Relatorio Difração

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Franklin Mendonça Floresta

Felipe Barreto Passos

Bruno Costa

Ana Paula dos Santos Oliveira

Kalin Matheus Santos

Danilo da Cunha

Thaisa de Andrade

DIFRAÇÃO

ARACAJU/ SE

2014

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SUMÁRIO

1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 – Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 e 4 – Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

5 – Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

6 – Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7– Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

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1 - INTRODUÇÃOA busca pelo entendimento das características da luz sempre gerou

novas descobertas ao longo dos anos. Fenômenos como a reflexão e a refração, foram perfeitamente entendidos considerando a luz como aproximação de raios luminosos.

Entretanto, observações experimentais como quando uma luz proveniente de uma fonte puntiforme incide sobre um contorno retilíneo e o contorno da sombra projetada sobre um plano não se apresenta perfeitamente retilínea, surgindo na área da sombra, algumas ondas, atentou para a análise da luz em face da sua natureza ondulatória. (YOUNG & FREEDMAN, 2009)

Aspectos que definem bem e caracterizam a luz como onda eletromagnética são a interferência e a difração. A interferência pode ser definida basicamente, como a combinação dos campos elétrico e magnético de duas ondas individuais. (SERWAY E JEWETT, 2009). No cotidiano, a interferência da luz pode ser vista pelas cores que observamos em películas de óleo e na superfície de bolhas de sabão (figura 1).

Figura 1 – A interferência é decorrente de reflexões entre a parte superior e a parte inferior da película formada pela solução água-sabão.

A onda resultante da interferência de duas outras, segue o princípio da superposição: “Quando duas ou mais ondas se superpõem, o deslocamento resultante em qualquer ponto em um dado instante pode ser determinado somando-se os deslocamentos instantâneos de cada onda como se ela estivesse presente sozinha”. (YOUNG & FREEDMAN, 2009)

Portanto, quando a soma dos “deslocamentos” entre as ondas produzem uma amplitude maior que às anteriores, dá-se o nome de interferência construtiva. Do contrário, ocorre a chamada interferência destrutiva. Esses dois tipos de interferência dependem da fase em que uma se encontra em relação a outra, ou seja, se as ondas vibram em sincronia.

O outro fenômeno, a difração, pode ser entendida, de forma resumida, como um fenômeno que permite com que uma onda atravesse fendas ou contorne obstáculos, o que seria inexplicável segundo a aproximação retilínea dos raios de luz.

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Ela é explicada pelo Princípio de Huygens que afirma que: quando os pontos de uma abertura ou de um obstáculo são atingidos pela frente de onda eles tornam-se fontes de ondas secundárias que mudam a direção de propagação da onda principal, atravessando a abertura e contornando o obstáculo (figura 2). Em resumo, a difração é caracterizada pelos efeitos que ocorrem quando muitas fontes de ondas estão simultaneamente presentes. (YOUNG & FREEDMAN, 2009)

Figura 2 – Esquema simplificado do fenômeno da difração.

Como mencionado acima, cada ponto da fenda, pelo princípio de Huygens, age como se fosse uma fonte pontual de luz. Dessa forma, considerando-se a espessura da fenda finita, ocorrerá interferência entre os raios (figura 3).

Figura 3 – Esquema para descrição matemática da difração.

Pela figura 3, percebe-se que os raios numerados de 1 a 5 são considerados paralelos. Tal aproximação é feita para simplificar o estudo e admite-se que os raios apresentam esse comportamento quando as distâncias entre a fonte de luz, o anteparo e o obstáculo são suficientemente grandes. Nessas condições, dá-se o nome de difração de Fraunhofer.

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Dividindo-se a fenda em duas partes iguais, cada uma com largura b/2, percebe-se que considerando-se as ondas 1 e 3, por exemplo, para alcançar o mesmo ponto no anteparo, a onda 1 percorre uma distância maior do que a onda por um valor de b/2 sen θ.

