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REDUÇÃO DE TENSÕES EM RISERS RÍGIDOS DE PLATAFORMAS TLP
Alexandre Lima Santiago de Pinho
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO
DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.
________________________________________________ Prof. Eliane Maria Lopes Carvalho, D.Sc.
________________________________________________ Prof.Rosane Martins Alves, D. Sc.
________________________________________________ Prof. Vicente Custódio Moreira de Souza, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
AGOSTO DE 2001
ii
PINHO, ALEXANDRE LIMA SANTIAGO DE
Redução de Tensões em Risers Rígidos de Plataformas TLP
[Rio de Janeiro] 2001
XI, 102 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Civil, 2001)
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE
1. “Riser” Rígido 2. Atenuador passivo
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
iii
DEDICATÓRIA
À esposa
Mariza Terra Nunes Ribeiro de Pinho
iv
AGRADECIMENTOS
Aos professores Eliane Maria Lopes Carvalho e Ronaldo Carvalho Battista, pela
orientação, apoio e amizades em várias horas difíceis, e ao eterno incentivo e
dedicação.
Aos familiares e amigos, em particular aos padrinhos Tales Simões Mattos e
Sérgio José de Carvalho Júnior.
A minha esposa, pelo apoio e compreensão nos meses de execução deste
trabalho.
À CAPES pelo apoio financeiro e incentivo à pesquisa.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
REDUÇÃO DE TENSÕES EM RISERS RÍGIDOS DE PLATAFORMAS TLP
Alexandre Lima Santiago de Pinho
Agosto/2001
Orientadores: Ronaldo Carvalho Battista
Eliane Maria Lopes Carvalho
Programa: Engenharia Civil
Neste trabalho, analisam-se o comportamento e respostas dinâmicos não
lineares de um riser rígido de produção para águas profundas, acoplado a uma
plataforma offshore do tipo TLP (“Tension Leg Platform”).
Demonstra-se, por meio dos resultados obtidos com modelos numéricos, que a
adoção de um sistema de controle passivo acoplado à TLP atenua a amplitude de
movimento vertical (“heave”) do casco da plataforma e, conseqüentemente, reduz a
variação de tração no “riser”, aumentando à vida útil a fadiga de suas ligações
soldadas.
Respostas dinâmicas em termos de deslocamentos e tensões ao longo do
“riser” são apresentadas para mostrar o bom desempenho do sistema de controle
passivo proposto.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
Stress Reduction in Rigid Riser of TLP Platforms
Pinho, Alexandre Lima Santiago de
August/2001
Advisors: Battista, Ronaldo Carvalho
Carvalho, Eliane Maria Lopes
Department: Civil Engineering
In this works it is analysed the dynamic responses and behaviour of a “rigid”
riser linked to Tension Leg Platform (TLP) intended for oil explotation in deep water.
It is demonstrated, by means of numerical results obtained from computational
models, that passive control devices installed in the TLP`s hull are very effective in
atenuating the amplitudes of heave motion and consequent stress variation of welded
joint in the riser.
This effectiveness of the control devices is shown througth both the frequency
and time responses in terms of heave displacements and stress resultant variations
along the riser`s height.
vii
ÍNDICE
Capítulo I - INTRODUÇÃO
I. 1 – Considerações iniciais.............................................................................................1
I. 2 – Objetivo principal.....................................................................................................3
I. 3 – Escopo do trabalho..................................................................................................4
Capítulo II - DESCRIÇÃO DA ESTRUTRA DA TLP E DO RISER
II. 1 – Estrutura da TLP (Tension Leg Platform) ..............................................................6
II. 2 – Estrutura do riser rígido..........................................................................................9
II. 2.1 – Descrição do riser rígido. .......................................................................10
Capítulo III - DESCRIÇÃO DAS AÇÕES ATUANTES.
III. 1 – Introdução............................................................................................................12
III. 2 – Força de tração....................................................................................................13
III. 3 – Ação de ondas marinhas......................................................................................14
III. 3.1 – Introdução..............................................................................................14
III.3.2 – Equação de MORISON...........................................................................15
III. 3.3 –Teoria de onda linear de Airy..................................................................18
III. 4 – Forças de correntes..............................................................................................21
III. 5 - Vorticidade.............................................................................................................24
Capítulo IV - DESCRIÇÃO DOS CARREGAMENTOS UTILIZADOS E PROPRIEDADES
DINÂMICAS DO RISER
IV. 1 – Espectros de mar adotados.................................................................................27
IV. 2 – Movimento da TLP...............................................................................................30
IV. 3 – Força de tração aplicada ao Riser.......................................................................32
IV. 4 – Freqüências naturais do Riser.............................................................................34
IV.4.1 – Modos de flexão.....................................................................................34
IV.4.2 – Modos axiais...........................................................................................35
IV. 5 – Perfil de corrente..................................................................................................37
IV. 6 – Resumo das considerações adotadas.................................................................37
Capítulo V - SISTEMAS DE CONTROLE PASSIVO APLICADO AO RISER
V. 1 – Introdução.............................................................................................................39
V. 2 –Equação de movimento da TLP sem sistema de controle....................................40
V. 3 – Sistema de controle passivo (SCP) do movimento de Heave da TLP.................42
viii
V. 4 – Definição da calibração para sistema de controle passivo..................................44
Capítulo VI - FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NÃO-LINEARES DE
MOVIMENTO DO RISER
VI. 1 – Introdução............................................................................................................47
VI. 2 – Modos naturais de vibração.................................................................................48
VI. 3 – Modelo matemático (Princípio Variacional de Hamilton)......................................51
VI. 3.1 – Modelo matemático para energia cinética (TC)..................................... 51
VI. 3.2 – Modelo matemático para energia potencial (V = Uext + Uf )...................52
VI.3.2.1 – Energia de deformação elástica extencional (Uext).....................53
VI. 3.2.2 – Energia de deformação elástica de flexão (Uf)..........................55
VI. 3.3 – Modelo matemático para variação do trabalho das forças externas.....56
VI. 3.3.1 – Trabalho das forças de amortecimento não conservativas..........56
VI. 3.3.2 – Trabalho da força de onda............................................................58
VI. 3.3.3 – Trabalho da ação estática da corrente marinha...........................61
VI. 4 – Equações diferenciais não-lineares de movimento..............................................62
VI. 5 – Expressões dos deslocamentos, momentos, rotações e tensões. atuantes........66
VI. 5.1 – Expressão para deslocamento resultante.........................................................66
VI. 5.2 – Expressão para momento fletor........................................................................67
VI. 5.3 – Expressão para tensões atuantes.....................................................................67
VI. 5.4 – Estimativa de tensão máxima...........................................................................69
Capítulo VII – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
VII. 1 – Introdução...........................................................................................................70
VII. 2 Análise do Riser para as condições de mar mais desfavoráveis...........................72
VII.2.1 Gráficos de tensões de flexão..................................................................72
VII.2.2 Envoltória de tensões normais ao longo do riser......................................75
VII.2.3 Espectro de tensões.................................................................................79
VII.3 Influência do sistema de controle na vida útil do riser.............................................84
Capítulo VIII - CONCLUSÕES E SUGESTÕES
VIII. 1 – Conclusões........................................................................................................99
VIII.2 - Sugestões para extensão do trabalho...............................................................100
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................................101
ix
NOMENCLATURA A – Área da seção transversal do riser
Ao – Fator de proporcionalidade
Cm – Coeficiente de inércia
Cd – Coeficiente de massa adicionada
Ca – Coeficiente de arrasto
CA – Coeficiente de amortecimento
CI – Coeficiente de amortecimento global
c – Celeridade da onda
d – Lâmina d’água
D – Diâmetro relativo à camisa externa do riser
dsi – Velocidade relativa entre o fluido e a estrutura para cada modo
DESL – Deslocamento no plano
E – Módulo de elasticidade da estrutura
e – espessura do riser
f – Freqüência natural do riser
fo – Freqüência da onda
fr – Freqüência de resposta
fs – Freqüência desprendimento de vórtice
Fo – Força da onda
Fi = Magnitude da resultante da força modal de onda
FL – Força lateral
Fa – Força de arrasto
FC – Força de corrente
Fe – Força de empuxo
Fi – Força de inércia
Ft – Força de tração
g – Aceleração da gravidade
H – Altura da onda
I – Momento de inércia
K – Número de Keulegan-Karpenter
ko – Número de onda
Kr – Rugosidade da estrutura
Ki – Coeficiente de rigidez modal
L = Comprimento do riser
x
mt – Massa total do riser
me – Massa total da estrutura
ma – Massa d’água adicionada
mo – Massa do óleo
mi – Parâmetros de massa modal
M – Momento fletor
n – Número do harmônico
Pest – Pressão externa
Re - Número de Reynolds
R – Rotação
Rext – Raio externo
Rmed – Raio médio
S – Número de Strouhal
To – Período da onda
t – tempo
Tr – Tração de referencia
Tc – Energia cinética do sistema
Uo.
– Componente vertical da velocidade da onda
Uo¨ – Componente vertical da aceleração da onda
uf – Componente vertical do deslocamento fundamental da estrutura sob tração
ui – Componente vertical do deslocamento incremental da estrutura sob tração
Uext – Energia de deformação elástica extensional
Uf – Energia de deformação elástica de flexão
V – Energia potencial do sistema
Vc - Velocidade da corrente
Vi – Velocidade da corrente na parte inferior
Vs – Velocidade da corrente na parte superior
Vt – Volume total da estrutura por unidade de comprimento
Wi – Componente transversal do deslocamento incremental do riser
Wi – Amplitude de deslocamentos modais de flexão do “riser”
Wi _
- Coordenadas modais, adimensionais
Wo .
- Componente horizontal da velocidade das partículas d’água
Wo . .
- Componente horizontal da aceleração das partículas d’água
Wm .
- Velocidade relativa média entre o fluido e a estrutura
xi
Wθ _
- Excursão da TLP
Wθ - Deslocamento do modo pendular
Wuc,ext – Trabalho realizado pelas forças de amortecimento não conservativas
Wext,onda – Trabalho realizado pela força de onda
Wext,corr – Trabalho realizado pela força de corrente
Wr – Momento resistente
x _
- Distância a partir do fundo
Letras Gregas
φ − Ângulo de inclinação dos tendões
δL – movimento de “heave” da TLP
εx – Deformação específica extensional
ϕ - Ângulo de fase da onda
γa – Peso específico da água
γm– Peso específico do material
γo – Peso específico do óleo
µ – Massa específica da estrutura
λ – Comprimento de onda
ωn – Freqüências modais para os n harmônicos
ωθ – Freqüência circular da resposta da TLP ou da excitação da cabeça do “riser”
ζ – Função de forma para o modo axial
ρ – Massa específica do fluido
σe – Tensão de escoamento
σf – Tensão de flexão
σn – Tensão normal
σy – Tensão circunferencial
σz – Tensão radial
θ(x) – Função de forma para modo pendular
ψi(x) – Função de forma para modos de flexão
ξ – Taxa de amortecimento
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
MODELAGENS SIMPLIFICADAS DE LAJES MISTAS EM GRELHA
Wendell Diniz Varela
Fevereiro/2000
Orientador: Ronaldo Carvalho Battista
Programa: Engenharia Civil
Numa área em que a computação é uma ferramenta de grande utilidade, como na
engenharia estrutural, é importante que se avalie quais modelagens são realmente
eficientes para cada tipo de estrutura. Neste espírito é que se propõe uma revisão das
possíveis modelagens de estruturas de lajes mistas em grelha sob ação de carregamentos
estáticos.
Neste trabalho são estudados alguns modelos simplificados que poderiam
representar aproximadamente o comportamento dessas estruturas. Primeiramente,
estuda-se o caso de viga mista e fazem-se as primeiras considerações acerca da
eficiência dos modelos em termos de esforços e deslocamentos. Depois, estende-se a
modelagem às estruturas de lajes mistas em grelha, determinando-se o desempenho de
alguns modelos selecionados e, dentre estes, quais apresentam características de maior
praticidade.
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
SIMPLIFIED MODELING OF COMPOSITE SLABS
Wendell Diniz Varela
February/2000
Advisor: Ronaldo Carvalho Battista
Department: Civil Engineering
In an area that computation is a helpful tool, like in structural engineering, it is
important to evaluate which modelings are really efficient for each type of structure.
With this in mind it is proposed a review of modeling possibilities for composite slabs
structures under static loading.
In this work some simplified models that could approximately represent the
behaviour of these structures are assessed. Firstly, the case of a composite beam is
studied and the initial considerations about the efficiency of the models in terms of
forces and displacements are made. Secondly, some selected modelings are extended to
the case of composite slab structures, assessing their performance and pointing out
which among them presents the most practical aspects.
1
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
I. 1 – Considerações iniciais
Os “risers” – tubulações que levam o petróleo desde a cabeça do poço
submarino até a plataforma offshore (Figura I.1) para proceder a separação e depois a
exportação - são estruturas sujeitas a ações dinâmicas de natureza aleatória
(correntes marítimas e ondas e indiretamente ventos atuando sobre o casco da
plataforma). Este cenário é ainda mais severo quando um riser, dito rígido, está
suspenso numa plataforma flutuante do tipo TLP. Qualquer falha no sistema pode
deteriorar o ambiente marinho e provocar uma interrupção na produção de óleo, onde
altos custos estão envolvidos, inclusive para recuperação do meio ambiente.
Assim sendo, os risers podem ser considerados como uma das partes críticas
de um sistema de produção (ou perfuração) offshore, já que, estando continuamente
sujeitos a severas condições ambientais e ações dinâmicas, podem ter o seu
comportamento afetado pelo grande número de solicitações variáveis a que estão
submetidos.
É importante que as freqüências dos modos naturais de vibração do riser não se
aproximem da faixa de freqüências dominantes das ondas, para que se possa evitar a
amplificação dinâmica da resposta em termos de deslocamentos e variação de
2
tensões que podem acarretar o colapso da tubulação, provocando um desastre
ecológico e elevado prejuízo.
Figura I.1 – Esquema do“riser” rígido de produção da plataforma tipo TLP
3
Os risers, quando destinados a águas profundas e conectados a plataformas
flutuantes, têm comportamento mecânico caracterizado, em geral, por grandes
deslocamentos do topo e grandes deflexões devido ao grande comprimento e
pequena rigidez à flexão.
As solicitações dinâmicas são em geral minimizadas pela tração controlada
aplicada ao “riser”, por meio de um dispositivo mecânico de compensação de tração
axial, que é o principal parâmetro de controle para reduzir as amplitudes de variação
de tensões dinâmicas, aumentando a vida útil do “riser”. A redução substancial da
diferença entre as tensões máximas e mínimas retarda o processo de acúmulo dos
danos à fadiga do “riser”.
O uso de sistemas de controle para atenuação do movimento de heave em
plataformas do tipo TLP (Tension Leg Platform)[1,2,3] reduz o efeito da variação das
tensões de tração aplicadas no topo dos risers e nos tendões e suas ancoragens,
minimizando o efeito de fadiga nestes componentes e aumentando a vida útil.
A análise de risers é, em geral, realizada de uma forma desacoplada, a partir de
resultados do comportamento global da TLP.
I. 2 – Objetivo Principal
A utilização de sistemas de controle passivo ou ativo permite a redução das
amplitudes de respostas dinâmicas a uma faixa de valores requeridos ou pré-
estabelecidos, visando garantir as condições de segurança e integridade, de forma a
prolongar a vida útil e, conseqüentemente, visando redução de custos.
Este trabalho analisa o comportamento dinâmico de um “riser” acoplado a uma
estrutura complacente do tipo TLP para operar em águas profundas, considerando
esta última provida ou não de um sistema de controle passivo da resposta em termos
do deslocamento vertical (“heave”).
São apresentados e analisados resultados numéricos obtidos para o “riser”, com
e sem a utilização de um sistema de controle passivo aplicado ao movimento de heave
da TLP.
4
O objetivo principal é o de estimar o desempenho do sistema de controle
passivo na redução das amplitudes de respostas dinâmicas do “riser” a valores
desejáveis ou valores limites, visando a redução do efeito de fadiga.
Este trabalho propõe um dispositivo alternativo, aplicando-se um sistema
passivo de atenuação de vibração acoplado à TLP que manterá o “riser” submetido a
pequenas variações de tração.
I. 3 – Escopo do Trabalho
O conteúdo deste trabalho é apresentado em oito capítulos, incluindo esta
introdução.
O Capítulo II descreve a estrutura do “riser” rígido de produção analisada neste
trabalho e ilustra os principais componentes de uma estrutura offshore do tipo TLP.
Sendo o “riser” a estrutura principal de estudo, descreve-se para o mesmo os fatores
que influenciam o seu comportamento.
O Capítulo III descreve os esforços estáticos e dinâmicos atuantes no “riser”.
Nesta parte do trabalho é também feita a justificativa da teoria de onda utilizada, assim
como as simplificações adotadas.
O Capítulo IV apresenta as forças ambientais atuantes no “riser”, tais como as
condições reais de mar (adotadas na bacia de Campos, costa-fora do litoral do Estado
do Rio de Janeiro), perfil de corrente e força de tração, além de um resumo das
considerações feitas.
O Capítulo V descreve o sistema de controle passivo e a calibração do mesmo.
São apresentadas de forma sucinta as equações diferenciais de movimento de 2ª
ordem da TLP, sem sistema de controle e com sistema de controle passivo.
5
No Capítulo VI é desenvolvida explicitamente a formulação matemática para
obtenção das equações diferenciais acopladas de movimento associadas aos modos
de vibração do “riser” em estudo, obtidas a partir do Princípio Variacional de Hamilton.
