· 1 Introdução As chapas de concreto armado são elementos estruturais de suma importância nas construções pesadas, onde aparecem nas obras do metrô, usinas

1 Introdução

As chapas de concreto armado são elementos estruturais de suma importância nas

construções pesadas, onde aparecem nas obras do metrô, usinas hidrelétricas e

termelétricas, usinas nucleares, pisos de plataformas offshore. Estas obras são

importantes, devido à carência dos sistemas de transportes de massa de elevada

eficiência e baixo impacto no sistema viário, como o metrô e, dada a estagnação do

sistema energético no Brasil, onde o risco de blecautes é iminente, havendo a

necessidade da construção de novas usinas; a procura pelo petróleo no fundo dos

mares é cada vez mais freqüente, o que implica na construção das plataformas

offshore em águas cada vez mais profundas. Infelizmente, a literatura sobre as

chapas de concreto armado no Brasil é muito escassa, apesar da sua posição de

destaque nas principais obras de infra-estrutura.

Dentre os vários métodos analíticos que abordam as chapas de concreto armado,

existem dois que são principais: o Método de Baumann e o Modified Compression

Field Theory.

Este trabalho tem como principais objetivos:

Mostrar que o Método de Baumann com algumas implementações, leva a

resultados a favor da segurança, quando comparados com o MCFT e que, a

sua utilização é mais atraente, dada a sua simplicidade;

Desmistificar o MCFT, cuja literatura existente é muito obscura, mostrando a

dedução da sua formulação, bem como suas aplicações práticas, utilizando-

se planilhas do Excel;

Apresentar formulações para a aplicação de armaduras de compressão

utilizando-se o Método de Baumann, uma vez que a literatura existente é

muito pobre;

No capítulo 2 são apresentadas as deduções das expressões analíticas do Método

de Baumann e do MCFT, onde no primeiro incorpora-se a curva tensão-deformação

do concreto armado fissurado proposta por Michael P. Collins e Frank J. Vecchio,

que são os autores do Modified Compression Field Theory. No capítulo 3 são feitas

comparações entre as formulações analíticas de ambos os métodos, com os

resultados de modelos físicos ensaiados.

2

Posteriormente são efetuadas comparações de modelos hipotéticos com os dois

métodos, implementando-se no Método de Baumann a curva tensão-deformação do

concreto da norma NBR 6118:2003 com a adição da função de amolecimento do

concreto proposta por Collins e Vecchio, visando à obediência ao critério de

resistência do concreto da norma brasileira. Os capítulos 4 e 5 abordam a utilização

de armaduras de compressão, enquanto que os capítulos 6 e 7 apresentam a

discussão dos resultados e as conclusões do presente trabalho.

As chapas de concreto armado são estruturas laminares planas, com carregamento

no próprio plano e estão presentes nas construções pesadas, podendo-se citar além

dos exemplos mencionados anteriormente, as almas das vigas de concreto armado,

as paredes estruturais de edificações, conforme mostrado nas figuras 1.1 e 1.2.

Figura 1.1 – viga de concreto armado (Fonte: ACI Structural Journal /July-August 2006, p.614)

Além do comportamento de placa, este está também presente nas cascas, podendo

ser identificado como comportamento de membrana.

3

Figura 1.2 – estruturas laminares onde está presente o comportamento de membrana

(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.219)

As tensões que atuam nas chapas são as duas tensões normais σx e σy e a tensão

tangencial τxy, e as respectivas deformações εx, εy e γxy, obtidas a partir de soluções

da Teoria da Elasticidade, utilizando-se por exemplo o Método dos Elementos

Finitos.

É possível considerar-se a não linearidade física do concreto com o auxílio de

programas baseados no Método dos Elementos Finitos, tais como o Vector e o

Diana.

Define-se como elemento de chapa um trecho na qual as tensões são uniformes, ou

seja, não variam ao longo da sua extensão, conforme figuras 1.3 e 1.4.

4

Figura 1.3 – elemento de concreto armado fissurado

(Fonte: ACI Structural Journal /January-February 1989, p.27)

Figura 1.4 – círculo de Mohr das deformações médias (entre fissuras)

(Fonte: ACI Structural Journal /January-February 1989, p.27)

Ao se aplicar um carregamento de forma gradual numa chapa de concreto armado,

inicialmente não ocorre fissuração, pois a tensão principal no concreto não excede a

sua resistência à tração. Quando o carregamento atinge um determinado estágio,

onde a resistência à tração no concreto é ultrapassada, aparecem as fissuras e as

armaduras ficam mais solicitadas. A direção das fissuras é aproximadamente

perpendicular à direção da tensão principal de tração. À medida que o carregamento

é aumentado surgem novas fissuras, as inicialmente formadas tornam-se menos

proeminentes e a direção das fissuras pode ser alterada. O carregamento é

aumentado até que a chapa entra em colapso, quando ocorre a ruptura do concreto

5

e/ou a deformação plástica excessiva das armaduras, caracterizando o Estado

Limite Último, conforme mostrado na figura 1.5.

Conforme recomendação do CEB-FIP Model Code 1990 página 189, a situação

desejada para o projeto é que se atinja o ELU com ambas as armaduras

escoadas, e com a tensão de compressão no concreto abaixo da sua resistência.

Quando uma das duas armaduras não é necessária, o ELU deve ser atingido com o

escoamento da armadura de tração.

Figura 1.5 – chapa de concreto após ruptura


6

2 Dimensionamento de elementos de chapa

A melhor posição da armadura é aquela em que as barras são dispostas

paralelamente à direção das tensões principais de tração, uma vez que elas

interceptam as fissuras perpendicularmente e absorvem diretamente os esforços de

tração do concreto.

Entretanto no caso das chapas de concreto armado, dificilmente as armaduras

coincidem com as direções das tensões principais, o que torna o seu

dimensionamento não tão óbvio.

2.1 Método de Baumann

2.1.1 Hipóteses básicas

As hipóteses de cálculo segundo Leonhardt e Monnig (1978) são:

a) as fissuras são paralelas, aproximadamente retilíneas e com espaçamento

constante.

b) é desprezada a resistência à tração no concreto.

c) não se considera a resistência ao cisalhamento nas fissuras devido ao

engrenamento dos agregados.

d) despreza-se a resistência ao cisalhamento nas fissuras devido ao efeito de

pino das armaduras.

e) as armaduras estão em regime elástico.

7

2.1.2 Equilíbrio

Considerando-se um elemento de chapa com uma armadura em malha ortogonal

localizada no seu plano médio, submetido a um carregamento por unidade de

comprimento, constituído por duas cargas longitudinais nx e ny, paralelas aos eixos x

e y respectivamente, e carga transversal nxy, conforme ilustra a figura 2.1, efetuando-

se o equilíbrio das forças do trecho do elemento de chapa hachurado, conforme

ilustra a figura 2.2 e fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a

zero vem:

Figura 2.1 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido a carregamento de tração e

cisalhamento

8

Figura 2.2 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras, com as

forças envolvidas

0cos..cos. =−+ θθθ sxxyx nsennn

coscos θθθ .senn.n.n syxsx +=

θ.tgnnn xyxsx += (2.1)

Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo y igual a zero vem:

0cos =−+ θθθ .senn.n.senn syxyy

.n.senn.senn xyysy θθθ cos+=

θg.nnn xyysy cot+= (2.2)

Considerando-se agora o equilíbrio do trecho do elemento de chapa perpendicular à

direção das fissuras, conforme ilustram as figuras 2.3 e 2.4.

9

Figura 2.3 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido ao carregamento de tração e

cisalhamento

Figura 2.4 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção das fissuras, com

as forças envolvidas

Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a zero vem:

0.1..cos.. =−++− θθθθ sennsennnsenn csxxyx

θθθθ sennnsennsenn sxxyxc .cos... ++−=

sxxyxc ngnnn ++−= θcot.

Substituindo-se θ.tgnnn xyxsx += (2.1) na expressão anterior vem:

θθ .tgnngnnn xyxxyxc +++−= cot.

θθ .tgngnn xyxyc ++= cot.

10

][ θθ gtgnn xyc cot. += (2.3)

Pela figura nc foi tomado >0 quando de compressão

hnc

c =σ (2.4)

2.1.3 Compatibilidade das deformações

Figura 2.5 – deformada do trecho do elemento de chapa com uma face paralela às fissuras

Da figura 2.5 segue-se:

A’C’2 = A’D2 + DC’2 → DC’2 = A’C’2 - A’D2

B’C’2 = DC’2 + DB’2 → DC’2 = B’C’2 - B’D2

Portanto A’C’2 - A’D2 = B’C’2 - B’D2

( ) ( ) ( ) ( )24222422 1.1.1.cos1.cos csxcsy sensen εθεθεθεθ −−+=−−+

( ) ( ) ( )( )24

222422

21.

21.21.cos21.cos

cc

sxsxccsysy

sen

sen

εεθ

εεθεεθεεθ

+−−

−++=+−−++

Desprezando os termos ε2 em comparação com os termos ε vem:

11

( ) ( ) ( ) ( )csxcsy sensen εθεθεθεθ 21.21.21.cos21.cos 4242 −−+=−−+

θεθθεθθεθθεθ 44224422 .2.2cos.2coscos.2cos sensensensen csxcsy +−+=+−+

θεθεθεθθθθθε 44244222 cos.2.2.2coscoscos.2 ccsxsy sensensensen −++−+−=

Dividindo-se ambos os lados da equação por cos2θ vem:

θεθθεθεθθθθε 22222222 cos.2..2.2.cos12 ccsxsy tgsentgtgsentg −++−+−=

( ) θεθθεθεθθθε 2222222 cos.2..2.21cos1.2 ccsxsy tgsentgsentg −++−+−=

θεθθεθεθθθε 2222222 cos.2..2.21coscos.2 ccsxsy tgsentgtg −++−+=

θεθθεθεθθε 222222 cos.2..2.21cos2 ccsxsy tgsentgsen −++−+=

θεθθεθεε 2222 cos.2..2.22 ccsxsy tgsentg −+=

θεθθεθεε 2222 cos.... ccsxsy tgsentg −+=

( ) θεθθεθεε 2222 cos..cos1.. ccsxsy tgtg −−+=

θεθεθεθεε 2222 cos.... cccsxsy sentgtg −−+=

( )θθεθεθεε 2222 cos... +−+= sentgtg ccsxsy

ccsxsy tgtg εθεθεε −+= 22 ..

sx

c

sx

c

sx

sy tgtgεε

θεε

θεε

−+= 22 .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= θ

εε

εε

θεε 22 cot.1. gtg

sx

c

sx

c

sx

sy

( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= θ

εε

θε

)ε 22 cot1.1. gtgsx

c

sx

sy (2.5)

O dimensionamento econômico implica que para se ter o máximo aproveitamento

das armaduras, ambas devem estar escoadas e, portanto, a expressão (2.5) resulta:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= θ

εε

θ 22 cot1.1.1 gtgsx

c

12

Observa-se que a expressão anterior é atendida para θ = 45°, ficando independente

da relação sx

c

εε

, não importando como o concreto e armadura se deformam.

Uma outra conseqüência da utilização do ângulo θ = 45° é que se obtém o menor

esforço de compressão no concreto a partir da expressão [ ]θθ gtgnn xyc cot. +=

(2.3).

13

2.1.4 Análise das deformações principais - Círculo de Mohr

Tomando-se um elemento de chapa de concreto armado submetido ao

carregamento conforme ilustra a figura 2.6, observa-se que a deformada do mesmo

ocorre conforme mostrado na figura 2.7. Seja εx a deformação longitudinal paralela

ao eixo x , εy a deformação longitudinal paralela ao eixo y, γxy a distorção no plano

xy, ε1 e ε2 as deformações longitudinais principais, conforme ilustra a figura 2.8.

Figura 2.6 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido ao carregamento

de tração e cisalhamento

Figura 2.7 – deformada do elemento de chapa

14

Figura 2.8 – elemento de chapa fissurado com as deformações longitudinais paralelas aos eixos x e

y e, as principais

As deformações podem ser representadas pelo Círculo de Mohr, conforme

demonstrado por Timoshenko e Goodier (1970, p.24).

Representa-se as deformações longitudinais εx e εy no eixo horizontal e a metade da

distorção γxy/2 no eixo vertical, conforme a figura 2.9:

Figura 2.9 – círculo de Mohr das deformações

Os valores de εx e εy são positivos para deformações de tração e negativos para as

de compressão; o valor de γxy/2 é positivo quando a tensão de cisalhamento gira o

15

plano de corte no sentido horário e negativo, quando gira no sentido anti-horário,

conforme ilustra a figura 2.10.

Figura 2.10 – convenção do sinal da metade da distorção do trecho do elemento de chapa

θ é positivo quando o ângulo entre o eixo vertical y e a direção de ε2 girar no sentido

anti-horário, e é negativo quando girar no sentido horário, conforme ilustra a figura

2.11.

Figura 2.11 – convenção do sinal do ângulo entre o eixo vertical y e a direção de ε2 do trecho do

elemento de chapa

Da figura 2.9 vem:

2

2εε

γ

θ−

−=x

xy

tg (2.6)

( 2.2

εεθ )γ−−= x

xy tg (2.7)

yx

xy

yx

xy

tgεε

γεε

γ

θ−

−=−

−=

2

22 (2.8)

16

2.2

2yxxy tg

εεθ

γ −−= (2.9)

Troca-se o sinal de 2xyγ

no plano onde ocorre yε .

