Representação de Sistemas Dinâmicos – Parte Ifoz.unioeste.br/~chsantos/ENG_CONT/Aula_03.pdf · domínio do tempo, onde uma equação diferencial de ordem n pode ser descrita

Tema da Aula:

Representação de Sistemas Dinâmicos – Parte I

Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos

1

Prof. Dr. Carlos Henrique Farias dos Santos

Estrutura da aula

2

1 Introdução2 Revisão da Transformada de Laplace;3 Função de Transferência;4 Modelagem com Diagramas de Blocos;

3

1 Introdução

Modelos matemáticos de sistemas físicos são elementos-chave no projeto e análise de sistemas de controle. O comportamento dinâmico é geralmente descrito com o uso de equações diferenciais ordinárias. Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua saída, ela não é uma representação satisfatória da perspectiva do sistema.

Analisando-se uma equação diferencial geral de enésima ordem, linear e invarianteno tempo, observa-se que os parâmetros do sistema, que são os coeficientes ai e bi , bem como a saída, c(t), e a entrada r(t), aparecem nos diversos termos da equação.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trbdt

trdbdt

trdbtcadt

tcdadt

tcda m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 01

1

101

1

1 +++=+++ −

−

−−

−

− LL

Seria preferível uma representação matemática como a exposta na figura abaixo, onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas.

4

1 IntroduçãoSeria preferível uma representação matemática como a exposta na figura (a) abaixo, onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas. Seria também interessante representar as interconexões dos diversos subsistemas como exposto na figura (b). Esta última apresenta uma configuração em cascata, onde uma função matemática , chamada de função de transferência, é colocada no interior de cada bloco e as funções em blocos podem ser facilmente combinadas, resultando no bloco da figura (a), facilitando a análise do projeto. Esta é uma facilidade que não pode ser obtida com a equação diferencial.

5

1 Introdução

Uma vez que a maioria dos sistemas físicos é não-linear, serão discutidas aproximações lineares, as quais possibilitam o uso de métodos baseados na transformada de Laplace. Estes métodos permitem a obtenção das relações entrada-saída na forma de funções de transferência. Como mostrado anteriormente, estes blocos de funções de transferência podem ser organizados em diagramas de blocos, ou ainda, em diagramas de fluxo de sinal, o qual descreve graficamente as interconexões entre os blocos.

Além destas abordagens no domínio da freqüência, apresenta-se uma representação denominada modelo em variáveis de estado.

Graças ao conceito de variáveis de estado, é possível representar um sistema físico no domínio do tempo, onde uma equação diferencial de ordem n pode ser descrita por um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem. Além disso, apresenta-se a relação deste modelo com os modelos de fluxo de sinal.

6

2 Revisão da Transformada de Laplace

Com a transformada de Laplace, pode-se representar a entrada, a saída e o sistema como entidades separadas. Com essa representação, as inter-relações e subsistemas serão simplesmente algébricas.

A transformada de Laplace é definida como

( ) ( ) ( )∫∞

−

−

==0

stetfsFtfL

onde s = σ + jω é uma variável complexa. Desse modo, conhecendo-se f(t) sabendo-se que a integral é possível, pode-se obter uma função F(s), que échamada de transformada de Laplace de f(t).A notação no limite inferior indica que mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0, pode-se realizar a integração antes da descontinuidade, desde que a integral seja convergente. Assim, pode-se obter a transformada de Laplacede funções impulso.

(1)

7


A transformada de Laplace inversa, a qual nos permite obter f(t) a partir de F(s), é definida como

( ) ( ) ( ) ( )∫∞+

∞−

− ==j

j

st tutfdsesFj

sFLσ

σπ211

onde,( )

0001

<=>=

tttu

(2)

Utilizando-se a equação (1) é possível deduzir os elementos da tabela ao lado, que relaciona f(t) e F(s) para casos específicos. Ao se utilizar a tabela, não será preciso fazer uso da equação (2), para se obter f(t) a partir de F(s).

Tabela (1)

8


EXEMPLO - 01:

Determine a transformada de Laplace de f(t) = Ae-atu(t).

