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Transformada de Laplace Solução de Modelos Lineais
Profa Ninoska Bojorge
Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF
TEQ102 – CONTROLE DE PROCESSOS
1
Equação Diferencial Ordinária
Equação Algébrica
Solução da Equação
Diferencial
Solução da Equação Algébrica
1)0(245 ==+ yydt
dy
A Transformada de Laplace2
-0,8t0,5e + 5,0)( =ty
EDO:
L
L-1
� Encontrar a solução da equação diferencial usando álgebra.
� Relação com Transformada de Fourier, o que permite uma maneira fácil de caracterizar sistemas.
� Não há necessidade realizar uma operação de convolução entre o sinal de entrada e a resposta da solução da equação diferencial.
� Útil em sistemas de controle para múltiplos processos
3
Por que Transformada de Laplace?
A Transformada de Laplace
onde s é uma variável complexa → .jws += σ
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ∞) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por
∫∞ −==0
)()]([)( dtetftfLsF st
4
� F (s) é a chamada transformada de Laplace de f(t).
� F (t) é uma função contínua num intervalo [0, ∞)� F (s) não contém nenhuma informação sobre f (t) para t <0.
A informação passada em f (t) (para t <0) é irrelevante.
A Transformada Inversa de Laplace5
� t é uma variável real, s é uma variável complexa!� A T. Inversa requer uma análise complexa para resolver� Note que “transformada”: f(t) → F(s), onde t é integrada e s
é uma variável� E a inversa de F(s) → f(t), t é uma variável e s é integrada � Assume f(t) = 0 para todo t < 0
∫∞
−==0
)()}({)( dtetftfLsF st
∫∞+
∞−
− ==j
j
stdsesFj
sFLtfσ
σπ)(
2
1)}({)( 1
Revisão de Variáveis Complexas e funções complexas
Teorema de Euler cos( ) sin( )je jα α α= +
Corolários cos( )2
j je eα α
α−+= sin( )
2
j je e
j
α α
α−−=
Prova: Considere as expansões de séries de Taylor das funções
2 3
12! 3!
x x xe x= + + + +L
2 4 6
cos 12! 4! 6!
θ θ θθ = − + − +L3 5 7
sin3! 5! 7!
θ θ θθ θ= − + − +L
cos sinjθ θ+ =
6
0( ) ([ )]
t st
te dtf t f t
=∞ −
== ∫L
0[1(
0, 01( ) ]) ( )
01,
1,
t st
te d
ttt
ttt
=∞ −
==
< = ≥
∫L
0 01( ) 1( )[ ]
t tst st
t tet t dt e dt
=∞ =∞− −
= == =∫ ∫L
0
1t
st
t
es
=∞−
=
− =
1lim 1st
t es
−→∞
− = −
1
s=
7
1
![ 1( )]
( )n at
n
AnAt e t
s a−
+=+
L
( ) cos( )1( )
cos( )1(
,
[ ])
f t A t t
A t tωω=
L 1( )2
j t j te eA t
ω ω− + =
L
1( ) 1( )2 2
j t j te eA t A t
ω ω− = +
L L
1 1
2 2
A A
s j s jω ω= +
− +( )( )( )
( )
2
s j s jA
s j s j
ω ωω ω
+ + −=
− +
2 2
As
s ω=
+
Entrada do processo
(função força ou
estímulo)
Saída do processo
(resposta ao
estímulo)
qo(t)
Fluxo de saídaR
(resistência da válvula)
h(t)
qi(t)
Flujo de entrada
A(área do tanque)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-5
0
5
10
15
20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-5
0
5
10
15
20
25
9
Funções de Transformadas de Laplace
1) Degrau unitário , f(t)=1, t>0.
0}Re{,1
)}({ >= ss
tfL
0}Re{,1
)}({ 2 >= ss
tfL
10
2) Rampa , f(t)=t, t>0.