Apresentam-se as expressões dos deslocamentos, momentos e tensões atuantes no
“riser” sob ação das forças ambientais e do movimento imposto pela plataforma TLP
sujeita às mesmas forças ambientais.
No Capítulo VII são apresentadas as respostas obtidas para o movimento do
“riser” sem sistema de controle e com a implementação de sistema de controle passivo
na plataforma TLP.
No Capítulo VIII apresentam-se os comentários finais e as principais conclusões
deste trabalho, além de sugestões para a extensão desta linha de pesquisa.
6
CAPÍTULO II
DESCRIÇÃO DA ESTRUTRA DA TLP E DO “RISER”
II. 1 – Estrutura da TLP (Tension Leg Platform)
A complacência de uma plataforma consiste no fato de seus primeiros períodos
serem superiores aos períodos dominantes no espectro das ondas, evitando-se assim
a amplificação dinâmica das amplitudes de resposta.
Estruturas offshore do tipo TLP são complacentes, ancoradas verticalmente às
fundações por meio de tendões mantidos permanentemente tracionados (figura II.1)
pela força residual de flutuação do casco obtendo-se grande rigidez na direção vertical
(heave) e nas rotações (pitch e roll).
A pré-tração dos tendões aplicada através da retirada do lastro imposto no
casco flutuante que é mantida pelo excesso de flutuação da estrutura que garante a
estabilidade do sistema flutuante hidroelástico, fornecendo uma rigidez na direção
heave igual à rigidez elástica axial dos tendões pré-tracionados.
Para o projeto de uma TLP ser considerado bom, deve-se manter pequenos os
valores dos períodos de deslocamento heave, e períodos de rotação pich e roll e
grandes os períodos de rotação em torno do eixo yaw e do deslocamento surge e
sway.
7
heave
surge
sway
yaw roll
pitch
Figura II.1 – Esquema básico da TLP
A TLP é uma estrutura que consiste basicamente de um “deck”, colunas,
flutuadores, dutos ou “risers” e tendões que serão brevemente descritos a seguir:
Estrutura do Convés (“deck”) - A estrutura do convés se assemelha a de
qualquer outra estrutura offshore e o seu dimensionamento é feito em função da planta
de produção de óleo ou gás.
Estrutura do Casco - A estrutura do casco ou unidade flutuante dá suporte ao
deck e é composta pelas colunas e flutuadores, oferecendo ainda ancoragem e pré-
tensionamento dos tendões devido ao seu excesso de flutuabilidade (diferença entre o
empuxo e peso).
Colunas - As colunas, grandes tubulações, em geral de seção circular,
contém o lastro e sistema de fixação dos tendões.
Flutuadores - Os flutuadores (ou “pontoons”) estão num mesmo plano
horizontal submerso, e contém também o lastro.
set down
NA
Tendões“risers” rígido
Corrente
Onda
8
Dutos ou “Risers” - Os “risers” são dutos utilizados na perfuração e extração
de óleo ou gás. Os “risers” de uma TLP são normalmente “risers” rígidos verticais que
ligam o equipamento da cabeça de poço (fundo do mar) à superfície da plataforma.
Normalmente, neste nível, eles são suspensos num dispositivo de compensação de
heave, que os mantém tensionados num valor aproximadamente constante
independente da amplitude do movimento.
A proposta da utilização do sistema de controle passivo acoplado ao casco da
TLP tem o intuito de reduzir as variações de tração no “risers” e suas conexões,
reduzindo os danos à fadiga e minimizando a possibilidade de regiões sujeitas a
compressão.
Tendões - Os tendões são elementos tubulares de aço de alta resistência
mecânica e à corrosão, pré-tracionados, que ancoram o casco flutuante ao fundo do
mar, impedindo grandes excursões laterais do mesmo, viabilizando o funcionamento
dos “risers” do tipo “rígido”. São elementos vitais para a TLP. O destensionamento ou,
pior, a ruína de um deles pode, numa situação de pouca redundância, causar
instabilidade do sistema flutuante hidroelástico.
Sob ação de cargas ambientais, de vento e correntes, a TLP se desloca da sua
posição original vertical para uma posição vizinha inclinada, ilustrada na fig. II.1, em
torno da qual oscila sob a ação das ondas. A deriva ou off-set estático, que consiste
na amplitude de movimento horizontal quase-estático da plataforma, é medida em
relação ao eixo vertical passando pelo poço. Esta amplitude é, em geral, pequena,
mesmo para uma TLP em águas profundas. A distância vertical entre um ponto
extremo numa projeção horizontal na posição original vertical e um ponto central na
posição vizinha mais deslocada é chamada declíneo ou set-down. O ângulo de
inclinação dos tendões (φ), é um fator de projeto que limita este deslocamento lateral e
não deve exceder um valor limite que inviabilize o projeto da TLP.
O comportamento típico de uma TLP sob ação de cargas ambientais, pode ser,
assim, descrito por um deslocamento lateral inicial devido às parcelas quase-estáticas
das forças de corrente e vento sobre o casco, e posteriormente por uma oscilação em
torno da posição média devido à ação das ondas.
Verticalmente, a TLP tem seu comportamento governado pela rigidez dos
tendões. Em um projeto de TLP para águas profundas, as dimensões da seção
9
transversal e o comprimento dos tendões devem ser bem proporcionados para se
evitar que a freqüência de heave se aproxime da freqüência das ondas.
A tabela II.1 apresenta as propriedades da TLP aqui utilizada para análise,
além de suas freqüências naturais.
Tabela II.1 – Propriedades da TLP
Massa do casco 296.849,00 t Coordenada X do c.g. da TLP 0,0 m Coordenada Y do c.g. da TLP 0,0 m Coordenada Z do c.g. da TLP 625,30 m Diâmetro das colunas 14,60 m Diâmetro dos Pontoons 9,92 m Comprimento inicjal dos tendões 599,95 m Calado 29,29 m Comprimento dos Pontoons 54,01 m Aceleração da gravidade 9,81 m/s2
Taxa de amortecimento direção X 0,155 Taxa de amortecimento direção Y 0,155 Taxa de amortecimento direção Z 0,023 Período natural da estrutura na direção X 130,00 s Período natural da estrutura na direção Y 130,00 s Período natural da estrutura na direção Z 2,62 s Tração inicial dos tendões 38095,60 kN Diâmetro externo dos tendões 0,4056 m Diâmetro interno dos tendões 0,2028 m Número de cabos 4 Módulo de elasticidade 2,1 x 108 kN/m2
II. 2 – Estrutura do “Riser” Rígido
Um “riser” marinho para extração de petróleo é essencialmente um tubo
conectado entre a plataforma offshore fixa ou flutuante e a cabeça do poço no leito
marinho. Sua função consiste na condução do óleo misturado à água, gás e
sedimentos, desde o poço até a plataforma.
Os fatores que mais influenciam o comportamento de “risers” são: a sua
configuração geométrica em repouso, condições ambientais e fatores operacionais,
além da sua estrutura própria (i.e se tubos rígidos de aço ou compostos, tal como os
flexíveis multi camada), conexões mecânicas e juntas soldadas
10
II. 2.1 – Descrição do Riser Rígido Analisado.
A seção transversal idealizada de um “riser” de produção é mostrada na Fig
II.2. Ela consiste em uma camisa externa envolvendo o “riser” propriamente dito (por
onde haverá subida do óleo produzido), e outros tubos flexíveis de diâmetros menores:
os umbilicais e auxiliares. Supõe-se que todos esses dutos e linhas internas estejam
ligados à camisa em pontos discretos ao longo de sua altura, através de suportes
flexíveis.
Figura II.2 – Seção Transversal do “Riser” Rígido (unidades em milímetro)
O diâmetro desta camisa tubular do “riser” marinho determinará a magnitude
das forças hidrodinâmicas que nele atuarão, e, juntamente com a espessura, definirá o
peso por unidade de comprimento e o nível de tensões do material.
O sistema de tracionamento hidráulico a que o “riser” será submetido atuará
sobre a camisa externa, já que, é ela quem recebe o peso próprio dos dutos e linhas
internas, a ação de ondas, correntes e os esforços de interação com a TLP, além da
pressão hidrostática.
O “riser” foi considerado não vazado, ou seja, não há passagem de água pelo
seu interior, aumentando assim o efeito do empuxo.
umbilical 01umbilical 02
umbilial 03auxiliar 01
auxiliar 02
auxiliar 03
139,5
152,
5260,5
279,5
11
Na presente análise, foi utilizado um “riser” rígido de produção [4] para operar
em águas profundas e comprimento vertical igual a 610 metros de profundidade, cujas
dimensões da seção transversal estão apresentadas na tabela II.2. A tabela II.3
apresenta as propriedades geométricas.
Tabela II.2 - Dimensões da Seção Transversal do “riser”
Estrutura Raio externo (mm) Raio interno (mm) Dimensão
Umbilical 01 16,5 28,5 1,315” x 0,179”
Umbilical 02 12,9 17,4 1,315“ x 0,179“
Umbilical 03 12,0 16,5 1,315“ x 0,179“
Auxiliar 01 43,5 47,2 4,0“ x 0,28“
Auxiliar 02 43,5 47,2 4,0“ x 0,28“
Auxiliar 03 43,5 47,2 4,0“ x 0,18“
“riser” 139,5 152,5 12,0“ x 0,5“
Camisa externa 260,5 279,5 22,0“ x 0,75“
Tabela II.3 - Propriedades Geométricas do “riser”
Momento de inércia Iy (m4) 0,001503
Momento de inércia Iz (m4) 0,001396
Momento de inércia de referência (m4) 0,001436
Área (m2) 0,032
Para o cálculo das tensões axiais, a área utilizada foi a da camisa externa que
é o elemento sujeito a tração. Para o momento de inércia da seção transversal foi
considerado um valor de referência que é a média entre os momentos Iy e Iz. Todos
os valores que constam na tabela foram reproduzidos da referência [4] (vide Fig. II.2).
12
CAPÍTULO III
DESCRIÇÃO DAS AÇÕES ATUANTES.
III. 1 – Introdução
Um “riser” marinho de uma unidade flutuante de produção é uma estrutura
importante de ligação operacional com o poço de petróleo. Embora estruturalmente
simples, seus mecanismos de ligação e carregamentos são por vezes complexos para
aplicações em águas profundas, sendo o seu comportamento não linear de difícil
previsão.
Os esforços atuantes são estáticos e dinâmicos, a seguir descritos:
Os esforços estáticos são causados pela pré-tração e pela deriva (“offset”)
estática do casco da TLP sob ação do vento. Sob a hipótese de constituírem um
carregamento estático equivalente, as correntes marinhas originam esforços internos
que se superpõem aos estáticos anteriormente citados.
Os esforços dinâmicos são causados pelo movimento de “heave” e “sway” da
TLP, pela tração aplicada à cabeça do “riser” e pela ação de ondas no “riser”. Todos
estes esforços estáticos e dinâmicos podem ser atenuados pelo dispositivo de
compensação de tração instalada no topo do “riser”, na sua ligação com a unidade
flutuante.
13
A utilização de um outro dispositivo como os atenuadores de vibração de
controle passivo (ou ativo) das amplitudes de “heave” do casco da TLP poderá ainda
reduzir substancialmente os esforços dinâmicos.
Como exemplos das cargas a que um “riser” está submetido, pode-se citar a
tração externa aplicada no seu topo, o peso próprio da coluna completa, o empuxo
sobre a camisa, os esforços devidos aos movimentos da plataforma, carga de ondas,
força de arrasto devido a correntes e outras forças hidrodinâmica, como aquela devido
ao efeito de vorticidade.
III. 2 – Força de tração
A tração externa tem como função reduzir a flexão e as variações angulares
nas conexões extremas, especialmente na inferior.
A ação de peso próprio ao longo do comprimento vertical do “riser” é aliviada
pelo empuxo, o qual produz, juntamente com a tração aplicada no topo, o efeito
favorável de uma distribuição linear de tração ao longo da altura do “riser”. O efeito do
empuxo pode ser aumentado com a utilização de flutuadores (não considerados nesta
análise).
Os flutuadores têm a finalidade de reduzir a tração na parte superior do “riser”.
Contudo, a adoção desta alternativa deve ser analisada com cautela, já que o uso de
flutuadores aumenta a magnitude das forças hidrodinâmicas (de inércia e de arrasto)
atuantes. Por isso, os flutuadores não devem ser usados próximos à superfície do
mar, onde o efeito das ondas é mais intenso.
A tração atuante no topo do “riser” é composta de duas parcelas:
FT(t) = ft + δL EA
L (III.1)
onde:
ft = parcela constante que objetiva impedir esforços de compressão no “riser”;
14
δL EA
L = parcela dinâmica provocada pelo movimento de “heave” da TLP;
δL = movimento de “heave” da TLP;
E = módulo de elasticidade;
A = área;
L = comprimento do “riser”.
Os sistemas de controle de “heave” servirão para minimizar o nível de tensões
dinâmicas e suas variações, aumentando a vida útil do “riser”. A redução substancial
da diferença entre as tensões máximas e mínimas retarda o processo de acúmulo dos
danos de fadiga do “riser”.
Por outro lado, quando o “riser” é submetido a grandes deflexões, a parede na
parte côncava fletida no “riser” pode ser submetida à compressão, causando um
mecanismo de flambagem que se mostra por enrugamento da parede (no caso de
paredes finas) ou na forma de uma indentação (no caso de paredes médias à
espessas). O ideal é evitar completamente tensões de compressão, através da
instalação de tração adequada no topo do “riser”.
A camisa externa foi considerada estanque. Caso contrário, o valor da força
axial resultante sobre o “riser” torna-se ainda maior, resultando numa situação mais
desfavorável para a análise. Quanto maior for a resultante axial sobre o “riser” , maior
será o valor da tração inicialmente aplicada na cabeça do mesmo.
III. 3 – Ações de ondas marinhas
III. 3.1 – Introdução
Os esforços provocados por ondas e correntes são relativamente complexos
em sua determinação, visto que são ações dinâmicas e atuam de forma combinada
com distintas direções. Uma simplificação usualmente feita é a consideração de que
ambas as ações atuam na mesma direção, e que a ação de corrente pode ser tomada
como estática.
15
A utilização de parâmetros (coeficientes de arrasto e de inércia) determinados
experimentalmente, e a seleção de uma teoria de onda adequada, se tornam
necessários para a análise estrutural de um “riser”.
É notório que as várias formulações propostas para simular a ação de ondas
sobre elementos tubulares são equivalentes à fórmula de Morison, a qual é composta
de dois termos: (i) força de inércia (função da aceleração da onda); (ii) força de arrasto
(função da velocidade da onda).
Para a determinação da força exercida pelas ondas sobre um “riser”, torna-se
necessário o conhecimento dos campos de velocidade e aceleração das partículas de
água do mar.
Devido a não linearidades do movimento das partículas de água, existem
várias teorias de onda com respectivas expressões para o cálculo das velocidades e
acelerações dessas partículas de água.
III.3.2 – Equação de MORISON
Um fluido em movimento exerce forças variáveis com o tempo sobre os
obstáculos que encontra. Estas forças dependem, sobretudo, da velocidade e
aceleração relativas do corpo e do fluido, ocorrendo assim um acoplamento entre
ambos.
Em 1950, MORISON [5] propôs uma fórmula empírica para o cálculo da força
de onda atuante perpendicular a um cilindro vertical, utilizada até os dias atuais para o
cálculo de estruturas offshore.
Para um escoamento retilíneo acelerado de um fluido real, a força total atuante
é conhecida como Equação de Morison e é dada por:
F0 (x,t) = Fa+ Fi (III.2)
16
Onde:
F0 = Força de onda
Fa = Força de arrasto
Fi = Força de inércia
A força de arrasto por unidade de comprimento exercida por um escoamento
uniforme unidirecional de um fluido real (viscoso) com aceleração nula, incidindo sobre
um cilindro estacionário, é dada por:
Fa = 12 Cd ρ D w0
. | w0
.| (III.3)
Para o caso de escoamento uniformemente acelerado bidimensional de um
fluido ideal (não viscoso) incidindo sobre uma seção circular, atuará a força de inércia,
por unidade de comprimento, resultante das pressões hidrostáticas com intensidade
proporcional à aceleração da massa fluida, dada por :
Fi = CM ρ πD2
4 w0 ..
(III.4)
O termo CM ρπD2
4 , chamado de massa d’água adicional pelo fato de ter a
dimensão de massa, não representa massa fluida, sendo o resultado da integração
das pressões atuantes no contorno do cilindro.
Para estruturas flexíveis, onde a velocidade e a aceleração da estrutura
possuem valores significantes, a Equação de Morison é modificada, usando-se a
velocidade e a aceleração relativas entre o fluido e o cilindro. Entretanto, BERGE e
PENZIEN [6], propõem a seguinte forma alternativa para a Equação de Morison:
F0(x,t) = CM ρπD2
4 w0..
+ Ca ρπD2
4 (w0..
- w..
) + 12CdρD(w0
. - w
.) | w0
. - w
.| (III.5)
17
onde:
|w0.
- w.| = ds = valor absoluto da velocidade relativa entre o fluido e
a estrutura
w0.
= velocidade da onda, (partícula fluida)
w0..
= aceleração da onda, (partícula fluida)
w. = velocidade da estrutura
w..
= aceleração da estrutura
CM = coeficiente de inércia
Ca = CM - 1.0 = coeficiente de massa adicional
Cd = coeficiente de arrasto
Os coeficientes de arrasto (Cd) e de inércia (CM), são obtidos
experimentalmente. Eles dependem do tipo de fluido e das características do elemento
estrutural, principalmente quanto a suas forma e rugosidade.
As figuras III.1 e III.2 apresentam ábacos para os valores de CM e Cd.
