Técnicas Matemático-Computacionais para o Tratamento de...

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 1

Técnicas Matemático-Computacionais para o

Tratamento de Incertezas Aplicadas ao

Problema do Fluxo de Potência em Sistemas

de Transmissão de Energia Elétrica

Rogério Vargas

orientador: Luciano Barboza co-orientadora: Graçaliz Dimuro

Pelotas, 29 de Fevereiro de 2008

Introdução

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 2

Motivação

Introdução

Motivação

Metodologias Utilizadas

História MatemáticaIntervalar

História Lógica Fuzzy

História C-XSC

Objetivos

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� Dados (Equipamento de Medição)

� Calibragem

� Deterioração

� Modelagem (Simplificações)

� Numéricos (Computadores e Arredondamento)

Metodologias Utilizadas

Introdução

Motivação

Metodologias Utilizadas

História MatemáticaIntervalar

História Lógica Fuzzy

História C-XSC

Objetivos

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 4

� Matemática Intervalar

� Lógica Fuzzy

� Biblioteca C-XSC

História Matemática Intervalar

Introdução

Motivação

Metodologias Utilizadas

História MatemáticaIntervalar

História Lógica Fuzzy

História C-XSC

Objetivos

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 5

� Matemática Intervalar

� Aritmética Intervalar, Moore em 1965

� Matemática Intervalar, Leslie Fox em 1974

� Críticas feitas:

� Resultados pessimistas, demasiadamente grandes

� Processamento computacional

� Aritmética avançada, software e hardware

História Lógica Fuzzy

Introdução

Motivação

Metodologias Utilizadas

História MatemáticaIntervalar

História Lógica Fuzzy

História C-XSC

Objetivos

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 6

� Lógica Fuzzy

� Teoria Fuzzy, Zadeh em 1965

� Teoria de Conjuntos

� Variáveis “imprecisas”, “vaga”

História C-XSC

Introdução

Motivação

Metodologias Utilizadas

História MatemáticaIntervalar

História Lógica Fuzzy

História C-XSC

Objetivos

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� Biblioteca C-XSC

� Década de 60, suportar uma aritmética mais poderosa que aaritmética de ponto-flutuante ordinária

� Ausência de linguagens de alta exatidão em programaçãonumérica e computação científica

� Estender linguagens para computações científicas, conhecidascomo XSC

� Pascal-XSC e C-XSC, em 1988, Universidade de Wuppertal(Alemanha)

Objetivos

Introdução

Motivação

Metodologias Utilizadas

História MatemáticaIntervalar

História Lógica Fuzzy

História C-XSC

Objetivos

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 8

� Objetivos da Pesquisa

� Analisar algoritmos para o tratamento das incertezas em fluxode potência em redes de energia elétrica utilizando comometodologia a Matemática Intervalar e a Lógica Fuzzy

� Implementar uma aplicação (software) para o sistemaoperacional Linux utilizando como recurso de implementação abiblioteca C-XSC e as metodologias estudadas

Matemática Intervalar

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 9

Conceitualização

Matemática Intervalar

Conceitualização

Adição e Subtração

Multiplicação e Divisão

Considerações daMatemática Intervalar

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 10

� A Matemática Intervalar considera um conjunto de métodos paramanipulação de intervalos numéricos que aproximam dadosincertos

� Oliveira, 2005:

� Intervalos representam valores desconhecidos e contínuos

� Kulisch, 2003:

� Intervalos controlam o erro de arredondamento erepresentam dados inexatos, aproximações e erros detruncamento de procedimentos

Adição e Subtração

Matemática Intervalar

Conceitualização

Adição e Subtração

Multiplicação e Divisão

Considerações daMatemática Intervalar

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 11

Sejam X,Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].

� Adição:

X + Y = [(x1 + y1) ; (x2 + y2)]

Resultado: [3, 7]

� Subtração:

X − Y = [(x1 − y2) ; (x2 − y1)]

Resultado: [−1, 3]

Multiplicação e Divisão

Matemática Intervalar

Conceitualização

Adição e Subtração

Multiplicação e Divisão

Considerações daMatemática Intervalar

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 12

Sejam X,Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].