SOLUÇÃO

Como a função do tempo não contém uma função impulso, pode-se substituir o limite inferior da equação (1) por 0. Assim,

( )

( )

asAe

asA

dteAdteAedtetfsF

t

tas

tasstatst

+=

+−=

===

∞

=

+−

∞ ∞+−−−

∞− ∫ ∫∫

0

0 00

)()(

9


Além da tabela com as transformadas deLaplace, pode-se utilizar os teoremas da transformada de Laplace, relacionados na tabela ao lado, para auxiliar na transformação entre f(t) e F(s).A seguir, ilustramos o desenvolvimento de um destes teoremas, denominado teorema de deslocamento no tempo.

Tabela (2)

10

2 Revisão da Transformada de LaplaceTeorema do deslocamento no tempo:

Considere a função rampa da figura (a). Considere agora as várias formas de deslocar a mesma no tempo. A figura (b) ilustra a função de f(t)u(t), onde u(t) é a função degrau unitário.Assim,

⎩⎨⎧

<>

=0,0

0),()()(

tttf

tutf

A figura (c) mostra a função f(t – t0), onde t0 é o tempo deslocado, sendo t0 > 0.

f(t)

t0

(a)

f(t)

t0

(b)

f(t-t0)

t0

(c)

t0

11


A função f(t - t0)u(t) é exposta na figura (d), a função f(t - t0)u(t - t0) é dada na figura (e).

f(t-t0)u(t)

t0

(d)

t0

f(t-t0)u(t-t0)

t0

(e)

t0

Para esta última função,⎩⎨⎧

<>−

=−−0

0000 ,0

),()()(

ttttttf

ttuttf

De acordo com a definição da transformada de Laplace, a transformada de Laplace de f(t) requer a função da figura (b).

12


Neste sentido, obtemos uma propriedade que relacione a transformada de Laplace da função da figura (e) com a função da figura (b). A transformada de Laplace da figura (e) é dada por

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )∫

∫∞

−

∞−

−=

−−=−−

0

0

00000

t

st

st

dtettf

dtettuttfttuttfL

Aplicando a mudança de variável (t – t0) = τ ; assim, t = (τ + t0), dt = dτ; e

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )∫

∫∞

−−

∞+−

=

=−−

0

000

0

0

ττ

ττ

τ

τ

defe

defttuttfL

sst

ts

13


Como τ é a variável de integração e pode ser trocada por t, a integral do lado direito da última equação é F(s). Portanto, a transformada de Laplace de uma função deslocada no tempo é dada por

( ) ( )[ ] ( )sFettuttfL st000

−=−−

onde t0 >= 0 e L[f(t)] = F(s). Esta relação é chamada de deslocamento real ou teorema da translação real, aplicada apenas em funções do tipo da figura (e).

Alguns exemplos de aplicação deste teorema são expostos a seguir.

14


EXEMPLO - 02:Considere a função exponencial mostrada na figura (a) abaixo, a qual édescrita matematicamente por,

( ) tetf 3.05 −=

t

f(t)

2

2.744

5

(a)

onde t é dado em segundos. Esta função é atrasada em 2 segundos e multiplicada por u(t – 2) como mostrado na figura (b), onde a equação da função exponencial atrasada é dada por,

( ) ( ) ( )25 23.0 −= −− tuetf t

t

f(t - 2)u(t – 2)

2

5

(b)

15


Da tabela (1) e do teorema de deslocamento no tempo, tem-se

( )[ ] ( ) ( )3.0

5 22

11 +===

−−

sesFesFtfL

ss

EXEMPLO - 03:Algumas vezes é necessário construir formas de onda complexas a partir de formas de onda simples. Como um exemplo, pede-se a obtenção da transformada de Laplace da onda apresentada na figura abaixo.

f(t)

0 1 2 3 t

10

7

16


Como primeiro passo, escrevemos a equação que descreve a onda em quatro etapas.

1. A inclinação da função muda de 0 para 10 no instante t = 1s.

( ) ( ) ( )11101 −−= tuttf

2. A inclinação da função muda de 10 para 0 no instante t = 2s.

( ) ( ) ( ) ( )221012 −−−= tuttftf

3. O degrau da função muda de –3 em t = 2s..

( ) ( ) ( )2323 −−= tutftf

4. O degrau da função muda de –7 em t = 3s..

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )372322101110

373

−−−−−−−−−=−−=

tutututtuttutftf

17


Podemos verificar esta função (como a soma de quatro elementos) como segue:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 077370321011032110000110,21

00000,1

=−=>=−−−−−=<<−=−−−−=<<

=−−−=<

tfttttft

tttfttft

Logo,a equação está de acordo com a figura. Cada termo em f(t) está de acordo com o teorema do deslocamento no tempo.

