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SEL0612 –Ondas Eletromagnéticas

Departamento de Engenharia Elétrica e de ComputaçãoE l d E h i d Sã C l USPEscola de Engenharia de São Carlos - USP

EQUAÇÕES DE MAXWELL - ONDASQ Ç

Prof. Leonardo André AmbrosioS l 26468Sala 26468

leo@sc.usp.brwww.sel.eesc.usp.br/leonardowww.sel.eesc.usp.br/leonardo

AULA 1AULA 1

2

3

4

Lei de FaradayyEm qualquer circuito fechado, a força eletromotriz induzida é igual à taxade variação temporal do fluxo magnético que atravessa o circuitode variação temporal do fluxo magnético que atravessa o circuito.

d dV N emfV N

dt dt

O sinal negativo nos diz que a tensão induzida age de forma a se opor aofluxo que a produziu (Lei de Lenz).q p ( )

5

Lei de FaradayyEm qualquer circuito fechado, a força eletromotriz induzida é igual à taxade variação temporal do fluxo magnético que atravessa o circuitode variação temporal do fluxo magnético que atravessa o circuito.

d dV N emfV N

dt dt

Assim, o sentido de fluxo da corrente é tal que o campo magnéticoinduzido (por ela produzido) se opõe ao campo magnético que a produziu.(p p ) p p g q p

6

Lei de Faradayy

7

Lei de Faradayy

8

Lei de Faradaye f E E EEm qualquer ponto do circuito:

y

e

EE

Campo eletrostático devido ao acúmulo de cargas nos terminais da bateria

C lét i d id f lt t d ã l t í i (b t i )

P Pd d d d V V V E l E l E l E l

f E Campo elétrico produzido por fem resultante de ação eletroquímica (bateria)

f f e emf P NN Nd d d d V V V E l E l E l E l

9

Lei de Faradaye f E E EEm qualquer ponto do circuito:

y

e

EE

Campo eletrostático devido ao acúmulo de cargas nos terminais da bateria

C lét i d id f lt t d ã l t í i (b t i )

Um campo eletrostático é incapaz de manter uma corrente contínua em umf E Campo elétrico produzido por fem resultante de ação eletroquímica (bateria)

circuito fechado, já que 0e d RI E l

10

Lei de Faradayy

fd dV N

emfV Ndt dt

P P

f f e emf P NN Nd d d d V V V E l E l E l E l

dV d d E l B sP N 1 ( i i f h d ) emfV d ddt

E l B sPara N = 1 (um circuito fechado),

Note que podem variar no tempo tanto o campo magnético B quanto a área Sda espira (ou do circuito fechado), o que nos permite dividir nossa análise emp q pdois casos: fem de transformador (quando apenas B varia no tempo) e femde movimento (quanto apenas S varia no tempo).

11

fem de transformadordV d d E l B semfV d ddt

E l B sd l é á b fl ê dQuando o loop (circuito) é estacionário e se encontra sob influência de um

campo magnético variante no tempo, temos que:

C Sd d

t

BE l sC S t

Aplicando o Teorema de Stokes do ladoesquerdo, obtemos uma relação pontual:

t

BE

12

t

fem de movimentoQuando um loop condutor se move em um campo B estático, uma fem éi d id l D f t b b l id dinduzida no loop. De fato, sabemos que sobre uma carga com velocidade uem relação ao campo B (ou ao observador estacionário) há uma força

m Q F u Bf lé dDefinimos o campo elétrico de

movimento, Em, como

mm Q

FE u Bm QTal que a fem induzida será comoTal que a fem induzida será, como

fV d d E l u B l13

emf mC CV d d E l u B l

fem de movimento

f lé dDefinimos o campo elétrico demovimento, Em, como

mm Q

FE u Bm QTal que a fem induzida será comoTal que a fem induzida será, como

fV d d E l u B l14

emf mC CV d d E l u B l

fem total

d d

B emf mC CV d d E l u B l

C Sd d

t

BE l s

Logo, no caso geral em que o loop não é estacionário e o campo magnéticoLogo, no caso geral em que o loop não é estacionário e o campo magnéticovaria com o tempo:

