Polinômios de Matrizes

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  • Jos Ribamar Farias de Lima

    Polinmios de Matrizes

    Recife2013

  • Jos Ribamar Farias de Lima

    Polinmios de Matrizes

    Trabalho de Concluso de Curso apresen-tada ao Departamento de Matemtica daUniversidade Federal Rural de Pernam-buco, para a obteno de ttulo de Mestreem Matemtica.Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Jos Gon-dim Neves

    Recife2013

  • ii

    LIMA, Jos Ribamar Farias dePolinmios de Matrizes40 pginasTrabalho de Concluso(Mestrado Profissional) - Depar-

    tamento de Matemtica da Universidade Federal Rural dePernambuco.

    1. Determinantes

    2. Teorema de Cayley-Hamilton

    3. Polinmios de Matrizes

    I. Universidade Federal Rural de Pernambuco. Departamentode Matemtica.

    Comisso Julgadora:

    Prof. Dr. Prof. Dr.Andr Luis Meireles Araujo Cludio Tadeu Cristino

    Prof. Dr.Brbara Costa da Silva

  • iii

    minha famlia, meu po e aos meus pais, meu vinho.

  • iv

  • v

    AgradecimentosA Deus por me proporcionar o privilgio de mais uma etapa de sucesso em minha vida.

    Ao meu orientador Rodrigo Gondim, pelo auxlio paciente nas vrias fases de confeco deste

    trabalho.

    Ao colega de trabalho e professor Alberes Lopes pelos livros minuciosamente separados e em-

    prestados de sua biblioteca particular.

    Aos companheiros de mestrado e de trabalho Pedro Jr e Darlei Miranda pelo esprito de grupo

    demonstrado nas incontveis horas de estudo e trabalho.

    Aos meus pais pelas palavras incentivadoras. minha famlia por compreender a minha ausncia

    nesta fase de nossas vidas.

  • vi

    Resumo

    Alguns livros didticos do Ensino Mdio trazem problemas envolvendo as potncias de matri-

    zes. As solues desses problemas so apresentadas, geralmente, atravs de recorrncias devido

    limitao dos contedos abordados sobre matrizes e determinantes. Problemas mais interessantes

    so resolvidos com conhecimentos de lgebra Linear como por exemplo autovalores, autovetores

    e diagonalizaes de matrizes.

    Este trabalho tem por finalidade propor uma nova abordagem na soluo de problemas envol-

    vendo potncias de matrizes. Para isso, revemos algumas definies, propriedades e teoremas

    sobre matrizes e determinantes necessrios compreenso dos polinmios de matrizes, objeto

    deste trabalho.

    Aps a construo dessas bases, definimos o polinmio caracterstico, primeiro passo na cons-

    truo dos polinmios de matrizes. Apresentamos o Teorema de Cayley-Hamilton que nos d a

    possibilidade de obter expresses polinomiais que envolvem potncias de matrizes e definimos o

    polinmio mnimo, uma consequncia desse Teorema.

    Alicerados nesses antecedentes propusemos algumas aplicaes dos contedos estudados.

    Palavras-chave: matrizes, determinantes, potncias de matrizes, polinmios de matrizes, po-

    linmio caracterstico, Teorema de Cayley-Hamilton, polinmio mnimo.

  • vii

    Abstract

    Some high-school textbooks present problems that use powers of matrices. These problems are

    usually solved using recurrences, due to a limitation of the content on matrices and determinants

    that is covered. Some of the more interesting problems are generally solved with an understanding

    of Linear Algebra, e.g., eigenvalues, eigenvectors and diagonalization of matrices.

    This work proposes a new approach to the solution of problems involving powers of matrices. To

    this end, we review some definitions, properties and theorems about matrices and determinants

    that are required for the understanding of polynomials of matrices, the subject of this work.

    After laying these foundations, we define the characteristic polynomial, the first step in the

    construction of polynomials of matrices. Introducing the Cayley-Hamilton theorem gives us the

    possibility of obtaining polynomial expressions that contain powers of matrices, and we define

    the minimal polynomial, a consequence of this theorem.

    Building on these antecedents, some applications of the content studied are proposed.

    Keywords: matrices, determinants, powers of matrices, matrix polynomials, characteristic

    polynomial, Cayley-Hamilton theorem, minimal polynomial.

