Matemática financeira 40h

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Facilitador: Ervino Paulo Vogelmann

1ª Aula – 20/01/2011

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Resolver Cálculos de Percentagem, Regra de Três Simples e Composta, Juros Simples e Compostos e problemas envolvendo Proporções e Progressões.

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CRONOGRAMA e CONTEÚDO

Carga Horária: 16 h

Encontros: 04

Início: 20/01/11 à 10/02/11

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CRONOGRAMA e CONTEÚDO

Matemática Financeira Básica

1. Cálculo de Porcentagem

2. Cálculo de Juros Simples

3. Cálculo de Juros Compostos

4. Cálculo de Regra de Três Simples

5. Cálculo de Regra de Três Composta

6. Cálculo de Proporções

7. Cálculo de Progressões.

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Horário

Celular

Participação

Confraternização

Avaliação

MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRAFINANCEIRA

Filipe S Martins/Adaptado Por Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

OPA!

O que já sei sobre MATEMÁTICA FINANCEIRA?

REVISÃO

• Prioridade na Resolução dos Cálculos

Ex:

25 – 12 x 2 = ?

( ÷ x ) e ( + - )

25 – 12 x 2 =

25 – 24 =1

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Fator Multiplicante

• Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo no valor, é possível fazer  isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação.

ADM1170 - Matemática Financeira - Prof.: André de Almeida Jaques

13

TaxaFator Multiplicador

Acréscimo Decréscimo5,0% 1,050 0,950

10,0% 1,100 0,9008,0% 1,080 0,920

22,0% 1,220 0,78056,0% 1,560 0,44012,6% 1,126 0,87480,0% 1,800 0,20038,0% 1,380 0,62090,0% 1,900 0,100

Porcentagens

140 / 35 = 4

* 100 = 400 %

5 % = 5 / 100 = 0,05

0,087 = 0,087 x 100 = 8,70%

• Porcentagem

% por cento Para inserir a porcentagem num

cálculo, dividi-se por 100 o valor da taxa:

Ex.: Se um imóvel for vendido por R$ 300.000,00 então minha comissão de 5 % será calculada da seguinte forma:

05,0100

5%5

Comissão = 300.000 x 5%

Comissão = 300.000 x 0,05

Comissão = R$ 15.000,00

Operações sobre Mercadorias

• Preço de Custo e Venda

PV = PC + LC

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Exercícios

1. Um comerciante comprou um terreno por R$ 32.500,00. Conseguiu vendê-lo por R$ 70.000,00. Qual o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra?

PV = PC + L

PV = R$ 70.000,00

PC = R$ 32.500,00

70000 = 32500 + LL = 70000 - 32500

L = R$ 37.500,00

100%

x%

100% x%37500

32500

32500 * x = 37500 * 100

x = 3750000 / 32500

x = 115,38%

Exercícios

1. A cliente comprou um apartamento por R$ 120.000,00 e quer vendê-lo por R$ 150.000,00. Qual o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda?

PV = PC + L

PV = R$ 150.000,00

PC = R$ 120.000,00

150000 = 120000 + LL = 150000 - 120000L = R$ 30.000,00

100%

x%

100% x% 30000

150000

150000 * x = 30000 * 100

x = 3000000 / 150000

x = 20,00%

3. Uma pessoa, tendo adquirido um relógio por R$ 380,00, só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 12% sobre o custo. Por quanto vendeu o relógio?

MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRAFINANCEIRA

Filipe S Martins/Adaptado Por Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

REGRA DE TRES

SIMPLES E COMPOSTA

TAXAS DE JUROS E TIPOS

DE AMORTIZAÇÕE

S

REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊS

Se a distância para ir foi 300 passos em 5 minutos e para voltar já dei 600 Passos. Quantos passos preciso voltar para chegar em casa?

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver

problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três

deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos

três já conhecidos.

Regra de três simples

  Passos utilizados numa regra de três simples:

• 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

• 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

29

Regra de três simples30

Regra de três simples31

Regra de três simples

Devemos, portanto, relacionar as grandezas diretamente proporcionais e encontrar a incógnita em questão. 2ºExemplo:– Com o consumo de água em 10 dias é de 500m³,

qual será a quantidade de água consumida em 50 dias?

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32

10 500

50 X

32500

10

000.25

000.2510

5005010

mX

X

X

X

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Regra três SimplesADM1170 - Matemática Financeira - Prof.: André de Almeida

Jaques34

Regra três Simples35

Regra três Simples36

Regra três SimplesADM1170 - Matemática Financeira - Prof.: André de Almeida

Jaques37

REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊS

Se a distância para ir foi 300 passos em 5 minutos e para voltar já dei 600 Passos. Quantos passos preciso voltar para chegar em casa?

Regra de três Composta

Regra de três simples é um processo prático para resolver

problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três

deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos

três já conhecidos.

Regra três compostaRegra de três compostas é o relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou a mistura dessas situações. – Exemplo:– Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de

areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

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39

Horas Caminhões

Descarga

8 20 160

5 X 125

25

800000.20125

160

5

160125

16020

5

8

X

XX

X

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Regra três composta

Exercício:

– Em 90 dias, 10 operários constroem 1200m de barragem. Em quantos dias 15 operários levarão para construirem 3.200m de barragem?

