Transformada de Laplace & EDO - lac.inpe.brmargarete/download/MET200-0/ClasseTLaplace.pdf ·...

Preview:

Citation preview

Transformada de Laplace & EDO .

Margarete Oliveira Domingues

PGMET/INPE

Transformada de Laplace & EDO – p.1/26

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace & EDO – p.2/26

Integrais impróprias

Se

� ��� �

é definida para � � � � �, sendo a=cte, então aintegral imprópria

� � ��� � � � � �����

� � �� � �

se o limite existe.

Qdo. existe o limite a integral imprópria é ditaconvergente

Qdo. não existe o limite a integral imprópria é ditadivergente

Transformada de Laplace & EDO – p.3/26

Exercício:

Determine se as integrais impróprias a seguir convergem

1.

��

�� �� � � � �

2.

��

��� � � � �

3.

�� �

�� � � � �

4.

�� � �

�� � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.4/26

Transformada de Laplace ( )

Seja

� ��� �

definida em

� � � � � e seja � uma variável realarbitrária a Transformada de Laplace de

� �� �é

� � � �� �� � � � � � � � � � � � ��� � �

� � que torne essa integral convergente

Transformada de Laplace & EDO – p.5/26

Condições de existência da� � � ��

Nem todas as

� �� �

admitem a

� � � ��� ��Definições:� ��� �

ser de ordem exponencial �, i.e., , existe ctes.

�� e � tais que � � � � � ��� � � ��

�� � � � ��� �

ser contínua por partes em

� ��

e existir oslimites laterais

Assegurar a convergência da integral imprópria:Teorema: Se

� ��� �é contínua por partes em todo

intervalo finito ��

,

� �

e

� ��� �

de ordem exponencial

�, então a� � � �� �� � � � � �

existe para � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.6/26

Exercício:

Determine a

� � � ��� ��

para as seguintes funções:

1.

� ��� � � �

2.

� ��� � � � �

3.

� ��� � � � � �

4.

� ��� � � � � �� �� �

5.

� ��� � � �

6.

� ��� � � � � � �7.

� ��� � � � � � � � �

� � � �

8.

� ��� � � � � � ���� �

Transformada de Laplace & EDO – p.7/26

Definição:

Uma função

� ��� � � �� se

1.

� ��� �

é definida

�� �

2.

� ��� �

é contínua por partes

��

� � �

3.

� ��� �

é de ordem exponencial �

Transformada de Laplace & EDO – p.8/26

Propriedades� � � ��

Linearidade

� � � � � � ��� � � � � � ���� �� � � � � � � � �� �� � � � � � � ���� ��

Translação

� � � � � � ��� �� � � � � � � ��

� � � � � � �

� � � � � ��� �� � � � � � � � � �

� � � � ��

Exemplo:

� � ��� � � � � ��� �� � � �� �

� � � � � � � � � � � �

� � �� � � � � � �� �� � � � � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.9/26

Propriedades� � � ��

Se

� ��� �

for uma função periódica, i.e.,� ��� � � � ��� � � �

,

� � � ��� �� �� � � � � ��� � �

� � � � � �

Se

� ��� � � �� e se

� � �� � �� �� � � � �

existe, então,

� ��� �� � �

� ��� � �

Se

� ��� � � �� ,então,

� � ��� � � � �

�� � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.10/26

Exercícios

Calcule as seguintes Transformadas de Laplace

1.

� � � � ��� � �

� �

2.

� � � � �� � ��

� �� � � ��� � � � �

3.

� � � � � ���� � � �

4.

� � �� ���� �� �

Transformada de Laplace & EDO – p.11/26

Transformada inversa de Laplace

Transformada de Laplace & EDO – p.12/26

Definição

A

� � � � � � ��

é a função

� ��� �

tal que

� � � ��� �� � � � � �Uma dada

� � � �

pode ter várias, uma ou nenhumaTransformada de Laplace inversa.

Se existe

� � � � � � ��contínua, então

� ��� �

é a únicatransformada inversa contínua de

� � � �

.

Linearidade:� � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � ��

Transformada de Laplace & EDO – p.13/26

Métodos de Cálculo

Método das frações parciais

Complemento do quadrado:Todo polinômio quadrático em �,

� � � � � � �

pode ser posto sob a forma� � � � � � � � � �

em que� �

� � � � � � �

� � �

Transformada de Laplace & EDO – p.14/26

Exercícios

Calcule as seguintes Transformadas inversas de Laplace

1.

� �

� �� � � � � � �

2.

� � � � �� � � � � � � � � �3.

� �

�� � � � � � � � �4.

� � � � �� � � � � � � � �

5.

� �

� � � � � � � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.15/26

Aplicações a EDO

Transformada de Laplace & EDO – p.16/26

EDO lineares, com coef. ctes.

Protótipo:

� � � � �

� � � � �� � � �

��� � � � � � � � � � �

��� �

com condições iniciais:

�� � � � �

�� � � � � � �

...

�� � � � � � � � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.17/26

Transformada de Laplace dederivadas

Notação:� ��

�� �� � � � � �

Teorema:Se �

�� �

e suas � � �

primeiras derivadas são contínuas,

para � � �

e são de ordem exponencial � e se

� � � �� �

� ,

� � � � � � � � � � � � � �� � � ��

� � � � �� � ���

� � � � �

� � � � � �� � �� � � � � �� � � � � � �

Em particular,

n=1:� ��

� ��� �� � � � � � � � �

n=2:� ��

� � ��� �� � � � � � � � � � � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.18/26

Solução de problemas de valor inicial

Idéia: Usar a Transformada de Laplace para resolver prob-

lemas de valor inicial de uma só vez

Transformada de Laplace & EDO – p.19/26

Solução de problemas de valor inicial

Idéia: Usar a Transformada de Laplace para resolverproblemas de valor inicial de uma só vez

Exemplo: (Caso homogêneo)Para resolver a �

� � � � � �� �

� � � � �

, aplica–se aTransformada de Laplace e obtém–se

� ��

�� � � � ��

� � � � ���

então como � � �, tem-se que

� � � � � � � � � � � � � � �� em que

� � � � � �

� � �

Logo, ��� � � � � � � � � �� � � � � � �

� �� � � � ��

Transformada de Laplace & EDO – p.19/26

Solução de problemas de valor inicial

Exemplo: (Caso não homogêneo)Para resolver a �

� � � � � � ��� �

� � � � �

, aplica–se aTransformada de Laplace e obtém–se

� ��

�� � � � ��

� � � � � ����

então como � � �

, tem-se que

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � em que

� � � � � �� � � � � �

Logo, ��� � � � � � � � � �� � � � � �

� � �� �� � � � ��

Transformada de Laplace & EDO – p.19/26

Solução de problemas de valor inicial

Idéia: E qdo. as soluções não são dadas em � � �

?

Exemplo: Para resolver a �� � � � � �

� �� � � � �

,aplica–se a Transformada de Laplace e obtém–se

� ��

�� � � � ��

� � � � ���

então como � , é desconhecido e tem-se que

� � � � � � � � � � � � � � �� em que

� � � � � � � � �

Logo, ��� � � � � � � � � �� � � � � � �

� �� � � � ��

Entretanto, como �� � � � �

�� � � � �� � � � � � ���

eassim �

��� � � � � ��� � � ��

.Transformada de Laplace & EDO – p.19/26

Solução de problemas de valor inicial

Exemplo: Para resolver a

�� � � � � � �

� �� � � � �

� �� � � � � �

, aplica–se aTransformada de Laplace e obtém–se

� ��

� �� � � � ��

� � � � ���

então como � � �� � � � �

, tem-se que

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � �� � � � � � �

�� � � � � �

Logo, ��� � � � � � � � � �� � � � � � �

� � ��� � � � �

� � �� � �� �

� �� �� �� � � � � �� �� �

Transformada de Laplace & EDO – p.19/26

Exercícios

Resolva as seguintes EDO por meio do método daTransformada de Laplace

�� � � �� � � � � �� ��� �

� � � � �� �

� � � � � �

�� � � � �� � � � � � � ���� �� �

� � � � �� �

� � � � � �

�� � � � �� � � �� �

� � � � �� �

� � � � � �� �

� � � � � � �

Dica: use o método de frações parciais

Transformada de Laplace & EDO – p.20/26

Resolução de sistemas de EDO

Transformada de Laplace & EDO – p.21/26

Sistemas de EDO

Seja � � ���� �

, � � � ��� �

no sistema de EDO

�� � � � �

�� � � � � �

com as condições iniciais

�� � � � �

� � � � � � � �

Usando a notação� ��

��� �� � � � � �

e

� � � ��� �� � � � � �

pode–se reescrever o sistema � � � � � � � � � � � � � � �

� �

� � � � � � � � � � � � � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.22/26

(cont.)

Arrumando os termos

� � � � � � � � � � � � � �

� �

� � � � � � � � � � � � � �

Logo,

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.23/26

(cont.)

Aplicando o método das frações parciais e tomando aTransformada inversa de Laplace

���� � � � � � � � � �� � � � � �

�� �

� � � � � � �

�� � � � � � �

� ��

��

�� �� �

��

� ��

� ��� � � � � � � � � �� � � � ��

� � �

� � � � � � �

�� � � � � � �

� � ��

�� �� �

��

� ��

Transformada de Laplace & EDO – p.24/26

Exercícios

Resolva os seguintes sistemas de EDO em que

� � � ��� �� � � �

��� �

e � � � �� �

utilizando o método daTransformada de Laplace.

�� � � � � � ���� �

�� � � � � �

�� � � � � � �

em que as condições iniciais são

� � � � � �� �

� � � � �� � � � � � �

Transformada de Laplace & EDO – p.25/26

Exercícios

Resolva os seguintes sistemas de EDO em que

� � � ��� �� � � �

��� �

e � � � �� �

utilizando o método daTransformada de Laplace.

�� � � � � � � � �

� � �� � � � � �

� �� � �� � �� � � �

em que as condições iniciais são � � � � � �� � � � � � �

�� �

� � � � �� �

� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � ��

Transformada de Laplace & EDO – p.25/26

Fim do Tomo

Transformada de Laplace & EDO – p.26/26

Recommended