emf C S C

dV d d d dd

BE l B s s u B l emf C S Cdt t

t

BE u B

15

t

TESTE ITESTE I

16

AULA 2 - ExercíciosAULA 2 Exercícios

17

AULA 3AULA 3

18

Equações de Maxwellq ç

19

Equações de Maxwellq ç

James Clark Maxwell (1831-1879)

Q F E u Bt

J

20

t(Lei de força de Lorentz) (Lei de conservação)

Equações de Maxwellq çComo dadas, as equações de Maxwell apresentam seis (6) equaçõesli t i d d t d (12) i ó it (D E B H) A tlinearmente independentes e doze (12) incógnitas (D, E, B e H). As outrasseis (6) equações escalares advêm das já conhecidas relações constitutivas, quepermanecem válidas para campos variantes no tempopermanecem válidas para campos variantes no tempo:

i i l

0

D E PB H M

D EB H

Meios simples(isotrópicos, lineares e homogêneos)

0 B H M B H

Além disso, a densidade de corrente pode ser de condução, convecção ou deambos os tipos:p

J E u21

J u

Condições de ContornoçComo se pode verificar, não há diferença nas condições de contorno em

l ã f i f it táti ( l t táti t táti ) Prelação ao que foi feito no caso estático (eletrostática e magnetostática). Paraas componentes normais de campo:

22

Condições de ContornoçPara as componentes tangenciais de campo:

Condições de Contornoç

2 1ˆ sn D D 2 1ˆ 0n E E

C t i C t t i i

2 1ˆ 0n B B 2 1n̂ H H KComponentes normais Componentes tangenciais

24

Condições de Contornoç

2 1ˆ sn D D 2 1ˆ 0n E E

C t i C t t i i

2 1ˆ 0n B B 2 1n̂ H H KComponentes normais Componentes tangenciais

25

Condições de contorno: dielétrico-dielétricoç

2 1ˆ sn D D dielétrico

Componentes normais

2 1ˆ 0n B B dielétricoComponentes normais

2 1n n sD D

2 1ˆ 0

ˆ

n E E 2 1 00

n nB BE E

Componentes tangenciais

2 1n̂ H H K 2 1

2 1

00 ( finito)

t t

t t

E EH H

Componentes tangenciais 2 1 ( )t t

26

Condições de contorno: dielétrico-condutor perfeitoç p

2 1ˆ sn D D dielétrico

Componentes normais

2 1ˆ 0n B B condutor perfeito ( ) Componentes normais

2n sD

2 1ˆ 0

ˆ

n E E 2 00

nBE

Componentes tangenciais

2 1n̂ H H K 2

2

0t

t

EH K

Componentes tangenciais 2t

27

Potenciais variantes no tempopDa lei de Gauss magnética e da identidade

t i lvetorial

0, Asegue-se que é possível, como em

0, A

magnetostática, escrever o campo B emtermos de um potencial vetor magnético A:

B A

Da lei de Faraday, t t

A AEt t

0 AE Como, para qualquer , vale a identidade vetorial

28

0t

E p q q

0,

Potenciais variantes no tempopDa lei de Gauss magnética e da identidade

t i lvetorial

0, Asegue-se que é possível, como em

0, A

magnetostática, escrever o campo B emtermos de um potencial vetor magnético A:

B A

Da lei de Faraday, t t

A AEt t

AE

AE29 t

Et

E

Potenciais variantes no tempop

B A (1) B A

A

(1)

t

AE (2)

Substituindo (1) na lei de Ampère,

1 AA J

Mas Logo após algumas manipulações

t t

2 A A AMas . Logo, após algumas manipulações, A A A2

2 AA A J

302t t

A A J

Potenciais variantes no tempop

B A

AE(1) (2)t

E( ) ( )

