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Tema da Aula:
Representação de Sistemas Dinâmicos – Parte II
Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos
1
Prof. Dr. Carlos Henrique Farias dos Santos
Estrutura da aula
2
1 Circuito Análogo Elétrico2 Representação em Espaço de Estados;3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinal.4 Linearização5 Sistemas com Atraso de Transporte
3
1 Circuito Análogo Elétrico
Destacamos nesta seção a similaridade entre as equações resultantes das leis de Kirchhoff para sistemas elétricos e as equações de movimento dos sistemas mecânicos.
As variáveis dos circuitos elétricos se comportam exatamente como as variáveis análogas dos sistemas mecânicos.
Um circuito elétrico análogo a um sistema de outra natureza é chamado de circuito elétrico análogo. Os análogos podem ser obtidos pela comparação das equações de governo, como equações de movimento de um sistema mecânico, com as equações elétricas de malhas ou de nós.
Quando a comparação é realizada com as equações das malhas, o circuito elétrico resultante é chamado análogo em série. Quando a comparação é com as equações dos nós, o circuito elétrico resultante é chamado análogo em paralelo.
4
1 Circuito Análogo ElétricoANÁLOGOS EM SÉRIE
Considere o sistema mecânico em translação mostrado na figura (a), cuja equação de movimento é.
( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2
A equação de malha de Kirchhoff para o circuito RLC em série mostrado na figura (b) é
( ) ( )sEsICs
RLs =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
1
( ) ( ) ( ) ( )sFsVsKfMsssX
sKsfMs
vv =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
++2
(1)
(2)
Observa-se que deslocamento e corrente não são análogos. Assim, operando-se sobre a equação (1) para converter o deslocamento para velocidade pela divisão e multiplicação do lado esquerdo da equação por s, o resultado fica
(3)
5
1 Circuito Análogo Elétrico
6
1 Circuito Análogo Elétrico
Comparando-se as equações (2) e (3) é possível reconhecer a soma de impedâncias e construir o circuito mostrado na figura (c). As conversões são resumidas na figura (d).
EXEMPLO:Desenhe um análogo em série para o sistema mecânico mostrado da figura a seguir.
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfvsXKKsfvfvsM =+−++++ 223131312
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322
2123 =++++++− sXKKsfvfvsMsXKsfv
7
1 Circuito Análogo ElétricoSOLUÇÃOAs equações anteriores são análogas às equações elétricas de malha após serem convertidas para velocidade. Assim,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sFsVs
KfvsVs
KKsfvfvsM =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
+++ 22
3121
311
( ) ( ) ( ) ( ) 0232
32212
3 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− sV
sKKfvfvsMsV
sKfv
Os coeficientes representam somas de impedâncias elétricas. O resultado émostrado na figura abaixo.
8
1 Circuito Análogo Elétrico
ANÁLOGOS EM PARALELO
Um sistema mecânico também pode ser convertido em um análogo em paralelo equivalente. Considere novamente o sistema mecânico da figura (a) (próximo slide), cuja equação de movimento é dada pela equação.
A equação de Kirchhoff dos nós para o circuito RLC paralelo simples mostrado na figura (b) é,
( ) ( )sIsELsR
Cs =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
11
Comparando as equações (1) e (2) identifica-se a soma das admitâncias e desenha-se o circuito mostrado na figura (c). As conversões são resumidas na figura (d).
(2)
( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2 (1)
9
1 Circuito Análogo Elétrico
10
2 Representação em Espaço de EstadosINTRODUÇÃO
Enquanto a teoria de controle convencional é baseada na relação entre entrada e saída ou função de transferência, a teoria de controle moderno (variáveis de estado) se baseia na descrição das equações do sistema em termos de n equações diferenciais de primeira ordem, que podem ser cominadas em equação diferencial vetorial-matricial de primeira ordem.
As técnicas de espaço de estado são úteis por diversas razões, mencionadas a seguir:
• Equações de estado fornecem um modelo matemático de grande generalidade que pode descrever não somente sistemas lineares, mas também sistemas não-lineares; não somente sistemas invariantes no tempo, mas também sistemas com parâmetros variantes no tempo; não somente sistemas SISO, mas também sistemas MIMO.
• A notação matricial compacta e as poderosas técnicas de álgebra linear facilitam as manipulações complexas.
11
2 Representação em Espaço de Estados• Equações de estado resultam em uma fácil situação para a simulação em computadores digitais de sistemas complexos de alta ordem, lineares ou não e com múltiplas entradas e saídas.
• Para sistemas de 2 ª ordem, um método gráfico chamado de análise no plano de fase pode ser utilizado nas equações de estado, sejam elas lineares ou não.
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS
Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamadas de variáveis de estado), tais que o conhecimento dessas variávies em t = to, juntamente com o conhecimento da entrada para t >= to, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t >= to.
Variáveis de Estado: são as variáveis que determinam comportamento futuro de um sistema quando são conhecidas o estado presente do sistema e os sinais de excitação.
12
2 Representação em Espaço de Estados
Vetor de Estado: Se forem necessárias n variáveis de estado para descrever completamente o comportamento de um dado sistema, então essas n variáveis de estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x.
Espaço de Estados: O espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são formados pelas variáveis de estado, é chamado de espaço de estados.