( ) ( )[ ] ( )sFettuttfL st000

−=−−

Portanto, a transformada de Laplace de f(t) é dada por,

se

se

se

sesF

ssss 32

2

2

2

731010)(−−−−

−−−=

18


EXEMPLO - 04:Determine a transformada de Laplace de f(t) mostrada na figura (a) abaixo.

0 1 2 3 4

1

(a)t

f(t)

A figura (a) pode ser descrita como a soma de duas componentes mostradas na figura (b)

(b)

0 1 2 3 4

1

t

f(t)

0 1 2 3 4

1

t

f(t)

t - 1 +

19


A equação para a primeira componente é t – 1 para 1 <= t <= 2, de tal forma que esta componente pode ser descrita por

( ) ( ) ( )[ ]211 −−−− tutut

O primeiro termo do lado direito é o sinal tu(t) deslocado por 1 segundo. Além disso, o terceiro e quarto termos são o sinal u(t) deslocado por 2 e 4 segundos, respectivamente.

( ) ( )42 −−− tutu

Portanto, ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )422111

42211)(−−−+−−−−−=

−−−+−−−−=tutututtut

tututututtf

A segunda componente pode ser descrita por

20


O segundo termo, entretanto, não pode ser interpretado como uma versão atrasada de qualquer sinal na tabela (1). Por esta razão, reorganizamos este termo por,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22221221 −+−−=−+−=−− tututtuttut

Acabamos de expressar o segundo termo na forma desejada, como sendo tu(t) atrasado por 2 segundos mais u(t) atrasado por 2 segundos. Com este resultado, f(t) pode ser descrita por,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )42211 −−−−−−−= tututtuttf

Aplicando o teorema de deslocamento no tempo, obtemos a transformada F(s),

( ) sss es

es

es

sF 4222

111 −−− −−=

21


EXEMPLO - 05:

Determine a transformada de Laplace inversa de F1(s) = 1/(s+3)2.

SOLUÇÃO

Neste exemplo utiliza-se o teorema do deslocamento de freqüência (frequecy shift theorem), Item 4 da tabela (2), e a transformada de Laplace de f(t) = tu(t), Item 3 da tabela (1).

Se a transformada inversa de F(s) = 1/s2 é a transformada de Laplace de tu(t), atransfomada inversa de F(s+a) = 1 /(s+a)2 é e-attu(t). Assim,

f1(t) = e-3ttu(t).

22

2 Revisão da Transformada de LaplaceEXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS:

Para se obter a transformada de Laplace inversa de uma função com maior nível de complexidade, pode-se converter a função a uma soma de termos mais simples, para o quais se conhece a transformada de Laplace de cada termo. O resultado é chamado de expansão em frações parciais. Se F1(s) = N(s) / D(s), onde a ordem de N(s) seja maior ou igual à ordem de D(s), então N(s) deve ser dividido por D(s) sucessivamente até que o resultado apresente um resíduo cuja ordem do numerador seja inferior à ordem do denominador. Por exemplo, se

5762)( 2

23

1 +++++

=ss

ssssF

Deve-se realizar a divisão até se obter um resíduo cuja ordem do numerador seja inferior à de seu denominador. Assim,

521)( 21 ++

++=ss

ssF

23


Realizando-se a transformada de Laplace inversa, utilizando o Item I da tabela (1), juntamente com o teorema da derivação (Item 7) e o teorema da linearidade (Item 3) da tabela (2), obtém-se

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++++= −

52)()()( 2

11 ss

Ltdt

tdtf δδ

A utilização da expansão em frações parciais torna possível a expansão de funções como F(s) = 2 / (s2 + s + 5) em uma soma de termos e, em seguida, pode-se obter a transformada de Laplace inversa para cada termo. Serão considerados três casos de como esta expansão pode ser realizada.