Figura III.2 – CM x Re para valores de K (cilindro liso)
18
Figura III.3 – Cd x Re para valores de K (cilindro liso)
III. 3.3 – Teoria de onda linear de Airy
As forças de onda que atuam sobre os “risers” dependem da teoria a elas
associadas, cuja escolha no ábaco[6] da Figura III.3 faz-se de acordo com as relações
básicas da onda: d
gTo2 e
H
gTo2 , onde os parâmetros envolvidos são:
d = lâmina d’água (m);
H = altura da onda (m);
g = aceleração da gravidade ⎝⎛
⎠⎞m
s2
To = período da onda (s).
Para a lâmina d’água superior a 100 m, as teorias mais adequadas para o
cálculo de ação de onda em “risers” são as de Airy e de Stokes. Substituindo-se os
19
valores de H, To e d, para os casos de mar aqui analisados, tem-se que a Teoria de
Onda apropriada seria a de Stokes de 3ª ordem.
Figura III.3 - Escolha da teoria de onda
Todavia, análises foram realizadas utilizando-se as Teorias de Airy e Stokes 3ª
ordem [7] para condições de mar típico da bacia de Campos, obtendo-se para ambas
respostas bastante semelhantes, permitindo, assim, a escolha da Teoria de Airy para a
obtenção dos campos de velocidade e aceleração, evitando-se a grande complexidade
da Teoria de Stokes.
H gTz2
dgTz
2
20
Riser Tendões
Para uma onda referida ao sistema de eixos coordenados (X’, Y) mostrado na
Fig.III.4 , considera-se que o fluido é incompressível, irrotacional, constante e o trem
da onda bi-dimensional, além de se considerar a profundidade (d).
Figura III.4 – Ações ambientais sobre a TLP e o riser
As expressões para as componentes horizontais e verticais da velocidade e
aceleração desta teoria são apresentadas explicitamente por Sarpkaya [6].
Conhecidos os campos de velocidade e aceleração, pode-se determinar as
forças de onda. Para o caso de estruturas verticais, os esforços são máximos quando
a velocidade e a aceleração são horizontais. Por este motivo, considera-se apenas as
componentes horizontais da velocidade (wo.
) e da aceleração (wo..
).
Uma das principais características da Teoria de Airy é o decaimento
exponencial das velocidades e acelerações com a profundidade, levando a valores
nulos para profundidades maiores do que metade do comprimento de onda.
Para compatibilizar a Teoria de Onda com o desenvolvimento das equações de
movimento, é necessário fazer a transferência dos eixos x’, y para x, y. A Figura III.4
mostra esquematicamente a ação de ondas, ilustrando os parâmetros envolvidos.
Onda,W
H NA
λ
d
yX
Y,W0
X’,U0
X = - dCorrente
21
Assim sendo, obtém-se as expressões das componentes horizontais da
velocidade (wo.
) e aceleração (wo..
) quando a crista da onda passa pela estrutura
(y=0):
wo.
= πHT0
cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞2πx
λ
senh ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λ
cos ⎝⎛
⎠⎞2πt
T0 (III.6)
wo..
= 2π2HT0
2 cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞2πx
λ
senh ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λ
sen ⎝⎛
⎠⎞-2πt
T0 (III.7)
onde:
wo.
= componente horizontal da velocidade da onda;
wo..
= componente horizontal da aceleração da onda;
d = lâmina d’água;
H = altura da onda;
g = aceleração da gravidade;
λ = comprimento de onda;
To = período da onda.
III. 4 – Forças de correntes
Os esforços provocados pelas correntes, ao contrário dos provocados pelas
ondas, que limitam-se à parte superior do “riser”, podem se fazer sentir ao longo de
todo o comprimento do “riser” [8].
As correntes marinhas podem ser causadas por diversos fatores, tais como:
marés, ventos, quedas de pressão barométrica e diferenças de densidade entre
diferentes regiões do mar. Na verdade, o que realmente interessa para o cálculo de
um “riser” é o perfil de corrente no local de instalação.
22
A velocidade da corrente varia com a profundidade e pode inclusive mudar de
direção, sendo normalmente maior o seu valor na superfície. A corrente pode também
variar ao longo do dia, e o valor de sua aceleração pode ser negligenciado no cálculo
dos esforços devidos à ação de corrente. Por este motivo, não se considera na
equação da força de corrente a parcela correspondente à força inercial.
Sendo assim, a força provocada pela corrente, em sua direção, ou seja, a força
de arrasto por unidade de comprimento, é dada por:
Fc = 12 Cd ρ D Vc
2 (III.8)
Onde:
Vc = velocidade da corrente
ρ = massa específica da água do mar
D = diâmetro externo do “riser”
Por se tratar de um fluxo unidirecional em um determinado ponto, visto que foi
suposto que as forças de onda e corrente atuam sobre a mesma direção e sentido, o
valor de Cd pode ser tomado da mesma forma que na equação da força de onda,
tendo assim o mesmo valor.
As forças combinadas de ondas e correntes dependem naturalmente das
respectivas direções e sentido de movimento das partículas fluidas. Numa
aproximação, esta combinação será tomada como máxima quando a direção da
corrente coincidir com a das ondas.
Podem ser adotados diferentes perfis para correntes, da mesma forma que
podem ser adotados diferentes espectros de mar que dependem de aspectos
particulares de cada região. Porém, para simplificação de análise, adotou-se um perfil
de corrente variando linearmente até o fundo do mar, sendo seu valor dado por (III.9)
como mostrado na Figura III.5.
23
Figura III.5 – Perfil de Corrente
Figura III.5 – Perfil de corrente
De acordo com o perfil mostrado na figura anterior, a variação de velocidade ao longo
do “riser” pode ser representada por:
Vc(x) = Vi + (Vs - Vi) xd (III.9)
Que obedecem as seguintes condições de contorno:
x = 0 Vc(x) = Vi (III.10)
x = d Vc(x) = Vs (III.11)
Onde:
VI = velocidade da corrente na parte inferior do “riser”
Vs = velocidade da corrente na parte superior do “riser”
corrente
0,0
NA
d Riser Tendões
Vs
Vi
24
III. 5 – Vorticidade
A força hidrodinâmica decorrente do desprendimento de vórtices pela ação de
correntes torna-se crítica quando adquire uma freqüência próxima à freqüência natural
da estrutura do “riser”, provocando movimentos transversais à direção da corrente e
podendo levar a um processo de fadiga precoce.
Em áreas de fortes correntezas, “risers” podem sofrer fortes vibrações
provocadas por vórtices [8,9]
Considere-se um cilindro imerso em fluido com velocidade uniforme, conforme
mostra a Figura III.6. Quando uma partícula de fluido se choca contra o ponto anterior
de um corpo não aerodinâmico, como um cilindro, sua pressão atinge o valor da
pressão de estagnação. Ao contornar a superfície do cilindro, a partícula vai perdendo
energia devido ao atrito cinético. Sendo a camada de fluido mais próxima à superfície
do cilindro (camada 1), menos veloz do que as mais afastadas (camada 2), a
velocidade destas últimas se torna maior, havendo um ponto, no qual em virtude do
atraso que sofrem, as camadas mais próximas da superfície são obrigadas a se
encurvarem em direção ao cilindro, separando-se da sua superfície, formando
vórtices.
Figura III.6 – Formação de Vórtice
Com o desprendimento dos vórtices, arrastados pelo fluido em movimento,
ocorre uma queda brusca de pressão na superfície do cilindro (região A, por exemplo,
Figura III.6). Com a queda de pressão surge uma força F, decomposta em uma
componente paralela à direção do escoamento (força de arrasto, Fd), e outra
perpendicular a esta (força lateral, FL).
A B
2 1 1 2
FL
F
Fd
25
O cilindro tende a se mover em direção à força FL provocando (ou acelerando)
o desprendimento do vórtice na região B, com conseqüente queda de pressão e
aparecimento de nova força FL. Sendo assim, o cilindro tende a entrar em vibração,
que crescerá até certo ponto [6].
Figura III.7 – Relações do número de Strouhal com número de Reynolds
A freqüência de desprendimento de vórtices (fs) pode ser calculada pela
equação de Strouhal :
fs = S Vc
D (III.12)
Onde:
S = número de Strouhal
VC = velocidade da corrente
D = diâmetro externo do “riser”
O valor do número do Strouhal pode ser retirado de gráficos, como o da Figura
III.7, em função do número de Reynolds, ou pode ser tomado, para a maioria dos
casos práticos, igual a 0,21.
O desprendimento de vórtices provoca maiores problemas quando a
sua freqüência (fs) é próxima ou igual a uma freqüência natural do “riser”, ocorrendo o
fenômeno de ressonância, o que pode provocar um aumento sensível da força de
arrasto, além de causar a ruptura do “riser” por fadiga devido à alternância de tensões
26
elevadas, provenientes do desprendimento de vórtices. A Figura III.8 apresenta a
ressonância de um cilindro com efeito de vortice.
Figura III.8 - Ressonância de um cilindro com efeito de vórtice
vCfD
Ay
D
f s
f
27
Capítulo IV DESCRIÇÃO DOS CARREGAMENTOS UTILIZADOS E PROPRIEDADES DINÂMICAS DO “RISER” IV. 1 – Espectros de mar adotados
O enfoque empregado para se considerar as ações ambientais devidas as
cargas de ondas foi a utilização de espectros de mar que visam a expressar as
seqüências de ondas que caracterizam o mar adotado.
Em vista disso, é mais adequado escolher um espectro modelo que represente
uma distribuição de densidade de onda característico de uma determinada região
geográfica, baseado em condições meteorológicas.
Foi utilizado o espectro de Pierson Moskowitz modificado [10], o ISSC, que é o
mais utilizado para representar um estado de mar da costa brasileira. Em Chakrabarti
[10], o espectro ISSC, mostrado na Figura IV.1, é apresentado como sendo derivado
do espectro de Bretshneider, dado por:
S(fi) = 0.1107 (Hs)2 ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞f4
f5n e
⎝⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎞-0.4427
⎝⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎞
f
fn
4 (IV.1)
28
onde:
f = 1.296f0
f0 = 1Tz
O espectro utilizado está baseado nos parâmetros:
• Hs = altura significativa; e
• TZ = período de cruzamento zero,
Figura IV.1 – Espectro de mar adotado
A cada instante de tempo é feita a divisão do espectro e os parâmetros
relativos à altura, período e comprimento de onda, equações (IV.2) a (IV.6), foram
calculados ao longo da faixa do espectro selecionada, onde havia maior concentração
de energia.
0.02.04.06.08.0
10.012.014.016.018.020.0
0.060 0.075 0.090 0.105 0.120 0.135 0.150 0.165 0.180 0.195 0.210 0.225 0.240freqüência - Hz
S(f)
- m
2 se
g
29
HN = 2 2 Sn (fn) ∆f (IV.2)
∆f = ff + fi NDE (IV.3)
fn = fn-1 + ∆n (IV.4)
Tn = 1fn (IV.5)
λn = g T n
2
2π tgh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn (IV.6)
onde: ff = freqüência final;
fi = freqüência inicial;
ϕ = ângulo de fase aleatório;
NDE = número de subdivisões do espectro, considerado neste trabalho
igual a 50
∆f = intervalo de freqüência
Há de se salientar que o comprimento de onda, equação (IV.6), foi calculado
de forma iterativa. A partir destes parâmetros, obtém-se a força de onda no tempo,
que é então calculada por:
F0(x,t) = ∑n=1
NDE
⎩⎪⎨⎪⎧
⌡⎮⌠
o
L
⎣⎢⎡
CM ρπ D2
4
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2 π2 Hn
Tn2
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2 π x
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2 π d
λn
sen⎝⎛
⎠⎞-2 π t
Tn +ϕ
+CaρπD2
4⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2π2Hn
Tn2
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πx
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn
sen⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
⎦⎥⎤
+ 12CdρD
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞πHn
Tn
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πx
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn
cos⎝⎛
⎠⎞2πt
Tn+ϕ
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
πHnTn
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πx
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn
cos⎝⎛
⎠⎞2πt
Tn+ϕ - W
.
(IV.6)
O ângulo de fase ϕ varia aleatoriamente de 0 a 2π, e foi obtido por um gerador
de número randômico.
30
A tabela IV.1 apresenta a definição das condições de mar adotadas, cujos
dados de onda para fadiga, segundo uma abordagem estocástica, foram coletados na
Bacia de Campos dos Goytacazes, interior do Estado do Rio de Janeiro, no período de
junho de 1985 a junho de 1986 na plataforma de produção de Carapeba – 3 [12] da
Petrobrás, Petróleo Brasileiro S.A..
Tabela IV.1 - (Condições de mar)
Condição
de mar
Altura
significativa
Hs- (m)
Período de
cruzamento
em zeroTz -
(s)
Número de
registros
no período
de 3 horas
Ocorrência
em 1 ano
medida em
segundos
% de
ocorrência da
onda em 1
ano
1 0,75 5,24 66 712.800 2,26%
2 1,25 5,27 747 8.067.600 25,58%
3 1,75 5,77 1137 12.279.600 38,94%
4 2,25 6,26 572 6.177.600 19,59%
5 2,75 6,89 256 2.764.800 8,77%
6 3,25 7,72 95 1.026.000 3,25%
7 3,75 7,89 23 248.400 0,79%
8 4,25 8,20 19 205.200 0,65%
9 4,75 9,00 5 54.000 0,17%
Total 2.920 31.536.000 100,00%
IV. 2 – Movimento da TLP
A ação da TLP sobre o “riser” é simulada pela imposição de deslocamentos
transversais e longitudinais (estático e dinâmico) no seu topo obtidos a partir de um
arquivo gerado de um programa externo elaborado por Alves [15]. Aqui serão
apresentados os gráficos dos deslocamentos de “sway” e “heave” da TLP,
exemplificados pela condição de mar – 9.
31
Figura IV.2 – Deslocamento na direção “HEAVE” para condição de mar – 09
Figura IV.3 – Deslocamento na direção “SWAY” para condição de mar – 09
-6.00-5.40-4.80-4.20-3.60-3.00-2.40-1.80-1.20-0.600.000.601.201.802.403.003.604.204.805.406.00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to n
a di
reçã
o S
WA
Y (m
)
-0.030-0.027-0.024-0.021-0.018-0.015-0.012-0.009-0.006-0.0030.0000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.0270.030
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400
Tempo (seg)
Des
loca
men
to n
a di
raçã
o H
EA
VE
(m)
32
IV. 3 – Forças de tração aplicadas ao “riser”
A força de tração aplicada ao “riser” é composta por uma parcela estática e por
uma parcela dinâmica oriunda do movimento da TLP.
A força axial dinâmica, calculada pela equação III.1, com os deslocamentos de
“heave” da TLP para a condição de mar 09, é mostrada na Figura IV.4, que apresenta
valor máximo de 320,09 kN e mínimo de –316,71 kN.
Figura IV.4 – Parcela dinâmica da força de tração para condição de mar - 09
Para garantir uma tração aplicada ao longo de todo o “riser” de forma a não
proporcionar esforços de compressão, a tração estática é composta das seguintes
parcelas:
Ft(topo) = Pp – Emp + Fo (IV.8)
Ft(base) = Fo (IV.9)
Onde:
Pp = peso próprio do “riser”;
Emp = Força de empuxo;
Fo = Amplitude máxima da força axial dinâmica.
-330-300-270-240-210-180-150-120
-90-60-30
0306090
120150180210240270300330
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400
Tempo (seg)
Forç
a de
Tra
ção
Din
âmic
a (k
N)
33
O valor da tração de referência foi obtido somando-se os valores de peso
próprio para os tubos externo, central, tubos umbilicais e auxiliares, acrescentando o
peso do óleo e da força de compressão devida ao movimento de “heave” da TLP,
subtraindo o valor do empuxo da camisa externa. Todos os valores estão
apresentados na Tabela IV.2.
Para a parcela estática, o “riser” foi submetido à tração axial de mesma direção
à resultante das forças axiais que atuam sobre ele e de sentido contrário.
Tabela IV.2 – Determinação do Esforço de Tração
Peso específico da água (kN/m3) 10,00
Peso específico do aço (kN/m3) 76,90
Peso específico do óleo (kN/m3) 8,40
Força de empuxo na camisa externa (kN) 1.468,63
Peso próprio da camisa externa (kN) 1.512,01
Peso próprio do tubo central (kN) 559,41
Peso próprio dos auxiliares 1, 2 e 3 (kN) 247,07
Peso próprio dos umbiliais 1, 2 e 3 (kN) 56,70
Peso do óleo (kN) 313,26
Peso próprio total (kN) 2.688,45
Peso próprio aparente (kN) 1.219,82
Força axial dinâmica máxima (kN)’ 316,70
Tabela IV.3 – Esforço de tração estática
Tração de referência no topo (kN) 1.536,52
Tração de referência na base (kN) 316,70
34
IV. 4 – Freqüências naturais do riser
O valor da massa total da estrutura do “riser” (mt) é obtida somando-se a
massa da estrutura e a massa de óleo apresentados na Tabela IV.2 com a massa
d’água adicionada obtida pela formulação
mágua = ρaπD2L
4 (IV.10)
onde:
ρa = massa específica da água = 1,0 ton/m3;
D = diâmetro da camisa externa do “riser”;
L = comprimento do “riser”.