Suponha que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas envolva n integradores. Considere também que existam r entradas u1(t), u2(t), ..., ur(t), e m saídas y1(t), y2(t), ..., ym(t). Defina as n saídas dos integradores como variáveis de estado: x1(t), x2(t), ..., xn(t). Então o sistema pode ser descrito como:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )tuuuxxxftx
tuuuxxxftxtuuuxxxftx
rnnn
rn
rn
;,,,;,,,
;,,,;,,,;,,,;,,,
2121
212122
212111
KK&
M
KK&
KK&
=
==
(1)
13
2 Representação em Espaço de Estados
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )tuuuxxxgty
tuuuxxxgtytuuuxxxgty
rnmm
rn
rn
;,,,;,,,
;,,,;,,,;,,,;,,,
2121
212122
212111
KK
M
KK
KK
=
==
As saídas y1(t), y2(t), ..., ym(t) do sistema podem ser dadas por:
Se definirmos,
( )
( )( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
tuuuxxxf
tuuuxxxftuuuxxxf
tuxf
rnn
rn
rn
;,,,;,,,
;,,,;,,,;,,,;,,,
,,
2121
21212
21211
KK
M
KK
KK
( )
( )( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
tuuuxxxg
tuuuxxxgtuuuxxxg
tuxg
rnm
rn
rn
;,,,;,,,
;,,,;,,,;,,,;,,,
,,
2121
21212
21211
KK
M
KK
KK
(2)
14
2 Representação em Espaço de Estados
( )
( )( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
tx
txtx
tx
n
M2
1
( )
( )( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ty
tyty
ty
m
M2
1
( )
( )( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
tu
tutu
tu
r
M2
1
As equações (1) e (2) tornam-se:
( ) ( )( ) ( )tuxgty
tuxftx,,,,
==& (3)
(4)
Onde a equação (3) é a equação de estado e a equação (4) é a equação de saída. Se as equações (3) e (4) forem linearizadas em torno de um ponto de operação, então teremos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutDtxtCty
tutBtxtAtx+=+=& (5)
(6)
15
2 Representação em Espaço de Estados
Onde: A(t) – matriz de estado; C(t) – matriz de saída;B(t) – matriz de entrada; D(t) – matriz de transmissão direta.
Uma representação do diagrama de blocos das equações (5) e (6) é mostrada na figura a seguir.
( )tx&( )tu ( )ty( )tx
A(t)
B(t) C(t)
D(t)
∫ dt
16
2 Representação em Espaço de Estados
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tDutCxty
tButAxtx+=+=& (7)
(8)
Se as funções vetoriais f e g não envolvem o tempo t explicitamente, então o sistema será chamado de sistema invariante no tempo. Nesse caso, as equações (5) e (6) podem ser simplificadas para:
EXEMPLO:Dado o circuito elétrico a seguir, obtenha sua representação no espaço de estados considerando como saída a corrente através do resistor.
17
2 Representação em Espaço de Estados
SOLUÇÃO
Etapa 1 : Nomeie todas as correntes referentes às ramificações do circuito. Essas correntes são iL, iR e iC conforme mostrado na figura.
Etapa 2 : Selecione as variáveis de estado escrevendo as equações em derivadas para todos os elementos armazenadores de energia, isto é, o indutor e o capacitor. Assim,
LL
CC
vdtdiL
idt
dvC
=
= (9)
(10)
Com base em (9) e (10), escolha as variáveis de estado como as grandezas que são derivadas, quais sejam, vC e iL. Como iC e vL não são variáveis de estado, a próxima etapa é escrever iC e vL como combinações lineares das variáveis de estado, vC e iL e da entrada, v(t).
18
2 Representação em Espaço de Estados
Etapa 3 : Aplique a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter iC e vL.
No nó 1, tem-se
LC
LRC
ivR
iii
+−=
+−=1
que fornece iC em função das variáveis de estado, vC e iL . Ao longo da malha externa, tem-se
( )tvvv CL +−=
que fornece vL em função das variáveis de estado, vC e da fonte, v(t).
(11)
(12)
19
2 Representação em Espaço de Estados
Etapa 4 : Substitua os resultados das equações (9) e (10) nas equações (11) e (12) para obter as seguintes equações de estado.
( )tvvdtdiL
ivRdt
dvC
CL
LCC
+−=
+−=1
ou
(13)
(14)
( )tvL
vLdt
di
iC
vRCdt
dv
CL
LCC
11
11
+−=
+−=
20
2 Representação em Espaço de Estados
Etapa 5 : Obtenha a equação de saída. Como se deseja a saída iR(t), tem-se
CR vR
i 1=
O resultado final para a representação no espaço de estados é obtido expressando-se as equações (14) e (15) na forma vetorial-matricial que se segue:
(15)
( ) ( )
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
L
CR
L
C
L
C
iv
Ri
tvLi
v
L
CRCiv
01
10
01
11
&
&
21
2 Representação em Espaço de EstadosO diagrama de blocos do sistema é exposto a seguir. Note que as saídas dos integradores são as variáveis de estado.
