View
6.805
Download
6
Category
Preview:
DESCRIPTION
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
Citation preview
Unidade 5 - Funções
Prof. Milton Henriquemcouto@catolica-es.edu.br
Conteúdo
• Conceito• Igualdade de Funções• Operações com Funções• Sistema de Coordenadas Cartesianas• Representação Gráfica de Função• Funções Usuais• Equação da Reta• Coeficiente Linear e Angular (Declividade)• Mínimos Quadrados• Distância entre dois pontos• Função Quadrática
Conceito
DR
x
yf
Definir em D uma função f é explicitar uma regra que a cada elemento faça corresponder um único número real y.
𝑦= 𝑓 (𝑥 )
Conceito – Exemplo
𝑓𝑢𝑛çã 𝑜 𝑓 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑦=2.𝑥+10 ,𝑐𝑜𝑚𝐷={1,2,3 }
𝑓 (1 )=2. (1 )+10=12
𝑓 (2 )=2. (2 )+10=14
𝑓 (3 )=2. (3 )+10=16
Igualdade de Funções
f e g são iguais quando
Df = Dg
f(x) = g(x) para todo
Operações com Funções - Soma
𝒔 (𝒙 )= 𝒇 (𝒙 )+𝒈 (𝒙)
𝑓 → 𝑦 (𝑥 )=5 𝑥+1
𝑔→ 𝑦 (𝑥 )=𝑥2−2𝑠 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )+𝑔 (𝑥)
𝑠 (𝑥 )=(5𝑥+1 )+(𝑥2−2)
𝑠 (𝑥 )=𝑥2+5 𝑥−1
Operações com Funções - Produto
𝒑 (𝒙 )= 𝒇 (𝒙 ) .𝒈 (𝒙)
𝑓 → 𝑦 (𝑥 )=𝑥2
𝑔→ 𝑦 (𝑥 )=2−𝑥𝑝 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 ) .𝑔 (𝑥)
𝑝 (𝑥 )= (𝑥2 ) .(2−𝑥 )
𝑝 (𝑥 )=2𝑥2−𝑥3
Operações com Funções - Quociente
𝒒 (𝒙 )= 𝒇 (𝒙)𝒈(𝒙)
𝑓 → 𝑦 (𝑥 )=𝑥3+10
𝑞 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥)
𝑔 (𝑥)
Sistema de Coordenadas Cartesianas
x
x
y
y
eixo x
eixo y
origem
0
0 𝑥
𝑦P(x,y)
Par Ordenado (x,y)Sistema de Coordenadas Cartesianas
abscissa ordenada
Representação Gráfica de uma Função
𝑦= 𝑓 (𝑥 )
𝑥1→ 𝑦1= 𝑓 (𝑥1)
𝑥2→ 𝑦2= 𝑓 (𝑥2)
𝑥𝑛→ 𝑦𝑛= 𝑓 (𝑥𝑛)x
y
x1 x2 xn
yn
y2
y1
Domínio D
Exemplo – Gráfico de Função
Represente graficamente a função dada por , para
0,5 2
1 1
2 0,5
3 0,33
4 0,25
x
y
0,5 1 2 3 4
1
2
0,5
Exercícios – Represente Graficamente
Funções Usuais
• Função Constante,
x
y
k
Funções Usuais
• Função Linear,
x
y𝑦=𝑎𝑥
Funções Usuais
• Função Linear Afim,
x
y𝑦=𝑎𝑥+𝑏
bEquação da Reta
Equação da Reta
x
y 𝑦=𝑎𝑥+𝑏
ba
Inclinação
Intercepta y
Exemplo – Equação da Reta
𝑦=5 𝑥+2Coeficiente Linear
Intercepta y em 2
Coeficiente AngularUm aumento em x aumenta y em 5 unidades
0 2
1 7
2 12
3 17
4 22x
y
2
𝑦=5 𝑥+2
Coeficiente Linear
𝑏=−2
𝑏=−1
𝑏=0
𝑏=1
𝑏=2
Coeficiente Angular ou Declividade
x
y
x
y
𝑎=12
𝑎=1𝑎=2
𝑎=−12
𝑎=−1𝑎=−2
Declividade
0 x
y
𝑃=(𝑥1, 𝑦1)
𝑄=(𝑥2 , 𝑦2)
𝜃
LSe P e Q são 2 pontos distintos de uma reta L, então a declividade é dada por:
𝑎= ∆ 𝑦∆ 𝑥
=𝑦2− 𝑦1𝑥2−𝑥1
Exemplo – Encontre a declividade da reta que passa pelos pontos (-1,1) e (5,3)
Q = (5,3)
P = (-1,1) 𝑎=∆ 𝑦∆ 𝑥
=3−15−(−1)
=13
Exercícios – Encontre a declividade da reta que passa pelos pontos P e Q
1) P1=(0,0) e P2=(2,4)
2) P1=(0,3) e P2=(8,3)
3) P1=(1,5;4) e P2=(2;6)
4) P1=(2,10) e P2=(8,1)
5) P1=(0,50) e P2=(8,0)
Equação da Reta dada um Ponto e uma declividade
0 x
y
𝑃=(𝑥1 , 𝑦1)
𝜃A equação da reta que passa pelo ponto e possui declividade é dada por:
𝑦− 𝑦1=𝑎 .(𝑥−𝑥1)
