Enunciados Lógicos

Lógica de enunciados

(o lógica proposicional)

Ejemplos de enunciados

Cuba es una isla en el Pacífico

2 + 2 = 4

Vicente Fox es el presidente de Guatemala

Vicente Fox no es el presidente de Guatemala y sí es el

presidente de México

enunciado

Secuencia de

símbolos

(oración escrita

o emitida

oralmente)

+ Proposición

(significado del

enunciado en

virtud del cual

el enunciado es

verdadero o

falso)

Enunciados simples

Tegucigalpa es la capital de Honduras

2 + 2 = 4

El Sol es una estrella

Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005

La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes

Enunciados complejos

Tegucigalpa es la capital de Honduras y San José es la capital de Costa Rica

Juan sabe que Tegucigalpa es la capital de Honduras

Juan cree que San José es la capital de Costa Rica

Necesariamente 2+2 = 4

Es posible que Pedro no sepa que Tegucigalpa es la capital de Honduras

Enunciados complejos

Se distingue entre enunciados

complejos intensionales y

enunciados complejos

extensionales

• La base de la distinción es el llamado “principio de

sustitución de equivalentes”

Tegucigalpa es la capital de Honduras

y Managua la capital de Nicaragua

“Tegucigalpa es la capital de Honduras” es

equivalente a “Lima es la capital de Perú”

Lima es la capital de Perú y Managua la

capital de Nicaragua

Paris es la capital de Honduras y

Managua la capital de Nicaragua

“Paris es la capital de Honduras” es

equivalente a “Lima es la capital de

Argentina”

Lima es la capital de Argentina y Managua la

capital de Nicaragua

Juan cree que Tegucigalpa es la capital de

Honduras

“Tegucigalpa es la capital de Honduras” es equivalente a

“Roma es la capital de Italia”

Juan cree que Roma es la capital de Italia

Juan cree que Montevideo es la capital de

Argentina

“Montevideo es la capital de Argentina” es equivalente a “San José es la capital de Chile”

Juan cree que San José es la capital de Chile

Principio sustitución de equivalentes

Sea C una oración compleja, Auna oración componente de C, B cualquier oración, y C* el resultado de substituir a A por Ben C :

Si A tiene el mismo valor de verdad que B, entonces C tiene el mismo valor de verdad que C*.

Enunciados complejos

Enunciados complejos extensionales (respetan siempre el principio de

sustitución de equivalentes)

Enunciados complejos intensionales(no siempre respetan el principio de

sustitución de equivalentes)

Operadores

Intensionales : forman

enunciados intensionales(ejemplos: “es necesario que”, “es obligatorio que”)

Extensionales: forman

enunciados extensionales(ejemplos: “y”, “o”, “no es el caso que”

Operadores importantes del

lenguaje coloquial

y

O

Si..., entonces

No es el caso que

Si y solo si

Usos que corresponden a

funciones lógicas diferentes

“y” en “Juan y Pedro son hermanos” tiene un función lógica

diferente de la usada en “Juan es alto y Pedro es bajo”

“o” a veces se usa en sentido exclusivo y otras en sentido inclusivo.

“Si...entonces” tienen usos extensionales e intensionales

Es necesario expresar en forma

precisa la función lógica de ciertos

usos de cada uno de los operadores

mencionados. Con este fin,

introduciremos un lenguaje formal,

el cual llamaremos LE

Lenguaje formal LE:símbolos

básicos

Parámetros de enunciados: letras mayúsculas del

alfabeto

Símbolos lógicos : (, ), , , , ,

Semántica de símbolos

lógicos de LE

Semántica informal: usando el lenguaje coloquial para

interpretar cada símbolo. Por ejm., “” habrá de

significar lo mismo que “y”. Problema: ambigüedad y

falta de precisión de los operadores coloquiales

Semántica formal: usando tablas de verdad

Reglas de construcción de fórmulas de LE

Todo parámetro de enunciado es una fórmula de LE

Si es una fórmula de LE, entonces

Si y son fórmulas de LE, entonces ( ), ( ), (

) y ( ) son fórmulas de LE

Ejemplos fórmulas de LE

(A B)

( A M) (H R)

((D B) H)

(I C) ( A M)

(A B) (C H)

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla de conjunción

V V V

V F V

F V V

F F F

Tabla de disyunción

V F

F V

Tabla de negación

V V V

V F F

F V F

F F V

Tabla de equivalencia material

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla de implicación material

Símbolo para consecuencia

lógica

Ejemplo razonamiento en LE

AB

B

A

A B AB B A

V V V F F

V F F V F

F V V F V

F F V V V

P1 P2 C

Prueba de validez lógica por tablas de verdad

Prueba de validez lógica de razonamientos en

lenguaje coloquial: procedimiento

Traducir del lenguaje coloquial a LE

Determinar la validez de la traducción mediante tablas de verdad

Si aumentan la inflación y quiebran algunas

empresas, entonces aumentará la criminalidad.

Aumentará la inflación y alguna empresas

quebrarán.

Por lo tanto, aumentará la criminalidad.

Un razonamiento en lenguaje coloquial

Traducción del razonamiento

A: aumenta la inflación

E: algunas empresas quiebran

C: aumentará la criminalidad

(A E) C

A E

C

A E C (A E) (AE) C

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

C P2 P1

Prueba de validez de la traducción

Ámbito de confiabilidad del método

Un razonamiento en lenguaje coloquial será válido intuitivamente,

si la traducción de ese razonamiento a LE es dictaminada por el

método como un razonamiento válido en LE.

Si un razonamiento es intuitivamente inválido, entonces ese

procedimiento siempre dictaminará su traducción a LE como

inválido.

Limitación del método

Si un razonamiento en lenguaje coloquial es intuitivamente válido, es

posible que el método dictamine que la traducción de ese razonamiento a

LE es inválido

Origen de esta limitación: el análisis de los razonamientos no penetra

en la estructura lógica interna de los enunciados simples, lo cual no

revela posibles relaciones lógicas entre las expresiones componentes de

los enunciados simples

Todos los gatos son animales

Todos los animales son mortales

Por lo tanto, todos los gatos son mortales

Ejm. de razonamiento válido no cubierto

por el método

Verdades lógicas de LE:

TODA FÓRMULA QUE RESULTA

VERDADERA BAJO CUALQUIER

ASIGNACIÓN DE VALORES A LOS

PARAMETROS DE ENUNCIADOS

COMPONENTES DE LA FÓRMULA

A A A

V V

F V

Ejemplo de tautología

Sistematización de razonamientos

válidos y tautologías de LE

Mediante un sistema formal axiomático: axiomas y

reglas

Mediante un sistema formal de reglas de deducción

natural: sólo reglas

En el caso de LE, se han

construido sistemas formales que

Permiten derivar todas las tautologías

Permiten derivar todos los razonamientos válidos en LE

Y, por otro lado,

Todo enunciado derivable de tales sistemas formales es

una tautología

Todo razonamiento derivable de tales sistemas es válido