( )tvC&
( )tv
∫ dt
( )tiL&
C1
∫ dtL1
L1
( )tvC
( )tiL
RC1
R1 ( )tiR
22
2 Representação em Espaço de EstadosCORRELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADOS
Consideremos o sistema cuja função de transferência é dada por:
( )( ) ( )sGsUsY=
Este sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tDutCxty
tButAxtx+=+=&
A transformada de Laplace das equações anteriores é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sDUsCXsY
sBUsAXxssX+=
+=− 0
23
2 Representação em Espaço de Estadosestabelecemos x(0) igual a zero. Então,
( ) ( ) ( )sBUsAXssX =−
ou ( ) ( ) ( )sBUsXAsI =−
Multiplicando à esquerda ambos os lados dessa última equação por (sI - A)-1, obtemos:
( ) ( ) ( )sBUAsIsX 1−−=
Substituindo esta equação na equação de saída, temos:
( ) ( )[ ] ( )sUDBAsICsY +−= −1
Comparando esta equação com a função de transferência, vemos que:
( ) ( ) DBAsICsG +−= −1
24
2 Representação em Espaço de Estados
EXEMPLO:Considere o sistema mecânico abaixo. De acordo com o diagrama, a equação do sistema é:
uMx
x
Mb
Mkx
x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1010
2
1
2
1
&
&
)()(
2
1
tyxtyx
&==
Vamos definir as variáveis de estado x1(t) e x2(t) como:
uykybyM =++ &&&
M
u(t)
y(t)
b
k
Então obtemos:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
101xx
y
A equação de saída pode ser escrita como:
25
2 Representação em Espaço de Estados
Pela substituição de A, B, C e D, obtemos:
( ) ( ) DBAsICsG +−= −1
[ ] 0M
10
Mb
Mk
10s00s
011
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−
=−
M10
Mbs
Mk
1s01
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+
++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+− −
sMkMbs
Mks
MbsM
bsM
ks 111
2
1
Como
26
2 Representação em Espaço de Estados
[ ]
kbsMs
MsMkMbs
Mks
Mbs
sG
++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+
++=
2
2
1
101101)(
tem-se:
27
2 Representação em Espaço de Estados
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NO ESPAÇO DE ESTADOS
(Caso - I): Representação cuja função de entrada não possui derivadas.
Considere o seguinte sistema de ordem n:
uyayayay nn
nn=++++ −
−
&L 1
)1(
1
)(
Observando-se que o conhecimento de y(0), junto com a entrada u(t) para t >= 0, determina completamente o comportamento futuro do sistema, pode-se considerar como um conjunto de nvariáveis de estado.
)0(,),0()1( −n
yy K&
)(,),(),()1(
tytytyn−
K&
Definindo
)1(
2
1
−
=
==
n
n yx
yxyx
M
&
(1)
28
2 Representação em Espaço de Estados
uxaxax
xx
xxxx
nnn
nn
+−−=
=
==
−
11
)1(
32
21
L&
&
M
&
&
(2)
A equação (1) pode ser escrita do seguinte modo:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
xM2
1
ou ( ) ( ) ( )tButAxtx +=&
onde
(3)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−− 121
1000
01000010
aaaa
A
nnn L
L
MLMMM
L
L
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
00
MB
29
2 Representação em Espaço de EstadosA saída pode ser dada por:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
yM
L 2
1
001
ou xCy =
onde [ ]001 L=C
30
2 Representação em Espaço de Estados(Caso - II): Representação cuja função de entrada possui derivadas.
Método I: Utilizando as variáveis auxiliares.
Considere o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de entrada, como:
ububububyayayay nn
nn
nn
nn++++=++++ −
−
−
−
&L&L 1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
O principal problema na definição das variáveis de estado para esse caso ocorre nos termos com derivadas. As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na equação de estado. Uma maneira de obter a equação de estado édefinir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de estado:
uxuuuuyx
uxuuuyxuxuuyx
uyx
)1n()1n(1n2n
)2n(
1
)1n(
0
)1n(
n
222103
11102
01
−−−−
−−−
β−=β−β−−β−β−=
β−=β−β−β−=β−=β−β−=
β−=
&&L
M&&&&&&
&&&
31
2 Representação em Espaço de Estados
onde β0, β1, β2, ..., βn são determinadas a partir de
01111
03122133
021122
0111
00
ββββ
βββββββ
βββ
nnnnn aaab
aaabaab
abb
−−−−=
−−−=−−=
−==
−− L
M
32
2 Representação em Espaço de Estados
Com esta escolha de variáveis de estado, a existência e a unicidade da solução da equação estão garantidas. Com essa escolha, obtemos:
uxaxaxax
uxx
uxxuxx
nnnnn
nnn
β
β
ββ
+−−−−=
+=
+=+=
−
−−
1211
1)1(
232
121
L&
&
M
&
&
33
2 Representação em Espaço de Estados
u
xx
xx
aaaaxx
xx
n
n
n
n
nnnn
n
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
ββ
ββ
1
2
1
1
2
1
121
1
2
1
1000
01000010
MM
L
L
MLMMM
L
L
&
&
M
&
&
Em termos de equações vetoriais-matriciais, a equação de estado e de saída são escritas como:
[ ] u
x
xx
y
n
02
1
001 β+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=M
L
34
2 Representação em Espaço de EstadosMétodo II: Decomposição em cascata.
Se uma função de transferência possuir um polinômio em s no numerador que seja de ordem inferior ao polinômio do denominador, de acordo com a figura (a), o numerador e o denominador poderão ser manipulados separadamente.
Inicialmente decomponha a função de transferência em duas funções em cascata, conforme mostrado na figura (b).
35
2 Representação em Espaço de Estados
( ) ( )sXbsbsbsCsY 1012
2)()( ++==
101
121
2
2)( xbdtdxb
dtxdbty ++=
A primeira função de transferência é convertida para uma representação em variáveis de fase no espaço de estados. Assim, a variável de fase x1 é a saída e as demais variáveis de fase são internas ao primeiro bloco, conforme mostrado na figura (b).
