+Va Vb ++++F1 F2y F3 F4y F5 ＝V +Va Vb

≔V ++++F1 F2y F3 F4y F5

=V

35.10236.23136.29432.696

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

＝ΣMa 0＝+-+----⋅-F1 2.5 m ⋅F2y 5 m ⋅F2x 4 m ⋅F3 7.5 m ⋅F4y 10 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 12.5 m ⋅Vb 15 m 0

＝⋅Vb 15 m +-++++⋅F1 2.5 m ⋅F2y 5 m ⋅F2x 4 m ⋅F3 7.5 m ⋅F4y 10 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 12.5 m

≔Vb ―――――――――――――――――――――――――+-++++⋅F1 2.5 m ⋅F2y 5 m ⋅F2x 4 m ⋅F3 7.5 m ⋅F4y 10 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 12.5 m

15 m

=Vb

21.02721.26619.78518.218

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

≔Va -V Vb

=Va

14.07414.96516.50914.478

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

2. Determinação das tensões nas barras indicadas:

Created with PTC Mathcad Express. See www.mathcad.com for more information.

Resolução 3a Prova - Treliças Estruturas Isostáticas

1. Determinação das Reações de Apoio:* partindo da hipótese de que todas as reações são POSITIVAS (Va e Vb para CIMA e Hb para a DIREITA).

＝ΣFx 0＝+-F2x F4x Hb 0

≔Hb +-F2x F4x

Isto é: a hipótese inicial para a reação horizontal está errada.=Hb

-6.857-2.071-2.197-1.464

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

tonf

CORREÇÃO: , para a ESQUERDA.≔Hb -Hb =Hb

6.8572.0712.1971.464

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

＝ΣFy 0＝+-----Va F1 F2y F3 F4y F5 Vb 0

Adotando-se: ＝+Va Vb ++++F1 F2y F3 F4y F5 ＝V +Va Vb

≔V ++++F1 F2y F3 F4y F5

=V

35.10236.23136.29432.696

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

＝ΣMa 0＝+-+----⋅-F1 2.5 m ⋅F2y 5 m ⋅F2x 4 m ⋅F3 7.5 m ⋅F4y 10 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 12.5 m ⋅Vb 15 m 0

＝⋅Vb 15 m +-++++⋅F1 2.5 m ⋅F2y 5 m ⋅F2x 4 m ⋅F3 7.5 m ⋅F4y 10 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 12.5 m

≔Vb ―――――――――――――――――――――――――+-++++⋅F1 2.5 m ⋅F2y 5 m ⋅F2x 4 m ⋅F3 7.5 m ⋅F4y 10 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 12.5 m

15 m

=Vb

21.02721.26619.78518.218

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

≔Va -V Vb

=Va

14.07414.96516.50914.478

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

2. Determinação das tensões nas barras indicadas:

2.1 Barra AD*Determinação da inclinação da barra AD (em relação à horizontal):

≔α atan⎛⎜⎝―――2.5 m2.5 m

⎞⎟⎠

=α 45.000 deg

＝ΣMc 0＝-⋅-Va 2.5 m ⋅⋅NAD sin ⎛⎝α⎞⎠ 2.5 m 0

≔NAD ―――――⋅-Va 2.5 m

⋅sin ⎛⎝α⎞⎠ 2.5 m

(C)=NAD

-19.904-21.164-23.347-20.475

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

tonf

2.2 - Barra CECreated with PTC Mathcad Express. See www.mathcad.com for more information.

Resolução 3a Prova - Treliças Estruturas Isostáticas

2.1 Barra AD*Determinação da inclinação da barra AD (em relação à horizontal):

≔α atan⎛⎜⎝―――2.5 m2.5 m

⎞⎟⎠

=α 45.000 deg

＝ΣMc 0＝-⋅-Va 2.5 m ⋅⋅NAD sin ⎛⎝α⎞⎠ 2.5 m 0

≔NAD ―――――⋅-Va 2.5 m

⋅sin ⎛⎝α⎞⎠ 2.5 m

(C)=NAD

-19.904-21.164-23.347-20.475

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

tonf

2.2 - Barra CE

＝ΣMF 0＝++⋅-Va 5 m ⋅F1 2.5 m ⋅NCE 4 m 0

＝⋅NCE 4 m -⋅Va 5 m ⋅F1 2.5 m

≔NCE ―――――――-⋅Va 5 m ⋅F1 2.5 m4 m

(T)=NCE

15.71816.83118.76116.223

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

2.3 - Barra CF* determinação da inclinação da barra CF (em relação à horizontal):

