Transformada de Laplace Solução de Modelos Lineais · A Transformada Inversa de Laplace 5 t é uma variável real, s é uma variável complexa! A T. Inversa requer uma análise

Transformada de Laplace Solução de Modelos Lineais

Profa Ninoska Bojorge

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF

TEQ102 – CONTROLE DE PROCESSOS

1

Equação Diferencial Ordinária

Equação Algébrica

Solução da Equação

Diferencial

Solução da Equação Algébrica

1)0(245 ==+ yydt

dy

A Transformada de Laplace2

-0,8t0,5e + 5,0)( =ty

EDO:

L

L-1

� Encontrar a solução da equação diferencial usando álgebra.

� Relação com Transformada de Fourier, o que permite uma maneira fácil de caracterizar sistemas.

� Não há necessidade realizar uma operação de convolução entre o sinal de entrada e a resposta da solução da equação diferencial.

� Útil em sistemas de controle para múltiplos processos

3

Por que Transformada de Laplace?

A Transformada de Laplace

onde s é uma variável complexa → .jws += σ

Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ∞) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por

∫∞ −==0

)()]([)( dtetftfLsF st

4

� F (s) é a chamada transformada de Laplace de f(t).

� F (t) é uma função contínua num intervalo [0, ∞)� F (s) não contém nenhuma informação sobre f (t) para t <0.

A informação passada em f (t) (para t <0) é irrelevante.

A Transformada Inversa de Laplace5

� t é uma variável real, s é uma variável complexa!� A T. Inversa requer uma análise complexa para resolver� Note que “transformada”: f(t) → F(s), onde t é integrada e s

é uma variável� E a inversa de F(s) → f(t), t é uma variável e s é integrada � Assume f(t) = 0 para todo t < 0

∫∞

−==0

)()}({)( dtetftfLsF st

∫∞+

∞−

− ==j

j

stdsesFj

sFLtfσ

σπ)(

2

1)}({)( 1

Revisão de Variáveis Complexas e funções complexas

Teorema de Euler cos( ) sin( )je jα α α= +

Corolários cos( )2

j je eα α

α−+= sin( )

2

j je e

j

α α

α−−=

Prova: Considere as expansões de séries de Taylor das funções

2 3

12! 3!

x x xe x= + + + +L

2 4 6

cos 12! 4! 6!

θ θ θθ = − + − +L3 5 7

sin3! 5! 7!

θ θ θθ θ= − + − +L

cos sinjθ θ+ =

6

0( ) ([ )]

t st

te dtf t f t

=∞ −

== ∫L

0[1(

0, 01( ) ]) ( )

01,

1,

t st

te d

ttt

ttt

=∞ −

==

< = ≥

∫L

0 01( ) 1( )[ ]

t tst st

t tet t dt e dt

=∞ =∞− −

= == =∫ ∫L

0

1t

st

t

es

=∞−

=

− =

1lim 1st

t es

−→∞

− = −

1

s=

7

1

![ 1( )]

( )n at

n

AnAt e t

s a−

+=+

L

( ) cos( )1( )

cos( )1(

,

[ ])

f t A t t

A t tωω=

L 1( )2

j t j te eA t

ω ω− + =

L

1( ) 1( )2 2

j t j te eA t A t

ω ω− = +

L L

1 1

2 2

A A

s j s jω ω= +

− +( )( )( )

( )

2

s j s jA

s j s j

ω ωω ω

+ + −=

− +

2 2

As

s ω=

+

Entrada do processo

(função força ou

estímulo)

Saída do processo

(resposta ao

estímulo)

qo(t)

Fluxo de saídaR

(resistência da válvula)

h(t)

qi(t)

Flujo de entrada

A(área do tanque)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

25

9

Funções de Transformadas de Laplace

1) Degrau unitário , f(t)=1, t>0.

0}Re{,1

)}({ >= ss

tfL

0}Re{,1

)}({ 2 >= ss

tfL

10

2) Rampa , f(t)=t, t>0.

