110

7.9) Efetue as multiplicações:

a) 4 3 2 2(2x x x x 1)(x 3x 1)− + + + − + b) 3 2 2(x x x 1)(x 2x 1)+ − − − −

7.10) Um polinômio P(x) é tal que:

2P(x) x P(2 x) x 3+ × − ≡ +

a) Determine P(0), P(1) e P(2). b) Verifique que o grau de P(x) é 1.

7.11) O grau dos polinômios f(x), g(x) e h(x) é 3. O grau do polinômio, não nulo,

[ ]f(x) g(x) h(x)× + é n. Quais são os possíveis valores de n?

7.12) Determine b, c e d para que se tenha: (x + c)3 + b (x + d) ≡ x3 + 6x2 + + 15x + 14.

7.13) Seja o polinômio na indeterminada x:

2 2 2f(x) (x a) (b c) (x b) (c a) (x c) (a b) (b c)(c a)(a b)= − − + − − + − − + − − −

Verifique que f(x) ≡ 0.

7.14) No conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais, resolva o pro- blema: “determinar a e b a para que o polinômio f(x) = x3

+ 4x2 + ax + b seja um cubo perfeito”.

7.15) No conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais, resolva os

problemas: 1º) “dar a condição para que o polinômio (a + bx)2 + (a’ + b’x)2, onde

aa’bb’≠ 0, seja um quadrado perfeito”; 2º) “mostrar que se (a + bx)2 + (a’ + b’x)2 e (a + cx)2 + (a’ + c’x)2 são

quadrados perfeitos, então, (b + cx)2 + (b’ + c’x)2 também o é”.

7.16) Qual é a progressão aritmética na qual a soma dos n primeiros termos é 2n

2 para todo n?

7.17) Determine um polinômio de grau 3, para o qual se tem:

2g(x) g(x 1) x e g(0) 0− − ≡ =

Em seguida, deduza que a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros

positivos é igual a n(n 1)(2n 1) .6

+ +

111

7.18) Determine um polinômio f(x), de grau 3, tal que:

P(x) P(x 1) x(x 1) e P(0) 0≡ − + − =

Em seguida, deduza a igualdade 2n(n 1)1 2 2 3 3 4 ... (n 1)3

−× + × + × + + − =

7.19) No conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais, determine todos os polinômios f(x), de grau 2, tal que:

2f(x ) k f(x) f( x), k *≡ × × − ∈ ℝ

7.20) Determine p e q para que se tenha: 2x px q (x p)(x q).+ + ≡ − −

7.21) Determine A, B, C e D para que se tenha:

3x A(x 1)(x 2)(x 3) B(x 1)(x 2) C(x 1) D≡ − − − + − − + − +

7.22) Determine A e B para que se tenha:

3 2x A Bx C

x 1x 1 x x 1+≡ +

++ − +

7.23) Determine A e B para que se tenha:

1 A Bx(x 1)(x 2) x(x 1) (x 1)(x 2)

≡ ++ + + + +

Em seguida, deduza a igualdade:

1 1 1 1 1 1...1 2 3 2 3 4 n(n 1)(n 2) 2 1 2 n(n 1)(n 2)

+ + + = − × × × × + + × + +

7.24) Mostre que se p(x) e q(x) não são nulos, então o produto p(x) ×q(x) ≠ 0 também não é nulo, isto é:

(p(x) 0 e q(x) 0) p(x) q(x) 0≠ ≠ ⇒ × ≠

7.25) Demonstre que a multiplicação de polinômios é associativa.

7.26) Demonstre que para os polinômios p(x), q(x) e h(x) temos:

[ ]p(x) q(x) h(x) p(x) h(x) q(x) h(x)+ × ≡ × + ×

7.27) Seja a igualdade entre polinômios:

2 n 2 2n0 1 2 2n(1 x x ) a a x a x ... a x .+ + = + + + +

Determine a soma 0 2 4 2na a a ... a .+ + + +

143

9.25) Dê as condições que p e q devem satisfazer para que o polinômio seja divisível por x + a (p e q naturais , p > q e a ≠ 0).

9.26) Verifique que:

a) o polinômio 100 50f(x) (x 2) (x 1) 1= − + − − é divisível por 2x 3x 2.− +

b) o polinômio 2n 2nf(x) (x 1) x 2x 1= + − − − é divisível pelo polinômio: x(x 1)+ ×(2x 1).+

9.27) Se n é ímpar e a ≠ b, verifique que o polinômio: (a + b + x)n − an − bn − xn é divisível por (x + a) (x + b).

9.28) Verifique que o polinômio 5 3 22x 15x 12x 7x 6− + + − é divisível pelo polinômio (x − 1) (x − 2) (x + 3) Qual o quociente dessa divisão?

9.29) Os restos das divisões de um polinômio p(x) por x 1− e por x 2− são 3 e 4, respectivamente. Qual é o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x − 1) (x − 2)?

9.30) Determine o resto da divisão de um polinômio A(x) por B(x) = x2 + 1, conhecendo−se A(i) e A(–i), onde i é a unidade imaginária.