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41

Dias Operários

Metros

Regra três composta

Exercício:

– Em 90 dias, 10 operários constroem 1200m de barragem. Em quantos dias 15 operários levarão para construirem 3.200m de barragem?

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42

Dias Operários

Metros

90 10 1200 x 15 3200

Regra três composta

Exercício:

– Em 90 dias, 10 operários constroem 1200m de barragem. Em quantos dias 15 operários levarão para construirem 3.200m de barragem?

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Dias Operários

Metros

90 10 1200 x 15 3200

Regra três composta

Exercício:

– Um Escritório de Contabilidade precisou de 05 Técnico em Contabilidade que trabalharam 14 horas para fazer 140 declaração de IRPF. Quantos Técnicos serão necessários para fazer 380 Declarações em 14 horas?

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Técnicos Horas IRPF

Regra três composta

Exercício:

– Um Escritório de Contabilidade precisou de 05 Técnico em Contabilidade que trabalharam 14 horas para fazer 140 declaração de IRPF. Quantos Técnicos serão necessários para fazer 380 Declarações em 14 horas?

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Técnicos Horas IRPF05 14 140 x 14 380

Regra três composta

Exercício:

– Um Escritório de Contabilidade precisou de 05 Técnico em Contabilidade que trabalharam 14 horas para fazer 140 declaração de IRPF. Quantos Técnicos serão necessários para fazer 380 Declarações em 14 horas?

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Técnicos Horas IRPF05 14 140 x 14 380

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2ª Aula – 27/01/2011

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Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos.

Introdução à amortização

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Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Existem vários sistemas de amortização de dívidas. Os dois principais são:

Sistema de Amortização Constante (SAC):

A amortização da dívida é constante e igual em cada período.

Introdução à amortização

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Sistema Price ou Francês (PRICE):

Os pagamentos (prestações) são iguais.

Introdução à amortização

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Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:

Pagamento = Amortização + Juros

Introdução à amortização

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Sistema Price (Sistema Francês) Todas as prestações (pagamentos) são iguais.Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula

Introdução à amortização

Sistema Price (ou Sistema Francês)

n JurosAmortização doSaldo devedor

Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87

2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21

3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40

4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28

5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0

Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65  

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Sistema de Amortização Constante (SAC) Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 12 meses. A taxa (i) = 2,5 a.m. Valor Financiado 30.000,00

Introdução à amortização

Sistema de Amortização Constante - SAC

n JurosAmortização doSaldo devedor

PagamentoPrestação

Saldo devedor

0 0 0 0 30.000,00

1

2

3

4

5

6  

7

8

9

10

11

12

Total

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Sistema Price (Sistema Francês)Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 12 meses. A taxa (i) = 2,5 a.m. Valor Financiado 30.000,00

Introdução à amortização

Sistema de Amortização Francês (PRICE)

n JurosAmortização doSaldo devedor

PagamentoPrestação

Saldo devedor

0 0 0 0 30.000,00

1

2

3

4

5

6  

7

8

9

10

11

12

Total

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QUAL A DIFERENÇA VERIFICADA ENTRE OS DOIS DIFERENTES SISTMAS DE AMORTIZAÇÃO?

SAC – Sistema de Amortização Constante

PRICE – Sistema Francês de Amortização

Introdução à amortização

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Sistema Price (Sistema Francês)Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 06 meses. A taxa (i) = 1,5% a.m. Valor Financiado 23.800,00

Sistema de Amortização Francês - PRICE

N JurosAmortização doSaldo devedor

Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 23.800,00

1

2

3

4

5

6

Total

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Sistema de Amortização Constante – (SAC)Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 06 meses. A taxa (i) = 1,5% a.m. Valor Financiado 23.800,00

Sistema de Amortização Constante - SAC

N JurosAmortização doSaldo devedor

Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 23.800,00

1

2

3

4

5

6

Total

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QUAL A DIFERENÇA VERIFICADA ENTRE OS DOIS DIFERENTES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO?

Quais os Juros Totais no Sistema SAC?Qual a média dos juros verificados nos 06 meses?

Quais os juros Totais no Sistema PRICE?Qual a média dos juros verificados nos 06 meses?

Introdução à amortização

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REVISANDO REVISANDO JUROS SIMPLES E COMPOSTOJUROS SIMPLES E COMPOSTO

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Ervino Paulo Vogelmann

Ervino Paulo Vogelmann

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4ª Aula – 10/02/2011 - 4ª Aula – 10/02/2011 -

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MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

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JUROS SIMPLES e COMPOSTO

S

Regime Processo de funcionamento

Simples Somente o principal rende juros.

CompostosApós cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros.

