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Series de Tempo
Jose Fajardo
Fundacao Getulio Vargas-EBAPE
Setembro 2011
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 1 / 61
Motivacao
A serie temporal nao estacionaria nao pode ser estimda trivialmente.
Problema: e impossıvel estimar todos os momentos da serie e fazerinferencias estatısticas.
A variancia nao condicional de um AR (1) e:
var (yt) =1
1− φ2.
Se φ = 1, o que caracteriza uma serie nao estacionaria de raiz unitaria,entao a variancia explode.
Solucao: diferenciar a serie tantas vezes quantas sejam necessariaspara estacionariza-la.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 2 / 61
TENDENCIA ESTACIONARIA
Suponha o seguinte modelo:
yt = y0 + δt + ψ (L) εt .
Tal modelo e chamado de tendencia estacionaria, porque flutua emtorno de uma tendencia determinıstica.A serie tambem poderia ser estacionarizada pela primeira diferenca, isto e:
4yt ≡ (1− L) yt = yt − yt−1 = δ + (1− L)ψ (L) εt .
Essa diferenciacao estacionariza a serie, entretanto introduz ruıdo portornar o erro nao invertıvel.Logo, se uma serie e tendencia estacionaria, e melhor estima-la usando avariavel explicativa t.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 3 / 61
TENDENCIA ESTOCASTICA
Considere outra possibilidade:
4yt = δ + εt =⇒ yt = yt−1 + δ + εt .
Compondo recursivamente yt , obtem-se:
yt = y0 + δt +t
∑i=1
εi .
A variavel aleatoria yt e dada pela composicao de todos os choqueshavidos, ∑t
i=1 εi .Define-se tal serie como sendo tendencia estocastica ou diferencaestacionaria.Os choques produzem mudancas permanentes na serie yt , ainda quealeatorias.Series, cuja tendencia e estocastica, sao series integradas e denotadaspor I (d), em que d e a ordem de integracao. Series integradas com errosestacionarios sao chamadas de series ARIMA (p, d , q). Diferenciando dvezes a serie, obtem-se uma serie estacionaria.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 4 / 61
Tendencia estocastica pura
No caso I (1) com δ = 0, define-se o passeio aleatorio ou tendenciaestocastica pura pela equacao:
yt = yt−1 + εt .
A previsao condicional H passos a frente e dada pela observacao atual,isto e:
Et (yt+H) = yt +H
∑h=1
Et (εt+h) = yt .
A covariancia e dependente do tempo:
Var (yt) = Var
(t
∑i=1
εi
)= tσ2;
Cov (yt , yt−j ) = E
(t
∑i=1
εi
)(t−j
∑s=1
εs
)= (t − j) σ2.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 5 / 61
Tendencia estocastica pura
Divide-se a covariancia pelo produto do desvio padrao em t e t − j :
ρj =(t − j) σ2
√tσ√(t − j)σ
=
√t − j
t=
√1− j
t.
Remark
Num processo nao estacionario, a autocorrelacao demora a cair, pois jt se
reduz lentamente.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 6 / 61
Tendencia estocastica com drift
Ao adicionar um drift ao modelo, encontra-se o passeio aleatorio comdrift:
yt = yt−1 + δ + εt =
= y0 + δt +t
∑i=1
εi .
Nesse caso, o comportamento de yt depende de um componentedeterminıstico e de outro estocastico. A previsao H passos a frente e:
Et (yt+H) = yt + δH +H
∑h=1
Et (εt+h) = yt + δH.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 7 / 61
Tendencia estocastica com drift e ruıdo
E possıvel generalizar o modelo de passeio aleatorio adicionando um ruıdoa ele. E o passeio aleatorio com ruıdo:
yt = y0 +t
∑i=1
εi + ηt ,
em que{ηt} e um ruıdo branco;εt ⊥ ηt−j .
Pode-se, com isso, encontrar que:
4yt = εt +4ηt .
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 8 / 61
Tendencia estocastica com drift e ruıdo
Importancia: ser I (1) com uma correlacao menor do que naquele passeioaleatorio puro, em razao da presenca de σ2
η:
Var (yt) = Var
(t
∑i=1
εi + ηt
)= tσ2 + σ2
η;
Cov (yt , yt−s) = E
(t
∑i=1
εi + ηt
)(t−j
∑s=1
εs + ηt−j
)= (t − j) σ2;
ρs =(t − j) σ2√(
tσ2 + σ2η
) [(t − j) σ2 + σ2
η
] <
√1− j
t.
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Tendencias:
Figura: Series temporais com tendencia.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 10 / 61
Tendencia geral mais componente irregular
O modelo mais geral possıvel inclui tendencia determinıstica e estocasticae resıduos que seguem um processo ARMA (p, q). O modelo e chamadode tendencia geral mais componente irregular:
yt = δt + y0 +t
∑i=1
εi + ψ (L) ηt . (1)
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 11 / 61
REMOVENDO A TENDENCIA
No modelo com tendencia estocastica, basta diferencia-lo, inclusive sehouver tendencia determinıstica:
4yt = δ + εt + ψ (L)4ηt .
