Quadrilateros notáveis

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MODULO 1 - AULA 5

Aula 5 Quadrilteros Notveis a aParalelogramo Denio: E o quadriltero convexo que possui os lados opostos paralelos. ca a A gura mostra um paralelogramo ABCD.

Teorema 1: Se ABCD um paralelogramo, ento: e a i) Os lados opostos so congruentes. a ii) Os angulos opostos so congruentes. a iii) Dois angulos consecutivos so suplementares. a iv) As diagonais cortam-se ao meio. Prova: Seja o paralelogramo ABCD da gura:

i) Tracemos a diagonal BD e consideremos os tringulos (I) e (II), assim a formados. Temos: (alternos internos) 1 4 BD BD (comum) 3 2 (alternos internos) Por outro lado: m(1) = m(4) 1 4 m(2) = m(3) 2 3 m(1) + m(2) = m(4) + m(3) m(B) = m(D) B D93 CEDERJ

ii) Se I = II (item i), ento A C, pois so angulos opostos a lados a a congruentes em tringulos congruentes. a

AB CD = I = II e ALA BC AD

iii) Seja o paralelogramo ABCD.

Temos que: AB CD e AD A+ B+ C+ D+

BC

B = 180 C = 180 D = 180 A = 180

(ngulos colaterais internos) a

iv) Seja o paralelogramo ABCD, tracemos as diagonais AC e BD, que se cortam em um ponto M.

M ponto mdio das diagonais AC e BD. e e

(alternos internos) 1 4 AB CD (item i) 3 2 (alternos internos)

AM = MC = I = II e ALA BM = MD

OBS: Todo quadriltero convexo que gozar de uma das propriedades a acima ser um paralelogramo e gozar de todas as outras propriedades. a a Teorema 2: Se um quadriltero convexo tem dois lados opostos paralelos e a congruentes, ento esse quadriltero um paralelogramo. a a e Prova: Seja ABCD um quadriltero convexo com AD BC e AD BC. a

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MODULO 1 - AULA 5

Tracemos a diagonal AC e sejam os tringulos (I) e (II). Temos: a

Logo, os lados AB e CD do quadriltero so paralelos. a a Da AD BC e AB CD ABCD um paralelogramo. , e

AC AC (comum) (alternos internos) 2 3 AD BC (hiptese) o

= I II 1 4LAL

Exerc cios Resolvidos 1. Em um paralelogramo ABCD, o ngulo A mede 50 . Determine os a outros trs ngulos desse paralelogramo. e a Soluo: Seja ABCD um paralelogramo e A = 50 . ca

Usando (ii) e (iii) do teorema 1, vem: A + B = 180 e A = C e B = D B = 130 , C = 50 e D = 130 . 2. Determine o ngulo entre as bissetrizes de dois ngulos consecutivos a a de um paralelogramo. Soluo: Seja ABCD o paralelogramo da gura e AM e BM as bisca setrizes dos ngulos consecutivos A e B. a

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Temos que: A+B A B + M + = 180 M = 180 (1) 2 2 2 Do teorema 1(iii), A + B = 180 (2). Substituindo (2) em (1), vem: = 180 180 = 90 . M 2

Da o angulo pedido 90 . , e 3. Em um paralelogramo ABCD, AB = 2x + 1, BC = 3x + 4, CD = 9 e AD = y + 1. Calcule os valores de x e y. Soluo: Seja o paralelogramo ABCD. ca

AB = CD Pelo teorema 1(item i) vem: BC = AD x=4 e 3 4 + 4 = y + 1 16 = y + 1 y = 15. Da x = 4 e y = 15. ,

2x + 1 = 9 3x + 4 = y + 1

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Paralelogramos particulares a) Retngulo a Denio: E o paralelogramo que possui um angulo reto. ca Nota: O retngulo tem os quatro angulos retos. a De fato, seja ABCD um retngulo, ento um dos angulos reto. a a e

Vamos escolher A = 90 . Como ABCD paralelogramo, temos que: e A = C, A + B = 180 e B = D C = 90 , 90 + B = 180 B = 90 e da D = 90 , ou seja, os 4 angulos so retos. , a Teorema 3: Em todo retngulo as diagonais so congruentes entre si. a a Prova: Seja ABCD o retngulo da gura. a

Tracemos as diagonais AC e BD. Vamos provar que AC = BD. De fato, B = C = 90 = AC BD. ABC DCB, j que: a AB CD LAL BC (lado comum)

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b) Losango Denio: E o paralelogramo que possui dois lados consecutivos congruentes. ca Nota: O losango tem os quatro lados congruentes. De fato, seja ABCD um losango.

Temos que dois lados consecutivos tm a mesma medida, ou seja, e AB = BC (1). Mas como ABCD um paralelogramo, e AB = CD (2) e BC = AD (3). De (1), (2) e (3), vem: AB = BC = CD = AD. Logo, os quatro lados tm a mesma medida. e Teorema 4: Em um losango: a) as diagonais so perpendiculares. a b) as diagonais so bissetrizes dos angulos opostos. a Prova: Seja ABCD o losango da gura:

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Tracemos as diagonais AC e BD, que se cortam em M, ponto mdio de ambas e (teorema 1, item (iv)), ABD issceles, AM mediana relativa a base BD, ento AM altura e e o e ` a e bissetriz em relao a esta base. Portanto, AC perpendicular a BD. O que ca e ` prova o item a) e AC bissetriz do ngulo A. e a De modo anlogo, sejam os tringulos issceles CBD, ABC e ADC, ento a a o a BD bissetriz dos ngulos B e D. AC bissetriz do ngulo C, e a a c) Quadrado Denio: E o paralelogramo que possui dois lados consecutivos congruentes ca e um ngulo reto. a Nota: Pela denio dada, temos que todo quadrado um losango (possui ca e dois lados congruentes) e todo quadrado um retngulo ( possui um angulo e a reto). Da o quadrado um quadriltero convexo regular, sendo simultaneamente , e a retngulo e losango, portanto gozando de todas as propriedades relativas a a eles.