A segunda função de transferência fornece
onde, após aplicar a transformada de Laplace inversa, com condições iniciais nulas, resulta em
36
2 Representação em Espaço de Estados
322110)( xbxbxbty ++=
Os termos em derivadas refletem as definições da variáveis de fase obtidas no primeiro bloco. Assim, escrevendo-se os termos em ordem inversa para se obter uma expressão com a forma da equação de saída, tem-se
Portanto, o denominador da função de transferência fornece as equações de estado, enquanto o numerador fornece a equação de saída.
37
2 Representação em Espaço de EstadosEXEMPLO:
Obtenha a representação no espaço de estados da função de transferência mostrada na figura (a).
SOLUÇÃO
Etapa I : Separe o sistema em dois blocos em cascata, conforme mostrado na figura (b).
38
2 Representação em Espaço de Estados
Etapa II : Obtenha as equações de estado para o bloco que contém o denominador.
rxxx
xxx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100
92624100010
3
2
1
3
2
1
&
&
&
Etapa III : Introduza o efeito do bloco com o numerador. O segundo bloco da figura (b), onde b2 = 1, b1 = 7 e b0 = 2, estabelece que
( ) ( ) ( ) ( )sXsssXbsbsbsC 12
1012
2 27)( ++=++=
Aplicando a transformada de Laplace inversa com condições iniciais nulas, tem-se
111 27 xxxc ++= &&&
39
2 Representação em Espaço de EstadosPorém,
31
21
11
xxxxxx
===
&&
&
Portanto,
123102132 27)()( xxxxbxbxbtcty ++=++==
Assim, a última caixa da figura (b) reúne os estados e gera a equação de saída.
[ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
3
2
1
210 172xxx
xxx
bbby
40
2 Representação em Espaço de Estados
Portanto, a figura (c) reproduz o diagrama de blocos do sistema.
41
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.
Os diagramas de blocos são adequados para a representação dos inter-relacionamentos de variáveis controladas e de entrada.. Contudo, para um sistema com inter-relacionamentos complexos, o procedimento de redução é enfadonho e geralmente muito difícil de concluir.
Um método alternativo para a determinação dos relacionamentos entre as variáveis de um sistema foi desenvolvido por Mason e é baseado em uma representação do sistema por meio de segmentos de arcos.
A vantagem do método do caminho dos arcos, chamado de método do diagrama de fluxo de sinal, é a disponibilidade de uma fórmula para o ganho do diagrama de fluxo, a qual fornece a relação entre variáveis do sistema sem requerer qualquer procedimento de redução ou manipulação do diagrama de fluxo.
42
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Um diagrama de fluxo de sinal consiste em ramificações, as quais representam o sistema, e nós, que representam os sinais. Esses elementos são mostrados na figura (a) e (b), respectivamente. Um sistema é representado por uma linha com uma seta indicando a orientação do fluxo de sinal através do sistema. Um sinal é representado por um nó.
43
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.A figura (c) mostra a interconexão dos sistemas e dos sinais. Cada sinal é igual àsoma dos sinais que fluem através do nó correspondente.
Por exemplo, o sinal
V(s) = R1(s)G1(s) – R2(s)G2(s) + R3(s)G3(s)
O sinal C2(s) = R1(s)G1(s) G5(s) – R2(s)G2(s) G5(s) + R3(s)G3(s) G5(s).
O sinal C3(s) = - V(s) G6(s) = -R1(s)G1(s) G6(s) + R2(s)G2(s) G6(s) - R3(s)G3(s) G6(s).
Note que na soma de sinais negativos, associa-se o sinal negativo ao sistema e não à junção de soma, como no caso dos diagramas de blocos.
44
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.A REGRA DE MASON (1957)
Definições:
Ganho de malha: O produto dos ganhos das ramificações obtido ao se percorrer um caminho que parte de um nó, seguindo o sentido do fluxo de sinal, sem passar por qualquer outro nó mais de uma vez. Por exemplo no diagrama a seguir, existem quatro ganhos de malha:
1. G2(s)H1(s); 2. G4(s)H2(s); 3. G4(s)G5(s)H3(s); 4. G4(s)G6(s)H3(s).
45
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Ganho do caminho adiante: O produto dos ganhos obtido ao se percorrer um
caminho desde de um nó de entrada até o nó de saída do diagrama de fluxo de sinal.Por exemplo no diagrama a seguir, existem dois ganhos de caminho adiante:
1. G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) G7(s); 2. G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G6(s) G7(s);
46
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Malhas disjuntas: São malhas que não possuem qualquer nó em comum com outra
malha. No diagrama de fluxo de sinal a seguir, a malha G2(s) H1(s) não toca as malhas:
1. G4(s) H2(s) ; 2. G4(s) G5(s) H3(s)3. G4(s) G6(s) H3(s)
47
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Ganho de uma malha disjunta: É o produto de ganhos das malhas disjuntas
consideradas duas a duas, três a três, quatro a quatro e assim sucessivamente. Em resumo, os três ganhos de malhas disjuntas consideradas duas a duas ficam.
1. [G2(s)H1(s)] [G4(s)H2(s)];2. [G2(s)H1(s)] [G4(s) G5(s) H3(s)];3. [G2(s)H1(s)] [G4(s) G6(s) H3(s)];
O produto dos ganhos de malha [G4(s) G5(s) H3(s)] [G4(s) G6(s) H3(s)] não é um ganho de malhas disjuntas, uma vez que essas duas malhas possuem nós em comum.