2 A22t t

AA A J

O divergente de A, todavia, é arbitrário e pode ser calibrado conforme desejado.Um calibre muito usado e útil é o calibre de Lorenz:Um calibre muito usado e útil é o calibre de Lorenz:

(Calibre de Lorenz) A (Calibre de Lorenz)t

A

Com isso, encontramos finalmente,

22

AA J

312t

A J

Potenciais variantes no tempop

B A

AE(1) (2)

A l f d bé d lib d L

t

E( ) ( )

Analogamente, fazendo também o uso do calibre de Lorenz, temos que

2 22t

Temos, portanto, as generalizações das equações de Poisson (ou de Laplace) paraos potenciais estáticos São as equações de onda para os potenciaisos potenciais estáticos. São as equações de onda para os potenciaiseletromagnéticos e A:

22

2

2

22

AA J

32

2t

2t

Campos HarmônicospCampos variantes no tempo, excitação em frequência única:

representa qualquer campo nas equações de Maxwell.representa qualquer campo nas equações de Maxwell.

33

Campos HarmônicospPodemos quebrar a densidade de corrente J em termos da densidade decorrente de condução J = E e daquela controlável, i.e., da fontepropriamente dita, Jf:

f J E J

Assim, as equações de Maxwell fasoriais se tornam:

f

0

DB 0

DBMeios simples0

0j

BE B

00j

BE B

Meios simples

0jj

E BH D E J

0

c

jj

E BH E J

34 c j j

AULA 4AULA 4

35

Equação de onda para EEquação de onda para EVamos considerar as equações de Maxwell fasoriais para meios simples e semfontes:

0 D 0

0

EH

Meios simples(sem fontes)

00j

BE B

00j

HE H

( )

0jj

E BH D E J

00c

jj

E HH E

c j j

Chamamos c de permissividade complexa do material.

36

Equação de onda para EEquação de onda para E0

E

0

Hc j

00

jj

E HH E 0cj H E

0j E H

0

0c

j

j j

E H

E E 2 2 0

c

c

j j

E E E

2 2 0 E E37

0c E E

Equação de onda para EEquação de onda para E

j2 2 0 E E c j 2 2 0c E E

2 2 2k j 2 2 2c ck j

2 2 1j j

2 2 0ck E r E r Equação de onda fasorialou de Helmholtz

2 2 1k j k k jk

ou de Helmholtz

2 2 1ck j

c c ck k jk

38 Chamamos kc de número de onda complexo.

Equação de onda para EEquação de onda para E2 2 1k j k k jk

Das equações acima, deduzimos:

1ck j

c c ck k jk

2 2 2 2Re ck k k q ç ,

22 2 2 2 1ck k k

c

Resolvendo para e , temos que:

2

1 1k

2

1 1k 1 1

2k

1 12

k

( , 0)k k 39

Equação de onda para EEquação de onda para E

2

1 1k

2

1 1k

1 12

k

1 1

2k

Dielétricos sem perdas ( << ) ( = 0 = = )( = 0, = 0r, = 0r)

0k Logo a parte imaginária do0k

k

Logo, a parte imaginária donúmero de onda complexorepresenta perdas, sendo

k k

representa perdas, sendonula quando o material éum dielétrico ideal.

40

Equação de onda para EEquação de onda para E

2

1 1k

2

1 1k

1 12

k

1 1

2k

Bons condutores ( >> )( → ∞ = = )( → ∞, = 0r, = 0r)

k k 2

k k

452

k k jk

41

2

Equação de onda para HEquação de onda para HAnalogamente, mostra-se que

2 2 0ck H H

2 2 0k H r H r 2 2

0

0ck

k

H r H r

E r E r 0ck E r E rComo resolver estas

equações diferenciais de três variáveis?