O valor da massa total da estrutura, (mt=Pt/g), é obtida somando-se a massa
da estrutura propriamente dita (me), a massa do óleo (mo), e a massa d’água
adicionada (mágua).
me = Peg =
2.375,19 (kN)g (m/s2) = 242,119 ton
mo = Pog =
311,82 (kN)g (m/s2) = 31,927 ton
mágua = 149,71 ton , conforme equção IV.10
Logo, mt = me + mo + mágua = 423,75 ton
mtL = 0,695
tonm
IV.4.1 – Modos de flexão
As freqüências naturais para os três modos de flexão do “riser” rígido foram
obtidas através de:
ωn = n2π2
E I
mt L4 + n π
T1
mt L2 (IV.12)
35
onde:
E = Módulo de elasticidade da estrutura;
I = Momento de inércia;
n = Número do harmônico;
T1= Esforço de tração externa aplicado à cabeça do “riser”;
ωn= freqüência natural; e
mt = Massa total da estrutura por metro linear.
Os valores para os três primeiros modos de vibração à flexão são
apresentados na tabela IV.4
Tabela IV.4 – Freqüências naturais dos modos de flexão do riser
Tração de referência T1
(kN) Formas modais Freqüências naturais (Hz)
1º modo de flexão 0,0413
2º modo de flexão 0,0882 1.536,52
3º modo de flexão 0,1406
IV.4.2 – Modos axiais
A equação para obtenção das freqüências naturais dos modos axiais é
apresentada abaixo, e seus valores, para o “riser” analisado, estão na Tabela IV.5.
ωn(axial) = (2n-1)π
2 EA
mt L2 (IV.13)
onde:
E = Módulo de elasticidade da estrutura;
A = Área da seção transversal do “riser”;
n = Número do harmônico;
ωn(axial)= freqüência natural para os n harmônicos; e
mt = Massa total da estrutura por metro linear.
36
Tabela IV.5 – Freqüências naturais dos modos axiais do riser
Formas modais Freqüências naturais (Hz)
1º modo axial 1,2743
2º modo axial 3,8228
3º modo axial 6,3713
O espectro de freqüência de deslocamento de “heave” da TLP, apresentado na
figura IV.5, foi obtido através da aplicação da transformada rápida de Fourier (FFT) no
sinal da figura IV.2.
Figura IV.5 –Espectro de freqüência do deslocamento de “heave” da TLP.
A densidade espectral do deslocamento de “heave” ocorre em freqüências
distantes da freqüência natural dos modos axiais da estrutura isolada do “riser”
tracionado (vide Figura IV.5 e Tabela IV.5), o que justifica desprezar estes modos
axiais na análise dinâmica do “riser” quando acoplado ao casco da TLP.
Frequência (Hz)
Den
sida
de E
spec
tral (
m)2
s
37
IV.5 – Perfil de corrente
O perfil de corrente utilizado é apresentado na Figura III.2, onde a velocidade
no fundo é igual a zero e no topo igual a 1,68 m/s.
A ação de correntes provoca o desprendimento de vórtices, cuja freqüência
obtida é igual a 0,6311 Hz, distante das freqüências naturais do “riser” apresentadas
naTabela IV.4. Conforme visto na Seção III.5 e equação (III.12), o número de Strauhal
(S) foi tomado igual a 0,21, como na maioria dos casos práticos.
IV. 6 – Resumo das hipóteses adotadas nas análises
Todas as análises foram realizadas sob as seguintes hipóteses:
(i) não é considerada a interação hidroelástica entre “riser” e TLP em
movimento, isto é, as análises são feitas isoladamente;
(ii) portanto as amplitudes de resposta do “riser” com acoplamento do
modo pendular com os modos de flexão resulta dos deslocamentos
impostos na cabeça do “riser”, obtidos na análise isolada da TLP
sob a ação de ondas e correntes, além dessas ações sobre o
próprio “riser” ;
(iii) a cabeça do “riser”, modelado isoladamente, é então submetida a
deslocamentos verticais e transversais simulando o comportamento
do conjunto com o “riser” pendulado em uma TLP;
(iv) os demais deslocamentos angulares (i.e. rotações) da TLP não
foram considerados, já que, os extremos do “riser” são rotulados;
(v) foram consideradas ondas aleatórias simuladas por espectros de
mar cujos parâmetros estão apresentados na Tabela IV.1;
38
(vi) as ondas e correntes têm a mesma direção e a ação da corrente
marinha sobre o “riser” é tomada como estática, exceto na
verificação do efeito de vorticidade;
(vii) o “riser” tem sua extremidade superior rotulada na linha d’água;
(viii) a tração externa aplicada à cabeça do “riser” é variável ao longo do
tempo, devido a ser um somatório da parcela estática (devida ao
peso próprio e empuxo), e uma parcela dinâmica (devida ao
movimento de “heave” da TLP);
(ix) flutuadores não são considerados.
39
CAPÍTULO V
SITEMA DE CONTROLE PASSIVO APLICADO À TLP
V. 1 – Introdução
O objetivo da utilização de sistemas de controle é reduzir ao máximo as
amplitudes dos deslocamentos e, conseqüentemente, das tensões atuantes na
estrutura devido às ações de forças dinâmicas externas (ondas, correntes e vento). O
sistema de controle passivo consiste em dispositivos mecânicos capazes de aplicar
forças de inércia em oposição de fase com o movimento de “heave” da TLP.
O sistema de controle passivo possui custo relativamente baixo de implantação
e, devido a facilidade de execução e instalação pode ser implantado em estruturas já
existentes. A energia necessária para que a atenuação seja iniciada é a própria
energia do movimento da estrutura, excitada por forças externas oriundas das ações
ambientais. Estas são algumas das vantagens deste sistema em comparação a outros
tipos de atenuadores de vibração.
O estudo da dinâmica vertical de sistema de “risers” vem sendo realizado para
a determinação da amplitude de forças dinâmicas e deslocamentos, causados pela
ação de “heave” (deslocamento vertical) da plataforma flutuante.
40
Devido à grande flexibilidade, é necessário mantê-lo sob tração, pois uma
pequena carga de compressão pode leva à flambagem a parede do “riser”.
A ocorrência de grandes variações da força axial dinâmica (tração variável no
tempo) aumenta os danos acumulados por fadiga do material e, conseqüentemente,
reduz a vida útil do “riser”.
A causa dos rompimentos é essencialmente a mesma para todos os “risers”,
ou seja, ela ocorre quando a amplitude de forças dinâmicas excede uma certa fração
da tensão estática.
Resultados mostram que um sistema adequado de compensação de “heave”
(sistema de tracionamento hidráulico), pode reduzir a amplitude de esforços dinâmicos
a valores aceitáveis. Para tal, deve-se manter constante a tensão de tração aplicada
ao “riser” independente da profundidade e condições ambientais.
Neste trabalho é proposto um sistema alternativo, no qual os esforços
dinâmicos serão reduzidos através da utilização de um sistema de controle passivo
acoplado à TLP.
O API (American Petroleum Institute) [13] recomenda que a amplitude máxima
de tensões dinâmicas seja limitada a 15% da tensão estática.
V. 2 – Equação de movimento da TLP sem sistema de controle
Serão aqui apresentadas as equações diferenciais que descrevem, para a
estrutura sem sistema de controle, o movimento hidroelástico de uma plataforma TLP
sob ação das forças ambientais.
Há de se salientar que as deduções e expressões das equações de movimento
(Lagrangeanas) são apresentadas de forma clara por Alves [15]. Neste trabalho serão
expostos apenas os conceitos básicos julgados pertinentes para que o leitor possa
seguir a linha de raciocínio a ser apresentada.
41
Serão apresentadas as equações de movimento de 2ª ordem para os seis
graus de liberdade, conforme mostrado na Figura V.1 (3 translações e 3 rotações).
Figura V.1 – Definição dos 6 graus de liberdade
Equações de Movimento:
m11x..
+ m15θ..
+ m16β..
+ c11x. + c15θ
. + c16β
. + k11x + k15θ + k16β = ƒ1
m22y..
+ m24α..
+ m26β..
+ c22y. + c24α
. + c26β
. + k22y + k24α + k26β = ƒ2
m33z..
+ m34α..
+ m35θ..
+ c33z. + c34α
. + c35θ
. + k33z + k34α + k35θ = ƒ3 (V.2)
m44α..
+m42y..
+m43z..
+m45θ..
+ m46β..
+c44α.+c42y
.+c43z
.+ c45θ
.+c46β
. +k44α+k42y+k43z+k45θ+k46β=ƒ4
m54α..
+m51x..
+m53z..
+m55θ..
+m56β..
+c54α.+c51x
.+c53z
.+c55θ
.+c56β
.+k54α+k51x+k53z+k55θ+k56β=ƒ5
m64α..
+m62y..
+m43x..
+m65θ..
+m66β..
+c64α.+c62y
.+c63x
.+c65θ
.+c66β
.+k64α+ k62y+k63x+k65θ+k66β=ƒ6
As matrizes de massa, amortecimento e rigidez implementadas estão de
acordo com a referência [19]. O vetor das forças externas é constituído pelas forças
devidas às ações de ondas e correntes e ventos atuantes na TLP, conforme discutido
por Alves [15].
Heave(z)
Sway (y) Pitch (θ)
Yaw (β)
Surge (x)
Roll (α)
42
V. 3 – Sistema de controle passivo (SCP) do movimento de “heave” da TLP
A equação de movimento pode ser escrita na forma:
M x..
(t) + C x.(t) + k x(t) = ƒe (t) + ƒA [ x(t) ] (V.1)
Um sistema de controle passivo, conforme diagrama de bloco da Figura.V.2, é
geralmente um mecanismo em que a magnitude da força de controle depende
diretamente das amplitudes de resposta [14].
A força de controle fA (t) gerada pelo sistema auxiliar adicionado à estrutura
depende de x(t) e também das propriedades características do próprio sistema
auxiliar, que são determinadas previamente em função das propriedades dinâmicas da
estrutura e dos níveis desejáveis de redução de vibrações, ou seja, das amplitudes de
resposta do sistema estrutural não-controlado. As propriedades características do SCP
podem depender ainda do tipo de força de excitação, mas não de sua magnitude.
Força de excitação
ƒe (t)
x(t) ƒA [ x(t) ] Resposta
Força de
controle
Figura V.2 – Diagrama de bloco para sistema de controle passivo
Um dos tipos de sistemas dinâmicos de controle passivo mais utilizados para
redução dos níveis de vibrações em estruturas é denominado atenuador de vibração.
Ele consiste em um mecanismo constituído de uma massa, um elemento de mola e
um amortecedor, ligado à estrutura principal na qual se deseja reduzir a amplitude de
deslocamentos.
Estrutura (K,M,C)
Sistema auxiliar
43
Os sistemas passivos de atenuação de energia são indicados como uma das
possíveis medidas corretivas que podem ser utilizadas para a redução dos níveis de
vibração de estruturas civis como passarelas, lajes de prédios comerciais, chaminés,
torres de transmissão, balcões de teatro, ginásios desportivos, estádios, pontes
estaiadas e suspensas, etc.
No caso de atenuador de vibração que consiste em um sistema massa-mola-
amortecedor, a introdução de forças dissipativas, por meio de forças de inércia ou de
amortecimento geradas no próprio sistema auxiliar, altera as propriedades do sistema
estrutural principal.
Para um controle de sistema passivo ser eficiente ele deve ter uma calibração
precisa no que se refere à sua freqüência natural e à sua taxa de amortecimento, para
que as forças de inércia geradas, pelo sistema passivo, se contraponham às forças
que atuam na estrutura principal, fazendo com que o trabalho realizado pelas forças
resultantes distribuídas na estrutura principal seja reduzido. Deste modo, os sistemas
de controle passivo conseguem reduzir os níveis de vibração da estrutura como um
todo, tendo em vista que cada sistema de atenuação atua em um único grau de
liberdade.
O valor da massa auxiliar do sistema de controle passivo deve ser tal que torne
factível a sua utilização. No presente trabalho os valores de massa considerados na
calibração do atenuador ficaram entre 0,05% e 0,80% da massa total da estrutura.
Convém salientar que o valor da massa considerado na análise é o valor total que
deverá ser distribuído pelas quatro colunas onde serão colocados os sistemas de
atenuação, cada um com um quarto do percentual da massa total utilizada como
massa auxiliar.
Nas equações de movimento (Langrangeanas), será introduzido um grau de
liberdade a mais relativo ao atenuador, totalizando sete equações de movimento de 2ª
ordem.
44
m11x..
+ m15θ..
+ m16β..
+ c11x. + c15θ
. + c16β
. + k11x + k15θ + k16β = ƒ1
m22y..
+ m24α..
+ m26β..
+ c22y. + c24α
. + c26β
. + k22y + k24α + k26β = ƒ2 (V.3)
m33z..
+ m34α..
+ m35θ..
+ c33z. + c34α
. + c35θ
. + k33z + k34α + k35θ = ƒ3
m44α..
+m42y..
+m43z..
+m45θ..
+m46β..
+c44α.+c42y
.+c43z
.+c45θ
.+c46β
.+k44α+k42y+k43z+k45θ+k46β=ƒ4
m54α..
+m51x..
+m53z..
+m55θ..
+m56β..
+c54α.+c51x
.+c53z
.+c55θ
.+c56β
.+k54α+k51x+k53z+k55θ+k56β=ƒ5
m64α..
+m62y..
+m43x..
+m65θ..
+m66β..
+c64α.+c62y
.+c63x
.+c65θ
.+c66β
.+k64α+k62y+k63x+k65θ+k66β=ƒ6
Obs: As parcelas emolduradas das equações de movimento referem-se ao atenuador.
V. 4 – Definição da calibração para sistemas de controle passivo
A eficiência de um sistema de controle passivo depende da precisão na sua
calibração, no que se refere à freqüência natural e à taxa de amortecimento utilizado
para o atenuador.
Para a calibração do atenuador são definidas: a massa auxiliar, a taxa de
amortecimento; a freqüência do Atenuador e, conseqüentemente, a rigidez, todos
fornecidos pelas equações (V.4) a (V.7)
Usualmente o sistema atenuador é calibrado obedecendo às seguintes
relações:
µat (%) = Mat m h (V.4) ∴ mat = massa do atenuador
m h = massa de “heave”
(= massa da estrutura)
mabζ..
+ cabζ. + kabζ = - mabz
..
+ cabζ + kabζ
45
ξat = 20% (V.5) ∴ ξat = taxa de amortecimento do
atenuador
(Cat = 2 ξat ωat mat) amortecimento
do atenuador
ωat = 0.9 ω h (V.6) ∴ ωat = freqüência do Atenuador
(rad/s)
ω h = freqüência do “heave” da
plataforma
Kat = ωat2 x mat (V.7) ∴ Kat= rigidez do atenuador
A atuação do atenuador na direção de movimento vertical (“heave”) da TLP é
esquematizada na fig.V.3.
/ / / / / / / / / / / / / / /
Kh C h Z h
MTLP
Zat
Kat Cat ζ = Zat – Z h
Fig. V.3 – Esquema para dois graus de liberdade (deslocamento “heave”+ atenuador)
A eficiência de um sistema de controle passivo depende da precisão na sua
calibração, no que se refere à freqüência natural, à taxa de amortecimento e à massa
utilizada para o atenuador.
Assim sendo, foram propostos vários casos de calibração sendo apresentados
na Tabela V.1 os que proporcionam melhor resultado com uma razão de massa
variável, tal como mostra a Figura V.4.
h → índice para a estrutura(“heave”)
at → índice para o
atenuador ζ → deslocamento relativo
entre a estrutura e oAtenuador
Zh = deslocamento da
estrutura Zat = deslocamento do
atenuador Matenuador
46
Tabela V.1 – Tipos de atenuadores analisados
Tipo de
Atenuador Mat µ (%) ζat ωat = 0,9ωTLP Kat
Tipo 01 1.484,25 0,5 0,200 2,158 6.912,08
Tipo 02 1.187,40 0,4 0,200 2,158 5.529,66
Tipo 03 890,55 0,3 0,.200 2,158 4.147,26
Tipo 04 593,69 0,2 0,200 2,158 2.764,83
Medida como a relação entre as respostas sem controle e com controle
passivo⎝⎛
⎠⎞δef =
xatx0
, a eficiência dos atenuadores é apresentada na Figura V.4 em
função da relação de massa (µ) para o deslocamento de “heave”, analisando-se a
condição de mar – 9.
0,200,250,300,350,400,450,500,550,60
0,00% 0,10% 0,20% 0,30% 0,40% 0,50% 0,60% 0,70% 0,80% 0,90%µ(%)
δef
Figura V.4 – Eficiência dos atenuadores
Observa-se na Figura V.4 que, para valores de µ maiores que 0,50%, a
eficiência na redução da resposta já é em torno de 75%, e para valores de µ maiores
que 0,50% o comportamento assintótico da curva revela que o acréscimo de massa do
sistema atenuador não contribui num aumento significativo de sua eficiência, além de
dificultar, ou até mesmo inviabilizar, sua aplicação prática.
47
CAPÍTULO VI FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NÃO-LINEARES DE MOVIMENTO DO “RISER”
VI. 1 – Introdução
A estrutura do “riser” é considerada como uma viga bi-rotulada e o seu
movimento no mar é naturalmente tridimensional. O fato das ondas e correntes serem
consideradas de mesma direção faz com que o “riser” tenda a fletir nesta mesma
direção, tornando assim o movimento bidimensional.
Vale a pena salientar, conforme já mencionado anteriormente no Capiítulo II,
item II.1.2, que a análise do “riser” é realizada de forma desacoplada à TLP, ou seja,
existe um modelo matemático para análise do “riser” e outro para análise da TLP.
A formulação matemática para obtenção das equações diferenciais acopladas
de movimento associadas aos modos de vibração foram obtidas a partir do Princípio
Variacional de Hamilton.
O Princípio Variacional de Hamilton estabelece que a variação da energia
cinética, TC, e potencial, V, mais a variação do trabalho realizado pelas forças externas
variáveis no tempo, durante o intervalo de tempo entre t1 e t2, deve ser igual a zero.