48
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Regra de Mason:
A função de transferência, C(s)/R(s), de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é
∆∆
== ∑ kkk TsRsCsG)()()(
onde:
k = número de percursos adiante;Tk = ganho do k-ésimo percurso adiante;∆ = 1 – Σ ganhos de malhas + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas -Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro - ....∆k = ∆ - Σ ganhos de malhas em ∆ que tocam o k-ésimo percurso adiante. Em outras palavras, ∆k é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso adiante.
49
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.EXEMPLO: Obtenha a função de transferência, C(s)/R(s), referente ao diagrama de fluxo de sinal mostrado na figura a seguir.
SOLUÇÃO
Primeiro identifique os ganhos de percurso adiante. Neste exemplo hásomente um, qual seja,
G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G5(s)
Segundo, identifique os ganhos de malha. Existem quatro, definidos por
1. G2(s) H1(s);2. G4(s) H2(s);3. G7(s) H4(s);4. G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) G6(s) G7(s) G8(s) ;
(1)
(2)
50
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.
Terceiro, identifique as malhas disjuntas duas a duas. Com base nas equações anteriores e na figura a seguir, pode-se verificar eu a malha 1 não toca a malha 2, a malha 1 não toca a malha 3 e a malha 2 não toca a malha 3. Observe que as malhas 1, 2 e 3 tocam, todas elas, a malha 4. Portanto, as combinações de malhas disjuntas, duas a duas, são as seguintes:
Malha 1 e Malha 2: G2(s)H1(s)G4(s)H2(s)
Malha 1 e Malha 3: G2(s)H1(s)G7(s)H4(s)
Malha 2 e Malha 3: G4(s)H2(s)G7(s)H4(s)
(3)
51
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.
Finalmente, as malhas três a três são:
Malha 1, 2 e 3: G2(s)H1(s)G4(s)H2(s) G7(s)H4(s)
Agora, com base na equação de Mason e suas definições, são formados ∆ e ∆k. Portanto,
∆ = 1 – [G2(s) H1(s) + G4(s) H2(s) + G7(s) H4(s) + G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) G6(s) G7(s) G8(s) ] + [G2(s)H1(s)G4(s)H2(s) + G2(s)H1(s)G7(s)H4(s) + G4(s)H2(s)G7(s)H4(s) ] – [G2(s)H1(s)G4(s)H2(s) G7(s)H4(s)]
Obtém-se ∆k eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso adiante:
∆k = 1 – G7(s) H4(s)
(4)
(5)
(6)
52
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.
As expressões (1), (5) e (6) são substituídas agora na equação de Mason, fornecendo a função de transferência:
[ ][ ]∆
−=
∆∆
=)()(1)()()()()()( 475432111 sHsGsGsGsGsGsGTsG
Como existe apenas um percurso adiante, G(s) consiste em apenas um termo, em vez de um somatório de termos, cada um proveniente de um percurso adiante.
53
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.EXEMPLO: Obtenha a função de transferência, C(s)/R(s), referente ao diagrama de fluxo de sinal mostrado na figura (a) a seguir. O diagrama de blocos correspondente é exposto na figura (b).
SOLUÇÃO
Primeiro identifique os ganhos de percurso adiante. Neste exemplo existem dois:
P1 = G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) P2 =G5(s) G6(s) G7(s) G8(s)
54
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.
Os ganhos de malha são definidos por
L1 = G2(s)H2(s), L2 = H3(s)G3(s), L3 = G6(s)H6(s), L4 = G7(s)H7(s).
As malhas L1 e L2 não tocam L3 e L4. Portanto, o determinante é
∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4 ) + (L1 L3 + L1 L4 + L2 L3 + L2 L4 )
O cofator do determinante ao longo do caminho 1 é calculado removendo-se de ∆os laços que tocam o caminho 1. Assim, tem-se
L1 = L2 = 0 e ∆1 = 1 – (L3 + L4)
De modo semelhante, o cafator para o caminho 2 é
∆2 = 1 – (L1 + L2)
55
3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.
Portanto, a função de transferência do sistema é
( ) ( )423241314321
2187654343212211
111)(
)()(
LLLLLLLLLLLLLLGGGGLLGGGGPPsT
sRsY
++++−−−−−−+−−
=∆
∆+∆==
56
4 LinearizaçãoNÃO-LINEARIDADES:
Os modelos desenvolvidos até aqui são referentes a sistemas que podem ser descritos aproximadamente por equações lineares invariantes no tempo. Uma hipótese de linearidade estava implícita no desenvolvimento desses modelos.
Um sistema linear possui duas propriedades: superposição e homogeneidade. A propriedade de superposição significa que a resposta na saída de um sistema à soma de entradas é igual à soma das respostas às entradas individuais. Assim, se uma entrada r1(t) fornece uma saída c1(t), e uma entrada r2(t) fornece uma saída c2(t), então, uma entrada r1(t) + r2(t) fornece uma saída c1(t) + c2(t).
A propriedade de homogeneidade descreve a resposta do sistema à multiplicação da entrada por um escalar. Especificamente, em um sistema linear, a propriedade de homogeneidade é demonstrada se, para uma entrada r1(t) que fornece uma saída c1(t), uma entrada Ar1(t) fornecerá uma saída Ac1(t); isto é, a multiplicação de uma entrada por um escalar fornece uma resposta que é multiplicada pelo mesmo escalar.