Quando a diferença de caminho ótico entre duas ondas é exatamente a metade do comprimento de onda, tem-se interferência construtiva e a formação de mínimos (padrão de difração de intensidade nula) no anteparo, também denominado como franjas escuras. (SERWAY E JEWETT, 2009).

Portanto:

Interferência destrutiva: b2

senθ= λ2

∴ senθ= λb

Considerando-se para os demais casos, nos quais divide-se a fenda em quatro partes (b/4), em seis partes (b/6), e assim por diante, percebe-se que a condição geral para a interferência destrutiva é:

senθ=n λb

,(n=±1 , ± 2, ± 3 ,…) (1)

em que b é a largura da fenda, e n representa as posições para o primeiro mínimo (n=1), segundo mínimo (n=2), e assim por diante. O máximo central, ocorre quando n = 0 (figura 4). (SERWAY E JEWETT, 2009).

Figura 4 – Posições do máximo central e dos mínimos relativos na difração por uma fenda retangular.

Pela equação (1), percebe-se que as posições dos mínimos são dadas em termos de distâncias angulares (θ, em radianos). Observando-se o triângulo formado na Figura

4, percebe-se que tg θ = yn

d, em que “yn” é a distância entre cada mínimo formado e “d”

é a distância da fenda ao anteparo. Como o anteparo está localizado bem distante da fenda, para ângulos pequenos,

tem-se a aproximação:

6

tgθ ≈ senθ ≈ θ=yn

d (2)

Assim, de (1) e (2), tem-se:

yn

d=n λ

b,(n=± 1, ± 2 ,± 3 ,…) (3)

Os modelos descritos até então, consideravam fendas ou obstáculos retangulares. No entanto, qualquer que seja a forma da abertura, ocorre a formação de uma figura de difração. A figura de difração formada por uma abertura circular (figura 5a) é um caso de interesse especial, pois esse fenômeno desempenha um papel muito importante no estudo do limite de resolução de um instrumento de ótica. (YOUNG & FREEDMAN, 2009)

Observa-se que o padrão de difração de uma abertura circular consiste em um disco central brilhante cercado por anéis progressivamente mais fracos. Ao descrever a figura em termos do ângulo θ, obtém-se a expressão abaixo:

senθ=1,22 λb (4)

Neste caso,θ descreve o raio angular até o primeiro anel escuro (figura 5b). Em termos de distância, a equação (4) é mostrada como se segue:

P0 P1

D=1,22 λ

b (5)

em que “P0P1” é a distância entre o centro do máximo principal e o primeiro mínimo e “D”, a distância da fonte de luz ao anteparo.

Figura 5 – a) Difração formada por uma fenda circular. b) Representação das distâncias entre os máximos e mínimos. θ1 é a distância entre o centro do máximo principal e do

primeiro mínimo.

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A difração ainda pode ser observada a partir de um arranjo com diversas fendas. Dispositivos com essa característica, no qual as várias fendas estão paralelas e igualmente espaçadas entre si, são chamados de redes de difração (figura 6), sendo bastante úteis na análise de fontes luminosas. (SERWAY E JEWETT, 2009).

A distância “h” entre duas fendas é denominado espaçamento da rede. Ela pode ser determinada pelo inverso do número de linhas por cm, ou seja:

h= 1cmnúmerode linhas (6)

A condição para ocorrer os máximos principais na rede de difração é expressa pela equação (7).

h senθ=n λ ,(n=0 ,1 , 2 ,…) (7)

Figura 6 – Modelo simplificado de uma rede de difração. (YOUNG & FREEDMAN, 2009)

Para as redes de difração, quanto maior o número de fendas (N), maior será a intensidade dos máximos e mais estreitos eles serão, obtendo-se uma melhor definição dos mesmos (figura 7).