48
⌡⌠
t1 t2
δ_
( Tc - V ) dt + ⌡⌠
t1 t2
δ_
Wext dt = 0 (VI.1)
Segue no decorrer da tese a abordagem sobre o deslocamento do “riser” e os
pontos chaves, do algebrismo matemático, para obtenção de cada um dos parâmetros
necessários para determinação das equações de movimento.
VI. 2 – Modos naturais de vibração
Os modos axiais de vibração não serão considerados aqui, como já foi citado e
justificado no item IV.4.2.
As funções de forma para os três primeiros modos de flexão (w1, w2, e w3) e um
modo pendular (wθ) foram considerados, conforme ilustram as Figuras VI.1 a VI.4.
Figura VI.1 - Fator de forma relativo ao 1º modo de vibração à flexão
Figura VI.2 - Fator de forma relativo ao 2º modo de vibração à flexão
ψ1(x) = sen ⎝⎛
⎠⎞πx
L (VI.2)
ψ1(x) = sen ⎝⎛
⎠⎞2πx
L (VI.3)
49
Figura VI.3 - Fator de forma relativo ao 3º modo de vibração à flexão
Figura VI.4 - Fator de forma relativo ao modo de vibração pendular
A amplitude do modo pendular provocado pelo movimento “sway” da TLP na
cabeça do “riser” Wθ é conhecida e foi obtida a partir do programa desenvolvido por
Alves [15].
Os deslocamentos vertical, u, e de flexão, W, são escritos da seguinte
forma:
u = uF + uI (VI.6)
W = WF + WI (VI.7)
O deslocamento fundamental, uF , que ocorre quando o “riser” está sob a ação
de uma força axial constante, é dado por :
uF = Ft . x EA (VI.8)
e a solução para os deslocamentos incrementais, uI e WI , por :
ψ1(x) = sen ⎝⎛
⎠⎞3πx
L (VI.4)
θ(x) = xL (VI.5)
50
uI = (x , t) = ∑i=1
3 u i (t) . ζ i (x) (VI.9)
W Ii (x , t) = ∑i=1
3 W i (t) . ψ i (x) + Wθ (t).θ (x) (VI.10)
Onde :
uF = componente vertical do deslocamento fundamental da
estrutura sob tração
Ft = força de tração aplicada ao “riser”
x = distância a partir do fundo
E = módulo de elasticidade da estrutura
A = área da seção transversal do “riser”
uI = componente vertical do deslocamento incremental da
estrutura sob tração
ζ i ( x ) = função de forma para o modo axial
ψ i ( x ) = funções de forma para os modos de flexão
θ ( x ) = função de forma para o modo pendular
W I = componente horizontal do deslocamento incremental
da estrutura
W θ = deslocamento do modo pendular
A componente vertical do deslocamento devido à tração é igual a zero (uI = 0)
pois este esforço tem como objetivo reduzir os efeitos de flambagem, minimizando a
possibilidade do efeito de compressão na estrutura do “riser”, e não objetiva o
deslocamento vertical elástico ou inelástico. Mais adiante se tem a explicação
matemática da anulação desta componente.
Finalmente, substituindo-se as funções de forma (VI.2), (VI.3), (VI.4), (VI.5) em
(VI.10), tem-se W I ( x , t ), sob a forma :
W I (x, t) = Wθ ⎝⎛
⎠⎞ X
L + ⎣⎡
⎦⎤sen ⎝
⎛⎠⎞ πx
L W1 (t) + sen ⎝⎛
⎠⎞2πx
L . W2 (t) + sen ⎝⎛
⎠⎞
3πx L . W3 (t)
(VI.11)
51
VI. 3 – Modelo matemático (Princípio Variacional de Hamilton)
VI. 3.1 – Modelo matemático para energia cinética (TC)
A energia cinética, TC , é composta por dois termos. O primeiro representa a
energia cinética devida ao movimento de translação na direção y. O segundo termo
representa a energia cinética devida à rotações de flexão do “riser” [16] :
Tc = ⌡⌠
0
L µ A2 ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞∂ W
∂ t 2
dx + ⌡⌠
0
L
µ I2 ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞∂ 2 W
∂ t ∂ x 2
dx (VI.12)
Onde :
µ = massa específica do material de que é constituído o “riser”
W = WI ( como foi anteriormente)
Substituindo-se os valores de W I em (IV.12), tem-se :
Tc = ⌡⌠
0
L µ A2 ⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤∂
∂ t ⎝⎛
⎠⎞ W2 sen
π x L + W3 sen
2π x L + W3 sen
3π x L + Wθ
x L
2 dx +
⌡⌠
0
L µ I2 ⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤∂2
∂ t ∂ x ⎝⎛
⎠⎞ W2 sen
π x L + W3 sen
2π x L + W3 sen
3π x L + Wθ
x L
2 dx (VI.13)
Resolvendo-se as respectivas derivadas e integrais da equação (IV.13) tem-se
para a energia cinética do sistema, a seguinte expressão :
Tc = ⎝⎛
⎠⎞µAL
4 + µIπ2
4L W12 + ⎝
⎛⎠⎞µAL
4 + µIπ2
L W22 + ⎝
⎛⎠⎞µAL
4 + 9µIπ2
4L W32
+ ⎝⎛
⎠⎞µAL
6 W θ
(VI.14)
Com já mencionado anteriormente, o modo pendular, W θ , é um termo cujos
valores são conhecidos. Deste modo a expressão para energia cinética reduz-se a :
TC = ⎝⎛
⎠⎞µAL
4 + µIπ2
4L W12 + ⎝
⎛⎠⎞µAL
4 + µIπ2
L W22 + ⎝
⎛⎠⎞µAL
4 + 9µIπ2
4L W32 (VI.15)
52
VI. 3.2 – Modelo matemático para energia potencial (V = Uext + Uf )
A energia de deformação (U) é dada pela equação:
U = 12 ⌡⌠v
σ x . εx dv (VI.16)
Onde :
σ = tensões
ε = deformações
Considerando-se que a estrutura é constituída de material elástico e isotrópico
satisfazendo a Lei de Hooke :
σ X = E . ε X (VI.17)
onde :
σ X = tensões axiais
ε X = deformação específica extensional, ε ext
Substituindo-se (IV.17) em (IV.16), tem-se, para a energia de deformação
extensional :
U = 12 ⌡⌠v
E . εx2 dv (VI.18)
A energia potencial total do sistema é dada por :
V = U ext + U f (VI.19)
Onde :
U ext = energia de deformação elástica extencional
U f = energia de deformação elástica de flexão
53
VI. 3.2.1 – Energia de deformação elástica extencional (Uext)
A deformação extensional pode ser dada aproximadamente por :
εext = ∂ u ∂ x +
1 2 ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
∂ W I
∂ x 2
(VI.20)
Considerando-se ε ext constante ao longo do “riser” , seu valor médio é igual
a :
ε_
ext = 1 L ⌡
⎮⌠
o
L
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
∂ u ∂ x +
1 2 ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
∂ W ∂ x
2 dx (VI.21)
Como já foi visto na Seção VI.2, equações (VI.6) e (VI.7): W F = 0, u = uF + uI e
WI = W, que substituídos em (VI.21), fornecem para ε eXt [18] :
ε_
ext = 1 L
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤
⌡⎮⌠
o
L
∂ uF ∂ x dx +
⌡⎮⌠
o
L
∂ uF ∂ x dx +
1 2 ⌡
⎮⌠
o
L
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
∂ W I
∂ x 2
dx (VI.22)
Substituindo-se (VI.22) em (VI.18), chega-se à seguinte expressão para a
energia potencial extensional :
U ext = E 2
⌡⎮⎮⌠
v
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤
⌡⎮⌠
o
L
∂ uF ∂ x dx +
⌡⎮⌠
o
L
∂ uF ∂ x dx +
1 2 ⌡
⎮⌠
o
L
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
∂ W I
∂ x 2
dx 2
dx (VI.23)
Fazendo-se a integral sobre a área, tem-se que :
U ext = EA 2L2
⌡⎮⎮⌠
0
L
⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤
⌡⎮⌠
o
L
∂ uF ∂ x dx +
⌡⎮⌠
o
L
∂ uF ∂ x dx +
1 2 ⌡
⎮⌠
o
L
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
∂ W I
∂ x 2
dx 2
dx (VI.24)
54
A segunda integral da equação (VI.24) se anula, pois as derivadas das funções
ψi(X) são iguais nos contornos x = 0 e x = L. Sendo assim, a energia potencial
extencional passa a ser :
U ext = E 2
⌡⎮⌠
o
L
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⌡⎮⌠
o
L
∂ uF ∂ x dx +
1 2 ⌡
⎮⌠
o
L
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
∂ W I
∂ x 2
dx 2
dx (VI.25)
Substituindo-se (VI.8) e (VI.11) em (VI.25) , tem-se :
U ext = EA 2L2
⌡⎮⌠
o
L ⎣⎢⎡
⌡⎮⌠
o
L ∂ ∂ x ⎝
⎛⎠⎞Ft x
EA dx +12⌡⎮
⌠o
L
⎣⎢⎡ ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤∂
∂xW1sen⎝⎛
⎠⎞πx
L +⎣⎢⎡
⎦⎥⎤∂
∂x W2sen⎝⎛
⎠⎞2πx
L +
⎭⎪⎬⎪⎫
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤∂
∂ x W3 sen⎝⎛
⎠⎞ 3πx
L + ⎦⎥⎤∂
∂ x Wτ⎝⎛
⎠⎞ x
L 2
dx 2
(VI.26)
A força da tração, Ft, que faz parte de (VI.26), é variável ao longo do
comprimento do “riser”, e obedece a seguinte expressão:
F t = F t (FUNDO) + ( ) F t (TOPO) - F t (FUNDO) x L (VI.27)
e os seguintes valores extremos :
para x = 0, então Ft = Ft (FUNDO)
para x = L, então Ft = Ft (TOPO)
Resolvendo-se separadamente a integral de Ft , ao longo do “riser”, tem-se :
⌡⎮⌠
o
L F t dx = ⌡
⌠o
L ⎣
⎡⎦⎤ F t (FUNDO) + ( ) F t (TOPO) - F t (FUNDO)
x L dx
= L 2 ( ) F t (FUNDO) + F t (TOPO) (VI.28)
Substituindo a equação (VI.28) na equação (VI.26) e resolvendo as derivadas e
os termos elevados ao quadrado, aplicando-se a integral de x=0 a x=L, tem-se a
seguinte expressão para a energia potencial extencional:
55
U ext = Ft
2 . L 2 E A +
π2 8 L ( Ft (FUNDO) + Ft (TOPO)) W1
2 + π2 2 L ( Ft (FUNDO) + Ft (TOPO)) W 22 +
9 π 2 8 L ( ) Ft (FUNDO) + Ft (TOPO) W 32 +
F t 2 L W θ
2 + E A π4
3 2 L 3 W 14 +
E A π4 4L 3 W 12 . W2
2 +
EAπ4
2 L3 W2
4 + 9EAπ4
16 L3 W1
2 W32 +
9EAπ4
4L3 W22 W3
2 + 81EAπ4
32 L3 W
34 +
EAπ2
8 L3 W
12 W θ
2 +
EAπ2 2 L3
W 22 . W θ
2 + 9EAπ2 8 L3
W 32 . W θ
2 + EA 8 L3
W θ4 (VI.29)
VI. 3.2.2 – Energia de deformação elástica de flexão (Uf)
Para o cálculo da energia de deformação elástica de flexão, uf, a deformação
devida à mudança de curvatura é dada por [16] :
εf = - y ∂ 2 W ∂ x 2 (VI.30)
Substituindo-se (VI.30) em (VI.18), e sabendo-se que W = WI , tem-se que :
Uf = E2
⌡⎮⌠
v y2 ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
∂ 2 W I
∂ x 2 2
dv (VI.31)
Fazendo-se a integral sobre a área, chega-se a :
Uf = E I 2
⌡⎮⌠
o
L y2 ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
∂ 2 W I
∂ x 2 2
dx (VI.32)
Substituindo-se (VI.11) em (VI.32), tem-se :
Uf = E2
⌡⎮⌠
o
L
∂ 2
∂ x 2 ⎝⎛
⎠⎞ W1 sen⎝
⎛⎠⎞π x
L + W2 sen⎝⎛
⎠⎞
2π x L + W3 sen⎝
⎛⎠⎞
3π x L + Wθ
x L
2
dx (VI.33)
Deve-se notar que o termo do modo pendular, Wθ, não aparecerá na expressão
final de Uf , já que, Wθ é conhecido, definindo o modo pendular de corpo rígido.
56
Sendo assim, resolvendo-se (VI.33), tem-se para a expressão final da energia
de deformação elástica de flexão :
Uf = E I π4 4 L 3 W1
2 + 4 E I π4
L 3 W22 +
81 E I π4 4 L 3 W3
2 (VI.34)
Agora, então, substituindo-se (VI.29) e (VI.34) em (VI.19), tem-se para a
energia potencial total do sistema a seguinte expressão :
V = U ext + U f
V = Ft
2 L 2EA +
π 2 8L ( ) Ft (FUNDO) + F t (TOPO) ) W 12 +
π 2 2L ( ) Ft (FUNDO) + F t (TOPO) W 22 +
9π 2 8L ( ) Ft (FUNDO) + F t (TOPO) W 32 +
F t 2 L Wθ
2 + E A π4 32 L3 W 14 +
E A π4 4 L 3 W 12 . W 22 +
E A π4 2 L 3 W 24 +
9E A π4 16 L 3 W 12 . W 32 +
9E A π4 4 L 3 W 22 . W 22 +
81E A π4 32 L 3 W 34 +
E A π2 8 L 3 W 12 . W θ
2 + E A π2 2 L 3 W 22 . W θ
2 + 9E A π2
8 L 3 W 32 . W θ2 +
E A 8 L 3 W θ
4 +
E I π4 4 L 3 W 12 +
4E I π4 L 3 W 22 +
81E I π4 4 L 3 W 32 (VI.35)
VI. 3.3 – Modelo matemático para variação do trabalho das forças externas
VI. 3.3.1 – Modelo matemático devido ao trabalho das forças de amortecimento não conservativas
Considera-se que a energia do sistema durante sua resposta dinâmica é
dissipada por amortecimento viscoso, que surge da interação “riser”-fluido.
Essas forças não conservativas são limitadas a um carregamento transversal
distribuído, FA ( x, t ) , e a variação do trabalho executado por este carregamento é
dado por [17] :
δ Wuc, ext = - ⌡⌠0L FA (x , t) . δ W (x , t) dx (VI.36)
57
Onde:
FA (x, t) = força de amortecimento viscoso
W = W I = componente horizontal do deslocamento incremental
Tem-se que FA é definida por :
FA = CA . W I (x, t) (VI.37)
Onde:
CA = coeficiente de amortecimento
W I = velocidade incremental
Substituindo-se (VI.37) em (VI.36), chega-se a:
δ Wuc, ext = - ⌡⌠
0
L
CA W I.
(x , t) δ W I (x , t) dx (VI.38)
Substituindo-se (VI.11) em (VI.38), passa-se a ter :
δWuc, ext = - CA ⌡⎮⌠
0
L
⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
W1
. sen⎝
⎛⎠⎞
πxL +W2
.sen⎝
⎛⎠⎞2πx
L +W3
.sen⎝
⎛⎠⎞3πx
L + Wθ
. xL
δ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
W1 sen ⎝⎛
⎠⎞πx
L + W 2 sen ⎝⎛
⎠⎞2πx
L + W3 sen ⎝⎛
⎠⎞3πx
L + Wθ
.
xL dx (VI.39)
Resolvendo-se (VI.39) e observando-se que W θ é um parâmetro conhecido
em qualquer tempo t, tem-se, para o trabalho realizado pelas forças de amortecimento
não conservativas, a seguinte expressão :
δ Wuc, ext = - ⎝⎛
⎠⎞ CA
L2 W1 δ W1 + CA
L2 W2 δ W2 + CA
L2 W3 δ W3 (VI.40)
58
VI. 3.3.2 – Modelo matemático devido à equação de onda
A força de onda, Fο (x,t), por unidade de comprimento, é dada pela Equação de
Morison, modificada para estruturas flexíveis. O trabalho realizado pelas forças de
onda, é dado por:
δ W ext, onda = - ⌡⌠oL Fo (x , t) δ W I (x , t) dx (VI.41)
Substituindo-se (III.5) e (VI.11) em (VI.40) , e lembrando conforme abordado no
item IV.1 que a cada instante de tempo é feita a divisão do espectro de mar, tem-se
então:
F0(x,t) = ∑n=1
NDE
⎩⎨⎧⌡⎮⌠
o
L ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤CM ρπD2
4 W0..
+ CaρπD2
4 (W0..
- W..
) + 12CdρD(W0
. - W
.) |W0
. - W
. |
+ ⎭⎪⎬⎪⎫
δ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
W1 sen ⎝⎛
⎠⎞πx
L + W 2 sen ⎝⎛
⎠⎞2πx
L + W3 sen ⎝⎛
⎠⎞3πx
L + Wθ
.
xL dx (VI.42)
Substituindo as equações (III.6), (III.7) e (IV.11) em (VI.42), tem-se:
δ W ext, onda = ∑n=1
NDE
⎩⎪⎨⎪⎧
⌡⎮⌠
o
L
⎣⎢⎡
CM ρπ D2
4
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2 π2 Hn
Tn2
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2 π x
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2 π d
λn
sen⎝⎛
⎠⎞-2 π t
Tn +ϕ
+ Caρ πD2
4⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2π2Hn
Tn2
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πx
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn
sen⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪2π2Hn
Tn2
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πx
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn
sen⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn+ϕ - W
..