24

2 Revisão da Transformada de LaplaceCASO I: Raízes Reais e Distintas no Denominador de F(s)

Um exemplo de raízes reais e distintas é a função,

52)( 2 ++

=ss

sF

Pode-se escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em que cada fator do denominador original forme o denominador de cada termo, e constantes, chamadas resíduos, formem os numeradores. Assim,

( ) ( )2152)( 21

2 ++

+=

++=

sK

sK

sssF

(1)

(2)

25


( )( )2

12

2 21 +

++=

+ sKsK

s

Para se obter K1, multiplica-se, inicialmente, a equação anterior por (s+1), o que isola K1 . Assim,

Fazendo-se s tender a –1, elimina-se o último termo e obtém-se K1 = 2. Analogamente, a constante K2 pode ser obtida multiplicando-se a equação (2) por (s+2) e , em seguida, fazendo-se s tender a –2; assim, K2 = - 2.

(3)

Cada parte da equação (2) corresponde a uma F(s) na tabela (1). Portanto, f(t) éa soma das transformadas de Laplace inversars de cada um dos termos,

( ) ( )tueetf tt 222)( −− −= (4)

26


Em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possui raízes reais e distintas, uma expansão em frações parciais do tipo,

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n

n

m

m

nm

psK

psK

psK

psK

pspspspssN

sDsNsF

++

+++

++

+=

++++==

LL

LL

2

2

1

1

21

)()()()(

pode ser empregada se a ordem de N(s) for menor do que a ordem de D(s). Para se avaliar cada um do resíduos, Ki, multiplica-se a equação (5) pelo denominador da correspondente fração parcial. Assim, ao se desejar Km, multiplica-se a equação (5) por (s+pm) e obtém-se

(5)

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )n

nm

mmm

nm

mm

psKps

Kps

Kpsps

Kps

pspspspssNpssFps

+++

++++

+++

+=

+++++

=+

LL

LL

2

2

1

1

21

)()(

(6)

27


Quando s tende a –pm , todos os termos do lado direito da equação (6) tendem a zero, exceto o termo com a constante Km. Assim,

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) m

psnm

m Kpspspsps

sNps

m

=++++

+

−→LL21

28


EDO

condições iniciais

Passo 1Aplica-se a

transformada L

Passo 4Aplica-se a

transformada inversa

Passo 2Resolva para

Y(s) = N(s)/D(s)

Passo 3Aplicar expansão

em frações parciaisSolução y(t)

Obs: O passo 3 pode ser contornado se a transformada do passo 2 corresponde a uma entrada na tabela (1).

Procedimento geral de uso da expansão por frações parciais na solução de uma equação diferencial ordinária.

29


EXEMPLO - 06: Solução de uma equação diferencial pela transformada de Laplace.

Dada a equação diferencial a seguir, obtenha a solução para y(t) considerando que todas as condições iniciais são nulas. Utilize a transformada de Laplace.

SOLUÇÃO

Substitua a correspondente função F(s) de cada um dos termos da equação utilizando o Item 2, da tabela (1), os Itens 7 e 8 da tabela (2) e as condições iniciais de y(t) e dedy(t)/dt, fornecidas como y(0-) = 0 e dy(0-)/dt = 0, respectivamente. A transformada e Laplace fica

( )tuydtdy

dtyd 3232122

2

=++

ssYssYsYs 32)(32)(12)(2 =++

30

2 Revisão da Transformada de LaplaceSOLUÇÃO

A solução para a resposta Y(s), fornece

( ) ( )( )8432

321232)( 2 ++

=++

=ssssss

sY

Observa-se que a equação acima não apresenta qualquer de seus termos na tabela (1). Assim, desenvolve-se a expansão em frações parciais dos termos do lado direito e identifica-se cada um dos termos resultantes com as funções F(s) na tabela (1). Assim,

( )( ) ( ) ( )848432)( 321

++

++=

++=

sK

sK

sK

ssssY

onde( )( ) 1

8432

01 =

++=

→sssK ( ) 2

832

42 −=

+=

−→sssK ( ) 1

432

83 =

+=

−→sssK

31


SOLUÇÃO

Portanto,

( ) ( )81

421)(

++

+−=

ssssY

Como cada uma das três partes constituintes da equação acima é representada através de uma função F(s) na tabela (1), a função y(t) é a soma das transformadas deLaplace inversas de cada termo, ou seja,

( ) ( ) ( )tueety tt 8421 −− +−=

A função u(t) mostra que a resposta é nula para (t < 0). A menos que seja especificado de forma diferente, nenhuma das entradas responderá antes de t = 0. Desse modo, escreve-se a resposta como

( ) tt eety 8421 −− +−=


32

CASO II: Raízes Reais e Repetidas no Denominador de F(s)

Um exemplo da função F(s) com raízes reais e repetidas no denominador é

( )( )2212)(++

=ss

sF

Nesse caso, a raiz do denominador em -2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2. Na expansão de frações parciais, cada fator do denominador forma o denominador de cada termo. Cada raiz múltipla gera termos adicionais consistindo em fatores com denominador de multiplicidade reduzida.

