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SIMULANDO A OCM (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA) NÍVEL II. MODELO DA PROVA : INSTRUÇÕES 01. Cada questão da 1 a parte vale 10 (DEZ) pontos, enquanto que cada problema da 2 a parte vale 40 (QUARENTA) pontos. - PowerPoint PPT Presentation
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SIMULANDO A OCM (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA)NÍVEL II
MODELO DA PROVA:INSTRUÇÕES01. Cada questão da 1a parte vale 10 (DEZ) pontos, enquanto que cada problema da 2a parte vale 40 (QUARENTA) pontos.02. Todas as soluções da 2a parte devem ser justificadas. Uma simples resposta, sem indicar como foi obtida, receberá uma pontuação inferior.03. Não é permitido o uso de calculadoras nem consulta a notas ou livros. É permitido o uso de régua, esquadro e compasso.04. Nas 10 (dez) primeiras questões da 1a parte, assinale com X a alternativa que julgar correta na tabela abaixo. Assinale somente uma alternativa para cada questão, de preferência com caneta.
01 (A) (B) (C) (D) (E) 06 (A) (B) (C) (D) (E)
02 (A) (B) (C) (D) (E) 07 (A) (B) (C) (D) (E)
03 (A) (B) (C) (D) (E) 08 (A) (B) (C) (D) (E)
04 (A) (B) (C) (D) (E) 09 (A) (B) (C) (D) (E)
05 (A) (B) (C) (D) (E) 10 (A) (B) (C) (D) (E)
1.Se então, quando y = 12, x é igual a:
A.1/8B.3/7C.7/3D.7/2E.8
Solução:
Quando 2x e 3y , então 9
1
153
42.3
kk . Logo, quando 12y ,
3
7343
9
1
27
43
1512
43
xxx
kx
2.Na adição abaixo, 2a3 e 5b9 são números de três dígitos. Se 5b9 é divisível por 9 , então a + b é igual a:
A.2 B.6 C.4 D.8 E.9
Solução:
Podemos escrever 9)50(10910100595 bbb . Então,
19
)50(10
9
95
bb é um inteiro, onde b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para
9
50 b
ser um inteiro, b = 4.
Como 22233265493269532 aba . Então, 6ba
3.A expressão , é equivalente a:
A) 1 B) xy2 C) 22 22 yx D) x
y
y
x 22 E)
xyxy
22
Solução:
xy
yxyx
xy
yxyx
x
y
y
x
y
y
x
x 111111 222222222222
xyxy
xy
yx 22
22 22
4.
1. O número de dígitos do numero N = 224 x 520 é igual a:
A. 22
B. 20
C. 23
D. 24
E. 21
Solução:
zeros
N20
202020204 0001610165216522
5.O valor de 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... + 1999 - 2000 + 2001 é igual a:A.1001 B.1000 C.1002 D.1003 E.1004
Solução:
20012000199910987654321
2001)20001999()109()87()65()43()21(
1001200110002001)111111(1000
vezes
6.Se a e b são inteiros positivos tais que a + b + ab =14 , então a + b é igual a:
A.8 B.7 C.6 D.9 E.10
Solução:
53)1)(1(15)1()1(14)1(14 baaabaababba
011
14151
bb
aa (b=0 não serve) ou ainda
14151
011
bb
aa
(a=0 não serve).
231
451
bb
aa ou ainda
451
231
bb
aa.
Logo, 6 ba
7.
1. Assinale a opção que representa o maior número:
A. 360
B. 448
C. 736
D. 1924
E. 30012
Solução : 1212560 243)3(3 ; 1212448 256)4(4 ;
1212336 343)7(7 ; 1212224 361)19(19 . Logo, 603 < 484 < 12300 < 367 <
2419
8.
1. Se a0 = 1, a1 = 3 e a relação geral para . Então a3 é igual
a:
A. 13
27
B. 33
C. 21
D. 10
E. –17
Solução:
Para 1n , temos 12021 aaa e como 10 a , 31 a , então
1019 22 aa .
Para 2n , temos 1)1( 231
22 aaa , então 3313100 33 aa .
9.
1. No triângulo ABC , o ângulo , AB =20 , AC = 12 e os pontos D no lado AB e E no lado BC são tais que AD=DB , e DE é perpendicular ao lado AB . Então, a área do quadrilátero ADEC é igual a:
A. 75
B. 48
C. 75
2
D. 117
2
E. 115
2
Solução:
C
E
A D B
Pelo teorema de Pitágoras, 222
ACABBC , então:
162561444002
BCBC
O ∆ABC ~ ∆DBE (pois têm 2 ângulos iguais), então DB
BC
DE
AC , ou seja,
2
15
10
1612 DE
DE.
Como A∆ABC = 962
1612
2
BCAC, A∆DBE =
2
75
2
102
15
2
DBDE e
A ADEC = A∆ABC - A∆DBE = 2
117
2
7596
10.
10.Se ou e ou , então é equivalente a:
a)4 3x y xy b)
4
6
xy
y
c)2
2 3
x y
d)
4
6
yx
y
e)4 6y xy x
Solução:
xyyxxyyxyyxxy
yx
yx)6(46446
2
123
2
132
xy
y
6
4
QUESTÕES ABERTAS
1.Qualquer are do terreno retangular abaixo tem o mesmo preço. Os terrenos A e B juntos custam R$ 53.000,00. Calcule o custo do terreno D. (Informação: Are é uma medida de superfície).
Como a diagonal do retângulo divide o mesmo em dois triângulos de mesma área, temos que 6 + 11 + 25 = 24 + AD AD = 18 are. De acordo com o enunciado, podemos calcular o custo do terreno “D” através de uma regra-de-três simples:
17 are ____ 53.000,00 reais
18 are ____ X
2.Na adição abaixo, 2A3 e 5B7 são números de três dígitos. Se 5B7 é divisível por 7 . Que dígitos representam as letras A e B ?
Solução:
7)50(10710100575 BBB , onde 75B =0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9
17
)50(10
7
7
7
)50(10
7
75
BBB é um número inteiro. Para
7
50 B ser
um um inteiro, 6B .
Como 2433245673247532 BA , logo 4A
3) Descubra o número, de acordo com as informações dadas a seguir:
i) é um número de dois algarismos;ii) o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das unidades;iii) trocando os dois algarismos de lugar, obtêm-se um segundo número. Se, do primeiro, subtrai-se o segundo número, o resultando é 36
Solução:
O número procurado é da forma: AB, onde A e B são dígitos. Podemos
escrever AB=10A+B e, como A=2B, então AB=20B+B=21B.
O segundo número é BA=10B+A=10B+2B=12B. Mas AB-BA=21B-12B=9B=36, logo B=4 e A=8. O numero procurado é 84.
4.Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que cada um apareça exatamente uma vez em cada coluna, linha ou diagonal.A.Calcule o valor de A+B.B.Complete a tabela.
Solução:
a) Calcule o valor de A+B =6
b) Complete a tabela
1 5 4 3 2
3 2 1 5 4
5 4 3 (A) 2 1
2 1 5 4 3
(B) 4 3 2 1 5
5.O diretor de um colégio interno tem uma garrafa cheia de vinho trancada a chave no seu armário. Um aluno conseguiu uma cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, completou a garrafa com água e recolocou-a no lugar. Deu a chave para um colega que fez a mesma coisa. Quando o diretor percebeu, já havia menos de 2% de vinho na garrafa. Quantos alunos, no mínimo, beberam da garrafa?
Seja iV a fração de vinho na garrafa após a i-ésima manipulação . Temos
10 V e se i 0, 21i
i
VV . Segue que
n
n
nV 2
1
2
1
. Se queremos que nV
seja menor que 2%, devemos ter 50
1
100
2
2
1
n, ou seja, 502 n , o que
implica 6n . Logo, pelo menos 7 alunos beberam da garrafa.
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