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POLINÔMIOSPOLINÔMIOS
O que você deve saber sobre
As funções afins e quadráticas são exemplos de polinômios cujos graus são 1 e 2, respectivamente. Funções de grau maior, expandindo-se o domínio ao campo dos números complexos, ampliam as possibilidades do uso dessa ferramenta na modelagem de situações cotidianas.
POLINÔMIOS
• Polinômio ou função polinomial: soma de dois ou maismonômios (formados pelo produto entre números e letras).Forma geral de um polinômio:
onde an, an-1, an-2, ..., a1 e a0 são coeficientes complexos, n o expoente
(natural) e x a variável complexa.
• Termos do polinômio: os monômios anxn, an-1xn-1, an-2xn-2, ..., a2x2, a1x
e a0, sendo a0 o termo independente, pois não multiplica variável alguma;
• Grau do polinômio: o maior expoente da variável entre os termos não nulos que o compõem. Se o grau de um polinômio P(x) é n, indica-se
gr(P) = n, no caso de an ≠ 0.
I. Definição e nomenclatura
Valor obtido quando se substitui a variável por um númerocomplexo e efetuam-se todas as operações estabelecidas.
Quando o número complexo é tal que P() = 0, é chamado
raiz do polinômio P(x).
II. Valor numérico e raiz de um polinômio
POLINÔMIOS
a) Polinômios idênticos: seus respectivos valores numéricos
para um mesmo x = ( ) são iguais.
Consequência: os coeficientes dos termos de mesmo grau
de cada um dos polinômios são iguais.
b) Adição e subtração: efetua-se a operação desejada entre
os termos semelhantes (de mesmo grau), ou seja, conserva-se
a parte literal desses termos e operam-se os respectivos coeficientes.
III. Operações entre polinômios
POLINÔMIOS
c) Multiplicação: multiplica-se cada termo de um polinômio
por todos os termos do outro. Por fim, reduzem-se os termos
semelhantes (de mesmo grau).
d) Potência: forma abreviada de escrever o produto
do mesmo polinômio n vezes. Denota-se por P(x)n, ou seja:
III. Operações entre polinômios
POLINÔMIOS
e) Divisão: determina dois polinômios: Q(x), o quociente, e R(x),
o resto, a partir dos polinômios P(x), o dividendo, e D(x), o divisor.
Para isso, devem satisfazer à seguinte condição:
III. Operações entre polinômios
POLINÔMIOS
Além disso, seus graus devem ser tais que:
• gr(P) gr(D);
• gr(R) < gr(D) ou gr(R) = 0.
Divisão, a partir do método da chave, dos polinômios
P(x) = 8x3 + 6x2 + 3 (dividendo) e D(x) = 4x2 + x (divisor):
III. Operações entre polinômios
• Quociente: Q (x) = 2x+1
• Resto: R (x) = - x + 3
POLINÔMIOS
• Dispositivo prático de Briot-Ruffini: método utilizado apenas quando o divisor for um binômio do tipo (x a). Aplicação na divisão dos polinômios P(x) = x2 + 1 e D(x) = x 2
• O último número na linha dos resultados é o resto.• Os demais correspondem aos coeficientes do polinômio quociente, cujo grau é uma unidade menor que a do dividendo. Portanto:
III. Operações entre polinômios
POLINÔMIOS
São todas as equações redutíveis à forma:
onde an, an-1, an-2, ..., a1 e a0 são coeficientes complexos, n é o
expoente (natural não nulo), e x, a incógnita complexa.
Resolução: basta determinar as raízes de um polinômio equivalente ao primeiro membro da equação.
Conjunto-solução: o conjunto de todas as suas raízes
IV. Equações polinomiais ou algébricas
POLINÔMIOS
a) Teorema do restoPara um polinômio P(x), com gr(P) 1, o resto de sua divisão por (x a) é dado por P(a).
b) Teorema de D’AlembertSe o polinômio P(x) for divisível por D(x), ou seja, se o resto da divisão entre ambos for nulo, o valor a é raiz de P(x), ou seja, P(a) = 0.
c) Teorema fundamental da álgebraToda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n 1), tem pelo menos uma raiz complexa.