( )( ) ( ) ( ) ( )221212)( 1

221

2 ++

++

+=

++=

sK

sK

sK

sssF

(1)

(2)

33


então K1=2, conforme descrito anteriormente. A constante K2 pode ser isolada multiplicando-se a equação (2) por (s + 2)2, resultando em

( ) ( ) ( ) ( ) 3212 21

21

2 KsKsKs

s+++

++=

+

Fazendo-se s tender a –2 tem-se K2 = -2. Para se obter K3 observa-se que ao se derivar a equação (3) em relação a s obtém-se

(3)

( )( )( ) 3122 1

212 KK

sss

s+

++

=+−

A constante K3 é isolada e pode ser obtida fazendo-se s tender a –2. Portanto, K3 = -2.

(4)

34


Cada termo constituinte da equação (2) é uma função F(s) mostrada na tabela (1); logo, f(t) é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada um dos termos, isto é,

ttt eteetf −−− −−= 222)( 2

Assim, em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possua raízes reais e repetidas, pode-se realizar uma expansão em frações parciais da forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )n

nr

rrr

nr

psK

psK

psK

psK

psK

pspspssN

sDsNsF

+++

++

+++

++

+=

+++=

=

+

−

L

L

L

2

1

11

1

2

1

1

21

)()()()( se a ordem de N(s) for menor do

que a ordem de D(s) e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em –p1.

(5)

(6)

35

2 Revisão da Transformada de LaplaceA fim de se obter as constantes K1 até Kr para as raízes de multiplicidade superior àunidade, multiplica-se, inicialmente a equação (6) por (s + p1)r, obtendo-se F1(s) na forma, ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )n

rn

rr

rr

nr

r

r

pspsK

pspsK

KpsKpsKpsK

pspspssNps

sFpsF

++

++++

+

+++++++=

++++

=

+=

+

−

1

2

11

113

21211

21

1

11

L

L

L

Pode-se assim determinar K1 imediatamente, fazendo-se s tender para –p1. A constante K2 é obtida derivando-se a equação (7) em relação a s e, em seguida, fazendo-se s tender a –p1. Derivações sucessivas conduzirão à determinação de K3até Kr. A expressão geral para K1 até Kr para raízes múltiplas é

( )( ) 1!0;,,2,1

!11

1

11

1

==−

=−→

−

−

rids

sFdi

Kps

i

i

i K

(7)

36

2 Revisão da Transformada de LaplaceCASO III: Raízes Complexas ou Imaginárias no Denominador de F(s)

Um exemplo de F(s) com raízes complexas no denominador é

( )523)( 2 ++

=sss

sF

Esta função pode ser expandida da seguinte forma,

( ) 52523

2321

2 +++

+=++ ss

KsKs

Ksss

Nesse caso K1 é obtido da forma usual e vale 3/5, K2 e K3 podem ser determinados multiplicando-se inicialmente a equação (2) pelo mínimo múltiplo comum do denominador, s(s2 + 2s + 5), e evidenciando-se as frações. Substituindo-se o valor de K1, obtém-se

(1)

(2)

37

2 Revisão da Transformada de LaplaceSubstituindo-se o valor de K1, obtém-se

356

533 3

22 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += sKsK (3)

Igualando-se os coeficientes, tem-se (K2 + 3/5) = 0 e (K3 + 6/5) = 0. Assim, K2 = - 3/5 e K3 = - 6/5. Portanto,

( ) 522

535/3

523)( 22 ++

+−=

++=

sss

sssssF

Pode-se mostrar que o último termo é a soma das transformadas de Laplace de um seno e de um cosseno exponencialmente amortecidos. Utilizando o Item 7 da tabela (1) e os Itens 2e 4 da tabela 2, encontra-se