10

1

0 tempo

rampa

0 tempo

[ ]ss

es

dtetfL stst 1)

1(0

1)( 0

0

=−−=−=−= ∞−∞

−∫

[ ]2

00

0

0

11

sdte

sdt

s

ee

s

tdttetL st

ststst ==

−−−=−= ∫∫∫

∞∞ −∞−

∞− −

3) Função exponencial , .0,)( >= tetf at

asas

tfL >−

= }Re{,1

)}({

><

=−at

atatu

,1

,0)(

0}Re{,)}({ >=−−

ss

eatuL

as

11

4) Função Heaviside

Transformadas de Laplace de algumas funções comuns:11

0 tempo

[ ]bs

ebs

dteeeL tsbstbtbt

+=

+−== ∞+−

∞−−−

∫11

0)(

0

0

1

u(t-a)

tempoa

5) Função impulso unitário , f(t)=δ(t)

1)}({ =tfL


0

u(t)

tempo

<≥≥

>

==→

00

0/1

0

lim)()(0

tpara

ttparat

ttpara

ttf ww

w

tw

δ

[ ] 1)1(1

lim1

lim)(0

00

=−== −

→

−

→ ∫w

w

w

w

st

wt

tst

wt

est

dtet

tL δ

=

→→ )(

)(lim

)(

)(lim:´

´

´

00 tg

tf

tg

tfHospitalL

tt

6) Função pulso retangular

[ ]stRP

wes

hsU −−= 1)(

≥<≤

<=

w

wRPttpara

ttparahtpara

tU0

000

)(


[ ] )1()( 0

0

ww

w

sttstt

st es

he

s

hdthetPL −−− −=−=−= ∫

0

h

tempotw

6) Função trigonométrica


wtjsenwte tjw +=∆

cos

)(2

1)(

2

1cos tjtjtjtj wwww ee

jsenwteewt −− −=+=

22

11

2

1)

2

1()

2

1()(

ws

w

jwsjwsje

jLe

jLsenwtL jwtjwt

+=

+−

−=−= −

22

11

2

1)

2

1()

2

1()(cos

ws

s

jwsjwseLeLwtL jwtjwt

+=

++

−=−= −

Identidade Euler:

15

Propriedades da Transformada de Laplace

1) Linearidade Se c1 e c2 são constantes e e são funções cujas transformadas de Laplacesão, respectivamente,

e , então

)(1 tf )(2 tf

).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL +=+

)(1 sF )(2 sF

Devido a esta propriedade, se diz que a transformada de Laplaceé um operador linear .

ou Superposição

)()()]()([ sbGsaFtbgtafL +=+

16

2) Transformada de Laplace das derivadas de uma função

A transformada de Laplace de uma derivada de 1ª ordem de uma função está dada por:

∴ f(0) é o valor de f(t) em t=0.

A transformada de Laplace da segunda derivada de uma função está dada por:

)0()()}('{ fssFtfL −=

)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=

Propriedades da Transformada de Laplace17

Similarmente,

3) Transformada de Laplace de Integrais

)0()0(')0()()}({ )1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL L

{ }ssF

duufLt )(

)(0

=∫


4) Teorema do valor final

Se existe, então

5) Teorema do valor inicial

O valor inicial f(0) da funçãof(t) cuja transformada de Laplace é F(s):