57
4 LinearizaçãoNÃO-LINEARIDADES:
Pode-se visualizar a linearidade como mostrado na figura (a) a seguir. A figura (a) éum sistema linear onde a saída é sempre igual à metade da entrada, ou f(x) = 0,5x, independentemente do valor de x. Assim, cada uma das duas propriedades dos sistemas lineares é aplicável. Superposição: uma entrada de valor 1 fornece uma saída de valor 0,5, e uma entrada de 2 fornece uma saída de 1. Utilizando superposição, uma entrada que seja soma das duas entradas originais, por exemplo 3, forneceria uma saída igual à soma das saídas individuais, isto é, 1,5 (ver figura (a)).
58
4 LinearizaçãoNÃO-LINEARIDADES:
Homogeneidade: admita uma entrada de valor 2 que forneça uma saída de valor 1. A multiplicação dessa entrada por 2 forneceria uma saída duas vezes maior, isto é, 2 (ver figura (a)).
Por outro lado, pode-se verificar que a propriedade de linearidade certamente não se aplica à relação mostrada na figura (b).
59
4 LinearizaçãoNÃO-LINEARIDADES:
A figura abaixo mostra alguns exemplos de não-linearidades físicas.
Um amplificador eletrônico é linear ao longo de uma faixa específica de valores de entrada, porém apresenta uma não-linearidade denominada saturação para valores elevados de tensões de entrada.
Um motor que não responde a valores muito baixos da tensão de entrada, devido a forças de atrito, apresenta uma não-linearidade denominada zona morta.
60
4 LinearizaçãoNÃO-LINEARIDADES:
As engrenagens que não se ajustam firmemente entre si apresentam uma não-linearidade chamada folga: a engrenagem de entrada se move por um pequeno deslocamento sem uma resposta da engrenagem de saída.
Um projetista muita vezes pode realizar uma aproximação linear em um sistema não-linear. As aproximações lineares simplificam a análise e o projeto de um sistema, e são utilizadas desde que os resultados forneçam uma boa aproximação da realidade. Estas aproximações são tratadas a seguir.
61
4 LinearizaçãoLINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES:
Considere que um sistema não-linear opere em um ponto A, ponto de coordenadas [x0. f(x0)] na figura abaixo. Admita que as variáveis desviem apenas ligeiramente do ponto de operação A. Em outras palavras, pequenas variações na entrada podem ser relacionadas às variações na saída entorno do ponto por meio da inclinação da curva naquele ponto A. Assim, se a inclinação da curva no ponto A é ma, então pequenos desvios da entrada entorno do ponto A, δx, fornecem pequenas variações na saída, δf(x), relacionadas pela inclinação no ponto A. Assim,
( ) ( )[ ] ( )0a0 xxmxfxf −≈−
da qual, tem-se
( ) xmxf aδ≈δe
( ) ( ) ( ) ( ) xmxfxxmxfxf a00a0 δ+≈−+≈
(1)
(2)
(3)
62
4 LinearizaçãoEXEMPLO
Linearize a função f(x) = 5 cos(x) em torno de x = π/2.
SOLUÇÃO
Tem-se inicialmente que a derivada de f(x) édada por,
( )( )xsen5dxdf
−=
Em x = π/2 a derivada vale –5. Sabe-se também que ( ) ( ) 02cos52f)x(f 0 =π=π=
Assim, pela equação (3) o sistema pode ser representado como:
( ) x5xf δ−=Este processo é mostrado na figura ao lado.
63
4 Linearização
A discussão anterior pode ser formalizada utilizando-se uma expansão em série de Taylor, a qual expressa o valor de uma função em termos do valor dessa função em um ponto particular, da excursão adiante desse ponto e das derivadas calculadas nesse ponto.
Se a condição de operação normal corresponde a x0 e f(x0), então a equação (3) pode ser expandida em uma série de Taylor entorno desse ponto, como se segue:
( ) ( ) ( ) ( )L+
−+
−+=
== !2xx
dxfd
!1xx
dxdfxfxf
20
xx2
20
xx0
00
Se a variação (x – x0) for pequena, podemos desprezar os termos de ordem superior em (4). Então, a equação (4) pode ser escrita como:
(4)
( ) ( ) ( )0xx
0 xxdxdfxfxf
0
−+==
(5)
64
4 Linearizaçãoou
( ) ( ) ( )
( ) xmxf
xxdxdfxfxf 0
xx0
0
δ≈δ
−=−=
onde
0xxdxdfm
=
=
65
4 LinearizaçãoEXEMPLO:
Linearize a equação a seguir para pequenas excursões em torno de x = π/4.
( ) 0xcosdtdx2
dtxd2
2
=++
SOLUÇÃO:
A presença do termo cos (x) torna esta equação não-linear. Como se deseja linearizar a equação em torno de x = π/4, faz-se x = δx + π/4, onde δx é a pequena excursão em torno de π/4, e substitui-se x na equação anterior:
04
xcosdt
4xd
2dt
4xd
2
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+δ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+δ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+δ
(1)
(2)
66
4 Linearização
Porém,
dtxd
dt4
xd
dtxd
dt4
xd
2
2
2
2
δ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+δ
δ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+δ
Finalmente, o termo cos (δx + (π/4)) pode ser linearizado por uma série de Taylor truncada. A substituição de f(x) = cos (δx + (π/4)), f(x0) = f(π/4) = cos (π/4) e (x – x0) = δx na equação (5) fornece
x4
senxdx
xcosd4
cos4
xcos4
x
δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π−=δ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+δπ
=
(3)
(4)
(5)
67
4 Linearização
Resolvendo esta última equação para cos (δx + (π/4)), tem-se
x22
22x
4sen
4cos
4xcos δ−=δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+δ (6)
A substituição das equações (3), (4) e (6) na equação (2) fornece a seguinte equação diferencial linearizada:
22x
22
dtxd2
dtxd
2
2
−=δ−δ
+δ
Esta equação pode agora ser resolvida para δx, de onde se pode obter x = δx + (π/4)
68
4 Linearização
A seguir, considere o sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas entradas, x1 e x2, tal que
y = f(x1, x2)
Para obter uma aproximação linear desse sistema não-linear, podemos expandir em uma série de Taylor entorno do ponto de operação x1
’, x2’.
