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Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Geometria no Plano e no Espaço I
2º Teste de avaliação
Grupo I
1. Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação:
(A) à bisectriz dos quadrantes ímpares (B) à recta de equação x 1=
(C) à bissectriz dos quadrantes pares (D) à recta de equação y 1=
2. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser
definido pela condição:
(A) x 2 y 1≤ ∧ ≤ − (B) x 1 y 2≤ − ∧ ≤
(C) x 2 y 1≤ ∨ ≤ − (D) x 1 y 2≥ − ∨ ≥
3. A equação x 3= representa:
(A) um ponto no plano e uma recta no espaço;
(B) uma recta quer no plano, quer no espaço;
(C) um ponto quer no plano, quer no espaço;
(D) uma recta no plano e um plano no espaço.
4. Considere o cubo com 4 cm de aresta representado no
referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição
x 4 z 4= ∧ = − é:
(A) o plano ABC (B) a recta BF
(C) a recta AB (D) a recta AD
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
• Não apresente cálculos ou justificações.
• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
x
y
z
G O
CD
FE
A B
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 2
5. A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi aplicado
um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir
que a cota de V é:
(A) 2 2 (B) 4 2 (C) 2 3 (D) 4 3
Grupo II
1. No referencial xOy da figura a unidade nos
dois eixos é a quadrícula.
1.1. Identifique as coordenadas dos pontos A,
C, D, E e I.
1.2. Identifique as equações das rectas que
contêm as fronteiras da região
sombreada e em seguida defina por uma
condição a região sombreada.
2. Num sólido constituído por três cubos,
geometricamente iguais, foram assinalados
seis pontos: A, B, C, D, E e F.
Considere o referencial o.m. Oxyz, em que
a unidade é igual à aresta dos cubos.
2.1. Indique as coordenadas dos pontos A,
B, C, D, E e F.
2.2. Escreva a equação do plano ACB
2.3. Defina por uma condição a recta AB.
2.4. Identifique o ponto simétrico de D em relação a O. Indique as suas coordenadas.
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exacto.
x
y
z
O
V
4
2
-2
-4
5 x
y
O
G H
FE
J I
A B
C
L K
D
x
y
zD
EO
BF
C
A
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 3
2.5. Desenhe na figura a secção produzida no sólido pelo plano OBA e calcule a sua área.
3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo truncado e foi obtido por truncatura de
um cubo de aresta nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que dividem em 3 partes
iguais cada uma das arestas do cubo original.
3.1. Que tipos de polígonos são as faces deste poliedro e
quantas há de cada tipo? O poliedro é regular?
Justifique.
3.2. Quanto medem as arestas do cubo truncado?
3.3. Determina a área de [DBJIHGFE]?
4. As rectas de equação y x= − e y 2= definem com uma recta paralela ao eixo das abcissas
um triângulo de área 32 cm2. Determine uma possível equação dessa recta. Verifique se a
solução que encontrou é a única.
Sugestão: Faça uma representação geométrica da situação.
FIM
Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4 Cotação 10 10 10 10 10 10 30 12 10 10 10 18 15 10 10 15
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 4
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Geometria no Plano e no Espaço I
2º Teste de avaliação – Proposta de resolução
Grupo I
1. (C) Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação à bissectriz dos quadrantes
pares
2. (C) Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser
definido pela condição x 2 y 1≤ ∨ ≤ −
3. (D) A equação x 3= representa uma recta no plano e um plano no
espaço.
4. (C) Consideremos o cubo com 4 cm de aresta representado no
referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição
x 4 z 4= ∧ = − é a recta AB
5. (A) A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi
aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro.
Podemos concluir que a cota de V é metade da diagonal de um quadrado
de lado 4 e por isso metade de 4 2 que é 2 2
Grupo II
1. No referencial xOy da figura a unidade nos dois eixos é a quadrícula.
1.1. As coordenadas dos pontos A, C, D, E e I são: ( )A 2, 4− − , ( )C 1, 2− − , ( )D 5, 2− , ( )E 5,2 e
( )I 7, 3−
1.2. As equações das rectas que contêm as fronteiras da região sombreada são:
• AL: x 2= − • BC: x 1= − • DK: x 5=
• LK: y 0= • CD: y 2= − • AB: y 4= −
x
y
z
G O
CD
FE
A B
x
y
z
O
V
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 5
Uma condição que define a zona é: ( ) ( )2 x 1 4 y 0 1 x 5 2 y 0− ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤ ∨ − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤
4
2
-2
-4
5 x
y
O
G H
FE
J I
A B
C
L K
D
2. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis
pontos: A, B, C, D, E e F.
Considere o referencial o.m. Oxyz, em que a
unidade é igual à aresta dos cubos.
2.1. As coordenadas dos pontos A, B, C, D, E
e F são ( )A 1, 2, 1− − , ( )B 1,0, 1− ,
( )C 1, 1,0− , ( )D 1,0,1− , ( )E 1,1,0− e
( )F 0, 2, 1− − .
