Sistemas de Controle 2Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes

8. Técnicas do Lugar das Raízes

8.1 Introdução

8.2 Definindo o Lugar das Raízes

8.3 Propriedades do Lugar das Raízes

8.4 Esboçando o Lugar das Raízes

8.5 Refinando o Esboço

8.6 Um Exemplo

8.7 Projeto de Resposta Transitória Através do Ajuste de Ganho

8.8 Lugar das Raízes Generalizado

8.9 Lugar das Raízes para Sistemas com Retroação Positiva

8.10 Sensibilidade dos Pólos

Bibliografia principal:

Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise

8.5 Refinando o Esboço

O esboço pode ser refinado através do cálculo dos:

- Pontos de entrada ou saída do eixo real.- Pontos sobre o eixo imaginário (𝑗𝜔)- Ângulos de partida dos pólos complexos e ângulos de chegada em zeros complexos

Programas em PC/calculadoras/celulares

Régua usada antigamente para o cálculo dos pontos notáveis no plano complexo

Spirule (Espírula)

O método moderno é a utilização de programas de computador.

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real

Ponto de entrada

Ponto de

saída

Ângulo dos ramos do lugar das raízes quando entram ou saem do eixo real:

n = número de pólos

Exemplo:

2 pólos ângulo = 90 grausRamos a 90 graus

Ramos a 90 graus

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real

Ganho=0

Ganho>0 (aumentando)

Ganho máximo no eixo real entre os pólos

(ponto de saída)

Ganho mínimo no eixo real entre os zeros(ponto de entrada)

Ganho>0 (aumentando)

Ganho infinito

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real

Esboço do valor dos ganhos no eixo real

Ganho máximo no eixo real entre os pólos

(ponto de saída)

Ganho mínimo no eixo real entre os zeros(ponto de entrada)

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real

Três métodos para encontrar os pontos de entrada e saída:

Método 1) Método do cálculo diferencial- Maximizar e minimizar o ganho K usando cálculo diferencial

𝜎1 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝜎2 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎

Curva K versus 𝜎

8.5 Refinando o Esboço

8.5 Refinando o Esboço

Retirando do gráfico pólos e zeros em malha aberta e montando equação:

Sabe-se que todos os pontos sobre o lugar das raízes:

8.5 Refinando o Esboço

Isolando K:

Derivando e igualando a zero:

Sobre o eixo real:

8.5 Refinando o Esboço

Derivando e igualando a zero:

𝑑𝐾

𝑑𝜎=

− 𝜎2 + 3𝜎 + 2 ′ 𝜎2 − 8𝜎 + 15 − − 𝜎2 + 3𝜎 + 2 𝜎2 − 8𝜎 + 15 ′

(𝜎2 − 8𝜎 + 15)2

𝑑𝐾

𝑑𝜎=

− 2𝜎 + 3 𝜎2 − 8𝜎 + 15 − − 𝜎2 + 3𝜎 + 2 2𝜎 − 8

(𝜎2 − 8𝜎 + 15)2

8.5 Refinando o Esboço

Resolvendo:

8.5 Refinando o Esboço

Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação:

Método 2) Método de transição

É uma variação do método com cálculo diferencial. É chamado método de transição e elimina a etapa da derivação (Franklin, 1991)

Onde zi e pi são, respectivamente, os negativos dos valores dos zeros e dos pólos de G(s)H(s).

8.5 Refinando o Esboço

Retirando do gráfico pólos e zeros em malha aberta:

Solução:

Aplicando a equação:

8.5 Refinando o Esboço

Simplificando:

8.5 Refinando o Esboço

Método 3) Cálculo por programa de computador – MATLAB e outros

Experiência realizada no laboratório 1 do capítulo 8.

Clique em cima do ponto e descubra seu valor juntamente com o ganho.

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎

Pontos que separam entre o comportamento estável e o instável

O valor de 𝜔 no ponto de interseção fornece a frequência de oscilação.

Exemplo ao lado:O ganho no ponto de interseção com o eixo imaginário é o valor limite máximo para estabilidade do sistema.

