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Progressões NuméricasPARTE 3 – Progressão
Geométrica
PARTE 3 – Progressão GeométricaConsidere a seguinte construção geométrica:
Ter um segmento de Reta, digamos AB e encontrar o seu ponto Médio,
observando quantos pontos serão marcados para este fim.
A M1 B
Encontrados UM ponto (M1)
Refaça agora, com os dois segmentos encontrados:
A M2 M1 M3 B
Foram encontrados DOIS pontos (M2 e M3)
De novo, refazer:
PARTE 3 – Progressão Geométrica
A M4 M2 M5 M1 M6 M3 M7 B
Aqui foram QUATRO pontos (M4 , M5 , M6 , M7)
Outra Vez:
A M8 M4 M9 M2 M10 M5 M11 M1 M12 M6
M13 M3 M14 M7 M15 B
Foram encontrados OITO pontos (M8 , M9 , M10 , M11 ,
M12 , M13 ,M14 ,M15 )
Com o Processo Acima ilustrado, obteve a seguinte seqüência:
1 - 2 - 4 e 8
Ocorre que nesta seqüência tem que cada número é o anterior
MULTIPLICADO por 2.
PARTE 3 – Progressão GeométricaE quando se tem uma seqüência com a característica acima ( UM
VALOR É O ANTERIOR MULTIPLICADO SEMPRE PELO MESMO
NÚMERO) diz-se que ela forma uma Progressão Geométrica.
Com isto tem a:
DEFINIÇÃO
A seqüência:
: a1 . a2 . a3 . a4 . . . . .an
Diz ser uma progressão Geométrica se: ak = ak-1 . q
Em que:q é a razão desta progressão; a1 o primeiro termo ; an o
termo geral
PARTE 3 – Progressão GeométricaPROPRIEDADES
Termo Geral.
O termo geral de uma Progressão Geométrica é dado por:
an = a1 . q n - 1
Demonstração
Sabe que:a2 = a1 . q = a1 . q 2 - 1 a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q 2 = a1 . q 3 - 1
a4 = a3 . q = a1 . q 2 . q = a1 . q 4 - 1
De forma similar chega a:
an = a1 . q n - 1
PARTE 3 – Progressão GeométricaSoma dos Termos de Uma Progressão Geométrica
Fórmula: 1q
)1q(.aS
n1
Demonstração
Como: S = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . + an-1 + an
Substituindo pelo Termo Geral:
S = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q
3 + . . . + a1 . q n – 2 + a1 . q n – 1
Multiplicando e dividindo por q – 1 fica:
1q
)1q()q.aq.a...q.aq.aq.aa(S
1n1
2n1
31
2111
PARTE 3 – Progressão GeométricaSoma dos Termos de Uma Progressão Geométrica
Demonstração - Continuação
Aplicando a Propriedade Distributiva vem:
1q
)q.a...q.aq.aq.aa()q.aq.a...q.aq.aq.a(S
1n1
31
2111
n1
1n1
31
211
Reduzindo os Termos Semelhantes:
1q
)1q(.a
1q
aq.aS
n11
n1
Chega a: 1q
)1q(.aS
n1
PARTE 3 – Progressão Geométrica
Resumo:
Exercícios01. Dada a seqüência: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. Faça:
a.Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica;
b.Caso sim, ache o valor do 8º. Termo;
c.Caso sim ache a soma dos 9 primeiros termos.
Solução
a. Para verificar se é uma Progressão Geométrica tem que dividir um valor
pelo seu anterior.
Termo Geral: 1n
1n q.aa Soma
da PG: 1q
)1q(.aS
1n1
PARTE 3 – Progressão GeométricaSolução - Exercício 1
Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243.
a.Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica;
a2 : a1 = 48 : 32 = 1,5;
a3 : a2 = 72 : 48 = 1,5;
a4 : a3 = 108 : 72 = 1,5;
a5 : a4 = 162 : 108 = 1,5;
a6 : a5 = 243 : 162 = 1,5;
Como o valor de cada divisão foi o mesmo indica que se trata de uma
Progressão Geométrica.
PARTE 3 – Progressão GeométricaSolução - Exercício 1
Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243.
b. Pede-se: a8
Assim: n = 8 e também: a1 = 32;
a8 = a1 . q 8 – 1 = 32 . 1,5 8 – 1 = 32 . 1,5 7 = 946,75
Resposta: 946,75
c. Pede-se: S9
S9 = a1 .( q 9 - 1 ) / ( q – 1 ) = 32 . (1,5 9 – 1 ) / ( 1,5 – 1 )
S9 = 32 . (38,44 – 1 ) / 0,5 = 32 . 37,44 / 0,5 = 1 198,18 / 0,5 = 2 396, 38.
Resposta: 2 396,38
1n1n q.aa
1q
)1q(.aS
1n1
PARTE 3 – Progressão Geométrica
Exercício 2
Uma construção geométrica consiste em:
•Ter inicialmente um quadrado;
•Traçar uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos,
formando novos quadrados;
•Traçar, de novo, uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos
de cada quadrado obtidos no passo anterior;
•Repetir o anterior.
Pede para achar:
a.Na sexta divisão o número de quadrados obtidos;
b.O total de quadrados até a sexta divisão.
Solução
PARTE 3 – Progressão Geométrica
Solução - Exercício 2
Inicialmente vamos simular tal construção:
Início: UM quadrado.
Primeiro Passo: QUATRO quadrados.
Segundo Passo: DEZESSEIS quadrados.
E assim sucessivamente.
PARTE 3 – Progressão Geométrica
Solução - Exercício 2
Pela construção, percebe que em cada passo, cada quadrado se transforma
em quatro quadrados, assim é uma Progressão Geométrica de Razão 4.
a. Na sexta divisão indica que completou SETE quadrados (Inicial e mais
SEIS)
Então tem-se: a1 = 1 ; r = 4 e n = 7.
Logo : a7 = 1 . 4 7 – 1 = 1 . 4 6 = 4 096.
Resposta : Na Sexta Divisão terão: 4 096 quadrados.
b. O Total de quadrados até a sexta divisão é:
S7 = 1 . (4 7 – 1 ) / (4 – 1) = (16 384 – 1 ) / 3 = 16 383 / 3 = 5 461.
Resposta: Ao todo terão 5 461 quadrados.
PARTE 3 – Progressão Geométrica
Exercício 3
Um cidadão conseguiu fazer um empréstimo de R$ 12 000,00 à taxa de juro
de 5% ao mês, e calculado no Saldo Devedor do mês anterior. Ao final de um
ano, calcule o total de juros que terá de pagar.
Solução
Note que a dívida, em cada período é:
No contrato: 12 000,00
No Primeiro mês: 12 000,00 + 12 000,00x0,05 = 12 600,00
No Segundo Mês: 12 600,00 + 12 600,00x0,05 = 13 230,00
No terceiro Mês: 13 320,00 + 13 320x0,05 = 13 891, 50
O Saldo Devedor é uma progressão Geométrica de Razão: 0,05 e Primeiro
termo: 12 000,00 e n=12.
PARTE 3 – Progressão Geométrica
Solução - Exercício 3
Assim após UM ano o saldo devedor será:
SD12 = a 12 = a1 . q 12 – 1 = 12 000. 1,05 12 – 1 = 12 000 . 1,05 11
SD12 = 21 550,28
Devido a que o que deseja é o Juro vem:
Juro = Saldo Devedor – Inicial = 21 550,28 – 12 000,00 = 9 550,28
Resposta: O Total de Juro a pagar é de: R$ 9 550,28
PARTE 3 – Progressão GeométricaUm caso Particular: Razão Menor Que 1.
Como se sabe a fórmula de encontrar o termo geral é:
an = a1 . q n – 1
Ocorre que se a razão for menor que UM, o valor de q n – 1 vai reduzindo
de valor, tal qual a Ilustração:
Seja o caso particular de q = 0,5, com isto tem:
q = 0,5
q 2 = 0,5 x 0,5 = 0,25;
q 3 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125;
q 4 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625;
q 5 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x0,5 x 0,5 = 0,03125; etc.
O motivo disto é bem simples: Ao Multiplicar um Número por outro menor
que UM, reduz o seu valor.
Progressões Numéricas
PARTE 3 - Progressão Geométrica
FIMProf. Gercino Monteiro Filho
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