Trabalho de matemática (3)

João Oliveira nº:17; João Santos nº:18; Rodrigo Rodrigues nº:24

Índice:Isometrias;

Reflexões;Translações; Rotações; Reflexões Deslizantes;

Simetrias;Frisos;Padrões;Rosáceas;

Pavimentações.

IsometriasChamamos isometrias às aplicações que transformam uma figura geométrica numa

outra geometricamente igual à primeira, ou seja, é uma aplicação que conserva as distâncias entre os pontos e a amplitude dos ângulos.

IsometriasAs isometrias simples podem ser: Translações;

Rotações; Reflexões;

Reflexões Deslizantes.

ReflexãoNuma reflexão em relação a uma reta (eixo de reflexão) os pontos de uma figura são

transformados noutros à mesma distância dessa reta, ficando esta perpendicular ao segmento de reta por eles formado.

Reflexão vertical Reflexão horizontal

Propriedades das

Reflexões a figura original e o seu transformado são geometricamente iguais;

um ponto e o seu transformado estão à mesma distância do eixo de reflexão (ficando o segmento de reta que os une perpendicular ao eixo).

um ponto da figura pertencente ao eixo é transformado

em si próprio.

TranslaçõesUma translação é uma transformação geométrica em que todos os pontos de uma figura e os respetivos transformados definem a mesma direção, o mesmo sentido e estão à mesma distância.

Propriedades das Translações

a figura original e o seu transformado são geometricamente iguais;

todos os pontos sofrem o mesmo

deslocamento;

um segmento de reta é transformado num

segmento de reta paralelo.

RotaçõesNuma rotação todos os pontos de uma figura rodam à volta de um ponto (centro de

rotação), num determinado sentido (positivo ou negativo) e segundo um determinado ângulo (ângulo de rotação).

O sentido positivo é ao contrário ao sentido do movimento dos ponteiros do relógio, enquanto que o sentido negativo é igual ao sentido do movimento dos ponteiros do relógio.

Propriedades das Rotações

a figura original e o seu transformado são geometricamente iguais;

um ponto e o seu transformado estão à

mesma distância do centro de rotação;

um ponto da figura pertencente ao centro de rotação é transformado em si próprio.

Reflexões DeslizantesUma reflexão deslizante é uma transformação composta por uma

reflexão sobre uma reta e uma translação que desloca os pontos segundo a mesma direção da reta.

Nota:A ordem pela qual se faz as duas transformações não é importante.

Para melhor compreenderes esta matéria proponho-te que faças a seguinte atividade: http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/frisos.htm

Em Suma:Podemos assim constatar que numa rotação, numa reflexão e numa

reflexão deslizante:

Qualquer segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento; Qualquer ângulo é transformado num ângulo congruente.

SimetriasA Simetria de uma figura é uma isometria que deixa a figura invariante.Uma figura pode ter simetria de translação, simetria de reflexão, simetria de rotação

ou simetria de reflexão deslizante.

A linha que separa duas partes simétricas chama-se eixo de simetria

Simetrias

Frisos, Padrões e Rosáceas

As simetrias podem ser: Frisos, Padrões e Rosáceas.

FrisosMuitos adornos de vasos, tecidos, paredes e molduras são formados a partir de um

motivo que se repete periodicamente numa só direção, como podes ver nas imagens seguintes:

Um friso é uma banda com um padrão que se repete indefinidamente e onde existem simetrias de translação, todas com uma única direção (geralmente horizontal).

PadrõesUtiliza-se a palavra padrão (ou mosaico) para indicar um desenho plano que se repete

periodicamente em mais do que uma direção (ou seja: um desenho para o qual existem duas translações, em direções diferentes, que mantêm invariante a estrutura do padrão).

Padrões

Basta olhar à nossa volta para repararmos que estamos rodeados por

padrões: nos pavimentos do metropolitano, as tampas dos esgotos, os pavimentos

das cabinas telefónicas, o mosaico da nossa cozinha, os tecidos trabalhados, as

grades de ferro forjado...

Rosáceas

As rosáceas são elementos como os frisos e os padrões, com a

particular diferença de serem figuras limitadas. Contudo, podem

classificar-se, à semelhança dos frisos e padrões, pelo tipo e quantidade

de simetrias que apresentam.

Existem dois tipos de rosáceas - as Cíclicas e as Diedrais.

As cíclicas não têm eixos de simetria enquanto as diedrais têm pelo menos um eixo de simetria.

Tipos de Rosáceas

Rosácea Cíclica

Rosácea Diedral

Pavimentações

Portuguesas

A Calçada Portuguesa ou Mosaico Português é o nome consagrado de um determinado tipo de revestimento de piso utilizado especialmente na pavimentação de passeios e dos espaços públicos de uma forma geral.

A Calçada Portuguesa é caracterizada por a utilização do calcário e do basalto.

FIM