Министерство образования

и науки Российской Федерации

С.Е. Демин, Е.Л. Демина

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В трех частях

Часть 2. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Электронное текстовое издание

Рекомендовано Учебно-методическим советом Нижнетагильского техно-

логического института (филиала) УрФУ имени первого Президента Рос-

сии Б.Н.Ельцина в качестве учебно-методического пособия для студентов

всех форм обучения, специальностей и направлений

Нижний Тагил

2017

2

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Нижнетагильский технологический институт (филиал)

Теория вероятностей

В трех частях

Ч. 2. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Рекомендовано Учебно-методическим советом

Нижнетагильского технологического института (филиал) УрФУ

имени первого Президента России Б.Н.Ельцина

в качестве учебно-методического пособия

для студентов всех форм обучения, специальностей и направлений

Авторы-составители:

С. Е. Демин, Е. Л. Демина

Нижний Тагил

2017

3

УДК 519.21 (075.8)

Р е ц е н з е н т ы :

кафедра физико-математического образования филиала ГАОУ ДПО

Свердловской области «Институт развития образования» в г. Нижнем Тагиле

(зав. кафедрой: канд. пед. наук, доц. Т. Н. Райхерт);

доцент кафедры общенаучных дисциплин филиала ФГБОУ ВО

«Уральский государственный университет путей сообщения»

в г. Нижнем Тагиле К. В. Курмаева

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В. А. Феофанова

Теория вероятностей : в 3 ч. Ч. 2. Одномерные случайные величины. Предельные теоремы :

учеб.-метод. пособие / авт.-сост.: С. Е. Демин, Е. Л. Демина ; М-во образования и науки РФ ; ФГАОУ ВО

«УрФУ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т (фил.). – Нижний Та-

гил : НТИ (филиал) УрФУ, 2017. – 286 с.

ISBN 978-5-9544-0080-9 (ч. 2)

ISBN 978-5-9544-0078-6

Рассматриваются вопросы раздела «Теория вероятностей» курса «Математика» для студентов

всех специальностей и всех форм обучения.

Приводятся многочисленные примеры и подробные пояснения к ним. Основу данного пособия со-

ставили лекции, прочитанные авторами в Нижнетагильском технологическом институте (филиал) УрФУ.

Учебно-методическое пособие содержит 15 вариантов заданий (по 30 вариантов для каждого),

которые позволяют формировать индивидуальную домашнюю работу студентов по данному разделу.

Рекомендовано для самостоятельной работы студентов всех форм обучения всех специальностей при

изучении соответствующего раздела высшей математики, а также для использования в качестве дополни-

тельного материала при организации преподавателем практических занятий.

Библиогр.: 11 назв. Прил. 6.

УДК 519.21 (075.8)

Учебное издание

Теория вероятностей

В трех частях

Ч. 2. Одномерные случайные величины. Предельные теоремы

Авторы-составители:

ДЕМИН Сергей Евгеньевич

ДЕМИНА Елена Леонидовна

Редактор А. В. Кочурина

Подписано в печать 13.06.2017. Формат 60×90 1/16

Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Ризография

Усл. печ. л. 17,88. Уч.-изд. л. 13,81. Тираж ___ экз. Заказ № 30

Редакционно-издательский отдел

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Нижнетагильский технологический институт (филиал)

622031, г. Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59

ISBN 978-5-9544-0080-9 (ч. 2) © Демин С. Е., Демина Е. Л., составление, 2017

ISBN 978-5-9544-0078-6

4

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………….6

ГЛАВА 2. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ……………………………….7

4. Дискретные случайные величины ................................................................... 7

4.1. Закон распределения дискретной случайной величины ........................................ 7

4.2. Функция распределения дискретной случайной величины ................................. 11

4.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины ............................. 14

Проверочный тест по теме ................................................................................. 19

4.4. Некоторые стандартные законы распределения ................................................... 30

4.4.1. Геометрическое распределение ................................................................... 30

4.4.2. Биномиальное распределение В(п; р) .......................................................... 34

4.4.3. Распределения Пуассона Pu(λ)..................................................................... 39

