Exercícios resolvidos de polinômios, produtos notáveis

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  • 1. Exerccios Resolvidos de Polinmios, Equaes Algbricas e Produtos Notveis Identificando as Partes de uma Equao Algbrica Vamos analisar a equao algbrica abaixo: Ela possui dois membros. O primeiro membro o que est esquerda do sinal de igualdade, ou seja, 2x + 3. Este membro possui dois termos. So eles 2x e 3. Estes termos so as duas parcelas de uma soma. O primeiro termo do primeiro membro, 2x, formado pelo coeficiente numrico igual a 2 e pela parte literal x, aincgnita da equao. O segundo termo no possui a parte literal, formado apenas pelo nmero real 3. Incgnita ou varivel a grandeza a ser determinada na soluo de uma equao. Na pgina sobre termos algbricos voc encontra maiores informaes sobre coeficiente numrico e parte literal, dentre outras. O segundo membro est direita do sinal de igualdade, possui apenas um termo sem a parte literal. o nmero real 5. O que Vem a Ser "Solucionar uma Equao Algbrica"? Solucionar uma equao algbrica identificar o valor numrico da incgnita, que ao ser substituda na equao torna-a verdadeira. Na equao do nosso exemplo, 1 o valor que substituindo a incgnita x torna a equao verdadeira, logo x a sua soluo. Para solucionarmos uma equao, executamos uma srie de operaes em ambos os seus membros, para sempre mantermos a condio de igualdade. So estas as operaes que tratamos nesta pgina. Principais Operaes Utilizadas na Resoluo de Equaes Algbricas Nosso objetivo isolarmos no primeiro membro a incgnita, obtendo assim no segundo membro a soluo da equao.

2. Voltando ao nosso exemplo, em busca de nosso objetivo de deixar a incgnita isolada, vamos eliminar o segundo termo do primeiro membro. Como consegu-lo? Adicionar um Determinado Valor a Ambos os Membros da Equao Como queremos eliminar o termo 3, que est sendo somado ao termo 2x, vamos subtrair 3 de ambos os membros: Como 3 - 3 = 0, eliminamos assim o termo 3. E se o mesmo estivesse sendo subtrado de 2x, em vez de estar sendo somado?. Subtrair um Determinado Valor de Ambos os Membros da Equao Neste caso a nossa equao exemplo seria: Como 3, est sendo subtrado de 2x, precisamos somar 3 a ambos os membros: Apenas para ressaltar, a operao precisa ser realizada em ambos os termos da equao para que a condio de igualdade seja mantida. Multiplicar Ambos os Membros da Equao por um Determinado Valor Vejamos a equao abaixo: Como objetivamos isolar no primeiro membro a incgnita x, uma forma de faz- lo multiplicarmos ambos os membros por 2: Ao realizarmos tal operao podemos simplificar o denominador da frao com o multiplicador 2, realizando assim a eliminao desejada: Escolhemos como multiplicador exatamente o denominador da frao, para podermos realizar a simplificao, eliminando o denominador e isolando a varivel x. 3. Dividir Ambos os Membros da Equao por um Determinado Valor Agora vejamos a equao a seguir: O objetivo continua o mesmo, isolarmos a varivel x. Sabemos que dividindo qualquer nmero, diferente de zero, por ele mesmo obteremos a unidade com resultado. Ento vamos dividir ambos os membros por 2: Realizando a simplificao temos: Realizar Multiplicao Distributiva A propriedade distributiva da multiplicao uma ferramenta muito til na busca do isolamento da incgnita. Vamos estudar a equao abaixo: Qualquer uma das quatro operaes estudadas acima, no nos auxilia na resoluo desta equao, no entanto podemos distribuir o 2 que est em evidncia, como abaixo: Agora podemos utilizar algumas das operaes citadas anteriores para concluirmos a resoluo. Primeiro vamos subtrair x de ambos os membros da equao: Finalmente subtramos 2 dos dois lados: Fatorao Em algumas situaes ao invs da distribuio, precisamos fazer uma fatorao, colocando um termo comum em evidncia. Normalmente temos tal necessidade quando h mais de uma varivel na equao. Vejamos neste outro exemplo como isolar a varivel x na seguinte equao: Note que x um fator comum aos dois termos do primeiro membro. Coloc-lo em evidncia significa que vamos reescrever tal equao na forma de um produto, onde x ser um dos fatores e o outro fator ser formado pela soma dos dois termos divididos por x. Como x dividido por x igual a 1 e ax dividido por x igual a a, temos: 4. Agora para encontrarmos o valor de x, basta dividirmos os dois termos da equao por (1 + a). Vejamos outros exemplos de fatorao: Observe que tanto no caso da propriedade distributiva, quanto no caso da fatorao, no foi preciso realizarmos a mesma operao em ambos os membros da equao, agimos s de um lado, pois tais operaes no "desequilibram" a equao. Permutar um Membro com o Outro A qualquer momento podemos mudar os membros de lado. Se, por exemplo, aps a realizao de algumas operaes chegarmos a algo como: Podemos trocar os membros de lado, o que no causar desequilbrio na equao: Isolando Variveis em Frmulas de Matemtica Financeira Agora para exemplificar