( ) 22

1 242 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+= xyyxyx γεεεε

ε (2.10)

( ) 22

2 242 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

+= xyyxyx γεεεε

ε (2.11)

ou

θεεεε

ε2cos.221

yxyx −+

+= (2.12)

θεεεε

ε2cos.222

yxyx −−

+= (2.13)

Somando-se as duas expressões acima vem:

yx εεεε +=+ 21 (2.14)

Da expressão (2.14) 12 εεεε −+=→ yx (2.15)

Substituindo-se ε2 na expressão (2.7) vem:

( )[ ]1.2

εεεεθγ

−+−−= yxxxy tg

( yxy tg εεθ )γ

−−= 1.2

(2.16)

θεεεεε 2cos.22

2121 −+

+=x (2.17)


2121 −−

+=y (2.18)

Analisando-se as deformações principais para o caso onde ambas as armaduras

estão escoadas, assumindo-se inicialmente que ambas as deformações εx e εy

sejam iguais a εo, onde εo é a deformação de escoamento da armadura,

17

considerando-se εx=εy=εo=2‰ e a deformação ε2 = -1‰, conforme ilustra a figura

2.12 e, substituindo-se os valores na expressão (2.14) vem:

‰2‰2‰11 +=−ε

‰51 =ε

Para a determinação do ângulo θ utiliza-se a expressão (2.8):

0‰2‰22 xyxytg

γγθ −=

−−=

°= 902θ

°= 45θ

Figura 2.12 – círculo de Mohr das deformações com deformação imposta ε0=εx=εy

Aumentando-se a deformação εx, mantendo-se εy=εo=2‰ e ε2 = -1‰, conforme

ilustra a figura 2.13, substituindo-se εy e ε2 na expressão (2.14) e adotando-se θ=30°

para a determinação de εx vem:

‰2‰11 +=− xεε

‰31 += xεε

Substituindo-se na expressão (2.12):

°−

++

=+60cos.2‰2

2‰2‰3 xx

xεε

ε

18

‰22

‰2‰3 −++

=+ xx

x εε

ε

( ) ( ‰2.2‰2‰3.2 −+ )+=+ xxx εεε

‰4.2‰2‰6.2 −++=+ xxx εεε

‰8=xε

‰11‰3‰8‰31 =+=+= xεε

Figura 2.13 – círculo de Mohr das deformações com deformação imposta ε0<εx

Aumentando-se ainda mais a deformação εx, mantendo-se εy=εo=2‰ e ε2 = -1‰,

substituindo-se εy e ε2 na expressão (2.14) e adotando-se θ=20° para a

determinação de εx vem:

‰2‰11 +=− xεε

‰31 += xεε

Substituindo-se na expressão (2.12):

°−

++

=+40cos.2‰2

2‰2‰3 xx

xεε

ε

( ) ( ) ‰240cos‰240cos‰32 −+°+=°+ xxx ε.ε.ε.

‰240cos.‰2.40cos40cos.‰6.40cos.2 −+°+°=°+° xxx εεε

19

‰240cos.‰4.40cos −°−=−° xx εε

( ) ‰240cos.‰4.140cos −°−=−° xε

140cos‰240cos.‰4

−°−°−

=xε

‰65,21=xε

‰65,24‰3‰65,21‰31 =+=+= xεε

Para ângulos θ maiores do que 45° o raciocínio é análogo, porém, mantém-se

εx=εo=2‰ e ε2 = -1‰ e aumenta-se a deformação εy, conforme ilustra a figura 2.14.

Figura 2.14 – círculo de Mohr das deformações com deformação imposta ε0<εy

Representando-se os valores num gráfico, onde o eixo vertical contém a relação

ε1/εo e o eixo horizontal o ângulo θ vem:

20

0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40 60 8

θ (°)

ε1/ε

0

0

Figura 2.15 – gráfico ε1/εo em função de θ

Observa-se prontamente da figura 2.15 que, para os casos onde ambas as

armaduras estão tracionadas e atingiram o patamar de escoamento, a menor

deformação principal de tração ε1 ocorre para θ=45°, quando as deformações εx e εy

são iguais a εo.

2.1.5 Equações simplificadas

Substituindo-se portanto θ = 45° nas equações (2.1), (2.2) e (2.3) vem:

xyxsx nnn += (2.19)

xyxsy nnn += (2.20)

xyc nn .2= (2.21)

21

Para valores negativos de nxy, o ângulo θ é negativo conforme ilustra a figura 2.16 e,

substituindo-se θ=-45° e nxy com o sinal negativo nas equações (2.1), (2.2) e (2.3)

chega-se às mesmas expressões anteriores.

Figura 2.16 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido ao carregamento

de tração e cisalhamento com nxy < 0

Portanto as expressões (2.19) a (2.21) independem do sinal de nxy e obtém-se as

seguintes expressões simplificadas:

xyxsx nnn += (2.22)

xyysy nnn += (2.23)

xyc nn .2= (2.24)

2.1.6 Equações constitutivas

2.1.6.1 Aço

dyxssx fE ≤= εσ . (2.25)

dyyssy fE ≤= εσ . (2.26)

22

2.1.6.2 Concreto

Para a relação tensão versus deformação do concreto fissurado, será utilizada a

formulação proposta por Frank J. Vecchio e Michael P. Collins, oriunda do ensaio de

30 painéis de concreto armado, submetidos a diversos carregamentos no próprio

plano, uniformemente distribuídos de cisalhamento e força normal. Foi observado

que o concreto fissurado, submetido a altas deformações de tração na direção

normal à de compressão, é mais mole e fraco do que o concreto no ensaio padrão

do cilindro, conforme ilustra a figura 2.17.

A tensão principal de compressão no concreto f2, segundo Vecchio e Collins (1986,

p.224), foi observada como uma função das duas deformações principais: a

deformação principal de compressão ε2 e a deformação principal de tração ε1.

A relação sugerida é

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

222

max22 ''.2.

cc

ffεε

εε

(2.27)

onde cc

cxma fff '

'.34,08,0'

12 ≤

−=

εε (2.28)

A representação gráfica da expressão (2.27) é mostrada na figura 2.19.

ε’c é a deformação na qual o concreto num ensaio de cilindro alcança a tensão de

pico f’c.

Deve-se observar que, como ε’c é um valor negativo, usualmente –2‰, o acréscimo

de ε1 irá reduzir f2max, conforme ilustra a figura 2.18.

Substituindo-se ε’c por -0,002 na expressão (2.28), vem:

cc

xma fff '002,0.34,08,0

'

12 ≤

−−=

ε

cc

xma fff '.1708,0

'

12 ≤

+=

ε (2.29)

23

Figura 2.17 – relação tensão-deformação para o concreto fissurado na compressão


Figura 2.18 – relação para a máxima tensão de compressão


24

Figura 2.19 – correlação dos dados do teste para o concreto fissurado na compressão


Figura 2.20 – representação tridimensional da relação tensão-deformação da compressão


Uma vez conhecidas as deformações principais ε1 e ε2, existe apenas um único valor

da tensão no concreto f2, que na ruptura deve ser igual a σc, conforme pode ser

facilmente observado no gráfico f2 em função de ε1 e ε2, ilustrado na figura 2.20. A

25

inversa não é verdadeira, pois conhecida a tensão no concreto σc , que na ruptura

deve ser igual a f2, existem infinitos pares de valores ε1 e ε2, que satisfazem às

equações constitutivas do concreto. Desta forma o cálculo das deformações deve se

iterativo, conforme será exposto no item 3.1.

Para as aplicações no dimensionamento neste trabalho, o valor de f’c será

substituído por 0,85fcd.

2.1.7 Dimensionamento

2.1.7.1 Armaduras

sx

sxsx

na

σ= (2.30)

sy

sysy

na

σ= (2.31)

Como critério de armadura mínima pode-se utilizar a armadura de pele da norma

NBR 6118:2003, onde a mínima armadura lateral em cada face deve ser 0,10% da

seção de concreto e composta por barras de alta aderência com espaçamento

máximo de 20cm.

2.1.7.2 Concreto

A verificação da tensão no concreto será feita pela seguinte expressão:

max2fhnc

c ≤=σ (2.4)

Nas aplicações esse limite f2max foi comparado com o valor de fcd1 proposto pelo CEB

para o concreto não fissurado

26

cdck

cd fff .250

1.85,01 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= (2.32)

(Nas chapas poderia ser 0,85fcd, uma vez que a distribuição de σc é uniforme em h, o

que nas cascas não é verdade)

O limite f2max foi comparado com o valor de fcd2 proposto pelo CEB para o concreto

fissurado

cdck

cd fff .250

1.60,02 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= (2.33)

2.1.8 Casos de dimensionamento

2.1.8.1 Caso I) Ambas armaduras tracionadas

Aplicam-se as expressões (2.1) a (2.3)

2.1.8.2 Caso II) nx < 0 e │nx│ > │nxy│ → nsx = 0


forças envolvidas, quando não é necessária armadura paralela ao eixo x

Substituindo-se nsx=0 na equação (2.1) vem:

θ.tgnn xyx +=0

27

xxy ntgn −=θ.

xy

x

nntg −=θ (2.34)

Substituindo-se tgθ na equação (2.2) vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

x

xyxyysy n

n.nnn

x

xyysy n

nnn

2

−= (2.35)

Substituindo-se tgθ na equação (2.3) segue:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

−=

x

xy

xy

xxyc n

nnnnn .

x

xyxc n

nnn

2

−−= (2.36)

2.1.8.3 Caso III) ny < 0 e │ny│ > │nxy│ → nsy = 0


forças envolvidas, quando não é necessária armadura paralela ao eixo y

Substituindo-se nsy=0 na equação (2.2) vem:

θg.nn xyy cot0 +=

yxy ng.n −=θcot

28

xy

y

nn

g −=θcot (2.37)

Substituindo-se cotgθ na equação (2.1) segue:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

y

xyxyxsx n

n.nnn

y

xyxsx n

nnn

2

−= (2.38)

Substituindo-se cotgθ na equação (2.3) vem:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xy

y

y

xyxyc n

nnn

nn .

y

xyyc n

nnn

2

−−= (2.39)

2.1.8.4 Caso IV) nx < 0 , ny < 0 e nx.ny ≥ nxy2

Figura 2.23 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção das fissuras, com

as forças envolvidas, quando não é necessária nenhuma armadura


0.cos..1. =−+− θθθ sennnsenn xxyc

29

0cos.

=+− xxy

c nsen

nn

θθ

xxyc ngnn −= θcot.

xcxy nngn +=θcot.

xy

xc

nnng +

=θcot (2.40)


0.cos.cos.1. =−+ θθθ sennnn xyyc

0cos

.=−+

θθsenn

nn xyyc

θtgnnn xyyc .+−=

xc

xyxyyc nn

nnnn

++−= .

xc

xyyc nn

nnn

++−=

2

( ) ( ) 2.. xyyxccxc nnnnnnn ++−=+

22 ... xyyxcycxc nnnnnnnn +−−=+

0... 22 =−+++ xyyxcycxc nnnnnnnn

( ) 0.. 22 =−+++ xyyxyxcc nnnnnnn

( ) ( )22 ..4 xyyxyx nnnnn −−+=∆

222 .4..4..2 xyyxyyxx nnnnnnn +−++=∆

222 .4..2 xyyyxx nnnnn ++−=∆

( ) 22 .4 xyyx nnn +−=∆

( ) ( )2

.4 22xyyxyx

c

nnnnnn

+−±+−=

( ) 22

42 xyyxyx

c nnnnn

n +−

±+

−= (2.41)

30

2.2 Modified Compression Field Theory (MCFT)

Fazer a previsão da resposta de um elemento de chapa de concreto armado não é

tão fácil como pode aparentar; ao sofrer um determinado carregamento, novas

fissuras podem surgir, as pré-existentes podem se propagar ou fechar, e os esforços

serão resistidos por um sistema estrutural composto por peças do concreto unidas

pelas armaduras. As tensões nas barras das armaduras sofrerão variações ao longo

do seu comprimento e serão maiores junto às fissuras. As peças de concreto serão

circundadas pelas fissuras capazes de transmitir cisalhamento na região das

mesmas, mas sem capacidade de transmitir tração; entretanto tensões de tração

poderão existir entre as fissuras, conforme foi constatado por Vecchio e Collins

(1986, p.219).

Contrariando as hipóteses de Baumann, as quais desprezam a tensão de

cisalhamento e tração no concreto bem como o cisalhamento nas armaduras, no

MCFT é considerada entre duas fissuras consecutivas, uma tensão de tração no

concreto denominada f1, enquanto que na fissura é levada em conta uma tensão de

cisalhamento no concreto denominada vci, conforme ilustra a figura 2.25.

2.2.1 Hipóteses básicas

a) as deformações do elemento fazem com que os lados permaneçam retilíneos

e paralelos.

b) para cada estado de deformação existe apenas um correspondente estado de

tensão.

c) as tensões e deformações podem ser consideradas em termos de valores

médios.

d) as armaduras longitudinal e transversal estão distribuídas uniformemente

sobre o elemento.

e) a direção das tensões principais e das deformações principais é coincidente.

f) é desprezado o efeito de pino nas armaduras.