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Figura 7 – a) N = 2; b) N = 8; c) N = 16. O número de mínimos entre dois máximos adjacentes é dado por (N-1). (YOUNG & FREEDMAN, 2009)

Entretanto, considerando-se os efeitos reais da difração, levando-se em conta a interferência das frentes de ondas que emergem de cada fenda, os máximos de maior ordem ficam menos intensos e menos definidos, como mostrado na figura 8.

Figura 8 – Demonstração da diminuição dos máximos com os efeitos combinados da difração e da interferência. Esse comportamento obedece a uma equação senoidal.

2 – OBJETIVOS

Usando a luz, estudar o fenômeno da difração em fendas e obstáculos retangulares e em orifícios e obstáculos circulares, e determinar suas dimensões físicas através do padrão de difração.

3 – MATERIAIS UTILIZADOS

- LASER de diodo (vermelho);- Lâmina com orifícios e obstáculos circulares;- Banco óptico;- Lâmina com fendas e obstáculos retangulares;- Redes de difração;- Lâmina com fendas duplas;- Trena; - Suportes diversos.

4 – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

1. Instalou-se o laser no banco óptico, o mais próximo possível do final deste, e o suporte para fendas logo em frente do laser. Como as dimensões das fendas em relação ao comprimento de onda o laser ainda são relativamente grandes, precisou-se de uma distância grande para projetar as figuras de difração. Colocou-se então o banco óptico

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bem próximo de uma das extremidades da bancada, usando a parede como anteparo pra observar a difração.2. Escolheu-se uma das lâminas com fendas retangulares e colocou-se na frente do feixe de laser. Começando com a maior delas, observou-se a projeção do feixe do laser na parede. Efetuou-se medidas para calcular a abertura de cada uma das fendas. Para tanto, fotografou-se a figura junto com uma escala ou objeto de dimensões conhecidas e depois analisou-se a figura no software de análise e medidas de imagens Tracker. Repetiu-se o mesmo para todas as fendas no slide.3. Repetiu-se o mesmo procedimento do item 2 para os obstáculos retangulares de diferentes dimensões.4. Repetiu-se em seguida o procedimento do item 2 para as diversas fendas circulares.5. Instalando a lâmina com fendas duplas, fez-se incidir o feixe sobre elas e novamente registrou-se medições sobre a figura. Mediu-se os dois conjuntos.6. Substituiu-se a lâmina com fendas duplas pelas diferentes redes de difração. Anotou-se o valor do número de linhas por unidade de comprimento desta rede e procedeu-se como no item 2.7. Usou-se finalmente a rede de difração que vem na moldura de slide branca, a qual não tinha indicação do número de linhas. Executou-se medidas para determinar a distância entre as fendas (h) desta rede de difração.

5 – RESULTADOS E DISCUSSÕES

Fendas Retangulares

Na primeira etapa da atividade prática foram utilizadas fendas retangulares a fim de verificar o fenômeno da difração. De acordo com as informações contidas nos próprios instrumentos, foram utilizadas fendas retangulares com os seguintes valores de abertura:

Tabela 1 - Valores de abertura das fendas retangulares utilizadas na primeira etapa do experimento.

Fendaretangular

Abertura (cm)

1 0,01

2 0,02

3 0,05

De acordo com o aparato experimental, a distância da fonte até o anteparo era de 2,65 metros. A fonte emitia luz monocromática com comprimento de onda de 632,8 nm. Baseado nessas informações e utilizando-se a Equação 8, foi possível calcular o valor experimental das aberturas das fendas e, posteriormente, compará-los com os valores teóricos contidos na Tabela 1:

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P0 Pn

d=n λ

b (8)

em que P0 e Pn representam o máximo principal e mínimos de ordem n, respectivamente; d é a distância da fonte ao anteparo; λ é o comprimento de onda da luz emitida e b é a abertura da fenda.

O máximo principal e os mínimos de ordem n foram obtidos quando fez-se passar a luz monocromática pela fendas. As imagens geradas são mostradas a seguir, e nelas podem ser visualizadas o máximo principal e os mínimos de ordem n:

Figura 9 - Imagens geradas para as fendas de abertura 0,01cm (a), 0,02 cm(b) e 0,05 cm(c).