)(lim tft ∞→

)(lim)(lim0

ssFtfst →∞→

=

)(lim)(lim)0(0

ssFtffst ∞→→

==


6) Integral de convolução

A operação se conhece como a

convolução de e e se denota como

A transformada de Laplace de esta operação está dada por

∫ −tdtff

0 21 )()( τττ

)(1 tf ),(2 tf

)()()}(*)({ 2121 sFsFtftfL =

).(*)( 21 tftf

20/44

7) Tempo morto

)()()()()(

)()()()()(

00

001

0

0

ttSttftfsFesF

sFesFttSttftf

dLst

d

std

Ld

−−=→==→−−=

−−

−


Transformada de Laplace de algumas funções

s

a

s

ae

s

adtaeaLsF stst =

−−=−===∞

∞ −−∫ 0)()(

00

Função exponencial: f(t) = e-bt

∫∫∞ +−∞ −−− ===0

)(

0)()( dtedteeeLsF tsbstbtbt

21

Função constante: f(t) = a

[ ]∫∞ ∞+−

+=

+−=

0 0

)( 11

bse

sbtsb

Transformada de Laplace de algumas funções

)0()0()0()0()(

)0()()()(

)1()2()1(21

000

−−−−

∞−−∞−∞

−−−−−=

−=+==

∫∫

nnnnnn

n

ststst

fsffsfssFsdt

fdL

fssFetfsdtetfdtedt

df

dt

dfL

L

22

Derivadas e integrais

)(1

**)(**)(0 00

sFs

dtedttfdttfL sttt=

=

−∞

∫ ∫∫

Solução de Equações Diferenciais23

A aplicação da transformada de Laplace na solução de equações diferenciais lineais com coeficientes constantes é de grande importância nos problemas de sistemas de controle.

Dado que as condições iniciais estão incluídas na transformada de Laplace da equação diferencial, este método nós proporciona a solução completa (solução complementaria + solução particular) da equação diferencial.

Transformada de Laplace de uma derivada

( ) ( ) (0)d

L f t sF s fdt = −

Note que: Letra minusc. f indica a função de tempo . Letra maiusc F indica uma função de s.

(Multiplique por s) = (diferenciação escrita no tempo)

24

Procedimento para resolver EDO usando a transformada de Laplace:

Suponha que se quer resolver a equação diferencial de segunda ordem

)()()(')('' tutytyty =++ βα

,)0(',)0( byay ==

)}.({)( tyLsY =

25

Solução de Equações Diferenciais

com condições iniciais:

Tomando a transformada de Laplace a ambos lados da equação e substituindo as condições iniciais, se obtém uma equação algébrica, onde se pode determinar

onde α, β, a e b são constantes.

A solução requerida obtém-se ao calcular a transformada inversa de Laplace (L-1Y(s)).

Considere que F(s) está na forma

onde:

as raízes de N(s) são os zeros de F(s), e

as raízes de D(s) são os pólos de F(s).

),,,( 21 mzzzs −−−= K

),,,( 21 nppps −−−= K

EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS26

mnzspsps

zszszsK

sD

sNsF

n

m >++++++== ,

)())((

)())((

)(

)()(

21

21

L

L

onde : coeficiente constante conhecido para o resíduo do polo eme obtém-se mediante

como

então f(t) estará dada neste caso por

ka,kps −=

kpskk sFpsa −=+= )]()[(

tpk

k

k keaps

aL −− =

+1

tpn

tptp neaeaeasFLtf −−−− +++== L2121

1 )}({)(

a) F(s) tem somente polos reais e distintos.

neste caso podemos escrever F(s) como

n

n

psa

psa

psa

sdsn

sF+

+++

++

== L

2

2

1

1

)()(

)(

27

EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

b) F(s) tem polos distintos, incluindo valores complexos.

Sejam polos complexos conjugados de F(s). A expansão em frações parciais de F(s) estará dada por:

Para obter α1 e α2 se multiplica a equação anterior por

e se avalia em de onde temos que

21 ps e ps −=−=

n

n

psa

psa

pspss

sdsn

sF+

+++

+++

+== L

3

3

21

21

))(()()(

)(αα

))(( 21 psps ++ ,1ps −=

11)())((][ 2121 psps pspssFs −=−= ++=+αα

Obs: na equação anterior, se igualam as partes real e imaginária de ambos membros e se despejam os valores de α1 e α2


c) F(s) tem polos repetidos.

Considere que F(s) tem um pólo múltiple em de multiplicidade r.

A expansão em frações parciais de F(s) estará dada por

1ps −=

n

n

r

rr

rr

r

psa

psa

psb

psb

psb

sF+

++

++

+++

++

=+

+−

− LL

1

1

1

11

1

1

1 )()()(

29

EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

onde os coeficientes estão dados por 11,...,, bbb rr −

1

1

1

1

]))(([)!1(

1

]))(([!