[ ] ( )( ) 22cos

wasasAtAeL at

+++

=− ω [ ]( ) 22 was

BwtsenAeL at

++=− ω

(4)

(5) (6)

38

2 Revisão da Transformada de LaplaceSomando-se as equações (5) e (6), tem-se

[ ] ( )( ) 22cos

wasBwasAtsenBetAeL atat

++++

=+ −− ωω

Converte-se, agora, o último termo da equação (4) para a forma sugerida pela equação (7), completando-se os quadrados no denominador e ajustando-se os termos do numerador sem alterar seus valores. Assim,

(7)

( ) ( )( )( ) 22 21

22/11535/3)(

++++

−=s

ss

sF (8)

Comparando-se a equação (8) com as expressões apresentadas na tabela (1) e na equação (7), obtém-se

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= − tsentetf t 2

212cos

53

53)(

39


De uma forma geral, a resposta de um sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em em uma resposta a entrada nula (resposta natural) e uma resposta ao estado nulo (resposta forçada).

Considere a equação diferencial,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tudt

tdutydt

tdydt

tyd−=++ 3232

2

Aplicando a transformada de Laplace, tem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )sUussU

sYyssYysysYs−−=

+−+−−−

−−−

03203002 &

40


O agrupamento de Y(s) e U(s) resulta em

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsuyysySYss 13030300232 −+−++=++ −−−− &

o que implica em

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sU

sss

ssuyysSY

2313

2303003

22 ++−

+++

−++=

−−− &

Resposta a entrada nula Resposta ao estado nulo

A solução da equação diferencial revela que parte dela é excitada por uma entrada u(t), t >= 0, e parcialmente excitada pelas condições iniciais ( ) ( ) ( )−−− 0,0y,0 uey &

41


Estas condições iniciais denominam-se estado inicial. O estado inicial éexcitado pelas entradas aplicadas antes de t = 0. Assim, o estado inicial sintetiza o efeito das entradas passadas u(t), t < 0 , sobre uma saída futura y(t), para t >= 0.

A segunda parte é excitada exclusivamente pela entrada e denomina-se resposta ao estado zero. No domínio da transformada de Laplace, a resposta ao estado zero é governada por, ajustando todas as condições iniciais nulas,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsUss

sSY =++

−=

2313

2

onde a função racional G(s) é denominada função de transferência. A qual consiste na razão da transformada de Laplace da saída pela entrada quando todas as condições inicias são nulas. O conceito de função de transferência e suas aplicações são abordados na seção seguinte.

42

3 Função de TransferênciaFunções de transferência são usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

Considere o sistema linear invariante no tempo descrito pela seguinte equação diferencial de enésima ordem,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trbdt

trdbdt

trdbtcadt

tcdadt

tcda m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 01

1

101

1

1 +++=+++ −

−

−−

−

− LL

Para obtermos a função de transferência deste sistema, precisamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação (1) e admitir que a condições iniciais sejam nulas, a equação (1) reduz-se a

(1)

( ) ( ) ( ) ( )sRbsbsbsCasasa mm

mm

nn

nn 0

110

11 +++=+++ −

−−

− LL (2)

43

3 Função de TransferênciaExpressa-se agora a relação entre a transformada da saída, C(s), e a transformada da entrada, R(s):

(3)( )( ) ( ) ( )

( )01

1

01

1

asasabsbsbsG

sRsC

nn

nn

mm

mm

++++++

== −−

−−

L

L

A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama de blocos, conforme mostrado na figura abaixo, a entrada à esquerda e a saída à direita, e a função de transferência do sistema no interior do bloco.

44

3 Função de TransferênciaQuanto à classificação, as funções de transferência denominam-se:

(a) Estritamente própria: quando o grau do polinômio denominador émaior que o grau do polinômio numerador (n > m);

(b) Biprópria: quando o grau dos polinômios denominador e numerador são iguais (n = m);

(c) Imprópria: quando o grau do polinômio denominador é menor que o grau do polinômio numerador (n < m).

11;

11;

11;2;1 2

22

+−

+−

++

ss

ss

ss

EXEMPLO – 07: Classificar as seguintes funções de transferência

45

3 Função de Transferência

Funções de transferência de circuitos elétricos:

Os circuitos equivalentes para redes elétricas que serão apresentados consistem em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A tabela (3) apresenta esses componentes e as relações entre tensão e corrente, e entre tensão e carga desses elementos sujeitos a condições iniciais nulas.