Cada uma das imagens apresentadas anteriormente foram analisadas com maiores detalhes por meio do software Tracker, para que a distância entre o máximo principal e um dos mínimos fosse determinada com melhor precisão. Essa distância representa o termo P0 Pn, que aparece na Equação 8. As figuras são constituídas de uma franja central larga e intensa, denominada máximo principal, por uma série de franjas adicionais mais estreitas e menos intensas, denominadas máximos laterais, e por uma série de franjas escuras, denominadas mínimos de ordem n.

Feito toda essa interpretação, pôde-se calcular os valores experimentais das fendas retangulares:

Para a fenda retangular 1:

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0,01152,65

=1 632,8 .10−9

b ∴b= 0,0146 cm


0,0092,65

=1 632,8. 10−9

b ∴ b= 0,0186 cm


0,0122,65

=3 632,8. 10−9

b ∴ b= 0,042 cm

Por fim, comparou-se esses valores com os teóricos (Tabela 1):


(0,0146−0,01 )0,01

.100=45,82 %p


(0,02−0,0186 )0,02

.100=7,0 %p


(0,05−0,042 )0,05

.100=16,0%p

Obstáculos Retangulares

A imagem obtida no experimento usando um obstáculo retangular de 0,1 mm de largura (Figura 10) foi submetida à análise no software Tracker, a partir da qual foram obtidas as coordenadas de cinco pontos na região central do primeiro mínimo. Os dados obtidos das medidas, assim como a distância média encontrada estão listados na Tabela 2.

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Figura 10 - Imagem obtida no experimento com obstáculo retangular de 0,1 mm.

Tabela 2 - Dados obtidos a partir da análise da imagem do experimento com obstáculo retangular de 0,1 mm e distância P0P1 calculada.

x (m) Y (m) (P0P1)n (m)

-0,007 0,007 0,010

0,008 0,003 0,009

0,006 -0,007 0,009

0,000 0,009 0,009

-0,007 -0,007 0,010

P0P1 = 0,010 m

Substituindo na Equação 8 o valor obtido para P0P1 e os valores de 632,8 nm para o comprimento de onda, λ, e 2,65 m para a distância entre a fonte e o anteparo, D, obteve-se o valor da largura do obstáculo utilizado.

b= nλDP0 P1

=1× 632,8× 10−9 ×2,650,010

=1,677 ×10−4 m=0,1677 mm

O erro em relação ao valor teórico para a dimensão do obstáculo foi de:

E=( 0,1−0,16770,1 ) .100 %=67,69 %

Esse elevado erro relativo está associado, provavelmente, ao uso de equipamentos de medida imprecisos e pela baixa qualidade das imagens usadas.

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As imagens obtidas no experimento de difração usando obstáculos circulares de 0,02 mm e 0,05 mm estão apresentadas na Figura 11.

Figura 11 - Imagens obtidas no experimento com obstáculos retangulares de 0,02 mm e 0,05 mm, respectivamente.

Observou-se com isto que conforme aumenta-se a dimensão do obstáculo,a distância entre o máximo principal e o primeiro mínimo diminui, ou seja, da mesma forma que acontece quando são utilizadas fendas retangulares. Desta forma, tem-se que no fenômeno de difração não importa se o obstáculo está no caminho ou se é o limite de um caminho, pois em ambos os casos a onda tem sua velocidade e/ou direção mudadas.

Fendas Circulares

As imagens obtidas no experimento com fendas circulares estão apresentadas na Figura 12. Ao analisar-se, com o auxílio do software Tracker, essas imagens, foram coletados 5 diferentes pontos pertencentes à região do primeiro mínimo. As coordenadas obtidas para as fendas com diâmetros de 0,4 mm, 0,6 mm e 0,8 mm estão listados na Tabela 3. Com as coordenadas desses pontos, foram obtidas as distâncias entre cada ponto e o centro, de acordo com a relação (d2=x2+ y2) e então foi calculada a distância média que é a distância entre o máximo principal e o primeiro mínimo para cada fenda. Os resultados obtidos são apresentados também na Tabela 3.

Figura 12 - Imagens obtidas no experimento com feixes circulares de diâmetros 0,4 mm, 0,6 mm e 0,8 mm, respectivamente.

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Tabela 3 - Dados obtidos a partir da análise das imagens do experimento com fendas circulares e distância P0P1 calculada.

Diâmetro = 0,4 mm Diâmetro = 0,6 mm Diâmetro = 0,8 mm

x(m) y(m) (P0P1)n(m) x(m) y(m) (P0P1)n(m) x(m) y(m) (P0P1)n(m)

0,000 0,009 0,009 0,000 0,007 0,007 -0,008 0,000 0,008

0,006 0,005 0,008 0,007 0,000 0,007 0,007 0,000 0,007

0,009 0,000 0,009 0,000 -0,007 0,007 0,000 0,007 0,007

0,000 -0.009 0,009 -0,009 0,000 0,009 0,000 -0,007 0,007

-0,008 0,000 0,008 0,006 0,005 0,008 0,005 0.006 0,008

P0P1 = 0,009 m P0P1 = 0,008 m P0P1 = 0,007 m

Em cada caso foi calculado, usando a Equação 5 e as distâncias P0P1 obtidas, o valor da abertura da fenda circular, b. Foram usados nos cálculos os valores de 632,8 nm para o comprimento de onda, λ, e 2,65 m para a distância entre a fonte e o anteparo, D. Foi calculado ainda o erro relativo, que relaciona o valor calculado e o valor teórico da abertura das fendas.

P0 P1

D=1,22 λ

b

Para a fenda de 0,4 mm, o valor calculado foi 0,2379 mm. O erro com relação ao valor esperado foi de 40,53%.

E=( 0,4−0,23790,4 ) .100 %=40.53%


E=( 0,6−0,26920,6 ) .100%=55,13 %


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E=( 0,8−0,29220,8 ) .100 %=63,48 %

Os valores calculados para as aberturas das fendas apresentaram erros relativos grandes, justificados, provavelmente, pelo uso de equipamentos de medida imprecisos e pela baixa qualidade das imagens usadas.

Pode-se verificar que quanto maior o diâmetro do furo, mais próximo o primeiro mínimo estava do máximo principal, como o esperado, tendo em vista a proporcionalidade inversa dos dois termos na Equação 5.

Observa-se que as imagens representam uma interferência tanto mais nítida quanto menor o tamanho da abertura da fenda, de forma que no experimento utilizando-se a fenda de 1,0 mm praticamente não foi observado o fenômeno de difração (Figura 13). Isto se deve ao fato de que o diâmetro do feixe, b, é muito maior que o comprimento de onda, λ, (b >> λ), com isto o segundo membro da Equação 5 tende a zero, ou seja, o comprimento de onda e a abertura da fenda circular possuem valores de diferentes ordem de grandeza. Desta forma, tem-se que, para uma abertura muito grande da fenda, a luz deixa de se comportar como onda e passa a se comportar como partícula.

Figura 13 - Imagem obtida no experimento com feixes circular de diâmetro 1,0 mm.

Redes de Difração

A determinação experimental da abertura das fendas da rede de difração foi feita utilizando a distância d, distância medida da rede de difração até o anteparo (d = 2,65m), o comprimento de onda da luz do laser (λ = 632,8 nm) e a distância P0 P1 entre os centros do máximo principal e do primeiro mínimo, determinado com auxílio do software Tracker.

As três redes de difração utilizadas no experimento com os respectivos valores de aberturas, obtidas de acordo com a relação da equação 6, estão representadas na Tabela 4 a seguir:

Tabela 4 - Valores de abertura das fendas das redes de difração usadas no experimento.