Exerc cios Resolvidos4. Calcule os ngulos de um losango, sabendo que uma diagonal forma a com um lado um angulo de 41 .

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Soluo: Seja o losango ABCD da gura ca

Temos pelas propriedades de losango que: A = C = 2 41 = 82 pois a diagonal AC bissetriz dos ngulos A e C. e a Por outro lado, B = D = 180 82 = 98 . Da os ngulos do losango so: , a a 82 , 98, 82 e 98 . 5. Calcular os lados de um retngulo cujo per a metro mede 40 cm, sabendo que a base excede a altura de 4 cm. Soluo: Seja o retngulo cujo per ca a metro mede 40 cm e a base excede a altura de 4 cm.

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Seja a base b e a altura h. Temos que: 2b + 2h = 40 b=h+4 b + h = 20 (1) b = h + 4 (2)

Substituindo (2) em (1) vem: h + 4 + h = 20 2h = 16 h = 8. De (2) vem que b = 8 + 4 = 12. Da os lados do retngulo so 8 cm e 12 cm. , a a Trapzio e Denio: Um quadriltero convexo chamado trapzio se possui dois lados ca a e e paralelos.

A gura mostra um trapzio ABCD de bases AD e BC. e Classicao: Podemos classicar os trapzios em trs tipos: ca e e a a a 1 tipo: Escaleno - os lados no paralelos no so congruentes. A gura mostra um trapzio ABCD escaleno. e

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2 tipo: Issceles - os lados no paralelos so congruentes. o a a A gura mostra um trapzio issceles. e o

3 tipo: Retngulo - um lado perpendicular as bases. a e ` A gura mostra um trapzio retngulo ABCD, onde AB perpendie a e cular as bases AD e BC. `

Teorema 5: Em um tringulo o segmento que une os pontos mdios de dois a e lados tal que: e a) ele paralelo ao terceiro lado. e b) sua medida igual a metade da medida do terceiro lado. e ` Prova: Considere M e N pontos mdios dos lados AB e AC, respectivamente, e de um tringulo ABC. a

Vamos provar que MN BC e MN = BC 2

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a) Pelo ponto C tracemos uma reta r paralela a AB e prolonguemos MN at e encontrar a reta r em D, conforme gura. Temos: CND = ANM (opostos pelo vrtice) e = CDN AMN CN = AN (hiptese) o ALA (alternos internos) NCD = MAN

CD = AM .

Da o quadriltero BMDC possuindo dois lados opostos CD e BM con, a gruentes e paralelos um paralelogramo (teorema 2 desta Aula). e Portanto, MN BC b) Como BMDC um paralelogramo, temos que : MD = BC. e Mas MN + ND = MD MN + ND = BC (1). Da congruncia dos tringulos CDN e AMN, temos que e a ND = MN (2). Substituindo (2) em (1), vem: MN + MN = BC MN = BC . 2

Denio: O segmento MN do teorema 5 denominado uma base mdia do ca e e tringulo ABC. a

Exerc cios Resolvidos6. No tringulo ABC da gura, M, N e P so os pontos mdios dos laa a e dos AB, AC e BC, respectivamente. Se AB = 20, BC = 18 e AC = 15, calcule o per metro do tringulo MNP. a

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Soluo: Temos pelo teorema 5 que: ca BC 18 = =9 2 2 AB 20 = = 10 2 2 AC 15 = = 7, 5 2 2

MN =

NP =

PM =

Da o per , metro do tringulo MNP : a e MN + NP + P M = 9 + 10 + 7, 5 = 26, 5. 7. Mostre que os pontos mdios de um quadriltero qualquer so vrtices e a a e de um paralelogramo. Soluo: Seja ABCD um quadriltero, M, N, P e Q os respectivos ca a pontos mdios de AB, BC, CD e DA. e

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MODULO 1 - AULA 5

Temos pelo teorema 5: ABC MN AC e MN = AC 2

DAC P Q

AC e P Q =

AC 2

MN P Q e MN = P Q. Logo pelo teorema 2, MNPQ paralelogramo. e Teorema 6: Em um trapzio o segmento de reta que une os pontos mdios e e dos lados no paralelos tal que: a e a) ele paralelo as bases. e ` b) sua medida igual a semi-soma das medidas das bases. e Prova: Sejam M e N os pontos mdios dos lados no paralelos AB e CD, e a respectivamente, de um trapzio ABCD. Vamos provar que: e a) MN AD BC

b) MN =

AD + BC 2

a) Tracemos pelo ponto N uma reta paralela ao lado AB. Sejam E e F os pontos em que essa reta paralela encontra, respectivamente, a base BC e o prolongamento da base AD. Temos:

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EN = F N .

CNE = DNF (opostos pelo vrtice) e = CEN DFN CN = DN (hiptese) o ALA (alternos internos) ECN = FDN

Como AB = EF (lados opostos do paralelogramo BAFE) AM = EN, j a que AB EF BM = e EN = . 2 2 Da BENM um paralelogramo, j que , e a BM EN e BM Logo, MN b) Temos a gura: AD BC. EN.

Trace a diagonal BD e denomine a interseo de MN com BD de E. ca e a No ABD, ME base mdia, ento ME = AD (teorema 5). 2 BC (teorema 5). 2

No BCD, EN base mdia, ento NE = e a

Da , MN = ME + EN = AD BC AD + BC + MN = . 2 2 2

Denio: