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Matemática Discreta
AV2
REVISÃO
1 - Princípio Fundamental da Contagem1 - Princípio Fundamental da Contagem
SUMÁRIO:
Matemática Discreta
AULA 2
CONJUNTOS CONTÁVEIS E NÃO CONTÁVEIS / CONTAGEM
Matemática Discreta
Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Matemática Discreta
Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Matemática Discreta
Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Matemática Discreta
Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Matemática Discreta
Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Matemática Discreta
Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Matemática Discreta
Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
1. A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos. Quantos desses números de quatro dígitos existem.
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
O primeiro dígito pode ser qualquer um entre 0 a 9, de modo que há 10 possibilidades para a primeira tarefa.
Da mesma forma, existem 10 possibilidades para o segundo dígito, 10 para o terceiro dígito e 10 para o quarto dígito.Portanto, pelo princípio da multiplicação:
10 x 10 x 10 x 10 = 10.000
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
2. A última parte do seu número de telefone conte, quatro dígitos. Quantos desses números existem se um mesmo número não puder ser repetido.
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Não podemos ter repetições.
Temos 10 possibilidades para o primeiro, 9 para o segundo, 8 para o terceiro e 7 para o quarto.
Portanto: 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
3. Na linguagem de programação BASIC original, um identificador tem que ser uma única letra ou uma letra seguida de um único dígito. Quantos identificadorespodem ser formados?
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Tarefa 1: Escolher uma letra para o identificador
Total de possibilidades de escolha de uma letra = 26
Tarefa 2: Escolher uma letra e um dígito para o identificador usando o Princípio da Multiplicação onde:O Total de possibilidades de escolha de uma letra seguida de um dígito = 26. 10
Como a tarefa 1 e a tarefa 2 são procedimentos disjuntos (“ou”), pelo Princípio da Adição, temos que:
Total de identificadores que podem ser formados = 26 + 26 . 10 = 286.
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
4. Uma senha de usuário para acessar um sistema computacional consiste em três letras seguidas de dois dígitos. Quantas senhas diferentes existem?
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Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
Tarefas 1, 2 e 3 – Escolher uma letra para a senha.Tarefas 4 e 5 – Escolher um dígito para a senhaSeja o esquema
L1 L2 L3 D1 D2 Posição L1 – 26 possibilidadesPosição L2 - 26 possibilidadesPosição L3 - 26 possibilidades
Posição D1 – 10 possibilidadesPosição D2 – 10 possibilidadesPelo Princípio da Multiplicação o total de senhas = 26 . 26. 26. 10 . 10 = 263. 10
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AULA 3
ANÁLISE COMBINATÓRIA E TEOREMA BINOMIAL
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
fatorial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
P P
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
I
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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!
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
1)Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20 lugares desocupados. De quantas maneiras elas poderão se acomodar?
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
27.907.20015.16.17.18.19.20!14
!14.15.16.17.18.19.20
)!620(
!20620
A
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
2) Encontre o número de palavras de três letras, com letras distintas, que podem ser formadas com as letras a, b, c, d, e e f.
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Neste caso a ordem das letras faz diferença, logo o número de palavras é dado por:
1204.5.6!3
!3.4.5.6
)!36(
!636
A
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
3) Uma anfitriã deseja convidar 6 pessoas para jantar de uma lista de 14 amigos. De quantas maneiras ela pode escolher seus convidados?
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Possibilidades de escolhas de 6 entre 14 convidados:A ordem de escolha não interessa, portanto:
003.36
14
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
4) Quantas saladas de frutas diferentes, podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
Total de saladas de frutas =
565
8
saladas
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5) (F.C. CHAGAS) A sentença
102
n
n
é verdadeira se, e somente se, n! for igual a?
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!!.2
!)1)(2(2
n
nnn
n
n
= 10 (n +1) (n +2) = 20 n2 + 3n -18 = 0
(n + 6) (n - 3) = 0 n= -6 (não serve) ou n = 3 (serve)
3! = 3.2.1= 6
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EXERCÍCIO 6:
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
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AULA 6
FUNÇÕES
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Funções Compostas
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Funções Compostas
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Funções Compostas
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Funções Compostas
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Funções Compostas
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Função Inversa
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Função Afim
e (b ϵ R)
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Função Afim
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Função Afim
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Função Afim
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Função Afim
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Função Afim
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Função Afim
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Função - Gráficos
≠ 0 é
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Função - Gráficos
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Função - Gráficos
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Função – Variação do sinal da Função
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Função – Variação do sinal da Função
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Função – Variação do sinal da Função
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Função – Variação do sinal da Função
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Função – Variação do sinal da Função
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Função – Variação do sinal da Função
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1) Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês.
a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas).
b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20 000,00?
c) O que representa o coeficiente linear dessa equação?
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas).
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b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20 000,00?
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Análise Combinatória e Teorema Binomial
c) O que representa o coeficiente linear dessa equação?
R: Parte fixa do salário
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2) Numa certa cidade operam duas empresas de táxis.
A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e
por quilômetro rodado R$ 3,00 enquanto que a
empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$
4,00. Pede-se:
a) as funções de cada empresa e
b) o gráfico comparativo entre elas.
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a) funções de cada empresa
xxFxxE 4)(36)(
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b) o gráfico comparativo entre elas.
E(x) e F(x) são crescentes
E(x) > 0 se x> -2E(x) < 0 se x< -2
F(x) > 0 se x > 0F(x) < 0 se x < 0
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xxFxxE 4)(36)(
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AULA 7
TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES NO PLANO CARTESIANO
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
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Função Quadrática e sua representação gráfica
1) Em cada um dos itens abaixo, ache o vértice. Classifique o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada.
a)
b) y = 2x2 – x – 1.
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Função Quadrática e sua representação gráfica
(a)O vértice da parábola é:
V (-b/2a, -Δ/4a) logo:
Δ = b2 – 4ac = 64 - 4.1.9 = 64 – 36 = 28
V = (-8/2, -28/4) = (-4, -7)
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(b) O vértice da parábola é:
V (-b/2a, -Δ/4a) logo:
Δ = b2 – 4ac = 1 - 4.(2).(-1) = 9
V = (1/4, -9/8)
y = 2x2 – x – 1
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Função Quadrática e sua representação gráfica
2) Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.
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Função Quadrática e sua representação gráfica
2) Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.
Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.
∆ ≥ 0b² – 4ac ≥ 0(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 04 – 4 * (6m – 12) ≥ 04 – 24m + 48 ≥ 0– 24m ≥ – 48 – 4– 24m ≥ – 5224m ≤ 52m ≤ 52/24m ≤ 13/6O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6.
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Função Quadrática e sua representação gráfica
3) A água que sai de um esguicho percorre uma trajetória parabólica que pode ser descrita por:3x2 + 20x.Sabendo-se que f(x) é a altura em metros, determine a altura máxima atingida pelo esguicho.
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Função Quadrática e sua representação gráfica
F(x) = -3x2 + 20x
V (-b/2a, -Δ/4a) logo:
Δ = b2 – 4ac = 400 - 4.(-3).(0) = 20
V = (-20/-6, -400/-12) = (20/6, 400/12)
A altura máxima será o Y do vértice:
400/12 = 33,33 metros
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