Rede de difração Abertura das fendas (cm)

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20 linhas/cm 0,0540 linhas/cm 0,025100 linhas/cm 0,01

As imagens geradas durante a realização do experimento das redes de difração são mostradas na Figura 14:

(a) (b)

(c)

Figura 14 - Imagens geradas para as redes de difração de 20 linhas/cm (a), 40 linhas/cm (b) e 100 linhas/cm (c).

Por meio das análises das imagens da Figura 14 e da equação 3, calculou-se o valor experimental de b da abertura das fendas, sendo que, n=1 pois refere-se ao máximo de primeira ordem. Já os valores das distâncias P0 P1 das respectivas redes de difração obtidas no software Tracker, juntamente com a abertura das fendas calculadas estão tabelados a seguir:

Tabela 5 - Distâncias P0 P1 entre os centros do máximo principal e do primeiro mínimo e aberturas calculadas das fendas de cada rede de difração.

Rede de difração Distância P0 P1 (m) Abertura das fendas b 20 linhas/cm 3,662 x 10-3 0,045840 linhas/cm 6,307 x 10-3 0,0266100 linhas/cm 1,633 x 10-2 0,0103

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Com os valores experimentais das aberturas das fendas b da Tabela 5 e com os valores teóricos da Tabela 4, calculou-se o erro relativo de cada b determinado:

Para a rede de difração de 20 linhas/cm, temos que, breal = 0,05 cm e bexperimental = 0,0458 cm. Logo:

Erro relativo=|bexperimental−breal|

brealx100 %=

|0,0458−0,05|0,05

x 100 %=8,4 %

Da mesma maneira, para a rede de difração de 40 linhas/cm, temos que, breal = 0,025cm e bexperimental = 0,0266 cm. Logo:


brealx100 %=

|0,0266−0,025|0,025

x 100 %=6,4 %

Por fim, para a rede de difração de 100 linhas/cm, temos que, breal = 0,01 cm e bexperimental = 0,0103 cm. Logo:


brealx100 %=

|0,0103−0,01|0,01

x100 %=3,0 %

Cálculo de ‘h’ e do número de linhas

Como pôde-se observadas na Figura 14, nota-se um “clarão” no centro de cada imagem e suas extremidades reduzem de intensidade muito rapidamente, evidenciando o comportamento esperado das equações:

O resultado é que a intensidade da luz no anteparo que é descrita pelas equações acima, e comprovada pelas imagens da Figura 14.Para o cálculo de h, fez-se a medição da distância P0P1 pelo software Tracker.

Daí toma-se tg θ= P 0 P 1AP 1 =

0,004084562,65 = 0,00154134, como o ângulo é pequeno

pode se aproximar sen θ a tg θ e pela equação 7, em que o comprimento de onda da luz incidente é 632,8 nm, tem-se:

h senθ=n λ ↔ h = 1. λsenθ =

λtgθ ↔ h= 632,8 E−9

0,00154134 = 0,00041813 m

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ou h=0,041813 cm

Com essa informação, foi possível determinar o número de linhas/cm de cada fenda pela equação 6:

Número de linhas = 1/h = 1/0,041813 = 23,9 linhas/cm

De forma análoga a esta se pôde fazer para os outros dois P0P1, como mostrado na Figura 15, e expresso na tabela, completando-a.

Figura 15 - Ilustração do método de cálculo com P0P1.

Tabela 6 - Valores da distância entre máximo principal e primeiro máximo para diferentes fendas múltiplas

Número teórico de linhas/ cm

P0P1 (m) tg θ h (cm)

Número de linhas/cm

experimentais

20 0,00408456 1,54134E-3 0,041813 23,9

40 0,0063985 2,41453E-3 0,026208 38,15

100 0,01653054 6,2794E-3 0,0100774 99,23

Nota: distância da rede difração ao anteparo é a 2,65 m (AP1).

