Teoria da Decisão - Universidade Federal de Minas...

Teoria da DecisãoAbordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério

Prof. Lucas S. Batista

lusoba@ufmg.br

www.ppgee.ufmg.br/∼lusoba

Universidade Federal de Minas GeraisPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Brasil

Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada

Abordagem Bellman-Zadeh

Sumário

1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação

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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada

Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

A abordagem clássica Bellman-Zadeh é aplicada para tomadade decisão em ambientes fuzzy para o tratamento de problemasmulticritério;

Nessa abordagem, cada função objetivo Fp(x) pode ser substi-tuída por uma função objetivo fuzzy ou conjunto fuzzy Ap;

Uma solução fuzzy D é obtida a partir da interseção D =⋂q

p=1 Ap;

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Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

A função de pertinência de D é definida como:

D(x) = ∧qp=1Ap(x) = min

p=1,...,qAp(x), x ∈ L

Esta função permite determinar a solução x com maior pertinên-cia à solução fuzzy D:

max D(x) = maxx∈L

minp=1,...,q

Ap(x)

O problema de decisão torna-se então:

x∗ = arg maxx∈L

minp=1,...,q

Ap(x)

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Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

Exemplo

As funções de pertinência de três funções objetivo fuzzy A1(x), A2(x)e A3(x) são apresentadas a seguir:

Figura : Funções de pertinência de funções objetivo fuzzy

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Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

Exemplo

A solução fuzzy D(x) é apresentada a seguir, a qual fornece a soluçãox∗ = 5.

Figura : Função de pertinência de uma solução fuzzy

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Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

Ao considerar problemas multiobjetivo:

para obter x∗ é necessário construir as funções de pertinênciaAp(x), p = 1, ...,q;

cada função de pertinência deve refletir o grau de aproximaçãodo próprio ótimo para Fp(x), x ∈ L, p = 1, ...,q.

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Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

Para funções objetivo de minimização:

Ap(x) =[

maxx∈L Fp(x)− Fp(x)maxx∈L Fp(x)−minx∈L Fp(x)

]λp

Para funções objetivo de maximização:

Ap(x) =[

Fp(x)−minx∈L Fp(x)maxx∈L Fp(x)−minx∈L Fp(x)

]λp

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Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

Existem diferentes operadores de agregação que podem ser usa-dos no lugar do operador min;

Assim, D(x) pode ser obtido da seguinte forma geral:

D(x) = agg(A1(x), A2(x), ..., Aq(x)), x ∈ L

Entretanto, essa escolha é baseada na experiência do DM.

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Abordagem Bellman-Zadeh

Apresentação

Além do operador min, o operador produto também tem sidomuito empregado em problemas de tomada de decisão;

Nesse caso, tem-se:

D(x) =q∏

p=1

Ap(x), x ∈ L

max D(x) = maxx∈L

q∏p=1

Ap(x)

x∗ = arg maxx∈L

q∏p=1

Ap(x)

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Sumário

1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

A abordagem clássica define inicialmente uma matriz de compro-misso considerando as alternativas de projeto e possíveis esta-dos de natureza (cenários), em que

alternativas: Xk , k = 1, 2, ...,K ;

cenários: Ys, s = 1, 2, ...,S;

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

Matriz de compromisso

A matriz de compromisso quantifica os efeitos (consequências) dasações Xk , k = 1,2, ...,K nos possíveis cenários Ys, s = 1,2, ...,S.

Figura : Matriz de compromisso

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

A análise da matriz de compromisso e a escolha de uma soluçãoracional são baseados em critérios de escolha;

Os critérios de escolha mais utilizados são os critérios de Wald,Laplace, Savage e Hurwicz;

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Apresentação

Matriz de compromisso com estimativas de características

Os critérios de escolha permitem incorporar estimativas de caracte-rísticas à matriz de compromisso:

Figura : Matriz de compromisso com estimativas de características

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

Estimativas de características

Nível máximo da função objetivo:

F max(Xk ) = max1≤s≤S

F (Xk ,Ys)

Este nível é determinado para uma dada solução e representa:

a estimativa mais otimista quando deseja-se maximizar F , ou

a estimativa mais pessimista quando deseja-se minimizar F .

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

Estimativas de características

Nível mínimo da função objetivo:

F min(Xk ) = min1≤s≤S

F (Xk ,Ys)

Este nível é determinado para uma dada solução e representa:

a estimativa mais pessimista quando deseja-se maximizar F , ou

a estimativa mais otimista quando deseja-se minimizar F .

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

Estimativas de características

Nível médio da função objetivo:

F (Xk ) =1S

S∑s=1

F (Xk ,Ys)

Este nível é determinado para uma dada solução e representa umaestimativa média da sua qualidade em relação aos cenários possíveis.

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

Estimativas de características

Nível máximo de risco:

rmax(Xk ) = max1≤s≤S

r(Xk ,Ys)

em que r(Xk ,Ys) é uma medida de risco (arrependimento),

r(Xk ,Ys) = F max(Ys)− F (Xk ,Ys), se deseja-se maximizar F

r(Xk ,Ys) = F (Xk ,Ys)− F min(Ys), se deseja-se minimizar F

em que,

F max(Ys) = max1≤k≤K

F (Xk ,Ys) e F min(Ys) = min1≤k≤K

F (Xk ,Ys)19 / 50

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Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza

Apresentação

Matriz de risco

Calculando o nível de risco para todo Xk , k = 1,2, ...,K e Ys, s =1,2, ...,S, obtém-se a matriz de risco a seguir:

Figura : Matriz de risco

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Critérios de Escolha

Sumário

1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação

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Critérios de Escolha

Apresentação

Os critérios de escolha de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz sãobaseados nas estimativas de características F max(Xk ), F min(Xk ),F (Xk ) e rmax(Xk );

Nos próximos slides, os critérios de escolha são definidos consi-derando que se deseja maximizar a função objetivo F .

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Critérios de Escolha

Apresentação

Critério de Wald

O critério de Wald se baseia em F min(Xk ):

max1≤k≤K

F min(Xk ) = max1≤k≤K

min1≤s≤S

F (Xk ,Ys)

Critério de Laplace

O critério de Laplace se baseia em F (Xk ):

max1≤k≤K

F (Xk ) = max1≤k≤K

1S

S∑s=1

F (Xk ,Ys)

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Critérios de Escolha

Apresentação

Critério de Savage

O critério de Savage se baseia em rmax(Xk ):

min1≤k≤K

rmax(Xk ) = min1≤k≤K

max1≤s≤S

r(Xk ,Ys)

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Critérios de Escolha

Apresentação

Critério de Hurwicz

O critério de Hurwicz se baseia em F min(Xk ) e F max(Xk ):

max1≤k≤K

[αF min(Xk ) + (1− α)F max(Xk )] =

max1≤k≤K

[α min

1≤s≤SF (Xk ,Ys) + (1− α) max

1≤s≤SF (Xk ,Ys)

]em que α ∈ [0,1] é o índice “pessimismo-otimismo” (usualmente, α =0.75).

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Generalização da Abordagem Clássica

Sumário

1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação

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Generalização da Abordagem Clássica

Apresentação

A abordagem Bellman-Zadeh pode ser aplicada para a soluçãode problemas de tomada de decisão multiobjetivo;

Esta abordagem clássica pode ser generalizada a partir da maxi-mização de D(x);

Nesse caso, ao lidar com q funções objetivo, q matrizes de com-promisso deverão ser geradas e analizadas;

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Generalização da Abordagem Clássica

Apresentação

A matriz de compromisso modificada (normalizada) relacionadaao p-ésimo critério fica da seguinte forma:

Figura : Matriz de compromisso normalizada

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Generalização da Abordagem Clássica

Apresentação

A disponibilidade das q matrizes de compromisso modificadaspermite a construção da matriz de compromisso agregada:

Figura : Matriz de compromisso agregada com estimativas de características

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Generalização da Abordagem Clássica

Apresentação

Estimativas de características

Função de pertinência de nível máximo (estimativa otimista):

Dmax(Xk ) = max1≤s≤S

D(Xk ,Ys)

Estimativas de características

Função de pertinência de nível mínimo (estimativa pessimista):

Dmin(Xk ) = min1≤s≤S

D(Xk ,Ys)

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Generalização da Abordagem Clássica

Apresentação

Estimativas de características

Função de pertinência de nível médio:

D(Xk ) =1S

S∑s=1

D(Xk ,Ys)

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Generalização da Abordagem Clássica

Apresentação

Estimativas de características

Risco de nível máximo:

r(Xk ,Ys) = Dmax(Ys)− D(Xk ,Ys)

em que,

Dmax(Ys) = max1≤k≤K

D(Xk ,Ys)

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Modificação dos Critérios de Escolha

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Modificação dos Critérios de Escolha