31

Seja um elemento de chapa submetido às tensões normais fx e fy, paralelas aos

eixos x e y, e à tensão tangencial v, conforme ilustra a figura 2.24.

Figura 2.24 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido a tensões de tração e

cisalhamento

Figura 2.25 – transmissão da tensão de cisalhamento na fissura devido ao engrenamento dos

agregados do concreto (Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.226)

32

Figura 2.26 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido a tensões

de tração e cisalhamento (Adaptado do ACI Structural Journal /March-April 1986, p.226)

2.2.2 Equilíbrio das tensões médias

Efetua-se o equilíbrio de forças para o trecho da chapa situado abaixo da seção 1-1,

que está compreendida entre duas fissuras consecutivas, conforme ilustram as

figuras 2.26 e 2.27.

Figura 2.27 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras na seção

1-1 (entre fissuras)

33

Deve-se lembrar que f1 é uma tensão média à tração no concreto, avaliada

considerando um trecho contendo várias fissuras, conforme mostrado na figura 2.28.

Figura 2.28 –Tensão média de tração no concreto fissurado



0'..1.'..'.cos.'.. 1 =++−− θθθθ senhfsenAfhvhsenf sxsxx

0'.'..'cos.'. 1 =++−− θθθθ senfsenh

Afvsenf sxsxx

0'.'..'cos.'. 1 =++−− θθρθθ senfsenfvsenf xsxx

'cos.'.'..'. 1 θθθρθ vsenfsenfsenf xsxx −+=

'cot.. 1 θρ gvfff sxxx −+= (2.42)


0'cos..1.'cos..'..'.cos. 1 =++−− θθθθ hfAfhsenvhf sysyy

0'cos.'cos..'.'cos. 1 =++−− θθθθ fh

Afsenvf sy

syy

0'cos.'cos..'.'cos. 1 =++−− θθρθθ ffsenvf ysyy

'.'cos.'cos..'cos. 1 θθθρθ senvfff ysyy −+=

'.. 1 θρ tgvfff syyy −+= (2.43)

Representa-se o círculo de Mohr para as tensões no concreto, conforme ilustrado na

figura 2.29.

34

Figura 2.29 – círculo de Mohr das tensões médias (entre fissuras) do elemento de chapa de concreto

fissurado

Observa-se do círculo de Mohr da figura 2.29 que '

'.21 θθ

tgvtgvff +=−

Como na convenção do MCFT a tensão de compressão no concreto é positiva, da

expressão anterior resulta que '

'.21 θθ

tgvtgvff +=+

'cot.'.21 θθ gvtgvff +=+

( )'cot'.21 θθ gtgvff +=+

'cot'21

θθ gtgffv

++

= (2.44)

35

2.2.3 Equilíbrio das tensões na fissura

Efetua-se agora o equilíbrio de forças para o trecho da chapa compreendido abaixo

da seção 2-2, que está situada na fissura, conforme ilustram as figuras 2.26 e 2.30.

Figura 2.30 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras na seção

2-2 (na fissura)


0'cos..1.'..'.cos.'.. =−+−− θθθθ hvsenAfhvhsenf cisxsxcrx

0'cos.'..'cos.'. =−+−− θθθθ cisx

sxcrx vsenh

Afvsenf

0'cos.'..'cos.'. =−+−− θθρθθ cixsxcrx vsenfvsenf

'cos.'cos.'.'.. θθθθρ cixxsxcr vvsenfsenf ++=

'cot.'cot.. θθρ gvgvff cixxsxcr ++=

x

cixsxcr

gvgvffρ

θθ 'cot.'cot. ++= (2.45)


0'..1.'cos..'..'.cos. =++−− θθθθ senhvAfhsenvhf cisysycry

36

0'.'cos..'.'cos. =++−− θθθθ senvh

Afsenvf ci

sysycry

0'.'cos..'.'cos. =++−− θθρθθ senvfsenvf ciysycry

'.'.'cos.'cos.. θθθθρ senvsenvff ciyysycr −+=

'.'.. θθρ tgvtgvff ciyysycr −+=

y

ciysycr

tgvtgvff

ρθθ '.'. −+

= (2.46)

Substituindo-se a expressão 'cot.. 1 θρ gvfff sxxx −+= (2.42)

na x

cixsxcr

gvgvffρ

θθ 'cot.'cot. ++= (2.45) vem:

x

cisxxsxcr

gvgvgvfffρ

θθθρ 'cot.'cot.'cot.. 1 ++−+=

x

cisxxsxcr

gvfffρ

θρ 'cot.. 1 ++=

'cot... 1 θρρ gvfff cisxxxsxcr ++= (2.47)

Substituindo-se a expressão '.. 1 θρ tgvfff syyy −+= (2.43) na

y

ciysycr

tgvtgvff

ρθθ '.'. −+

= (2.46) vem:

y

cisyysycr

tgvtgvtgvfff

ρθθθρ '.'.'.. 1 −+−+

=

y

cisyysycr

tgvfff

ρθρ '.. 1 −+

=

'... 1 θρρ tgvfff cisyyysycr −+= (2.48)

37

Figura 2.31 – O MCFT para elementos de chapa


38

2.2.4 Condições de compatibilidade das deformações médias

Analisando-se o círculo de Mohr para as deformações, observa-se da figura 2.32

que:

Figura 2.32 – círculo de Mohr das tensões médias (entre fissuras) do elemento de chapa de concreto

fissurado

2

' 2

xy

xtgγ

εεθ

−=

'22

θεεγ

tgxxy −

= (2.49)

2

2'εε

γ

θ−

=y

xy

tg

2

2

''εε

θεε

θ−

−

=y

x

tgtg

( )2

2

'.'

εεθεε

θ−

−=

y

x

tgtg

39

2

22 'εεεε

θ−−

=y

xtg (2.50)

Na convenção do MCFT, o sinal de ε2 é positivo quando de compressão, e portanto

a expressão (2.50) resulta:

2

22 'εεεε

θ++

=y

xtg (2.51)

Da mesma forma a expressão (2.49) resulta '2

2

θεεγ

tgxxy +

= e portanto

( ) 'cot..2 2 θεεγ gxxy += (2.52)

A coordenada do centro do círculo é 22

21 yx εεεε +=

+ , resultando 21 εεεε −+= yx

Na convenção do MCFT segue-se que:

21 εεεε ++= yx (2.53)

Da expressão anterior vem que 21 εεεε −−= xy

Substituindo-se εy na expressão (2.51) segue-se que:

221

22 'εεεε

εεθ

+−−+

=x

xtg

x

xtgεεεε

θ−+

=1

22 '

( ) 212 '. εεεεθ +=− xxtg

22

12 '.'. εεεθεθ +=− xxtgtg

2122 '.'. εεθεθε −=+ tgtg xx

'1'.

221

2

θεεθε

tgtg

x +−

= (2.54)

40

2.2.5 Abertura das fissuras

Figura 2.33 – elemento de concreto fissurado com a distância entre as fissuras

1' .εθsw = (2.55)

yx sssen

s'cos'

1' θθθ

+= (2.56)

x

sxxs

ρφ

.6,3= (2.57)

y

syys

ρφ

.6,3= (2.58)

Por simplicidade, a exemplo do que fazem Collins e Vecchio, sx e sy serão tomados

como os espaçamentos das barras paralelas ao eixo x e y respectivamente.

2.2.6 Relações tensão-deformação

2.2.6.1 Aço

yxxssx fEf ≤= ε. (2.59)

yyyssy fEf ≤= ε. (2.60)

41

2.2.6.2 Concreto

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

22

12 ''

.2..1708,0

'

cc

cffεε

εε

ε (2.61)

onde cc ff '

.1708,0'

1

≤+ ε

11 .5001

'.33,0ε+

= cff (2.62)

( é uma tensão média do concreto compreendendo um trecho com várias fissuras) 1f

No dimensionamento foi utilizada a expressão 1

1 .5001.33,0

.4,1

1ε+

= ckff (2.62a)

A tensão de tração no concreto ocorre entre as fissuras, e nessas fissuras ela cai

a zero, acontecendo portanto uma transferência desta tensão de tração para as

armaduras. Desta forma as tensões nas armaduras aumentam nas fissuras e fica

limitada por elas.

1f

1f

Para a determinação da limitação de , toma-se as expressões (2.47) e (2.48) 1f



Multiplica-se ambos os lados da expressão (2.47) por e da (2.48) por ' '2θsen cos2 θ

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

++=

'cos'..'cos.'cos..'cos..

'cos'..'.'..'..2

122

21

22

θθθθρθρ

θθθθρθρ

senvfff

senvsenfsenfsenf

cisyyysycr

cisxxxsxcr

Somando-se as duas expressões acima vem:

12222

. 'cos..'..'cos..'. ffsenffsenf ysyxsxysycrxsxcr ++=+ θρθρθρθρ

'cos..'..'cos..'. 2222.1 θρθρθρθρ ysyxsxysycrxsxcr fsenffsenff −−+=

( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ sysycrysxsxcrx ffsenfff −+−= (2.63)

Como as tensões e devem ser no máximo iguais às suas respectivas

tensões de escoamento, a expressão anterior resulta:

sxcrf sycrf

42

( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ syyyysxyxx ffsenfff −+−≤ (2.64)

O fato da condição acima não ser atendida implica que as armaduras são

insuficientes e é necessário o acréscimo delas.

2.2.7 Tensão de cisalhamento e deformações na fissura

A tensão de cisalhamento na fissura deve obedecer à inequação abaixo, onde as

unidades são MPa e mm:

16.2431,0

'.18,0

++

≤

g

cci

aw

fv (2.65)

No dimensionamento foi utilizada a expressão

16.2431,0

.18,0.

4,11

++

≤

g

ckci

aw

fv (2.65a)

Observa-se que esta expressão torna o valor de indeterminado; como as tensões

nas armaduras na fissura ficam limitadas pelo escoamento, adotou-se para a

tensão .

civ

sycrf

yyf

Tomando-se a expressão y

ciysycr

tgvtgvff

ρθθ '.'. −+

= (2.46)

e igualando-se com vem: yyf

y

ciyyy

tgvtgvff

ρθθ '.'. −+

=

'.'.. θθρ tgvtgvff ciyyyy −+=

yyyyci ftgvftgv ρθθ .'.'. −+=

( ) 0'cot.. ≥+−= vgffv yyyyci θρ (2.66)

Este critério foi utilizado quando publicado o MCFT (1986), e referia-se a um caso

muito particular onde a armadura paralela ao eixo y é mais fraca do que a paralela

ao eixo x, porém era compatível com os painéis ensaiados na época.

43

Posteriormente, com o advento do DSFM (2000) , passou-se a calcular no MCFT as

deformações e tensões nas armaduras na fissura, bem como a tensão de

cisalhamento , sendo que este procedimento cobre todos os casos. civ

Conhecidas as deformações médias, determina-se os valores na fissura, onde

a deformação 2ε mantém-se constante e 1ε sofre um acréscimo de cr1ε∆ .

Utilizando-se a expressão'1

'.2

212

θεεθε

tgtg

x +−

= (2.54), calcula-se a deformação na

fissura ( )

'1'.

2211

2

θεεεθ

εtg

tg crxcr +

−∆+= (2.67)

Da expressão 21 εεεε ++= yx (2.53) vem:

( ) ( ) 211211 εεεεεεεεεε −−∆+=→++=∆+ xcrcrycrycrxcrcr (2.68)

Com as deformações na fissura, determinam-se as tensões

yxxcrsxcr fEf ≤= ε. (2.69)

yyycrsycr fEf ≤= ε. (2.70)

Com a expressão ( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ sysycrysxsxcrx ffsenfff −+−= (2.63)

onde conhece-se , que depende da deformação média 1f 1ε , determina-se cr1ε∆

que a satisfaça.

Para o cálculo de , utiliza-se as expressões (2.47) e (2.48): civ



Multiplica-se ambos os lados da expressão (2.47) por 'cos'. θθsen e da (2.48) por

'cos'. θθsen− :

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−=−

++=

'.'cos'..'cos'...'cos'...

'cos.'cos'..'cos'...'cos'...2

1

21

θθθθθρθθρ

θθθθθρθθρ

senvsenfsenfsenf

vsenfsenfsenf

cisyyysycr

cisxxxsxcr

Somando-se as duas expressões anteriores vem:

cisyysxxysycrxsxcr vsenfsenfsenfsenf +−=− 'cos'...'cos'...'cos'...'cos'... θθρθθρθθρθθρ

'cos'...'cos'...'cos'....'cos'... θθρθθρθθρθθρ senfsenfsenfsenfv ysyysycrxsxxsxcrci +−−=

( ) ( ) 'cos'...'cos'... θθρθθρ senffsenffv sysycrysxsxcrxci −−−= (2.71)

44

O valor de vci deve respeitar o limite da expressão (2.65); caso isto não aconteça,

será necessário aumentar as armaduras.

45

3 Comparação com os resultados de modelos físicos

Fazendo-se a comparação entre os resultados de modelos físicos e a formulação

analítica (Baumann e MCFT), parte-se do carregamento último do ensaio e

determina-se analiticamente as deformações, comparando-as com os resultados do

ensaio. A determinação analítica das deformações a partir do carregamento é um

processo iterativo, onde arbitra-se a máxima deformação principal e o ângulo de

inclinação das fissuras, sendo que o processo termina quando atinge-se o equilíbrio

entre os esforços internos e os externos.

Vecchio e Collins fizeram ensaios em 30 elementos de concreto armado submetidos

a carregamentos no próprio plano. A maioria dos ensaios foram conduzidos com

carregamento de cisalhamento puro, alguns elementos foram submetidos à

compressão uniaxial, compressão biaxial combinada com cisalhamento e tração

biaxial combinada com cisalhamento.

Os elementos ensaiados eram quadrados com 890mm de lado e 70mm de

espessura. Eles foram armados com duas camadas de malha de fios de aço

soldados, com os fios paralelos aos lados dos elementos. A malha de aço tinha

espaçamento de 50mm, sendo que o aço utilizado foi laminado a quente, e mostrou

resposta dúctil. A tabela 3.1 contém as características dos elementos ensaiados e os

resultados experimentais.

São analisados alguns casos mais significativos, onde utilizam-se as expressões

(2.1) a (2.3) de Baumann e as expressões (2.42) a (2.71) do MCFT.

46

Tabela 3.1: Características dos modelos

47

3.1 Determinação analítica das deformações a partir do carregamento

3.1.1 Roteiro de cálculo para utilizar o Método de Baumann

Este procedimento é válido quando são conhecidas as armaduras.

Para utilizar as expressões (2.1) a (2.3) de Baumann (válidas para os casos I,II e III),

efetuar os procedimentos:

a) arbitrar ε1 e θ

b) calcular nsx e nsy a partir das expressões



c) calcular nc a partir da expressão [ ]θθ gtgnn xyc cot. += (2.3)

d) determinar f2max da expressão cc

xma fff '.1708,0

'

12 ≤

+=

ε (2.29)

e) calcular f2 a partir da expressão max2fhnc

c ≤=σ (2.4)

f) calcular max2

2

ff

g) determinar ε2 a partir da expressão ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

222

max22 ''.2.

cc

ffεε

εε

(2.27)

onde ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

max2

22 11.'

ff

cεε , que é uma das raízes da equação do 2° grau; a

outra raiz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

max2

211.'f

fcε é desprezada, pois o valor máximo para ε2 é ε’c.

h) calcular εx e εy a partir das expressões


2121 −+

+=x (2.17)


2121 −−

+=y (2.18)

48

i) determinar 2xyγ

da expressão ( 2.2

εεθ )γ−−= x

xy tg (2.7)

j) calcular σsx e σsy a partir das expressões

ydxssx fE ≤= εσ . (2.25)

ydyssy fE ≤= εσ . (2.26)

k) determinar nsx e nsy a partir das expressões sx

sxsx

na

σ= (2.30) e

sy

sysy

na

σ= (2.31) e comparar com os valores do passo b)

l) calcular nx e ny utilizando-se os valores de nsx e nsy do item k) a partir das

expressões



e comparar com os valores previamente conhecidos.

3.1.2 Roteiro de cálculo para utilizar o MCFT

Para utilizar as expressões do MCFT, efetuar os procedimentos:

a) arbitrar ε1 e θ’

b) calcular sθ' a partir da expressão

yx sssen

s'cos'

1' θθθ

+= (2.56)

c) calcular w da expressão 1' .εθsw = (2.55)

d) determinar f1 a partir da expressão 1

1 .5001'.33,0ε+

= cff (2.62)

e) calcular vcimax da expressão

16.2431,0

'.18,0

++

≤

g

cci

aw

fv (2.65)

49

f) determinar f2 da expressão 'cot'

21

θθ gtgffv

++

= (2.44)

g) calcular f2max da expressão cc ff '

.1708,0'

1

≤+ ε

i) calcular max2

2

ff

j) determinar ε2 da expressão ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

22

12 ''

.2..1708,0

'

cc

cffεε

εε

ε (2.61)

k) calcular εx utilizando-se a expressão '1

'.2

212

θεεθε

tgtg

x +−

= (2.54)

l) determinar εy da expressão 21 εεεε ++= yx (2.53)

m) calcular γxy a partir a expressão ( ) 'cot..2 2 θεεγ gxxy += (2.52)

n) determinar fsx e fsy utilizando-se as expressões yxxssx fEf ≤= ε. (2.59)

e yyyssy fEf ≤= ε. (2.60)

o) verificar a condição:

( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ syyyysxyxx ffsenfff −+−≤ (2.64)

p) determinar fx e fy a partir das expressões 'cot.. 1 θρ gvfff sxxx −+= (2.42)

e '.. 1 θρ tgvfff syyy −+= (2.43)

utilizando-se fsx e fsy do passo n) e comparar com os valores previamente

conhecidos.

q) arbitrar ∆ε1cr

r) determinar εxcr da expressão ( )

'1'.

2211

2

θεεεθ

εtg

tg crxcr +

−∆+= (2.67)

s) calcular εycr da expressão ( ) 211 εεεεε −−∆+= xcrcrycr (2.68)

t) calcular fsxcr e fsycr das expressões yxxcrsxcr fEf ≤= ε. (2.69)

e yyycrsycr fEf ≤= ε. (2.70)

u) determinar f1 da expressão ( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ sysycrysxsxcrx ffsenfff −+−=

(2.63) comparando com o valor previamente conhecido do passo d)

v) calcular ( ) ( ) 'cos'...'cos'... θθρθθρ senffsenffv sysycrysxsxcrxci −−−= (2.71)

50

e comparar com vcimax do passo e)

3.1.3 Resumo da análise dos painéis

Os painéis analisados são: PV1, PV5, PV7, PV11, PV21, PV22, PV23, PV25, PV26,

PV28 e PV30, sendo que os resultados detalhados constam no Apêndice A.

Notas:

Nota 1: apesar do sinal da deformação de compressão ser positivo conforme a

convenção do MCFT, nesta tabela os valores aparecem com o sinal negativo.

Nota 2: os carregamentos dos painéis PV23 e PV25 são cisalhamento com

compressão, do PV28 é cisalhamento com tração e dos demais painéis é

cisalhamento puro.

Nota 3: as deformações do ensaio são médias.

Nota 4: As tensões nas armaduras sxσ e syσ obtidas por Baumann e pelo MCFT

são tensões nas fissuras, ao passo que as do ensaio são médias (entre fissuras)

Nota 5: as tensões de ensaio no concreto cσ foram calculadas a partir das

deformações experimentais 1ε e 2ε , utilizando-se a curva tensão-deformação do

concreto proposta por Vecchio e Collins.

51

Painel Situação εyx (‰) εyy (‰) εx (‰) εy (‰) ε1 (‰) ε2 (‰) RupturaEnsaio 2,093 2,392 5,541 -1,056 RupturaBaumann 2,160 2,245 5,673 -1,268 do cantoMCFT 2,163 2,242 5,476 -1,070Ensaio 2,366 2,454 5,570 -0,750Baumann 2,729 2,729 6,300 -0,843MCFT 2,728 2,728 6,133 -0,677Ensaio 1,812 1,834 4,521 -0,875Baumann 1,812 1,812 4,772 -1,149MCFT 1,812 1,812 4,600 -0,976Ensaio 1,432 2,652 5,670 -1,586 EscoamentoBaumann 1,095 1,854 4,104 -1,154 da armaduraMCFT 1,086 1,288 3,178 -0,804Ensaio 1,287 5,162 7,907 -1,458 EscoamentoBaumann 1,714 3,686 6,760 -1,360 da armaduraMCFT 1,680 2,179 4,565 -0,706Ensaio 1,309 1,820 4,189 -1,060Baumann 1,660 1,850 5,167 -1,657MCFT 1,670 1,838 4,729 -1,221Ensaio 0,888 1,085 4,633 -2,660 ConcretoBaumann 1,439 1,439 4,433 -1,554MCFT 1,439 1,439 4,060 -1,182Ensaio 0,288 0,377 3,311 -2,646 ConcretoBaumann 0,753 0,753 2,858 -1,352MCFT 0,753 0,753 2,507 -1,001Ensaio 1,259 2,558 4,824 -1,007 EscoamentoBaumann 1,665 2,672 5,647 -1,310 da armaduraMCFT 1,633 2,281 4,884 -0,940Ensaio 2,116 1,955 6,503 -2,432 ConcretoBaumann 2,037 2,037 5,668 -1,595MCFT 2,037 2,037 5,265 -1,192Ensaio 1,061 2,136 4,318 -1,121 RupturaBaumann 1,517 2,175 4,954 -1,262 do cantoMCFT 1,546 2,134 4,682 -1,002

PV30 2,081 2,248

PV28 2,300 2,300

PV26 2,171 2,205

PV25 2,219 2,219

PV23 2,467 2,467

PV22 2,181 2,000

PV21 2,181 1,438

PV11 1,119 1,119

Tabela 3.2 - Quadro comparativo das deformações

PV1 2,300 2,300

PV5 2,957 2,957

PV7 2,157 2,157

52

Painel Situação σyx σyy σsx (MPa) σsy (MPa) σc (MPa) RupturaEnsaio 439,5 483,0 14,5 RupturaBaumann 453,6 471,5 16,0 do cantoMCFT 454,4 470,9 15,3Ensaio 496,8 515,4 8,3Baumann 573,0 573,0 8,5MCFT 572,9 572,9 7,8Ensaio 380,5 385,1 11,4Baumann 380,4 380,4 13,6MCFT 380,5 380,5 12,9Ensaio 235,0 235,0 7,5 EscoamentoBaumann 230,0 235,0 7,2 da armaduraMCFT 228,1 235,0 6,5Ensaio 270,3 302,0 8,8 EscoamentoBaumann 360,0 302,0 10,4 da armaduraMCFT 352,8 302,0 9,5Ensaio 274,9 382,2 10,1Baumann 348,6 388,4 12,1MCFT 350,7 386,0 11,5Ensaio 186,5 227,9 11,5 ConcretoBaumann 302,2 302,2 17,7MCFT 302,2 302,2 17,0Ensaio 60,5 79,2 11,0 ConcretoBaumann 158,1 158,1 18,2MCFT 158,1 158,1 17,4Ensaio 264,4 463,0 10,2 EscoamentoBaumann 349,7 463,0 10,9 da armaduraMCFT 349,2 463,0 10,3Ensaio 444,4 410,6 9,2 ConcretoBaumann 427,7 427,7 11,6MCFT 427,7 427,7 11,0Ensaio 222,8 448,6 10,4 RupturaBaumann 318,7 456,7 10,3 do cantoMCFT 324,6 448,2 9,7

Tabela 3.3 - Quadro comparativo das tensões

PV1

PV11

PV5

PV7

483

621

453

235

PV21

PV22

466 466

PV23

PV25

302

420

518 518

PV30

PV26

PV28

483

621

453

235

458

458

456 463

483 483

437 472

53

Tensão aço x

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

700,0

0,0 200,0 400,0 600,0

ensaio

anal

ítico Ensaio

BaumannMCFT

Figura 3.1 – gráfico da tensão analítica σsx em função da tensão do ensaio σsx

54

Tensão aço y

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

700,0

0,0 200,0 400,0 600,0

ensaio

anal

ítico Ensaio

BaumannMCFT

Figura 3.2 – gráfico da tensão analítica σsy em função da tensão do ensaio σsy

55

tensão concreto

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

0,0 10,0 20,0

ensaio

anal

ítico Ensaio

BaumannMCFT

Figura 3.3 – gráfico da tensão analítica σc em função da tensão do ensaio σc

56

3.2 Considerações sobre a curva tensão-deformação do concreto

Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação do concreto

(Fonte: NBR 6118:2003, p.24)

Desenvolvendo-se a expressão da relação tensão-deformação do concreto no ELU

da NBR 6118:2003 vem:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

2

‰211..85,0 c

cdc fε

σ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−−=

2

‰2‰2.211..85,0 cc

cdc fεε

σ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−=

2

‰2‰2.211..85,0 cc

cdc fεε

σ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

‰2‰2.2..85,0 cc

cdc fεε

σ

Analisando-se a expressão da relação tensão-deformação do concreto fissurado

proposta por Vecchio e Collins:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

22

12 ''

.2..1708,0

'

cc

cffεε

εε

ε (2.61)

57

onde cc ff '

.1708,0'

1

≤+ ε

.

Observa-se que quando ‰176,11 ≤ε , a expressão (2.61) resulta

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

222

2 ''.2.'

cccff

εε

εε

, que assume uma forma semelhante com a expressão

da norma brasileira.

O fck é a resistência característica do concreto da norma NBR 6118:2003, oriunda de

um universo de valores de ensaio que seguem uma distribuição de Gauss, com

confiabilidade de 95%, onde no máximo 5% dos resultados ensaiados apresentam

resistência inferior ao valor especificado.

O f’c é a resistência característica do concreto da norma ACI 318, porém tem um

critério diferente da norma brasileira, conforme exposto no artigo “Qual a diferença

entre a fck e a f’c do ACI?” de Augusto Carlos de Vasconcelos e Salvador E.

Giammusso, resultando num número pouco maior do que o fck (f’c≈1,10fck).

Para o atendimento da norma NBR 6118:2003 referente às condições de segurança,

os esforços resistentes de cálculo devem ser superiores ou pelo menos iguais aos

esforços solicitantes de cálculo, ou seja, deve ser respeitada a condição:

Rd ≥ Sd

No estado limite último, a distribuição das tensões no concreto se faz de acordo com

o diagrama parábola-retângulo com a tensão de pico igual a 0,85fcd, conforme a

figura 3.4, onde c

ckcd

ff

γ= , onde cγ é o coeficiente de ponderação da resistência do

concreto.

Para o atendimento da NBR 6118:2003 no aspecto segurança e critério de

resistência, para as aplicações no dimensionamento, neste trabalho o valor de f’c

será substituído por 0,85fcd e, as ações serão provenientes das solicitações de

cálculo.

Portanto, é perfeitamente razoável a utilização da expressão (2.61) para a curva

tensão-deformação do concreto, substituindo-se f’c por 0,85fcd.

58

3.3 Comparação entre o Método de Baumann e o MCFT para o

dimensionamento de modelos hipotéticos

Serão dimensionados alguns modelos hipotéticos pelo Método de Baumann

fazendos-se a verificação pelo MCFT, comparando ambos os processos. Serão

adotados para os modelos: concreto com fck=25 MPa, armadura CA50 e espessura

dos painéis de 12cm.

59

3.3.1 Painel A (caso I – tração nas armaduras nas duas direções)

Baumann

mkNnnn xyxsx /550300250 =+=+=

mkNnnn xyysy /470300170 =+=+=

mcmn

asx

sxsx /65,12

5015,1.550 2===

σ

mcmn

asy

sysy /81,10

5015,1.470 2===

σ

mkNnn xyc /600300.2.2 ===

MPaff

f cdck

cd 64,986,17.250251.60,0.

2501.60,02 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

MPafMPamkNhn

cdc

c 64,95/500012,0

6002

2 =<====σ

MPafc 42,9max2 =<σ

‰07,2=xε , ‰07,2=yε , °= 45θ

1221 εεεεεεεε −+=→+=+ yxyx

60

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

11

1

222

12 ''

.2.1708,0'

''.2.

.1708,0'

c

yx

c

yxc

cc

c fffε

εεεε

εεεεε

εεε

ε

‰770,4‰2

‰07,2‰07,2‰2

‰07,2‰07,2.2..1708,0

18,155 1

211

12 =→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+== εεε

εf

‰63,0‰77,4‰07,2‰07,22 −=−+=ε

MPax

ff c 42,9‰77,41708,0

18,151708,0'

1max2 =

+=

+=

ε

Baumann

nx (kN/m) 250 250,00170,00

550,00470,00

0,53

ny (kN/m) 170nxy (kN/m) 300h (m) 0,12asx (cm2/m) 12,65asy (cm2/m) 10,81fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 4,771θ (°) 45,000θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 550,00nsy (kN/m) 470,00nc (kN/m) 600,00f2 max (MPa) 9,42f2 max (MPa) 9,42f2 (MPa) 5,00f2/f2 maxε2 (‰) -0,630εx (‰) 2,071εy (‰) 2,071γxy/2 (‰) 2,700σsx (MPa) 434,82σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) 434,82σsy (MPa) 434,78

61

Modified Compression Field Theory

fx (MPa) 2,083 2,0831,417

0,481,25

0,45

fy (MPa) 1,417v (MPa) 2,5ρx 0,01054ρy 0,00901fyx (MPa) 434,78fyy (MPa) 434,78sx (mm) 100sy (mm) 100f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) 2ag (mm) 19ε1 (‰) 4,186θ' (°) 45,15θ' (rad) 0,7880sθ' 70,71w (mm) 0,30f1 (MPa) 0,482f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 4,52f2max (MPa) 10,04f2max (MPa) 10,04f2/f2maxε2 (‰) 0,517εx (‰) 1,847εy (‰) 1,822γxy (‰) 4,703fsx (MPa) 387,86fsx (MPa) 387,86fsy (MPa) 382,69fsy (MPa) 382,69∆ε1cr (‰) 0,498εxcr (‰) 2,097εycr (‰) 2,070fsxcr (MPa) 440,43fsxcr (MPa) 434,78fsycr (MPa) 434,71fsycr (MPa) 434,71f1 (MPa) 0,482vci (MPa) 0,01

62

3.3.2 Painel B (Caso II - tração na armadura na direção do eixo y)

(nx < 0 e │nx│ > │nxy│ → nsx = 0)

Baumann

°=→−

−=−= 71,51300380 θθ

xy

x

nntg

mkNn

nnn

x

xyysy /8,406

380300170

22

=−

−=−=

0=sxa

mcmn

asy

sysy /36,9

5015,1.8,406 2===

σ

( ) mkNn

nnn

x

xyxc /8,616

380300380

22

=−

−−−=−−=

MPafMPamkNhn

cdc

c 64,914,5/514012,0

8,6162

2 =<====σ

MPafc 61,10max2 =<σ

‰07,2=yε , °= 71,51θ

°−

++

=−

++

=42,103cos.2‰07,2

2‰07,2

2cos.221xxyxyx εε

θεεεε

ε

63

°−

−+

=−

−+

=42,103cos.2‰07,2

2‰07,2

2cos.222xxyxyx εε

θεεεε

ε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

22

1

222

12 ‰2‰2

.2..1708,0

18,1514,5''

.2..1708,0

' εεεε

εεε

ε cc

cff

‰078,1=→ xε , ‰711,31 =ε , ‰563,02 −=ε

MPaf

f c 61,10‰711,3.1708,0

18,151708,0'

1max2 =

+=

+=

ε

Baumann

nx (kN/m) -380 -380,00170,07

0,00406,91

0,48

ny (kN/m) 170nxy (kN/m) 300h (m) 0,12asx (cm2/m) 0asy (cm2/m) 9,36fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 3,712θ (°) 51,710θ (rad) 0,9025nsx (kN/m) 0,00nsy (kN/m) 406,84nc (kN/m) 616,84f2 max (MPa) 10,61f2 max (MPa) 10,61f2 (MPa) 5,14f2/f2 maxε2 (‰) -0,564εx (‰) 1,078εy (‰) 2,070γxy/2 (‰) 2,080σsx (MPa) 226,32σsx (MPa) 226,32σsy (MPa) 434,73σsy (MPa) 434,73

64


fx (MPa) -3,167 -3,1671,417

0,591,26

0,39

fy (MPa) 1,417v (MPa) 2,5ρx 0ρy 0,0078fyx (MPa) 434,78fyy (MPa) 434,78sx (mm) 1,00E+99sy (mm) 100f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) 2ag (mm) 19ε1 (‰) 2,438θ' (°) 33,85θ' (rad) 0,5908sθ' 120,41w (mm) 0,29f1 (MPa) 0,560f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 4,84f2max (MPa) 12,50f2max (MPa) 12,50f2/f2maxε2 (‰) 0,435εx (‰) 0,457εy (‰) 1,547γxy (‰) 2,658fsx (MPa) 95,87fsx (MPa) 95,87fsy (MPa) 324,80fsy (MPa) 324,80∆ε1cr (‰) 0,719εxcr (‰) 0,680εycr (‰) 2,043fsxcr (MPa) 142,72fsxcr (MPa) 142,72fsycr (MPa) 428,94fsycr (MPa) 428,94f1 (MPa) 0,560vci (MPa) -0,38

65

3.3.3 Painel C (Caso III - tração na armadura na direção do eixo x)

(ny < 0 e │ny│ > │nxy│ → nsy = 0)

Baumann

°=→−

−=−= 759,27300570cot θθ

xy

y

nn

g

mkNn

nnn

y

xyxsx /9,537

570300380

22

=−

−=−=

mcmn

asx

sxsx /37,12

5015,1.9,537 2===

σ

0=sya

( ) mkNn

nnn

y

xyyc /9,727

570300570

22

=−

−−−=−−=

MPafMPamkNhn

cdc

c 64,907,6/606612,0

9,7272

2 =<====σ

MPafc 88,11max2 =<σ

‰07,2=xε , °= 759,27θ

°

−+

+=

−+

+=

517,55cos.2‰07,2

2‰07,2

2cos.221yyyxyx εε

θεεεε

ε

°

−−

+=

−−

+=

517,55cos.2‰07,2

2‰07,2

2cos.222yyyxyx εε

θεεεε

ε

66

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

22

1

222

12 ‰2‰2

.2..1708,0

18,1507,6''

.2..1708,0

' εεεε

εεε

ε cc

cff

‰139,0=→ yε , ‰810,21 =ε , ‰601,02 −=ε

MPaf

f c 88,11‰810,2.1708,0

18,151708,0'

1max2 =

+=

+=

ε

Baumann

nx (kN/m) 380 379,93-570,01

537,820,00

0,51

ny (kN/m) -570nxy (kN/m) 300h (m) 0,12asx (cm2/m) 12,37asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 2,811θ (°) 27,758θ (rad) 0,4845nsx (kN/m) 537,89nsy (kN/m) 0,01nc (kN/m) 727,90f2 max (MPa) 11,88f2 max (MPa) 11,88f2 (MPa) 6,07f2/f2 maxε2 (‰) -0,601εx (‰) 2,071εy (‰) 0,139γxy/2 (‰) 1,406σsx (MPa) 434,89σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) 29,23σsy (MPa) 29,23

67


fx (MPa) 3,167 3,167-4,750

0,581,34

0,46

fy (MPa) -4,75v (MPa) 2,5ρx 0,01031ρy 0fyx (MPa) 434,78fyy (MPa) 434,78sx (mm) 100sy (mm) 1,00E+99f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) 2ag (mm) 19ε1 (‰) 2,242θ' (°) 64,84θ' (rad) 1,1317sθ' 110,48w (mm) 0,25f1 (MPa) 0,572f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 5,92f2max (MPa) 12,85f2max (MPa) 12,85f2/f2maxε2 (‰) 0,532εx (‰) 1,741εy (‰) -0,030γxy (‰) 2,135fsx (MPa) 365,54fsx (MPa) 365,54fsy (MPa) -6,36fsy (MPa) -6,36∆ε1cr (‰) 0,393εxcr (‰) 2,063εycr (‰) 0,041fsxcr (MPa) 433,15fsxcr (MPa) 433,15fsycr (MPa) 8,56fsycr (MPa) 8,56f1 (MPa) 0,571vci (MPa) 0,27

68

Painel Situação εyx (‰) εyy (‰) εx (‰) εy (‰) ε1 (‰) ε2 (‰)

Baumann 2,071 2,071 4,771 -0,630MCFT 2,097 2,070 4,684 -0,517Baumann 1,078 2,070 3,712 -0,564MCFT 0,680 2,043 3,157 -0,435Baumann 2,071 0,139 2,811 -0,601MCFT 2,063 0,041 2,635 -0,532

B 2,070 2,070

C 2,070 2,070

Tabela 3.4 - Quadro comparativo das deformações

A 2,070 2,070

Painel Situação σyx σyy σsx (MPa) σsy (MPa) σc (MPa)

Baumann 434,8 434,8 5,0MCFT 434,8 434,7 4,5Baumann 0,0 434,7 5,1MCFT 0,0 428,9 4,8Baumann 434,8 0,0 6,1MCFT 433,2 0,0 5,9

Tabela 3.5 - Quadro comparativo das tensões

A

B

C

434,8

434,8

434,8

434,8

434,8

434,8

69

4 Estudo da armadura de compressão no caso III

Serão estudados alguns painéis hipotéticos utilizando apenas o Método de

Baumann, onde ny < 0 e │ny│ > │nxy│. Todos os painéis têm espessura de 12cm,

armadura CA50 e concreto fck=25 MPa. No caso III é necessária apenas a armadura

paralela ao eixo x.

Definindo-se a solicitação de cisalhamento puro que esgote o concreto:

mkNxfhnfhn

cdccdc

c /8,1156964012,0. 22 ==≤→≤=σ

Utilizando a expressão (2.24), mkNn

nnn cxyxyc /4,578

28,1156

2.2 ===→=

mkNnxy /4,578max =∴

Consideram-se os seguintes carregamentos transversais:

mkNnn xyxy /120.2,0 max ≅=



Para cada , determina-se em que a tensão no concreto é superior a e

igual a . Depois aumenta-se limitando a tensão no concreto em e,

estuda-se a utilização da armadura paralela ao eixo y.

xyn yn 2cdf

max2f yn max2f

70

4.1 Painel D

°=→−

−=−= 427,41201550cot θθ

xy

y

nn

g

mkNn

nnn

y

xyxsx /3,329

1550120320

22

=−

−=−=

mcmn

asx

sxsx /57,7

5015,1.3,329 2===

σ

0=sya

( ) mkNn

nnn

y

xyyc /3,1559

15501201550

22

=−

−−−=−−=

MPafMPamkNhn

cdc

c 64,999,12/1299412,0

3,15592

2 =>====σ e max2fc ≅σ

71

ny (kN/m) 1550nxy (kN/m) 120h (m) 0,12asx (cm2/m) 7,57asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 2,166θ (°) 4,427θ (rad) 0,0773nsx (kN/m) 329,29nsy (kN/m) 3099,99nc (kN/m) 1559,28f2 max (MPa) 12,99f2 max (MPa) 12,99f2 (MPa) 12,99f2/f2 maxε2 (‰) -1,994εx (‰) 2,141εy (‰) -1,969γxy/2 (‰) 0,320σsx (MPa) 449,66σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) -413,50σsy (MPa) -413,50

Baumann

nx (kN/m) 320 319,84-1549,99

329,130,00

1,00

Aumentando-se o valor de , a deformação yn 2ε mantém-se em -2‰. Da expressão

(2.17), θεεεεε 2cos.22

2121 −+

+=x . Substituindo-se 22 −=ε ‰ vem:

θεεε 2cos.2

‰22

‰2 11 ++

−=x

( ) θεεε 2cos.‰2‰2.2 11 ++−=x

θθεεε 2cos.‰22cos.‰2.2 11 ++−=x

( ) θεθε 2cos.‰2‰2.22cos1.1 −+=+ x

θθε

ε2cos1

2cos.‰2‰2.21 +

−+= x (4.1)

Fazendo-se e igualando com a expressão (2.3) hfn xmac .2= [ ]θθ gtgnn xyc cot. +=

vem:

72

[ ]θθ gtgnhf xyxma cot..2 +=

Da expressão (2.28), cc

xma fff '.1708,0

'

12 ≤

+=

ε

Substituindo-se 1ε e vem: max2f

[ θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+] (4.2)

Uma vez fixado xε , extrai-se da expressão (4.2) o ângulo θ .

Com o valor de θ , verifica-se se 1ε da expressão (4.1) é maior do que 1,176‰.

Caso contrário, a expressão (4.2) resulta [ ]θθ gtgnhf xyc cot..' += (4.3)

Com θ extraído da expressão (4.2) ou (4.3), calcula-se 1ε da expressão (4.1).

Determina-se yε da expressão yx εεεε +=+ 21 (2.15)

Com as deformações xε e yε calcula-se xσ e yσ .

Determina-se e das expressões sxn syn θ.tgnnn xyxsx += (2.1) e

θg.nnn xyysy cot+= (2.2) e finalmente as armaduras necessárias.

4.2 Painel E

Adotando-se mkNny /23001550.5,1 ≅=

73

Fixando-se xε em ‰07,2=yxε vem:

[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtg cot.120

2cos12cos.‰2‰2‰07,2.2.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+380,4cot.120

2cos12cos.‰2‰14,6.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰094,276,8cos1

2‰.cos8,76-2‰‰07,2.22cos1

2cos.‰2‰2.21 >=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰976,12,07‰2‰-‰094,221 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 8,434=σ

( ) MPay 415‰976,1.210000 −=−=σ

mkNtg.tgnnn xyxsx /2,32938,4.120320 =°+=+= θ

mkNgg.nnn xyysy /3,73338,4cot.1202300cot −=°+−=+= θ

[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /9,157538,4cot38,4.120cot. =°+°=+= θθ

mcmasx /57,748,432,329 2==

mcmasy /67,175,413,733 2=

−−

=

74

mcmaaa sysxstotal /24,2567,1757,7 2=+=+=

Fixando-se xε em ‰55,1.75,0 =yxε vem:

[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtg cot.120

2cos12cos.‰2‰2‰55,1.2.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+039,4cot.120

2cos12cos.‰2‰1,5.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰568,1078,8cos1

82‰.cos8,07-2‰‰55,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 >=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰982,11,55‰2‰-‰568,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 5,325‰55,1210000. ==σ

( ) MPay 2,416‰982,1.210000 −=−=σ




mcmasx /09,1055,325,328 2==

mcmasy /43,1462,41

5,600 2=−−

=



[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

75

[ ]θθ

θθ

gtgx

cot.120

2cos12cos.‰2‰2‰04,12.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+705,3cot.120

2cos12cos.‰2‰08,4.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰053,141,7cos1

2‰.cos7,41-2‰‰04,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 <=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

As expressões acima não são válidas, pois ‰176,11 <ε

[ ]θθ gtgnhf xyc cot..' +=

[ ] °=→+= 785,3cot.12012,0.15180 θθθ gtg

‰053,157,7cos1

2‰.cos7,57-2‰‰04,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 =

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰987,11,04‰2‰-‰053,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 4,218‰04,1210000. ==σ

( ) MPay 3,417‰987,1.210000 −=−=σ




mcmasx /01,1584,21

9,327 2==

mcmasy /65,1173,41

1,486 2=−−

=


Pode-se observar das expressões (4.1) a (4.3) que, uma vez fixado xε , as

deformações dependem exclusivamente do carregamento transversal . Portanto

para alterações de , ocorre somente uma variação linear no valor de sendo

dispensável a adoção de outros valores de .

xyn

yn syn

yn

76

4.3 Painel F

°=→−

−=−= 634,133501443cot θθ

xy

y

nn

g

mkNn

nnn

y

xyxsx /9,404

1443350320

22

=−

−=−=

mcmn

asx

sxsx /31,9

5015,1.9,404 2===

σ

0=sya

( ) mkNn

nnn

y

xyyc /9,1527

14433501443

22

=−

−−−=−−=

MPafMPamkNhn

cdc

c 64,973,12/1273312,0

9,15272

2 =>====σ e max2fc ≅σ

77

ny (kN/m) -1443nxy (kN/m) 350h (m) 0,12asx (cm2/m) 9,31asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 2,307θ (°) 13,634θ (rad) 0,2380nsx (kN/m) 404,89nsy (kN/m) -0,02nc (kN/m) 1527,87f2 max (MPa) 12,73f2 max (MPa) 12,73f2 (MPa) 12,73f2/f2 maxε2 (‰) -1,986εx (‰) 2,068εy (‰) -1,748γxy/2 (‰) 0,984σsx (MPa) 434,37σsx (MPa) 434,37σsy (MPa) -367,04σsy (MPa) -367,04

Baumann

nx (kN/m) 320 319,51-1442,98

404,400,00

1,00

78

4.4 Painel G

Adotando-se mKNny /21601443.5,1 ≅=


[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtg cot.350

2cos12cos.‰2‰2‰07,2.2.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+639,13cot.350

2cos12cos.‰2‰14,6.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰310,2278,27cos1

782‰.cos27,2-2‰‰07,2.22cos1

2cos.‰2‰2.21 >=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰760,12,07‰2‰-‰310,221 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 8,434=σ

( ) MPay 6,369‰760,1.210000 −=−=σ



79


mcmasx /31,948,439,404 2==

mcmasy /42,1996,36

6,717 2=−−

=



[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtgx

cot.350

2cos12cos.‰2‰2‰55,12.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+415,12cot.350

2cos12cos.‰2‰1,5.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰722,183,24cos1

32‰.cos24,8-2‰‰55,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 >=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰828,11,55‰2‰-‰722,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 5,325‰55,1210000. ==σ

( ) MPay 9,383‰828,1.210000 −=−=σ

mkNtg.tgnnn xyxsx /397415,12.350320 =°+=+= θ



mcmasx /20,1255,32

397 2==

mcmasy /85,1439,38

1,570 2=−−

=

mcmAAa sysxstotal /05,2785,1420,12 2=+=+=

80


[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtgx

cot.350

2cos12cos.‰2‰2‰04,12.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+268,11cot.350

2cos12cos.‰2‰08,4.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰161,1536,22cos1

362‰.cos22,5-2‰‰04,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 <=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

As expressões acima não são válidas, pois ‰176,11 <ε

[ ]θθ gtgnhf xyc cot..' +=

[ ] °=→+= 300,11cot.35012,0.15180 θθθ gtg

‰161,16,22cos1

2‰.cos22,6-2‰‰04,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 =

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰879,11,04‰2‰-‰161,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 4,218‰04,1210000. ==σ

( ) MPay 6,394‰879,1.210000 −=−=σ




mcmasx /86,1784,21

390 2==

mcmasy /35,1046,39

4,408 2=−−

=


81

4.5 Painel H

°=→−

−=−= 565,265501100cot θθ

xy

y

nn

g

mkNn

nnn

y

xyxsx /0,595

1100550320

22

=−

−=−=

mcmn

asx

sxsx /69,13

5015,1.595 2===

σ

0=sya

( ) mkNn

nnn

y

xyyc /0,1375

11005501100

22

=−

−−−=−−=

MPafMPamkNhn

cdc

c 64,946,11/1145812,0

13752

2 =>====σ e max2fc ≅σ

82

ny (kN/m) -1100nxy (kN/m) 550h (m) 0,12asx (cm2/m) 13,69asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 3,087θ (°) 26,565θ (rad) 0,4636nsx (kN/m) 595,00nsy (kN/m) 0,00nc (kN/m) 1375,00f2 max (MPa) 11,46f2 max (MPa) 11,46f2 (MPa) 11,46f2/f2 maxε2 (‰) -1,995εx (‰) 2,071εy (‰) -0,979γxy/2 (‰) 2,033σsx (MPa) 434,83σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) -205,51σsy (MPa) -205,51

Baumann

nx (kN/m) 320 320,21-1100,00

595,210,00

1,00

83

4.6 Painel I

Adotando-se mkNny /16501100.5,1 ≅=


[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtg cot.550

2cos12cos.‰2‰2‰07,2.2.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+569,26cot.550

2cos12cos.‰2‰14,6.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰088,3138,53cos1

382‰.cos53,1-2‰‰07,2.22cos1

2cos.‰2‰2.21 >=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰982,02,07‰2‰-‰088,321 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 8,434=σ

( ) MPay 2,206‰982,0.210000 −=−=σ


84



mcmasx /68,1348,43

595 2==

mcmasy /68,2662,202,550 2=

−−

=



[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtg cot.550

2cos12cos.‰2‰2‰55,1.2.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+373,22cot.550

2cos12cos.‰2‰1,5.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰151,2746,44cos1

462‰.cos44,7-2‰‰55,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 >=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰399,11,55‰2‰-‰151,221 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 5,325‰55,1210000. ==σ

( ) MPay 8,293‰399,1.210000 −=−=σ




mcmasx /79,1655,32

4,546 2==

mcmasy /68,1038,298,313 2=

−−

=


85


[ ]θθ

θθε

gtgnhfxy

x

c cot.

2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0

.'+=

+−+

+

[ ]θθ

θθ

gtg cot.550

2cos12cos.‰2‰2‰04,1.2.1708,0

12,0.15180+=

+−+

+

[ ] °=→+=

+−

+486,19cot.550

2cos12cos.‰2‰08,4.1708,0

12,0.15180 θθθ

θθ

gtg

1,176‰‰421,1972,38cos1

722‰.cos38,9-2‰‰04,1.22cos1

2cos.‰2‰2.21 >=

°+°+

=+

−+=

θθε

ε x

‰619,11,04‰2‰-‰421,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε

MPax 4,218‰04,1210000. ==σ

( ) MPay 0,340‰619,1.210000 −=−=σ




mcmasx /56,2384,21

6,514 2==

mcmasy /81,234

6,95 2=−

−=


86

Painel εx (‰) εy (‰) ε1 (‰) ε2 (‰) nc (KN/m) asx asy astotal

2,07 -1,976 2,094 -2,000 1576 7,57 17,67 25,241,55 -1,982 1,568 -2,000 1708 10,09 14,43 24,521,04 -1,987 1,053 -2,000 1861 15,01 11,65 26,662,07 -1,760 2,310 -2,000 1527 9,31 19,42 28,731,55 -1,828 1,722 -2,000 1667 12,20 14,85 27,051,04 -1,879 1,161 -2,000 1826 17,86 10,35 28,212,07 -0,982 3,088 -2,000 1375 13,68 26,68 40,361,55 -1,399 2,151 -2,000 1563 16,79 10,68 27,471,04 -1,619 1,421 -2,000 1749 23,56 2,81 26,37

Tabela 4.1 - Comparação das deformações e das armaduras

E

G

I

Painel E

010

2030

0 1 2 3

def.x

As

(cm

2/m

)

AsxAsyAs total

Figura 4.1 – Gráfico das armaduras em função da deformação εx para o painel E

Painel G

010203040

0 1 2 3

def. x

As

(cm

2/m

)

AsxAsyAs total

Figura 4.2 – Gráfico das armaduras em função da deformação εx para o painel G

87

Painel I

020

4060

0 1 2 3

def. xA

s (c

m2/

m)

AsxAsyAs total

Figura 4.3 – Gráfico das armaduras em função da deformação εx para o painel I

Painel E

15001600170018001900

0 1 2 3

def. x

nc (K

N/m

)

Figura 4.4 – Gráfico do esforço nc em função da deformação εx para o painel E

Painel G

15001600170018001900

0 1 2 3

def. x

nc (K

N/m

)

Figura 4.5 – Gráfico do esforço nc em função da deformação εx para o painel G

88

Painel I

0500

100015002000

0 1 2 3

def. xnc

(KN/

m)

Figura 4.6 – Gráfico do esforço nc em função da deformação εx para o painel I

89

5 Estudo da armadura de compressão no caso IV

5.1 Equilíbrio

O caso IV ocorre quando ambas as forças são de compressão, nx<0 ,ny<0 e

nx.ny≥nxy2, não sendo necessária armadura de tração. Nesta situação serão

instaladas armaduras, onde efetua-se o equilíbrio das forças num trecho do

elemento de chapa, onde um dos lados é paralelo a um dos planos principais,

conforme ilustra a figura 5.1.

Figura 5.1 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção de ε2


0..cos.. =−++− θθθθ sennsennnsenn csxxyx

θθθθ sennnsennsenn sxxyxc .cos... ++−=

sxxyxc ngnnn ++−= θcot.

θgnnnn xyxsxc cot.+−= (5.1)

xy

sxxc

nnnng −+

=θcot (5.2)

90


0cos.cos..cos. =+−− θθθθ csyxyy nnsennn

θθθθ cos..cos.cos. syxyyc nsennnn ++−=

θtgnnnn xyysyc .+−= (5.3)

sxxc

xyxyysyc nnn

nnnnn

−++−= .

sxxc

xyysyc nnn

nnnn

−++−=

2

( ) ( ) ( ) 2... xyysxxcsysxxccsxxc nnnnnnnnnnnnn +−+−−+=−+

22 ........ xyysxyxcysysxsyxcsycsxcxc nnnnnnnnnnnnnnnnnn ++−−−+=−+

0........ 22 =−−+++−−−+ xyysxyxcysysxsyxcsycsxcxc nnnnnnnnnnnnnnnnnn

( ) 0..... 22 =−−++−−+−+ xyysxyxsysxsyxcsyysxxc nnnnnnnnnnnnnnn

( ) ( )[ ] ( )22 .....4 xyysxyxsysxsyxsyysxx nnnnnnnnnnnnn −−++−−−+−=∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 .4..4..2 xysyysxxsyysyysxxsxx nnnnnnnnnnnnn +−−−−+−−+−=∆

( ) ( )( ) ( ) 222 .4..2 xysyysyysxxsxx nnnnnnnnn +−+−−−−=∆

( ) ( )[ ] 22 .4 xysyysxx nnnnn +−−−=∆

( ) ( ) ( )[ ]2

.4 22xysyysxxsyysxx

c

nnnnnnnnnn

+−−−±−+−−=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 22

42 xysyysxxsyysxx

c nnnnnnnnn

n +−−−

±−+−

−= (5.4)

Observa-se que esta expressão é semelhante à (2.4.1), onde no lugar de e de ,

aparecem os termos e

xn yn

sxx nn − syy nn − respectivamente.

( ) 22

42 xyyxyx

c nnnnn

n +−

±+

−= (2.41)

A expressão (5.4) consta no Bulletin d’ Information n° 223, na página 182.

91

Entretanto enquanto que na expressão (2.41), depende exclusivamente do

carregamento aplicado, na equação (5.4) depende dos esforços nas armaduras que

não se conhece, pois não são conhecidas as deformações.

cn

Portanto é mais interessante utilizar outra expressão que seja mais fácil de operar

para a obtenção de . cn

Efetuando-se o equilíbrio das forças no trecho do elemento de chapa, onde um dos

lados é paralelo ao outro plano principal, conforme ilustra a figura 5.2, vem:

Figura 5.2 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção de ε1


0cos.'cos.cos.. =+−+ θθθθ csxxxy nnnsenn

θθθθ sennnnn xycxsx .cos.'cos.cos. ++=

θtgnnnn xycxsx .' ++= (5.5)


0.'.cos.. =+−+ θθθθ sennsennnsenn csyxyy

θθθθ cos..'.. xycysy nsennsennsenn ++=

θgnnnn xycysy cot.' ++= (5.6)

Substituindo-se (5.5) em (5.1) vem:

92

θθ gnntgnnnn xyxxycxc cot..' +−++=

θθ gntgnnn xyxycc cot..' ++=

( )θθ gtgnnn xycc cot.' ++= (5.7)

Analogamente, substituindo-se (5.6) em (5.3) chega-se à mesma expressão anterior.

5.2 Painel J

Será estudado um painel hipotético utilizando apenas o Método de Baumann, onde

nx < 0, ny < 0 e nx.ny > nxy2, em que a tensão no concreto é igual a .

O painel tem espessura de 12cm, armadura CA50 e concreto f

cdff .85,0max2 =

ck=25 MPa.

( ) ( ) 22

22

8354

70012002

700120042

+−−−

±−−

−=+−

±+

−= xyyxyx

c nnnnn

n

62,871950 ±=cn

mkNnc /6,1821=

mkNn c /4,78' =

93

°=→−

=+

= 33,53835

12006,1821cot θθxy

xc

nnng

cdc

c fMPamkNhn

.85,018,15/1518012,0

6,1821 2 =====σ

MPafc 18,15max2 ==σ

MPamkNh

n cc 65,0/653

12,04,78'

' 2 ====σ

‰043,018,1565,011.‰211.'

max2

11 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

ff

cεε

‰218,1518,1511.‰211.'

max2

22 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

ff

cεε

°+−

+−−

=−

++

= 66,106cos.2

2‰‰043,02

‰2‰043,02cos.22

2121 θεεεεε x

‰302,1−=xε

°+−

−−−

=−

−+

= 66,106cos.2

2‰‰043,02

‰2‰043,02cos.22

2121 θεεεε

ε y

‰741,0−=yε

0== sysx aa

Aumentando-se o valor de e , a deformação xn yn 2ε mantém-se em -2‰. Uma vez

fixado θ , calcula-se a partir da expressão cn hfhfn cc .'.max2 == . Conhecido o valor

de , determina-se utilizando-se a expressão cn cn' ( )θθ gtgnnn xycc cot.' ++= (5.7) e

em seguida, 1'

' fh

n cc ==σ . Com o valor de c'σ ,calcula-se a deformação 1ε , que é de

compressão, a partir da expressão ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

max2

11 11.'

ff

cεε .

A partir de 1ε , 2ε e θ , calcula-se θεεεεε 2cos.22

2121 −+

+=x (2.17) e


2121 −−

+=y (2.18) e determina-se sxσ e syσ .

94

Por fim, calculam-se os esforços nas armaduras com as expressões

θtgnnnn xycxsx .' ++= (5.5) e θgnnnn xycysy cot.' ++= (5.6) e as respectivas

armaduras.

5.3 Painel K

Considerando-se o carregamento do painel J, e serão aumentados em 50℅. xn yn

mkNnx /18005,1.1200 −=−=

mkNnx /10505,1.700 −≅=−=

Fixando-se °= 33,53θ , vem:

mkNnc /6,1821=

mkNn c /4,78' =

‰043,01 −=ε

‰22 −=ε

‰302,1−=xε

‰741,0−=yε

( ) -273,4MPa‰302,1.210000 =−=sxσ

95

( ) -155,6MPa‰741,0.210000 =−=syσ

mkNtgtgnnnn xycxsx /60033,53.8354,781800.' −=°++−=++= θ

mkNggnnnn xycysy /35033,53cot.8354,781050cot.' −=°++−=++= θ

mcmasx /95,2134,27

600 2=−−

=

mcmasy /49,2256,15

350 2=−−

=


Fixando-se °= 49θ , vem:

( ) ( )°+°+=→++= 49cot49.835'6,1821cot.' gtgngtgnnn cxycc θθ

( ) mkNgtgn c /2,13549cot49.8356,1821' =°+°−=

MPamkNh

n cc 13,1/1127

12,02,135'

' 2 ====σ

‰076,018,15

13,111.‰211.'max2

11 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

ff

cεε

‰172,198cos.2

2‰‰076,02

2‰-‰076,02cos.22

2121 −=°+−

+−

=−

++

= θεεεεε x

‰904,098cos.2

2‰‰076,02

2‰-‰076,02cos.22

2121 −=°+−

−−

=−

−+

= θεεεεε y

( ) -246,1MPa‰172,1.210000 =−=sxσ

( ) -189,8MPa‰904,0.210000 =−=syσ



mcmasx /61,2861,242,704 2=

−−

=

mcmasy /95,998,189,188 2=

−−

=


Fixando-se °= 45θ , vem:

96

( ) ( )°+°+=→++= 45cot45.835'6,1821cot.' gtgngtgnnn cxycc θθ

( ) mkNgtgn c /6,15145cot45.8356,1821' =°+°−=

MPamkNh

n cc 26,1/1263

12,06,151'

' 2 ====σ

‰085,018,1526,111.‰211.'

max2

11 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

ff

cεε

‰043,190cos.2

2‰‰085,02

2‰-‰085,02cos.22

2121 −=°+−

+−

=−

++

= θεεεεε x

‰043,190cos.2

2‰‰085,02

2‰-‰085,02cos.22

2121 −=°+−

−−

=−

−+

= θεεεεε y

( ) -219,0MPa‰043,1.210000 =−== sysx σσ



mcmasx /14,379,214,813 2=

−−

=

mcmasy /89,29,214,63 2=

−−

=


97

Painel ε1 (‰) ε2 (‰) εx (‰) εy (‰) θ (‰) nc (KN/m) Asx Asy Astotal

-0,043 -2,000 -1,302 -0,741 53,330 1821,6 21,95 22,49 44,44-0,076 -2,000 -1,172 -0,904 49,000 1821,6 28,61 9,95 38,56-0,085 -2,000 -1,043 -1,043 45,000 1821,6 37,14 2,89 40,03

Tabela 5.1 - Quadro comparativo das deformações e armaduras

K

Painel K

020

4060

40,000 45,000 50,000 55,000

ângulo (°)

As

(cm

2/m

)

AsxAsyAs total

Figura 5.3 – Gráfico das armaduras em função do ângulo θ para o painel K

98

6 Discussão dos resultados

Verifica-se que as tensões de compressão no concreto obtidas através de Baumann

são maiores que as do MCFT, e em geral maiores do que as experimentais.

Pelo fato de desconsiderar a resistência à tração do concreto entre fissuras, as

deformações na direção perpendicular às fissuras ficam superestimadas, conduzindo

a valores de resistência à compressão, na direção paralela às fissuras, a favor da

segurança.

Nos painéis PV23 e PV25 foi necessário aumentar o fć em 41% para o primeiro e

30% para o segundo, uma vez que as tensões no concreto σc resultaram acima da

curva tensão-deformação; as deformações ε2 medidas no ensaio resultaram 33% e

47% acima de ε’c, para os painéis PV23 e PV25 respectivamente. Para estes painéis

houve ruptura do concreto e, o que se espera é que a tensão de ruptura seja

superior a fć , que é a resistência característica do concreto segundo o ACI 318 e, a

deformação de ruptura ε2 seja superior a ε’c, o que de fato ocorreu. Em virtude da

necessidade do aumento do fć, houve uma incoerência entre as deformações e

tensões do ensaio e os resultados analíticos para os painéis PV23 e PV25.

Nos painéis PV21, PV22 e PV28 também foi necessário aumentar o fć em

aproximadamente 10% , já que as tensões no concreto σc resultaram acima da

curva tensão-deformação. Entretanto houve uma distorção entre as deformações do

ensaio e os resultados analíticos somente para o painel PV28.

As tensões experimentais médias medidas nas armaduras deveriam ser sempre

menores do que os valores obtidos analiticamente na região das fissuras, o que nem

sempre ocorreu, provavelmente devido à baixa contribuição da resistência à tração

do concreto na situação de ruptura, onde há intensa fissuração dos painéis.

Comparando-se Baumann com o MCFT, observa-se que em geral há um

alinhamento entre as tensões e deformações nas armaduras nas fissuras, havendo

pouca diferença entre ambos.

À semelhança do que aconteceu com as tensões, as deformações experimentais

deveriam ser sempre menores do que as obtidas por Baumann e o MCFT.

99

Em particular para os painéis PV11 e PV21, as deformações médias experimentais

medidas nas armaduras para a situação de ruptura se mostraram bastante

superiores às obtidas analiticamente pelo Baumann e o MCFT.

Esta diferença na previsão dos modelos pode ter ocorrido porque algumas das suas

hipóteses básicas foram violadas, tais como a coincidência entre a direção das

deformações e tensões principais. As deformações εy atingiram 2,37 e 3,59 vezes as

respectivas deformações de escoamento das armaduras.

Para corrigir as deficiências do MCFT devido à presença de grandes deformações

nas armaduras, Vecchio implementou o DSFM com modificações nas hipóteses em

relação às adotadas no primeiro. Neste trabalho não foi abordado o DSFM, uma vez

que para o dimensionamento não é interessante ter deformações nas armaduras

superiores às do início do patamar do escoamento, que podem levar à uma

fissuração exagerada.

De uma maneira geral pode-se afirmar que tanto o Método de Baumann quanto o

MCFT conduzem à resultados bastante satisfatórios, quando comparados com os

resultados de modelos físicos, nos casos onde as deformações nas armaduras

situam-se abaixo das deformações do início do patamar de escoamento e, nos

casos onde a deformação do concreto está abaixo de ε’c. Os painéis PV1, PV5, PV7,

PV22, PV26, PV30 apresentaram resultados bastante satisfatórios.

100

7 Conclusões

Apesar das hipóteses simplificadoras, o método de Baumann respeita as condições

de equilíbrio e compatibilidade de deformações e apresenta resultados bastante

satisfatórios para efeito de dimensionamento.

Utilizou-se neste método a curva tensão-deformação da norma NBR 6118 com a

função de amolecimento do concreto, proposta por Vecchio e Collins, ficando

totalmente dispensável a comparação da resistência do concreto com fcd2, já que a

curva leva em conta o amolecimento do concreto com a variação da deformação

principal de tração.

O Método de Baumann permite o dimensionamento ao se fixar o ângulo θ de

inclinação das fissuras tal que, a partir de um determinado carregamento ou

solicitações obtidas de uma análise estrutural em regime elástico, determinam-se

facilmente as armaduras. Já ao passo que o MCFT é um método de verificação,

onde a partir de um determinado arranjo de armaduras obtêm-se as tensões e

deformações de forma iterativa.

O Método de Baumann, ao superestimar as deformações, se mostra menos realista

na representação do concreto armado fissurado.

