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Questão 1Questão 1: Seja M uma matriz quadrada de ordem 3. Sabendo
que det(M) = 10, calcule: a) det(Mt) tdet(M )=det(M 0)=1
b) det(M-1) - 1- 1 1det(M )=det(M) = =
det(M)1
10
c) det(B)
2a 2b 2c
3d 3e 3f
- 5g - 5h - 5i
det(B)=det(M)×2×3×(- 5)=
=det(M)×(- 30) 0=- 30
3
det(4M)=det(M)×4×4×4=
=4 ×det(M)=64×10 0=64
d) det(4M)
4a 4b 4c
4d 4e 4f
4g 4h 4i
Questão 2Questão 2: Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros de lados 4 e 6, respectivamente.
A B C
D
E
A área do quadrilátero ACDE é
(A) (B) (C) (D) (E)3192
3192
19 2 19 319
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
L
LL
60o
60o
60o
h
L 3h =2
2L 3A =
4
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
b
h
b b b
ah h
x xBASE ALTURA b hÁREA = =2 2
a b sen. .ÁREA =2
a
ha =3
A B C
D
E
4
64
466
60o
60o
60o 60o
60o
60o
2
ABE4 3A =
4 ABEA =4 3
2
BCD6 3A =
4 BCDA =9 3
60o
BDEA =6 3
+
+
ACDEA 19 3
04.6.sen 602
BDEA
Questão 3Questão 3: Determine o número de soluções para a
equação .
Tem concavidade voltada para baixo (a < 0).
Suas raízes são 2 e –2.
Seu vértice é o ponto (0, 1).
' "
V V
V V
b x xx ou x
2a 2
y f x4a
g(x) = cos(2x)
Sua imagem é [-1, 1].
Seu período é .
2 2
P = P = =k 2
kf(x) g(x)
2x
1 cos 2x4
2-x +1= cos 2x
4
2-x
f x = +14
g(x) = cos(2x)
2-x
f x = +14
f(x) = g(x)
2x
14
cos 2x
As soluções da equação correspondem às abscissas das intersecções entre os dois gráficos.
Assim, a equação possui 3 soluções.
Questão 4: Marque a alternativa que apresenta coerência entre as formas das taças e seus respectivos volumes.
(A) 1 litro, 2 litros, 3 litros
(B) 1 litro, 2,5 litros, 3 litros
(C) 1 litro, 2 litros, 4 litros
(D) 2 litros, 3 litros, 4 litros
(E) 2 litros, 3 litros, 6 litros
VOLUMES DE PRISMAS E CILINDROS
VOLUME = ÁREA DA BASE x ALTURA
h
VOLUMES DE PIRÂMIDES E CONES
xÁREA DA BASE AVOL LTUME= URA3
h
ESFERAS E SEMIESFERAS
ESFERA
34V R3
ESFERA
SEMIESFERA
VV2
ESFERA2A 4 R
1
1
1
1
1
1
2R .hV=3
2V= R .h
3
RV=
2
CONEV =3 3
3V= =V=
3
CILINDRO CONEV 3. VSEMIESFERA CONE V 2. V
Questão 5Questão 5: As circunferências que se interceptam são tangentes entre si. Se o raio das circun-ferências de centro A e B mede 8 e se as menores têm o mesmo raio, calcule o valor da área sombreada.
x
x
8 4x
8
4x - 8
2 2 2x 8 4x 8 x
Resolvendo a equação, temos como solução x = 5.
Dessa forma, as circunferências menores têm raio 5 e a maior tem raio 20.
x
x + 84x - 8
2 2 2= 20 - 4 5 - 1722 8 =
Questão 6Questão 6: Calcule o volume do maior cubo que pode ser inscrito em uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 3 e altura 6.
6 3
6
6 18 3 9 18 2
ALTURA ARESTA
altura aresta L L
L L L L
3 82 Volume LL
Questão 7Questão 7: Considere a figura, onde A é a esfera maior e B a menor. A distância entre os centros das duas esferas é igual à distância do centro de B ao vértice do cone. As esferas são tangentes entre si e à superfície lateral do cone. Calcule a razão entre os volumes de A e B.
RETA TANGENTE ÀCIRCUNFERÊNCIA
Perpendicular ao raio noponto de tangência
R
r
d
d
R 2d
r dR
Logo, 2 R 2r.r
Se a hipotenusa dobrou ...
... o raio também dobrou!
Razão de Semelhança para polígonos e sólidos semelhantes
GRANDE GRANDE
PEQUENO PEQUENO
COMP ÁREA=
COMP ÁREA
GRANDE GRANDE
PEQUENO PEQUENO
COMP VOLUME=
COMP VOLUME
( )2
( )3
3 33A A
B B
Volume Raio RLogo, 2 8.
Volume Raio r
Questão 8Questão 8: Calcule a distância entre os centros das circunferências de raio 3 e tangentes à reta 4x+3y=0, sendo os centros pertencentes ao eixo das ordenadas.
PONTO PERTENCENTE AOEIXO DAS ORDENADAS
RETA TANGENTE ÀCIRCUNFERÊNCIA
P = (0, y)
A distância do centro da circunferência à reta
tangente é igual ao raio
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA
Reta na forma geral Ax + By + C = 0 e ponto P = (x0, y0).
2 2
0 0A.x +B.y +Cd=
A + B
Reta t: 4x + 3y = 0, ponto P = (0, y) e raio 3
2 2
4.0+3.y+03=
4 +3
A = 4, B = 3, C = 0, x0 = 0, y0 = y e d = 3
3y3=
53y 15
3y 15
3y = 15
3y = -15
y = 5
y = -5
C1 = (0, 5)
C2 = (0, -5)
+
-
Reta t
C1
C2
5
-5
10
Questão 9Questão 9: Num trapézio isósceles, as bases medem 2 e 8; a
altura mede 4. Qual é o volume do sólido (ou a área lateral)
obtido(a) ao girarmos esse trapézio em torno de sua base
menor?
28
Observe o trapézio isósceles abaixo.
A rotação desse quadrilátero em torno de sua base menor produz um sólido que pode ser analisado a partir do cilindro e cones “formados”.
Há um cilindro cuja altura é 8 e o raio da base é 4.
Há dois cones que estão inseridos “dentro” do cilindro. Em cada um deles, o raio da base é 4 e a altura é 3.
Assim, podemos calcular o volume desse sólido.
2´ Cilindro ConeSo lidoV V .V
22 4 34 8 2
3´So lido
. .V . . .
128 63 92´So lidoV
2
3
3
4
4
4
4
2
3
.r .h
2.r .h
3
3
284
5
Da mesma forma, podemos calcular a área lateral desse sólido, analisando o cilindro e os cones “formados”.
Há o cilindro cuja altura é 8 e o raio da base é 4.
Há os cones que estão inseridos “dentro” do cilindro. Em cada um deles, o raio da base é 4 e a altura é 3.
A geratriz de cada um desses cones mede 5.
Assim, podemos calcular a área lateral desse sólido.
2Lat Lat Cilindro Lat ConeA A .A
2 4 8 2 4 5LatA . . . . . .
64 40 104LatA
.r.g
2. .r.h
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