2.2. Uma equação do plano ACB é x 1=
2.3. A recta AB e definida pela condição
x 1 z 1= ∧ = −
2.4. O ponto simétrico de D em relação a O é ( )B 1,0, 1−
2.5. Na figura está desenhada a secção produzida no sólido pelo plano OBA e a sua área é
três vezes a área de um rectângulo com 1 de largura e 2 de comprimento.
( )A 3 1 2 3 2= × =
3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo
truncado e foi obtido por truncatura de um cubo de aresta
nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que
dividem em 3 partes iguais cada uma das arestas do cubo
original.
x
y
zD
EO
BF
C
A
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 6
3.1. Os polígonos que são as faces deste poliedro são 6 octógonos irregulares e 8 triângulos
equiláteros.
3.2. As arestas do cubo truncado são de dois tipos: 12 iguais a BD 3= e 24 iguais a BJ 3 2=
porque são diagonais de quadrados de lado 3.
3.3. [DBJIHGFE] é um octógono contido dentro de um quadrado de lado 9 ao qual foram
tirados 4 triângulos rectângulos cujos catetos medem 3. Assim a área de [DBJIHGFE] é
3 3A 9 9 4 81 18 63
2×= × − × = − = .
Também podia considerar o octógono dividido em 2 trapézios iguais com base maior 9,
base menor 3 e altura 3 e um rectângulo com dimensões 3 e 9, pelo que a área de
[DBJIHGFE] é 9 3
A 9 3 2 3 27 36 632+= × + × × = + =
4. As rectas de equação y x= − e
y 2= definem com uma recta
paralela ao eixo das abcissas um
triângulo de área 32 cm2. Uma
possível equação dessa recta é
x 6= ou x 10= − porque para a
área de um triângulo rectângulo
ser 32 o produto das medidas dos
seus catetos é 64 e como neste
caso o triângulo é rectângulo
isósceles os dois catetos são
iguais pelo que cada um mede 8.
Assim adicionando e subtraído 8 à
abcissa de do ponto de
intersecção das duas rectas dadas
(A) obtemos os valores a que devemos igualar x para obter as equações das possíveis rectas
e que são as únicas. Há duas soluções como podíamos verificar utilizando as coordenadas
dos pontos assinalados na figura
( ) ( ) ( )2 2
2a 2 a 232 a 2 64 a 2 8 a 2 8 a 6 a 10
2
+ × += ⇔ + = ⇔ + = ∨ + = − ⇔ = ∨ = −
Donde poderíamos concluir serem as rectas de equação x 6= ou x 10= − as que definem
com as rectas de equação y x= − e y 2= um triângulo de área 32 cm2.
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5
8
8
8 8
A: (-2, 2)
C(a,-a)
A B (a,2)
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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Geometria no Plano e no Espaço I
2º Teste de avaliação – Critérios de correcção
Grupo I
1 2 3 4 5
C C D C A
Grupo II
1. ………………………………………………………………………………………………….. 40
1.1. Calcular as coordenadas dos 5 pontos……………………………………….. 10
1.2. …………………………………………………………………………………….. 30
•••• Escrever uma equação de cada uma das 6 rectas...……………… 12
•••• Escrever a condição que define a zona.…………….……………… 18
2. …………………………………………………………………………………………………… 60
2.1. Calcular as coordenadas dos 6 pontos……………………………………….. 12
2.2. Escrever uma equação do plano ……………………………………………… 10
2.3. Escrever uma condição que defina a recta AC ……………………………… 10
2.4. …………………………………………………………………………………….. 10
•••• Indicar o ponto B ….…………………...………………………………..… 5
•••• Indicar as coordenadas do ponto B …..………………………..……...... 5
2.5. ……………………………………………………………………………………… 18
•••• Desenhar a secção ……………………………………………………….. 9
•••• Calcular a área da secção ……………………………………………….. 9
3. …………………………………………………………………………………………………… 35
3.1. …………………………………………..………………………………………….. 15
•••• Indicar que 8 faces são triângulos equiláteros ……………………..…… 4
•••• Indicar que 6 faces são octógonos irregulares …….………………….…. 4
•••• Dizer que o poliedro é irregular e justificar ………...……………...……… 7
3.2. ……………………………………………………………………………………….. 10
•••• Calcular a medida da aresta que é lado do triângulo …………………… 5
•••• Calcular a medida da aresta que é lado do octógono…………………… 5
3.3. ……………………………………………………………………………………….. 10
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 8
•••• Decompor o polígono ……………………………………………………… 2
•••• Calcular a área do quadrilátero …………………………………………… 2
•••• Calcular a área do triângulo ou do trapézio …..…………………………. 4
•••• Calcular a área do octógono ………………………………………………. 2
4. ……………………………………………………………………………………………… 15
•••• Desenhar a recta de equação y x= − ……………………………….……… 2
•••• Desenhar a recta de equação y 2= ………………………………………. 2
•••• Identificar as coordenadas dos vértices ……………….……….………… 2
•••• Identificar os comprimentos dos catetos ……...……….…………………. 2
•••• Escrever a equação ( ) ( )2 2a 2 a 2
322
+ × += …………………………… 3
•••• Resolver a equação …………………………………………………………. 2
•••• Dar a resposta justificando as duas soluções …………………………….. 3
Total ………………………………………………………………………………………………… 200
Recommended