1

]))(([

]))(([

11

1

1

1

11

1

ps

rr

r

ps

rj

j

jr

ps

rr

psr

r

pssFdsd

rb

pssFdsd

jb

pssFdsd

b

pssFb

−=−

−

−=−

−=−

−=

+

−=

+=

+=

+=

M

M


Ex 1: Solução de EDO por transformada de Laplace

1)0(245 ==+ yydt

dy

3) Transformada inversa de Laplace

ssYyssY

2)(4)]0()([5 =+−

)8.0(

4.0

)45(

25)(

++=

++=

ss

s

ss

ssY

++== −−

)8.0(

4.0)]([)( 11

ss

sLsYLty

EDO:

1) Aplicando Transformada de Laplace

2) Substituindo y(0) & rearranjando a equação, temos:

31

Exemplo 1: Solução de EDO por transformada de Lapl ace

tbtb ebb

bbe

bb

bb

bsbs

bsL 21

21

23

12

13

21

31

))((−−−

−−+

−−=

+++

4.08.00)8.0(

4.0)( 321

1 ===⇒

++= − bbb

ss

sLty

ttt eeess

sL 8.08.001 5.05.0

8.00

8.04.0

08.0

04.0

)8.0)(0(

4.0 −−−− +=−−+

−−=

+++

Tabela 3.1 – (Seborg)

Nosso problema

Substituindo e simplificando

32

...continuação

EXEMPLO 2: EXPANSÃO DE FRAÇÕES PARCIAIS

+ = ++ + + +

1( 2)( 3) 2 3

s A Bs s s s

( )+ + ++ =+ + + +

( 3) 21( 2)( 3) ( 2) ( 3)

A s B sss s s s

+ −= ++ + + +

1 1 2( 2)( 3) 2 3

ss s s s

+ = 1A B + =3 2 1A B

Expande-se para um termo para cada fator no denominador. Recombinar LD

Igualar em termos “s” e os termos constantes. Resolver.

Cada termo está em uma forma simples para que L-1 possa ser aplicada..

33

A. Teorema do valor final

“offset”

Exemplo: Resposta degrau

offset (erro estado de equilíbrio) é a.

sY(s))=y(y(t)st 0limlim→∞→

∞=

aτs

a

τs

asY(s)

s

a

τsY(s)

s=

++=

+=

→ 1lim

1

1

1

0

Outra aplicações de L( ) 34

B. Teorema valor inicial

pelo teorema do valor inicial

pelo teorema do valor final

sY(s)y(t)=st ∞→→limlim

0

))(s+)(s+s(s+

s+)=Para Y(s

321

24

00 )=y(

3

1)=y(∞

35

Outra aplicações de L( )

Ex 3: Aplicar Teoremas inicial e valor final a este exemplo

=+ +

2( )

( 2)( 4)Y s

s s s

• Aplicar o teorema do valor inicial

sY(s))=y(s 0lim

→∞[ ]→∞ = =

+ +2(0) 1

lim ( )(0)(0 2)(0 4) 4t f t

[ ]→∞= =

∞ ∞ + ∞ +0

2( )lim ( ) 0

( )( 2)( 4)t f t sY(s)y(t)=st ∞→→limlim

0

Valor Inicial:

Valor Final:

• Transformada de Laplace da função.

• Aplicar o teorema do valor final

36

Transformada de Laplace

Suponha que a função de transferência

37

221)(

ws

w

s

KsG

++=

τ

1.

1 222201

++=

++

++

s

K

ws

w

s

B

ws

AsA

ττ

não se pode inverter explicitamente

Mas, si podemos descompor e encontrar valores de

de modo que

E obter sua inversão, usando a tabela de Laplace,

⇒ Expansão em Frações Parciais

Expansão em Frações Parciais

1. D(s) tem como fatores reais e distintas

2. D(s) parte real com fatores repetidos

38

)()( 1 ini bssD +∏= =

nibssD )()( +=

expandir como

expandido

( ) ( )nn

bsbsbssr

+++

++

+= ααα

...)( 221

∑ += = bs

sr ini

α1)(


Expansão de Heaviside

Para uma função de forma racional

39

onde, constantes são dadas como:

∑∏ =

=+

=+

==n

i i

i

i

n

ibsbs

sN

sD

sNsG

11

)(

)(

)(

)()(

α

ibs

ii sD

sPbs

−=

+=)(

)()(α


Expansão de Heaviside

Para uma função racional com fatores repetidos

Logo, as constantes são dadas por:

40

ibs

nin sD

sPbs

−=

+=)(

)()(α

( ) ( ) ( )nn

n bsbsbsbs

sP

sQ

sPsr

+++

++

+=

+== ααα

...)(

)(

)()( 2

21

ibs

nin sD

sPbs

ds

d

−=

−

+=

)(

)()(1α

ibs

nin

n

n sD

sPbs

ds

d

−=−

−

−

+=

)(

)()(

1

1

1α


Exemplo 441

Onde o polinômio

tem raízes

o qual pode ser fatorado como:

E por expansão em frações parciais temos:


Logo, por Heaviside

42

r(s) será

Por transformada inversa, resulta:

4

3

)4)(1(

2

5

3 −=

+++=

−=sss

sα

Continuação...

Exemplo 5: Fatores repetidos

=++=

2)2(

1)(

ss

ssY

43

sss3

221

)2(2

ααα ++

++

=

ssssssss

ssY

4/1

)2(

2/1

2

4/1

)2(2)2(

1)(

23

221

2+

++

+−=+

++

+=

++= ααα

4

1

4

1

)2(

1

2

111

023

22 −==

++==+=

=−=

αααss s

s

s

s

)(4

1

2

1

4

1)]([)( 221 tSteesYLty tt ++−== −−−


Exemplo 644

o polinômio

tem raízes

De modo que:

por expansão parcial


Por Heaviside

�

45

9

1

)1(

1

)1(

2

44

2 2−=

+−=

++=

−=−= ssss

s

ds

dα

Logo, r(s):

Por transformada inversa:

contin..

Exemplo 7: Expansão Fração Parcial46

41)4)(1(

5

45

5)( 21

2 ++

+=

+++=

+++=

ssss

s

ss

ssY

αα

- Expansão em frações parciais

3

1

1

5

3

4

4

5

42

11 −=

++==

++=

−=−= ss s

s

s

s αα

tt eess

LsYLty 411

3

1

3

4

4

3/1

1

3/4)]([)( −−−− −=

+−

+==

- Determinação dos coeficientes

- Transformada inversa de Laplace

Exemplo 8: Fator quadrático

tetettSsYLty

ss

s

ss

s

ss

s

ssss

s

sssss

ssY

sss

ssssssss

ss

s

sssss

ssY

tt sin28.0cos04.02.0)(04.0)]([)(

1)2(

28.0

1)2(

)2(04.0

54

36.004.0

54

36.004.02.004.0

54)54(

1)(

0)15()145()4()(

)()54()54(1

54)54(

1)(

221

222

22243

221

22

2212

4213

31

243

22

21

243

221

22

−−− −−+==

++−+

+++−=

++−−

++−−++=

+++++=

+++=

=−+−++++++

+++++++=+

+++++=

+++=

αααα

αααααααα

αααα

αααα47

onde

Exemplo 9: Expansão em Frações Parciais48

o polinômio,

Raízes:

Pode ser fatorado como:

Por frações parciais:

49

O que resulta:

Tomando transformada inversa:

Continuação...


A transformada inversa

Pode ser reordenada

50

Continuação...

Exemplo 10: Expansão em Frações Parciais51

o polinômio,

Raízes:

Pode ser fatorado como:

Resolvendo para A e B,


Equações de potencia similar em s,

temos

Por tanto,

temos

Tomando T.L-1

52

Continuação...

3( )

( 1)( 2)

sF s

s s

+=+ +

Expansão frações parciais..“ veja as regras”

( )1 2

F ss

A B

s= +

+ +2( ) 1( )t tf t e eA B t− − = +

3( 1) ( 1)

( 1)( 2) 1 2

s A Bs s

s s s s

+ + = + + + + + +

3( 1)

( 2) 2

s BA s

s s

+ = + + + +

2

3

( 1)s

sB

s =−

+= +

2A =

A:

3( 2) ( 2)

( 1)( 2) 1 2

s A Bs s

s s s s

+ + = + + + + + +

3( 2)

( 1) 1

s As B

s s

+ = + + + +

1

3

( 2)s

sA

s =−

+= +

1B = −

B:

2( ) ( ) 1(12 )t tf t e e t− − −= +

11)

Transformada Inversa de Laplace

3 25 9 7( )

( 1)( 2)

s s sF s

s s

+ + +=+ +

32

( 1)( 2)

ss

s s

+= + ++ +

21 2

A Bs

s s= + + +

+ +

2( ) '( ) 2 ( ) 1( )t tf t t t Ae Be tδ δ − − = + + +

2( ) '( ) 2 ( ) 2 1( )t tf t t t e e tδ δ − − = + + −

A e B do mesmo modo como no problema anterior.

12)54


22

2 12( ) , 2 5 ( 1 2)( 1 2)

2 5

sF s s s s j s j

s s

+= + + = + − + ++ +

2 12( )

( 1 2)( 1 2)

sF s

s j s j

+=+ − + + ( 1 2) ( 1 2)

A A

s j s j= +

+ − + +

(1 2) (1 2)( ) 1( )j t j tf t Ae Ae t− − − + = +

1 2

2 12

1 2s j

sA

s j =− +

+= + +

2( 1 2) 12

1 2 1 2

j

j j

− + +=− + + +

1 2.5j= − 1.19032.6926 je−=

( )(2 1.1903) (2 1.1903)( ) 2.6926 1( )t j t j tf t e e e t− − − − = +

1.19032.6926 jA e=

( ) 5.3852 cos(2 1.1903) 1( )tf t e t t− = −

13)

2

3

2 3( )

( 1)

s sF s

s

+ +=+ 2 31 ( 1) ( 1)

A B C

s s s= + +

+ + + 2 31 ( 1) ( 1)

A B C

s s s= + +

+ + +

23 3

3 2 3

2 3( 1) ( 1)

( 1) 1 ( 1) ( 1)

s s A B Cs s

s s s s

+ ++ = + + + + + + +

2( ) 1( )2

t t tCf t Ae Bte t e t− − − = + +

2 22 3 ( 1) ( 1)s s s A s B C+ + = + + + +2 2

1 12 3 ( 1) ( 1)

s ss s s A s B C C

=− =− + + = + + + + = 2=

2

1

2 3s

dB s s

ds =−

= + + [ ] 12 2

ss

=−= + 0=

22

2

1

2 3s

dA s s

ds =−

= + +

2

1

2 2s

ds

ds =−

= + 2=

2( ) 2 1( )t tf t e t e t− − = +



Algoritmo geral para solução de EDOs

� Tomar Transforamada Laplace de ambos os lados da EDO � Determinar as raízes para D(s) � Fatorar a equação polinomial característica

• Encontrar as raízes (ex: Função “roots” ou “poles” no Matlab)

• Identificar os fatores e multiplicidades � Realizar expansão em frações parciais� Invertir a Transf. de Laplace usando tabelas de Laplace

57

)(

)()(

sD

sNsG =


Para uma função :

O polinômio D(s) tem raízes do tipo: � Raízes Reais

• resulta termo exponencial • resulta termo constante

� Raízes Complexaresulta resposta exponencial c/ peso senoidal

• resulta um sinal senoidal puro

58

)(

)()(

sD

sNsG =

L

F(s)

aF(s) + bF(s)

sF(s) – f(0)

f(t)

af(t) + bf(t)

f’(t)

f ”(t)

Transformada de Laplace

s2 F(s)-sf(0)-f’(0)

Finalizando... 59

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Transformada de Laplace Solução de Modelos Lineais · A Transformada Inversa de Laplace 5 t é uma variável real, s é uma variável complexa! A T. Inversa requer uma análise