9.31) Qual é o resto da divisão de 100 99 3x 2x 3x 2x 5+ − + + por 2x x 2?+ −

9.32) Determine o resto da divisão de um polinômio A(x) por B(x) = −x2 + 5x − 6, sabendo que A(2) = 1, A(– 1) = 3 e que o quociente da divisão de A(x) por B(x) é divisível por x + 1.

9.33) Os restos das divisões de P(x) por x + 1, x – 1 e x – 2 são 5, –1 e –1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto

2(x 1)(x 2)?− −

9.34) Um polinômio p(x), quando dividido por (x 1) (x 2),− + dá resto 2x + 5. Dê os restos das divisões de p(x) por x − 1 e por x + 2.

9.35) Quando um polinômio p(x) é dividido por ax − b e por bx − a, os restos são iguais e os quocientes são 1q (x) e 2q (x), respectivamente; a e b são reais não nulos e | a | ≠ | b | . Mostre que 2q (x) é divisível por ax b− e que

1 2q (x) q (x)+ é divisível por x – 1. 9.36) O polinômio f(x), dividido por ax + b, a ≠ 0, dá quociente q(x) e resto r. Qual

é o resto da divisão de:

a)bf(x) por xa

+

b) x f(x) por ax b× +

c) 2x f(x) por ax b× +

144

9.37) O polinômio f(x), quando dividido por x – 1, dá resto a, dividido por x + 2, dá resto b. O quociente da divisão de f(x) por x – 1 é q(x). qual é o resto da divisão de q(x) por x + 2?

9.38) Determine o polinômio f(x), de grau 3, sabendo que f(x) é divisível por x 4− e que, dividido por x − 1, x − 2 e x − 3, dá o mesmo resto 6.

9.39) Determine a e b para que o polinômio 4 3ax bx 1+ + seja divisível por 2(x 1) .−

9.40) O polinômio A(x) = x5 + px + q é divisível por (x − a)2. Verifique que 4p 5a= − e 5q 4a ,= a 0≠ Qual o quociente na divisão?

9.41) Verifique que o polinômio n 2 n 1 2p(x) x x (n 1)x (2n 1)x n+ += − + − − − + é

divisível por 2(x 1) ,− mas não é divisível por 3(x 1) .− Qual o quociente da divisão de p(x) por (x – 1)2?

9.42) Verifique que o polinômio n 1 n 1 np(x) x(x na ) a (n 1)− −= − + − é divisível por 2(x a) .− Qual é o quociente na divisão?

9.43) Determine os números reais a e b e o maior inteiro m, de tal modo que o polinômio p(x) = x5 − ax4 + bx3 − bx2 + 2x − 1 seja divisível por m(x 1) .−

9.44) Mostre que o polinômio 2 3

2 2 2 2

1 x x x1 1 1 1

p(x)1 2 3 4

1 2 3 4

=

é divisível por 3(x 1) .−

9.45) O polinômio 4 3 2p(x) 2x ax 19x 20x 12= − + − + é divisível por 2(x p) ,− onde a e p são inteiros positivos. Determine a e p.

9.46) Determine o polinômio f(x) de grau 3, sabendo que f(x): é divisível por x 2;+ dividido por x + 1 dá resto 3; e dividido por 2(x 1)− dá resto –9.

9.47) Verifique que o polinômio 4a 4b 1 4c 2 4d 3p(x) x x x x ,+ + += + + + onde a, b, c e d

são inteiros positivos, é divisível por 3 2x x x 1.+ + +

9.48) O polinômio n 2f(x) x (x ax b),= + + com n inteiro positivo, dividido por 2(x 2)− dá resto n2 (x 2).− Determine a e b.

9.49) Prove que o polinômio nf(x) (cos x sen ) cos(n ) x sen (n )= ϕ + ϕ − ϕ − ϕ é

divisível por 2x 1.+

PARTE III

Capítulo 11 – Equações algébricas

Capítulo 12 –

Capítulo 13 – Raízes imagináriasCapítulo 14 – Relações de Girard Capítulo 15 – Equações recíprocas

Razões múltiplas

Capítulo 16 – Razões comunsCapítulo 17 – Raízes reais

175

Para obtermos as raízes que faltam, resolvemos a equação 2x 3x 4 0,− − = cujas raízes são 4 e −1. portanto, o polinômio P(x), de grau 4, possui 4 raízes distintas que são os números 2, 3, –1 e 4, podendo assim ser decomposto do seguinte modo:

4 3 2x 8x 17x 2x 24 (x 2)(x 3)(x 1)(x 4)− + + − = − − + − 11.4) Decomponha o polinômio 4 3 2P(x) x 6x 10x 6x 9,= + + + + sabendo que o

número – 3 é raiz dupla.

Solução

Se –3 é raiz dupla de P(x), podemos escrever P(x) (x 3)(x 3) Q(x)= + + × isto

é, 2P(x) (x 3) Q(x).= + × Para obtermos Q(x), fazemos duas divisões sucessivas por x + 3:

3 1 6 10 6 93 1 3 1 3 0

1 0 1 0

−−

2Q(x) x 1= +

Para acharmos as outras raízes, resolvemos a equação 2x 1 0,+ = cujas raízes são i e – i. Assim, polinômio P(x), de grau 4, possui 4 raízes (nem todas distintas), que são os números – 3(raiz dupla), i e – i. Portanto, P(x) pode ser fatorado do seguinte modo:

4 3 2 2x 6x 10x 6x 9 (x 3) (x i)(x i)+ + + + = + − +

11.5) Sabe−se que uma das raízes do polinômio 5 4 3 2P(x) x 5x 7x 2x= − + − + 4x 8+ − é o número 2. Verifique sua multiplicidade.

Solução

Vamos tentar fazer várias divisões sucessivas por x – 2, até obtermos uma divisão não exata:

2 1 5 7 2 4 8

2 1 3 1 0 4 0

2 1 1 1 2 0

2 1 1 1 0

1 3 7

− −

−

− − −

Conseguimos fazer 3 divisões exatas (a quarta divisão nos deu resto 7), portanto o número 2 é raiz de multiplicidade 3. Podemos, então, escrever:

3P(x) (x 2) Q(x)= − ×

179

Solução

Tentemos inicialmente fazer o que fizemos no exercício anterior, isto é, vamos substituir x por – 2:

3 2( 2) (m 1)( 2) (2m 1)( 2) 6 0− + + − + + − + =

Porém, ao simplificarmos esta última equação, obtemos: 0 = 0

Isto significa que, para qualquer valor de m, o número – 2 é raiz da equação dada. Façamos então:

3 2P(x) x (m 1)x (2m 1)x 6= + + + + +

Já que – 2 é raiz de P(x), este é divisível por x + 2: P(x) (x 2) Q(x)= + ×

Efetuando a divisão, obtemos Q(x):

2 1 (m 1) (2m 1) 61 m 1 3 0

− + + +−

2Q(x) x (m 1)x 3= + − +

O polinômio Q(x) é do segundo grau e tem coeficientes reais. Portanto, para que todas as suas raízes sejam reais, devemos ter ∆ ≥ 0:

2(m 1) 4(3) 0− − ≥

Resolvendo esta inequação, vem:

m 1 2 3 ou m 1 2 3≤ − ≥ + 11.12) Dê um polinômio de grau 3 cujas raízes sejam os números 2 (simples) e 4

(dupla).

Solução

Seja P(x) o polinômio procurado: 3 2

3 2 1 0P(x) a x a x a x a= + + +

Já que conhecemos suas raízes, podemos escrever: 2 3 2

3 3P(x) a (x 2)(x 4) a (x 10x 32x 32)= − − = − + −

onde 3a 0.≠ Podemos dar infinitos valores para a3 e, assim, há infinitos polinômios que satisfazem as condições dadas no enunciado do problema; mas, como o problema pediu apenas um polinômio, podemos dar um valor qualquer para a3. Fazendo, Por exemplo, 3a 1,= uma resposta para este

problema é 3 2P(x) x 10x 32x 32.= − + − No capítulo 14 (exercício 14.7) veremos um outro modo de resolver este problema.

181

11.16) Resolva a equação 3 2x x 14x 24 0,− − + = sabendo que uma de suas raízes é igual a – 4.

11.17) Decomponha o polinômio 3 2P(x) 2x 9x 14x 5,= − + − sabendo que uma das

suas raízes é igual a 1 .2

11.18) Decomponha o polinômio 4 3 2P(x) x 5x 5x 5x 6,= − + + − sabendo que duas de suas raízes são os números 2 e – 1.

11.19) Decomponha o polinômio 4 3 2A(x) x 4x 13x 36x 36,= + + + + sabendo que o número – 2 é raiz dupla.

11.20) Decomponha o polinômio 3 2B(x) 3x 7x (5 6i)x (1 2i),= − + + − + sabendo que uma de suas raízes é o número 2 i.−

11.21) Decomponha o polinômio 3 2P(x) x 5x 8x 48,= − − + sabendo que uma de suas raízes é igual a 4.

11.22) O número 4− é uma das raízes da equação 5 4 3 2x 12x 47x 52x 48x+ + + − 64 0.− = Verifique sua multiplicidade.

11.23) Determine os valores de p e q de modo que o número 5 seja raiz dupla da equação:

4 3 2x 10x 24x px q 0− + + + =

11.24) Determine os valores de r, s e t, de modo que o número zero seja raiz dupla da equação:

4 3 27x 5x (r 6)x (3s 2)x (t 9) 0− + − + − + − =

11.25) Determine k, de modo que o número – 3 seja raiz da equação 4 3 2x kx (k 1)x 18 0.− + − − =

11.26) Sabe−se que o número 3 é raiz da equação 3 2x (k 5)x (4 k)x+ − + − + (6 6k) 0,+ − = onde k é real. Determine k, de modo que todas as raízes da

equação sejam reais.

11.27) Seja P(x) um polinômio de grau 4 cujas raízes são i (dupla), – 2 e zero. Determine P(x), sabendo que P(–1) = – 10i.

11.28) Determine o polinômio P(x), de grau 3, cujas raízes são 4, 2 e 3,− sabendo que a soma dos coeficientes é igual a 6.

11.29) Resolva a equação 3 2 2x 2x x 9 3x x 15,− − + = + − sabendo que uma de suas raízes é o número 4.

193

12.1 – Raízes Múltiplas e Derivadas – Teorema

Consideremos um polinômio P(x) de grau n ≥ 1, que possui uma raiz c de multiplicidade m > 1. Conforme vimos no capítulo anterior, P(x) poderá ser escrito na forma:

mP(x) (x c) A(x)= − ×

Com A(c) ≠ 0, isto e, não sendo c raiz de A(x). Seja (1)P (x) o polinômio derivado de P(x). Vale, então, o teorema (que será demonstrado no item seguinte):

(1)é raiz de multiplicidade m 1 de P (x)−c (12.1)

isto é, podemos decompor (1)P (x) na forma:

(1) m 1P (x) (x c) B(x)−= − × onde B(c) ≠ 0.

Exemplos

a) Consideremos o polinômio

5 4 3 3 2P(x) x 4x 7x 7x 7x 4x 1= − + − − + −

que pode ser fatorado do seguinte modo:

3 2P(x) (x 1) (x x 1)A(x)

= − − +�������

A derivada primeira de P(x) é o polinômio: (1) 4 3 2P (x) 5x 16x 21x 14x 4= − + − +

que pode ser fatorado da seguinte maneira:

(1) 2 2P (x) (x 1) (5x 6x 4)B(x)

= = − × − +���������

Capítulo

Raízes múltiplas12

197

12.3) Determine as raízes do polinômio 3 2P(x) x (4 2i)x (4 6i)x 4i,= − + + + − saben- do que ele tem uma raiz dupla.

Solução

Derivando P(x), obtemos: (1) 2P (x) 3x (8 2i)x (4 6i).= − + + +

Podemos obter as raízes de (1)P , que são 5 i1 i e .3++

Uma delas será a raiz dupla de P(x). Fazendo as verificações obtemos:

5 iP(1 i) 0 e P 03+ + = ≠

Assim, 1 + i é a raiz dupla de P(x) que procuramos:

2P(x) [x (1 i)] Q(x)= − + ×

Fazendo duas divisões sucessivas por x (1 i),− + obteremos Q(x):

Portanto, as raízes de P(x) são +1 i (dupla) e 2 (simples).

12.4) Determine as raízes do polinômio 4 3 2P(x) x x 3x 5x 2,= + − − − sabendo que

admite uma raiz tripla.

Solução

Temos, então: (1) 3 2

(2) 2

P (x) 4x 3x 6x 5

P (x) 12x 6x 6

= + − −

= + −

Sendo c a raiz tripla de P(x), deverá também ser raiz dupla de (1)P (x) e raiz

simples de (2)P (x) As raízes de são 11 e .2

− Portanto, c pode ser igual a

11 ou .2

− Fazendo as verificações, obtemos:

P( 1) 0 e P 0− = ≠

P( 1) 0 e P 0− = ≠

1P( 1) 0 e P 02 − = ≠

227

2º modo Podemos começar como no 1º modo e ir até o ponto em que obtemos

1b .2

= A partir daí, abandonamos as relações de Girard e fazemos a divisão

de P(x) por 5x ,2

− obtendo 2A(x) 2x 10x 12,= − + cujas raízes são 2 e 3.

3º modo Um outro modo de indicar que a, b e c formam uma PA (nessa ordem) é colocar a c 2b.+ = Substituindo na relação (I) temos:

152b b2

+ =

donde: 5b2

=

A partir daí procedemos com no 2º modo. 14.15) Obtenha as raízes do polinômio 3 2P(x) x 7x 14x 8,= − + − sabendo que elas

são reais e formam uma progressão geométrica.

Solução Sejam a, b e c as raízes; as relações de Girard ficam:

7a b c 7 (I)1

14ab ac bc 14 (II)1

8abc 8 (III)1

− + + = − = + + = = −= − =

1º modo Supondo que a, b e c formem, nessa ordem, uma PG, temos (veja capítulo 6 do capítulo 2 desta coleção):

2ac b (IV)=

Introduzindo (IV) em (III), obtemos 3b 8.= Em princípio, deveríamos agora extrair todas as raízes cúbicas do número 8; mas, como o enunciado do exercício diz que as raízes do polinômio são reais, ficaremos apenas com a raiz cúbica real de 8:

3 3b 8 b 8 2= ⇔ = =

Dividindo P(x) por x – 2, obtemos o polinômio 2A(x) x 5x 4,= − + cujas raízes são 1 e 4. Assim, as raízes de P(x) são: 1, 4 e 2.