  • Sumrio

    Introduo 1

    1 Determinantes 2

    1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.4 Teorema de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.5 Teorema de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Polinmios de matrizes 19

    2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2 Polinmio caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.4 Polinmio mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.5 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3 Sequncia didtica 34

    3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.2 Particularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    4 Consideraes Finais 39

    Referncias Bibliogrficas 40

  • Introduo

    inquestionvel a importncia do estudo de matrizes e determinantes no Ensino Mdio por

    serem amplamente utilizados na programao de computadores (imagens digitais, pixels etc.) e

    em vrias reas do Ensino Superior como engenharia, estatstica e biotecnologia.

    Encontramos nos livros didticos, olimpdas de matemtica e vestibulares alguns problemas que

    abordam as potncias de matrizes. Os mais simples esperam que o estudante identifique um

    padro conforme as potncias aumentam.

    Os polinmios de matrizes originrios do Teorema de Cayley-Hamilton resolvem estes problemas

    de forma eficaz e eficiente retirando o empirismo das solues que costumamos observar.

    Doravante, este trabalho objetiva dar uma alternativa mais adequada e simples para a soluo

    desses problemas. No 1 lanamos as bases necessrias confeco desse trabalho atravs

    de uma reviso de definies, propriedades e teoremas das matrizes e determinantes estudados no

    Ensino Mdio. Em seguida, no 2, definimos o polinmio caracterstico, demonstramos

    o Teorema de Cayley-Hamilton e definimos o polinmio mnimo utilizando-os nas aplicaes

    abordadas no final do captulo atravs dos polinmios de matrizes. Encerramos, no 3,

    com a apresentao de uma proposta de sequncia didtica para ser aplicada aos alunos do 2

    Ano do Ensino Mdio. Para uma adequada compreenso desse tranbalho importante que o leitor

    tenha o pleno domnio das operaes de soma e de multiplicao de matrizes, principalmente, a

    percepo do fato de que, geralmente, o produto de matrizes no comutativo. To importante

    quanto o descrito anteriormente possuir um conhecimento geral do clculo de determinantes.

    Isso pode ser obtido em (Iezzi and Hazzan, 1977).

  • Captulo 1

    Determinantes

    1.1 Introduo

    interessante observar que embora matrizes, determinantes e sistemas lineares sejam abordados

    nesta ordem didtica no Ensino Mdio, historicamante no foi bem assim que estes conhecimentos

    surgiram.

    A necessidade de processos prticos para resoluo de sistemas lineares levaram ao surgimento

    dos determinantes. Para ilustrarmos como isso ocorreu acompanhe a soluo do problema a

    seguir.

    Seja o sistema linear

    + = () + = () com { a, b, c, d, e, f} R*, nas incgnitas e.

    Para resolv-lo basta multiplicarmos () por e () por obtendo

    + = = Somando as duas equaes obtemos ( ) =

    Analogamente, basta multiplicarmos () por e () por obtendo

    = + = Somando as duas equaes obtemos ( ) =

    Supondo ( ) = 0 temos que = e = .

    Assim, definiu-se um nmero associado tabela =

    , formada pelos coeficientes dasvariveis do sistema linear, como a diferena .

  • Captulo 1. Determinantes 3

    1.2 Definies

    Considere um conjunto = munido de duas operaes +, satisfazendo as leis bsicas

    da aritmtica1. Seja uma matriz quadrada de ordem , =

    11 12 13 . . . 1

    21 22 23 . . . 2...

    ...... . . .

    ...

    1 2 3 . . .

    com elementos em . Geralmente denota-se M(, ) o conjunto das matrizes de ordem com

    elementos em . dito um corpo se todo , = 0, possui um inverso multiplicativo, por

    exemplo, Q, R, e C so corpos, mas Z no.

    Definio 1. Dados e {1, 2, . . . , }, (,) a matriz obtida elimando-se a i-sima linha e

    a j-sima coluna da matriz A, de ordem, obviamente, 1.

    Definio 2. O determinante de uma matriz quadrada de ordem , denotado ou ||,

    um nmero real associado a esta matriz, tal que

    =

    11, = 111 (1,1) 21 (2,1) + . . . + (1)+11 (,1), > 1Definio 3. O menor complementar de um elemento da matriz , denotado , o nmero

    = (,).

    Definio 4. O cofator de um elemento da matriz , denotado , o nmero =

    (1)+ (,). Logo, =

    11, = 1=1 1 1, > 1

    1.3 Propriedades

    Teorema 1. Teorema de Laplace2: O determinante de uma matriz M, de ordem 2, a soma

    dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelo