Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel

Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel

Aluno: Renato Teixeira Mourão

Disciplina: Eletromagnetismo 2011-2

Professor: Carlos Farina

Objetivos:

• Realizar um cálculo numérico da difração deFresnel para aberturas tradicionais (quadrado,retângulo, círculo, ...).

• Realizar um cálculo numérico para aberturascom pouca simetria e em formato de “nomes”.com pouca simetria e em formato de “nomes”.

• “Fazer uma camisa com o meu nome difratadoestampado nela”, Farina.

• Comparar resultados analíticos e resultadosdo cálculo numérico com resultadosexperimentais.

Sumário

1) Introdução

2) Integral de Fresnel-Kirchhoff

3) Difração de Fresnel

4) Resultados analíticos4) Resultados analíticos

5) Cálculo numérico

6) Resultados do cálculo numérico

7) Experimento

8) Realização de experimentos

9) Conclusão

1) Introdução•É o desvio de um caminho reto quando uma onda passa por um obstáculo ou abertura.

•Se torna mais pronunciada para obstáculos de mesma ordem de grandeza de λ.

•Diversas aplicações: cristalografia, poços de petróleo, redes de difração...

2) Integral de Fresnel-Kirchhoffx

QQQQPPPP

PoPoPoPo Or

r’

s

s’

),( ηξ=Q

y z

r’

∫∫

−=

+

Abertura

srik

dSsnrnrsi

APU e )],cos(),[cos(

2)(

)(

λ

Onde n é a normal à abertura

AproximaçõesSe a abertura for pequena em relação à distância PPo, podemos escrever:

δcos2),cos(),cos( =− snrn

, onde δ é o ângulo entre a linha PPo e a normal à abertura (direção z)

Temos ainda que:1

''

11

zzsrrs≈≈

0'' zzsrrs

∫∫ ,≈Abertura

ikf ddesri

APU ηξ

λδ ηξ )(

''

cos)(Ficamos com:

...''''

)( 00 +2+

+2+

++

−+

−=,2222

srs

yx

r

yxf

ηξηξηξηξηξ

3) Difração de Fresnel

• Na difração de Fraunhofer são considerados somente os termos lineares de f.

• Na difração de Fresnel os termos quadráticos não podem ser desprezados, levando à:(Manipulações não mostradas. Ver Born & Wolf [1])

[ ]ηξπ

e yxiikz

∫∫−+− 22 )()([ ]

ηξλ

ηξλπ

ddezi

ePU

Abertura

yxz

iikz

∫∫−+−

=22 )()(

)(

, onde fizemos A=1.

Em aula vimos em 1 dimensão:

[ ]ξ

λ

ξλπ

dezi

ePU

Abertura

xz

iikz

∫−

=2)(

)(

4) Resultados Analíticos

• Abertura Retangular

• Abertura Circular• Abertura Circular

• Semiplano Infinito

Abertura Retangular

• Retângulo centrado na origem:

12 l

( ) ( )xlz

xlz

−=+−= 21 11

2;

2

λα

λα

22 l

( )( ) ( )( )[ ]{ +−−−−−= 121121 )()()()()()()()(2

)( 22 ββααββαα SSSSCCCCi

ePU

ikz

( )( ) ( )( )[ ]})()()()()()()()( 22 121121 −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCCi

( ) ( )ylz

ylz

−=+−= 21 22

2;

2

λβ

λβ

• Retângulo deslocado da origem:

22 l

12 l

( )ηξ ,

( ) ( )22

( )( ) ( )( )[ ]{ +−−−−−= 121121 )()()()()()()()(2

)( 22 ββααββαα SSSSCCCCi

ePU

ikz

( )( ) ( )( )[ ]})()()()()()()()( 22 121121 −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCCi

( ) ( )

( ) ( )ηλ

βηλ

β

ξλ

αξλ

α

+−=−+−=

+−=−+−=

21

21

ylz

ylz

xlz

xlz

22

11

2;

2

2;

2

Abertura Circular

r=a

−= 1)( 2

2 2

λπR

ia

ikz eePU

, onde R é a distância da abertura até o ponto P

Semiplano Infinito

x

y

+

+−

+= x

zSx

zC

i

ePU

ikz

λλ2

2

12

2

1

2)(

++

++ x

zSx

zCi

λλ2

2

12

2

1

Intensidades• No entanto, o que observamos são as intensidades:

2)()( PUPI =

∝I( )( ) ( )( )[ ] +−−−−−∝ 1211212

22 )()()()()()()()()( ββααββαα SSSSCCCCPI

( )( ) ( )( )[ ]2)()()()()()()()( −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCC( )( ) ( )( )[ ]222 )()()()()()()()( 121121 −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCC

+

+−

+∝

2

2

2

12

2

1)( x

zSx

zCPI

λλ2

2

2

12

2

1

++

++ x

zSx

zC

λλ

∝

2

R

aPI

λπ2

sin)( 2

Resultados analíticos•Abertura quadrada: 500μm λ=532nm

Difração de uma abertura quadrada, com l=500μm, iluminado comλ=532nm (verde). O anteparo está localizado a, respectivamente, 0.1, 1 e2m. As regiões centrais estão ampliadas.

Será demonstrado experimentalmente!

No limite de Fraunhofer

Abertura Circular

a=10 ; λ=1 ; z=1

Será demonstrado experimentalmente!

a=10 ; λ=1 ; z=10

• Plano semi-infinito:

Será demonstrado experimentalmente!

5) Cálculo Numérico

• O método utilizado se baseia no princípio dasuperposição: ∑=

i

i PUPU )()(

A abertura é discretizada emA abertura é discretizada emquadradinhos!

Ótimo para aberturasque possuem

somente ângulosretos.

Péssimo paraaberturas curvas, ou

com linhas diagonais!

Equações

• Partindo da equação de Fresnel-Kirchhoff naaproximação de Fresnel:

[ ]ηξ

λ

ηξλπ

ddezi

ePU

yxz

iikz

∫∫−+−

=22 )()(

)( ηξλ

ddezi

PUAbertura

∫∫=)(

∑=i

iQuadradoAbertura

[ ]∑ ∫∫

−+−=

i iquadrado quadrado

yxz

iikz

ddezi

ePU ηξ

λ

ηξλπ 22 )()(

)(

[ ]∑ ∫∫

−+−=

i iquadrado quadrado

yxz

iikz

ddezi

ePU ηξ

λ

ηξλπ 22 )()(

)(

∑=i

i PUPU )()(

Usando a expressões conhecidas para a difração por umaabertura quadrada de lado l, deslocada da origem de (ξ0,η0):

( )( ) ( )( )[ ]{ +−−−−−= )()()()()()()()(2

)( 12121212

iiiiiiiiikz

i SSSSCCCCi

ePU ββααββαα

( )( ) ( )( )[ ]})()()()()()()()( 12121212

iiiiiiii CCSSSSCCi ββααββαα −−+−−+

( ) ( )iiii xlxl2

;2

ξαξα +−=−+−= ( ) ( )

( ) ( )iiii

iiii

ylz

ylz

xlz

xlz

0201

0201

2;

2

2;

2

ηλ

βηλ

β

ξλ

αξλ

α

+−=−+−=

+−=−+−=

Mas, ainda é necessário gerar as funções de Fresnel:

∫∫

=

=xx

dttxSdttxC0

2

0

2

2sin)(;

2cos)(

ππ

Como gerar as funções de Fresnel?

Integração numérica?Não!

Cálculo das áreas é ineficiente.

Requer um imenso número de divisõespara x > 4. (Demorado.)

Oscilam muito rapidamente para x

grande.

Resposta: “Série de Boersma” [3]

Excelente!

Fácil e rápido de gerar.

Integral de Fresnel Gerada

O programa

Algoritmo

1- Defina o formato da abertura que deseja difratar.2- Discretize-a em quadradinhos e armazene este padrão numa matriz.3- Para o anteparo percorrer todos os valores de x e y.4- Para cada par (x,y):

a) Iguale a variável "Intensidade" a zero. (Intensidade=0)b) Percorra cada quadradinho da abertura e use a expressão parab) Percorra cada quadradinho da abertura e use a expressão para

Ui(x,y).c) Armazene as partes reais e imaginárias de Ui(x,y) em variáveis

diferentes.d) Faça: Intensidade = Intensidade + (Re[Ui(x,y)])^2 + (Im[Ui(x,y)])^2 .e) Quando acabar de percorrer todos os quadradinhos armazene o

valor de "Intensidade".

