Produtos Notáveis

- 7 a2 b

Coeficiente numérico: - 7

Variável ou parte literal: a2 b

A expressão algébrica – 7a2b é formada por um termo, ou seja, um monômio.

Produtos Notáveis & Expressões AlgébricasCelso do Rosário Brasil Gonçalves

Expressões algébricas

Expressões matemáticas formadas por letras ou número e letras são chamadas

de expressões algébricas.

Por exemplo: – 7a2b

Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal são chamados

monômios ou termos semelhantes. Por exemplo:

a. – 8a e 12a

b. 3xy2 e

57

xy 2

c. – a2b3, 9a2b3 e 11 a2b3

Uma expressão algébrica formada por um monômio ou uma soma de monômios

chama-se polinômio.

Valor Numérico

Valor numérico de uma expressão é o número obtido quando se substituem as

variáveis por números e se efetuam as operações indicadas.

Exercício resolvido:

1. Qual é o valor numérico da expressão x2 – 5x + 6 para x = -3?

(-3)2 – 5.(-3) + 6

9 + 15 + 6

30

2.1. Operações com os polinômios.

1


2.1.1. Adição e Subtração de polinômios.

Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes. Quando estamos

adicionando ou subtraindo os termos semelhantes de uma expressão, dissemos que

estamos simplificando ou reduzindo os termos semelhantes. Para isso, repete-se a

parte literal e opera-se com os coeficientes.

Exercício resolvido:

a. 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²

b. 3x + 7x – x – 10x = - x

c. (x2 – 5x + 6) – (3x2 + x – 1) = x2 – 5x + 6 - 3x2 - x + 1

= - 2x2 – 6x + 7

2.1.2. Multiplicação de polinômios.

Multiplicam-se os coeficientes e, a seguir, multiplicam-se as partes literais. Para

a multiplicação das partes literais, usamos a propriedade da potência:

an . am = an + m

Exercícios resolvidos:

a. ( - 3a²y) . ( + 2ay) = - 6a³y²

b. 2x . ( 5x + 4) = 10x2 + 8x

c. (2x + 1).(4x - 3) = 8x2 - 6x + 4x – 3 = 8x2 – 2x - 3

2.1.3. Divisão de polinômios.

1º Caso: Divisão de monômios. Divide-se o coeficiente numérico e a parte

literal correspondentes. Para dividir as partes literais, usamos a propriedade da

potência:

an : am = an – m (com a ≠ 0)

2

Usamos aqui a

propriedade distributiva



a. (+6x3 ) : (- 2x) = - 3x2

b. ( - 8 a4b3c) : ( - 12 a2b2 c) =

−8−12 a2b =

23 a2b

c. (+ 42a³bx4) : (+ 7ax²) = 6a²bx²

Ao dividirmos um monômio por outro, o quociente obtido nem sempre é um

novo monômio. Veja:

(- 6x) : 2x2 =

−6x

2x2=−3

x

14ay2

4a2 y=7y

2a

−3m5 p2

−3mp5=m4

p3

Esses resultados são expressões fracionárias chamadas de frações algébricas.

2º Caso: Divisão de polinômio por monômio:

Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.


a. (6x2 + 8x) : (- 2x) = - 3x – 4

b. (9a2b2 – ab3 + 6a3b5) : 3ab2 = 3a -

13 b + 2a2b3

3º Caso: Divisão de polinômio por polinômio:


a. (2x2 – 5x + 8) : (x – 1) = 2x – 3 e resto: 5b. (9x2 – 36) : (3x +6) = 3x – 6a) b)

3

: 4

- 2x2 + 2x

0 - 3x + 8

+ 3x – 3

0 + 5

2x2 – 5x + 8 x – 1 2x - 3

9x2 + 0x - 36 3x +6 3x - 6

- 9x2 - 18x

0 - 18x - 36

+ 18x + 36

0

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

1º Termo

2º Termo

Quadrado do primeiro termo.

+ o dobro do produto do 1º pelo 2º termo.

+ quadrado do segundo termo


2.2. Produtos notáveis

2.2.1. Quadrado da soma de dois termos:

Podemos dizer que:

“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas

vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”


a. (2 + x)² = 2² + 2 . 2.x + x² = 4 + 4x + x²

b. (7x + 2y)2 = 49x2 + 28xy + 4y2

2.2.2. Quadrado da diferença de dois termos:

Podemos dizer que:

“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas

vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”

4

(a - b)² = a² - 2ab + b²



a. (x – 3) = x² + 2 . x . (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9

b. (7x - 2y)2 = 49x2 - 28xy + 4y2

2.2.3. Produto da soma pela diferença de dois termos:

Podemos dizer que:

“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro

menos o quadrado do segundo.”


a. (1 - √3 ) . (1 + √3 ) = 1² - (√3 )² = 1 – 3 = - 2

b. (7x + 2y) . (7x - 2y) = 49x2 - 4y2

Resumo sobre Produtos Notáveis

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis Exemplos(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9

(a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8

5

(a + b) . (a – b) = a² - b²


ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) Desenvolva:a) (3x+y)2

(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

b) ((1/2)+x2)2

((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4

c) ((2x/3)+4y3)2

((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

d) (2x+3y)3

(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

e) (x4+(1/x2))3

(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2

2) Efetue as multiplicações:a) (x-2)(x-3)(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

b) (x+5)(x-4)(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20

3) Simplifique as expressões:a) (x+y)2–x2-y2

(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29

c) (2x-y)2-4x(x-y)(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2

6


2.3. Fatoração

Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto.

Fator comum.

1. ax + bx = x . ( ax

x+ bx

x ) = x(a + b)

Na expressão fatorada, x é o fator comum colocado em evidência.

2. 4c – 18 = 2 . ( 4 c

2−18

2 ) = 2(2c – 9)

Na expressão fatorada, 2 é o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos 4

e 18, logo é o fator comum colocado em evidência.

3. 7ax3 + x2 = x2 . ( 7ax 3

x2+ x2

x2 )=x2(7ax + 1)

Na expressão fatorada, x2 é a parte literal de menor grau, logo é o fator comum

colocado em evidência.

Podemos ter as três situações em uma única expressão. Veja:

4. 8a5b + 12a3 = 4a3(2a2b + 3)

5. 4ax² + 8a²x³ + 2a³x = 2ax (2x + 4ax² + a² )

Fatoração por agrupamento.

1. ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)

= (x + y)(a + b)

2. 2mx – 5ny – 2nx + 5my = -n(5y + 2x) + m(2x + 5y)

= (5y + 2x)(m – n)

7

1. a2 – 9 = (a – 3)(a + 3)

2a 9

1. x2 + 20 x + 100 = (x + 10)2

xx 2 1002.x.10 = 20x

perfeito

Sinal do perfeito


Na expressão fatorada, os quatro termos não apresentam um fator comum.

Logo agrupamos os termos de dois em dois, onde a é o fator comum do primeiro

grupo e b é o fator comum do segundo grupo. E fatoramos novamente.

Diferença entre dois quadrados.

2. 16m2 – 25n4 = (4m – 5n2)(4m + 5n2)

Trinômio Quadrado Perfeito.

2. 9x2 – 48xy + 64y2 = (3x – 8y)2

2.4. Frações Algébricas

Uma fração algébrica corresponde ao quociente de duas expressões

algébricas. Observe:

xy

2 x+1y−4

9 a2−7a+1

8


O conjunto dos números reais para os quais o denominador de uma fração

algébrica é diferente de zero é denominado domínio ou campo de existência da

fração.

Assim, para a fração

x2+ y2

x−3 , o campo de existência é qualquer número real

diferente de 3, já que a fração não tem nenhum significado quando x = 3, pois anula o

seu denominador.

Dada uma fração algébrica, vamos considerar que sempre estão excluídos os

números reais que, colocados no lugar das letras, anulam o seu denominador. Logo:

A fração

7x , devemos ter x ≠ 0.

A fração

x3+4x2−9 , devemos ter x ≠ 3 e x ≠ - 3.

2.4.1. Simplificação de frações Algébricas.


1.

24x4 y3 z18x2 y4

=4x2 z3y

2.

x2+ x2x+2

=x ( x+1 )2( x+1)

= x2

3.

a2−b2

a2−2ab+b2=

(a+b )(a−b)(a−b)2

= a+ba−b

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) Simplifique as expressões algébricas abaixo:

a) (2x² - 3x + 1) – [3x² - (2x + 3)] (resp. –x² - x + 4)

b) 5 a4−{2 a3+[3a4−2 (2 a2−a3 ) ]+a} (resp. 2 a4−3 a3+2a2−a+2¿

9


c) (0,5+114 ) x3−2

3x2−1

34

x3+(2−113 ) x2 (resp. 0)

02) Se 3 (a + b) = 3ª + 3 (todo “a” pertence ao conjunto dos números Reais), então o valor de “b” é:

a) zero b) 1 c) -1 d) 3 e) 4

03) A expressão a² + 2ab + b², para a = 1 e b = -2, vale:

a) 2 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2

04) Sendo A = 4 a ³+5 a ² b−2ab ² e B = 2a²b + 3ab², calcule AxB

(resp. 8 a5b+22 a4 b ²+11 a ³ b ³−6 a2b4)

05) Resolva os seguintes produtos notáveis:

a) (a + b + c)² b) (a + b – c)² c) (a + b).(a + b) d) (x + a).(x – a)

e) (a – b).(a² + ab + b²) f) (23

a2 x+ 34

a x2) ² g) (15

a ²−1¿ ² h) (1−a2

¿ ³

06) Sendo X = 3 x4−12 x2+5x−10 e Y = x – 2, calcule o valor de XY

.

07) Simplifique as frações algébricas abaixo:

a) a ²−2 a+1

a ²−1 b)

4 x ²−8 xyx ²−4 xy+4 y ²

c) a ²+aba ²−ab

d) (a+b )2−(a2−b2)3ax ³+3bx ³

e)

2 ax ²−4 axy+2 ay ²a ² x ²−a ² y ²

f) 35+5 m+7 n+mn

50+10 n g)

2ax+by+bx+2ayax−2 bx+ay−2 by

h) 15 x2−10 xy+3 xz−2 yz

25 x2+10 xz+z2

Simplifique as frações algébricas:

a)

x2−1x2+2 x+1

= b)

x2+3 x−10x2+ x−6

= c)

x2−4 x+4x2−4

=

d)

x2−5x3 x2−18 x+15

= e)

x2−8 x+152 x2−4 x−6

= f)

−x2+7 x−12x2−8 x+16

=

08) Fatore os trinômios:

a) x2 – 6x + 8 = b) y2 – 2y – 8 = c) x2 + 7x + 6 = d) 3x2 – 12x + 9 =

10

a + b

a


e) 4y2 – 3y – 10 = f) 9x2 – 12x + 4 =

Exercícios complementares

1) Ache o valor numérico da expressão 4x + 2y –3 para x = 5 e y = -2.

2) A área do trapézio da figura é dada pela fórmula

A=(b1+b2 ).h

2 , em que b1 e b2 representam suas

bases e h sua altura..

b2

b1

h

Determine a área do trapézio, sendo b1 = 12 cm, b2 = 8 cm e h = 3,5 cm.

3) Escreva a expressão algébrica que representa a área da figura.

4) Calcule o valor numérico de 9x3 – x2 +

13 para x =

−13 .

5) Se a expressão algébrica a3 representa o volume de um cubo de aresta a = 8 cm,

qual é o volume desse cubo?

6) Encontre o valor numérico da expressão

34

(2 a+b+c ) para a = 9, b = 12 e c = - 12.

7) Ache a expressão algébrica que representa a área do retângulo.

11

5x + 4

3x - 1

x + 3

x + 2

x + 1


8) Que polinômio representa o volume do paralelepípedo?

9) calcule o valor numérico para x4 – 8x3 + x2 – x, para:

a) x = 3 b) x = -2

10) Reduza os termos semelhantes:

a) (4a – 7) + (-2a + 9) =

b) (13x – 1) + (2x – 1) =

c) (2x2 – 3x – 2) + (2x2 – 5x + 2) =

d) (-4y2 + 5y – 3) + (4y2 + 3) =

e) (8y3 – 6y2 + 16y – 1) + ( - 8y3 – 6y2 + 16y – 1) =

f) (4y – 2) – (2y + 3) + ( - 2y + 4) =

g) (b2 – 3b + 2) – (- b2 + 3b – 2) – (2b2 – 4b + 1) =

h) (4x – 2) – (3x2 + 7x – 2) + ( - x2 + 1) =

i) (x3 – y3) + (2x3 – 4x2y + xy2) – (x3 – 8) =

11) Efetue as multiplicações:

a) 3x2 . 4x3 =

b) -2a4 . 5a =

c) 6pq2 . ( - 2p³q² ) =

d) –ab . ( - a2b3) =

e) 3(2x2 – 5x + 1) =

f) -4(a3 – a2 + 2a – 3) =

g) 2x2(3x2 – 4x + 5) =

h) – a(a3 – a2 – 2) =

12


i)

12

x2 y (2x3 – xy + 4y2) =

j) (x2 – 5x + 6)(x + 3) =

l) (2x + 3)(x – 2)(4x – 1) =

m) (2x + 1)(4x + 3) =

n) (2y – 6)(3y + 5) =

12) Calcule as divisões:

a) x7 : x2 = e)

b

−2 b6=

b) y4 : y2 = f)

5 x3 y10

10 xy7=

c) 4n4 : ( - n) = g)

−9 n4 p3

27 n4 p4=

d) - a6 : (- a10 )= h)

4 a3 b5

8 b5 a3=

13) Efetue as divisões:

a) (16x3 – 4x2 + 8x) : ( - 4x) =

b) (m4 – 2m3 + m2) : ( - m) =

c) (am – a2m + a3m) : (+ am) =

d) (6a4b2 – 9a3b + ab) : ab =

e) (20a3 – 15a2 + 30a) : 5a =

f) (7m8 – 14m6 + 28m5) : 7m4 =

14) Simplifique

(2 x+8)( x3−6 x2)2 x2

.

15) Efetue [(y2 – 2y + 4)(y + 2) + (y2 + 2y + 4)(y – 2)] : y2.

16) Calcule:

a) (x2 – 7x + 10) : (x – 2) =

b) (2y2 – 3y – 2) : (y – 2) =

c) (2n2 – 5n + 7) : (n – 3) =

d) (10a2 – 3a – 7) : (a – 1) =

e) (x2 – 81) : (x + 9) =

13


f) (81 – 18y + y2) : (- y + 9) =

g) (k3 – 3k2 + 3k – 2) : (k – 1) =

h) (8b3 + 12b2 + 6b + 1) : (2b + 1) =

17) Determine

x3−6 x2+12 x−8x2−4 x+4 .

18) Efetue:

a) (x + y)2 =

b) (a + 3)2 =

c) (5x + 2)2 =

d) (-3 + 4x)2 =

e) (2x + y)2 =

f) (5a + 2b)2 =

g) (3a + 4b)2 =

19) Fatore as expressões algébricas:

a) 5x + 5y = b) ba – bc = c) 7a + 7b – 7c = d) 8x – 10y = e) 27m + 3n =

f)

14

x+ 14

y= g)

25

b − 83

bx= h)

65

x+1215

y= i) 24x2 – 8x3 =

j) a3m4 – 3a2m3 +

12 a2m = l) 5x3 + 5ax6 = m) 12a3b4 – 16b3a4 =

n) 14x2y – 21x3z = o) 8a5b + 12a3 =

20) Fatore a expressão 2ax + 2bx + ay + by.

21) Fatore os polinômios:

a) 4x2 + 36x + 81 =

b) 16 – 40x + 25x2 =

c) 1 – 20y + 100y2 =

d) 121x2 – 25 =

e) 64x2 – 36y2 =

14

h) (x - 5)2 =

i) (2a - 7)2 =

j) (6x – 2y)2 =

l) (11x - y)2 =

m) (a - 3)2 =


f)

4 a2

25− b2

49=

g) 49x2 + 42xy + 9y2 =

h) m2n2 – 2mn + 1 =

i)

x2

4−9 y2

25=

22) Fatore:

a) 3x2 + 30x + 75 =

b) -3ax2 + 18ax – 27a =

c)

−5 y2 m4

+45 x2 m16 =

d) 1000 – 10x2 =

e) 3x2 – 27 =

23) Qual é a expressão fatorada de 5m + 5n – m2 – 2mn – n2?

24) Simplifique as frações algébricas:

a)

x2+6 x+92 x+6 =

b)

36 x2−9 y2

36 x2+36 xy+9 y2=

c)

5 x−15

x2−9=

d)

14 m2+28 mn+14 n2

7 m2−7 n2=

e)

−12 x2 y6 xy−8 y+2 y2

=

f)

3 a2−3a+1

=

g)

9 x2−19 x−3

=

15


h)

ab−4b

3 b2=

i)

3ax+6a

6 ax2−24 a=

j)

3 x3−12 x6 x+12 =

l)

8 d3−8 dm2

5 d3−5 dm2=

25) Qual é a forma mais simples de escrever a fração

a3−a2

4 a2−4 a ?

26) Simplifique

x2−a2

x2−2 ax+a2.

27) Qual é o domínio da fração:

a)

3 xx−8

b)

5 x+14 x−1

c)

a+1

−4+a2

28) Efetue:

a)

9axy

+ 2 axy

+ 3axy

=

b)

y−1a+3

− y+5a+3

=

c)

25 x

+ 34 y

− 12 x

=

d)

12 a

+5 a=

29) Obtenha o valor da expressão (√3−2 )2+(2√3+1)2.

30) Efetue as operações e simplifique se possível:

16


a) √ 9 x3

x− y.

xx− y =

b) √ 4 xx+ y

.xy 2

x+ y=

c)

x+3x2−x

:x2−9

x2−3 x=

d)

x2

xy− y2.

x2− y2

x2+xy=

e)

ab−b

aab+

ba+2

=

f)

x2−10 x+254 x+8

:x2−25

x2+7 x+10=

g)

3 a−3 b+ax−bxa3+a−a2−1

.a2+1a−b

=

17

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