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Sistemas de Controle 2Cap.7 - Erros de Estado Estacionário

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Cap.7 - Erros de Estado Estacionário

7. Erros de Estado Estacionário

7.1 Introdução

7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária

7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema

7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário

7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

7.7 Sensibilidade

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Bibliografia principal:

Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Muitos sistemas não possuem retroação unitária devido a diversos fatores:- Compensação não unitária para melhorar desempenho.- Tipo do modelo físico do sistema.- Retroação dinâmica

Sistema Genérico

Transdutorde entrada

Controladore processo

retroação

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Sistema Genérico Transdutorde entrada

Controladore processo

retroação

Movendo G1 para depois da junção de adição:

G(s)=G1(s)G2(s)

H(s)=H1(s)/G1(s)

Sinal atuante 𝐸𝑎(𝑠) (não mais o “erro”)

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Mostrando explicitamente E(s)=R(s)-C(s)

Somando e subtraindo ramounitário

Operações de blocos atésobrar uma realimentaçãounitária

*Unidades de entrada e saída precisam seras mesmas

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

• Tipo?• Constante de erro?• Erro de estado estacionário para u(t)?

Converter para um Sistema com retroação unitária

Solução:

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

100s s + 10

1 +100

s s + 101

𝑠 + 5− 1

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

100s s + 10

1 +100

s s + 101

𝑠 + 5− 1

100s s + 10

1 +100

s s + 101

𝑠 + 5− 1

100s s + 10

1 +100

s s + 101

𝑠 + 5−

100s s + 10

Ge(s)

Ge(s)

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Ge(s)

Ge s =

100s s + 10

1 +100

s s + 101

𝑠 + 5−

100s s + 10

MATLABT=feedback(G,1)polos=pole(T)

polos =

-11.3780 + 0.0000i-1.8110 + 2.3472i-1.8110 - 2.3472i

Sistema Estável

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Ge(s)

Sistema do tipo 0

MATLABr=roots(p)r =

-16.56075.7565

-4.1958

𝐺𝑒 𝑠 =100(𝑠 + 5)

(𝑠 + 16.56)(𝑠 − 5.75)(𝑠 + 4.19)Ge s =

100s s + 10

1 +100

s s + 101

𝑠 + 5−

100s s + 10

Constate de erro apropriada: Kp

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

𝐺𝑒 𝑠 =100(𝑠 + 5)

(𝑠 + 16.56)(𝑠 − 5.75)(𝑠 + 4.19)Sistema do tipo 0

Constante de erro de posição

erro de posição

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Sistema com retroação não unitária e perturbação

Entradas e perturbação em degrau

Deduzindo equação geral para erro estacionário

**Demonstração completa comoexercício do final do capítulo

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Sistema com retroação não unitária e perturbação

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Sistema com retroação não unitária e perturbação

Essas condições podem sempre ser atendidas se:1) O Sistema for estável2) G1(s) for um Sistema do tipo 1.3) G2(s) for um Sistema do tipo 0.4) H(s) for um Sistema do tipo 0.

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Sistema com retroação não unitária e perturbação

Demonstração como exercício no final do capítulo

Obtenção do valor de estado estacionário do sinal atuante 𝐸𝑎1(𝑠)

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Degrau unitário

𝑒𝑎1 ∞ = 𝑒𝑎(∞)Pois 𝐺1 𝑠 = 1

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

Fórmula para o sinal atuante

Erro Cálculado com a função de transferência em malha aberta com o Sistema depois de transformado para realimentação unitária

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

He(s)

=100(𝑠 + 1)

(𝑠 − 94.95)(𝑠 − 0.0421)

𝐾𝑝 =100(0 + 1)

0 + 0 + 4= 25 𝑒𝑎 ∞ =

1

1 + 𝐾𝑝=

1

1 + 25=

1

26= 3.84.10−2

7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária

He(s)

= 0

𝑒𝑎 ∞ =1

𝐾𝑣

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠. 100(𝑠 + 1)

(𝑠 − 94.95)(𝑠 − 0.0421)=

0 .100(0 + 1)

(0 − 94.95)(0 − 0.0421)

= ∞

7.7 Sensibilidade

Sensibilidade grau que as alterações nos parâmetros causam nas funções de transferência.

Ideal: Sensibilidade zero

Exemplo:

𝐹 =𝐾

𝐾 + 𝑎𝐾 = 10

𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝐹 = 0.091

Cenário 1

𝐾 = 10

𝒂 = 𝟑𝟎𝟎𝐹 = 0.032

Cenário 2

300 − 100

100= 2 = 200%

Mudança relativa de “a”

Mudança relativa de “F”

0.032 − 0.091

0.091= −0.65 = −65%

“F” possui sensibilidade reduzida à mudanças de “a”.

A adição de retroação no sistema reduz a sua sensibilidade

7.7 Sensibilidade

Definição formal:Sensibilidade é a relação entre a variação relativa de uma função e a variação relativa de um parâmetro quando esta variação tende a zero.

7.7 Sensibilidade

= ?

Dicas:

Regra de derivação

Função de transferência a malha fechada

Sensibilidade

7.7 Sensibilidade

G(s)

𝑇 𝑠 =𝐺 𝑠

1 + 𝐺(𝑠)

𝑇 𝑠 =

𝐾𝑠(𝑠 + 𝑎)

1 +𝐾

𝑠(𝑠 + 𝑎)

𝑆𝑇,𝑎 =𝑎

𝐾𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾

(𝜕𝑇

𝜕𝑎)

Regra de derivação

=

𝐾𝑠(𝑠 + 𝑎)

𝑠 𝑠 + 𝑎 + 𝐾𝑠(𝑠 + 𝑎)

=𝐾

𝑠 𝑠+𝑎 +𝐾 =𝐾

𝑠2+𝑎.𝑠+𝐾

7.7 Sensibilidade

G(s)

𝑆𝑇,𝑎 =𝑎

𝐾𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾

(𝜕𝑇

𝜕𝑎)

Regra de derivação

𝜕𝑇

𝜕𝑎=

K′. 𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 − 𝐾. 𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 ′

𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 2=0. 𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 − 𝐾. 𝑠

𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 2

𝑇 𝑠 =𝐾

𝑠2+𝑎.𝑠+𝐾

Derivando:

𝑆𝑇,𝑎 =−𝑎. 𝑠

𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾

Aumentar K reduz a sensibilidade

7.7 Sensibilidade

Sistema Tipo ?

Regra de derivação

Dicas:

7.7 Sensibilidade

Sistema Tipo 1 sinal de teste Rampa

G(s)

𝑑𝑒

𝑑𝑘=

𝑑

𝑑𝑘

𝑎

𝑘=

𝑎′.𝑘−𝑎.𝑘′

𝑘2

=0. 𝑘 − 𝑎. 1

𝑘2=−𝑎

𝑘2

A retroação não produz nem aumento nemredução de sensibilidade nesse sistema

7.7 Sensibilidade

Regra de derivação

7.7 Sensibilidade

Se “a” e “b” forem positivos a sensibilidadepara variações de “K” e “a” será menor que 1. Portanto a retroação reduz a sensibilidade.

Sistema Tipo 0 sinal de teste: degrau

7.7 Sensibilidade

7.7 Sensibilidade

- Sistema tipo 0- Entrada de teste: degrau

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Aplicação de dois métodos para o cálculo do erro de estado estacionário:

1) Análise através do teorema do valor final

2) Análise através da substituição da entrada

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Sistema a malha fechada representado espaço dos estados:

Transformada de Laplace do erro:

Saída do Sistema:

T(s) função de transferência a malha fechada

Logo: Cap. 3

Aplicando o Teorema do valor final:

Exemplo para facilitar visualização:

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Aplicando o Teorema do valor final:

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

MATLAB

syms s A B C R

A=[-5, 1, 0; 0, -2, 1; 20, -10, 1]B=[0;0;1]C=[-1,1,0]

R=1/s % degrau

result= s*R*(1-C*inv(s*eye(3)-A)*B)

limit(result, s, 0)

Aplicando o Teorema do valor final:

Result = limit = 4/5 (erro degrau)

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

MATLAB

% rampaR=1/(s^2)

result= s*R*(1-C*inv(s*eye(3)-A)*B)

limit(result, s, 0, 'right')

Aplicando o Teorema do valor final:

Result =

limit = Inf (erro rampa)O Sistema se comporta como tipo 0

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

- Método para análise do erro que evita a obtenção da inversa de (sI-A)- Pode ser usado para múltiplas entradas e múltiplas saídas (Hostetter, 1989)

Dado as equações de estado:

Se a entrada for um degrau unitário (r=1), uma solução para x em estado estacionário será:

Onde:

Derivada de 𝑥𝑠𝑠 é zero

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

𝑦𝑠𝑠 é o valor estacionário da saída

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

- O erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada em estado estacionárioe a saída em estado estacionário.

Resultado final do erro para uma entrada em degrau unitário:

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Entradas em rampa:

Derivada das entradas em rampa:

Representação do Sistema no espaçodos estados:

Substituindo x e ሶ𝑥

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Igualando matrizes que possuem t e matrizes que não possuem t.

𝟎 = 𝑨𝑽 + 𝑩−𝑩 = 𝑨𝑽 + 𝑩 − 𝑩

−𝑩 = 𝑨𝑽−𝑨−𝟏𝑩 = 𝑨−𝟏𝐀𝐕−𝑨−𝟏𝑩 = 𝐕

Matrizes que possuem t: Matrizes que não possuem t (termos constantes):

𝑽 = 𝑨𝑾𝑨−𝟏𝑽 = 𝑨−𝟏AW𝑨−𝟏𝑽 = W

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Substituindo:

𝑽 = −𝑨−𝟏𝑩

𝑾 = 𝑨−𝟏𝑽

Em:

Resulta:

…

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

**Para se usar esse método é preciso que a inversa de A exista, ou seja, o determinante de Adeve ser diferente de zero.

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados

Lista do cap.7

• Todos os ímpares

• Gabarito e resoluções no site

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