Se yt for integrado de ordem d , toma-se a d-esima diferenca. Porem,como estimar uma serie cuja tendencia e determinıstica?
1 Estime por mınimos quadrados ordinarios:
yt = δ0 + δ1t + δ2t2 + · · ·+ δntn + et ,
em que et = ψ (L) εt , e obtenha os resıduos estimados: et .
2 Estime o modelo ARMA (p, q) a partir dos resıduos estimados.
Para determinar n, use testes t, F ou AIC /BIC . Em geral, estima-se omodelo com um n maximo, nmax. Se o teste t sobre δnmax nao e rejeitado,retira-se tn e estima-se o modelo ate tn−1, repetindo o teste. Procede-seassim ate rejeitar que δn−i = 0.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 12 / 61
REMOVENDO A TENDENCIA
E proibido diferenciar uma serie que e tendencia estacionaria, porqueisso adiciona ruıdo a serie original.
E proibido estimar uma serie que e tendencia estocastica usandotendencia determinıstica, porque isso nao elimina a tendenciaestocastica.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 13 / 61
REGRESSAO ESPURIA
A necessidade de definir variavel explicada e explicativa torna-semuito importante na presenca de raiz unitaria.
Podem-se encontrar relacoes econometricas entre duas ou maisvariaveis economicas sem qualquer relacao de causalidade entre uma eoutra por puro acaso.
Por exemplo, a regressao de uma variavel I (1) com outra I (1)obtida independentemente gera alto R2 e significante t-estatıstico.Contudo, o resultado e sem significado.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 14 / 61
REGRESSAO ESPURIA
Considere a seguinte experiencia. Gere duas series I (1)independentemente uma da outra e regrida uma contra a outra. Qualresultado voce obtem? Em 75% das vezes, parecer-lhe-a que elas saocorrelacionadas. Suponha:
yt = yt−1 + εy ,t ;
zt = zt−1 + εz,t .
A Figura 2 mostra duas series geradas independentemente uma da outra,como no modelo anterior.
Figura: Series com relacao espuria.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 15 / 61
REGRESSAO ESPURIA
Regrida yt contra zt :yt = α + βzt + et .
Nas simulacoes com 300 observacoes, com a amostra entre 201 e 300,obteve-se o seguinte resultado:
yt = −6, 37(1,544)
− 0, 770(0,142)
zt + et , R2 = 0, 30,
em que o desvio padrao esta entre parenteses.Conclusao: cuidado com a regressao que se faz.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 16 / 61
DICKEY-FULLER
Considere o seguinte modelo:
yt = φyt−1 + εt .
Tendencia: estimar esse modelo e usar um teste convencional de t sobre φ,tendo como hipotese nula H0 : φ = 1.Alternativamente, poder-se-ia alterar o teste subtraindo yt−1 de ambos oslados:
4yt = (φ− 1) yt−1 + εt = αyt−1 + εt , (2)
em que se define α ≡ φ− 1.Assim, H0 : φ = 1 e equivalente a H0 : α = 0.Problema: sob a nula, a distribuicao do teste nao e convencional, ou seja,nao e igual a distribuicao t estatıstica, pois yt nao e estacionario.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 17 / 61
DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
Visualizacao:
1 Gere uma sequencia de erros normais com esperanca nula e varianciaσ2, {εt}, com T + n observacoes;
2 Gere a sequencia {yt} sob a hipotese nula de raiz unitaria, dado y0;
3 Estime a equacao (2) usando as T ultimas realizacoes e armazene ovalor da estatıstica t;
4 Retorne ao item (1) S vezes (em geral, S ≥ 10.000);
5 Faca o grafico da distribuicao da estatıstica t.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 18 / 61
DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
A Figura 3 mostra o historgrama empırico dessa estatıstica em queT = 100, n = 50, S = 10.000 e y0 = 0.
Figura: Distribuicao da estatıstica t − student sob H0 : φ = 1.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 19 / 61
DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
A media da estatıstica t nao e zero.
Em 10% das vezes, a estatıstica t < −1, 60; em 5%, t < −1, 95; eem 1%, t < −2, 60.
Ou seja, o uso da estatıstica t olhando para a tabela convencionalimplicaria cometer o erro do tipo I1 com muito mais frequencia.
1rejeitar a nula quando ela verdadeiraJose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 20 / 61
DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo
Dickey and Fuller (1979),“Distribution of the estimator for autoregressivetime series with a unit root.” J. of the American Statistical Association.
Recalcularam o valor da estatıstica t, esta se altera, conforme se define aequacao de regressao e segundo o tamanho da amostra:
4yt = αyt−1 + εt → τ;
4yt = µ + αyt−1 + εt → τµ;
4yt = µ + δt + αyt−1 + εt → ττ.