232

14.20) Consideremos um número complexo z ≠ 0 e um número natural n > 1. Sejam 1 2 nx , x ,..., x as raízes n−ésimas do número z. Mostre que:

1 2 nx x ... x 0+ + + =

Solução

As raízes n−ésimas do número z são as raízes da equação nx z,= a qual é equivalente a:

n n 1x 0 x ... z 0 (I)−+ × + − =

Mas, de acordo com a primeira relação de Girard, temos:

1 2 n0x x ... x 01

+ + + = − =

14.21) Seja n um número natural qualquer tal que n > 1. Mostre que:

2 4 2(n 1)cos cos ... cos 1n n n2 4 2(n 1)sen sen ... sen 0n n n

π π − π + + + = − π π − π + + + =

Solução Sejam 0 1 2 n 1, , , ..., −ω ω ω ω as raízes n−ésimas do número 1. De acordo com o exercício anterior, temos:

0 1 2 n 1... 0 (I)−ω + ω + ω + + ω = Porém:

0

1

2

n 1

12 2cos i senn n4 4cos isenn n

................................................2(n 1) 2(n 1)cos i sen

n n−

ω = π πω = + π πω = +

− π − πω = +

Substituir em (I) e separando as partes real e imaginária, temos:

2 4 2(n 1)1 cos cos ... cosn n n

2 4 2(n 1)i sen sen ... sen 0n n n

π π − π + + + + +

π π − π + + + + =

238

14.42) Consideremos a equação 3x kx m 0,+ + = onde k e m são reais e m ≠ 0. Mostre que, se todas as raízes da equação são reais, então k < 0.

14.43) Determine as raízes da equação 3 25x 2x 4x 40 0,− − + = sabendo que elas

têm o mesmo módulo.

14.44) Resolva cada uma das equações a seguir, utilizando a condição dada: a)

3 2x 3x 13x 15 0− − + = As raízes estão em progressão aritmética.

b) 3 22x 21x 42x 16 0− + − =

As raízes estão em progressão geométrica. c)

3 2x 9x 11x 21 0− + + = As raízes estão em progressão aritmética.

d) 3 2x 7x 14x 8 0+ + + =

As raízes estão em progressão geométrica. e)

3 23x 4x 48x 64 0− − + = As raízes estão em progressão harmônica (ou seja, seus inversos estão em P.A.)

f) 4 3 2x 12x 14x 132x 135 0− + + − =

As raízes estão em progressão aritmética. 14.45) Determine o valor de k de modo que as raízes da equação

3 2x 6x kx 24 0+ + − = formem uma progressão aritmética.

14.46) Resolva a equação 4 3 2x 6x 6x 24x 40 0,− + + − = sabendo que há duas raízes simétricas.

14.47) Resolva a equação 4 3 23x 2x 28x 18x 9 0,+ − − + = sabendo que há duas

raízes recíprocas. 14.48) Resolva a equação 4 3 22x 13x 4x 13x 6 0,− + + − = sabendo que o produto

de duas raízes é igual a 3. 14.49) Consideremos a equação 4 3 22x kx mx 14x 8 0.+ + + − = Duas de suas

raízes têm soma igual a 1 e as outras duas têm produto igual a 2.

a) Dê o conjunto−solução da equação b) Determine os valores de k e m.

14.50) As raízes do polinômio 3 2P(x) x (7 7)x (12 7 7)x 12 7= − + + + + são me-

didas nos dois lados de um triângulo retângulo. Determine essas raízes.

239

14.51) As raízes do polinômio 3 2P(x) x 8x kx m= − + + são medidas dos lados de um triângulo. Obtenha a área desse triangulo em função de k e m.

14.52) Sendo a, b e c as raízes da equação 3 2x 8x 24x 16 0,− + − = calcule os va-

lores de:

a) 2 2 22log (a b c )+ +

b) sena b cπ π π + +

c) a 0 02 c 03 7 b−

14.53) Sejam a, b e c números complexos não nulos, tais que a b c 0+ + = e

ab ac bc 0.+ + = Mostre que | a | | b | | c | .= = 14.54) Em cada caso a seguir, escreva uma igualdade ligando os coeficientes da

equação, utilizando a condição dada:

a) 3 2x kx mx t 0+ + + =

Uma das raízes é igual à soma das outras duas. b)

3 2x kx mx t 0+ + + = Há duas raízes simétricas.

c) 3x kx m 0+ + = (com k ≠ 0 e m ≠ 0) Há uma raiz dupla.

d) 3 2x kx mx t 0+ + + =

As raízes formam uma progressão harmônica (ou seja, seus inversos estão em P.A.)

e) 4 3 2x kx mx tx n 0+ + + + =

O produto de duas raízes é igual ao produto das outras duas. f)

4 3 2x kx mx tx n 0+ + + + = A soma de duas raízes é igual à soma das outras duas.

14.55) Determine os números a, b e c (não nulos), sabendo que eles são raízes

da equação 3 2x ax bx c 0.− + − =

14.56) Sendo 2 2cos isen ,7 7π πω = + calcule o valor de 2 3 4 5 6.ω + ω + ω + ω + ω + ω

(Sugestão: observe que ω é uma das raízes sétimas da unidade; veja exercício 14.20)

253

Capítulo

Equações recíprocas16

16.1 – Definição

Uma equação algébrica de grau n > 0 é chamada de equação recíproca se, e somente se, for satisfeita a condição:

Em outras palavras, dada uma equação recíproca, se um número é raiz, o seu recíproco também é raiz, com a mesma multiplicidade. É obvio, então, que o número zero nunca é raiz de uma equação recíproca e, portanto, o termo independente da equação recíproca é sempre diferente de zero.