A análise comparativa desses números de linhas pode ser feita por um erro relativo entre ambos tomando como valor verdadeiro os números teóricos, daí temos que:

-Número de linhas/cm experimentais para 23,9 linhas/cm:

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Erro relati vo=|bexperimental−breal|

brealx 100 %=

|23,9−20|20

x100 %=19,5 %

- Número de linhas/cm experimentais para 38,15 linhas/cm:


brealx100 %=

|38,15−40|40

x 100 %=4,625 %

-Número de linhas/cm experimentais para 99,23 linhas/cm:


brealx100 %=

|99,23−100|100

x100 %=0,77 %

Grades de Difração “Desconhecidas”

A colocação da grade de difração com moldura de slide branca no caminho do laser gerou imagens como as da Figura 16. Realizou-se uma medida com cada uma das duas redes disponíveis para verificar alguma diferença entre elas.

Figura 16 – Comportamento do laser após atravessar a rede de difração de moldura branca: 1ª (esq.) e 2ª (dir.) medidas.

As imagens fornecidas eram bastante semelhantes, levando à suposição que se tratavam de grades iguais. A análise no Tracker confirmou tal fato, como pode ser notado nos resultados da Tabela 7.

Tabela 7 – Distâncias entre os primeiros máximos e o máximo central, para as duas redes, obtidas pelo Tracker.

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Rede de Difração Distância entre o Máximo Central e o Máximo LateralEsquerdo / cm Direito / cm

1 -12,5 12,5

Possuindo o valor da distância entre a fonte de luz e o anteparo, ou seja, a distância da fonte ao ponto de máximo central, valor esse igual a 21,5 cm, é possível calcular o ângulo (θ) formado entre este primeiro comprimento e o caminho da fonte aos máximos de 1ª ordem. A Figura 17 abaixo mostra essas distâncias:

Figura 17 – Esquema geométrico para os 1os máximos de intensidade na difração da luz.

Como os máximos são simétricos, considerou-se como o cateto oposto ao ângulo θ a distância total entre os máximos laterais, dividida por 2. Para a rede esse valor foi de 12,5 cm. Realizando os cálculos, tem-se:

tgθ=12,521,5

=0,58→ θ = 30,17°

Para determinar o ‘h’ da grade de difração, ou seja, a distância entre as fendas, utiliza-se a Equação 7, com m = 1 e λ = 628 nm, correspondente ao comprimento de onda do laser monocromático vermelho registrado no equipamento. Assim, para a grade, tem-se o seguinte resultado:

h senθ=m λ

h sen(30,17 ° )=1(628 ·10−9)

h=1249· 10−9=1249 nm

Utilizando a Equação 6, ainda é possível determinar quantos traços por 1 cm havia, aproximadamente:

h= 1cmnúmerode linhas

1249 ·10−9 m= 10−2 mnúmero de linhas

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número de linhas=8000

Como N = L/d, então d = L/N

d = 0,156 nm

Fendas Duplas

As imagens geradas pela incidência do laser na fenda dupla estão na Figura 18, na qual aparecem sendo analisadas no Tracker.

Figura 18 – Imagens formadas pela 1ª fenda dupla (esq.) e pela 2ª (dir.).

Seguindo a mesma ideia empregada para as grades de difração, é possível encontrar o valor de h para ambas as fendas. Neste caso, o anteparo foi novamente a parede, sendo a distância da fonte até a mesma igual a 2,65 m. A análise pelo Tracker forneceu os valores registrados na Tabela 8 para as distâncias entre os máximos.

Tabela 8 - Distâncias entre os primeiros máximos e o máximo central, para as duas fendas duplas, obtidas pelo Tracker.

Fenda Dupla Distância entre o Máximo Central e o Máximo LateralEsquerdo / cm Direito / cm

1 -1,071 1,1742 -0,338 0,373

Realizando cálculos semelhantes aos praticados para a grade de difração desconhecida, encontra-se os seguintes valores para a tg(θ), os quais podem ser aproximados a θ e sen(θ), pois a abertura da fenda é muito menor que a distância fonte-parede.