≔β atan⎛⎜⎝―――

4 m2.5 m

⎞⎟⎠

=β 57.995 deg

＝ΣMD 0＝++⋅-Va 2.5 m ⋅NCE 2.5 m ⋅⋅NCF cos ⎛⎝β⎞⎠ 2.5 m 0

＝⋅⋅NCF cos ⎛⎝β⎞⎠ 2.5 m -⋅Va 2.5 m ⋅NCE 2.5 m

≔NCF ――――――――-⋅Va 2.5 m ⋅NCE 2.5 m

⋅cos ⎛⎝β⎞⎠ 2.5 m

(C)=NCF

-3.101-3.521-4.249-3.292

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

tonf

2.4 - Barra EGCreated with PTC Mathcad Express. See www.mathcad.com for more information.

Resolução 3a Prova - Treliças Estruturas Isostáticas

2.4 - Barra EG

＝ΣMH 0＝++++⋅-Va 7.5 m ⋅F1 5 m ⋅F2y 2.5 m ⋅F2x 1 m ⋅NEG 5 m 0

＝⋅NEG 5 m ---⋅Va 7.5 m ⋅F1 5 m ⋅F2y 2.5 m ⋅F2x 1 m

≔NEG ――――――――――――――---⋅Va 7.5 m ⋅F1 5 m ⋅F2y 2.5 m ⋅F2x 1 m

5 m

(T)=NEG

10.68714.49813.76813.387

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

2.5 - Barra HJ

*determinação da inclinação da barra HJ (em relação à horizontal)

≔ϕ atan⎛⎜⎝―――

1 m2.5 m

⎞⎟⎠

=ϕ 21.801 deg

＝ΣMI 0＝+-+⋅⋅NHJ cos ⎛⎝ϕ⎞⎠ 4 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 2.5 m ⋅Vb 5 m 0

＝⋅⋅NHJ cos ⎛⎝ϕ⎞⎠ 4 m -+⋅-F4x 4 m ⋅F5 2.5 m ⋅Vb 5 m

≔NHJ ―――――――――――-+⋅-F4x 4 m ⋅F5 2.5 m ⋅Vb 5 m

⋅cos ⎛⎝ϕ⎞⎠ 4 m

(C)=NHJ

-25.616-27.284-25.616-21.603

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

tonf

2.6 - Barra JK

Created with PTC Mathcad Express. See www.mathcad.com for more information.

Resolução 3a Prova - Treliças Estruturas Isostáticas

*determinação da inclinação da barra HJ (em relação à horizontal)

≔ϕ atan⎛⎜⎝―――

1 m2.5 m

⎞⎟⎠

=ϕ 21.801 deg

＝ΣMI 0＝+-+⋅⋅NHJ cos ⎛⎝ϕ⎞⎠ 4 m ⋅F4x 4 m ⋅F5 2.5 m ⋅Vb 5 m 0

＝⋅⋅NHJ cos ⎛⎝ϕ⎞⎠ 4 m -+⋅-F4x 4 m ⋅F5 2.5 m ⋅Vb 5 m

≔NHJ ―――――――――――-+⋅-F4x 4 m ⋅F5 2.5 m ⋅Vb 5 m

⋅cos ⎛⎝ϕ⎞⎠ 4 m

(C)=NHJ

-25.616-27.284-25.616-21.603

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

tonf

2.6 - Barra JK

* determinação da inclinação da barra JK (em relação à horizontal)

≔δ atan⎛⎜⎝―――

4 m2.5 m

⎞⎟⎠

=δ 57.995 deg

＝ΣMJ 0＝-+-⋅-NIK 4 m ⋅F5 2.5 m ⋅Vb 5 m ⋅Hb 4 m 0

＝⋅NIK 4 m -+⋅-F5 2.5 m ⋅Vb 5 m ⋅Hb 4 m

≔NIK ―――――――――――-+⋅-F5 2.5 m ⋅Vb 5 m ⋅Hb 4 m

4 m

(T)=NIK

13.17818.26216.28415.058

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

＝ΣML 0＝-+-⋅-NIK 2.5 m ⋅⋅NJK cos ⎛⎝δ⎞⎠ 2.5 m ⋅Vb 2.5 m ⋅Hb 2.5 m 0

＝⋅⋅NJK cos ⎛⎝δ⎞⎠ 2.5 m -+⋅-NIK 2.5 m ⋅Vb 2.5 m ⋅Hb 2.5 m

≔NJK ――――――――――――-+⋅-NIK 2.5 m ⋅Vb 2.5 m ⋅Hb 2.5 m

⋅cos ⎛⎝δ⎞⎠ 2.5 m

(T)=NJK

1.8741.7612.4603.199

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

tonf

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