Sob H0 : α = 0, as tres estatısticas associadas foram obtidas por meio desimulacoes de Monte Carlo.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 21 / 61
DICKEY-FULLERComo calcular a estatıstica do teste de Dickey e Fuller?
1 Supondo T + 1 observacoes, {yt}Tt=0, faca OLS e subtraia 1 do
parametro φ, para proceder ao teste sob H0 : α = 0:
α =∑T
t=1 yt−1yt
∑Tt=1 y 2
t−1
− 1.
2 Calcule a variancia amostral:
S2 =1
T − 1
T
∑t=1
(4yt − αyt−1)2 .
3 Calcule o desvio padrao do coeficiente α, s (α):
s (α) =S√
∑Tt=1 y 2
t−1
.
4 Obtenha o valor calculado da estatıstica t:
τ =α
s (α).
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 22 / 61
DICKEY-FULLER AUMENTADO
Problema do teste anterior: o erro e um ruıdo branco. Sera?
Suponha que yt seja um processo auto-regressivo de ordem p, com raizunitaria:
yt = µ + φ1yt−1 + · · ·+ φp−1yt−p+1 + φpyt−p + εt .
Como testar esse modelo para raiz unitaria?
Ideia: estimar o modelo com as variaveis auto-regressivas. Forma decorrigir o desvio do valor correto da estatıstica, ou seja, trata-se deencontrar os desvios de yt em relacao a sua ”media”, para deslocar adistribuicao de α em direcao a zero, caso a hipotese nula sejaverdadeira.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 23 / 61
DICKEY-FULLER AUMENTADO
Adicione e subtraia φpyt−p+1 a equacao anterior:
yt = µ + φ1yt−1 + · · ·+ φp−1yt−p+1 + φpyt−p +
+φpyt−p+1 − φpyt−p+1 + εt =
= µ + φ1yt−1 + · · ·+(
φp−1 + φp
)yt−p+1 − φp4yt−p+1 + εt .
Utilizando o mesmo procedimento, desta vez com(
φp−1 + φp
)yt−p+2:
yt = µ + φ1yt−1 + · · ·+(
φp−1 + φp
)yt−p+2 −
(φp−1 + φp
)yt−p+2 +
+(
φp−1 + φp
)yt−p+1 − φp4yt−p+1 + εt = µ + φ1yt−1 + · · ·+
+(
φp−2 + φp−1 + φp
)yt−p+2
−(
φp−1 + φp
)4yt−p+2 − φp4yt−p+1 + εt .
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 24 / 61
DICKEY-FULLER AUMENTADO
Repetindo isso p vezes, obtem-se ao final:
4yt = µ + αyt−1 +p−1
∑i=1
λi4yt−i + εt ,
em queα = − (1−∑p
i=1 φi ) ;
λi = −∑p−1j=i φj+1.
O teste entao pode ser feito, usando os mesmo valores crıticosencontrados por Dickey e Fuller.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 25 / 61
DICKEY-FULLER AUMENTADO
E se o modelo for ainda mais complexo, com termos de mediasmoveis, o que fazer?
Mesmo procedimento no caso de um ARIMA (m, 1, n) , j que semprese pode transformar um MA (q) num AR (∞).
Como estimar um modelo de infinitas defasagens?
Provou-se que um modelo ARIMA (m, 1, n) pode ser bem aproximado
por um ARIMA (p, 1, 0), em que p ≤ T13 (Ver Said and Dickey,
1984).
Experimentos de Monte Carlo mostraram que o valor da estatıstica tpermanece inalterado.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 26 / 61
DICKEY-FULLER AUMENTADO
Como escolher a ordem p para executar o teste de raiz unitaria? Paradefinir p, existem duas possibilidades equivalentes.
1 Acrescentar o numero de defasagens suficientes para encontrarresıduos que sejam isentos de autocorrelacao.
2 Fixar um pmax relativamente alto. Em seguida, estimar o modelo pormınimos quadrados ordinarios para pmax, pmax − 1, ..., 0 e coletar osvalores de algum dos criterios de informacao como Hannan-Quinn,Schwarz ou Akaike, ou utilizando testes estatısticos convencionais ateque se rejeite a hipotese nula, usando como nıvel de significancia 20%.
Como definir o pmax? Criterio proposto por Schwert (1989):
pmax = int
[12×
(T
100
) 14
],
em que int (x) e a parte inteira de x .Uma serie com 100 observacoes teria um pmax de 12 defasagens. Outraserie com 200 observacoes teria 14 defasagens, no maximo.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 27 / 61
DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER
O teste de Dickey e Fuller pode ser feito conjuntamente para dois ou trescoeficientes. Considere as seguintes especificacoes:
4yt = αyt−1 +p
∑i=1
λi4yt−i + εt ;
4yt = µ + αyt−1 +p
∑i=1
λi4yt−i + εt ;
4yt = µ + δt + αyt−1 +p
∑i=1
λi4yt−i + εt .