1ª fenda: tgθ=4,236· 10−3 θ senθ

22

2ª fenda: tgθ=1,342 ·10−3 θ senθ

Aplicando esses valores na Equação 7 (h senθ=n λ), para λ = 632,8 nm e n=1 pois foram utilizados os primeiros máximos, obtém-se o h de cada fenda:

1ª fenda: h=1,494 ·10−4 m=0,1494 mm

2ª fenda: h=4,715 ·10−4 m=0,4715 mm

Difração e o espectro do Mercúrio

Para encontrar o comprimento de onda de cada cor, encontra-se o ângulo formado pela rede de difração e pelo anteparo. Sendo θ o ângulo formado entre a distancia ao anteparo e a distancia ao máximo de cada cor, cada cor terá um θ, definido por:

θ=arctang nb

Conhecidos o h e o b para todas as cores, tem-se:

Para a cor vermelho, o n= 12,5 e b = 21,5, encontra-se assim θ:

θ=arctang 12,521,5

θ=30,17°

Com o valor de θ, podemos calcular o λ por:

h sen θ = m λ , com h = 1249 . 10-9 m e m=1

λ= 628 nm

Para a cor laranja, o n= 11,2 e b = 21,5, encontra-se assim θ:

θ=arctang 11,221,5

θ=27,52°


23

h sen θ = m λ , com h = 1249 . 10-9 m e m=1

λ= 577 nm

Para a cor verde, o n= 10,4 e b = 21,5, encontra-se assim θ:

θ=arctang 10,421,5

θ=25,81°


h sen θ = m λ , com h = 1249 . 10-9 m e m=1

λ= 544 nm

Para a cor azul, o n= 9,4 e b = 21,5, encontra-se assim θ:

θ=arctang 9,421,5

θ=23,62°


h sen θ = m λ , com h = 1249 . 10-9 m e m=1

λ= 500 nm

Para a cor violeta, o n= 8,0 e b = 21,5, encontra-se assim θ:

θ=arctang 8,021,5

24

θ=20,41°


h sen θ = m λ , com h = 1249 . 10-9 m e m=1

λ= 435 nm

Com os valores encontrados, pode-se comparar com os valores esperados, segundo a tabela:

Raias Hg λesperado (nm) λencontrado (nm)

Violeta 405 435

Azul 436 500

Verde 546 544

Laranja 578 577

Vermelha 697 628

Fazendo a comparação tem-se:

Violeta: Erro relativo=|λ encontrado−λ esperado|λ encontrado

x100 %=|435−405|435

x100 %=6,9 %

Azul:

Erro relativo=|λ encontrado−λesperado|λ encontrado

x100 %=12,8 %

Verde:

25


x100 %=0,37 %

Laranja:


x100 %=0,17 %

Vermelha:


x100 %=11%

Pode-se perceber que diferença nos erros relativos algumas foram consideráveis

e outras muito pequena, o que pode ter sido causado pela falta de precisão nas medidas.

Isso porque algumas cores se apresentam de maneira difusa, o que torna difícil de

encontrar o seu máximo exatamente.

6 – CONCLUSÃO

Este experimento pôde mostrar como se calcular os parâmetros de difração, interferência e obstáculos retangulares a qual uma luz incide em diversas formas de fendas; além de melhor o entendimento sobre o assunto e compressão. Foi notado veridicamente que quando se aumenta o número de fendas diminui o erro relativo entre o que se espera e valor teórico.

7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Apostila de laboratório de física C, Departamento de Física

SERWAY, R. A.; JEWETT, J.W. Princípios de Física. Óptica e Física Moderna. Tradução André Koch Torres Assis, Leonardo Freire de Mello. Vol. IV. São Paulo: Cengage Learning, 2009.

YOUND, H.D.; FREEDMAN, R. A. Física IV: Ótica e física moderna. Tradução Cláudia Martins. São Paulo: Addison Wesley, 2009.

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Relatorio Difração