5- Passe para o próximo par (x,y) e repita (4) até o fim dos pares.

Algoritmo implementado...implementado...

6) Resultados do Cálculo Numérico

• Abertura Quadrada.

• Abertura Circular.

• Abertura em “Cruz”.

• Abertura em “R”.

• Abertura em “RENATO”.

Manipulação dos dados

Programa Dados gerados Origin8 (Análise)

•Os dados de intensidade são normalizados (Intensidade máxima =1).• São plotados dois tipo de gráficos para cada conjunto de dados:

1. Gráfico de contorno em escala logarítmica.2. Gráfico de contorno com ajuste de “brilho”.

Abertura Quadrada

500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm

z=0.05m

Abertura Quadrada

500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm

z=0.1m

Abertura Quadrada

500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm

z=1m

Abertura Quadrada

500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm

z=2m

Abertura Quadrada Variando a Largura

200

100microns

200microns z=0.1m

300microns

400microns

Ainda Variando a Largura...

500microns

z=0.1m

Abertura Circular

500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm

z=0.1m

Abertura Circular

500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm

z=1m

Abertura Circular

500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm

z=2m

Abertura Circular

500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm

z=2m Janela maior.

Abertura em “Cruz”

z=0.1m

Cada quadrado tem 300 microns λ=532nm

Abertura em “Cruz”

z=1m

Cada quadrado tem 300 microns λ=532nm

Abertura em “Cruz”

z=2m

Cada quadrado tem 300 microns λ=532nm

Abertura em “R”

R Largura de 500μm λ=532nm z=0.1m

Abertura em “R”

R Largura de 500μm λ=532nm z=1m

Abertura em “R”

R Largura de 500μm λ=532nm Z=2m

Abertura em “Renato”

RENATO Largura de 500μm λ=532nm z=0.1m

Abertura em “Renato”

RENATO Largura de 500μm λ=532nm z=1m

Abertura em “Renato”

RENATO Largura de 500μm λ=532nm z=2m

Utilizando o programa....programa....

7) Experimento (Bem Artesanal)

• Materiais utilizados:

1) Laser Pointer 532nm (verde) 50mW.2) Lâmina de barbear (semiplano infinito).3) Impressão em fotolito (outros padrões para difratar).4) Elásticos.5) “Macaquinho” para ajuse de altura. Anteparo5) “Macaquinho” para ajuse de altura.6) Papel alumínio.

• Esquema da Montagem:

?Laser Feixe

Abertura

8) Realização de Experimentos

• Impressões em fotolito.

• Buracos em papel alumínio.• Buracos em papel alumínio.

• Lâmina de barbear.

9) Conclusões

• O algoritmo é eficiente no cálculo deaberturas que são “combinações dequadrados”.

• O método não é bom para diagonais e curvas.• O método não é bom para diagonais e curvas.(Mas não é inútil!)

• Necessário aprimorar o cálculo numérico.

• Otimizar o algoritmo.

• Aumentar o número de “quadradinhos” para odesenho de uma abertura curva.

Camisa Com a Figura de Difração de “Renato”

Objetivo cumprido!

Referências[1]- “Principles of Optics”, Max Born & Emil Wolf, 5ª edição,

1975. [2] - “Handbook of Mathematical Functions”, Abramowitz and

Stegun. [3]- “Computation of Fresnel Integrals”, J. Boersma.[4]- “On a numerical method for computation of Fresnel

integrals”, Report TW 2, Math. Inst., Univ. of Groningen, 1960.integrals”, Report TW 2, Math. Inst., Univ. of Groningen, 1960.[5]- “Cálculo”, Vol. 1, 5ª edição , James stewart.[6]- “Numerical Techniques for Fresnel Difraction in

Computational Holography”, Richard Patrick Muffoletto’sdissertation.

[7]- “Classical Electromagnetic Radiation”, third edition, Mark A. Heald & Jerry B. Marion

[8]- “Science World”, http://scienceworld.wolfram.com/physics/FresnelDiffractionCircularAperture.html