Caderno - Lógica

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Lógica Matemática - Caderno completo + Exercícios Resolvidos

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LÓGICA

Luan Guerra

2º semestre

CADERNOCADERNO

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SUGESTÕEScadernosppt@gmail.com.br

Aviso

Esse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.

Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.

Observação:O objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.

SITESUGERIDO

www.colegioweb.com.br/matematica/conectivos-logicos-.html

LIVROSSUGERIDOS

• Alencar Filho, Edgard – Iniciação àLógica Matemática

• Castrucci, Benedito – Introdução àLógica Matemática

CADERNO+

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Apresentação

• Argumento 1 – RaciocínioTodo homem é mortalSócrates é mortalLogo, Sócrates é homem

• Argumento 2 – RaciocínioTodo homem é mortalSócrates é homemLogo, Sócrates é mortal

Continuação

• Lei da Não-contradição: a proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.

O que é uma proposição?

• É TODA FRASE QUE PODE SER CLASSIFICADA COMO VERDADEIRO E FALSO

PREMISSA?

• Está dentro de um argumento, ou seja, toda premissa é uma proposição, mas nem toda proposição é uma premissa

Raciocínio Dedutivo

• ExemploTodo metal é dilatado pelo calor.O ouro é metal.Logo, o ouro é dilatado pelo calor.

Raciocínio Indutivo

• Exemplo:O ferro é um metal e conduz eletricidade.O zinco é um metal e conduz eletricidade.Logo, todo metal conduz eletricidade.

Proposições

• Proposição SimplesÉ toda frase que pode ser classificada em verdadeira e falso.

• Proposição CompostaÉ frases com duas ou mais proposições simples

Continuação

• Valor LógicoA Lua é um satélite da Terra. VL(q) = V

Dante escreveu Os lusíadas. VL(q) = F

Continuação

Negação

Detalhes

• e é somente verdadeiro, quando os “dois”termos são verdadeiros.

• ou quando os “dois” são falsos.

Conjunção• A conjunção de duas

proposições P e Q érepresentada por:

p ^ q

Lê se “p e q”

Exemplos de ‘Conjuntos’

P Q

Disjunção

O operado lógico DISJUNÇÃO caracterizado pelo conectivo OU e representado pelo símbolo V

Continuação

Pode ser o p ou q ou os dois

OU ( V ) Exclusivo

Não podem acontecer ao mesmo tempo.

Símbolo de OU Exclusivo

Exemplos

A: O livro é interessanteB: O livro é caro.

Negação A: O livro não é interessante.+: Não é verdade que o livro é interessante.

A ^ B: O livro é interessante e caro.A V B: O livro é interessante ou caro.

Exemplos

A:Ela é mineira e ele é paraense.Ela não é mineira e ele é paraense.Ela é mineira e ele não é paraense.Ela não é mineira ou ele não é paraense.

B:Ela é mineira ou ele é paraense.Ela não é mineira e ele não é paraense.

Continuação

A:Não é verdade que Galileu esteja certo.

P: Galileu está certo.(~p)

B:A água está líquida.A água está sólida.

Condicional

O operador lógico CONDICIONAL será caracterizado pelo conectivo Se... Então e representado pelo símbolo

Obs:A condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda

foi falsa.A primeira proposição será chamada de ANTECEDENTE e a

segunda será chamada de CONSEQUENTE.

Na condicional teremos a seguinte situação:

Uma condição SUFICIENTE gera um resultado NECESSÁRIO.

Daí se temos:“Pedro é rico então Maria é médica”

Pode ser escrita:“Pedro é rico é CONDIÇÃO SUFICIENTE para que Maria

seja médica.”

“Maria ser médica é CONDIÇÃO NECESSÁRIA para que Pedro seja rico.”

Suficiente/Necessário

Se... Então

Dados

Condicional

• O conectivo se... então... e a condicional

A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:

TABELA

Exemplo

DADOS

Bicondicional

• O conectivo se e somente se e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q éoutra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.