4.4.4. Гипергеометрическое распределение.......................................................... 44

Проверочный тест по теме ................................................................................. 49

Типовые примеры по теме .................................................................................. 55

5. Непрерывные случайные величины ............................................................................. 73

5.1. Функция распределения непрерывной случайной величины .............................. 73

5.2. Числовые характеристики ....................................................................................... 78

непрерывной случайной величины ............................................................................... 78

Проверочный тест по теме ................................................................................. 80

5.3. Некоторые стандартные законы распределения

непрерывной случайной величины ............................................................................... 91

5.3.1. Равномерный закон распределения ............................................................. 91

5.3.2. Показательный закон распределения Е(λ) .................................................. 94

5.3.3. Нормальный закон распределения N(a; σ) .................................................. 97

5.3.3.1. Числовые характеристики нормального распределения .................... 99

5.3.3.2. Функция распределения ....................................................................... 101

5.3.3.3. Правило «трех сигм» ............................................................................ 106

5.3.4. Распределение χ2 ......................................................................................... 108

5.3.5. Распределение Стьюдента .......................................................................... 109

5.3.6. Распределение Фишера ............................................................................... 110

Проверочный тест по теме ............................................................................... 111

5

Типовые примеры по теме ................................................................................ 116

Контрольный тест по теме ................................................................................ 139

Контрольные вопросы………………………………………………………...145

6. Законы больших чисел ................................................................................................. 148

6.1. Неравенства Чебышева.......................................................................................... 149

6.2. Сходимость по вероятности. Теорема Чебышева ............................................... 154

6.3. Теорема Бернулли .................................................................................................. 157

7. Центральная предельная теорема и ее применение .................................................. 158

7.1. Центральная предельная теорема в формулировке Ляпунова .......................... 159

7.2. Нормальная асимптотика некоторых распределений ........................................ 162

7.2.1. Предельные теоремы в схеме Бернулли

(биномиальное распределение) ............................................................................ 162

7.2.2. Предельные теоремы для распределения Пуассона ................................ 165

8. Принцип практической уверенности .......................................................................... 166

Проверочный тест ............................................................................................. 169

Типовые примеры .............................................................................................. 175

Контрольные вопросы………….……………………………………………..185

Библиографический список……………………………………………………………….186

ПРИЛОЖЕНИЕ 1……………………..………………………………………………..187

ПРИЛОЖЕНИЕ 2………………………….…………………….……………………..189

ПРИЛОЖЕНИЕ 3………………………….…………………….……………………..191

ПРИЛОЖЕНИЕ 4…………………………..…………………………………………..193

ПРИЛОЖЕНИЕ 5…………………………..…………………………………………..194

ПРИЛОЖЕНИЕ 6…………………………..…………………………………………..285

6

ВВЕДЕНИЕ

В первой части настоящего пособия нами рассматривались случай-

ные события, являющиеся качественной характеристикой случайного ре-

зультата опыта. Для получения количественной характеристики вводится

понятие случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате

опыта может принимать то или иное значение, причем заранее неизвестно,

какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется такая величина,

которая в результате опыта может принимать одно из возможных значений

х1, х2, …, хn с соответствующей вероятностью р1, р2, …, рn.

Примеры дискретных случайных величин:

1) Х – количество выстрелов до первого попадания в цель;

2) Y – номер страницы некоторой книги, открытой наугад;

3) Z – число студентов в некоторой группе.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, кото-

рая может принимать любые значения из некоторого конечного или беско-

нечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной

величины бесконечно.

Примеры непрерывных случайных величин:

1. X – координата точки, наугад выбранной на отрезке 1;0 .

2. Y – рост человека.

3. Z – продолжительность лекции по теории вероятностей.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если для любо-

го значения xi случайной величины X и для любого значения yj случайной ве-

личины Y события Аi = {X = xi} и Вj = {Y = yj} независимы.

7

ГЛАВА 2. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

4. Дискретные случайные величины

4.1. Закон распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим случайный эксперимент с дискретным пространством

исходов ,...ω,ωΩ21

. ( – пространство элементарных событий, которое

состоит из конечного или счетного числа исходов ,...ω,ω21

).