� Multiplicação:

X × Y = [min{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2};

max{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2}]

Resultado: [2, 12]

� Divisão:

X

Y=

[min

{x1

y1

,x1

y2

,x2

y1

,x2

y2

};max

{x1

y1

,x1

y2

,x2

y1

,x2

y2

}]

com 0 /∈ [y1; y2]. Resultado: [0, 6666, 4]

Considerações da Matemática Intervalar

Matemática Intervalar

Conceitualização

Adição e Subtração

Multiplicação e Divisão

Considerações daMatemática Intervalar

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 13

� Representar os dados na forma intervalar, consiste em delimitar oproblema

� Os sistemas computacionais atuais são incapazes de representartodos os números reais

� Com o uso da Matemática Intervalar pode-se obter uma respostaque não contenha algo de interesse. Os algoritmos a seremdesenvolvidos devem ser algoritmos intervalares e não versõesintervalares dos algoritmos pontuais

Lógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 14

Conceitualização

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)

Tipos deRepresentações (2)

Considerações daLógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 15

� Cox, 1994; Cox, 1995; Kasabov, 1996; Terano, 1992 e Zadeh, 1965:

� Também conhecida como Conjuntos Nebulosos. Nas últimasdécadas, pesquisadores da inteligência artificial vêmtrabalhando com a teoria dos Conjuntos Fuzzy

� Kasabov, 1996; Kosko, 1992, Tsoukalas, 1997:

� Crescimento no número de pesquisas, desenvolvimento demáquinas com controladores Fuzzy, como: aspirador de pó, arcondicionados, robôs autônomos e até mesmo chips FuzzyVLSI

Definição de Conjuntos Fuzzy

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)

Tipos deRepresentações (2)

Considerações daLógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 16

Teoria dos Conjuntos Clássicos:

� Um elemento pertence ou não pertence a um conjunto

χA(x) = 1, se x é um elemento do conjunto A, e

χA(x) = 0, se x não é um elemento do conjunto A

Teoria dos Conjuntos Fuzzy:

� Atribuindo a noção de pertinência, a premissa de pertence ou nãopertence é quebrada

µA(x) : U → [0, 1]

onde U é o conjunto universo de discurso e A é um Conjunto Fuzzy

Exemplo de “Quente”

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)

Tipos deRepresentações (2)

Considerações daLógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 17

0

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ce

rte

za

(%)

Temperatura ( C)

0

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Re

levâ

ncia

Temperatura ( C)

Especialista do Conhecimento

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)

Tipos deRepresentações (2)

Considerações daLógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 18

0

1

Gra

u d

e P

ert

inê

ncia

Altura (m)

1

(X)

1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90

� Abaixo de 1, 60m, não significa ser alto

� Acima de 1, 80m, definitivamente significa ser alto

Engenheiro do Conhecimento, define quais as regras.

Tipos de Representações (1)

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)

Tipos deRepresentações (2)

Considerações daLógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 19

� Tipo Sino

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Sino

1

(X)

� Tipo S e Z

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Z

1

(X)

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função S

1

(X)

Tipos de Representações (2)

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)

Tipos deRepresentações (2)

Considerações daLógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 20

� Triangular

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Triangular

(X)

(X)a b c

Tri(x,a,b,c)

� Trapezoidal

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Trapezoidal

(X)

(X)a b c d

Trap(x,a,b,c,d)

Considerações da Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)

Tipos deRepresentações (2)

Considerações daLógica Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 21

� A utilização da Lógica Fuzzy não possui uma complexidade grande,no sentido de que pode ser facilmente implementada

� O uso de Números Fuzzy possibilita que as avaliações dasvariáveis sejam expressas com incertezas baseadas em umaavaliação quantitativa. Isto evita realizar outras avaliaçõesquantitativas objetivando conhecer as incertezas

� As operações com Números Fuzzy seguem as mesmaspropriedades das operações intervalares. A diferença é que, comos Números Fuzzy, as operações são realizadas para cada nível depertinência, como se o Número Fuzzy fosse “fatiado” em diversosintervalos

C-XSC

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 22

Características da Biblioteca C-XSC

C-XSC

Características daBiblioteca C-XSC

Tipos de DadosNuméricos Simples

Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores

Escolha da BibliotecaC-XSC

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� Aritmética intervalar para números reais, complexos, intervalarescomplexos

� Vetores e matrizes dinâmicos

� Subarrays de vetores e matrizes

� Tipos de dados de alta exatidão

� Operadores aritméticos predefinidos com alta exatidão

� Controle de arredondamento dos dados de entrada e saída

� Biblioteca de rotinas para a resolução de problemas matemáticos

� Resultados numéricos com rigor matemático

Tipos de Dados Numéricos Simples

C-XSC

Características daBiblioteca C-XSC

Tipos de DadosNuméricos Simples

Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores

Escolha da BibliotecaC-XSC

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 24

� real

� interval (intervalo de reais)

� complex (número complexo)

� cinterval (intervalo complexo)

Tipos de Dados aplicados a Matrizes e Vetores

C-XSC

Características daBiblioteca C-XSC

Tipos de DadosNuméricos Simples

Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores

Escolha da BibliotecaC-XSC

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 25

� rvector (vetor de reais)

� ivector (vetor de intervalos reais)

� cvector (vetor de complexos)

� civector (vetor de intervalos complexos)

� rmatrix (matriz de reais)

� imatrix (matriz de intervalos reais)

� cmatrix (matriz de complexos)

� cimatrix (matriz de intervalos complexos)

Escolha da Biblioteca C-XSC

C-XSC

Características daBiblioteca C-XSC

Tipos de DadosNuméricos Simples

Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores

Escolha da BibliotecaC-XSC

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 26

� Disponibilidade:É uma biblioteca freeware e vem ao encontro das necessidades dogrupo de pesquisa

� Usabilidade:O C-XSC é uma biblioteca que trabalha com a linguagem deprogramação C/C++ e permite escrever algoritmos numéricosproduzindo resultados confiáveis num ambiente de programaçãoconfortável

Estudo de Caso: Fluxo de Potência

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 27

Esquema de Transmissão de Energia Elétrica

Estudo de Caso: Fluxo dePotência

Esquema deTransmissão de EnergiaElétrica

Problema Físico

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- Barra PV - Barra PQ

Problema Físico

Estudo de Caso: Fluxo dePotência

Esquema deTransmissão de EnergiaElétrica

Problema Físico

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 29

� Sistema de Equações Não-Lineares

(e2

i + f2

i )Gii −

nX

k=1

k 6=i

[ei(ekGik − fkBik) + fi(fkGik − ekBik) − Pgi+ Pdi

= 0

−(e2

i + f2

i )Bii −

nX

k=1

k 6=i

[fi(ekGik − fkBik) − ei(fkGik + ekBik) − Qgi+ Qdi

= 0

e2

i − f2

i − |Vespi

|2

= 0

� Suprir a demanda?

� Linhas de transmissão suportam a energia?

Entrada de Dados

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 30

Arquivo de Leitura

Entrada de Dados

Arquivo de Leitura

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1**** Sistema de 6 barras (R.N. Dhar) ****4

1 4 8.00 37.00 3.001 6 12.3 51.80 4.202 3 72.3 105.00 0.002 5 28.2 64.00 0.003 4 0.00 13.30 0.00.909 44 6 9.70 40.70 3.005 6 0.00 30.00 0.00.975 6

99995

1 2 barra1 1.10 -9999+99992 1 barra2 1.10 50. -15.0 20.0 0. 0.3 0 barra3 55. 13.4 0 barra4 0. 0.5 0 barra5 30. 18.6 0 barra6 50. 5.

