Revisão de polinômios

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  • 1. Reviso de Polinmios Definio; Uma funo polinomial ou simplesmentepolinmio, toda funo definida pela relaoP(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.Onde:an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 so nmeros reaischamados coeficientes.n INx C (nos complexos) a varivel.

2. Funo Polinomial Polinmio Identicamente nulo; Operaes com polinmios; 3. Grau de um polinmio mximo que ele Grau de um polinmio o expoentepossui. Se o coeficiente an 0, ento o expoente mximo n dito grau do polinmio e indicamos gr(P)=n.Exemplos: P(x)=5 ou P(x)=5.x0 um polinmio constante, ouseja, gr(P)=0. P(x)=3x+5 um polinmio do 1 grau, isto , gr(P)=1. P(x)=4x5+7x4 um polinmio do 5 grau, ouseja, gr(P)=5. Obs.: Se P(x)=0, no se define o grau do polinmio. 4. Valor numrico de um polinmio P(x) para x=a, o nmero O valor numrico de um polinmioque se obtm substituindo x por a e efetuando todas asoperaes indicadas pela relao que define o polinmio.Exemplo: Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numrico de P(x), para x=2, : P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14 Raiz de um Polinmio Observao: Se P(a)=0, o nmero a chamado raiz ou zero deP(x). Por exemplo, no polinmio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 raiz ou zero desse polinmio. 5. Igualdade de polinmios Dizemos que dois polinmios A(x) e B(x) so iguais ou idnticos(e indicamos A(x) B(x)) quando assumem valores numricosiguais para qualquer valor comum atribudo varivel x. Acondio para que dois polinmios sejam iguais ou idnticos que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). Resoluo: Eliminando os parnteses e somando os termossemelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)Agora igualamos os coeficientes correspondentes: 6. ab 1ab c 2ac 1Substituindo a 1 equao na 2:1+c = -2 => c=-3.Colocando esse valor de c na 3 equao, temos:a-3=1 => a=4.Colocando esse valor de a na 1 equao, temos:4+b=1 => b=-3.Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.Obs.: um polinmio dito identicamente nulo setem todos os seus coeficientes nulos. 7. Diviso de Polinmios Mtodo da Chave; Sejam dois polinmios P(x) e D(x), com D(x) no nulo. Efetuar a diviso de P por D determinar dois polinmios Q(x) e R(x), que satisfaam as duas condies abaixo:1) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)2) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 8. P ( x ) D( x )Nessa diviso:R( x) Q( x) P(x) o dividendo. D(x) o divisor. Q(x) o quociente. R(x) o resto da diviso. Obs.: Quando temos R(x)=0 dizemos que a diviso exata, ou seja, P(x) divisvel por D(x) ou D(x) divisorde P(x).Se D(x) divisor de P(x) R(x)=0 9. Dispositivo de Briot-Ruffini Serve para efetuar a diviso de um polinmio P(x) por um binmio da forma (ax+b).Exemplo: Determinar o quociente e o resto da diviso do polinmio P(x)=3x3- 5x2+x-2 por (x-2). Resoluo: 10. RAIZ DO DIVISOR ES DE P(x) COEFICIENT 235 12 3.(2) 5 1.(2) 1 3.(2) 21 3 3 4 COEFICIENTES DO QUOCIENTEQ(x) RESTOObserve que o grau de Q(x) uma unidadeinferior ao de P(x), pois o divisor de grau 1.Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4. 11. Teorema do resto O resto da diviso de um polinmio P(x) pelobinmio ax+b igual a P(-b/a).Teorema de D Alembert Um polinmio P(x) divisvel pelo binmio ax+b seP(-b/a)=0 12. Equaes polinomiais ou algbricas 13. Teorema Fundamental da lgebra (TFA) Toda equao algbrica p(x) = 0 de grau n (n1) possui pelo menos uma raiz complexa (real ou no). 14. Decomposio em fatores de primeiro grau. 15. Vamos analisar dois casos:1 caso: O polinmio do 2 grau.De uma forma geral, o polinmio de 2 grau P(x)=ax2+bx+cque admite as razes r1 e r2 pode ser decomposto em fatoresdo 1 grau, da seguinte forma: ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2) Exemplos: Fatorar o polinmio P(x)=x2-4. Resoluo: Fazendo x2-4=0, obtemos as razes r1=2 e r2=-2. Logo: x2-4 = (x-2)(x+2). Fatorar o polinmio P(x)=x2-7x+10. Resoluo: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as razes r1=5 e r2=2. Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2). 16. Multiplicidade da raiz Se duas, trs ou mais raiz forem iguais, dizemos que so razes duplas, triplas, etc.Uma raiz r1 do polinmio P(x) dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) divisvel por (x-r1)2. 17. Relaes de Girard 18. Fim da Reviso