Пусть дискретная случайная величина Х принимает различные число-

вые значения ix в зависимости от наступления того или иного исхода i

ω ,

при этом каждому исходу соответствует только одно число.

Очевидно, что значение случайной величины ix наступает с вероят-

ностью ip , равной вероятности наступления соответствующего элементар-

ного события (исхода).

Примечание: Сумма всех вероятностей ip равна единице.

В случае конечного числа исходов 1)(11

l

n

l

n

ll xXPp , где число

исходов равно n.

В случае счетного числа исходов 1)(11

l

lll xXPp .

Соответствие, которое каждому значению ix дискретной случайной

величины X сопоставляет его вероятность ip , называется законом распре-

деления случайной величины Х.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде табли-

цы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятно-

стей называется рядом распределения.

8

X x1 x2 … xn

P p1 p2 … pn

Графическое представление этой таблицы называется многоугольни-

ком распределения.

П р и м е р 1 . Переменная величина Х есть число очков, выпадающее

на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Соста-

вить закон распределения этой случайной величины.

Решение:

Так как любое число очков при однократном бросании кости выпа-

дает с вероятностью 6

1P , то закон распределения случайной величины

имеет вид

Х 1 2 3 4 5 6

Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

П р и м е р 2 . Переменная величина Х есть число гербов, выпавших

при четырех бросаниях правильной монеты. Составить закон распределе-

ния этой случайной величины.

9

Решение:

Величина X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. По формуле Бернулли

имеем 162

1

2

1)( 4

4

4

kkkk

kk

CCxXPp

.

Закон распределения имеет вид

X 0 1 2 3 4

P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

П р и м е р 3 . Вероятность правильного решения задачи по теории

вероятностей первым студентом – 0,7; вторым – 0,8. Составить закон рас-

пределения дискретной случайной величины. X – число студентов, пра-

вильно решивших задачу (с первого раза). Записать ряд распределения.

Решение:

Возможные значения случайной величины X: 01 x , 12 x , 23 x .

Вычислим вероятность появления каждого из значений случайной ве-

личины, используя формулы сложения и умножения вероятностей.

1. 01 x , т. е. ни один из студентов не решит задачу: 3,01 11 pq –

вероятность того, что первый студент не решит задачу.

2,01 22 pq – вероятность того, что второй студент не решит за-

дачу: 06,02,03,00 21 qqXP .

2. 12 x , т. е. только один студент из двух решит задачу:

38,08,03,02,07,01 2121 pqqpXP .

3. 23 x , т. е. оба студента решат задачу: 56,02 21 ppXP .

По результатам составим таблицу:

Х 0 1 2

Р 0,06 0,38 0,56

10

Многоугольник распределения изображен на рисунке.

П р и м е р 4 . Экзаменатор задал студенту 4 дополнительных вопро-

са. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9.

Составить закон распределения случайной величины Х – числа ответов

на заданные вопросы.

Решение:

Используем формулу Бернулли knkknn qpCkP )( . Здесь n = 4; р =

0,9; q = 0,1.

44 1,0)0( qXP ;

33114 1,09,04)1( qpCXP ;

222224 1,09,06)2( qpCXP ;

1,09,04)3( 3334 qpCXP ;

44 9,0)4( pXP .

Х 0 1 2 3 4

Р 0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561

11

4.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется веро-

ятность того, что случайная величина примет значение меньше х:

xXPxF )( .

Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения ,kх

функция распределения имеет вид

xx

k

k

xXPxF )()( ,

где символ xxk означает, что суммируются вероятности тех значений

случайной величины, которые меньше х.

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1. Действительно, т. к. функция распределения пред-

ставляет собой вероятность, она может принимать только те значения, ко-

торые принимает вероятность.

2. Функция распределения является неубывающей функцией, т. е.

F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1. Это следует из того, что

F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).

3. .1)(lim,0)(lim

xFxFxx

В частности, если все возможные значения Х лежат в интервале [a,

b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х > b.

Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

Вероятность того, что случайная величина примет значение из ин-

тервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах

интервала

p(a < X < b) = F(b) – F(a).

12

Справедливость этого утверждения следует из определения функции

распределения (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке

представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, кото-

рые меньше аргумента функции.

Функция распределения всегда есть разрывная ступенчатая функция,

скачки которой расположены в точках, соответствующих возможным зна-

чениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

.1,

..........

;,...

;,

;,

;0,

}{)(121

3221

211

1

n

kkk

xx

xxxррр

xxxрр

xxxр

xx

xXPxF

П р и м е р . Найти функцию распределения случайной дискретной

величины, заданной следующим законом распределения:

X 1 2 3

p 0,3 0,5 0,2

13

Решение:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий найдем:

1. При 1x 0)()( xXPxF , т. к. значения 1x случайная

величина Х не принимает.

2. При 21 x 3,0)()( xXPxF , т. к. Х может принять значение

1 с вероятностью 0,3.

3. При 32 x 8,05,03,0)2()1()()( XPXPxXPxF .

4. Если 3x , то

)3()2()1()()( XPXPXPxXPxF 0,3 0,5 0,2 1 , т. к.

событие 3X достоверно.

Следовательно, искомая функция распределения имеет вид

.3при1

,32при8,0

,21при3,0

,1при0

)(

x

x

x

x

xF

14

4.3. Числовые характеристики

дискретной случайной величины

Пусть имеем дискретную случайную величину Х с законом распре-

деления

kx х1 х2 … хn

kP р1 р2 … рn

Математическим ожиданием дискретной случайной величи-

ны Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их

вероятности:

1 1 2 2

1

( ) ... .n

x n n k k

k

M X m x p x p x p x p

Для бесконечной случайной величины: 1

( ) .k kk

M X x p

Смысл математического ожидания наиболее ясно проявляется при

рассмотрении схемы равновозможных исходов. Это среднее арифметиче-

ское значение всех возможных реализаций случайной величины, которые

могут появиться в ходе случайного эксперимента.

Математическое ожидание случайной величины Х называется цен-

тром распределения вероятностей случайной величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. М(С) = С, где С = const.

2. М(СХ) = С М(Х).

3. .)(11

n

ii

n

ii XМXM

4. Для независимых случайных величин X, Y: ).()()( YMXMXYM

5. Для любых случайных величин X, Y: ).()()( YMXMYXM

15

Однако математическое ожидание не может полностью характеризо-

вать случайный процесс.

Предположим, что некто должен нам 100 тыс. руб. и ставит нас перед

выбором: мы можем либо просто получить эту сумму, либо сыграть в игру:

подбросить монету, и если выпадет «орел», то получить 200 тыс. руб., а если

выпадет «решка», то ничего не получить.

Распределения ДСВ Х – дохода от спора, имеет следующий вид

для каждого случая:

Х 100 000 Х 0 200 000

Р 1 Р 0,5 0,5

Математическое ожидание выигрыша в обоих случаях равно

100 000 руб., но этой информации недостаточно для принятия решения. Кро-

ме математического ожидания, надо ввести величину, которая характеризует

отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее ма-

тематическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения

равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения поло-

жительны, другие – отрицательны, и в результате их взаимного погашения

получается ноль.

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной ве-

личины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия

и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожи-

дание квадрата отклонения значений величины от ее математического

ожидания:

22

1

( ) ( ) ( ) .n

х k k

k

D X D M X M X x M X p

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной ве-

личины относительно ее математического ожидания. Если все значения

16

случайной величины тесно сконцентрированы около ее математического

ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловеро-

ятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения

случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений

от математического ожидания, то такая случайная величина имеет боль-

шую дисперсию.

Однако на практике способ вычисления дисперсии по приведенной

формуле неудобен, т. к. приводит при большом количестве значений слу-

чайной величины к громоздким вычислениям.

Поэтому применяется другой способ.

Т е о р е м а . Дисперсия равна разности между математическим

ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее матема-

тического ожидания:

22

( ) ( ) ( )D X M X M X .

Доказательство:

С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат мате-

матического ожидания )(2 XM – величины постоянные, можно записать

)()(2)()( 222XMXXMXMXMXMXD

).()()()()(2)( 2222 XMXMXMXMXMXM

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. D(C) = 0, т. к. постоянная величина C рассеивания не имеет.

2. D(CX) = C2D(X), т. е. постоянный множитель можно выносить

за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. )()()( YDXDYXD – для независимых случайных величин.

17

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности

случайной величины X, что неудобно. Поэтому на практике часто

применяют числовую характеристику )(ζ XD , размерность которой

совпадает с размерностью X. Величина )(ζ XD называется

среднеквадратичным отклонением.

П р и м е р . Испытывается устройство, состоящее из четырех незави-

симо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов

равны соответственно р1 = 0,3; p2 = 0,4; p3 = 0,5; p4 = 0,6. Найти математи-

ческое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Решение:

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, ви-

дим, что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины не-

обходимо определить соответствующие вероятности. Примем ii pq 1 :

1. Не отказал ни один прибор:

1 2 3 4(0) 0,7 0,4 0,5 0,4 0,084.p q q q q .

2. Отказал один из приборов:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 0 32,p( ) p q q q q p q q q q p q q q q p .

3. Отказали два прибора:

43214321432143214321)2( pqpqqppqpqqpqpqpqqppp

.38,04321 ppqq

4. Отказали три прибора:

.198,0)3( 4321432143214321 pppqppqppqppqpppp

5. Отказали все приборы:

.036,0)4( 4321 ppppp

18

Получаем закон распределения:

x 0 1 2 3 4

x2

0 1 4 9 16

p 0,084 0,302 0,38 0,198 0,036

Математическое ожидание:

8,1036,04198,0338,02302,0)( XM (приборов),

.18,4036,016198,0938,04302,0)( 2 XM

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение:

94,024,318,4)()()(22 XMXMXD (приборов 2 ),

97,0)( XD (приборов).

19

Проверочный тест по теме

«Дискретные случайные величины»

1. Случайной величиной называется величина, принимающая в ре-

зультате испытания

а) числовое значение, которое можно предсказать при большом числе

испытаний;

б) числовые значения, которые принципиально нельзя предсказать,

исходя из условий испытания;

в) дискретное числовое значение, которое принципиально можно

предсказать при большом числе испытаний;

г) непрерывное числовое значение, которое принципиально нельзя

предсказать.

2. Величину, которая в результате испытания будет принимать одно

и только одно значение, заранее не известное и зависящее от случайных

причин, называют

а) вероятностью;

б) известной величиной;

в) случайной величиной;

г) неизвестной величиной.

3. Случайную величину, которая принимает отдельные, изолирован-

ные возможные значения, называют

а) дискретной;

б) достоверной;

в) независимой;

г) непрерывной.

20

4. Дискретной называют случайную величину, которая принимает

а) конечное число возможных значений;

б) отдельные, изолированные возможные значения;

в) только два возможных значения;

г) только одно возможное значение.

5. Какая из указанных ниже случайных величин является дискретной?

а) число мальчиков среди 10 новорожденных;

б) дальность полета мяча;

в) высота наудачу выбранного дерева;

г) угол, на который повернется стрелка рулетки.

6. Какая из указанных ниже случайных величин не является дискрет-

ной?

а) масса наудачу взятой монеты;

б) число попыток пересдач экзамена по теории вероятностей;

в) количество «орлов» при подбрасывании 10 монет;

г) число выпавших очков при подбрасывании двух игральных кубиков.

7. Случайную величину, которая принимает любые значения из неко-

торого промежутка, называют

а) дискретной;

б) непрерывной;

в) независимой;

г) достоверной.

8. Непрерывной называют случайную величину, которая принимает

а) только два возможных значения;

21

б) отдельные, изолированные возможные значения;

в) конечное число возможных значений;

г) любые значения из некоторого промежутка.

9. Какая из указанных ниже случайных величин является непрерыв-

ной?

а) количество попаданий в цель;

б) число выпавших очков при подбрасывании семи игральных кубиков;

в) дальность полета камня при бросании;

г) последняя цифра в номере наудачу взятой зачетки.

10. Случайные величины могут быть

а) только дискретными;

б) только непрерывными;

в) либо дискретными, либо непрерывными;

г) дискретными и непрерывными одновременно.

11. Подбрасывают две монеты. Закон распределения случайной вели-

чины – количества выпавших орлов – есть:

а)

Х 0 1 2

Р 0,25 0,5 0,25

б)

Х 0 1 2

Р 0,25 0,25 0,5

в)

Х 0 1 2

Р 0,5 0,25 0,25

22

г)

Х 0 1 2

Р 0,2 0,5 0,3

12. Выберите таблицу, соответствующую закону распределения, за-

данному графиком:

а)

Х 0 1 2 3 4

Р 0,1 0,25 0,3 0,3 0,1

б)

Х 0 1 2 3 4

Р 0,1 0,25 0,3 0,25 0,1

в)

Х 0 1 2 3 4

Р 0,1 0,25 0,5 0,25 0,1

г)

Х 0 1 2 3 4

Р 0,1 0,2 0,3 0.2 0,1

23

13. Делается три выстрела. Вероятность попадания при одном выстре-

ле равна 0,8. Закон распределения случайной величины – количества попа-

даний – есть:

а)

Х 0 1 2 3

Р 0,08 0,096 0,384 0,512

б)

Х 0 1 2 3

Р 0,08 0,069 0,339 0,512

в)

Х 0 1 2 3

Р 0,08 0,096 0,184 0,512

г)

Х 0 1 2 3

Р 0,08 0,096 0,568 0,256

14. Выберите график соответствующий закону распределения, задан-

ному таблицей:

Х 0 1 2 4

Р 0,2 0,2 0,5 0,1

24

15. Какая из указанных зависимостей не является законом распреде-

ления?

а) б)

в)

Х 0 1 2

Р 0,2 0,5 0,3

г) .2;1;0,)( 222 kqpkP kkk

C

16. Выберите таблицу, соответствующую закону распределения, за-

данному формулой .2;1;0;5,0,)( 222 kpqpkP kkk

C

а)

Х 0 1 2

Р 0,25 0,5 0,25

25

б)

Х 0 1 2

Р 0,25 0,25 0,5

в)

Х 0 1 2

Р 0,2 0,6 0,2

г)

Х 0 1 2

Р 0,25 0,6 0,25

17. Законом распределения дискретной случайной величины называют

а) всякое соотношение, устанавливающее связь между случайной ве-

личиной и ее вероятностью;

б) утверждение, что сумма всех вероятностей равна единице;

в) всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными

значениями случайной величины и вероятностями, которые им соответст-

вуют;

г) всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными

значениями случайной величины и функцией распределения.

18. Укажите рисунок, на котором изображен график, который не мо-

жет быть графиком функции распределения:

а б в г

26

19. Какое свойство не обязательно для функции распределения?

a) F(X) не отрицательна;

б) F(X) не имеет разрывов;

в) F(X) не убывает с ростом х;

г) F(X) не более 1.

20. Вероятностный смысл математического ожидания случайной вели-

чины состоит в том, что при большом числе испытаний математическое

ожидание примерно равно

а) среднему арифметическому значений случайной величины;

б) наиболее часто повторяющемуся значению случайной величины;

в) среднему отклонению значений случайной величины от нуля;

г) среднему геометрическому значений случайной величины.

21. Математическое ожидание неслучайной величины равно

а) единице;

б) ее значению;

в) бесконечности;

г) нулю.

22. Случайная величина X имеет закон распределения:

Х –1 1 2

Р 0,1 0,5 0,4

Математическое ожидание случайной величины Х равно:

а) 1,2; б) 1,6; в) 0,8; г) 0,4.

27

23. Случайную величину Х умножили на постоянный множитель k.

Как от этого изменится ее математическое ожидание:

а) умножится на k ;

б) умножится на | k | ;

3) не изменится;

4) увеличится на k.

