Projeto, execução. Desmistificando o ensino de Funções Quadráticas

Antes da primeira aula sobre amatéria solicitar uma pesquisaaos alunos, em grupo, sobre ahistória da função quadrática ealgumas aplicações destamatéria.

Primeira aula: Visualização de vídeos e discussão sobre

as pesquisas feitas pelos alunos em grupo.

Apresentar os vídeos, “Esse tal de Bhaskara” e “(A Função do 2º Grau)Matemática - Novo Telecurso - Ensino Médio - Aula 31”, para os alunoscom o objetivo de relembrar a equação polinomial do 2º grau e informartodos os aspectos do tema do conteúdo a ser trabalhado, função polinomialdo 2º grau. Após isso, discutir os resultados das pesquisas realizadas pelosgrupos e ao final descrever definição da função e alguns exemplos.

Vídeos:

http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw

http://www.youtube.com/watch?v=83g2LhTqpjQ

Obs.: Pedir aos alunos que providenciem para a próxima aula papelquadriculado ou papel milimetrado.

Segunda aula: Construção de gráficos com papel

quadriculados a partir de tabela de pontos.

O professor deverá fazer exemplos com os alunos no

inicio da aula. Depois dividir a turma em grupos,

escolher exemplos de funções quadráticas do livro, 4

para cada grupo, e deixá-lo desenvolver os gráficos ao

final da aula cada grupo deverá expor seus gráficos na

sala.

Terceira aula: Relacionar a concavidade da parábola e

o coeficiente a; identificar o ponto (0,c) como o ponto

em que a parábola intersecta o eixo y; perceber que o

vértice da parábola corresponde ao ponto extremo da

função quadrática, utilizando o software Geogebra,

para isso a turma tem que estar no laboratório de

informática.

Iniciando o Geogebra, construção de funções

quadráticas

No campo “Entrada”, digite as funçôes abaixo:

f(x)=x^2-2*x+2

g(x)=2*x^2-3*x+4

h(x)=x^2-2*x-3

i(x)=-3*x^2-18*x-29

j(x)=-0,3*x^2+0,6*x+2,7

Observando a concavidade e o sinal do coeficiente a,

você seria capaz de relacioná-los?

Você seria capaz de escrever uma relação entre o

coeficiente c e a ordenada (y) do ponto de

interseção entre a parábola e o eixo y?

Peça para seus alunos responderem sobre cada função

marcada no Geogebra as perguntas abaixo:

Quais valores de x para os quais a função é crescente?

Quais valores de x para os quais a função é decrescente ?

Qual é ponto em que a função passa de crescente a decrescente (ou

de decrescente a crescente)?

Conjunto Imagem da Função Quadrática?

Ponto mais alto/baixo da parábola?

Reta x =____ que divide a parábola verticalmente em duas partes

iguais?

Questione o que eles observam a partir de suas respostas, e discutam o

assunto.

Na função quadrática, de forma geral f(x) = ax2 + bx + c e sempre representada

por uma parábola, o vértice é o ponto onde a função passa de crescente a

decrescente, se ela tem concavidade voltada para baixo, ou de decrescente a

crescente, se ela tem concavidade voltada para cima.

O vértice então será, nas parábolas com concavidade voltada para baixo, o ponto

mais alto da função – PONTO DE MÁXIMO – e a sua ordenada, yv, será o maior

valor assumido pela função quadrática – VALOR MÁXIMO. Da mesma maneira, se

a concavidade é voltada para cima, o vértice será o ponto mais baixo – PONTO DE

MÍNIMO – e sua ordenada, yv, será o menor valor assumido pela função – VALOR

MÍNIMO.

Na quarta aula o professor

deverá apresentar os slides a

seguir.

Uma maneira diferente de encontrar raízes

das funções quadráticas

Quando vimos a resolução da equação polinomial do 2º grau, calculava-

se as raízes através da fórmula de Bháskara. Agora vamos achar as

raízes sem recorrer a fórmula.

Resolvamos, então, as equações que aparecem abaixo, nesta ordem.

x2 –1 = 0

x2 + 4 = 0

Essas foram bem fáceis! Vamos agora tentar resolver essas...

(x – 5)2 = 0

(x + 3)2 = 0

E essas, como você resolveu?

Também não são difíceis, não?

Vamos às próximas.

(x – 2)2 – 1 = 0

(x + 4)2 – 8 = 0

Descreva sua resolução!

Mais algumas...

(x – 2)2 – 1 = 0

(x + 7)2 + 8 = 0

(x + 2)2 + 9 = 0

(x – 5)2 – 3 = 0

Houve algo diferente com alguma destas? Como você resolveu o problema?

Exemplos de resolução esperados.

(x – 2)2 – 1 = 0 → (x – 2)2 = 1 → x – 2 = +- √ 1 → x = 2 +- 1 → x= 1 ou x= 3

(x + 2)2 + 9 = 0 → (x + 2)2 = -9 → x + 2 = +- √(-9) , Não existe raiz real

Tente agora essas:

2(x – 1)2 – 4 = 0

3(x + 5)2 + 1 = 0

6(x – 2)2 – 10 = 0

12(x – 12)2 + 12 = 0

Para completar, só mais algumas...

–(x – 1)2 – 4 = 0

–2(x – 4)2 + 8 = 0

–3(x + 2)2 + 9 = 0

–7(x – 4)2 – 7 = 0

O que você percebeu em relação à resolução destas? O que elas

apresentam de diferente das anteriores? Como você resolveu esse

problema?

Agora, vamos conhecer uma técnica de resolução de equações

quadráticas conhecida por “completando quadrados”. Para isso,

vamos relembrar um importante produto notável:

Esse produto notável é conhecido como “quadrado da soma de dois

termos” ou “quadrado da diferença de dois termos”. O resultado

desta potência é conhecido como “trinômio quadrado perfeito”.

Seu desenvolvimento surge da multiplicação de

ou

ExpressõesTermo a ser

acrescentadoForma Fatorada

x2 – 4x + 4 x2 – 4x + 4 = (x – 2)2

x2 + 6x

x2 – 5x

x2 +3x

x2 - 8x + 2 + 14 x2 - 8x + 2 + 14 = x2 - 8x + 16 = (x – 4)2

x2 - 2x + 4 -3 x2 - 2x + 4 -3 = x2 - 2x + 1 = (x – 1)2

x2 - 7x - 9

x2 + 13x -1

Sua tarefa neste momento é acrescentar termos às expressões abaixo

mostradas de maneira que eles se tornem trinômios quadrados perfeitos e

que possam ser escritos na forma fatorada ou .

Na quinta aula o professor

deverá mostrar os slides a

seguir.

Agora você já conhece uma ferramenta poderosíssima

em matemática e que poderá ajuda-lo em diversas outras

áreas da própria matemática. Vamos usá-la para achar

raízes de funções quadráticas, ou seja, para resolver

equações do 2º grau? A ideia é usar a técnica de

completar quadrados para reescrever a função

quadrática (ou a equação polinomial do 2º grau) da

maneira como aparece escrita no primeiro item desta

lista. Ao trabalho!

Generalizando esta ideia, podemos concluir que uma

função quadrática pode ser apresentada na forma geral,

que você já conhecia, dada por

f(x) = ax2 + bx + c

ou na forma canônica, dada por

f(x) = a(x – m)2 +k

Vamos agora observar os gráficos de algumas funções

quadráticas dadas na forma geral e na forma canônica.

Complete a tabela a seguir:

Função quadrática a b c m k Vértice

O que você percebeu? Debata com seus colegas e relate

aqui.

A seguir, responda às perguntas:

Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da

função quadrática a ela relacionada na forma geral?

Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da

função quadrática a ela relacionada na forma canônica?

Escreva a lei algébrica na forma canônica de uma função

quadrática que tem vértice (1,2) e a = 1.

Escreva a lei algébrica na forma geral da função quadrática

dada no item anterior.

Escreva a lei algébrica da função que tem vértice em (2,4) e

que intersecta o eixo y em y = 3. A seguir, determine suas

raízes, esboçando seu gráfico.

Sexta aula: Revisar cada ponto da matéria

através dos programas disponíveis no site

citado abaixo e ver como cada coeficiente

altera o gráfico da função.

Site

http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html

Sexta aula: Avaliação final

Avaliação dos alunos

Avaliação dos conhecimentos adquiridos no processo

de aprendizagem e da participação de cada um nas

atividades desenvolvidas durante o mesmo.

Referência Bibliográfica

Disponível em, < http://www.geogebra.org/cms/download>.

Acessado em 02/10/2013.

Disponível em, < http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-

br.html>. Acessado em 01/10/2013.

Disponível em,

http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw.

Acessado em 01/10/2013.

Disponível em,

http://www.youtube.com/watch?v=83g2LhTqpjQ. Acessado

em 01/10/2013.