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎

Uma das formas de encontrar o ponto sobre 𝒋𝝎 é aplicando o critério de Routh-Hurwitz Cap. 6 (Controle I)

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz

𝑇 =𝐺

1 + 𝐺

𝐺 =𝐾(𝑠 + 3)

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 4)

𝑇 = (𝐾 ∗ (𝑠 + 3))/(𝑠 ∗ ((𝐾 ∗ (𝑠 + 3))/(𝑠 ∗ (𝑠 + 1) ∗ (𝑠 + 2) ∗ (𝑠 + 4)) + 1) ∗ (𝑠 + 1) ∗ (𝑠 + 2) ∗ (

T=

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz

−1 147 8 + 𝐾

7=90 − 𝐾

7

−1 3𝐾7 07

=21𝐾

7

−7 8 + 𝐾

90 − 𝐾 2190 − 𝐾

=−𝐾2 − 65𝐾 + 720

90 − 𝐾 −90 − 𝐾 21𝐾

−𝐾2 − 65𝐾 + 72090 − 𝐾

0

−𝐾2 − 65𝐾 + 72090 − 𝐾

= 21𝐾

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz

Uma linha completa de zeros resulta na possibilidade de raízes no eixo imaginário.

Raizes:

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz

Formando o polinômio par usando a linha 𝑠2

Se duas linhas puderem ser iguais multiplicando-se uma dela por um valor positivo então teremos um polinômio par na linha

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz

Formando o polinômio par usando a linha 𝑠2

90 − 9.65 𝑠2 + 21(9.65) = 0

𝑠 =

O lugar das raízes cruza o eixo j𝜔 em ±𝑗1,59 com um ganho de 9,65.O sistema é estável para um ganho de 0 até 9.65

8.5 Refinando o Esboço

Pontos de Interseção do Eixo 𝒋𝝎 através do Critério de Routh-Hurwitz

Formando o polinômio par usando a linha 𝑠3

𝑠 =

O lugar das raízes cruza o eixo j𝜔 em ±𝑗1,59 com um ganho de 9,65.O sistema é estável para um ganho de 0 até 9.65

7*𝑠3+(8+9.65)*s=0

7*𝑠3+(8+K)*s=0

8.5 Refinando o Esboço

Ângulos de Partida e de Chegada

Para esboçar corretamente o lugar das raízes, é preciso calcular o ângulo de partida do lugar das raízes a partir dos pólos complexos e o ângulo de chegada aos zeros complexos.

Considere o sistema com realimentação unitária abaixo:

Para encontrar o ângulo de partida dos pólos complexos:

1°) Marque no plano complexo todos os pólos e zeros do sistema a malha aberta:

8.5 Refinando o Esboço

Ângulos de Partida e de Chegada

Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j

2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.

Pólo complexo 1

Pólo complexo 2Ângulo de saída = 𝜃1

8.5 Refinando o Esboço

Ângulos de Partida e de Chegada

Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j

2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.

𝜃2 =90°

Pólo complexo 1

𝜃2 =90°

8.5 Refinando o Esboço

Ângulos de Partida e de Chegada

Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j

2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.

𝜃3

Pólo complexo 1

𝜃2 =90°

𝜃3 = 𝑡𝑔−11

1= 45°

𝜃3 1

1

8.5 Refinando o Esboço

Ângulos de Partida e de Chegada

Zeros: -2Pólos: -3, -1+j,-1-j

2°) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido.

𝜃4

Pólo complexo 1

𝜃2 =90°

𝜃3 = 𝑡𝑔−11

1= 45°

𝜃41

2

𝜃4 = 𝑡𝑔−11

2= 26,56°

8.5 Refinando o Esboço

Ângulos de Partida e de Chegada

3°) Calcular ângulo de saída considerando que os ângulos que partem dos pólos são negativos e os ângulos de chegada nos zeros são positivos e a soma deles é igual a um múltiplo impar de 180:𝜃1

Pólo complexo 1

𝜃2 =90°

𝜃3 = 𝑡𝑔−11

1= 45°

𝜃4 = 𝑡𝑔−11

2= 26,56°

−𝜃1 − 𝜃2 +𝜃3 −𝜃4 = (2𝑘 + 1)180

−𝜃1 − 90 + 45 − 26.56 = 180

𝜃1 = −251.6 = 108.4

8.5 Refinando o Esboço

Ângulos de Partida e de Chegada

𝜃1 = 108.4

8.5 Refinando o Esboço

Traçando e Calibrando o Lugar das Raízes

Devemos poder localizar pontos específicos sobre o lugar das raízes bem como encontrar seus ganhos associados.

Por exemplo:

Determinar ponto exato no qual o lugar das raízes cruza a reta de relação de amortecimento igual a 0,45 e o ganho nesse ponto.

8.5 Refinando o Esboço

Traçando e Calibrando o Lugar das Raízes

Para o ponto onde r=2:

Não é múltiplo impar de 180.Não é faz parte do lugar das raízes.

Para o ponto onde r=0.747: ângulo=-180

Faz parte do lugar das raízes

Ganho neste ponto: