Aula 8 métodos de levantamento de detalhes - avaliações de áreas(2)

1

Aula - Levantamentos Aula - Levantamentos Planimétricos - Métodos Planimétricos - Métodos

de levantamento de de levantamento de Pontos de Detalhes Pontos de Detalhes

2

MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS:MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS: - PrincipaisPrincipais: triangulação e método da poligonal para a planimetria, e nivelamento geométrico para a altimetria.

- SecundáriosSecundários: irradiação, coordenadas retangulares, decomposição em triângulos, ... para a planimetria, e nivelamento trigonométrico para a altimetria.

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

3

Para a topografia regular topografia regular deve-se utilizar métodosprincipais como base, e métodos secundários para os levantamentos dos detalhes.

Os métodos principais métodos principais permitem avaliar e corrigir os erros de medição (ajustamento de erros) através de recursos da geometria (ex: cálculo da poligonal).

Os métodos secundários métodos secundários não permitem avaliar os erros (ex:levantamentos de detalhes).

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODO DA IRRADIAÇÃOIRRADIAÇÃO

4

É utilizado quando se deseja determinar as coordenadas depontos de detalhes, a um sistema de referência, por meio da medição de uma distância e de uma direção (azimute).

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

onde: A = vértice de uma poligonal com coordenadas conhecidas. B = ponto de detalhe que se deseja determinar suas coordenadas.

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA IRRADIAÇÃOIRRADIAÇÃO

5

)(.)(.

ABABAB

ABABAB

AZsenDXXAZsenDX

)cos(.)cos(.

ABABAB

ABABAB

AZDYYAZDY

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

onde: A = vértice da poligonal B = ponto de detalhe que se deseja levantar

Levantamento do ponto de detalhe B:

a) Dados conhecidos, coordenadas do vértice A da poligonal: XA; YA;

b) Medir no campo o(s) ângulo(s) horizontal(is) para o cálculo do azimute do alinhamento “AZAB”;

c) Medir no campo a distância (DAB);

d) Determinar as coordenadas do ponto de detalhe B (XB; YB):

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODO DA ESTAÇÃO LIVREESTAÇÃO LIVRE

6

É utilizado quando é impossível estacionar o aparelho sobre um dos pontos de coordenadas conhecidas (vértices da poligonal “A” ou “B”), a partir do qual se pretende determinar as coordenadas de outro ponto (E).

Neste caso, estaciona o aparelho no ponto onde se deseja determinar as coordenadas (E), e em seguida efetua as visadas para dois pontos de coordenadas conhecidas (“A” e “B”).

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

onde: A e B = vértices de uma poligonal, com coordenadas conhecidas; E = ponto de detalhe que se deseja determinar suas coordenadas.

YB

YA

XA XB

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA ESTAÇÃO LIVREESTAÇÃO LIVRE

7

).(AB

EA

EAAB

DsenDarcsen

Dsen

Dsen

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

Levantamento do ponto de detalhe E:

a)Dados conhecidos, coordenadas dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e B (XB; YB);b) Estaciona o aparelho em “E” (onde se deseja determinar as coordenadas) e medir o ângulo “α”;c) Medir no campo a distância “DEA” (se o cálculo das coordenadas de E for pelo vértice A, ou “DBE” se o cálculo for por B);

d) Calcular o valor do ângulo “γ”:

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA ESTAÇÃO LIVREESTAÇÃO LIVRE

8

ABAE

o

AZAZ)(180

)cos(.)(.

AEAEAE

AEAEAE

AZDYYAZsenDXX

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

Levantamento do ponto de detalhe E (ex: canto do prédio):

e) Calcular o valor do ângulo “β” e oazimute AZAE:

onde, AZAB = azimute do lado AB da poligonal, que pode ser calculado por:

AB

ABAB YY

XXtgarcAZ .

f) Calcular as coordenadas do ponto de detalhe “E”, pelo vértice da poligonal “A”:  Formulas Gerais:

 X(i+1) = X(i) ± D(i, i+1). sen (Az (i, i+1))Y(i+1) = Y(i) ± D(i, i+1). cos (Az (i, i+1))

AZEA

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODO DA INTERSEÇÃOINTERSEÇÃO

9

É utilizado quando não se pode determinar a distância direta para um determinado ponto, onde se deseja determinar suas coordenadas. (ex: não se pode medir DAP ou DBP ) .

Contorna-se este problema, efetuando uma interseção de visadas, a partir de dois pontos de coordenadas conhecidas (ex: vértices da poligonal “A” e “B”),medindo-se os ângulos “α” e “β”.

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

XA

YA

XP

YP

dAP

XB

YBα β

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA INTERSEÇÃOINTERSEÇÃO

10

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

Levantamento do ponto de detalhe “P”:a)Dados conhecidos, coordenadas dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e B (XB; YB);b) Estaciona o aparelho no vértice “A” e mede o ângulo interno “α” para calcular o Az(AP):Az(AP) = Az(AB)(Vante) – α

c) Estaciona o aparelho no vértice “B” e mede o ângulo interno “β”, para calcular o Az(BP):Az(BP) = AZ(BA)(Ré) + β

α β

XA

YB

YA

XB

AZRé(BA)

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA INTERSEÇÃOINTERSEÇÃO

11

)().(,

)().()()(

)(.)(.

BPBPBP

APAPAP

APBP

BPBBAPAAP

AZtgYYXXou

AZtgYYXXAZtgAZtg

AZtgYXAZtgYXY

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

Levantamento do ponto de detalhe “P”(ex: poste):

c) Determinar as coordenadas do ponto de detalhe: P (XP; YP):

XP

YP

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODO DA BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO

12

É utilizado para determinar as

coordenadas de um ponto de

detalhe, tendo por base as

medições de duas distâncias,

desde de um ponto de coordenadas

desconhecidas (P), até os dois

pontos de coordenadas conhecidas

(ex: vértices da poligonal “A” e

“B”).

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

A

B

P

DAP

DBP

Y(N)

X(E)

αβ

AZAP

AZBP

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO

13

BPAB

APBPAB

APAB

BPAPAB

DDDDD

DDDDD

..2cos

..2cos

222

222

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

Levantamento do ponto de detalhe P:

a)Dados conhecidos, coordenadas dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e B (XB; YB); 

b) Medir no campo as distâncias “DAP” e “DBP”, para calcular os ângulos “α” e “β”: 

Obs: “DAB” é a distância do lado AB da poligonal, que pode ser calculada pelas suas coordenadas, ou medida em campo.

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO

14

BABP

ABAP

AZAZAZAZ

Azimutes :

11

11

:

BABP

ABAP

AZAZAZAZ

Azimutes

Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

Levantamento do ponto de detalhe P(ex: poste):

 c) Calcular os azimutes “AzAP” e “AzBP”, se o ponto levantado for o “P”:

Obs: Se o ponto levantado for o “P1”, os cálculos dos azimutes são:

AZV(AB) AZRé(AB)P1

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO

15

)cos(.)(.

APAPAP

APAPAP

AZDYYAZsenDXX

)cos(.)(.

BPBPBP

BPBPBP

AZDYYAZsenDXX

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Levantamento do ponto de detalhe P(ex: poste):d) Calcular as coordenadas do ponto dedetalhe “P”, a partir do vértice “A” da poligonal:

Pode-se, também, calcular as coordenadas do ponto de detalhe “P”, a partir do vértice “B” da poligonal:

ΔX = DAP.sen(AZAP)

XP

YP

XA

YA

16

Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas

Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia de Transportes

17

Um dos objetivos de um levantamento Um dos objetivos de um levantamento topográfico é a estimativa da área do topográfico é a estimativa da área do terreno com seus limites. terreno com seus limites.

Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasPlanas

18

A estimativa da área pode ser dada através de medições realizadas diretamente no terreno, ou através de medições gráficas sobre uma planta topográfica.

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19

As áreas que realmente interessam em todos os trabalhos topográficos são as da projeção horizontal, isto é, as denominadas base produtiva, visto que todas as construções apóiam-se em projeção horizontal.

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20

A área de um terreno é calculada para todos os fins legais e administrativos, segundo as projeções horizontais das linhas que a delimitam.

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21

Um terreno plano e um inclinado podem ter a mesma área legal e administrativa, mesmo que as suas áreas reais sejam distintas.

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22

Em Topografia a estimativa de uma área de uma porção do terreno pode ser obtida em função de uma planta que representa a sua projeção horizontal, ou então pelo método numérico, empregando-se os valores das coordenadas retangulares dos pontos limítrofes do terreno.

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23

Para se estimar uma área, pode-se utilizar diversos métodos.A escolha do método é função de alguns fatores tais como: • a precisão desejada; • a aplicação de medições diretas obtidas no terreno; • informações obtidas através de planta topográficas, etc..

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24

A área total do terreno é função da área da poligonal básica e das áreas extra-poligonais.

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25

Avaliação de áreas de figuras planas Avaliação de áreas de figuras planas faz parte deste estudo preliminar e faz parte deste estudo preliminar e tem como objetivo informar ao tem como objetivo informar ao estudante quais as áreas estudante quais as áreas aproximadas envolvidas por um aproximadas envolvidas por um determinado projetodeterminado projeto

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26

Método de Equivalências Gráficas Método de Equivalências Gráficas DecomposiçãoDecomposição

TrapéziosTrapézios GabaritoGabarito

Por FaixasPor Faixas QuadrículasQuadrículas

Método Mecânico ou EletrônicoMétodo Mecânico ou Eletrônico

Planímetro PolarPlanímetro Polar Balança de PrecisãoBalança de Precisão

Método AnalíticoMétodo Analítico GaussGauss

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27

Os principais métodos para determinar a área interna da poligonal, de uma figura plana são:

a) Decomposiçãob) Equivalências Gráficas

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28

Esse processoEsse processo consiste em decompor a consiste em decompor a poligonal topográfica em figuras poligonal topográfica em figuras geométricas conhecidas: retângulo, geométricas conhecidas: retângulo, triângulotriângulo, , trapéziotrapézio, etc, etc..

S AG h1

12

( . )

S BF h2

22

( . )

S BF h3

32

( . )

SCD FE

h4 42

( ).4321 SSSSS

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29

2

11

hAGS

2

22

hBFS

23

3

hBFS

44 2

hFECDS

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30

Método das faixas: divisão do terreno divisão do terreno em faixas de igual largura.em faixas de igual largura.

n

iibhS

1

h = largura da faixa;

n = número de faixas

b = comprimento da faixa

Método de Equivalências Gráficas

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31

Quadrículas: A área da figura é A área da figura é

função da área da função da área da quadrícula base (Squadrícula base (SQQ) e ) e do número de do número de quadrículas constantes quadrículas constantes no terreno (Qno terreno (Qnn).).

A precisão da área A precisão da área obtida por este método obtida por este método é tanto maior quanto é tanto maior quanto menor for a área da menor for a área da quadrícula.quadrícula.

nQ QsS

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Método de Equivalências Gráficas

32

Defini-se como área extra-poligonal como sendo a área definida entre um trecho reto (lado da poligonal) e a curva limite da área levantada.

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Cálculo de Áreas Extra-PoligonaisCálculo de Áreas Extra-Poligonais

Poligonalbásica

Limite do terreno

33

As áreas extra-poligonais podem ser internas e/ou externas à poligonal básica.

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais

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34

Dentre os processos analíticos, os mais usados são os que sub-dividem as áreas extra-poligonais em pequenos trapézios.

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais

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35

Y1 Y2 Y3 Y4 Yn

X1

X2X3

X4Xn

Y

X

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonaisAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas

36

Quando a área extra-poligonal apresenta grandes mudanças direcionais (grande sinuosidade), a figura deve ser decomposta em trapézios desiguais e suas áreas parciais serem avaliadas pela equação do trapézio para determinação da área.

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais

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37

Nos casos em que as áreas extra-poligonais não apresentarem grandes sinuosidades, é recomendável a aplicação de equações baseadas na divisão da figura em trapézios de intervalos regulares, empregando uma das três fórmulas clássicas: BEZOUT, PONCELET e SYMPSON.

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Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais

38

hbbhbbhbbhbbA nnt

22221433221

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonaisFórmula dos trapézios ou de Bezout: a área extrapoligonal deve ser dividida em um número de trapézios, de mesma altura h

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39

Fórmula dos trapézios ou de Bezout:

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonaisAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas

221(2/ bbhS

).2(2

:minRe

)2...22(2 1321

MEhS

dosu

bbbbbhS nn

onde,E = bases externasM =bases internas

40

Fórmula de Simpson: a área extrapoligonal deve ser subdividida em um número par de trapézios.

h h h h h

R

P

Q

N

M

F

KA V

PIEhS S 423

E = soma das medidas das ordenadas externas;

I = soma das medidas das ordenadas internas de ordem ímpar;

P = soma das medidas das ordenadas internas de ordem par;

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonaisAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas

41

Fórmula de Poncelet: considera-se um número par de trapézios com a mesma altura

32

A

1

C

4

B

765

E

D

hhhh

E1 P4P3E’2 E7E’6p5

hh

J

H

M

O

4

'2 EEPhS P

P = soma das bases de ordem par;

E = soma das bases extremas;

E’= soma da segunda base com a penúltima base;

Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais

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42

Quando as curvas que limitam a superfície forem simétricas, em relação às perpendiculares ao meio de suas respectivas cordas, podemos considerá-las como segmentos parabólicos e avaliar a área compreendida entre elas e as cordas:

Segmentos ParabólicosSegmentos Parabólicos

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43

c = cordac = cordaf = flecha tirada perpendicularmente ao f = flecha tirada perpendicularmente ao meio da corda meio da corda

f*cAt 32

Segmentos ParabólicosSegmentos Parabólicos

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C´

B

B´

A

A´

C

D´ F´E´

E

D

dddd

y1 y4y3y2 y6y5

d

F

44

Método é dito mecânico, ou eletrônico, quando, para a avaliação da área, utilizam-se aparelhos mecânicos ou eletrônicos.

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45

Planímetro Polar É um aparelho que consiste de duas

hastes articuladas, um pólo, um traçador, e um tambor

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46

A diferença do aparelho mecânico para o eletrônico está na parte integrante.

O aparelho mecânico, há necessidade de ler o número de voltas que o traçador deu ao percorrer o perímetro de uma determinada figura e, em função da escala da planta, calcular a área através de relação matemática

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47

O aparelho eletrônico, por sua vez, permite a entrada da escala da planta (através de digitação) e a escolha da unidade a ser trabalhada;

Ao terminar de percorrer a figura, este exibe, automaticamente, o valor da área num visor de LCD (cristal líquido)

Método Mecânico ou Eletrônico

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48

Planímetro digital utilizado para a Planímetro digital utilizado para a determinação da área de uma figura determinação da área de uma figura qualquer (Brandalize, 1999)qualquer (Brandalize, 1999)

Método Mecânico ou Eletrônico

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49

Processo:

Utilizado sempre em superfície plana; O pólo deve ser fixado dentro, ou fora, da

figura a medir, dependendo do seu tamanho; As hastes devem ser dispostas de maneira a

formar ângulo reto entre si, assim, é possível verificar se o traçador contornará a figura facilmente;

Escolhe-se um ponto de partida para as medições;

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50

O aparelho deve ser zerado neste ponto; Percorre-se o contorno da figura com o

traçador, no sentido horário, voltando ao ponto de partida;

Faz-se a leitura do tambor (aparelho mecânico), ou a leitura no visor (aparelho eletrônico);

Para a avaliação final da área, toma-se sempre a média de (no mínimo) três leituras com o planímetro;

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51

A estimativa da área gerada pelo conjunto de pontos definidores dos limites de um terreno, pode ser obtida a partir das coordenadas retangulares destes pontos.

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YA

XB

YB

YD

YCXD XAXC

Cálculos de Áreas - Processos Analíticos

A

D

C

B

52

Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos

Cálculos de Áreas - Processos Analíticos

1)Método das Duplas Distâncias Meridianas

(DDM)

2) Método das Coordenadas Totais

3) Métodos de HERON

53

• Distância Meridiana (dm) é a distância que vai do meio de um alinhamento ao eixo meridiano, ou das ordenadas.

• Dupla Distância Meridiana (ddm) é o distância do meio do lado (base menor + base maior)/2).

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Método das Duplas Distâncias Meridianas (ddm)Método das Duplas Distâncias Meridianas (ddm)Cálculos de Áreas - Processos Analíticos

54

b

X2

l

0

1

3

Y2

Y3

Y1

X1 X3

2

a

fe

dc

hg

dm1-2

dm2-3

dm0-1

dm3-0

Área do polígono:(A) = (dm2-3.∆Y2-3 + dm3-0.∆Y3-0) – (dm0-1.∆Y0-1 + dm1-2.∆Y1-2) (1)

55

b

1

2

d

∆∆XX1-21-2/2/2

X20

3

Y2

Y3

Y1

X1 X3

a

fe

c

hg

dmdm1-21-2

dm0-1

Regra Prática: a distância meridiana de um lado (dm1-2) é igual à distância meridiana do lado anterior (dm0-1), mais metade da abscissa do lado anterior (∆X0-1/2), e mais metade da abscissa do próprio lado (∆X1-2/2)..

dm0-1 ∆X0-1/2

dm1-2 = dm0-1+ ∆X0-1/2 + ∆X1-2/2

56

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Método das Duplas Distâncias Meridianas (DDM)Regra Prática:

dm1-2 = dm0-1+ ∆X0-1/2 + ∆X1-2/2 (2)

Multiplicando os membros da equação (2) por “2”, fica:

2.dm1-2 = 2.dm0-1+ ∆X0-1 + ∆X1-2 (3)

Fazendo, 2.dm1-2 = d dm1-2 (dupla distância meridiana), a equação (3), fica:

ddm1-2 = ddm0-1+ ∆X0-1 + ∆X1-2 (4)

Exemplificando o lado 1-2 da poligonal:

3

1

2

0

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Método das Duplas Distâncias Meridianas (DDM)Regra Prática:

2.A = (ddm0-1.∆Y0-1 + ddm1-2.∆Y1-2) - (ddm2-3.∆Y2-3 + ddm3-0.∆Y3-0) (5)

0

1

2

3

-∆Y2-3

-∆Y3-0

+∆Y0-1

+∆Y1-2

(A) = (dm2-3.∆Y2-3 + dm3-0.∆Y3-0) – (dm0-1.∆Y0-1 + dm1-2.∆Y1-2) (1)

Empregando na equação (1) da dupla distância meridiana (ddm), iremos obter o dobro da área A:

Tendo então,

2.dm1-2 = d dm1-2 (dupla distância meridiana),

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Método das Duplas Distâncias Meridianas (DDM)Regra Prática:

0

1

2

3

-∆Y2-3

-∆Y3-0

+∆Y0-1

+∆Y1-2

Chamando os produtos:

∑PN = +(ddm0-1 ∆Y0-1 + ddm1-2 ∆Y1-2)

∑PS = - (ddm2-3.∆Y2-3 + ddm3-0.∆Y3-0)

A equação (5) fica:

2.A = ∑PN - ∑PS

ou seja,

A = (∑PN - ∑PS) / 2

59

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Método Analítico – Coordenadas TotaisSendo conhecido as coordenadas totais dos vértices da poligonal

A área do polígono “123” pode ser estimada por:

trapeziotrapeziotrapezio

YYYYYYA 211332 123132

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1

2

3

Y2

X1

Y3

Y1

X3X2

61

Desenvolvendo:Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos

1

2

3

Y2

X1

Y3

Y1

X3X2

)(2

)(2

)(2 12

2113

1332

32 YYXXYYXXYYXXA

62

Efetuando os produtos, fica:

12221121

11311333

33233222

21

YXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYX

A

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)(2

)(2

)(2 12

2113

1332

32 YYXXYYXXYYXXA

Sendo:

63

Simplificando e agrupando os termos positivos de um lado e os negativos de outro:

)(

)(21

211332

123123

YXYXYXYXYXYX

A

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Simplificando, fica:

)(

)(21

222111133332

121131332322

YXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYX

A

64

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• os termos dos produtos positivos (X3Y2; X1Y3;X2Y1) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’ é anterior a ordem do ‘X’;

• os termos dos produtos negativos (X2Y3; X3Y1;X1Y2) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’ seguinte a ordem do ‘X’.

Tendo,

)(

)(21

211332

123123

YXYXYXYXYXYX

A

65

A área do polígono pode ser estimada pela semi-soma dos produtos cruzados das coordenadas totais.

A convenção de sinais, normalmente, usada é:

Positiva nos produtos descendentesNegativa nos produtos ascendentes

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Regra Mneumônica (Coord. Totais)

66

A resolução por esta regra nada mais é que a expressão desenvolvida por Gauss, na forma matricial.

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Regra Mneumônica (Coord. Totais)

67

Aplicando a regra mneumônica, têm-se:

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Produtos Negativos (ascendentes)

Produtos Positivos (descendentes)

1

1

3

3

2

2

1

1

YX

YX

YX

YX

A área será a soma total dos produtos, dividida por 2

68

Vértice Coordenadas totaisX Y

A XA YA

B XB YB

C XC YC

D XD YD

E XE YE

F XF YF

A XA YA

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Positiva nos produtos descendentesNegativa nos produtos ascendentes

Regra Mneumônica (Coord. Totais)

PONTO X (m) Y (m) Xn.Y(n-1) ( - ) Xn.Y(n+1) ( + ) 1 137.69 206.88 -53203.3296 2 257.17 261.88 -116832.524 +36058.2572 3 446.13 225.5 -73086.805 +57991.835 4 324.11 165.42 -38756.2518 +73798.8246 5 234.29 54.57 -7513.7433 +17686.6827 1 137.69 206.88 +48469.9152

-289392.65 +234005.51

AREA (-289392.65 + 234005.51) / 2 =

27693.57 m2

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Positiva nos produtos descendentesNegativa nos produtos ascendentes

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A expressão deduzida por HERON, deve ser somente aplicada para áreas triangulares.

A área total do polígono dar-se-á pela somatória das áreas triangulares avaliadas.

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Método do semi-pérímetro

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Este método é geralmente aplicado quando o levantamento é realizado por trena, onde o próprio trabalho de campo fornece a formação de triângulos, cujos lados podem ser medidos “in loco”.

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Método do semi-pérímetro

72

A

B

Ca

b

c

2cbap

cpbpappA

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Método do semi-pérímetro

Sendo,

Fica,

73

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