O método de Baumann fica completo com a inclusão da utilização das armaduras de

compressão nos casos III e IV. Numa primeira análise para o caso III, é interessante

dimensionar a armadura de tração com a tensão de escoamento, pois desta maneira

é esperada uma ruptura avisada e o problema fica determinado.

Entretanto pode-se admitir uma tensão inferior à de escoamento, ficando esta

determinada a partir de um critério que minimize o consumo total de armadura ou,

maximize a capacidade resistente da diagonal comprimida.

Com relação à utilização das armaduras de compressão no caso IV, como critério de

dimensionamento adota-se dentre as várias possibilidades para o ângulo de

inclinação das direções principais aquele que minimiza o consumo da armadura.

Para os casos III e IV, o ponto que minimiza a armadura total foi determinado por

tentativas, ficando como sugestão para trabalhos futuros a determinação da

expressão analítica para o dimensionamento econômico.

101

Por fim, este trabalho traz uma importante contribuição na utilização das armaduras

de compressão, especialmente no caso III, onde não há nenhuma literatura a

respeito deste assunto e, também no caso IV, pois a única literatura existente não

mostra a aplicação prática.

102

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Janeiro, 2003.

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VECCHIO, F.J. Mechanics of Reinforced Concrete Course Syllabus, University of

Sao Paulo, March 2008.

104

APÊNDICE A – Resultados detalhados dos modelos físicos

Painel PV1

105

ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 561,4h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 11,76fyx (kN/cm2) 483fyy (kN/cm2) 483f'c (MPa) 34,5ε'c (‰) -2,2ε1 (‰) 5,673θ (°) 45,353θ (rad) 0,7916nsx (kN/m) 568,36nsy (kN/m) 554,52nc (kN/m) 1122,89f2 max (MPa) 19,55f2 max (MPa) 19,55f2 (MPa) 16,04f2/f2 maxε2 (‰) -1,268εx (‰) 2,160εy (‰) 2,245γxy/2 (‰) 3,470σsx (MPa) 453,59σsx (MPa) 453,59σsy (MPa) 471,54σsy (MPa) 471,54

Baumann

nx (kN/m) 0 -0,020,01

568,34554,54

0,82

106


fx (MPa) 0 0,0010,000

1,102,09

0,74

fy (MPa) 0v (MPa) 8,02ρx 0,0179ρy 0,0168fyx (MPa) 483fyy (MPa) 483sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 34,5ε'c (‰) 2,2ag (mm) 6ε1 (‰) 5,065θ' (°) 44,656θ' (rad) 0,7794sθ' 35,36w (mm) 0,18f1 (MPa) 0,748f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 15,29f2max (MPa) 20,77f2max (MPa) 20,77f2/f2maxε2 (‰) 1,070εx (‰) 1,961εy (‰) 2,034γxy (‰) 6,135fsx (MPa) 411,71fsx (MPa) 411,71fsy (MPa) 427,18fsy (MPa) 427,18∆ε1cr (‰) 0,411εxcr (‰) 2,164εycr (‰) 2,242fsxcr (MPa) 454,35fsxcr (MPa) 454,35fsycr (MPa) 470,85fsycr (MPa) 470,85f1 (MPa) 0,748vci (MPa) 0,01

107

Painel PV5

Baumann

nx (kN/m) 0 0,010,01

296,81296,81

0,56


108


fx (MPa) 0 0,0000,000

1,021,87

0,47

fy (MPa) 0v (MPa) 4,24ρx 0,0074ρy 0,0074fyx (MPa) 621fyy (MPa) 621sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 28,3ε'c (‰) 2,5ag (mm) 6ε1 (‰) 5,272θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,19f1 (MPa) 0,669f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 7,81f2max (MPa) 16,68f2max (MPa) 16,68f2/f2maxε2 (‰) 0,677εx (‰) 2,298εy (‰) 2,298γxy (‰) 5,949fsx (MPa) 482,49fsx (MPa) 482,49fsy (MPa) 482,49fsy (MPa) 482,49∆ε1cr (‰) 0,861εxcr (‰) 2,728εycr (‰) 2,728fsxcr (MPa) 572,90fsxcr (MPa) 572,90fsycr (MPa) 572,90fsycr (MPa) 572,90f1 (MPa) 0,669vci (MPa) 0,00

109

Painel PV7

Baumann

nx (kN/m) 0 -0,02-0,02

476,68476,68

0,71

ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 476,7h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 453fyy (kN/cm2) 453f'c (MPa) 31ε'c (‰) -2,5ε1 (‰) 4,772θ (°) 45,000θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 476,70nsy (kN/m) 476,70nc (kN/m) 953,40f2 max (MPa) 19,24f2 max (MPa) 19,24f2 (MPa) 13,62f2/f2 maxε2 (‰) -1,149εx (‰) 1,812εy (‰) 1,812γxy/2 (‰) 2,960σsx (MPa) 380,43σsx (MPa) 380,43σsy (MPa) 380,43σsy (MPa) 380,43

110


fx (MPa) 0 0,0010,001

2,052,12

0,63

fy (MPa) 0v (MPa) 6,81ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 453fyy (MPa) 453sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 31ε'c (‰) 2,5ag (mm) 6ε1 (‰) 4,201θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,15f1 (MPa) 0,750f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 12,87f2max (MPa) 20,47f2max (MPa) 20,47f2/f2maxε2 (‰) 0,976εx (‰) 1,612εy (‰) 1,612γxy (‰) 5,177fsx (MPa) 338,58fsx (MPa) 338,58fsy (MPa) 338,58fsy (MPa) 338,58∆ε1cr (‰) 0,399εxcr (‰) 1,812εycr (‰) 1,812fsxcr (MPa) 380,47fsxcr (MPa) 380,47fsycr (MPa) 380,47fsycr (MPa) 380,47f1 (MPa) 0,750vci (MPa) 0,00

111

Painel PV11

Baumann

nx (kN/m) 0 0,030,01

288,22215,50

0,69


112


fx (MPa) 0 0,0000,000

0,661,72

0,52


113

Painel PV21

Baumann

nx (kN/m) 0 0,02-0,01

451,10274,82

0,94


114


fx (MPa) 0 0,000-0,001

1,501,84

0,63


Nota: f’c do ensaio =19,5 MPa; f’c adotado =21,5 MPa (para não ocorrer compressão

excessiva do concreto)

115

Painel PV22

Baumann

nx (kN/m) 0 -0,02-0,01

436,84413,26

0,97

ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 424,9h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 10,64fyx (kN/cm2) 458fyy (kN/cm2) 420f'c (MPa) 21ε'c (‰) -2ε1 (‰) 5,167θ (°) 45,795θ (rad) 0,7993nsx (kN/m) 436,86nsy (kN/m) 413,27nc (kN/m) 850,13f2 max (MPa) 12,51f2 max (MPa) 12,51f2 (MPa) 12,14f2/f2 maxε2 (‰) -1,657εx (‰) 1,660εy (‰) 1,850γxy/2 (‰) 3,411σsx (MPa) 348,63σsx (MPa) 348,63σsy (MPa) 388,40σsy (MPa) 388,40

116


fx (MPa) 0 0,001-0,001

1,811,72

0,85

fy (MPa) 0v (MPa) 6,07ρx 0,0179ρy 0,0152fyx (MPa) 458fyy (MPa) 420sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 21ε'c (‰) 2ag (mm) 6ε1 (‰) 4,377θ' (°) 44,19θ' (rad) 0,7713sθ' 35,36w (mm) 0,15f1 (MPa) 0,610f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 11,53f2max (MPa) 13,60f2max (MPa) 13,60f2/f2maxε2 (‰) 1,221εx (‰) 1,499εy (‰) 1,657γxy (‰) 5,595fsx (MPa) 314,80fsx (MPa) 314,80fsy (MPa) 348,04fsy (MPa) 348,04∆ε1cr (‰) 0,352εxcr (‰) 1,670εycr (‰) 1,838fsxcr (MPa) 350,72fsxcr (MPa) 350,72fsycr (MPa) 386,04fsycr (MPa) 386,04f1 (MPa) 0,609vci (MPa) 0,03



117

Painel PV23

Baumann

nx (kN/m) -242,2 -242,19-242,19

378,71378,71

0,95

ny (kN/m) -242,2nxy (kN/m) 620,9h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 518fyy (kN/cm2) 518f'c (MPa) 29ε'c (‰) -2ε1 (‰) 4,433θ (°) 45,00θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 378,70nsy (kN/m) 378,70nc (kN/m) 1241,80f2 max (MPa) 18,67f2 max (MPa) 18,67f2 (MPa) 17,74f2/f2 maxε2 (‰) -1,554εx (‰) 1,439εy (‰) 1,439γxy/2 (‰) 2,994σsx (MPa) 302,24σsx (MPa) 302,24σsy (MPa) 302,24σsy (MPa) 302,24

118


fx (MPa) -3,46 -3,460-3,460

4,622,15

0,83

fy (MPa) -3,46v (MPa) 8,87ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 518fyy (MPa) 518sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 29ε'c (‰) 2ag (mm) 6ε1 (‰) 3,659θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,13f1 (MPa) 0,755f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 16,98f2max (MPa) 20,39f2max (MPa) 20,39f2/f2maxε2 (‰) 1,182εx (‰) 1,238εy (‰) 1,238γxy (‰) 4,841fsx (MPa) 260,05fsx (MPa) 260,05fsy (MPa) 260,05fsy (MPa) 260,05∆ε1cr (‰) 0,401εxcr (‰) 1,439εycr (‰) 1,439fsxcr (MPa) 302,16fsxcr (MPa) 302,16fsycr (MPa) 302,16fsycr (MPa) 302,16f1 (MPa) 0,754vci (MPa) 0,00



119

Painel PV25

Baumann

nx (kN/m) -440,3 -440,32-440,32

198,08198,08

0,94

ny (kN/m) -440,3nxy (kN/m) 638,4h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 466fyy (kN/cm2) 466f'c (MPa) 25ε'c (‰) -1,8ε1 (‰) 2,858θ (°) 45,00θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 198,10nsy (kN/m) 198,10nc (kN/m) 1276,80f2 max (MPa) 19,44f2 max (MPa) 19,44f2 (MPa) 18,24f2/f2 maxε2 (‰) -1,352εx (‰) 0,753εy (‰) 0,753γxy/2 (‰) 2,105σsx (MPa) 158,09σsx (MPa) 158,09σsy (MPa) 158,09σsy (MPa) 158,09

120


fx (MPa) -6,29 -6,289-6,289

6,332,31

0,80

fy (MPa) -6,29v (MPa) 9,12ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 466fyy (MPa) 466sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 25ε'c (‰) 1,8ag (mm) 6ε1 (‰) 2,072θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,07f1 (MPa) 0,818f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 17,42f2max (MPa) 21,70f2max (MPa) 21,70f2/f2maxε2 (‰) 1,001εx (‰) 0,535εy (‰) 0,535γxy (‰) 3,073fsx (MPa) 112,45fsx (MPa) 112,45fsy (MPa) 112,45fsy (MPa) 112,45∆ε1cr (‰) 0,435εxcr (‰) 0,753εycr (‰) 0,753fsxcr (MPa) 158,12fsxcr (MPa) 158,12fsycr (MPa) 158,12fsycr (MPa) 158,12f1 (MPa) 0,818vci (MPa) 0,00



121

Painel PV26

Baumann

nx (kN/m) 0 0,000,01

438,13327,34

0,90


122


fx (MPa) 0 0,0000,000

1,471,73

0,74


123

Painel PV28

Baumann

nx (kN/m) 129,9 129,92129,92

535,92535,92

0,97

ny (kN/m) 129,9nxy (kN/m) 406h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 483fyy (kN/cm2) 483f'c (MPa) 21ε'c (‰) -1,9ε1 (‰) 5,668θ (°) 45,00θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 535,90nsy (kN/m) 535,90nc (kN/m) 812,00f2 max (MPa) 11,91f2 max (MPa) 11,91f2 (MPa) 11,60f2/f2 maxε2 (‰) -1,595εx (‰) 2,037εy (‰) 2,037γxy/2 (‰) 3,631σsx (MPa) 427,71σsx (MPa) 427,71σsy (MPa) 427,71σsy (MPa) 427,71

124


fx (MPa) 1,856 1,8551,855

1,581,65

0,86

fy (MPa) 1,856v (MPa) 5,8ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 483fyy (MPa) 483sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 21ε'c (‰) 1,9ag (mm) 6ε1 (‰) 4,952θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,18f1 (MPa) 0,588f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 11,01f2max (MPa) 12,79f2max (MPa) 12,79f2/f2maxε2 (‰) 1,192εx (‰) 1,880εy (‰) 1,880γxy (‰) 6,144fsx (MPa) 394,84fsx (MPa) 394,84fsy (MPa) 394,84fsy (MPa) 394,84∆ε1cr (‰) 0,313εxcr (‰) 2,037εycr (‰) 2,037fsxcr (MPa) 427,71fsxcr (MPa) 427,71fsycr (MPa) 427,71fsycr (MPa) 427,71f1 (MPa) 0,588vci (MPa) 0,00



125

Painel PV30

Baumann

nx (kN/m) 0 -0,04-0,02

399,29322,91

0,89


126


fx (MPa) 0 0,0000,000

1,621,66

0,78


Documents

· 1 Introdução As chapas de concreto armado são elementos estruturais de suma importância nas construções pesadas, onde aparecem nas obras do metrô, usinas