Tabela (3)

46

3 Função de TransferênciaAs funções de transferência podem ser obtidas utilizando-se a lei de Kirchhoff das tensões e somando-se as tensões ao longo dos laços ou das malhas. Esta é a chamada análise das malhas ou dos laços, e é discutida no exemplo a seguir.

EXEMPLO – 08: Malha única via equação diferencial

Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor, VC(s), àtensão de entrada, V(s), para o circuito mostrado na figura abaixo.

A soma das tensões ao longo da malha, admitindo-se condições iniciais nulas, fornece a seguinte equação íntegro-diferencial,

( ) ( ) ( ) ( )tvdiC

tRidt

tdiLt

=++ ∫ ττ0

1

47


Trocando-se as variáveis de corrente para carga, utilizando a definição i(t) = dq(t)/dt, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )tvtqCdt

tdqRdt

tqdL =++1

2

2

Pela relação tensão-carga para um capacitor, fornecida na tabela (3), obtém-se,

( ) ( )tCvtq C=

Substituindo-se a relação acima, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )tvtvdt

tdvRCdt

tvdLC CCC =++2

2

Aplicando a transformada de Laplace,

( ) ( ) ( )( )( ) ( )1

11

2

2

++=

=++

RCsLCssVsV

sVsVRCsLCs

C

C

48

3 Função de TransferênciaEXEMPLO – 09: Malhas múltiplas

Dado o circuito da figura (a), obtenha sua função de transferência, I2(s)/V(s).

A primeira etapa da solução é a conversão do circuito em transformadas de Laplace para impedâncias e das variáveis do circuito, admitindo condições iniciais nulas. Este resultado é mostrado na figura (b).

A segunda etapa é obter as equações simultâneas, obtidas pela Lei das tensões de Kirchhoff (LTK) ao longo das malhas onde circulam as correntes I1(s) e I2(s).

49


Aplicando a LTK na malha 1:

( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsLsIsIR =−+ 2111

Aplicando a LTK na malha 2:

( ) ( ) ( ) ( ) 0112222 =−++ sLsIsI

CssIRsLsI

Combinando as equações das malhas como equações simultâneas:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 01221

211

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−

=−+

sICs

RLssLsI

sVsLsIsILsR

50

3 Função de TransferênciaNa terceira etapa, utilizamos a regra de Cramer para resolver para I2(s):

( )

( ) ( )( )

∆=

∆−+

=sLsVLs

sVLsR

sI0

1

2

onde, ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

−+=∆

CsRLsLs

LsLsR1

2

1

Formando-se a função de transferência G(s), tem-se

( ) ( )( ) ( ) ( ) 121

221

22

RsLCRRLCsRRLCsLs

sVsIsG

++++=

∆==

conforme mostrado na figura (c).

51


Funções de transferência de sistemas mecânicos em translação:

Os sistema mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três elementos lineares passivos. Dois deles, a mola e a massa, são elementos armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia. Os dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois elementos armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor. O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica.

Pode-se, agora, analisar melhor esses elementos mecânicos observando-os na tabela (4). Na tabela, K, fV, e M são chamados, respectivamente, de rigidez de mola, coeficiente de atrito viscoso e massa.

52


Tabela (4)

53

3 Função de TransferênciaEXEMPLO – 10: uma equação de movimento

Obtenha a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).

A solução se inicia pela construção do diagrama de corpo livre mostrado abaixo. Indicando todas as forças sentidas pela massa. Admita que a massa se desloque para a direita.

54


Assim, apenas a força aplicada é orientada para a direita; todas as demais forças são contrárias ao movimento e, portanto, atuam em sentido oposto a ele.Escreve-se, assim, a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton, que estabelece que a soma de todas as forças atuantes sobre a massa na figura (a) é igual a zero.

( ) ( ) ( ) ( )tftKxdt

tdxfdt

txdM v =++2

2

Aplicando-se a transformada de Laplace, admitindo-se condições iniciais nulas, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )sFsKXssXfsXMs v =++2

ou ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )KsfMssFsXsG

sFsXKsfMs

v

v

++==

=++

2

2

1

55

3 Função de TransferênciaEXEMPLO – 11: sistema com dois graus de liberdade

Obtenha a função de transferência, X2(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).