Apresentação

Critério de Wald modificado

O critério de Wald é definido como:

max1≤k≤K

D(Xk ) = max1≤k≤K

min1≤s≤S

min1≤p≤q

Ap(Xk ,Ys)

Critério de Laplace modificado

O critério de Laplace é definido como:

max1≤k≤K

D(Xk ) = max1≤k≤K

1S

S∑s=1

min1≤p≤q

Ap(Xk ,Ys)

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Modificação dos Critérios de Escolha

Apresentação

Critério de Savage modificado

O critério de Savage é definido como:

min1≤k≤K

rmax(Xk ) =

min1≤k≤K

max1≤s≤S

[max

1≤k≤Kmin

1≤p≤qAp(Xk ,Ys)− min

1≤p≤qAp(Xk ,Ys)

]

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Modificação dos Critérios de Escolha

Apresentação

Critério de Hurwicz modificado

O critério de Hurwicz é definido como:

max1≤k≤K

[α min

1≤k≤KD(Xk ) + (1− α) max

1≤k≤KD(Xk )

]=

max1≤k≤K

[α min

1≤k≤Kmin

1≤p≤qD(Xk ,Ys) + (1− α) max

1≤k≤Kmin

1≤p≤qD(Xk ,Ys)

]

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Modificação dos Critérios de Escolha

Apresentação

Embora a abordagem apresentada considere os critérios de Wald,Laplace, Savage e Hurwicz, outros critérios disponíveis na litera-tura podem ser aplicados;

Entretanto, estes outros critérios frequentemente assumem a dis-ponibilidade de certos tipos de informação sobre os estados denatureza;

Além disso, existem inúmeros trabalhos que sugerem o pontecialdos critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz.

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Exemplo de Aplicação

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

A abordagem geral para tomada de decisão multicritério sobincerteza envolve três etapas:

Fase 1:

Construção das q matrizes de compromisso a partir das funçõesFp(Xk ,Ys);

Nesta etapa pode ser necessário resolver modelos 〈X,M〉 para ageração de soluções factíveis;

Alternativamente, um conjunto de soluções viáveis pode ser for-necido diretamente pelo DM;

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Fase 2:

Análise das matrizes de compromisso;

O procedimento geral pode conduzir a mais de uma solução (or-dem parcial);

Esta etapa ajuda a avaliar tanto os riscos particulares quantoagregados em relação a cada alternativa de projeto;

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Fase 3:

Construção e análise de modelos 〈X,R〉 para a contração subse-quente do domínio de incerteza de decisão;

Os modelos 〈X,R〉 permitem considerar índices quantitativos equalitativos baseados no conhecimento, experiência e intuiçãodos especialistas;

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Considere o seguinte problema multiobjetivo:

min F1(x) = [2.70,3.30]x1 + [11.70,14.30]x2 + [7.20,8.80]x3

min F2(x) = [5.40,6.60]x1 + [3.60,4.40]x2 + [4.50,5.50]x3

sujeito às restrições:

0 ≤ x1 ≤ 100 ≤ x2 ≤ 120 ≤ x3 ≤ 14

x1 + x2 + x3 = 36

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Matriz de compromisso do critério F1:

Figura : Matriz de compromisso do critério F1

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Matriz de compromisso com estimativas de características de F1:

Figura : Matriz de compromisso com estimativas de características de F1

Os critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz sugerem X3.

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Matriz de compromisso do critério F2:

Figura : Matriz de compromisso do critério F2

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Matriz de compromisso com estimativas de características de F2:

Figura : Matriz de compromisso com estimativas de características de F2

Os critérios de Wald, Laplace e Savage sugerem X1, enquanto o cri-tério de Hurwicz indica X4. Formalmente, X1 e X4 são indiferentes.

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Matriz de compromisso normalizada de F1:

Figura : Matriz de compromisso normalizada de F1

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Matriz de compromisso normalizada de F2:

Figura : Matriz de compromisso normalizada de F2

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Exemplo de Aplicação

Apresentação

Exemplo de aplicação

Matriz de compromisso agregada com estimativas de características:

Figura : Matriz de compromisso agregada com estimativas de características

Os critérios de Wald, Laplace e Hurwicz sugerem X4, enquanto o cri-tério de Savage indica X3. Este resultado requer uso da fase 3.

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Literatura Especializada

W. Pedrycz, P. Ekel, R. Parreiras, Fuzzy Multicriteria Decision-Making: Models,Methods and Applications, John Wiley & Sons, 2011. (section 4.5 and chapter 8)

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