42

Solução em Coordenadas CartesianasSolução em Coordenadas CartesianasEm coordenadas cartesianas,

, , , , , , , ,x x y y z zx y z E x y z E x y z E x y z E a a a

Vamos considerar uma dessas componentes por exemplo E :

2 2 2

2

Vamos considerar uma dessas componentes, por exemplo, Ex:

22 2 2 , , , , 0x c xE x y z k E x y zx y z

Já conhecemos o método de separação de variáveis do curso deEletromagnetismo.Aplicando-o à equação de onda acima, temos queg p q ç , q

, ,xE x y z X x Y y Z z

2

22 0x

d X xk X x

dx

2

22 0y

d Y yk Y y

dy

22

2 0z

d Z zk Z z

dz

43

dx dy dz

Relação de dispersãoRelação de dispersão , ,xE x y z X x Y y Z z x y y

2

2 0d X x

k

22 0

d Y yk Y

22 0

d Z zk 2

2 0xk X xdx

22 0y

yk Y y

dy 2

2 0zk Z zdz

Possíveis soluções para as E.D.O.s são:

xxjk x jk xXX x e X e yyjk y jk y

XX x

Y y

e

Y

X e

ee Y

i ijk i jk iI eI i I e z zjk zjk z

y

Z z ZZ e e (i = x,y,z)

Soluções propagantes if t k i f t i f vt i

44

(+x, +y ou +z) ii

f t k i f t i f vt ik

Relação de dispersãoRelação de dispersão , ,xE x y z X x Y y Z z x y y

2

2 0d X x

k

22 0

d Y yk Y

22 0

d Z zk 2

2 0xk X xdx

22 0y

yk Y y

dy 2

2 0zk Z zdz

Possíveis soluções para as E.D.O.s são:

xxjk x jk xXX x e X e yyjk y jk y

XX x

Y y

e

Y

X e

ee Y

i ijk i jk iI eI i I e z zjk zjk z

y

Z z ZZ e e (i = x,y,z)

if t k i f t i f vt i

Soluções

contrapropagantes45

ii

f t k i f t i f vt ik

contrapropagantes(–x, –y ou –z)

Relação de dispersãoRelação de dispersão xxjk x jk xXX x e X e

, ,xE x y z X x Y y Z z yyjk y jk yY y Y ee Y

z zjk zjk zZ z ZZ e e

Substituindo as soluções acima na equação de Helmholtz, obtém-se a relaçãode dispersão

2 2 2 2 2k k k k x y z c ck k k k

Vamos estudar as soluções acima para (i) meios sem perdas, e (ii) meios comperdas.

46

p

Ondas planas em meios sem perdasOndas planas em meios sem perdas xxjk x jk xXX x e X e

, ,xE x y z X x Y y Z z yyjk y jk yY y Y ee Y

z zjk zjk zZ z ZZ e e

Consideremos as soluções propagantes, sem perda de generalidade.Assim,

jk yjk x jk z 0 0, , expyx zjk yjk x jk zx x xE x y z E e e e E j k r

0k x x y y z zk k k

x y z

k a a a

r a a a

0k

k

x y zx y z

k k

r a a a

k

k

k k

47

k k k

Ondas planas em meios sem perdasOndas planas em meios sem perdas xxjk x jk xXX x e X e

, ,xE x y z X x Y y Z z yyjk y jk yY y Y ee Y

z zjk zjk zZ z ZZ e e

Consideremos as soluções propagantes, sem perda de generalidade.Assim,

jk yjk x jk z 0 0, , expyx zjk yjk x jk zx x xE x y z E e e e E j k r

0k 0k

k

i

i

f t k i f t i f vt ik

k

k k

i 1v Velocidade de fase da onda

48

v

Velocidade de fase da onda

Ondas planas em meios sem perdasOndas planas em meios sem perdas xxjk x jk xXX x e X e