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Fórmulas Para Juros Simples

C Capital

n número de períodos

j juros simples decorridos n períodos

r taxa percentual de juros

i taxa unitária de juros (i = r / 100)

P Principal ou valor atual

M Montante de capitalização simples

j = P i n

j = P r n / 100

M = P + j = P (1 + i n)

FV = PV + j = PV (1 + i n)

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EXERCÍCIO

1. Qual os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

j = P i n

j = 1.250,00 x 0,14 x 4 =

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EXERCÍCIO

1. Qual os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

j = P i n

j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

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EXERCÍCIO

j = P i n

2. Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 =

MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

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EXERCÍCIO

j = P i n

2. Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

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EXERCÍCIO

1. Um estudante foi solicitar financiamento estudantil FIES e deparou-se com a seguinte informação: Para Financiar 100% do curso o valor da mensalidade não pode ser inferior a 60% da renda familiar.

Valor da semestralidade do curso: 6.870,00Valor da renda familiar: 1.850,00

Neste caso, verifique se o estudante tem direito a 100% de financiamento?

Raciocínio:

MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

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EXERCÍCIO

2. Você comprou um telefone celular e parcelou em 10 X R$14,00.

Após o pagamento da 7ª prestação você terá pago quantos por cento da dívida?

Sabendo que no pagamento à vista o desconto seria de 10%. Qual seria o custo do telefone?

Raciocínio:

MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

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EXERCÍCIO

3. Fernando emprestou R$ 4.000,00 cobrando juro de 4% a.m, sendo combinado que o valor seria pago após 05 meses. Qual o Valor final a ser pago?

M = C + j

J = C*i*t

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Montante Simples

Montante simples

Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa,

usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

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Montante Simples

EXERCICIO

1. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização

simples?

M = P + j = P (1 + i n)

Objetivo: M=2PDados: i=150/100=1,5 Fórmula: M=P(1+in)

Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logon = 2/3 ano = 8 meses

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Montante Simples

EXERCICIO2. Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril

do mesmo ano?

PeríodoNúmero de dias

De 10/01 até 31/01 21 dias

De 01/02 até 28/02 28 dias

De 01/03 até 31/03 31 dias

De 01/04 até 12/04 12 dias

Total 92 dias

Contagem do tempo

Fórmula para o cálculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100

j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05

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Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Juros compostos

Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderíamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Tempo Data Valor Principal Juros Montante

0 01/01/94 100,00 0 100,00

1 01/02/94 100,00 50,00 150,00

2 01/03/94 150,00 75,00 225,00

3 01/04/94 225,00 112,50 337,50

4 01/05/94 337,50 168,75 506,20

5 01/06/94 506,25 253,13 759,38

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Juros compostos

Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderíamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

S1=100(1,5)1

S2=100(1,5)2

S3=100(1,5)3

S4=100(1,5)4

S5=100(1,5)5

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Juros compostos

Cálculo de juros Compostos

J = P [(1+i)n-1]

Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?

Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.

n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano

Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1.

A fórmula empregada é:J = P [(1+i)n-1]

J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21

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EXERCICIO1.Fernando emprestou R$ 4.000,00 a taxa de juros de 4% ao mês A devolução se dará em 05 meses e capitalizados mês a mês. Qual o montante final a receber?

Juros compostos

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EXERCICIO1.Fernando emprestou R$ 4.000,00 a taxa de juros de 4% ao mês A devolução se dará em 05 meses e capitalizados mês a mês. Qual o montante final a receber?

Juros compostos

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EXERCICIO2. Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Qual o montante final?

Juros compostos

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EXERCICIO2. Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Qual o montante final?

Juros compostos

No cálculo, tivemos

R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

EXERCICIO2. Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Qual o montante final?

Juros compostos

No cálculo, tivemos R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408

100% R$ 1.000

102% M M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte)

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

Juros compostosNo cálculo, tivemos R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408

100% R$ 1.000

102% M M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte)

CAPITAL MONTANTE

2º período: R$ 1.020,00 1,02 = R$ 1.040,40

3º período: R$ 1.040,40 1,02 = R$ 1.061,21

4º período: R$ 1.061,21 1,02 = R$ 1.082,43

5º período: R$ 1.082,43 1,02 = R$ 1.104,08

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

3. Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

Juros compostos

M = C (1 + i)n(1 + i)n

n i

2% 3% 4% 5%

9 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133

10 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889

11 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034

12 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586

13 1,29361 1,46853 1,66507 1,88565

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

3. Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

Juros compostos

M = C (1 + i)n

C = R$ 600i = 4% = 0,04n = 12M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 0,04)12 M = 600 (1,04)12 M = 600 1,60103

M = R$ 960,62

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

4. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

Juros compostos

j = M - C

Resolução: C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)

M = C (1 + i)n

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

4. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

Juros compostos

j = M - C

Resolução: C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)

M = C (1 + i)n

M = C (1 + i)n M = 500 (1,05)8 M = R$ 738,73

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

1.1200 galinhas produzem 60 dúzias de ovos/dias.Em quantos dias elas produzirão 380 dúzias?

REGRA DE TRES

EXERCICIO

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

EXERCICIO2. 800 trabalhadores produzem 28.200 metros de muros.

Quantos trabalhadores serão necessários para construir 72.000 metros?

REGRA DE TRES

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Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4

EXERCICIO3.Um carro viajando a 80 km por hora, percorre 240 km em 03

horas, qual a velocidade necessária, para cumprir o trajeto em 2 horas?

REGRA DE TRES