Exemplo

a) A equação 23x 8 ix 3 0− × + = tem conjunto−solução 1S 2;2

=

; portanto é

uma equação recíproca.

b) A equação 22x 5x 2 0− + = tem conjunto−solução iS 3i; .

3− =

Observando

que 1 i ,3i 3

−= concluímos que a equação é recíproca.

c) A equação 3 26x 19x 14x 1 0− + − = tem conjunto−solução 2 3S 1; ; .3 2

=

Observando que: 2 3o recíproco (ou inverso) de é3 2

o recíproco de 1 é 1

concluímos que a equação é recíproca.

d) Consideremos a equação 2

3 1(x 4) x 0,4

− − =

cujas raízes são 4 e 14

Embora 14

seja o recíproco de 4, a equação não é recíproca, pois as raízes

não têm a mesma multiplicidade.

r é raiz da equação 1r

⇒ é raiz da equação, com a mesma multiplicidade.

39

2.18) Determine ℤ ∈ ℂ, tal que:

a) 2z 3 4i= +

b) 3z 27= −

2.19) Determine ℤ ∈ ℂ, tal que:

a) 2z 2z 3= −

b) 2z 14z 50 0+ + = 2.20) Sejam os reais a, b, c e d não nulos. Sabendo que a equação em x:

2x (a bi)x c di 0+ + + + =

admite um número imaginário puro como raiz, mostre que abd = d2 – a2c.

2.21) Escreva na forma algébrica a + bi os seguintes números complexos:

a) 2

cos isen12 12π π +

b)2

2 sen icos8 8π π +

2.22) Sendo a e b números reais e a bi (sen i cos )(cos i sen ),+ = α + α α − α mos-

tre que 2 2a b 1,+ = .∀α ∈ ℝ

2.23) Seja k , k z .2π α ∈ − + π ∈

ℝ Se z = (1 + i tg α)(1 − i tg α), mostre que Re(z) ≥ 1

e mI (z) 0.= 2.5 – As potências naturais de i

Consideremos as potências do tipo ni , onde n é natural. Vejamos alguns exemplos:

0

1

2

3 2

i 1

i i

i 1

i i i ( 1) i i

=

=

= −

= × = − × = −

4 2 2

5 4

6 4 2

7 4 3

i i i ( 1) ( 1) 1

i i i 1 i i

i i i 1 ( 1) 1

i i i 1 ( 1) i

= × = − − =

= × = × =

= × = × − = −

= × = × − = −

Começamos então a perceber que, à medida que n cresce, os resultados de ni , vão−se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos valores da

sequência: 1, i, – 1, – i

45

2.32) Determine x ∈ ℝ para que 2x iz3 xi

+=+

seja:

a) real b) imaginário não puro

Solução

Vamos determinar as partes real e imaginária de z, efetuando a divisão:

2 2 2

2 2 22x i 2x i 3 xi 6x 2x i 3i xi 7x 3 2xz3 xi 3 xi 3 xi 9 x 9 x 9 x

+ + − + + − −= = = = ++ + − + + +

Assim, 2

e m2 27x 3 2xR (z) e I (z)

9 x 9 x−= =

+ +

a) Para que z seja real, devemos ter mI (z) 0.= Então:

22

23 2x 3 60 3 2x 0 x

2 29 x− = ⇒ − = ⇒ = ± = ±+

b) Para que z seja imaginário não puro, devemos ter e mR (z) 0 e I (z) 0 :≠ ≠

e 2

2

m 2

7xR (z) 0 0 7x 0 x 09 x

3 2x 6 6I (z) 0 0 x e x2 29 x

≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠+

−≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ≠ −+

Então:6 6x 0 e x e x

2 2≠ ≠ ≠ −

2.33) Seja a biz ,c di

+=+

onde a, b, c e d são reais e c + di ≠ 0. Mostre que, se z ∈ ℝ,

então bc = ad.

Solução

2 2 2 2 2 2

m 2 2

a bi (a bi)(c di) ac adi bci bd ac bd bc adz ic di (c di)(c di) c d c d c d

bc adI (z) 0 0 bc ad 0 bc adc d

+ + − − + + + −= = = = ++ + − + + +

−∈ ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ =+

ℝZ

47

2 2z z 1 a b 1 e× = ⇒ + =

2 2

2 2 2 21 z 1 a bi (1 a bi) (1 a bi) (1 a bi) [(1 a) bi]1 z 1 a bi (1 a bi) (1 a bi) (1 a) b 1 2a a b

1

+ + + + + + + + + + += = = = =+ + − + − + + + + + + +�����

2 2 2 2(1 a) 2(1 a)bi b 1 2a a 2(1 a)bi b1 2a 1 2(1 a)