a utilizao de tais operaes em uma situao mais concreta, vamos brincar um pouco de isolar variveis de algumas frmulas da matemtica financeira envolvendo juros simples. Na verdade vamos brincar com duas frmulas, a do montante e a dos juros simples. Vamos unir as duas frmulas em uma nica equao e depois isolarmos cada uma das suas variveis. Como sabemos, a frmula do montante em juros simples : J a frmula dos juros simples : Se voc no se lembra a que se referem cada uma das variveis envolvidas nas frmulas acima, voc pode acessar a pgina que trata sobre juros simples, ou ento continuar a leitura desta pgina, pois iremos isolar cada uma das incgnitas e voc ver do que elas se tratam. Na referida pgina, porm, voc encontra maiores informaes. Na frmula do montante queremos isolar a varivel C, que se refere ao capital aplicado ou valor principal. Como faz-lo? 5. Isolando a Varivel "C" na Frmula do Montante Neste caso precisamos eliminar a varivel j, no segundo membro, somada a C. Para isto iremos subtrair a mesma incgnita j de ambos os membros: Como j - j = 0, ento: Agora s trocarmos os membros de lado: Agora vamos substituir C por M - j na frmula do juro simples, fundido as duas frmulas em uma s: Ento, aps a substituio de C: Podemos escrever esta mesma frmula omitindo os operadores de multiplicao, que ficar como: Est a frmula que usaremos na brincadeira. Isolando a Varivel "j" Esta varivel representa os juros da aplicao. Note que na referida frmula ela ocorre duas vezes. Este o caso mais complexo que iremos tratar aqui. Nossa primeira providncia ser aplicarmos a propriedade distributiva, multiplicando M e j, que esto entre parnteses, por in: Tomamos esta medida, pois agora podemos somar jin nos dois lados, o que no resolveria inicialmente, de sorte a eliminarmos jin no segundo membro e de s haver termos com j no primeiro membro: Logo: Vamos agora colocar j em evidncia, para que possamos eliminar o outro fator, isolando j. Como j dividido por j igual a 1 e jin dividido por j igual a in, temos: Finalmente podemos isolar j dividindo ambos os membros por 1 + in: 6. Simplificando 1 + in do numerador, com 1 + in do denominador no primeiro membro, temos: Isolando a Varivel "M" Isolar o Montante bem mais simples. Como M - j est sendo multiplicado por in, que impede tanto M, quanto j de serem manipulados separadamente, vamos dividir os dois lados da equao por in, o que ir extinguir tal restrio, j que in ser eliminado do segundo membro: Simplificando temos: Agora no tem mais segredo, para isolarmos M simplesmente somamos j nos dois lados: Portanto: Podemos inverter os membros da equao: Como j ocorre duas vezes, vamos coloc-lo em evidncia dividindo por j, tanto j/in que d 1/in, quanto j que d 1: Isolando a Varivel "M" de Outra Forma Da maneira que fizemos anteriormente mais simples, mas tambm podemos proceder como se fossemos isolar j, realizando as operaes at este ponto: Vamos inverter os membros da equao para deixar M no primeiro membro: fcil percebemos que devemos dividir os dois membros por in para isolarmos M: Que simplificando resulta em: 7. Como in ocorre no numerador e no denominador, podemos realizar uma simplificao se separarmos as duas parcelas da adio: Simplificando fica: Ento colocamos j em evidncia exatamente como fizemos anteriormente pela outra forma de isolarmos M: Isolando a Varivel "i" Se voc conseguiu assimilar a maior parte do que foi explicado at aqui, muito provvel que voc j saiba como isolar a taxa de juros. Inicialmente vamos inverter os membros de lado: Como no primeiro membro temos uma multiplicao com trs fatores, basta dividirmos os dois lados por todos os fatores que pretendemos eliminar no primeiro membro, ou seja, temos que dividir os dois membros por (M - j)n: Que aps a simplificao fica igual a: Isolando a Varivel "n" O perodo de tempo da aplicao isolado de forma anloga ao isolamento da taxa de juros. Iniciamos invertendo os membros da equao: Dividimos os dois membros por (M - j)i para eliminarmos tais fatores do primeiro membro: Simplificando finalmente temos: Produtos Notveis Em muitas expresses matemticas comum chegarmos a algo como (x + 3)2 e ento precisarmos calcular o produto (x + 3) . (x + 3). 8. O desenvolvimento deste produto seria: Realizamos tal produto multiplicando cada um dos termos do primeiro polinmio por cada termo do segundo polinmio. Produtos como este so denominados produtos notveis, pois podemos obter o resultado final sem precisarmos desenvolver o clculo todo como realizado acima. Assim como no caso das tabuadas, que as memorizamos a fim de ganharmos agilidade na realizao dos clculos, no caso dos produtos notveis tambm seremos beneficiados se os soubermos de cor. Quadrado da Soma de Dois Termos O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Quadrado da Diferena de Dois Termos O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Produto da Soma pela Diferena de Dois Termo