10
1
0 tempo
rampa
0 tempo
[ ]ss
es
dtetfL stst 1)
1(0
1)( 0
0
=−−=−=−= ∞−∞
−∫
[ ]2
00
0
0
11
sdte
sdt
s
ee
s
tdttetL st
ststst ==
−−−=−= ∫∫∫
∞∞ −∞−
∞− −
3) Função exponencial , .0,)( >= tetf at
asas
tfL >−
= }Re{,1
)}({
><
=−at
atatu
,1
,0)(
0}Re{,)}({ >=−−
ss
eatuL
as
11
4) Função Heaviside
Transformadas de Laplace de algumas funções comuns:11
0 tempo
[ ]bs
ebs
dteeeL tsbstbtbt
+=
+−== ∞+−
∞−−−
∫11
0)(
0
0
1
u(t-a)
tempoa
5) Função impulso unitário , f(t)=δ(t)
1)}({ =tfL
Transformadas de Laplace de algumas funções comuns:12
0
u(t)
tempo
<≥≥
>
==→
00
0/1
0
lim)()(0
tpara
ttparat
ttpara
ttf ww
w
tw
δ
[ ] 1)1(1
lim1
lim)(0
00
=−== −
→
−
→ ∫w
w
w
w
st
wt
tst
wt
est
dtet
tL δ
=
→→ )(
)(lim
)(
)(lim:´
´
´
00 tg
tf
tg
tfHospitalL
tt
6) Função pulso retangular
[ ]stRP
wes
hsU −−= 1)(
≥<≤
<=
w
wRPttpara
ttparahtpara
tU0
000
)(
Transformadas de Laplace de algumas funções comuns:13
[ ] )1()( 0
0
ww
w
sttstt
st es
he
s
hdthetPL −−− −=−=−= ∫
0
h
tempotw
6) Função trigonométrica
Transformadas de Laplace de algumas funções comuns:14
wtjsenwte tjw +=∆
cos
)(2
1)(
2
1cos tjtjtjtj wwww ee
jsenwteewt −− −=+=
22
11
2
1)
2
1()
2
1()(
ws
w
jwsjwsje
jLe
jLsenwtL jwtjwt
+=
+−
−=−= −
22
11
2
1)
2
1()
2
1()(cos
ws
s
jwsjwseLeLwtL jwtjwt
+=
++
−=−= −
Identidade Euler:
15
Propriedades da Transformada de Laplace
1) Linearidade Se c1 e c2 são constantes e e são funções cujas transformadas de Laplacesão, respectivamente,
e , então
)(1 tf )(2 tf
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL +=+
)(1 sF )(2 sF
Devido a esta propriedade, se diz que a transformada de Laplaceé um operador linear .
ou Superposição
)()()]()([ sbGsaFtbgtafL +=+
16
2) Transformada de Laplace das derivadas de uma função
A transformada de Laplace de uma derivada de 1ª ordem de uma função está dada por:
∴ f(0) é o valor de f(t) em t=0.
A transformada de Laplace da segunda derivada de uma função está dada por:
)0()()}('{ fssFtfL −=
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=
Propriedades da Transformada de Laplace17
Similarmente,
3) Transformada de Laplace de Integrais
)0()0(')0()()}({ )1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL L
{ }ssF
duufLt )(
)(0
=∫
Propriedades da Transformada de Laplace18
4) Teorema do valor final
Se existe, então
5) Teorema do valor inicial
O valor inicial f(0) da funçãof(t) cuja transformada de Laplace é F(s):
)(lim tft ∞→
)(lim)(lim0
ssFtfst →∞→
=
)(lim)(lim)0(0
ssFtffst ∞→→
==
Propriedades da Transformada de Laplace19
6) Integral de convolução
A operação se conhece como a
convolução de e e se denota como
A transformada de Laplace de esta operação está dada por
∫ −tdtff
0 21 )()( τττ
)(1 tf ),(2 tf
)()()}(*)({ 2121 sFsFtftfL =
).(*)( 21 tftf
20/44
7) Tempo morto
)()()()()(
)()()()()(
00
001
0
0
ttSttftfsFesF
sFesFttSttftf
dLst
d
std
Ld
−−=→==→−−=
−−
−
Propriedades da Transformada de Laplace20
Transformada de Laplace de algumas funções
s
a
s
ae
s
adtaeaLsF stst =
−−=−===∞
∞ −−∫ 0)()(
00
Função exponencial: f(t) = e-bt
∫∫∞ +−∞ −−− ===0
)(
0)()( dtedteeeLsF tsbstbtbt
21
Função constante: f(t) = a
[ ]∫∞ ∞+−
+=
+−=
0 0
)( 11
bse
sbtsb
Transformada de Laplace de algumas funções
)0()0()0()0()(
)0()()()(
)1()2()1(21
000
−−−−
∞−−∞−∞
−−−−−=
−=+==
∫∫
nnnnnn
n
ststst
fsffsfssFsdt
fdL
fssFetfsdtetfdtedt
df
dt
dfL
L
22
Derivadas e integrais
)(1
**)(**)(0 00
sFs
dtedttfdttfL sttt=
=
−∞
∫ ∫∫
Solução de Equações Diferenciais23
A aplicação da transformada de Laplace na solução de equações diferenciais lineais com coeficientes constantes é de grande importância nos problemas de sistemas de controle.
Dado que as condições iniciais estão incluídas na transformada de Laplace da equação diferencial, este método nós proporciona a solução completa (solução complementaria + solução particular) da equação diferencial.
Transformada de Laplace de uma derivada
( ) ( ) (0)d
L f t sF s fdt = −
Note que: Letra minusc. f indica a função de tempo . Letra maiusc F indica uma função de s.
(Multiplique por s) = (diferenciação escrita no tempo)
24
Procedimento para resolver EDO usando a transformada de Laplace:
Suponha que se quer resolver a equação diferencial de segunda ordem
)()()(')('' tutytyty =++ βα
,)0(',)0( byay ==
)}.({)( tyLsY =
25
Solução de Equações Diferenciais
com condições iniciais:
Tomando a transformada de Laplace a ambos lados da equação e substituindo as condições iniciais, se obtém uma equação algébrica, onde se pode determinar
onde α, β, a e b são constantes.
A solução requerida obtém-se ao calcular a transformada inversa de Laplace (L-1Y(s)).
Considere que F(s) está na forma
onde:
as raízes de N(s) são os zeros de F(s), e
as raízes de D(s) são os pólos de F(s).
),,,( 21 mzzzs −−−= K
),,,( 21 nppps −−−= K
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS26
mnzspsps
zszszsK
sD
sNsF
n
m >++++++== ,
)())((
)())((
)(
)()(
21
21
L
L
onde : coeficiente constante conhecido para o resíduo do polo eme obtém-se mediante
como
então f(t) estará dada neste caso por
ka,kps −=
kpskk sFpsa −=+= )]()[(
tpk
k
k keaps
aL −− =
+1
tpn
tptp neaeaeasFLtf −−−− +++== L2121
1 )}({)(
a) F(s) tem somente polos reais e distintos.
neste caso podemos escrever F(s) como
n
n
psa
psa
psa
sdsn
sF+
+++
++
== L
2
2
1
1
)()(
)(
27
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
b) F(s) tem polos distintos, incluindo valores complexos.
Sejam polos complexos conjugados de F(s). A expansão em frações parciais de F(s) estará dada por:
Para obter α1 e α2 se multiplica a equação anterior por
e se avalia em de onde temos que
21 ps e ps −=−=
n
n
psa
psa
pspss
sdsn
sF+
+++
+++
+== L
3
3
21
21
))(()()(
)(αα
))(( 21 psps ++ ,1ps −=
11)())((][ 2121 psps pspssFs −=−= ++=+αα
Obs: na equação anterior, se igualam as partes real e imaginária de ambos membros e se despejam os valores de α1 e α2
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS28
c) F(s) tem polos repetidos.
Considere que F(s) tem um pólo múltiple em de multiplicidade r.
A expansão em frações parciais de F(s) estará dada por
1ps −=
n
n
r
rr
rr
r
psa
psa
psb
psb
psb
sF+
++
++
+++
++
=+
+−
− LL
1
1
1
11
1
1
1 )()()(
29
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
onde os coeficientes estão dados por 11,...,, bbb rr −
1
1
1
1
]))(([)!1(
1
]))(([!