Assim, tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) L+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
∂∂
+−−∂∂∂
+−∂∂
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −
∂∂
+−
∂∂
+=
======
====
2'2
xx,xx22
2'
2'
1xx,xx21
22'
1
xx,xx2
1
2
'2
xx,xx2
'1
xx,xx1
'2
'121
2'22
'11
21'22
'11
1'22
'11
2
'22
'11
1
'22
'11
xxxfxxxx
xxf2xx
xf
!21
!1xx
xf
!1xx
xfx,xfx,xf
69
4 Linearização
Nas proximidades do ponto de operação, os termos de ordem mais elevada podem ser desprezados. O modelo linear é então dado por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )'22
'11
'
'2
xx,xx2
'1
xx,xx1
'2
'121
21
2'22
'11
1'22
'11
xxKxxKyy
xxxfxx
xfx,xfx,xf
−+−=−
−∂∂
+−∂∂
=−====
70
4 LinearizaçãoEXEMPLO:
Linearize a equação não-linear
z = x y
na região 5 <= x <= 7, 10 <= y <= 12. Encontre o erro para o caso em que a equação linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x = 5 e y = 10.
SOLUÇÃO:
Como a região considerada é dada por 5 <= x <= 7, 10 <= y <= 12, selecione x’ = 6, y’ = 11. Então z’= x’ y’ = 66. Logo, linearizamos e equação entorno de x’ = 6, y’ = 11.Expandindo a equação em uma série de Taylor próxima do ponto x = x’, y = y’ e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos:
( ) ( )''' yybxxazz −+−=−
71
4 Linearização
onde,( )
( ) 6xy
y,xfb
11yx
y,xfa
'
yy,xx
'
yy,xx
''
''
==∂
∂=
==∂
∂=
==
==
Portanto, a equação linearizada é:
( ) ( )11y66x1166z −+−=−
Quando x = 5 e y = 10, o valor de z dado pela equação linearizada é z = 49. O valor exato de z é z = x y = 50. Assim, o erro é de 50 – 49 = 1. Em termos percentuais, o erro é de 2 %.
72
4 Linearização
Vamos tratar agora o caso em que um sistema não-linear é representado por um modelo em espaço de estados. Admita que este sistema seja representado pela seguinte equação vetorial-matricial de estados:
( ))t(r),t(xfdt
)t(dx= (1)
onde x(t) representa o vetor de estados n X 1; r(t) denota o vetor de entradas; e f(x(t), r(t)), o vetor de funções. Em geral, f é uma função do vetor de estados e do vetor de entradas. Um exemplo de sistema não-linear em equações de estado é dado a seguir.
)t(r)t(xdt
)t(dx
)t(x)t(xdt
)t(dx
12
221
1
+=
+=
73
4 LinearizaçãoDesde que sistemas não-lineares são mais complexos de analisar e projetar, podemos desenvolver a linearização do mesmo.
Admita uma trajetória de operação nominal denotada por x0(t), a qual corresponde a uma entrada nominal r0(t) e algumas condições iniciais constantes. A expansão da equação de estados não-linear (1) em uma série de Taylor truncada entorno de x(t) = x0(t) resulta em:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j0j
y,x
p
1j j
ij0j
y,x
n
1j j
i00ii rr
rr,xfxx
xr,xfr,xftx
0000
−∂
∂+−
∂∂
+= ∑∑==
&
onde, i = 1, 2, ..., n. Considere,
i0ii xxx −=δ
j0ji rrr −=δ
(2)
(3)
(4)
74
4 Linearização
( ) ( )j
y,x
p
1j j
ij
y,x
n
1j j
ii r
rr,xfx
xr,xfx
0000
δ∂
∂+δ
∂∂
=δ ∑∑==
&
i0ii xxx &&& −=δEntão,
( )00ii0 r,xfx =&
(5)
(6)
Portanto, a equação (2) pode ser escrita como:
(7)
A equação (7) pode ser escrita na forma vetorial-matricial:
rBxAx ** δ+δ=δ& (8)
75
4 Linearização
onde,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
*
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
A
L
MLMM
L
L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
*
rf
rf
rf
rf
rf
rf
rf
rf
rf
B
L
MLMM
L
L
76
4 Linearização
EXEMPLO:A figura acima mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle com uma não-linearidade de saturação. As equações de estado do sistema são:
)t(u)t(f)t(x)t(x)t(f)t(x
22
211
====
&
&
onde a relação de entrada-saída da não-linearidade de saturação é representada por:
( )( ) )t(xSGNe1)t(u 1txK 1−−=
onde: ( ) ( )( )⎩
⎨⎧
<−>+
=0tx10tx1
txSGN1
11
(1)
(2)
(3)
(4)
77
4 LinearizaçãoSOLUÇÃO:
A substituição da equação (3) em (2) e o uso da equação de , resulta nas seguintes equações de estado linearizadas:
(5)
(6)
ix&δ
)t(xKe)t(xx
)t(f)t(x
)t(x)t(xx
)t(f)t(x
1xK
11
22
222
11
01 δ=δ∂∂
=δ
δ=δ∂∂
=δ
−&
&
onde x01 denota um valor nominal de x1(t). Observa-se que estas duas últimas equações são lineares e são válidas apenas para pequenos sinais. Na forma vetorial-matricial, estas equações de estados linearizadas são escritas como:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡δδ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡δδ
)t(x)t(x
0a10
)t(x)t(x
2
1
2
1
&
& onde: 01xKKea −= = constante
78
4 Linearização
Analisando o significado da linearização, se x01 for escolhido como a origem de não-linearidade, x01 = 0, então a = K; assim, (6) torna-se
