Matemática

–FatoraçãoFatoração

7ª Série

Unidade Temática:

Produtos Notáveis

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Quadrado da Soma de dois termos: bb

aa

bbaa

2)( ba +

2b

2a

ba.

ba.

22 ..2 bbaa ++Soma das Áreas =

)).(( baba ++=

Quadrado da diferença de dois

termos:

bb

aa

aa

2)( ba −

2)( ba −

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

bb

Quadrado da diferença de dois termos.

a - ba - b

a - ba - b

2)( ba −

2)( ba −

22 ..2 bbaa +−

Calculando a área que sobrou teremos:

)).(( baba −−=

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Diferença de quadrados:

22 ba −

aa

aa bb2a

2b

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

bb

Após a subtração da maior área pela menor área, marcamos com uma diagonal separando a área restante dividindo-a em duas partes, que são dois trapézios.

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Após separarmos as áreas, registramos algebricamente as partes que sobraram (lados do trapézio).

bb

aa

aa

bb

a - ba - b

a - ba - b

Diferença de quadrados:

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

ba.+ba.−

Agora se juntarmos os trapézios

formaremos um retângulo de lado (a + b) e (a - b) e se calcularmos a sua

área vamos encontrar (a2 - b2).

a + ba + b

a -

ba

- b

)).(( baba −+ 2a= = 22 ba −

bb

2b−

22 ba −

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

aa

bb

bbaaaa

bb

Considere um cubo de aresta “a + b”, como o da figura ao lado.

O volume de um cubo de arestas ℓ é ℓ3, então o volume do cubo representado pela figura é (a+b)3.

O Cubo da soma de dois termos:

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:

Um cubo de aresta “a”.Volume: a3.

aa

aaa3

aa

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Três paralelepípedos que têm arestas a, a e b. Cada paralelepípedo tem volume a2b. O volume dos três paralelepípedos é 3a2b.

bb

bb

aa22bbaa

aa22bb

aa22 bb

aa

aa

aa

bb

aa

aa

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Três paralelepípedos que têm arestas a, b e b. Cada paralelepípedo tem volume ab2. O volume dos três paralelepípedos é 3ab2.

abab22

abab22

bb

bb

aa

bb

aa

aabb

bb

abab22

bb

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Um cubo de aresta “b”.Volume: b3.b3bb

bbbb

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

aa22 bb

aa22bb

a3

Somando todos esses volumes temos:

abab22

3a 3b+ba23+ 23ab+

Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes,

temos:

32233 33)( babbaaba +++=+

aa22bb

abab22

abab22

b3

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:

=++=+ 23 )(.)()( bababa

=+++= )2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva:

3a 3b+ba2+ 22ab+ba22+ 2ab+

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Portanto:

32233 33)( babbaaba +++=+

1º 1º

TermoTermo

2º Termo2º Termo

Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo.

Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º termo).º termo).

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo: =−−=− 23 )(.)()( bababa

=+−−= )2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva:

3a 3b−ba2− 22ab+ba22− 2ab+

O Cubo da diferença de dois termos:

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Portanto:

32233 33)( babbaaba −+−=−

1º 1º

TermoTermo

2º Termo2º Termo

Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo.

Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º termo).º termo).

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

Hora da Hora da revisão:revisão:

Diferença de quadrados:

Quadrado da soma de dois termos:

Quadrado da diferença de dois termos:

2)( ba + 22 ..2 bbaa ++2)( ba − 22 ..2 bbaa +−

)).(( baba −+

=22 ba −

=

=Cubo da soma de dois termos:

Cubo da diferença de dois termos:32233 33)( babbaaba −+−=−

32233 33)( babbaaba +++=+

MatemáticaProdutos Notáveis:Produtos Notáveis:

=).( axx + 2x

Fator Comum

Fatoração:

xx

aaxx

2x xa.

+ xa.

Calculando-se a Área:

Matemática

Fator Comum

=)2.(2 +aa 2.2 a

2a2a

44aa

22aa.4

+ a.4

aa

Colocando o fator em evidência

teremos:

Fazendo o fator comum entre as

áreas encontraremos :2a

Fatoração:Matemática

– por agrupamento:por agrupamento:

amam

bb

aa

mm nn

)).(( nmba ++ ma.= na. nb.mb.+ + +

bmbm

anan

bnbn

Fatoração:Matemática

Fazendo o fator comum entre os Fazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao início. termos apresentados, volta-se ao início.

)).(( nmba ++

=ma. na.+ + nb.mb. + ).( nma + ).( nmb ++

=

Aplicando o fator comum duplamente:Aplicando o fator comum duplamente:

– por agrupamento:por agrupamento:Fatoração:Matemática

CréditosCréditosColégio Santista

Matemática- Prof . Marcos

Adaptado por Eliete Gomes Torquato Gonzaga