⎦⎥⎤
+ 12CdρD
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞πHn
Tn
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πx
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn
cos⎝⎛
⎠⎞2πt
Tn+ϕ
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
πHnTn
cosh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πx
λn
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2πd
λn
cos⎝⎛
⎠⎞2πt
Tn+ϕ - W
.
⎭⎪⎬⎪⎫
δ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
W1 sen ⎝⎛
⎠⎞πx
L + W 2 sen ⎝⎛
⎠⎞2πx
L + W3 sen ⎝⎛
⎠⎞3πx
L + Wθ
.
xL dx (VI.43)
59
Resolvendo-se a integral da equação (VI.43) e desprezando os termos onde
δwτ (variação do modo pendular) está presente, pois o mesmo tem valor nulo por ser
um termo conhecido, obtém-se a seguinte expressão para o trabalho da força de onda.
δWext,onda= ∑n=1
NDE
⎩⎪⎨⎪⎧
⎣⎢⎢⎡
CmρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
πL ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πdλn
cos ⎝⎛
⎠⎞
πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
π2
L2
-CaρL D2
4 Wτ
..
+ CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
πL ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞ πd
L - 1 ds1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
π2
L2
- CaρL2
πD2
4 W1
..
+
Ca ρ πD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
πL ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
π2
L2
+
Caρ πD2
42π2Hn
Tn2 sen ⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞πd
L
4π2
λ2n+
π2
L2
- Cd ρ L D ds Wτ
.
2π - Cd ρ L D ds W1
.
2π
-
⎦⎥⎥⎤CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞πd
L ds1
4π2
λ2n +
π2
L2
-
CmρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞πd
L
4π2
λ2n +
π2
L2
δW1
+
⎣⎢⎢⎡
CmρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
2πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
4π2
L2
- CaρL2
πD2
4 W2
..
+ CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
2πd L - 1 ds2
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
4π2
L2
+ Caρ L2
D2
4 Wτ
..
+
CaρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
2πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
4π2
L2
+
CaρπD2
42π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλ sen⎝
⎛⎠⎞2πd
L
4π2
λ2n +
4π2
L2 -
Cd ρ L D ds Wτ
.
4π - Cd ρ L D ds W1
.
2π
60
-
⎦⎥⎥⎤CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn0+ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞2πd
L ds2
4π2
λ2n+
4π2
L2
+
CmρπD2
42π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
2πλ sen⎝
⎛⎠⎞2πd
L
4π2
λ2n+
4π2
L2
δW2
+
⎣⎢⎢⎡
CmρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
3πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
3πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
9π2
L2 - Caρ
L2
πD2
4 W3
..
+ CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn0 +ϕ
3πL ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
3πd L - 1 ds3
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
9π2
L2 -Caρ
L3
D2
4 Wτ
..
-
CaρπD2
42π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞3πd
L
4π2
λ2n+
9π2
L2
- Cd ρ L D ds Wτ
.
6π - Cd ρ L D ds W1
.
2π
+
CaρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
3πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
3πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
9π2
L2
-
⎦⎥⎥⎤
CmρπD2
42π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞3πd
L
4π2
λ2n+
9π2
L2
+CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞3πd
L ds3
4π2
λ2n +
9π2
L2
δW3
(VI.44)
Onde :
Ca = CM - 1.0
CM = coeficiente de inércia
Cd = coeficiente de arrasto
d = lâmina d’água
VI = velocidade da corrente na parte inferior do “riser”
VS = velocidade da corrente na parte superior do “riser”
λ = comprimento de onda
dsi = valor absoluto da velocidade relativa entre o fluido e a estrutura
L = comprimento do “riser”
Wi
.. = aceleração para os três modos
61
Wi
. = velocidade para os três modos
Wi = deslocamento para os três modos
VI. 3.3.3 – Modelo matemático devido à ação estática da corrente marinha
A partir da formulação:
δ Wext,corrente = - ⌡⌠0d Fc (x , t) . δ Wi (x , t) dx (VI.45)
onde:
Fc(x) = 12 Cd ρ D V2
c ; e (VI.46)
W I (x, t) é apresentado pela equação (VI.11)
Substituindo (VI.11) e (VI.46) em (VI.45), obtém-se:
δWext,corrente =- ⌡⌠
0
d12 CdρDV2
c δ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
W1sen ⎝⎛
⎠⎞πx
L + W2 sen⎝⎛
⎠⎞2πx
L +W3sen⎝⎛
⎠⎞3πx
L +Wθ
.
xL dx (VI.47)
De acordo com a Figura III.2, a expressão para velocidade de corrente ao longo
do “riser” é dada por Vc, a partir das condições de contorno aplicadas na equação da
reta. Assim sendo, Vc = Vi + ( )Vs - Vi xd (VI.48)
Resolvendo a integral e lembrando-se de que:
δWθ = 0 (VI.49)
obtém-se para o trabalho realizado pela força de corrente a seguinte expressão:
62
δWext,corrente=-12 Cd ρ D V2
cδW1⎩⎨⎧V2
i Lπ⎝
⎛⎠⎞1-cos⎝
⎛⎠⎞πd
L -L2
dπ2sen⎝⎛
⎠⎞πd
L +2L3
d2π3 ⎝⎛
⎠⎞1-cos ⎝
⎛⎠⎞πd
L -
2VsVi⎝⎜⎛
⎠⎟⎞3L2
dπ2sen⎝⎛
⎠⎞πd
L +⎝⎛
⎠⎞2L3
d2π3-2Lπ cos ⎝
⎛⎠⎞πd
L -2L3
d2π3⎭⎪⎬⎪⎫
V2s⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2L2
dπ2sen⎝⎛
⎠⎞πd
L +⎝⎛
⎠⎞2L3
d2 π3-Lπ cos⎝
⎛⎠⎞πd
L -2L3
d2 π3
- 12 Cd ρ D V2
c δW2 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2
i ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
L2π +cos ⎝
⎛⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2Lπ2d2-L2
4π3d2 -sen ⎝⎛
⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞πL2-L2
4π3d -
2VsVi⎣⎢⎡
⎦⎥⎤sen⎝
⎛⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞L2-2πL2
4π3d -cos⎝⎛
⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞L3-L2
4π3d2 + L3
4π3d2
⎭⎪⎬⎪⎫
V2s ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ -
L2
2dπsen⎝⎛
⎠⎞2πd
L + L3
4π3d2 - ⎝⎛
⎠⎞L3
4π3 - d2L2π cos ⎝
⎛⎠⎞πd
L
- 12 Cd ρ D V2
c δW3 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2
i ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-
L3π +
2L3
27π3d2 +cos ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2L3-9π3d2
27π3d2 -sen ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞−3L2
4π3d -
2VsVi ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ sen ⎝
⎛⎠⎞3πd
L ⎝⎛
⎠⎞-L2
9π3d + cos ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3
27π3d2 + 2L3
27π3d2
⎭⎪⎬⎪⎫
V2s ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ sen ⎝
⎛⎠⎞3πd
L ⎝⎛
⎠⎞-2L2
9π3d + cos ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3
27π3d2 + 2L3
27π3d2 (VI.50)
VI. 4 – Equações diferenciais não-lineares de movimento
O termo TC – V = L da equação VI.1 é conhecido como o Lagrangeano do
sistema. Sendo assim, a equação relativa ao princípio de Hamilton toma a forma
geral:
⌡⌠
t2t1
δ_
L dt + ⌡⌠
t2t1
δ_
W ext dt = 0 (VI.51)
Tendo sido definida cada uma das parcelas da formulação do Princípio
Variacional de Hamilton, resolve-se a integral e obtém-se a equação de Movimento
associada aos três primeiros modos de vibração considerados.
Vale a pena salientar que os termos δW1, δW2 e δW3, que apareceram na
resolução da integral, são arbitrários.
Pode-se fazer δW2 e δW3 nulos, obtendo-se a primeira equação de movimento.
Em seguida faz-se δW1, δW3 nulos e resulta a segunda equação de movimento. E
finalmente, fazendo-se δW1, δW2 nulos obtém-se a terceira equação de movimento.
63
Deste procedimento resultam três equações deferenciais não-lineares acoplada de
movimento.
A equação diferencial de movimento associada ao 1º modo de vibração fica
então sob a seguinte formulação:
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
µAL
2 + µIπ2
2L + CaρL2
πD2
4 W1
.. = - ⎝
⎛⎠⎞ Ca ρ
D2
4 L Wθ
.. - ⎝
⎛⎠⎞1
2 CdρLπD ds4 Wθ
. -
⎝⎛
⎠⎞CA
L2 +
12 Cd ρ
L2 D ds1 W 1
. - ⎣
⎡⎦⎤ π2
4L ( )Ft (FUNDO) + Ft (TOPO) + EAπ2
4L3 Wθ2 +
EIπ4
2L3 W1 -
EAπ4
8L3 W13 -
EIπ4
2L3 W1 W22 -
9EAπ4
8L3 W1 . W3
2 =
+ ∑n=1
NDE
⎩⎪⎨⎪⎧
CmρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
πL ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
π2
L2
+ CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
πL ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
π2
L2
-
⎭⎪⎬⎪⎫CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞πd
L4π2
λ2n +
π2
L2
-
CmρπD2
4 2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞πd
L
4π2
λ2n +
π2
L2
- 12 Cd ρ D V2
c δw1 ⎩⎨⎧ V2
i Lπ ⎝
⎛⎠⎞1-cos ⎝
⎛⎠⎞πd
L -L2
dπ2sen ⎝⎛
⎠⎞πd
L + 2L3
d2π3 ⎝⎛
⎠⎞1-cos ⎝
⎛⎠⎞πd
L -
2VsVi ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
3L2
dπ2sen⎝⎛
⎠⎞πd
L + ⎝⎛
⎠⎞2L3
d2 π3 - 2L
π cos ⎝⎛
⎠⎞πd
L -2L3
d2π3
⎭⎪⎬⎪⎫
V2s ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2L2
dπ2sen⎝⎛
⎠⎞πd
L + ⎝⎛
⎠⎞2L3
d2 π3 - L
π cos ⎝⎛
⎠⎞πd
L - 2L3
d2 π3 (VI.52)
64
A equação diferencial de movimento associada ao 2º modo de vibração é:
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⎝⎛
⎠⎞
µ A L 2 +
2 µ I π2 L + Ca ρ
L 2
π D 2 4 W
..2 = ⎝
⎛⎠⎞ Ca ρ
D2 4
L 2 W
..θ +
⎝⎛
⎠⎞
1 2 C d ρ
L 2 π Dds4 W
.θ - ⎝
⎛⎠⎞ CA
L 2 +
1 2 Cd ρ
L 2 Dds2 W
.2 -
⎣⎡
⎦⎤
π 2 L ( ) F t (FUNDO) + Ft (TOPO) +
E A π2 L 3 W θ
2 + 8E I π4
L3 W 2 - 2 E A π4
L 3 W23
-
E A π4 2 L 3 W 1
2 . W 2 - 9 E A π4
2 L 3 W2 . W3 2 =
+ ∑i=1
NDE
⎩⎪⎨⎪⎧Cmρ
πD2 4
2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
2πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
4π2
L2
+ CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
2πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
4π2
L2
-
⎭⎪⎬⎪⎫
CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn0+ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞2πd
L4π2
λ2n+
4π2
L2
+
CmρπD2
42π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλ sen⎝
⎛⎠⎞2πd
L
4π2
λ2n +
4π2
L2
- 12 Cd ρ D V2
c δw2 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2
i ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
L2π +cos ⎝
⎛⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2Lπ2d2-L2
4π3d2 -sen ⎝⎛
⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞πL2-L2
4π3d -
2VsVi ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ sen ⎝
⎛⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞L2-2πL2
4π3d - cos ⎝⎛
⎠⎞2πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞L3-L2
4π3d2 + L3
4π3d2
⎭⎪⎬⎪⎫
V2s ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ -
L2
2dπsen⎝⎛
⎠⎞2πd
L + L3
4π3d2 - ⎝⎛
⎠⎞L3
4π3 - d2L2π cos ⎝
⎛⎠⎞πd
L (VI.53)
65
A equação diferencial de movimento associada ao 3º modo de vibração é:
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⎝⎛
⎠⎞
µ A L 2 +
2 µ I π2 L + Ca ρ
L 2
π D 2 4 W
..3 = ⎝
⎛⎠⎞ Ca ρ
D2 4
L 3 W
..θ +
⎝⎛
⎠⎞
1 2 C d ρ
L 3 π Dds4 W
.θ - ⎝
⎛⎠⎞ CA
L 2 +
1 2 Cd ρ
L 2 Dds3 W
.3 -
⎣⎡
⎦⎤
9π 2 4L ( ) F t (FUNDO) + Ft (TOPO) +
9E A π2 4L 3 W θ
2 + 81 E I π4
2L3 W 3 - 81E A π4
8L 3 W33
-
9E A π4 8L 3 W 1
2 . W 3 - 9E A π4
8L 3 W3 . W2 2 =
+ ∑i=1
NDE
⎩⎪⎨⎪⎧Cmρ
πD2 4
2π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
3πλn
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
3πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
9π2
L2
+ CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn0 +ϕ
3πL ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
2πd λn
cos ⎝⎛
⎠⎞
3πd L - 1
senh⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ 2πd
λn ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞4π2
λ2n +
9π2
L2
-
⎭⎪⎬⎪⎫Cmρ
πD2
42π2Hn
Tn2 sen⎝
⎛⎠⎞-2πt
Tn+ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞3πd
L
4π2
λ2n+
9π2
L2
+CdρD
πHnTn
cos⎝⎛
⎠⎞-2πt
Tn +ϕ
2πλn
sen⎝⎛
⎠⎞3πd
L
4π2
λ2n +
9π2
L2
- 12 Cd ρ D V2
c δw2 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2
i ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-
L3π +
2L3
27π3d2 +cos ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞2L3-9π3d2
27π3d2 -sen ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞−3L2
4π3d -
2VsVi ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ sen ⎝
⎛⎠⎞3πd
L ⎝⎛
⎠⎞-L2
9π3d + cos ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3
27π3d2 + 2L3
27π3d2
⎭⎪⎬⎪⎫
V2s ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ sen ⎝
⎛⎠⎞3πd
L ⎝⎛
⎠⎞-2L2
9π3d + cos ⎝⎛
⎠⎞3πd
L ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3
27π3d2 + 2L3
27π3d2 (VI.54)
Pode-se observar que as equações de movimento são acopladas em termos
de deslocamentos.
Nas equações anteriores, o termo Caρ L2
πD2
4 representa massa d’água
adicionada, e o termo 12 Cd ρ Ddsi é interpretado como sendo o coeficiente de
amortecimento hidrodinâmico.
66
As equações de movimento aqui apresentadas foram resolvidas
numericamente utilizando-se o algoritmo de Runge-Kutta [18], o qual transforma as n
equações diferenciais de 2ª ordem em 2n equações de 1ª ordem.
Também foi utilizado um processo interativo, considerando-se a velocidade
relativa entre a estrutura (em um determinado ponto) e as partículas de fluido no
movimento da onda (ver equação(IV.6)).
Como ponto de partida desse processo iterativo, considera-se que a velocidade
da estrutura tenha valor inicial nulo.
VI. 5 – Expressões dos deslocamentos, momentos, rotações e tensões atuantes.
VI. 5.1 – Expressão para deslocamento resultante
Os deslocamentos modais num certo tempo t = t_
são representados a seguir,
por W1
_, W2
_, W3
_,. Estes deslocamentos são obtidos por processo iterativo, para cada
modo de vibração. A partir deles pode-se obter a velocidade e aceleração, para este
mesmo tempo t_
.
As expressões para os deslocamentos da estrutura para até três modos de
vibração, variáveis a cada intervalo de tempo, são dadas por :
DESL 1 = W1
_ sen ⎝
⎛⎠⎞
πxL (VI.55)
DESL 2 = W2
_ sen ⎝
⎛⎠⎞
2πxL (VI.56)
DESL 3 = W3
_ sen ⎝
⎛⎠⎞
3πxL (VI.57)
Onde x é uma posição arbitrária ao longo do “riser”, em relação à qual deseja-se saber
o comportamento da estrutura.
67
VI. 5.2 – Expressão para momento fletor
Considerando-se o “riser” como uma viga, o momento fletor é dado por :
M = EI W1 ‘’ , 1 = 1, 2, 3 (VI.58)
onde, Wi‘’, é a segunda derivada dos deslocamentos para os três modos de vibração,
dados por (VI.56), (VI.57), (VI.58), como mostrado a seguir :
W1’’ = - π2
L2 sen ⎝⎛
⎠⎞
πxL . W1
_ (VI.59)
W2’’ = - 4π2
L2 sen ⎝⎛
⎠⎞
2πxL . W2
_ (VI.60)
W3’’ = - 9π2
L2 sen ⎝⎛
⎠⎞
3πxL . W3
_ (VI.61)
Logo, substituindo-se (VI.59), (VI.60), (VI.61) em (VI.58), tem-se as expressões
dos momentos fletores para os tres modos de vibração :
M1 = - EI π2
L2 sen ⎝⎛
⎠⎞
πxL . W1
_ (VI.62)
M2 = - EI 4π2
L2 sen ⎝⎛
⎠⎞
2πxL . W2
_ (VI.63)
M3 = - EI 9π2
L2 sen ⎝⎛
⎠⎞
3πxL . W3
_ (VI.64)
VI. 5.3 – Expressão para tensões atuantes
As tensões atuantes sobre o “riser” são as tensões normais (σx) , causadas
pela força de tração (Ft) e pelo momento fletor (M), e tensões circunferenciais (σY)
causadas pelo diferencial de pressões (externa-interna). As tensões radiais (σZ) não
serão consideradas, devido à pequena espessura da camisa do “riser”, a qual é aqui
considerada estanque.
68
São as seguintes as expressões para as tensões atuantes :
σX = FtA -+
MWR
= σt + σf (VI.65)
σY = p_
. Rmed e (VI.66)
onde,
WR = I
Rext = momento resistente
I = momento de inércia
Rext = raio externo do “riser”
Ft = força de tração
M = momento fletor
A = área da seção transversal do “riser”
p_
= pressão externa, resultante do diferencial de pressão
pex = γa x h ; para p_
= pressão externa hidrostática
γa = peso específico da água do mar
Rmed = raio médio
e = espessura do “riser”
As tensões de flexão, (σF), podem ser obtidas substuindo-se (VI.62), (VI.63),
(VI.64) na segunda parcela da equação (VI.65) (referente às tensões de flexão),
resultando as expressões mostradas a seguir :
σF1 = - E π2
L2 Rext . sen ⎝⎛
⎠⎞πx
L . W1
_ (VI.67)
σF2 = - E 4π2
L2 Rext . sen ⎝⎛
⎠⎞
2πxL . W2
_ (VI.68)
σF3 = - E 9π2
L2 Rext . sen ⎝⎛
⎠⎞
3πxL . W3
_ (VI.69)
A parcela relativa à força de tração é dada por:
69
σt = σest + σdin = FestA +
E δL , (VI.70)
sendo a tensão normal total dada por:
σx = Fconst
A + E δL + ∑
i=1
n
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
E n2π2
L2 Rext . sen ⎝⎛
⎠⎞
nπxL wn (VI.71)
Convém observar que a área foi tomada sempre, em relação à dimensão mais
externa do “riser” (tubo + encamisamento) , já que a tração é aplicada na parte mais
externa.
Para o momento de inércia, I, foi considerado um valor médio, levando-se em
conta todos os tubos que compõem o “riser”.
VI. 5.4 – Estimativa de tensão máxima A estimativa de tensões máximas a partir das respostas aleatórias no tempo
dos sinais de tensão normal foram feitas através da relação [10]:
σmáx = ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ln(N) +
0,2886ln(N)
σrms
O valor médio quadrático (σrms) da tensão normal foi obtido a partir do sinal de tensão
no tempo da fórmula:
σrms = 1N ∑
i=1
n σi
2
Onde:
N = número do pontos do sinal no tempo; e
σ� = tensão normal em cada instante de tempo.
70
CAPÍTULO VII APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
VII. 1 – Introdução
Neste capítulo são apresentadas as análises feitas sobre o comportamento do
“riser” sem sistema de controle e com a implementação de sistema de controle passivo.
A força de onda foi abordado no item III.3 e o desenvolvimento do modelo
matemático encontra-se no item VI.3.3.2. A força de corrente foi abordada no item III.4 e o
desenvolvimento do modelo matemático está no item VI.3.3.3.
A fim de facilitar a análise dos resultados obtidos graficamente, é apresentada a
Tabela VII.1 com as freqüências naturais das estruturas e reapresentada a Tabela IV.1,
que aborda os dados de onda para fadiga, segundo uma abordagem estocástica,
coletados na Bacia de Campos dos Goytacazes.
71
Tabela VII.1 – Freqüência naturais
Estrutura analisada Formas modais Freqüências naturais (Hz)
1º modo axial 1,2743
2º modo axial 3,8228 “riser” (modo axial)
3º modo axial 6,3713
1º modo flexão 0,0413
2º modo flexão 0,0882 “riser” (modo de flexão)
3º modo flexão 0,1406
Direção “heave” 0,3817
Direção “surge” 0,0078 TLP
Direção “sway” 0,0078
Atenuador Direção “heave” 0,3434
Tabela IV.1 – Condições de mar
Condição
de mar
Altura
significativa
Hs- (m)
Período de
cruzamento
em zeroTz -
(s)
Número de
registros no
período de
3 horas
Ocorrência
em 1 ano
medida em
segundos
% de
ocorrência da
onda em 1
ano
1 0,75 5,24 66 712.800 2,26%
2 1,25 5,27 747 8.067.600 25,58%
3 1,75 5,77 1137 12.279.600 38,94%
4 2,25 6,26 572 6.177.600 19,59%
5 2,75 6,89 256 2.764.800 8,77%
6 3,25 7,72 95 1.026.000 3,25%
7 3,75 7,89 23 248.400 0,79%
8 4,25 8,20 19 205.200 0,65%
9 4,75 9,00 5 54.000 0,17%
Total 2.920 31.536.000 100.00%
72
VII.2 – Análise do “Riser” para as condições de mar mais desfavoráveis
Observa-se que na Tabela IV.1, dentre as várias condições de mar adotadas, as
quais caracterizam ação da força de onda, que a mais desfavorável devido à altura
significativa e ao período de cruzamento em zero é a condição de mar – 09, a qual
proporcionará os maiores valores de tensões e deslocamentos.
As ondas consideradas como as mais desfavoráveis para o estudo da vida útil do
“riser” são aquelas que acumulam maiores danos ao processo de fadiga devido ao alto
índice de ocorrência. A de maior índice é a condição de mar – 03.
Visando obter conhecimento sobre o comportamento do “riser”, inicialmente foram
feitas análises mais detalhadas para estas duas condições de mar.
VII.2.1 - Gráficos das tensões de flexão
São apresentados a seguir os gráficos de tensão de flexão para o “riser” sem e
com a adoção do sistema de controle para as condições de mar 03 (Figura VII.1.a) e mar
09 (Figura VII.2.a). Estes gráficos representam os diagramas de variação de tensões de
flexão em certos instantes de tempo t, para os quais estas tensões alcançaram seus
valores máximos ao longo da resposta dinâmica sob a ação destas condições de mar.
Pode-se abservar nestas figuras que, para ambas as condições de mar, a
amplitude de tensão de flexão máxima ocorre numa seção a 3/4 do comprimento do
“riser” (x=457,5 metros). Observa-se também que o sistema de controle praticamente não
tem influência nestas respostas de tensão de flexão, uma vez que este se encontra
acoplado ao movimento de “heave” da TLP, ou seja, é associado ao esforço de tração
aplicado no topo do “riser”.
São apresentados, também, para estes mesmos instantes t, os gráficos de
tensões normais (tensão de tração + tensão de flexão) ao longo do “riser” com e sem
73
sistema de controle para as condições de mar 03 (Figura VII.1.b) e mar 09 (Figura
VII.2.b). Nestas figuras foram reapresentados os gráficos das tensões de flexão
mostrados nas Figuras VII.1.a e VII.2.a, respectivamente, para as condições de mar 03 e
mar 09. Observa-se que, para ambas as condições de mar, a parcela da tensão devida
ao esforço de tração é predominante.
Figura VII.1a – Envoltória da tensão de flexão para condição de mar –03 em t=146,70 s
Figura VII.1b – Envoltória de tensões para a condição de mar – 03 em t = 146,70 s
061122183244305366427488549610
-1.95 -1.80 -1.65 -1.50 -1.35 -1.20 -1.05 -0.90 -0.75 -0.60 -0.45 -0.30 -0.15 0.00Tensão de flexão (MPa)
Com
prim
ento
do
riser
(m)
Tensão de flexão Tensão de flexão atenuada
061
122183244305366427488549610
-4.0 0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0 28.0 32.0 36.0 40.0 44.0 48.0Tensões (MPa)
Com
prim
ento
do
riser
(m) Tensão normal
Tensão de tração Tensão de flexão Tensão normal atenuada Tensão de tração atenuada Tensão de flexão atenuada
Nív
eis
x(m
) do
“ris
er”
Nív
eis
x(m
) do
“ris
er”
1,95 1,80 1,65 1,50 1,35 1,20 1,05 0,90 0,75 0,60 0,45 0,30 0,15 0,00
-4,0 0,0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0
Tensões (MPa)
74
Figura VII.2a – Envoltória da tensão de flexão para condição de mar – 09 em t=58,05 s
Figura VII.2b – Envoltória de tensões para a condição de mar – 09 em t=58,05 s
061
122183244305366427488549610
-2.30 -2.05 -1.80 -1.55 -1.30 -1.05 -0.80 -0.55 -0.30 -0.05 0.20 0.45Tensão de flexão (MPa)
Com
prim
ento
do
riser
(m)
Tensão de flexão Tensão de flexão atenuada
Nív
eis
x(m
) do
“ris
er”
061
122183244305366427488549610
-3.0 0.0 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 18.0 21.0 24.0 27.0 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0Tensões (MPa)
Nív
eis
do r
iser
(m
)
Tensão normal Tensão de tração Tensão de flexão Tensão normal atenuada Tensão de tração atenuada Tensão de flexão atenuada
-2,30 -2,05 -1,80 -1,55 -1,30 -1,05 -0,80 -0,55 -0,30 -0,05 0,20 0,45
-3,0 0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0 33,0 36,0 39,0 42,0 45,0 48,0 51,0 54,0
Tensões (Mpa)
75
VII.2.2 – Envoltória de tensões normais às seções ao longo do “riser”
Inicialmente são apresentadas as envoltórias de tensões dinâmicas (parcela da
tração dinâmica + flexão) para o “riser” sem e com adoção do sistema de controle para as
condições de mar 03 (Figuras VII.3.a e b) e mar 09 (Figuras VII.4.a e b). Os valores das
tensões máximas foram estimados de acordo com o item VI.5.4.
Observa-se, nestas figuras, uma grande redução nas amplitudes da tensão
máxima quando se acopla o sistema de controle ao movimento de “heave” da TLP
(Figuras VII.3.b e VII.4.b), o que provoca a diminuição da parcela de tensão devida à
tração dinâmica.
As Figuras VII.5.(a e b) apresentam, respectivamente, as envoltórias de tensão
total (estática + dinâmica) para as condições de mar 03 e mar 09. Observa-se, nestas
figuras, que, para as condições de mar analisadas, as máximas tensões ocorrem no topo
do “riser”
76
Figura VII.3.a – Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão)
para a condição de mar – 03 sem sistema de atenuação passiva
Figura VII.3.b - Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão) para
a condição de mar – 03 com sistema de atenuação passiva
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
1 .9 6 0 1 .9 7 0 1 .9 8 0 1 .9 9 0 2 .0 0 0 2 .0 1 0 2 .0 2 0 2 .0 3 0 2 .0 4 0 2 .0 5 0
T e n s ã o d e tra ç ã o d in â m ic a + f le xã o (M P a )
Nív
eis
do ri
ser (
m)
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
0 .6 5 0 0 .6 7 5 0 .7 0 0 0 .7 2 5 0 .7 5 0 0 .7 7 5 0 .8 0 0 0 .8 2 5 0 .8 5 0 0 .8 7 5
Te ns ã o d e tra ç ã o d inâ m ic a + fle xã o (M P a )
Nív
eis
do ri
ser (
m)
Nív
eis
x(m
) do
“ris
er”
Nív
eis
x(m
) do
“ris
er”
1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 Tensão de tração dinâmica + flexão (MPa)
0,650 0,675 0,7000 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 Tensão de tração dinâmica + flexão (MPpa)
77
Figura VII.4.a - Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão) para
a condição de mar – 09 sem sistema de atenuação passiva
Figura VII.4.b - Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão)
para a condição de mar – 09 com sistema de atenuação passiva
0
100
200
300
400
500
600
700
9.35 9.4 9.45 9.5 9.55 9.6 9.65 9.7Tensão de traç ão dinâm ic a + flexão (MPa)
Nív
eis
do ri
ser (
m)
0
100
200
300
400
500
600
700
4.05 4.10 4.15 4.20 4.25 4.30 4.35 4.40 4.45 4.50 4.55 4.60Tensão de traç ão dinâm ic a + flexão (MPa)
Nív
eis
do ri
ser (
m)
Nív
eis
x(m
) do
“ris
er”
Nív
eis
x(m
) do
“ris
er”
78
Figura VII.5.a - Envoltória da tensão normal total (parcela tração dinâmica + parcela
tração estática + parcela de flexão) para a condição de mar – 03 com e sem sistema de
atenuação passiva
Figura VII.5.b Envoltória da tensão normal total (parcela tração dinâmica + parcela tração
estática + parcela de flexão) para a condição de mar – 09 com e sem sistema de
atenuação passiva
0
100
200
300
400
500
600
700
0 .00 10.00 20 .00 30.00 40 .00 50.00 60.00
Tensão de tração norm a l (M P a)
Nív
eis
do ri
ser (
m)
C om contro leS em contro le
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
0 .0 0 1 0 .0 0 2 0 .0 0 3 0 .0 0 4 0 .0 0 5 0 .0 0 6 0 .0 0 7 0 .0 0T e n sã o n o r m a l ( M P a )
Nív
eis
x(m
) do
riser
C o m c o n t r o leS e m c o n t r o le
79
VII.2.3 – Espectros de tensões
Nesta seção são apresentados os espectros de tensão obtidos através da
aplicação da Transformada Rápida de Fourier nos sinais de tensão normal x tempo. Aqui
serão feitas as análises em duas seções (x=457,05 metros e x=595 metros) para as
condições de mar 03 e mar 09.
As Figuras VII.6. (a e b) apresentam, respectivamente, os espectros de tensão
para a condição de mar 03 na seção do topo (x=595 metros) para o “riser” sem sistema de
controle e com a adoção do sistema de controle passivo.
Observa-se nestas figuras que, nesta seção do topo do “riser”, os modos de flexão
não são excitados e a estrutura responde na apenas freqüência da excitação, ou seja, na
da tração provocada pelo movimento de “heave” da TLP (vide Tabela VII.1 e Figura IV.5
do item IV.2). Pode-se observar também, nestas figuras, a grande atenuação da resposta
quando se considera a aplicação do sistema de controle.
As Figuras VII.7 (a e b) apresentam os espectros de tensões para a seção x=457,5
metros para a estrutura submetida à mesma condição de mar 03. Nestas figuras notam-
se, além de pico da freqüência de excitação de tração devido ao movimento de “heave”
da TLP, presenças de pico de densidade espectral nas freqüências dos modos naturais
de flexão do “riser” e do movimento “sway” da TLP, (vide Tabela VII.1) já que esta seção
se encontra a ¾ do comprimento do “riser”, onde as tensões devidas à flexão são
máximas e sofrem influência do movimento “sway” da TLP (Figuras VII.1.a e VII.2.a)
Observa-se também uma grande atenuação da resposta da tensão devida ao
movimento de “heave” da TLP (em torno de 0,38 Hz) quando se utiliza o sistema de
controle passivo. Na faixa de freqüência dos demais modos (0,0078 Hz a 0,14 Hz) não
existe atenuação do sinal de resposta, já que o sistema de controle está acoplado apenas
ao movimento de “heave” da TLP.
Para a condição de mar 09 foram feitas análises semelhantes e os espectros de
tensão do “riser” para a seção x=595 metros estão apresentados nas Figuras VII.8.a (sem
sistema de controle) e VII.8.b (com sistema de controle). Nas Figuras VII.9. (a e b) estão
apresentados estes espectros para a seção x=457,5 metros. Comportamento semelhante
80
ao ocorrido para a condição de mar 03 pode ser observado nestas figuras. Para as duas
condições de mar analisadas pode-se observar que a seção mais crítica é a do topo do
“riser” (x=595 metros).
Figura VII.6a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita
a condição de mar 03 sem sistema de controle
Figura VII.6b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita
a condição de mar 03 com sistema de controle
Freqüência (Hz)
Den
sida
de e
spec
tral (
N/m
m2 )2 .
s D
ensi
dade
esp
ectra
l (N
/mm
2 )2 .
s
Freqüência (Hz)
81
Figura VII.7a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m)
sujeita a condição de mar 03 sem sistema de controle
Figura VII.7b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m)
sujeita a condição de mar 03 com sistema de controle
Den
sida
de e
spec
tral (
N/m
m2 )2 .
s D
ensi
dade
esp
ectra
l (N
/mm
2 )2 .
s
Freqüência (Hz)
Freqüência (Hz)
82
Figura VII.8a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita
a condição de mar 09 sem sistema de controle
Figura VII.8b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita
a condição de mar 09 com sistema de controle
Den
sida
de e
spec
tral (
N/m
m2 )2 .
s D
ensi
dade
esp
ectra
l (N
/mm
2 )2 .
s
Freqüência (Hz)
Freqüência (Hz)
83
Figura VII.8a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m)
sujeita a condição de mar 09 sem sistema de controle
Figura VII.8b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m) sujeita a condição de mar 09 com sistema de controle
Den
sida
de e
spec
tral (
N/m
m2 )2 .
s D
ensi
dade
esp
ectra
l (N
/mm
2 )2 .
s
Freqüência (Hz)
Freqüência (Hz)
84
VII.3 – Influência do sistema de controle na vida útil do “riser”
A partir das análises feitas nas seções anteriores, pode-se observar que as
maiores amplitudes de tensões ocorrem no topo do “riser”.
Para cada uma das condições de mar apresentadas na Tabela IV.1, o
comportamento dinâmico do “riser” sem e com a adoção do sistema de controle passivo
será ilustrado para a seção x=595 metros, graficamente através de
(i) resposta do deslocamento do movimento de “heave” x tempo; e
(ii) resposta da tensão normal x tempo.
Estas análises foram executadas para dois casos distintos:
(i) ação isolada da força de onda; e
(ii) ação combinada da força de onda e força de corrente, atuando ambas na
mesma direção e sentido.
As Figuras VII.10(a e b) a VII.18(a e b) apresentam, para as várias condições de
mar para a seção na cabeça do “riser”, as respostas no tempo, em termos das tensões
normais e deslocamentos, obtidos para o “riser” sem e com o efeito do sistema de
controle passivo na TLP. Os resultados apresentados nestas figuras foram obtidos para a
tração de referência T1 = 1536,52 kN e deslocamentos (“heave” e “sway”) impostos na
cabeça do “risers” obtidos das respostas da TLP, tal como apresentados nas Figuras IV.2
e IV.3.
85
Figura VII.10a – Variação da tensão normal para condição de mar – 01 na parede externa
do “riser” na seção da (cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.10b – Variação do deslocamento vertical na cabeça do “riser” (x=595 metros)
para condição de mar – 01. amplitude máxima em t =121,95 segundos
-0.0033-0.0030-0.0027-0.0024-0.0021-0.0018-0.0015-0.0012-0.0009-0.0006-0.00030.00000.00030.00060.00090.00120.00150.00180.00210.0024
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima0.0023 m0.0008 m
0,00240,00210,00180,00150,00090,00060,00030,0000
-0,0003-0,0006-0,0009-0,0012-0,0015-0,0018-0,0021-0,0024-0,0027-0,0030
Des
loca
men
to v
ertic
al (m
)
45,95
46,20
46,45
46,70
46,95
47,20
47,45
47,70
47,95
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controlecom controle
i
Amplitude máxima:0.79MP0.24MP
86
Figura VII.11a – Variação da tensão normal para condição de mar – 02 na parede externa
do “riser” na seção (cabeça do “riser”) x=595m)
Figura VII.11b – Variação do deslocamento vertical na cabeça do “riser” (x=595 metros)
para condição de mar – 02. amplitude máxima em t = 121,98 segundos.
45,50
45,90
46,30
46,70
47,10
47,50
47,90
48,30
48,70
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
pa)
sem controlecom controle
Amplitude máxima:1.32 MPa0.40 MPa
-0.0045-0.0040-0.0035-0.0030-0.0025-0.0020-0.0015-0.0010-0.00050.00000.00050.00100.00150.00200.00250.00300.00350.0040
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo ( seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.0038 m0.0012 m
0,00400,00350,00300,00250,00200,00150,00100,00050,0000
-0,0005-0,0010-0,0015-0,0020-0,0025-0,0030-0,0035-0,0040-0,0045
Des
loca
men
to v
ertic
al (m
)
87
Figura VII.12a – Variação da tensão normal para condição de mar – 03 na parede externa
do “riser” na seção da (cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.12b – Variação do deslocamento vertical na cabeça do “riser” (x=595 metros)
para condição de mar – 03. amplitude máxima em t =121,95 segundos.
-0.007-0.006-0.005-0.004-0.003-0.002-0.0010.0000.0010.0020.0030.0040.0050.006
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.0053 m0.0017 m
0,0060,0050,0040,0020,0010,000
-0,001-0,002-0,003-0,004-0,005-0,006-0,007
Des
loca
men
to v
ertic
al (m
)
44,5045,0045,5046,0046,5047,0047,5048,0048,5049,0049,50
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controlecom controle
i
Amplitude máxima:1.91 MPa0.57 MPa
88
Figura VII.13a – Variação da tensão normal para condição de mar – 04 na parede externa
do “riser” na seção da (cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.13b – Variação do deslocamento vertical na cabeça do “riser” (x=595 metros)
para condição de mar – 04. amplitude máxima em t = 121,95 segundos.
44,00
45,00
46,00
47,00
48,00
49,00
50,00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:2.63MPa0.92 MPa
-0.007-0.006-0.005-0.004-0.003-0.002-0.0010.0000.0010.0020.0030.0040.0050.006
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.0053 m0.0017 m
0,0060,0050,0040,0020,0010,000
-0,001-0,002-0,003-0,004-0,005-0,006-0,007
Des
loca
men
to v
ertic
al (m
)
89
Figura VII.14a – Variação da tensão normal para condição de mar – 05 na parede externa
do “riser” na seção da (cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.14b – Variação do deslocamento vertical na cabeça do “riser” (x=595 metros) para condição de mar – 05. amplitude máxima em t = 121,92 segundos.
43,00
44,00
45,00
46,00
47,00
48,00
49,00
50,00
51,00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:3.69 MPa1.44 MPa
-0.008-0.007-0.006-0.005-0.004-0.003-0.002-0.0010.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.0076 m0.0017 m
0,0070,0060,0050,0040,0020,0010,000
-0,001-0,002-0,003-0,004-0,005-0,006-0,007-0,008
Des
loca
men
to v
ertic
al (m
)
90
Figura VII.15a – Variação da Tensão Normal para Condição de Mar – 06 na Parede
Externa do “riser” na seção da (Cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.15b – Variação do Deslocamento Vertical na Cabeça do “riser” (x=595
metros) para Condição de Mar – 06. Amplitude máxima em t =
175,80 segundos.
-0.012-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0000.0020.0040.0060.0080.0100.012
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.0110 m0.0039 m
0,0120,0100,0080,0060,0040,0020,000
-0,002-0,004-0,006-0,008-0,010-0,012
Des
loca
men
to v
ertic
al(m
)
40,0041,0042,0043,0044,0045,0046,0047,0048,0049,0050,0051,0052,00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo( )
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controlecom controle
i
Amplitude máxima:5.22MP2.36MP
91
Figura VII.16a – Variação da Tensão Normal para Condição de Mar – 07 na Parede
Externa do “riser” na seção da (Cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.16b – Variação do Deslocamento Vertical na Cabeça do “riser” (x=595
metros) para Condição de Mar – 07. Amplitude máxima em t =
175,80 segundos.
-0.017-0.015-0.013-0.011-0.009-0.007-0.005-0.003-0.0010.0010.0030.0050.0070.0090.0110.0130.0150.017
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.016 m0.006 m
0,0170,0150,0130,0090,0070,0050,0030,001
-0,001-0,003-0,005-0,007-0,009-0,011-0,013-0,015-0,017
Des
loca
men
to v
ertic
al(m
)
39.0040.5042.0043.5045.0046.5048.0049.5051.0052.5054.00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controlecom controle pessivo
Aplitudes máximas:6.24 MPa3.86 MPa
54,0
52,5
51,0
49,5
48,0
46,5
45,0
43,5
42,0
40,5
39,0
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
92
Figura VII.17a – Variação da Tensão Normal para Condição de Mar – 08 na Parede
Externa do “riser” na seção da (Cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.17b – Variação do Deslocamento Vertical na Cabeça do “riser” (x=595
metros) para Condição de Mar – 08. Amplitude máxima em t =
175,80 segundos.
-0.027-0.024-0.021-0.018-0.015-0.012-0.009-0.006-0.0030.0000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to d
ireçã
o H
EA
VE
(m)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.0235 m0.0100 m
0,0270,0240,0210,0180,0150,0120,0090,0060,0030,000
-0,003-0,006-0,009-0,012-0,015-0,018-0,021-0,024-0,027
Des
loca
men
to v
ertic
al(m
)
36.0037.5039.0040.5042.0043.5045.0046.5048.0049.5051.0052.5054.00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controlecom controle passivo
Amplitudes máximas:7.83 MPa3.46 MPa
54,0
52,5
51,0
49,5
48,0
46,5
45,0
43,5
42,0
40,5
39,0
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
93
Figura VII.18a – Variação da Tensão Normal para Condição de Mar – 09 na Parede
Externa do “riser” na seção da (Cabeça do “riser”) x=595m
Figura VII.18b – Variação do Deslocamento Vertical na Cabeça do “riser” (x=595
metros) para Condição de Mar – 09. Amplitude máxima em t =
176,00 segundos.
30.0033.0036.0039.0042.0045.0048.0051.0054.0057.00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400
Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al(M
Pa)
sem controlecom controle passivo
Amplitudes máximas:9.41 MPa4.29 MPa
57,0
54,0
48,0
45,0
42,0
39,0
36,0
33,0
30,0
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
-0.036-0.030-0.024-0.018-0.012-0.0060.0000.0060.0120.0180.0240.030
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)
Des
loca
men
to v
ertic
al (m
)
sem controlecom controle passivo
Amplitude máxima:0.0291 m0.0142 m
0,0300,0240,0180,0120,0060,000
-0,006-0,012-0,018-0,024-0,030-0,036
Des
loca
men
to v
ertic
al (m
)
94
A Tabela VII.2 apresenta as amplitudes máximas de tensões dinâmica obtidas
da análise dos gráficos das Figuras VII.10a à VII.18a. Conforme exposto no item V.1, o
API (American Petroleum Institute) [14] recomenda que a amplitude máxima de
tensões dinâmicas seja limitada a 15% da tensão estática.
Observa-se na Tabela que o “riser” sem sistema de controle, para as condições
de mar 08 e mar 09, não obedece a recomendação da API, uma vez que, sendo o
valor da parcela de tensão estática de 47,10 MPa, as parcelas dinâmicas relativas à
tensão de tração não podem exceder o valor de 7,07 MPa. Os valores das tensões
dinâmicas para estas duas condições de mar foram respectivamente de 7,83 MPa e
9,41 MPa. Com a utilização do sistema de atenuação passiva, esses valores são
reduzidos respectivamente para 3,46 MPa e 4,29 MPa, apresentando uma atenuação
em torno de 55% em ambos os casos, e atendendo as recomendações da API.
Tabela VII.2 – Amplitudes máximas de tensões dinâmicas
Amplitude dinâmica - MPa Condição
de mar sem controle com controle
mar - 01 0,79 0,24
mar - 02 1,32 0,40
mar - 03 1,91 0,57
mar - 04 2,63 0,92
mar - 05 3,69 1,44
mar - 06 5,22 2,36
mar - 07 6,24 3,86
mar - 08 7,83 3,46
mar - 09 9,41 4,29
A Tabela VII.3 apresenta, para cada condição de mar considerada, as quais
caracterizam cada ação de onda, o percentual de redução da amplitude máxima do
deslocamento do movimento de “heave” e redução da amplitude máxima da tensão de
tração à qual o “riser” rígido está submetido. Ambos obtidos com a aplicação do
sistema atenuador passivo.
A onda mais desfavorável, segundo a altura significativa (Hs) e o período de
cruzamento em zero (Tz), de acordo com a Tabela VII.1, é caracterizada pela condição
95
de mar 09. Ela apresenta freqüência de ocorrência de 0,17%, a mais baixa de todos os
registros, que por ser muito pequena não apresenta grande influência no estudo de
acúmulo de danos causadores do processo de fadiga. Mesmo assim teve bom
percentual de redução, com 54,41% para as tensões de tração às quais o “riser” é
submetido, e de 51,35% no deslocamento do movimento de “heave”
As ondas consideradas como as mais desfavoráveis para o estudo da vida útil
do “riser” são aquelas que acumularam maiores danos ao processo de fadiga devido
ao alto índice de ocorrência. Estas são caracterizadas pelas condições de mar 03, mar
02 e mar 04 (vide Tabela VII.1), cujas freqüências de ocorrência são respectivamente
de 38,94%, 25,58% e 19,59%, totalizando 84,11% da ocorrência de onda no período
de um ano.
Estas mesmas condições de mar apresentaram as maiores reduções
percentuais na amplitude da tensão de tração e amplitude do deslocamento do
movimento de “heave”. Para a tração obteve-se redução de 70,16% para o mar 03 e
69,70% para o mar 02 e 65,02% para o mar 04. Para o movimento de “heave”
reduções de 67,92%, 67,92% e 68,42%, respectivamente para as condições de mar
04, mar 03 e mar 02.
As ondas de maior freqüência de ocorrência e que são as que mais influenciam
no acúmulo de danos à fadiga da estrutura, possuem alto índice de redução na
amplitude de tensões, conforme analisado anteriormente. Este fato é extremamente
favorável ao aumento da vida útil do “riser” rígido.
Outra grande redução do nível de tensão de tração foi obtida para a condição
de mar 01, com 69,62%, mas sua influência não é significativa devido à sua freqüência
de ocorrência ser baixa, 2,26%.
96
Tabela VII.3 – Redução percentual dos deslocamentos e tensões com a
adoção do sistema de atenuação passiva.
Redução Condição
de mar
% de ocorrência da
onda em 1 ano Tensões Deslocamento
mar - 01 2,26% 69,62% 65,22%
mar - 02 25,58% 69,70% 68,42%
mar - 03 38,94% 70,16% 67,92%
mar - 04 19,59% 65,02% 67,92%
mar - 05 8,77% 60,98% 65,55%
mar - 06 3,25% 54,79% 62,50%
mar - 07 0,79% 54,20% 63,16%
mar - 08 0,65% 55,81% 58,33%
mar - 09 0,17% 54,41% 51,35%
Minimizando o nível de tensões dinâmicas e suas variações, conforme os
gráficos de Tensão x Tempo (Figuras VII.10a a VII.18a) nos diversos tipos de mares
adotados, aumenta-se a vida útil do “riser”, pois a redução substancial da diferença
entre as tensões máximas e mínimas retarda o processo de acúmulo de danos à
fadiga.
A Figura VII.19 (a e b) apresenta ampliação na escala do tempo,
respectivamente das respostas das Figuras VII.12a e VII.18a. Observa-se que com a
presença do sistema de controle passivo, embora provoque uma pequena alteração
no período da resposta, não é significativa a alteração do número de ciclos de tensão
e, conseqüentemente, tem pequena influência na vida útil do “riser”.
97
Figura VII.19.a – Ampliação da escala do tempo da resposta tensão de tração x tempo
para a condição de mar – 09
Figura VII.19.b – Ampliação da escala do tempo da resposta tensão de tração x tempo
para a condição de mar – 03
Com relação à ação combinada da força de onda e força de corrente, atuando
ambas na mesma direção e sentido, as Figuras VII.20 (a e b) apresentam
respectivamente os gráficos da variação da amplitude de tensão normal ao longo do
tempo com a condição de mar 09, sem o efeito da corrente (a) e com o efeito da
corrente (b), para o ponto na cabeça do “riser” (x=595m), com e sem o adoção do
36.00
39.00
42.00
45.00
48.00
51.00
54.00
57.00
130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195Tempo (seg)
Tens
ão d
e tra
ção
(MP
a)
sem controle com controle passivo
45.0045.5046.0046.5047.0047.5048.0048.5049.0049.50
95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al (M
Pa)
sem controle com controle passivo
98
sistema de atenuação passiva. Esta condição de mar foi escolhida por ser a mais
desfavorável em relação às tensões de flexão.
Figura VII.20.a – Variação da amplitude da tensão normal para o ponto na cabeça
(x=595m) do “riser” SEM o efeito da corrente
Figura VII.20.b – Variação da amplitude da tensão normal para o ponto na cabeça
(x=595m) do “riser” COM o efeito da corrente
Observa-se nestas Figuras que a consideração da corrente para as condições
de mar adotadas não possuem influência significativa na variação da tensão normal,
visto que a parcela de contribuição da tensão de flexão é muito pequena.
36.0038.0040.0042.0044.0046.0048.0050.0052.0054.0056.0058.00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400
Tempo (seg)
Tens
ão N
orm
al(M
Pa)
sem controle (595m) com controle passivo (595m)
36.0038.0040.0042.0044.0046.0048.0050.0052.0054.0056.0058.00
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (s)
Tens
ão n
orm
al (M
Pa)
Sem controleCom controle
99
Capítulo VIII
CONCLUSÕES E SUGESTÕES. VIII.1 - Conclusões
A execução do modelo matemático do riser desacoplado da plataforma TLP,
com apenas os três primeiros modos de flexão, mostrou-se adequada para a análise
dinâmica, visto que os três primeiros modos axiais foram desprezados do modelo
devido estarem fora da faixa espectral de excitação.
A utilização de dispositivos de controle passivo é solução viável para a
atenuação das amplitudes verticais (“heave”) de uma plataforma TLP, e
conseqüentemente das tensões nos “risers” a ela acoplados. Pode-se destacar alguns
aspectos relevantes decorrentes da utilização destes dispositivos.
1. A aplicação de sistemas de controle para a atenuação das amplitudes de
“heave” em plataformas é mais eficiente do que tentar atenuar tensões no
“riser” isoladamente. Controlando-se o movimento de “heave” na TLP
controlam-se as variações de tensões nos “risers” e também nos tendões e
suas ancoragens, minimizando os problemas de fadiga, aumentando a vida útil
destes componentes.
100
2. Nota-se excelente redução dos níveis de tensão e deslocamento do elemento
“riser”, fazendo com que o mesmo passe a obedecer às recomendações
internacionais da API [13] a partir da adoção do sistema de atenuação passiva.
3. O sistema de controle é realizado por sistemas mecânicos robustos que não
necessitam de fonte de energia.
VIII.2 - Sugestões para extensão do trabalho
1. A análise dinâmica, considerando o acoplamento total entre a TLP, seus
tendões e “risers” e estimativa da vida útil à fadiga destes últimos
componentes.
2. A validação do modelo matemático através de ensaios experimentais de
modelos reduzidos com dispositivos de controle passivo e ativo;
3. A extensão das análises anteriores para considerar o efeito de um grupo de
“risers”.
4. O estudo da redução dos níveis de variação das tensões de tração,
considerando a utilização de controle ativo.
101
Referências Bibliograficas
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Operation of Marine Drilling Risers Systems, RP-2Q, 1982.
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vibração em estruturas, COPPE/UFRJ, 1993.
[15] ALVES, R. M., Controle dinâmico ótimo do movimento vertical de plataformas
offshore do tipo TLP, Tese COPPE UFRJ D.Sc., 1997
[16] CARVALHO, E. M. L., Um modelo teórico simplificado para análise do
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Engineers – SNAME Transaction, v. 79, pp 28-70, 1971.
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