3 b – análise combinatória ii

3B – Análise combinatória II

Permutação SimplesE

Permutação com Repetição

Permutação

• Significado: Vamos contar agora, o número de maneiras que podemos ordenar uma certa quantidade de elementos.

Ou seja,

Permutação é o numero de misturas que podemos fazer.

Palavras-chave: Ordenar / Misturar.

Permutação Simples• É quando não há repetição de nenhum elemento .

• Exemplo 1: De quantas maneiras podemos ordenar(misturar) as letras a, b e c ?

• Exemplo 2: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra TRIGO?

• Exemplo 3: Quantos resultados possíveis existem numa prova de natação disputada por 8 atletas, desconsiderando empates?

Permutação Simples

• Definição: O número de permutações simples de n objetos distintos é dado por

Permutação com Repetição

• Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra OSSO ?

1º) Vamos analisar o diagrama diferenciando as letras, teremos então:

OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS

Se considerarmos as letras da palavra OSSO como sendo elementos distintos, teremos ordenações.

2º) Vamos analisar o diagrama sem diferenciar as letras, teremos então:

OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS

Veja que há um grande número de repetições, sobrariam apenas 6 tipos de ordenações distintas.

OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS

Como podemos eliminar essa repetição de elementos na contagem final ?

1º) Pensamos no total de permutações (ordenações) diferenciando os elementos. Logo temos

2º) Pensamos nas ordenações dos elementos que se repetem.- As duas letras O ordenam-se de maneiras.- As duas letras S ordenam-se de maneiras.

3º) Para não haver diferenciação, o cálculo pode ser resumido em:

• De modo geral, o número de permutações de n elementos, dos quais um deles é repetido vezes, o outro é repetido vezes, o outro é repetido vezes, ..., é dado por:

Exemplo 2: Qual o número de modos de uma pessoa dirigir-se do ponto P ao ponto Q, podendo apenas andar para o norte ou para o leste ?

N

S

LO