)t(xK)t(x 12 δ=δ&
Portanto, o modelo linearizado é equivalente a um amplificador linear com um ganho constante de K. Por outro lado, se x01 for um número grande, o ponto de operação nominal vai atingir a porção saturada da não-linearidade, e a = 0. Significa que qualquer pequena variação em x1(t), isto é, pequenos δx1(t) daráorigem a praticamente nenhuma mudança em .)t(x2&δ
79
4 LinearizaçãoEXEMPLO:A figura abaixo mostra o diagrama de um sistema de suspensão magnética de uma esfera metálica. O objetivo deste sistema é controlar a posição da esfera através do ajuste na corrente do eletroímã pela tensão de entrada e(t). As equações diferenciais do sistemas são dadas:
dt)t(diL)t(Ri)t(e
)t(y)t(iMg
dt)t(ydM
2
2
2
+=
−= (1)
(2)
80
4 Linearizaçãoonde:e(t) = tensão de entrada, y(t) = posição da esferai(t) = corrente do enrolamento R = resistência do enrolamentoL = indutância do enrolamento M = massa da esfera.g = aceleração da gravidade
(3)
(4)
SOLUÇÃO:
Define-se as variáveis de estado como x1(t) = y(t), x2(t) = dy(t)/dt, e x3(t) = i(t). As equações de estado do sistema são dadas por:
)t(eL1)t(x
LR
dt)t(dx
)t(x)t(x
M1g
dt)t(dx
)t(xdt
)t(dx
33
1
22
21
3
+−=
−=
=
(5)
81
4 LinearizaçãoVamos linearizar o sistema entorno de um ponto de equilíbrio y0(t) = x01 = constante. Então,
0dt
)t(yd
0dt
)t(dx)t(x
20
2
0102
=
==
O valor nominal de i(t) é determinado pela substituição da equação (7) em (1). Portanto,
(6)
(7)
01030 xgM)t(x)t(i ==
A equação de estados linearizada é expressa na forma de , com as matrizes de coeficientes A* e B* dadas como:
x&δ
82
4 Linearização
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
LR00
Mxg20
xg
010
LR00
Mxx20
Mxx
010
A2
1
010101
03201
203*
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
L100
B*
83
5 Sistemas com Atraso de Transporte
Em aplicações práticas, atrasos de tempo podem ser encontrados em vários sistemas físicos, especialmente em sistema hidráulicos, pneumáticos ou transmissões mecânicas.
Sistemas com controle por computador também possuem atraso de tempo, desde que certo tempo é necessário para que o computador realize operações numéricas.
Neste tipo de sistema, a saída começa a responder à entrada apenas após um certo intervalo de tempo.
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5 Sistemas com Atraso de Transporte
A figura acima exibe uma instalação na qual dois fluidos diferentes devem são misturados em proporções apropriadas. Para garantir que uma solução homogênea seja medida, o ponto de monitoramento está localizado a uma distância do ponto de mistura (válvula). Portanto, existe um tempo de atraso entre o ponto de mistura e o local onde a mudança na concentração é detectada. Se uma taxa de fluxo da solução misturada é de (v) polegadas por segundo e (d) a distância entre os pontos de mistura e de monitoramento, o atraso de tempo édado por:
vdTd =
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5 Sistemas com Atraso de TransporteSe admitirmos que a concentração do ponto de mistura seja y(t) e que a mesma é reproduzida sem alterações Td segundos após o ponto de monitoramento, a quantidade medida é dada por:
b(t) = y(t –Td)
A transformada de Laplace desta última equação é:
)s(Ye)s(B sTd−=
onde Y(s) é transformada de Laplace de y(t). Portanto, a função de transferência entre b(t) e y(t) é
sTde)s(Y)s(B −=
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5 Sistemas com Atraso de Transporte
A figura a seguir ilustra o caso onde ocorre o controle da espessura de chapas de aço laminado. A função de transferência entre a espessura nos rolos e o ponto de medição é novamente dado pela seguinte equação.
sTde)s(Y)s(B −=
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APROXIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE ATRASO DE TRANSPORTE
Existem vários métodos de aproximação da função por uma função racional. Uma destes métodos é aproximar a função exponencial por uma série de Maclaurin, dada por:
sTde−
2sTsT1e
22d
dsTd +−≅−
ou
2sTsT1
1e 22d
d
sTd
++≅−
onde apenas três termos da série são usados. Percebe-se que esta aproximação não éválida quando a magnitude de Tds for grande.
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2sT1
2sT1
ed
dsTd
+
−≅−
Uma melhor aproximação consiste na aproximação de Padé, a qual é dada a seguir para uma aproximação de dois termos.
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OBRIGADO
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