A Base da Geometria

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Introdução

Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por

isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de

polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um

conjunto de identidades de grande aplicação.

Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer,

apresentamos a seguir os produtos notáveis.

O quadrado da soma de dois termos

(a + b)2 = (a + b).(a + b)

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Daí, concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual

ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto o

primeiro com o segundo termo mais o quadrado do segundo

termo

Álgebra - Produtos Notáveis

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Veja alguns exemplos:

(2x +9)2 = (2x)2 + 2.(2x).(9) + 92 = 4x2 + 36x + 81

(x +3x2)2 = (x)2 + 2.(x).(3x2) + (3x2)2 = x2 + 6x3 + 9x4

O quadrado da diferença de dois termos

(a – b)2 = (a –b).(a – b)

(a – b)2 = a2 – ab + ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Daí, concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual

ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto o

primeiro com o segundo termo mais o quadrado do segundo

termo

Veja alguns exemplos:

(3a – ab)2 = (3a)2 – 2.(3a).(ab) + (ab)2 = 9a2 + 6a2b + a2b2

𝑥 −1

𝑥 2

= 𝑥2 − 2. 𝑥.1

𝑥+

1

𝑥 2

= 𝑥2 − 2 +1

𝑥2

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O produto da soma pela diferença de dois termos

(x + y).(x – y) = x2 – xy + xy – y2

(x + y).(x – y) = x2 – y2

Daí, concluímos que o produto da soma pela diferença de dois

termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado

do segundo termo.

Veja alguns exemplos:

(2a – 3b).(2a + 3b) = (2a)2 – (3b)2 = 4a2 – 9b2

(ab2 + a2b).(a2b – ab2) = (a2b + ab2) .(a2b – ab2) = (a2b )2 – (ab2)2 =

a4b2 – a2b4

O produto da forma (x+p).(x+q)

Sendo dois números reais p e q temos:

(x + p).(x + q) = x2 + px + qx + pq

(x + p).(x + q) = x2 + (p + q)x + pq

fazendo S = p + q (Soma dos números p e q) e

P = pq (Produto dos números p e q), teremos:

(x + p).(x + q) = x2 + Sx + P

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Veja alguns exemplos:

(x + 3).(x +4) = x2 + (3 + 4)x + 3.4 = x2 + 7x +12

(x – 3).(x +6) = x2 + (– 3 + 6)x +(– 3).6 = x2 – 3x – 18

O Cubo da soma de dois termos

(x + y)3 = (x + y).(x + y)2

(x + y)3 = (x + y).(x2 + 2xy + y2)

(x + y)3 = x3 +2x2y +xy2 + x2y + 2xy2 + y3

(x + y)3 = x3 +3x2y + 3xy2 + y3

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro

termo mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo

segundo termo mais três vezes o produto do primeiro com o

quadrado o segundo termo mais o cubo do segundo termo.

Veja o exemplo:

(2a + b)3 = (2a)3 + 3.(2a)2.b +3.(2a).b2 + b3 = 8a3+ 12a2b + 6ab2 +b3

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O cubo da diferença de dois termos

(x – y)3 = (x – y).(x – y)2

(x –y)3 = (x – y).(x2 – 2xy + y2)

(x – y)3 = x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3

(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro

termo menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo

segundo termo mais três vezes o produto do primeiro com o

quadrado o segundo termo menos o cubo do segundo termo.

Veja o exemplo:

(a – 3b)3 = (a)3 – 3.(a)2.3b +3.(a).(3b)2 – b3 = a3 – 9a2b + 27ab2 –

27b3

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