V. Teoremas e consequências
POLINÔMIOS
d) Teorema da decomposição
Como consequência, todo polinômio
P(x) = anxn + an-1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a2x2 + a1x + a0, de grau n,
na variável complexa x, pode ser expresso por:
sendo an o coeficiente dominante (termo de maior grau),
e 1, 2, ..., n - 1, n as raízes do polinômio.
Todo polinômio de grau n, n 1 tem n raízes complexas, mas não
necessariamente distintas, pois eventualmente um polinômio de grau
n > 1 pode ter raízes múltiplas.
V. Teoremas e consequências
POLINÔMIOS
Quantidade de vezes que a raiz aparece quando se escreve a equação ou o polinômio na sua forma decomposta.
É sempre menor que o grau do polinômio ou equação ou igual a ele.
VI. Multiplicidade de uma raiz
POLINÔMIOS
VII. Raízes complexas não reais
Se um número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, for raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais, então seu conjugado z = a - bi também será raiz do polinômio. Além disso, se o complexo z tem multiplicidade m, seu conjugado terá a mesma multiplicidade.
POLINÔMIOS
VIII. Relações de Girard
a) Relações entre os coeficientes
e as raízes de uma equação do 2o
grau: ax2 + bx + c = 0,
com raízes 1 e 2
b) Relações entre os coeficientes
e as raízes de uma equação do
3o grau: ax3 + bx2 + cx + d = 0,
com raízes 1, 2 e 3
São relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação polinomial utilizadas para auxiliar na sua resolução.
POLINÔMIOS
c) Relações entre os coeficientes e raízes de uma equação
de grau n:
anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a2x2 + a1x+ a0 = 0,
com raízes 1, 2, ... , n1 e n
VIII. Relações de Girard
POLINÔMIOS
(Ufla-MG)
Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
1
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
(Cefet-MG) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustível, sendo seus níveis expressos, respectivamente, por:H1(t) = 250t3 - 190t + 10H2(t) = 150t3 + 210t + 10, sendo t o tempo, em horas.
O nível de combustível deles se iguala em t = 0 e também para:a) t = 1,0.b) t = 1,5.c) t = 2,0.d) t = 2,5.
3EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA: C
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
(UEL-PR)
Considere as funções polinomiais dadas por p(x) = x3 - 4x2 + 7x - 3 e q(x) = -6x - 3. Os números complexos na forma z = a + bi, que satisfazem a equação p(z) = q(z), são:a) z = 0, z = 3 + 2i e z = 3 - 2i.b) z = 0, z = 2 + 3i e z = 2 - 3i.c) z = 0, z = -2 + 3i e z = -2 - 3i.d) z = 0, z = 3 + 2i e z = 2 + 2i.e) z = 0, z = 3 + 3i e z = 3 - 3i.
4EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA: B
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
(UFMG)
O gráfico da função p(x) = x3 + (a + 3)x2 - 5x + b contém os pontos (-1, 0) e (2, 0). Assim sendo, o valor de p(0) é:
a) 1. b) –6. c) –1.d) 6.
9EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA: B
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
(UFPR)Abaixo estão representados os gráficos das funções f e g.
Sobre esses gráficos, considere as seguintes afirmativas:
1. A equação f(x) . g(x) = 0 possui quatro soluções no intervalo fechado [-10, 10].2. A função y = f(x) . g(x) assume apenas valores positivos no intervalo aberto (0, 3).3. f(g(0)) = g(f(0)).4. No intervalo fechado [3, 10], a função f é decrescente e a função g é crescente.Assinale a alternativa correta.
1EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS12
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
y = g(x)
y = f(x)
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.d) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.e) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
1EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS12
RESPOSTA: A
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
(ITA-SP)Considere as funções f(x) = x4 + 2x3 - 2x - 1 e g(x) = x2 - 2x + 1.
A multiplicidade das raízes não reais da função composta f g é igual a:
a) 1. b) 2. c) 3.d) 4.e) 5.
1EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS13
RESPOSTA: C
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
(ITA-SP)Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z5 é igual a 1.Sendo z3 + z2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulosdas raízes de Q(z) é igual a:
a) 9.b) 7.c) 5.d) 3.e) 1.
1EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS18
RESPOSTA: B
POLINÔMIOS NO VESTIBULAR