O sistema possui dois graus de liberdade, uma vez que cada uma das massas pode se mover na direção horizontal enquanto a outra permanece parada. Assim, são necessárias duas equações de movimento simultâneas para descrever o comportamento do sistema. A superposição é utilizada para se construir os diagramas de corpo livre.

56


Por exemplo, as forças sobre a massa M1 são devidas a (1) seu próprio movimento (2) ao movimento da massa M2 transmitido a M1 através do sistema. Estas duas fontes serão consideradas separadamente.

Ao se manter a M2 parada e movendo-se M1 para a direita, obtêm-se s forças mostradas na figura (a). Ao se manter M1 parada e movendo-se M2 para a direita, obtêm-se as forças mostradas na figura (b). A força total é a superposição das forças discutidas e éilustrada na figura (c).

Neste caso, a primeira equação simultânea é dada por,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfvsXKKsfvfvsM =+−++++ 223131312

1

57


Para a análise de M2, procede-se e maneira semelhante: inicialmente se move M2 para a direita mantendo-se M1 parada; em seguida se move M1 para a direita mantendo-se M2 parada. Para cada um dos casos são calculadas as forças atuantes sobre M2. Os resultados são apresentados na figura abaixo.

Neste caso, a segunda equação simultânea é dada por,

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322

2123 =++++++− sXKKsfvfvsMsXKsfv

58


A partir dessas equações, a função de transferência, X2(s)/F(s) é dada por:

( )( ) ( ) ( )

∆+

== 232 KsfvsGsFsX

( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ]3232

2223

2321312

1

KKsfvfvsMKsfvKsfvKKsfvfvsM

+++++−+−++++

=∆

onde

59

4 Modelo com Diagrama de Blocos

Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação ilustrada das funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais. Em um diagrama de blocos todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras através de blocos funcionais. O bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemática sobre o sinal de entrada no bloco que produz a saída.

C(s) = G(s)E(s)E(s) = R(s) – B(s)= R(s) – H(s)C(s)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )( )( ) ( )sHsG

sGsRsC

sRsGsHsGsCsCsHsRsGsC

sCsHsRsGsC

+=

=+−=

−=

1)(1)(

)()()(

Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada.

G(s)

H(s)

E(s) C(s)

B(s)

R(s)

60

4 Modelo com Diagrama de BlocosUm diagrama de blocos complicado envolvendo muitas malhas de realimentação pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo, usando regras de álgebra de diagramas de blocos, de acordo com a tabela exposta a seguir.

61


EXEMPLO - 12: reduzir o seguinte diagrama de blocos

62


63



64



65

4 Modelo com Diagrama de BlocosFUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA ENTRADAS DE PERTURBAÇÕES:

A figura a seguir mostra um sistema de malha fechada sujeito a perturbação. Quando duas, ou mais, entradas (a entrada de referência e a(s) de perturbação) estão presentes em um sistema linear, cada entrada pode ser tratada independente da outra, e as saídas correspondentes a cada entrada sozinha podem ser adicionadas para dar a saída completa.

G2(s)

H(s)

N(s)

C(s)R(s)G1(s)

66

4 Modelo com Diagrama de Blocos1) Examinando o efeito da perturbação N(s)

G2(s)

H(s)

N(s)

C(s)G1(s)

-1

)s(H)s(G)s(G1)s(G

)s(N)s(C

21

2N

+=

67

4 Modelo com Diagrama de Blocos2) Examinando o efeito da entrada de referência R(s)

)s(H)s(G)s(G1)s(G)s(G

)s(R)s(C

21

21R

+=

G2(s)

H(s)

C(s)G1(s)

R(s)

Portanto, a resposta C(s) devido à aplicação simultânea das entradas R(s) e N(s) é dada por:

[ ])s(N)s(R)s(G)s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(C

)s(C)s(C)s(C

121

2

NR

++

=

+=

68

OBRIGADO

Documents

Representação de Sistemas Dinâmicos – Parte Ifoz.unioeste.br/~chsantos/ENG_CONT/Aula_03.pdf · domínio do tempo, onde uma equação diferencial de ordem n pode ser descrita