+ + + − + + + + −= = =+ + +

2 2 2 21 2a a b 2(1 a) 1 2a a (1 a )bi bi2(1 a) 2(1 a) 2(1 a)

+ + − + + + − −= + = + =+ + +

22a 2a 2a(1 a)bi bi a bi z2(1 a) 2(1 a)

+ += + = + = + =+ +

Exercícios Propostos

2.37) Efetue as divisões:

a) 1 2i3 2i

++

b) 10 i1 3i

−+

c)1 3i1 3i

+−

d)4 3i3 4i

+−

e)7 7i3 2i++

f)6i

1 i−

2.38) Determine o inverso do complexo z nos seguintes casos:

a) z 3i= −

b) z 1 i= +

c) 77 43 26z i i i= − +

d) z cos x i sen x, x= + ∈ ℝ

2.39) Determine x ∈ ℝ de forma que o complexo 230 x 4i

2 xix 4++++

seja:

a) real b) imaginário não puro

2.40) A que condições devem obedecer os reais a, b, c e d para que a bizc di

+=+

seja um imaginário puro? (c + di ≠ 0)

59

Assim, os afixos dos complexos que satisfazem simultaneamente as duas condições são os vértices de um quadrado cuja diagonal tem medida 2 (diâmetro da circunferência). Logo, a área pedida é:

( )2

2 diagonal 4S lado 222

= = = =

3.10) Sendo z e w, z ≠ w, dois números complexos tais que: 1º) z w 1= =

2º) z w× é imaginário puro

determine z w .z w

+−

Solução

Fazendo z = a + bi e w = c +di, temos:

• 2 2 2 2| z | 1 a b 1 a b 1= ⇒ + = ⇒ + =

• 2 2 2 2| w | 1 c d 1 c d 1= ⇒ + = ⇒ + =

• z w (a bi)(c di) ac adi bci bd (ac bd) (b ad)i× = + − = − + + = + + − Como z w× é imaginário puro, ac + bd = 0 e bc – ad ≠ 0.

Então:

z w | z w | | (a c) (b d)i |z w | z w | | (a c) (b d)i |

+ + + + += =− − − + −

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2

(a c) (b d) a 2ac c b 2bd da 2ac c b 2bd d(a c) (b d)

+ + + + + + + += =− + + − +− + −

Como a2 + b2 = 1 e c2 + d2 = 1, essa última expressão pode ser escrita:

z w 1 1 2ac 2bd 2 2(ac bd) 2 1z w 1 1 2ac 2bd 2 2(ac bd) 2

+ + + + + += = = =− + − − − +

3.11) Prove, utilizando o Princípio da Indução Matemática*, que nnz z= para to-

do natural n ≥ 1.

* Veja volume 2 desta coleção, p. 36.

0

60

Solução Teorema 1 – A igualdade é válida para n = 1:

1 1| z | z | z |= =

Teorema 2 – Vamos provar que, se a igualdade é válida para n = k, então o é para n = k + 1.

Hipótese: kkz z=

Tese: k 1k 1z z ++ =

Vamos partir do primeiro membro da tese e utilizar a propriedade: | z w | | z | | w | .× = ×

k k 1k 1 k 1 kz z z z z z z z (2 membro da tese)++ = × = × = × = = °

Aplicação: Vamos calcular ( )83 i :−

88 8 2 2 8 8| ( 3 i) | | 3 i | (3) ( 1) [ 4] 2 256 − = − = + − = = =

Exercícios Propostos

3.12) Calcule:

a) 7 24i−

b) | (2 3i) (1 i) |+ × −

c)( 3 4i)(2 2i)

1 i− − +

+

d)8

4( 2 2i)

( 1 2 2i)+

− +

3.13) Represente graficamente os números complexos z tais que:

a) z 2=

b) z 2≥

c)1 z 2≤ ≤

3.14) Determine o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z para os

quais:

a) z z 2 4i+ = +

b) z 3i z 2− = +

c) z 1 2i 2− + =

d) z 1 2i 2− + ≤

71

Capítulo

Operações na formatrigonométrica5

5.1 – Introdução

Quando introduzimos a forma algébrica dos números complexos, notamos que certas operações, como a multiplicação e a divisão, tornaram−se bem mais simples de se executar. A forma trigonométrica , por sua vez, tem a vantagem de simplificar o trabalho de potenciação e de radiciação de números complexos, como veremos a seguir.

5.2 – Multiplicação e Divisão

Sejam os número complexos (não nulos):

1 1 1 1

2 2 2 2

z (cos isen )z (cos isen )

= ρ θ + θ= ρ θ + θ

Vamos calcular o produto 1 2z z×

[ ]

1 2 1 1 1 2 2 22

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

z z (cos i sen ) (cos i sen )

(cos cos i cos sen i sen cos i sen sen )(cos cos sen sen ) i(sen cos sen cos )

× = ρ θ + θ ×ρ θ + θ =

= ρ ρ θ θ + θ θ + θ θ + θ θ =

= ρ ρ θ θ − θ θ + θ θ + θ θComo, da Trigonometria, temos que:

1 2 1 2 1 2cos cos sen sen cos( )θ θ − θ θ = θ + θ e

1 2 2 1 1 2sen cos sen cos sen( )θ θ + θ θ = θ + θ escrevemos:

1 2 1 2 1 2 1 2z z [cos( ) i sen( )]× = ρ ρ θ + θ + θ + θ

onde lemos que, para multiplicar dois números complexos na forma trigonométrica, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos .

É fácil verificar que esse procedimento pode ser generalizado para um número qualquer de fatores:

1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n

1 2 3 n

z z z ... z ... [cos ... )i sen ( ... )]

× × × × = ρ ×ρ ×ρ × ×ρ θ + θ + θ + + θ ++ θ + θ + θ + + θ

74

Portanto: n nz (cos n i sen n ) (I)= ρ θ + θ

Se n < 0, temos – n > 0, podendo por isso, ser usado o resultado (I) para – n. Então, fazemos:

nn n

1 1zz [cos( n ) i sen( n )]− −= =

ρ − θ + − θ

Da Trigonometria: cos( n ) cos(n )sen( n ) sen(n )

− θ = θ − θ = − θ

n n

n n1 cos n i sen nz

cos n i sen n cos n i sen n cos n i sen nz−ρ ρ θ + θ= = = × =

θ − θ θ − θ θ + θ

n

2 2(cos n i sen n )

cos n sen n1

ρ θ + θ=θ + θ

���������

Vemos, então, repetido o resultado (I).

Como, para n 0= este resultado também se verifica [zo = ρo (cos 0 + i sen 0) = 1], temos que, para todo inteiro n:

n nz (cos n ) i sen n )= ρ θ + θ ou seja, para elevarmos um complexo z ≠ 0 a um expoente inteiro n qualquer, basta elevarmos o seu módulo a n e multiplicarmos o seu argumento por n .

A fórmula acima é conhecida como fórmula de De Moivre .

Exemplos

a) Seja z 2 cos isen .4 4π π = +

Vamos calcular 18z .

18 18

18 9

18 9

18 18z ( 2) cos i sen4 4

9 9z 2 cos i sen2 2

9 9z 2 cos i sen2 2

π π = +

π π = +

π π = +

Como 92π é côngruo de :

2π

18z 512 cos i sen2 2π π = +

80

para k = 2, temos 354πα =

para k = n – 1 = 3, temos 474πα =

e, caso continuemos, começaremos a encontrar côngruos:

para k = 4, 94πα = (côngruo de α1)

para k = 5, 114πα = (côngruo de α2)

Por tudo isso, concluímos que, com o valor de r já determinado e cada um dos n valores distintos e não congruentes de α, podemos formar n números complexos ω = r (cos α + i sen α), todos eles raízes n−ésimas de z, dados por:

n 2k 2kcos i senn n n n

θ π θ π ω = ρ + + +

(k ∈ ℤ) (5.4)

Exemplo

Vamos calcular as raízes cúbicas de z = 0 + 8i Temos, na forma trigonométrica:

z 8 cos i sen2 2π π = +

onde 8ρ = e .2πθ = Como n = 3, as raízes cúbicas de z são dadas por:

3 2k 2k2 28 cos i sen3 3 3 3

π π π πω = + + +

ou seja: 2k 2k2 cos i sen

6 3 6 3 π π π π ω = + + +

Atribuindo a k os valores 0, 1 e 2 = n – 1, temos:

1

2

3

k 0 2 cos i sen 3 i6 65 5k 1 2 cos i sen 3 i6 63 3k 2 2 cos i sen 2i2 2

π π = ⇒ ω = + = +

π π = ⇒ ω = + = − +

π π = ⇒ ω = + = −

81

Assim, 3 i, 3 i+ − + e 2i− são as três raízes cúbicas de 8i.

Interpretação geométrica – Observemos o exemplo dado: como a três raízes cúbicas têm o mesmo módulo r = 2, seus afixos estão sobre uma circunferência de

centro na origem e raio 2; a expressão 2k

6 3π π+

nos diz que os argumentos α

determinam, sobre esta circunferência, 3 pontos distintos e separados entre si de

um arco de medida 2 :3π

Vemos, então, que os afixos das raízes cúbicas de z = 8i são vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência com centro na origem e raio 2.

Analisando, agora a expressão das raízes n−ésimas de z:

n 2k 2kcos i senn n n n

θ π θ π ω = ρ + + +

percebemos que:

1º) as n raízes n−ésimas de z têm o mesmo módulo nr ,= ρ estando, por isso, seus afixos sobre uma mesma circunferência com centro na origem e raio nr .= ρ

2º) da Trigonometria, sabemos que arcos da forma 2k

n nθ π+ representam n pon-

tos distintos no ciclo, distribuídos de modo a dividir a circunferência em n partes iguais.

Portanto, os afixos das raízes n−ésimas de z são:

− se n = 2, extremidades de um diâmetro da circunferência de centro (0;0) e raio nr .= ρ