1
]))(([
]))(([
11
1
1
1
11
1
ps
rr
r
ps
rj
j
jr
ps
rr
psr
r
pssFdsd
rb
pssFdsd
jb
pssFdsd
b
pssFb
−=−
−
−=−
−=−
−=
+
−=
+=
+=
+=
M
M
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS30
Ex 1: Solução de EDO por transformada de Laplace
1)0(245 ==+ yydt
dy
3) Transformada inversa de Laplace
ssYyssY
2)(4)]0()([5 =+−
)8.0(
4.0
)45(
25)(
++=
++=
ss
s
ss
ssY
++== −−
)8.0(
4.0)]([)( 11
ss
sLsYLty
EDO:
1) Aplicando Transformada de Laplace
2) Substituindo y(0) & rearranjando a equação, temos:
31
Exemplo 1: Solução de EDO por transformada de Lapl ace
tbtb ebb
bbe
bb
bb
bsbs
bsL 21
21
23
12
13
21
31
))((−−−
−−+
−−=
+++
4.08.00)8.0(
4.0)( 321
1 ===⇒
++= − bbb
ss
sLty
ttt eeess
sL 8.08.001 5.05.0
8.00
8.04.0
08.0
04.0
)8.0)(0(
4.0 −−−− +=−−+
−−=
+++
Tabela 3.1 – (Seborg)
Nosso problema
Substituindo e simplificando
32
...continuação
EXEMPLO 2: EXPANSÃO DE FRAÇÕES PARCIAIS
+ = ++ + + +
1( 2)( 3) 2 3
s A Bs s s s
( )+ + ++ =+ + + +
( 3) 21( 2)( 3) ( 2) ( 3)
A s B sss s s s
+ −= ++ + + +
1 1 2( 2)( 3) 2 3
ss s s s
+ = 1A B + =3 2 1A B
Expande-se para um termo para cada fator no denominador. Recombinar LD
Igualar em termos “s” e os termos constantes. Resolver.
Cada termo está em uma forma simples para que L-1 possa ser aplicada..
33
A. Teorema do valor final
“offset”
Exemplo: Resposta degrau
offset (erro estado de equilíbrio) é a.
sY(s))=y(y(t)st 0limlim→∞→
∞=
aτs
a
τs
asY(s)
s
a
τsY(s)
s=
++=
+=
→ 1lim
1
1
1
0
Outra aplicações de L( ) 34
B. Teorema valor inicial
pelo teorema do valor inicial
pelo teorema do valor final
sY(s)y(t)=st ∞→→limlim
0
))(s+)(s+s(s+
s+)=Para Y(s
321
24
00 )=y(
3
1)=y(∞
35
Outra aplicações de L( )
Ex 3: Aplicar Teoremas inicial e valor final a este exemplo
=+ +
2( )
( 2)( 4)Y s
s s s
• Aplicar o teorema do valor inicial
sY(s))=y(s 0lim
→∞[ ]→∞ = =
+ +2(0) 1
lim ( )(0)(0 2)(0 4) 4t f t
[ ]→∞= =
∞ ∞ + ∞ +0
2( )lim ( ) 0
( )( 2)( 4)t f t sY(s)y(t)=st ∞→→limlim
0
Valor Inicial:
Valor Final:
• Transformada de Laplace da função.
• Aplicar o teorema do valor final
36
Transformada de Laplace
Suponha que a função de transferência
37
221)(
ws
w
s
KsG
++=
τ
1.