Bicondicional

Exercícios

Condicional

A B

Dados do Exercício:A = Está CalorB = É verão

NUNCA É VERÃO, QUANDO ESTÁ CALOR

Dados do Exercício:A = Está CalorB = É verão

Extra - Paradoxos

SLIDES

TABELA VERDADE

RESOLUÇÃO

P (p,q) = ~(p v ~q)

Ordem de Prioridade

1º Fazer a negação (~)

2º Fazer a conjunção (^) e a disjunção (v)

3º Fazer a condicional ( )

4º Fazer a bi-condicional ( )

Exercícios

• P (p, q, r) = (p ^ ~q) (q v ~ r)

Definição

Tipos de Tabela lógicas

• TAUTOLÓGICASQuando os valores lógicos da proposição são todos verdadeiros

• CONTRADIÇÃOQuando os valores lógicos da proposição são todos falsos

• CONTINGÊNCIAQuando os valores lógicos da proposição são verdadeiros e falsos.

ExemplosTipos de Tabela Lógicas

a) P (p, q) = (p ^ q) (p v q)

ExemplosTipos de Tabela Lógicas

b) P (p) = p ~p

ExemplosTipos de Tabela Lógicas

c) P (p, q) = p (p ^ q)

Implicação Lógica

Sejam P e Q duas proposições, dizemos que implica em P logicamente em Q se e somente se a condicional P Q éumas tautológica.

Resumo

P Q (P implica logicamente)

P Q é uma tautológica

Também podemos verificar se P implica logicamente em Q da seguinte forma:

1º Verificamos quais linhas a proposição´P tem valor lógico verdadeiro;

2º Nessas mesmas linhas verificamos quais são os valores lógicos de Q;

3º Se houver alguma dessas linhas onde Q é falso, não temos implicação lógica. Agora, se não houver linhas onde Q éfalso, temos uma implicação lógica.

Exemplo

• Dados as proposições P(p, q) = p v qe Q(p,q)= p^q, verificamos se:

a) P Q

b) Q P

Perguntas

a) P não implica logicamente em Q, pois P Q não é uma tautológica.

b) Q implica lógica em P, pois Q P éuma tautologia.

Respostas

a) Como na linha 2 ou 2º linha o valor lógico VL [P( p, q)] = V e o VL [Q(p,q)] = F, P não implica logicamente em Q.

b) Como na 1º linha o valor lógico VL [Q(p, q)] = V e VL[P(p,q)] = V Q implica logicamente.

Equivalência Lógica

• Sejam P e Q duas proposições, dizemos que P equivale logicamente em Q se e somente se a bicondicional P Q éuma tautologia.

Resumo

P Q (P equivale logicamente)

P Q é uma tautologia

Também podemos verificar se P equivale logicamente em Q, da seguinte forma:

1º Verificamos quais linhas as proposições P e Q tem o valor lógico verdadeiro

2º Se todas as linhas coincidem temos uma equivalência lógica, caso contrário não temos uma equivalência lógica.

Exemplo

• Dados as proposições P(p,q) = ~p v ~q, Q(p,q) = ~ (p^q) e R(p,q) = ~p ^ ~q, verifique se:

a) P(p,q) Q(p,q)

b) Q(p,q) R(p,q)

Perguntas

a) Como P Q é uma tautologia, temos P Q

b) Como Q R não é uma tautologia, temos que Q não é equivalente a R

Tabela Verdade

decorar.....

Propriedades da Equivalência

1) p ^ q p2) p v p p3) p q q p4) p q (p q) ^ (q p)5) p q; p q; q r6) p ^ q q ^ q 7) p v q q v p

Propriedades da Condicional

p q ~q ~ p

p q ~p v q

Tabela Verdade

3º Exercícios

P = Pedro é pobreQ = Alberto é alto

~(p ^ q)

Propriedades~p v ~q = Pedro não é pobre ou Alberto não

é alto.

Continuação

Transformar as alternativas em conectivos:

a) ~p v ~qb) ~p ^ ~qc) p v ~qd) ~p qe) ~p ~q

Comprovando

4º Exercício

OBS: PEGUE SEMPRE NA AFIRMATIVA E DEPOIS NEGUE.

P = André é artistaQ = Bernardo é engenheiro (Negativa)

Continuação

P v ~ q

~p ~q

q p

Propriedades da Condicional

Resposta

Se Bernardo é engenheiro então André éartista.

5º Exercício

Todos os economistas são médicos.

Como negar?