, ,xE x y z X x Y y Z z yyjk y jk yY y Y ee Y

z zjk zjk zZ z ZZ e e

Consideremos as soluções propagantes, sem perda de generalidade.Assim,

jk yjk x jk z 0 0, , expyx zjk yjk x jk zx x xE x y z E e e e E j k r

0k 0k

k

Velocidade de fase no espaço livre, ou velocidade da luz no vácuok

k k

81 2,998 10 m/sv c 49

0 0

Vetor propagação e vetor posiçãop p g ç p ç

50

Onda plana uniformep

51

Plano de fase constante

52

Plano de fase constante

53

Plano de fase constante

54

Onda plana uniformep

55

Equações de Maxwell e onda planaq ç p

56

Equações de Maxwell e onda planaq ç p

57

Equações de Maxwell e onda planaq ç p

58

Equações de Maxwell e onda planaq ç p

59

Equações de Maxwell e onda planaq ç p

60

Equações de Maxwell e onda planaq ç p

61

Vetor de Poyntingy g

62

Valor médio do vetor de Poyntingy g

63

Impedância intrínseca do meiop

64

Campos no domínio do tempop p

65

Onda planap

66

Onda planap

h // k d / k / l d67

http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_radiation

Propagação da onda eletromagnética planap g ç g p

direçãodepropagação

t0 t1 > t0

deslocamento em blocoda forma de onda

vetor propagação k68

AULA 5AULA 5

69

Polarização de Ondasç

70

Campo elétricop

71

Polarizaçõesç

Polarização Condição

Li (i) A = 0 (ii) = 0Linear (i) A = 0; (ii) = 0

Circular à esquerda A = 1 e = /2

Circular à direita A = 1 e = ‒/2

Elíptica Caso contrárioElíptica Caso contrário

72

Polarização Linearç

73

Polarização Linearç

O lugargeométrico descrito é uma reta

74

Polarização Linearç

75

Polarização Linearç

76

Polarização Circularç

77

Polarização Circularç

78

Polarização Circularç

79

Polarização Circularç

Mão direitaPolarização Circular à Direita

Mão esquerdaPolarização Circular à Esquerda

(Right-handed Circular Polarization, RHCP) (Left-handed Circular Polarization, LHCP)

80

Polarização Elípticaç p

81

Polarização Elípticaç p

82

Sentido de Polarização: Circular e Elípticaç p

83

Velocidade de fase

84

Velocidade de grupog p

85

Velocidade de grupog p

86

Velocidade de grupog p

87

Velocidade de grupog p

Diagrama de dispersão:

88

g pGráfico do comportamento × kz (ou kz × ) para uma onda

Diagrama de dispersão de guiag p g

89

Diagrama de dispersão de guiag p g

90

Velocidade de grupog p

A velocidade de grupo é a inclinação da tangente à curva kz na frequência considerada

Na frequência de corte (na qual a velocidade de fase é infinita) a velocidade de grupo é nula, significando que a ta) a e oc a e e g upo é u a, s g ca o que a informação não se propaga nesta condição

Em frequências elevadas (longe da condição de corte) a Em frequências elevadas (longe da condição de corte) a velocidade de grupo aumenta, mas permanece sempre abaixo d l id d d l áda velocidade da luz no vácuo

91

Diagrama de dispersão típicog p p

A velocidade de fase é diferente para ondas de frequências diversas

O desvio do comportamento esperado (reta) é a dispersão Ondas com frequências abaixo do valor de corte não se q

propagam Na frequência de corte a velocidade de fase é infinita, pois a q , p

constante de propagação é nula Segundo o postulado de Einstein a informação não pode se g p ç p

propagar com velocidade maior do que a da luz no vácuo Definimos a velocidade de grupoDefinimos a velocidade de grupo velocidade com que a informação se desloca

92

TESTE IITESTE II

93

AULA 6 - ExercíciosAULA 6 Exercícios

94