1 222201
++=
++
++
s
K
ws
w
s
B
ws
AsA
ττ
não se pode inverter explicitamente
Mas, si podemos descompor e encontrar valores de
de modo que
E obter sua inversão, usando a tabela de Laplace,
⇒ Expansão em Frações Parciais
Expansão em Frações Parciais
1. D(s) tem como fatores reais e distintas
2. D(s) parte real com fatores repetidos
38
)()( 1 ini bssD +∏= =
nibssD )()( +=
expandir como
expandido
( ) ( )nn
bsbsbssr
+++
++
+= ααα
...)( 221
∑ += = bs
sr ini
α1)(
Expansão em Frações Parciais
Expansão de Heaviside
Para uma função de forma racional
39
onde, constantes são dadas como:
∑∏ =
=+
=+
==n
i i
i
i
n
ibsbs
sN
sD
sNsG
11
)(
)(
)(
)()(
α
ibs
ii sD
sPbs
−=
+=)(
)()(α
Expansão em Frações Parciais
Expansão de Heaviside
Para uma função racional com fatores repetidos
Logo, as constantes são dadas por:
40
ibs
nin sD
sPbs
−=
+=)(
)()(α
( ) ( ) ( )nn
n bsbsbsbs
sP
sQ
sPsr
+++
++
+=
+== ααα
...)(
)(
)()( 2
21
ibs
nin sD
sPbs
ds
d
−=
−
+=
)(
)()(1α
ibs
nin
n
n sD
sPbs
ds
d
−=−
−
−
+=
)(
)()(
1
1
1α
Expansão em Frações Parciais
Exemplo 441
Onde o polinômio
tem raízes
o qual pode ser fatorado como:
E por expansão em frações parciais temos:
Expansão em Frações Parciais
Logo, por Heaviside
42
r(s) será
Por transformada inversa, resulta:
4
3
)4)(1(
2
5
3 −=
+++=
−=sss
sα
Continuação...
Exemplo 5: Fatores repetidos
=++=
2)2(
1)(
ss
ssY
43
sss3
221
)2(2
ααα ++
++
=
ssssssss
ssY
4/1
)2(
2/1
2
4/1
)2(2)2(
1)(
23
221
2+
++
+−=+
++
+=
++= ααα
4
1
4
1
)2(
1
2
111
023
22 −==
++==+=
=−=
αααss s
s
s
s
)(4
1
2
1
4
1)]([)( 221 tSteesYLty tt ++−== −−−
Expansão em Frações Parciais
Exemplo 644
o polinômio
tem raízes
De modo que:
por expansão parcial
Expansão em Frações Parciais
Por Heaviside
�
45
9
1
)1(
1
)1(
2
44
2 2−=
+−=
++=
−=−= ssss
s
ds
dα
Logo, r(s):
Por transformada inversa:
contin..
Exemplo 7: Expansão Fração Parcial46
41)4)(1(
5
45
5)( 21
2 ++
+=
+++=
+++=
ssss
s
ss
ssY
αα
- Expansão em frações parciais
3
1
1
5
3
4
4
5
42
11 −=
++==
++=
−=−= ss s
s
s
s αα
tt eess
LsYLty 411
3
1
3
4
4
3/1
1
3/4)]([)( −−−− −=
+−
+==
- Determinação dos coeficientes
- Transformada inversa de Laplace
Exemplo 8: Fator quadrático
tetettSsYLty
ss
s
ss
s
ss
s
ssss
s
sssss
ssY
sss
ssssssss
ss
s
sssss
ssY
tt sin28.0cos04.02.0)(04.0)]([)(
1)2(
28.0
1)2(
)2(04.0
54
36.004.0
54
36.004.02.004.0
54)54(
1)(
0)15()145()4()(
)()54()54(1
54)54(
1)(
221
222
22243
221
22
2212
4213
31
243
22
21
243
221
22
−−− −−+==
++−+
+++−=
++−−
++−−++=
+++++=
+++=
=−+−++++++
+++++++=+
+++++=
+++=
αααα
αααααααα
αααα
αααα47
onde
Exemplo 9: Expansão em Frações Parciais48
o polinômio,
Raízes:
Pode ser fatorado como:
Por frações parciais:
49
O que resulta:
Tomando transformada inversa:
Continuação...
Expansão em Frações Parciais
A transformada inversa
Pode ser reordenada
50
Continuação...
Exemplo 10: Expansão em Frações Parciais51
o polinômio,
Raízes:
Pode ser fatorado como:
Resolvendo para A e B,
Expansão em Frações Parciais
Equações de potencia similar em s,
temos
Por tanto,
temos
Tomando T.L-1
52
Continuação...