Dickey e Fuller (1981) calcularam estatısticas F para testes conjuntos,chamando-as de Φi , i = 1, 2, 3, com distribuicoes nao convencionais.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 28 / 61
DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER
As hipoteses a testar sao:
H 0 : α = µ = 0→ Φ1;
H0 : α = δ = µ = 0→ Φ2;
H0 : α = δ = 0→ Φ3.
Essas estatısticas sao construıdas da mesma forma que os testesconvencionais:
Φi =
(ε′ εrestrita − ε′ εnao restrita
)/r
ε′ εnao restrita/ (T − k),
em quer e o numero de restricoes, igual a 2 ou 3;T e o numero de observacoes;k e o numero de parametros estimados no modelo nao restrito.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 29 / 61
PHILLIPS-PERRON
Usar um modelo auto-regressivo gera perda de graus de liberdade.Talvez fosse melhor um teste especificado independentemente dasordens p e q do modelo.
Phillips e Perron (1988) usam essa ideia e propoem uma correcao naoparametrica ao teste de Dickey e Fuller, gerando uma estatısticaconsistente mesmo que haja variaveis defasadas dependentes ecorrelacao serial nos erros.
As equacoes estimadas e os testes designados sao identicos aos deDickey e Fuller.
A interpretacao tambem e analoga.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 30 / 61
PHILLIPS-PERRON
Possibilidades com as respectivas estatısticas associadas:
4yt = αyt−1 + ut → zt ,
4yt = µ + αyt−1 + ut → zt,µ,
4yt = µ + δt + αyt−1 + ut → zt,τ,
em que ut e um processo estacionario.
Phillips e Perron (1988) tambem definem testes diretamente sobre oscoeficientes do modelo, em vez de usar a estatıstica t, comoanteriormente. Eles chamaram tais testes de zα.
A correcao, zt,µ, empregada por Phillips e Perron para τµ esequencialmente estimada da seguinte forma, dado y0:
Estime as seguintes medias: y = ∑Tt=1 yt
T , y−1 = ∑Tt=1 yt−1
T ;
Estime o parametro de maior interesse: α = ∑Tt=1(yt−1−y−1)(yt−y )
∑Tt=1(yt−1−y−1)
2 − 1;
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 31 / 61
PHILLIPS-PERRON
Estime a constante ou drift: µ = y − (α + 1) y−1;
Estime a variancia populacional da regressao:
σ2 = ∑Tt=1 u2
tT = ∑T
t=1(4yt−µ−αyt−1)2
T ;
Calcule o desvio padrao do parametro de interesse:s (α) = σ√
∑Tt=1 y2
t−1
;
Calcule a estatıstica de Dickey e Fuller: τµ = αs(α)
;
Estime a variancia de longo prazo, HAC:
υ2 = σ2 + 2T ∑M
j=1 ω(
jM+1
)∑T
t=j+1 ut ut−j ;
Calcule a estatıstica de Phillips e Perron:
zt,µ = τµ
(συ
)− 1
2
(υ2−σ2
υ√
T−2 ∑Tt=1 y2
t−1
).
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 32 / 61
Variancia de longo prazo
O termo υ2 e a variancia de longo prazo, em que estao incluıdas todas asautocovariancias do processo ut :
υ2 = limT→∞
T
∑j=0
T−1
∑t=j+1
utut−j
T
Nao existem infinitas observacoes para calcular ∑∞j=−∞ γj , logo
trunca-se j em algum ponto.
A opcao −T a T nao e boa, pois quanto mais distante aautocovariancia, menos informacao ela produz em troca de muitomais ruıdo
E necessario calcular ∑Mj=−M γj , em que lim
M,T→∞MT → 0. Como
γj = γ−j , pode-se escrever:
M
∑j=−M
γj = γ0 + 2M
∑j=1
γj .
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 33 / 61
Variancia de longo prazo
Para o calculo amostral, estima-se:
M
∑j=−M
γj =∑T
t=1 u2t
T+
2
T
M
∑j=1
T
∑t=j+1
ut ut−j .
Por razoes de amostras finitas, e preciso ponderar as observacoes maisdistantes das observacoes mais recentes.
Essa ponderacao e dada pela funcao ω(
jM+1
), ou funcao janela:
Bartlett: ω (z) =
{1− |z | , se |z | < 1;
0, se |z | ≥ 1.
Parzen: ω (z) =
1− 6z2 + 6z3, se 0 ≤ z ≤ 1
2 ;
2 (1− z)3 , se 12 ≤ z ≤ 1;
0, caso contrario.
Quadratica : ω (z) =3(
6π5 z)2
[sen(
6π5 z)
6π5 z
− cos
(6π
5z
)].
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 34 / 61
Variancia de longo prazo
Perron (1990) recomenda o uso da janela de Parzen, embora grandeparte dos trabalhos empıricos ainda use a janela de Bartlett.