Exemplo – Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem declividade 2
𝑦− 𝑦1=𝑎 .(𝑥−𝑥1)
𝑦−3=2.(𝑥−1)
𝑦=2. (𝑥−1 )+3
𝑦=2 𝑥−2+3
𝑦=2 𝑥+1
Exercícios – Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P e possui declividade a
1) P = (4,7) e a=32) P = (-3,2) e a=13) P = (4,-1) e a=-24) P = (1,-4) e a=0,55) P = (-2,-5) e a=-0,3
Retas Paralelas
0 x
y
L
M
L e M serão paralelas se possuírem a mesma
declividade
𝐿=𝒂𝑥+𝑏𝐿
𝑀=𝒂𝑥+𝑏𝑀
Retas Perpendiculares
0 x
yL
M
L e M serão perpendiculares se:
𝐿=−𝟏𝒂𝑥+𝑏𝐿
𝑀=𝒂𝑥+𝑏𝑀
𝑎𝐿=−1𝑎𝑀
Exercícios – Represente Graficamente
ExemploCalcule a Equação da Reta que passa pelos pontos
P1=(1,3) e P2=(3,7)
Equação da Reta →
𝑃1=(𝑥1=1 , 𝑦 1=3 )❑⇒
3=1𝑎+𝑏
𝑃2= (𝑥2=3 , 𝑦2=7 )❑⇒
7=3 𝑎+𝑏
Resolvendo o sistema:
𝒂=𝟐 𝒃=𝟏𝒚=𝟐 𝒙+𝟏
Exercícios – Escreva a Equação da Reta
1) P1=(0,0) e P2=(2,4)
2) P1=(0,3) e P2=(8,3)
3) P1=(1,5;4) e P2=(2;6)
4) P1=(2,10) e P2=(8,1)
5) P1=(0,50) e P2=(8,0)
Mínimos Quadrados
Construir a equação da reta que aproxima um conjunto de pontos P1=(1,5), P2=(2,10), P3=(4,12) e P4=(5,17).
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8
5
10
15
20
25
𝑦=𝑎𝑥+𝑏
Mínimos Quadradosx y x.y x2
P1 1 5 5 1P2 2 10 20 4P3 4 12 48 16P4 5 17 85 25
Soma 12 44 158 46Média 3 11 39,5 11,5
𝑦=𝑎𝑥+𝑏
𝑎=∑ 𝑥𝑦−𝑛𝑥 𝑦
∑ 𝑥2−𝑛¿¿¿
𝑏=𝑦−𝑎𝑥
𝑎=158−4.3 .1146−4¿¿
𝑏=11−2,6.3❑⇒
𝒃=𝟑 ,𝟐𝐲=𝟐 ,𝟔𝐱+𝟑 ,𝟐
Exercícios – Mínimos Quadrados
1) P1=(0,0), P2=(2,5), P3=(3,8) e P4=(4,9)
2) P1=(-1,0), P2=(0,2), P3=(1,3), P4=(2,6) e P5=(3,5)
3) P1=(0,20), P2=(2,12), P3=(4,7), P4=(6,3) e P5=(8;0,5)
4) P1=(1,20), P2=(5,40), P3=(10,70) e P4=(15,90)
Fórmula da Distância
0 x
y
𝑑=𝑑𝑖𝑠𝑡 â
𝑛𝑐𝑖𝑎
(𝑥1 , 𝑦1)
(𝑥2 , 𝑦 2)
𝑑=√¿¿
Exemplo – Fórmula da Distância
Encontre a distância entre os pontos (-4,3) e (2,6)
𝑑=√¿¿
𝑑=√¿¿
𝑑=√¿¿
𝑑=√45
Exercícios – Encontre a Distância entre P e Q
1) P=(1,3) e Q=(4,7)2) P=(-1,3) e Q=(4,9)3) P=(0,2) e Q=(9,7)4) P=(-5,-3) e Q=(-4,-8)5) P=(-9,3) e Q=(-4,7)
Função Quadrática
𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
0 x
y
Parábola
Função Quadrática – Pontos Importantes
0 x
y
x1 x2
Cruzamento com o eixo
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0
𝑥=−𝑏±√𝑏2−4.𝑎 .𝑐2𝑎
𝑦=0
Função Quadrática – Pontos Importantes
0 x
y Cruzamento com o eixo
𝑦=𝑐c
𝑥=0
Função Quadrática – Pontos Importantes
0 x
yVértice
(x,y)
Ponto (x,y) onde:
x=−𝑏2𝑎
y=−(𝑏2−4 𝑎𝑐)
4 𝑎
Função Quadrática – Pontos Importantes
0 x
yEixo de Simetria
É a reta:
x=−𝑏2𝑎
x=−𝑏2𝑎
Função Quadrática - Concavidade
0 x
y
Concavidade para baixo
Concavidade para cima
𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
ExemploConstrua a Representação Gráfica da Função
Quadrática
Cruzamento com o eixo
𝑥=−𝑏±√𝑏2−4.𝑎 .𝑐2𝑎
Cruzamento com o eixo
𝑦=𝑐
X1= 2 X2= 4
𝒚=𝟖
Vértice
Eixo de Simetria
x=−𝑏2𝑎 y=
−(𝑏2−4 𝑎𝑐)4 𝑎
X= 3 y= -1
x=−𝑏2𝑎 X= 3
Concavidade
𝑎=1→𝑎>0→Concavidade para cima
Continuação do Exemplo
0 x
y 𝑦=𝑥2−6𝑥+8
8
(3,-1)
2 4
X=3
Concavidade para cima
Exercícios – Construir a Representação Gráfica das Funções
Recommended