Diagrama

Médico

Economista

Resultado

p qNegação de todos = pelo menos 1

Economista

Médico

6º Exercício

P = Pedro é pedreiro (Negativa)OuQ = Paulo é paulista.

Resolução

• Conserva o 2º conectivo e troca o valor do 1º :

~ p v q

p q

Resposta

Se Pedro é pedreiro, então Paulo é Paulista

Proposições Afirmativas e Negativas

Tipos

Todo S é PAlguns S são PAlguns S não são PNenhum S é P

Diagrama

• Todo S é P

S c P

UNIVERSAL Afirmativa

Continuação

S = P

UNIVERSAL Afirmativa

Nenhum S é P

PUNIVERSAL Negativa

Algum S são P

P P

PARTICULAR Afirmativa

Alguns S não são P

P P

PARTICULAR Negativa

Equivalência

Nenhum A é B Todo A não é B

Todo A é B Nenhum A não e B

Exemplo

Nenhum médico é louco

Todo médico não é louco.

Toda arte é bela

Nenhuma arte não é bela

Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação

Associativas:

p ^ (q ^ s) (p ^ q) ^ s

p v (q v s) (p v q) v s

Distributivas

p ^ (q ^ s) (p ^ q) v (p ^ s)

• p v (q v s) (p v q) ^ (p v s)

Dupla Negação

~ (~p) p

Casos particulares

S não é P S é P

Todo S não é P Todo S é P

Algum S não é P Algum S é P

Nenhum S não é não P Nenhum S é P

Exemplos

A bola de futebol não é não esférica.

A bola de futebol é esférica.

Todo número inteiro não é não racional.

Todo número inteiro é racional.

Exemplos

Algum número racional não é não natural.

Algum número racional é natural.

Nenhum número negativo não é não natural.

Nenhum número negativo é natural.

Argumentos

Um argumento é um conjunto de proposições que geram uma conseqüência da seguinte forma:

Definição

• As premissas são as proposições consideraremos verdadeiras, para determinar o valor lógico da conclusão.

• Um argumento pode ser válido ou inválido. Dizemos que um argumento éválido quando todas as premissas são verdadeiras a conclusão também éverdadeira.

• Dizemos que um argumento é inválido quando todas premissas forem verdadeiras a conclusão de alguma forma pode ser falsa.

• Exemplo:Verifica se o argumento abaixo é válidos:

Resposta: As premissas para este argumentos são:

Façamos a tabela lógico dessas proposições:

Procuremos as linhas onde todas as premissas são verdadeiras. Isso ocorre na 4º, 6º e 8º linha. Observamos que nessas mesmas linhas o valor lógico da conclusão também é verdadeiro. Logo podemos concluir que o argumento éválido.

Exemplo

Verifique se o argumento é válido

Solução

VL (p v q) = V VL(q) = VVL (~p) = V VL(p) = F

_____________________________VL (q) = V

Argumento Válido

Exemplo

Solução

VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F

VL (~A B) = V VL(B) = V

VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = VVL(C) = F

Análise

Resultado

VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F

VL (~A B) = V VL(B) = V

VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = VVL(C) = F

____________________________________________

VL ( B ~ D) = F

Argumentos

Diagramas

Exemplo

P1: Todos os homens são pássaros.

P2: Nenhum pássaro é animal.______________________________C: Portanto, nenhum homem é animal.

Diagramas

Pássaro

Homens

Animais

Logo

O conjunto dos homens está no conjunto dos pássaros e o conjunto dos pássaros não tem intenção com o conjunto dos animais, logo o conjunto dos homens não tem intersecção com o conjunto dos animais, ou seja, nenhum homem éanimal.

O argumento é válido.

Exemplo

P1: Todos as crianças gostam de chocolate.

P2: Patrícia não é criança

___________________________________C: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.

Diagrama

Criança

chocolate

Patrícia

Logo

A primeira afirma que o conjunto das crianças está contido no conjunto das pessoas que gostam de chocolate. A segunda premissa afirma que Patrícia não pertence ao conjunto das crianças, isso possibilita que ela esteja no conjunto das pessoas que gostam de chocolate ou fora deste conjunto, impossibilitando que tenhamos uma conclusão incontestável.

Logo, diremos que o argumento é inválido.

Exemplo

P1: Prestação de contas com ato antieconômico

P2: A prestação de contas de um prefeitura a está irregular

___________________________________C: Logo, as contas desta prefeitura

apresentam atos antieconômicos

Diagrama

Irregular

Ato antieconômico

Prefeitura

Logo

A primeira premissa no diz que o conjunto de atos antieconômicos está contido no conjunto das contas irregulares.A segunda premissa afirma que a conta da prefeitura pertence ao conjunto das contas irregulares, possibilitando assim que as contas dessa prefeitura pertence ao conjunto de atos antieconômicos ou não. Portanto, não podemos concluir que necessariamente as contas possuem ato antieconômico, ou seja, o

argumento é INVÁLIDO.

Método que parte da negação da conclusão:

Neste método admitimos o valor lógico da conclusão FALSO, obtendo assim os valores lógicos das proposições envolvidos. Se a substituirmos esses valores lógicos nas premissas obtivermos todas verdadeiras, o argumento é INVÁLIDO.Caso gere algum conflito de lógicos o argumento é VÁLIDO.

Exemplo

P1: A (B v C)

P2: B ~ A

P3: D ~ C__________________________________C: A ~ D

Resposta

Admitiremos o valor lógico da conclusão falso:

VL(A ~D) = F

VL(A) = V

VL(~D) = F

VL(D) = V

Resolução

Substituindo esse valores lógicos nas premissas obteremos:

VL(A (B v C) = V VL(A) = FVL(B ~A) = V VL(B) = FVL(D ~C) = V VL(~C) = V VL(C) = F

Logo

Como gerou conflito no valor lógico da proposição A, temos que o argumento éVÁLIDO.

Exercício – nº20

P: Pedro é pintorC: Carlos é cantorM: Mario é médicoS: Silvio é sociólogo

Premissa: P v C ~M ^ ~ S

Negando...

Alternativas

P ^ ~C M v SP ^ ~C M v ~SP ^ C M ^ ~SP ^ C M v S~P v C ~M ^ S

Negando a conclusão:

• Vamos negar as alternativas, ou seja, as conclusões verificar qual é verdadeira:

VL(a)) = F VL(P^~C MvS) = F

VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = FVL(MvS) = F VL(M) = F e VL(S) = F

Substituindo esses valores lógicos na premissas verdadeiras, temos:

VL(P v C ~M ^ ~S) = V V F V V

V V

Resp: O argumento é inválido para letra A)

VL(P ^ ~ C M v ~S) = F

VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = FVL(Mv~S) = F VL(M) = F e VL(~S) = F VL(M) = F e VL(S) = V

Substituindo esses valores lógicos na premissas verdadeiras:

VL(P v ~C ~M ^ ~S) = VV F V F

V F

O argumento válido é a letra b)

Diagramas...

Exercício¹ - DIAGRAMA

Resposta

Da primeira premissa temos:

Contabilidade

OrçamentoJoão

Exercício - DIAGRAMA

Resposta

Da segunda premissa temos:

Contabilidade

OrçamentoJoão

Conclusão

Como João não pertence ao conjunto de contabilidade ele também não pertence ao conjunto de orçamento. Logo, João não sabe lidar com orçamento.

O argumento é VÁLIDO, ou seja, a afirmativa que o orçamento é inválido está ERRADA.

Exercício² - DIAGRAMA

Resposta

Da primeira, segunda premissas, temos:

IMPOSTOS

Honesta

Carlos

Conclusões

Conclusão

Da primeira premissa temos que o conjunto de pessoas honestas estácontido no conjunto de pessoas que pagam impostos. Da segunda premissa temos que Carlos pode está no conjunto das pessoas honestas ou fora dele. Logo não podemos concluir que Carlos é uma pessoa honesta, ou seja, a afirmativa que o argumento é válida está ERRADA.

Tornando verdadeiras...

Exercício¹

Resposta

As proposições envolvidas são:P: Lógica é fácil.Q: Sócrates foi mico de circo.

Argumento

1º Premissas: P Q2º Premissas: ~ P_____________________Conclusão: ~ Q

Resposta: Ao admitir, não conseguimos concluir.

Admitindo os valores lógicos das premissas são verdadeiras, temos:

Mudando o método...

NEGANDO...

Negando a conclusão, temos:

VL (~Q) = F VL (Q) = V