3( )
( 1)( 2)
sF s
s s
+=+ +
Expansão frações parciais..“ veja as regras”
( )1 2
F ss
A B
s= +
+ +2( ) 1( )t tf t e eA B t− − = +
3( 1) ( 1)
( 1)( 2) 1 2
s A Bs s
s s s s
+ + = + + + + + +
3( 1)
( 2) 2
s BA s
s s
+ = + + + +
2
3
( 1)s
sB
s =−
+= +
2A =
A:
3( 2) ( 2)
( 1)( 2) 1 2
s A Bs s
s s s s
+ + = + + + + + +
3( 2)
( 1) 1
s As B
s s
+ = + + + +
1
3
( 2)s
sA
s =−
+= +
1B = −
B:
2( ) ( ) 1(12 )t tf t e e t− − −= +
11)
Transformada Inversa de Laplace
3 25 9 7( )
( 1)( 2)
s s sF s
s s
+ + +=+ +
32
( 1)( 2)
ss
s s
+= + ++ +
21 2
A Bs
s s= + + +
+ +
2( ) '( ) 2 ( ) 1( )t tf t t t Ae Be tδ δ − − = + + +
2( ) '( ) 2 ( ) 2 1( )t tf t t t e e tδ δ − − = + + −
A e B do mesmo modo como no problema anterior.
12)54
Transformada Inversa de Laplace
22
2 12( ) , 2 5 ( 1 2)( 1 2)
2 5
sF s s s s j s j
s s
+= + + = + − + ++ +
2 12( )
( 1 2)( 1 2)
sF s
s j s j
+=+ − + + ( 1 2) ( 1 2)
A A
s j s j= +
+ − + +
(1 2) (1 2)( ) 1( )j t j tf t Ae Ae t− − − + = +
1 2
2 12
1 2s j
sA
s j =− +
+= + +
2( 1 2) 12
1 2 1 2
j
j j
− + +=− + + +
1 2.5j= − 1.19032.6926 je−=
( )(2 1.1903) (2 1.1903)( ) 2.6926 1( )t j t j tf t e e e t− − − − = +
1.19032.6926 jA e=
( ) 5.3852 cos(2 1.1903) 1( )tf t e t t− = −
13)
2
3
2 3( )
( 1)
s sF s
s
+ +=+ 2 31 ( 1) ( 1)
A B C
s s s= + +
+ + + 2 31 ( 1) ( 1)
A B C
s s s= + +
+ + +
23 3
3 2 3
2 3( 1) ( 1)
( 1) 1 ( 1) ( 1)
s s A B Cs s
s s s s
+ ++ = + + + + + + +
2( ) 1( )2
t t tCf t Ae Bte t e t− − − = + +
2 22 3 ( 1) ( 1)s s s A s B C+ + = + + + +2 2
1 12 3 ( 1) ( 1)
s ss s s A s B C C
=− =− + + = + + + + = 2=
2
1
2 3s
dB s s
ds =−
= + + [ ] 12 2
ss
=−= + 0=
22
2
1
2 3s
dA s s
ds =−
= + +
2
1
2 2s
ds
ds =−
= + 2=
2( ) 2 1( )t tf t e t e t− − = +
Transformada Inversa de Laplace
Expansão em Frações Parciais
Algoritmo geral para solução de EDOs
� Tomar Transforamada Laplace de ambos os lados da EDO � Determinar as raízes para D(s) � Fatorar a equação polinomial característica
• Encontrar as raízes (ex: Função “roots” ou “poles” no Matlab)
• Identificar os fatores e multiplicidades � Realizar expansão em frações parciais� Invertir a Transf. de Laplace usando tabelas de Laplace
57
)(
)()(
sD
sNsG =
Expansão em Frações Parciais
Para uma função :
O polinômio D(s) tem raízes do tipo: � Raízes Reais
• resulta termo exponencial • resulta termo constante
� Raízes Complexaresulta resposta exponencial c/ peso senoidal
• resulta um sinal senoidal puro
58
)(
)()(
sD
sNsG =
L
F(s)
aF(s) + bF(s)
sF(s) – f(0)
f(t)
af(t) + bf(t)
f’(t)
f ”(t)
Transformada de Laplace
s2 F(s)-sf(0)-f’(0)
Finalizando... 59
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