Geometria Plana Quadrilateros Notaveis

8/9/2019 Geometria Plana Quadrilateros Notaveis

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GEOMETRIA PLANA: QUADRILTEROS NOTVEIS

1. (Unesp) Seja ABCD um retngulo cujos lados tm as seguintes

medidas: !"#!$cm e "!#!1%&cm. Se ' o ponto mdio de AB%

ento o raio da circun*erncia determinada pelos pontos C% ' e D

mede:

a) +%,- cm ) -%,- cm c) ,%,- cm d) -%,+ cm e) +%+- cm

&. (/u0estg0 ) 2a 3gura a seguir ABCD indica um 4uadrado de lado

unit5rio e AB6 um tringulo e4uil5tero.

7ro0e 4ue:

a) 8 ! 1-9

) tg8 ! & ;,


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,. (/u0est ) < retngulo a seguir de dimens=es a e est5 decomposto

em 4uadrados. >ual o 0alor da ra?o a@

a) -@, ) &@, c) & d) ,@& e) 1@&

+. (Unesp ) Considere as seguintes proposi=es:

todo 4uadrado um losango todo 4uadrado um retngulo

todo retngulo um paralelogramo todo tringulo e4il5tero

isscele.

7odese a3rmar 4ue:

a) s uma 0erdadeira. ) todas so 0erdadeiras.

c) s uma *alsa. d) duas so 0erdadeiras e duas so *alsas.

e) todas so *alsas.


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-. (U*pe ) 2a 3gura a seguir% os retngulos ABCD e AEBECEDE tm o

mesmo centro e lados iguais a -cm e Fcm.

>ual o dimetro da maior circun*erncia contida na regio

GacGurada

a) + cm ) - cm c) -;& cm d) F cm e) F;& cm

$. (/u0est ) 2o retngulo a seguir% o 0alor% em graus% de 8 H I

a) -J ) FJ c) 1&J d) 1,J e) &&J

K. (L1) A ra?o entre as medidas dois lados de um paralelogramo

&@,. Se o perMmetro desse paralelogramo 1-Jm% determine a medida

dos lados.

N. (L1) Um 4uadril5tero ABCD est5 inscrito numa circun*erncia.

Saendo 4ue os arcos AB% BC e CD 0alem% respecti0amente% NJ9% 11J9e FJ9% determine todos os ngulos do 4uadril5tero


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F. (L1) Classi34ue em 0erdadeira (O) ou *alsa (/) cada uma das

seguintes sentenas:

a. ( ) Podo retngulo trap?io. . ( ) 2em todo 4uadrado

retngulo.

c. ( ) Podo paralelogramo retngulo. d. ( ) Podo losango

paralelogramo.

e. ( ) 2em todo trap?io paralelogramo.

1J. (L1) 2o losango calcule Q.

11. (L1) 2o paralelogramo a seguir% calcule R.


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1&. (L1) Se ' ponto mdio de % determine Q e m().

1,. (L1) 2o trap?io retngulo da 3gura seguinte% determine em cm%

a medida Q da ase maior . (use a taela trigonomtrica)


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1+. (L1) ABCD um trap?io de ases e "#. Se D o doro de A e

C o triplo de B% calcule os ngulos do trap?io.

1-. (L1) Saendo 4ue ABCD um paralelogramo% calcule Q e R


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1$. (L1) Sendo ABCD um retngulo% calcule Q e R.

1K. (L1) A issetri? de um losango *orma +J9 com um dos lados.

Determine os 4uatro ngulos do losango.

1N. (L1) 7ara re0estir uma parede de Fm so necess5rios

eQatamente +JJ a?ulejos 4uadrados. >uanto mede o lado do a?ulejo

1F. (L1)


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&J. (L1) As ases de um trap?io medem Ncm e 1&cm%

respecti0amente% e a altura +cm. A 4ue distncia da ase menor 3ca

o ponto de encontro das retassuporte dos lados noparalelos

a) N cm ) 1& cm c) 1$ cm d) + cm

&1. (L1) A medida de cada ngulo otuso de um losango eQpressa

por &Q H -9 e a medida de cada ngulo agudo% por Q H +J9.

Determine as medidas dos + ngulos internos desse losango.

&&. (L1) Se as diagonais de um retngulo *ormam um ngulo de 1&J9

entre si% 4uais so as medidas dos ngulos 4ue as diagonais *ormam

com os lados do retngulo

&,. (L1) A diagonal menor de um losango decomp=e esse losango em

dois tringulos congruentes. Se cada ngulo otuso do losango mede

1,J9% 4uais so as medidas dos trs ngulos de cada um dos

tringulos considerados

&+. (L1) Uma diagonal de um losango *orma -J9 com um dos lados.

Determine os 4uatro ngulos do losango.

&-. (L1) A di*erena entre a medida de dois ngulos consecuti0os de

um paralelogramo +J9. Calcular a medida dos ngulos internos

desse paralelogramo.


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&$. (L1) Calcule o 0alor de Q:

&K. (L1) Um ngulo eQterno de um paralelogramo mede ,N9. >uais

so os ngulos desse paralelogramo

&N. (L1) 2um losango% a medida do ngulo otuso igual ao triplo da

medida do ngulo agudo. Calcule as medidas dos ngulos desse

losango.

&F. (L1) Saendo 4ue os ngulos otusos de um losango so

eQpressos por Q H NJ9 e &Q H &J9% calcule as medidas dos + ngulos

desse losango.

,J. (L1) Calcule o perMmetro dos seguintes retngulos:


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,1. (L1) Um dos ngulos internos de um paralelogramo mede K&9.

>uanto medem os outros ngulos desse paralelogramo

,&. (L1) 2um paralelogramo os ngulos otusos medem o triplo dos

ngulos agudos. Calcule os ngulos desse paralelogramo.

,,. (L1) 2um paralelogramo% os ngulos agudos medem a metade

dos ngulos otusos. Determine as medidas dos ngulos desse

paralelogramo.

,+. (L1) A soma das medidas dos ngulos agudos de um

paralelogramo N+9. >uanto medem os ngulos desse

paralelogramo

,-. (L1) 2um paralelogramo ABCD% a diagonal # *orma com o lado

" um ngulo de &N9 e com o lado #" um ngulo de $K9. Calcule os

ngulos desse paralelogramo.

,$. (L1) (Uni0ersidade /ederal de


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da ase maior% traase uma paralela Ws ases% 4ue determina dois

trap?ios. >ual a 5rea de cada um

,N. (L1) 6m 0olta de um terreno retangular de 1&m por ,Jm% de0ese

construir uma cerca com cinco 3os de arame *arpado% 0endido em

rolos de -Jm. >uantos rolos de0em ser comprados

a) ,$ ) 1N c) 1& d) F e) -

,F. (L1) (XPA )

Dadas as a3rma=es:

X >uais4uer dois ngulos opostos de um 4uadril5tero so

suplementares.

XX >uais4uer dois ngulos consecuti0os de um paralelogramo so

suplementares.

XXX Se as diagonais de um paralelogramo so perpendiculares entre si

e se cru?am em seu ponto mdio% ento esse paralelogramo um

losango.

7odemos garantir 4ue:

a) todas so 0erdadeiras. ) apenas X e XX so 0erdadeiras.

c) apenas XX e XXX so 0erdadeiras. d) apenas XX 0erdadeira.

e) apenas XXX 0erdadeira.


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+J. (L1) 2a 3gura temse o trap?io issceles ABCD no 4ual as ases

medem 1-cm e &Kcm.


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+,. (U*mg) . < perMmetro do 4uadril5tero 7>ZS :

a) 11;, ) &&;, c) 11;& d) &&;&

++. (Unicamp) Um trap?io retngulo um 4uadril5tero con0eQo

plano 4ue possui dois ngulos retos% um ngulo agudo 8 e um ngulo

otuso I. SuponGa 4ue% em um tal trap?io% a medida de I seja igual a

cinco 0e?es a medida de 8 .

a) Calcule a medida de 8% em graus.

) 'ostre 4ue o ngulo *ormado pelas issetri?es de 8 e I reto.


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+-. (U*rs ) Considere as seguintes a3rma=es sore um 4uadril5tero

con0eQo.

X Se as diagonais se interceptam em seus respecti0os pontos

mdios% ento o 4uadril5tero um retngulo.

XX Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus

respecti0os pontos mdios% ento o 4uadril5tero um losango.

XXX Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e so

congruentes% ento o 4uadril5tero um 4uadrado.

>uais esto corretas

a) Apenas XX ) Apenas XXX c) Apenas X e XX d) Apenas X e XXX

e) X% XX e XXX

+$. (Un ) 2a 3gura adiante% ABCD um 4uadrado de lado de

comprimento igual a 1% e os arcos 4ue limitam a regio somreada X

so arcos de circun*erncias centradas nos 0rtices do 4uadrado.

Zepresentando por Q a distncia do ponto 6 ao lado AD% julgue os

itens a seguir.

(1) Q ! 1 (;,@&)

(&) < comprimento do arco de cMrculo /B igual a \@1&

(,) < comprimento do segmento D6 igual a ;(&;,)

(+) A 5rea da regio X igual a (\@,)H(-@+)(;,).


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+K. (Unirio )

2o cuo anterior% cada aresta mede $cm.


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+N. (7uccamp) 2a 3gura a seguir temse representado o losango

ABCD% cuja diagonal menor mede +cm.

A medida do lado desse losango% em centMmetros%

a) $;, ) $ c) +;, d) + e) &;,

+F. (7ucrio ) ABCD uma paralelogramo% ' o ponto mdio do lado

CD% e P o ponto de interseco de A' com BD. < 0alor da ra?o

DP@BD :

a) [ . ) 1@,. c) &@-. d) 1@+. e) &@K.

-J. (7ucrio ) A 5rea m5Qima de um paralelogramo com lados a% % a%

:

a) a H . ) & a. c) a. d) a H .

e) a@.

-1. (/u0est) Um trap?io retngulo tem ases - e & e altura +. os pontos mdios de seus

lados como mostra a 3gura adiante.

7 so congruentes pois

'% 2% 7 e > so os pontos mdios dos lados do 4uadrado ABCD. Vogo

os segmentos >'% '2% 27 e 7> so congruentes. Cada ngulo agudo

desses tringulos mede +-9 e% conse4uentemente os ngulos internos

do 4uadril5tero '27> so ngulos retos.

Das considera=es anteriores segue 4ue '27> um 4uadrado.

) Sendo A' ! A> ! a% temos '> ! a;&.

Do enunciado (a;&) ! K& portanto% a! $.

Vogo o lado do 4uadrado maior mede 1& cm.

+,. `D

++. a) ,J9

) Sendo a medida% em graus de um dos ngulos *ormados pelas

issetri?es C6 e D6 dos ngulos 8 e I% no tringulo 6CD% de acordo com


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o teorema do ngulo eQterno% temse:

! 8@& H I@& ! (8HI)@& !1NJ9@&

!FJ9 CD ngulo reto.

+-. À

+$. O / O /

+K. `C

+N. `D

+F. `B

-J. `C

-1. `D

-&. À

-,. `6

-+. `C

--. `C

-$. À

-K. `B

-N. `6

-F. a) Saendo 4ue os ngulos opostos de um 4uadril5tero inscrito


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so suplementares% temos:

BAC H BDC ! 1NJ9.

) 1 Soluo

7ela Vei dos Senos% no tringulo BAC% temos:

BC@sen (BAC) ! &Z BC ! &Z sen (BAC).

& Soluo

Como BD ! &Z% o tringulo BCD retngulo em C (propriedade do

ngulo inscrito). Vogo%

sen (BDC) ! BC@BD

sen (1NJ9 BAC) ! BC@&Z

BC ! &Z sen (BAC).

c.4.d.

$J. `A

$1. `A

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