9999

Proposta via Matemática Intervalar

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 32

Conversão Intervalar das Demandas

Proposta via MatemáticaIntervalar

Conversão Intervalardas Demandas

Erros de Leitura emInstrumentos

Variação da Demandano Tempo

Implementação

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Pd = [infimun; supremum] Qd = [infimun; supremum]

� O sistema pode ser analisado:

� Sob o ponto de vista dos erros em instrumentos de medição

� Sob o ponto de vista das variações nas demandas das barrasPQ em um determinado período de tempo

Erros de Leitura em Instrumentos

Proposta via MatemáticaIntervalar

Conversão Intervalardas Demandas

Erros de Leitura emInstrumentos

Variação da Demandano Tempo

Implementação

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 34

Pint = [Pi − αi;Pi + αi] Qint = [Qi − βi;Qi + βi]

� Pint e Qint são os intervalos resultantes da conversão dasdemandas ativa e reativa pontuais para dados intervalares

� αi e βi são os erros associados aos instrumentos de leitura daspotências ativa e reativa na barra i do sistema de potência

� Pi e Qi são os valores pontuais das potências ativa e reativamedidas pelos respectivos instrumentos na barra i do sistema depotência

Variação da Demanda no Tempo

Proposta via MatemáticaIntervalar

Conversão Intervalardas Demandas

Erros de Leitura emInstrumentos

Variação da Demandano Tempo

Implementação

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 35

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

5

10

15

20

25

←9.7568

←20.0012

O

O

←1.8367

←8.0179

O

OD

eman

da A

tiva

(MW

)

Horas do Dia

Variaçao da Demanda Ativa

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 62

4

6

8

10

←4.8669

←9.0886

O

O

←2.4174

←4.2432

O

O

Dem

anda

Rea

tiva

(MV

Ar)

Horas do Dia

Variaçao da Demanda Reativa

Barra 1Barra 2

Barra 1Barra 2

Implementação

Proposta via MatemáticaIntervalar

Conversão Intervalardas Demandas

Erros de Leitura emInstrumentos

Variação da Demandano Tempo

Implementação

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 36

� Krawczyk:

K(x̃, X = x̃ − Cf(x̃) − (I − CJ(X))(x̃ − X)

Proposta via Números Fuzzy

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 37

Geração das Demandas como Números Fuzzy

Proposta via NúmerosFuzzy

Geração das Demandascomo Números Fuzzy

Implementação

Interpretação daSolução

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Implementação

Proposta via NúmerosFuzzy

Geração das Demandascomo Números Fuzzy

Implementação

Interpretação daSolução

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 39

1. Executa-se um fluxo de potência intervalar com os intervalos cujaspertinências são um. À solução obtida é atribuído grau depertinência um

2. Executa-se um fluxo de potência intervalar com os intervalos cujaspertinências são zero. À solução obtida é atribuído grau depertinência zero

3. Traçam-se duas retas, uma com os ínfimos dos intervalos solução,e outra, com os supremos. Assim, gera-se um Número FuzzyTrapezoidal para a solução

Interpretação da Solução

Proposta via NúmerosFuzzy

Geração das Demandascomo Números Fuzzy

Implementação

Interpretação daSolução

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Observa-se que, a partir dos intervalos (pertinência 1 e pertinênciazero), qualquer valor para outras pertinências são obtidas através dasequações das retas.

Resultados Numéricos

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Validação

Resultados Numéricos

Validação

Erro no Equipamento

Variação da Demandano Tempo

Equipamento deMedição (Fuzzy)

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� Resultados comparados com a Literatura

� MatLab usando IntLab

Erro no Equipamento

Resultados Numéricos

Validação

Erro no Equipamento

Variação da Demandano Tempo

Equipamento deMedição (Fuzzy)

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 43

Resultado Pontual

Barra Magnitude(pu) Ângulo(◦)

3 0, 9051 −11, 7277

Resultado MatLab (IntLab) / C++ (C-XSC)

Barra Magnitude(pu) Ângulo( ◦) Resultado3 [0, 8930; 0, 9174] [−12, 0675; −11, 3934] MatLAb

3 [0, 8998; 0, 9104] [−11, 7810; −11, 6750] C++

Variação da Demanda no Tempo

Resultados Numéricos

Validação

Erro no Equipamento

Variação da Demandano Tempo

Equipamento deMedição (Fuzzy)

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 44

Barra Magnitude(pu) Ângulo( ◦)3 [0, 8766; 0, 9349] [−12, 0106; −11, 4578]

� Nota-se intervalos de diâmetro relativamente grandes, poisinicialmente as demandas ativa e reativa nas barras PQ foramsupostas com variações de 15% em torno do dado pontual

� Esta variação se reflete no perfil de tensão e acaba tornando odiâmetro dos intervalos maiores

Equipamento de Medição (Fuzzy)

Resultados Numéricos

Validação

Erro no Equipamento

Variação da Demandano Tempo

Equipamento deMedição (Fuzzy)

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Conclusão

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 46

Considerações Finais (1)

Conclusão

Considerações Finais (1)

Considerações Finais (2)

Considerações Finais (3)

Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 47

Algumas conclusões referentes a Matemática Intervalar:

� A obtenção dos resultados obtidos pela Matemática Intervalarpermite conhecer a dimensão do erro ocasionado pelosequipamentos de medição

� Apenas com o percentual de erro informado pelo fabricante doequipamento de medição, pode-se converter as demandas ativa ereativa na forma de intervalos

� O uso de intervalos como resposta não garante que ela contenhaalgo de interesse. Os algoritmos a serem desenvolvidos devem seralgoritmos intervalares e não versões intervalares dos algoritmospontuais

Considerações Finais (2)

Conclusão

Considerações Finais (1)

Considerações Finais (2)

Considerações Finais (3)

Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 48

Referente aos Números Fuzzy, pode-se dizer que:

� A representação, por ser de forma gráfica, é intuitiva para ainterpretação

� Para a geração dos resultados Fuzzy não necessitou-se de grandeprocessamento computacional, utilizou-se apenas uma bibliotecafree para a geração dos gráficos

� Através dos Números Fuzzy, foi possível tratar o erro ocasionadopela depreciação dos equipamentos de medição, além de tratar oerro inerente de medição do equipamento

Considerações Finais (3)

Conclusão

Considerações Finais (1)

Considerações Finais (2)

Considerações Finais (3)

Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 49

Sobre a biblioteca C-XSC:

� Pode-se combinar qualquer linha de código do C-XSC com linhasde código do C++. Os programas utilizando o C-XSC semprefornecem os mesmos resultados numéricos em computadores comdiferentes compiladores C++

� Além de tratar os erros dos equipamentos de medição e variaçãodo fluxo de potência no tempo, foi possível também tratar eventuaiserros que possam acontecer por arredondamentos erepresentações da mantissa do computador

Trabalhos Futuros

Conclusão

Considerações Finais (1)

Considerações Finais (2)

Considerações Finais (3)

Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 50

� Desenvolvimento de uma interface gráfica para o ambiente,possibilitando especificar diversas variáveis que atualmente estãodefinidas no código, como por exemplo, tolerâncias para o processoiterativo, número máximo de iterações, fator de carga e etc

� Utilização de Números Fuzzy Intervalares

� Aperfeiçoamento dos algoritmos, visando diminuir o tempo deresposta

� Simulação em outros sistemas reais de grande porte

� Desenvolver o algoritmo para ser executado em clusters decomputadores

Publicações

Conclusão

Considerações Finais (1)

Considerações Finais (2)

Considerações Finais (3)

Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 51

� Artigo completo, no ano de 2007, no XXX CNMAC (CongressoNacional de Matemática Aplicada e Computacional), realizado emFlorianópolis - SC. Este artigo apresentou o uso da MatemáticaIntervalar no fluxo de potência

� Submeteu-se um artigo completo para a revista TEMA (Tendênciasem Matemática Aplicada e Computacional), com algumasmodificações no artigo apresentado no XXX CNMAC

� Dois resumos para congressos internacionais foram aceitos. Umpara o 16th PSCC (Power Systems Computation Conference), ondefoi apresentado a abordagem do fluxo de potência em umdeterminado período de tempo. E outro resumo foi aceito para o10th PMAPS (Probabilistic Methods Applied to Power Systems),onde é abordado o fluxo de potência usando a MatemáticaIntervalar e Números Fuzzy

Obrigado...

Conclusão

Considerações Finais (1)

Considerações Finais (2)

Considerações Finais (3)

Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...

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Técnicas Matemático-Computacionais para o

Tratamento de Incertezas Aplicadas ao

Problema do Fluxo de Potência em Sistemas

de Transmissão de Energia Elétrica

Contato: rogerio@ucpel.tche.br