Nao e trivial definir que valor M deveria ser. Criterio de Newey-West(1994) ou Andrews (1991).
Definida a janela, procede-se a correcao nao parametrica definida pela
estatıstica zt,µ. Multiplique τµ por συ e subtraia 1
2
(υ2−σ2
υ√
T−2 ∑Tt=1 y2
t−1
).
O termo 12
(υ2−σ2
υ√
T−2 ∑Tt=1 y2
t−1
)e subtraıdo para centrar a distribuicao
de zt em zero. O termo συ e multiplicado para corrigir a amplitude de
distribuicao do teste.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 35 / 61
Estrategia de teste
1 Estime 4yt = µ + δt + αyt−1 + ut e teste H0 : α = 0×H1 : α < 0.Se rejeitar a hipotese nula, nao e necessario avancar.
2 Teste: H0 :[
αδ
]=
[00
]×H1 :
[αδ
]6=[
00
], usando a
estatıstica Φ3 de Phillips e Perron. Se nao rejeitar H0, ha raizunitaria.
3 Se nao rejeitar H0, teste:
αδµ
=
000
×H1 :
αδµ
6= 0
00
usando Φ2 de Phillips e Perron. Se nao rejeitar H0, teste para raizunitaria usando a estatıstica zt .
4 Se rejeitar H0, teste sem tendencia[αµ
]=
[00
]×H1 :
[αµ
]6=[
00
]usando a estatıstica Φ1 de
Phillips e Perron. Se rejeitar H0, teste usando a estatıstica zt,µ.
5 Se nao rejeitar H0 usando Φ1, teste usando a estatıstica zt .
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 36 / 61
KPSS
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin (1992)
Teste de Dickey e Fuller: baixo poder = o teste nao consegue rejeitar anula para uma infinidade de series importantes.Hipoteses: H0 : yt ∼ I (0) (estacionariedade) contra H1 : yt ∼ I (1):
Assuma que
yt = xt + ut ,
xt = xt−1 + υt
Onde υt ∼ i .i .d (0, σ2) e ut um processo estacionario. Ideia: testar avariancia de passeio aleatorio xt . Se essa variancia for nula, o processo eestacionario:
H0 : σ2υ = 0×H1 : σ2
υ > 0.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 37 / 61
KPSS
Pode-se acrescentar uma tendencia determinıstica ao modelo da seguinteforma:
xt = xt−1 + δ + υt
∆yt = δ + υt + ∆ut .
Logo:
var (∆yt) ≡ γ0 = σ2υ + 2σ2
u;
γ1 = −σ2u =⇒ ρ1 = − σ2
u
σ2υ + 2σ2
u
;
γj = 0, j > 1.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 38 / 61
KPSS
Considere yt = µ + δt + xt + ut , com xt = xt−1 + υt e definaet ≡ xt + ut .
1 Estime yt = µ + δt + et e obtenha:
et = yt − µ− δt.
2 Defina a soma parcial dos resıduos como:
St =t
∑j=1
ej .
3 O teste KPSS e dado por:
KPSS =T
∑t=1
S2t
T 2υ2,
υ2 =∑T
t=1 e2t
T+
2
T
M
∑j=1
ω
(j
M + 1
) T
∑t=j+1
et et−j
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 39 / 61
KPSS
Se yt e estacionario, entao St sera I (1) e o numerador do KPSS eum estimador da variancia de St que, por sua vez, tem um limiteassintotico. O termo no denominador assegura que a distribuicao elivre de ruıdos.
Se, por outro lado, yt e I (1), o numerador vai crescer sem limites, oque faz a estatıstica se tornar bastante grande.
O poder do KPSS e muito baixo se o modelo se trata de um ARIMA(p, 1, 1).
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 40 / 61
ERS: Elliot, Rothemberg and Stock (1996)
Qual e o problema de poder? Quando α→ 1, mas α < 1, o teste cometeo erro do tipo II: nao rejeita a nula, quando ela e falsa. Suponha:
yt = dt + ut ; ut = αut−1 + et ;
et = ψ (L) εt ;
dt =N
∑n=0
δntn ≡ δ′xt .
Perron e Ng relatam que o teste ADF tem um poder de 25, 8%quando δn = 0 e α = 0, 95, T = 200. Isto e, em 74, 2% dassimulacoes do modelo, o teste ADF nao rejeitou a nula, quando elaera falsa. A mesma tabela mostra que o poder aumenta para 92, 5%quando α = 0, 85.Elliot, Rothemberg e Stock argumentam que o poder do teste podeser aumentado se termos determinısticos forem expurgados daregressao. Eles denominaram este teste de DF-GLS.
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ERS
a Dada uma sequencia qualquer observada {yt}Tt=0, defina a nova
sequencia: (y α
0 , y αt
)≡ (y0, (1− αL) yt) , t = 1, 2, . . . , T ,
para algum α ≡ 1− cT ;
b Encontre δ (α) que minimiza a seguinte funcao:
L (α) = min{δn(α)}N
n=0
[y α
t − δ (α)′ xαt
]′ [y α
t − δ (α)′ xαt
];
c Em seguida, obtenha a serie com os termos determinısticosexpurgados, em que o sobrescrito d representa detrended :
y dt ≡ yt − δ (α)′ xt ;
d Proceda ao teste de Dickey-Fuller usando a nova sequencia:
4y dt = αy d
t−1 +p
∑i=1
λi4y dt−i + εt . (3)
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ERS
Como y dt e livre de termos determinısticos, e desnecessario incluir
constante ou tendencia, sendo c dado por:
c =
{7, se N = 0;
13, 5, se N = 1.
O valor de c decorre de experimentos de Monte Carlo, de forma amaximizar o poder do teste α = 1 contra α = α, quando se fixa opoder em 50%. A intuicao do teste e que o poder vai aumentarconforme α se distancie de α.
Na pratica, o valor de c fixado para um poder de 50% funciona bempara faixas de poder que variam de 25% a 95%.
Resultado: o poder do teste ADF aumenta, passando de 10% para26%, quando α = 0, 95 e φ1 = 0, 5, e para 95%, quando α passa a0, 70.
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ERS: Point Optimal
1 Obtenha os resıduos da regressao4yt = dt + αyt−1 + ∑p
i=1 λi4yt−i + εt,p;2 Calcule a variancia amostral desses resıduos:
σ2p =
T
∑t=p+1
ε2t,p
T − p;
3 Calcule a variancia de longo prazo em que λ (1) ≡p
∑i=1
λi :
υ2AR =
σ2p[
1− λ (1)]2
,
4 Calcule a estatıstica PT , ajustada pela correlacao serial dos resıduos:
PT =L (α)− αL (1)
υ2AR
.
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ERS: Point Optimal
Se a serie for integrada, a diferenciacao gerara uma serie de varianciapequena se α = 1, porem o valor de L (α 6= 1) sera grande. Logo, PT
e grande e nao se rejeita a hipotese nula.Se a serie for estacionaria, a diferenciacao da serie em L (α = 1) seraestacionaria, e o mesmo acontecera com L (α 6= 1). Os valores seraobaixos e, consequentemente, PT tera um valor baixo.Portanto, se Pcalculado
T < PcrıticoT , rejeita-se a nula de raiz unitaria.
Uma variante do teste e usar como variancia de longo prazo oestimador:
υ2 = σ2 +2
T
M
∑j=1
ω
(j
M + 1
) T
∑t=j+1
et et−j ;
σ2 =∑T
t=1 e2t
T,
et = yt − µ− δt.
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NG E PERRON
O teste de raiz unitaria tem problema de tamanho, quando θ → −1:
yt = φyt−1 + εt + θεt−1
(1− φL) yt = (1 + θL) εt .
Se θ estiver proximo de −0, 9, a rejeicao da hipotese nula e muitomais frequente do que se desejaria, em razao das distorcoes detamanho.
Ng e Perron relatam que o tamanho do teste DF-GLS quandoθ = −0, 8, T = 100 e de 62, 4%, enquanto o ideal seria de 5% ou10%.
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NG E PERRON
A Figura 4 mostra duas series simuladas com os mesmos erros. Porem, aserie que flutua ao redor de zero foi calculada com θ = −0, 8.
Figura: Passeios aleatorios com diferentes medias moveis.
Embora as duas series sejam integradas, e difıcil reconhecer issovisualmente na serie com medias moveis.Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 47 / 61
NG E PERRON
Perron e Ng (1996) propoem os M testes, “Modificados”, em que algumaeventual tendencia ja foi expurgada :
Mzα =
(y2
TT − υ2
AR
)2 ∑T
t=1 y2t−1
T 2
= zα +T
2(α− 1)2 ;
Mzt = Mzα ×MSB = zt +1
2
√∑T
t=1 y 2t−1
υ2AR
(α− 1)2 ;
MSB =
√∑T
t=1 y 2t−1
T 2υ2AR
MPGLST =
c2
T 2 ∑Tt=1 yd
t−1− cT (yd
T )2
υ2AR
, quando N = 0;c2
T 2 ∑Tt=1 yd
t−1− 1−cT (yd
T )2
υ2AR
, quando N = 1.
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CRITERIO DE INFORMACAO E JANELA OTIMA
Assim como as demais regras de decisao para raiz unitaria, se o valorcalculado dessa estatıstica for menor que o valor crıtico, rejeita-se ahipotese de raiz unitaria.
Os testes sao sensıveis ao tamanho da defasagem auto-regressiva p.Por exemplo, Ng e Perron mostram por simulacoes de Monte Carloque o tamanho do teste DF-GLS com uma amostra de 250observacoes, H = 0 e θ = −0, 8, reduz-se de 98, 5%, quando p = 0,para 9, 9%, quando p = 10.
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CRITERIO DE INFORMACAO E JANELA OTIMA
Foi preciso desenvolver uma tecnica dependente da amostra paraselecionar a defasagem otima.
Criterio de Informacao Definicao
Modified AIC - MAIC ln σ2 + (n + τ) 2T
Modified BIC - MBIC ln σ2 + (n + τ) ln TT
Modified HQ - MHQ ln σ2 + (n + τ) 2T ln ln T .
em que n e o numero de parametros estimados na regressao 3;
τ = α2 ∑Tt=pmax+1
(ydt−1)
2
σ2p
; σ2p = ∑T
t=pmax+1ε2
t,p
T−pmax.
Observe aqui que ε2t,p e calculado a partir da regressao
4yt = dt + αyt−1 +p
∑i=1
λi4yt−i + εt,p,
em que p e fixado otimamente.
Ng e Perron recomendam que se use o metodo MAIC.Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 50 / 61
EXEMPLO
Considere agora o exemplo da serie de inflacao, usando a janela espectralGLS-detrended AR com constante, com M = 12, definido pelo criterio AICmodificado. Entao, tem-se:
IPCA MzGLSα,µ MzGSL
t,µ MSBGLS MPGLST
Valor Calculado −1, 138 −0, 593 0, 521 15, 967
1% −13, 800 −2, 580 0, 174 1, 780Valores Crıticos 5% −8, 100 −1, 980 0, 233 3, 170
10% −5, 700 −1, 620 0, 275 4, 450
Nesse caso, nao se rejeita. O resultado do teste e invariante a outrasespecificacoes de janela, ou calculo parametrico da variancia de longoprazo.
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RAIZES UNITARIAS SAZONAIS
Maneira mais direta: usar variaveis dummies para capta-las:
4yt = µt +p
∑i=1
λi4yt−i+1 + εt ,
µt = α0 + α1D1t + α2D2t + α3D3t + αyt−1 + δt.
Experimentos de Monte Carlo demonstram que a distribuicao do testesobre α nao se altera na presenca de sazonalidade determinıstica,mesmo na presenca de tendencia temporal, t.
Sendo impossıvel usar dummies e havendo raiz unitaria sazonal,suponha dados trimestrais, de modo que:
(1− φ1L) (1 + φ2L) (1− iφ3L) (1 + iφ4L) yt = εt .
Se houver raiz unitaria sazonal, entao φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 1,gerando
(1− L4
).
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RAIZES UNITARIAS SAZONAIS
Possibilidades:
a Se φ1 = 1, yt e o tıpico caso de um passeio aleatorio, testado comoja sabido;
b Se φ2 = 1, a sequencia tende a se replicar a cada seis meses, portantoha uma raiz unitaria semi-anual, ja que a solucao homogenea e:yt + yt−1 = 0. Por exemplo, se yt = 1, yt+1 = −1, yt+2 = 1, . . .
c Se φ3 = 1 ou φ4 = 1, a sequencia tem uma raiz unitaria de cicloanual. Para ver isso, suponha yt = 1, entaoyt+1 = i , yt+2 = i2 = −1, yt+3 = −i , yt+4 = 1.
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RAIZES UNITARIAS SAZONAIS
Para entender o teste, expanda (1− φ1L) (1 + φ2L) (1− iφ3L) (1 + iφ4L)por Taylor em torno de φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 1.
(1− φ1L) (1 + φ2L) (1− iφ3L) (1 + iφ4L) yt = εt
' [(1− L4
)− L
(1 + L + L2 + L3
)(φ1 − 1)
+L(1− L + L2 − L3
)(φ2 − 1)− iL
(1− L2
)(1 + iL) (φ3 − 1) +
+iL(1− L2
)(1− iL) (φ4 − 1)]yt
Definindo αj ≡ φj − 1, para todo j = 1, 2, 3, 4, e notando quei (1 + iL) = i − L e i (1− iL) = i + L, pode-se escrever:(
1− L4)
yt = α1
(1 + L + L2 + L3
)yt−1 − α2
(1− L + L2 − L3
)yt−1 +
+(1− L2
)[α3 (i − L)− α4 (i + L)] yt−1 + εt .
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RAIZES UNITARIAS SAZONAIS
Ou seja:(1− L4
)yt = α1
(1 + L + L2 + L3
)yt−1 − α2
(1− L + L2 − L3
)yt−1 +
+(1− L2
)[i (α3 − α4)− (α3 + α4) L] yt−1 + εt .
Definindo 2α3 = α6 − iα5 e 2α4 = α6 + iα5, tem-se que (α3 − α4) i = α5
e (α3 + α4) = α6. Disso resulta que:(1− L4
)yt = α1
(1 + L + L2 + L3
)yt−1 − α2
(1− L + L2 − L3
)yt−1 +
+(1− L2
)(α5 − α6L) yt−1 + εt .
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RAIZES UNITARIAS SAZONAIS
1 Com base nessas derivacoes, monte series auxiliares:
xt−1 = yt−1 + yt−2 + yt−3 + yt−4;
zt−1 = yt−1 − yt−2 + yt−3 − yt−4;
mt−1 = yt−1 − yt−3.
2 Estime a regressao aumentada de Dickey e Fuller:(1− L4
)yt = µt + α1xt−1 − α2zt−1 + α5mt−1
−α6mt−2 +p
∑i=1
λi
(1− L4
)4yt−i + εt .
3 Se nao se rejeita α1 = 0, existe raiz unitaria nao sazonal. Se nao serejeita α2 = 0, existe uma raiz unitaria semestral. Se nao se rejeita oteste F conjunto que α5 = α6 = 0, de modo que o valor calculadoseja menor do que o valor crıtico, ha sazonalidade anual.
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RAIZES UNITARIAS SAZONAIS
Tabela: Valores Assintoticos para o Teste de Raiz Unitaria Sazonal
H0 : α1 = 0 α2 = 0 α5 = α6 = 0Regressores/T 100 200 100 200 100 200
µt = 0 −1.97 −1.94 −1.92 −1.95 3.12 3.16µt = α0 −2.88 −2.87 −1.95 −1.92 3.08 3.12
µt = α0 + ∑3i=1 αi Dit −2.95 −2.91 −2.94 −2.89 6.57 6.61
µt = α0 + δt −3.47 −3.44 −1.94 −1.95 2.98 3.07
µt = α0 + ∑3i=1 αi Dit + δt −3.53 −3.49 −2.94 −2.91 6.60 6.57
Fonte: Tabelas 1A e 1B de Hyllleberg, et alli (1990).
E preciso consultar as tabelas originais para outras amostragens.
As hipoteses anteriores nao sao conjuntamente excludentes.
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MULTIPLAS RAIZES3 raızes
Defina um numero maximo de raızes e teste do numero maior deraızes para o numero menor, conforme procedimento de Dickey ePantula (1987) - DP.
Imagine 3 raızes unitarias na serie yt . Teste se ha raiz unitariaprocedendo a seguinte regressao:
∆3yt = α3∆2yt−1 + ut ,
em que ut = ψ (L) εt , sendo εt ∼ i .i .d .(0, σ2
).
H0 : α3 = 0⇐⇒ ∃ 3 raızes unitarias
contra a alternativa:
H1 : α3 < 0⇐⇒ ∃ menos de 3 raızes unitarias.
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MULTIPLAS RAIZES2 raızes
Se a hipotese nula for rejeitada, proceder a seguinte regressao:
∆3yt = α2∆yt−1 + α3∆2yt−1 + ut . (4)
A hipotese nula de 2 raızes unitarias equivale a
H0 : α2 = 0∧ α3 < 0⇐⇒ ∃ 2 raızes unitarias
contra
H1 : α2 < 0∧ α3 < 0⇐⇒ ∃ menos de 2 raızes unitarias.
Estime a equacao (4) e use os valores crıticos para testar se ha duasraızes unitarias. Se nao houver rejeitacao da nula, conclua que haduas raızes unitarias. Do contrario, continue o procedimento paratestar se ha uma raiz unitaria.
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MULTIPLAS RAIZES1 raiz
∆3yt = α1yt−1 + α2∆yt−1 + α3∆2yt−1 + ut .
A hipotese nula de 1 raiz unitaria equivale a seguinte hipotese:
H0 : α1 = 0∧ α2 < 0∧ α3 < 0⇐⇒ ∃ 1 raiz unitaria
contra a alternativa:
H1 : α1 < 0∧ α2 < 0∧ α3 < 0⇐⇒ @ raiz unitaria.
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MULTIPLAS RAIZESd raızes
Admita que ha d raızes unitarias. Estime:
∆d yt = αd ∆d−1yt−1 + ut .
Se nao se rejeita a nula, yt e I (d). Rejeitando-se, procede-se a regressao:
∆d yt = αd−1∆d−2 + αd ∆d−1yt−1 + ut .
Se nao se rejeita a nula H0 : αd−1 = 0∧ αd < 0, conclui-se que ha(d − 1) raızes unitarias. Se αd−1 e αd sao ambos estatisticamentediferentes de zero, o passo e seguinte e testar:
∆d yt = αd−2∆d−3yt−1 + αd−1∆d−2yt−1 + αd ∆d−1yt−1 + ut .
e assim sucessivamente ate.
∆d yt = α1yt−1 + α2∆yt−1 + · · ·+ αd−1∆d−2yt−1 + αd ∆d−1yt−1 + ut .
Se ha uma raiz explosiva, a diferenciacao pode nao ser suficiente paraestacionarizar a serie.
Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Nao Estacionarios Setembro 2011 61 / 61
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