24. В партии из четырех деталей имеется две стандартных. Наудачу

отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание числа стандартных

деталей среди отобранных.

а) 2; б) 2,5; в) 1; г) 3; д) 1,8.

25. Дисперсией случайной величины называется

а) математическое ожидание квадрата отклонения случайной величи-

ны от ее математического ожидания, т. е. ])[( 2xmxM ;

б) квадрат математического ожидания отклонения случайной величи-

ны от ее математического ожидания, т. е. ][2xmxM ;

в) математическое ожидание квадрата случайной величины, т. е.

][ 2xM ;

г) квадрат математического ожидания квадрата отклонения случайной

величины от ее математического ожидания, т. е. ])[( 22xmxM .

26. Вероятностный смысл дисперсии состоит в том, что она характери-

зует

а) среднее значение случайной величины;

б) среднее значение квадрата случайной величины;

в) разброс значений случайной величины вокруг среднего;

г) вероятность наступления события.

28

27. Дисперсия неслучайной величины равна

а) квадрату значения этой величины;

б) нулю;

в) бесконечности;

г) значению этой величины.

28. Случайная величина X имеет закон распределения:

Х 0 9 20

Р 0,5 0,3 0,2

Дисперсия случайной величины Х равна

а) 61,22; б) 71,60; в) 80,84; г) 59,41.

29. К случайной величине Х прибавили число а. Как от этого изменит-

ся ее дисперсия?

а) увеличится на а;

б) увеличится на 2a;

в) не изменится;

г) увеличится в а раз.

30. Математическое ожидание постоянной величины равно

а) 0; б) 1; в) этой величине; г) квадрату этой величины.

31. Дисперсия постоянной величины равна

а) 0; б) 1; в) этой величине; г) квадрату этой величины.

29

32. Случайная величина Y = 3X + 5, при этом дисперсия X равна 2.

Дисперсия случайной величины Y равна

а) 18; б) 6; в) 11; г) 23.

33. Случайная величина Y = 4X + 2, при этом математическое ожида-

ние X равно 3. Математическое ожидание случайной величины Y равно

а) 14; б) 3; в) 18; г) 12.

34. Дан закон распределения случайной величины X

X –4 –2 3 6

p 0,2 0,3 0,3 0,2

Вычислить вероятность ).53( XP

а) 0,6; б) 0,5; в) 0,8; г) 0,3.

30

4.4. Некоторые стандартные законы распределения

4.4.1. Геометрическое распределение

Случайная величина ,X которая может приобретать значения 1,

2, …, k имеет геометрическое распределение с параметром р, если

ppkXP k 1)1()( .

Величину X можно интерпретировать как число испытаний до пер-

вого появления успеха в схеме независимых испытаний с вероятностью

появления успеха р.

X 1 2 3 … k

p p qp 2pq …

1kpq

Очевидно, что вероятности pi образуют геометрическую прогрессию

с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название «геометрическое

распределение»).

Определение геометрического распределения корректно, т. к. сумма

ряда

1 1

1

1k kn

n

p ( x ) p pq ... pq ... p( q ... q ...)

1

11

pp

q p

.

Примечание: Если количество испытаний ограничено каким–либо натуральным

числом k , то последнее значение вероятности в ряде распределения будет равно 1k

q ,

означающее, что в предыдущих k – 1 испытаниях событие А не появилось. Тогда ряд

распределения будет иметь вид

X 1 2 3 … k

p p pq 2pq … 1kq

31

Числовые характеристики геометрического распределения имеют

следующий вид:

pXM

1)( ;

2)(

p

qXD .

Действительно,

1

)()(n

xpxXM

1n

nnqp

............1 543243232 qqqqqqqqqqqp

pqqp

q

q

q

q

q

q

qp

1

)1)(1(

1...

1111

1 32

.

Примеры геометрического распределения дискретной случайной ве-

личины для различных значений математического ожидания и дисперсии

представлены на рисунке.

32

П р и м е р . Охотник, имеющий три патрона, стреляет по цели до

первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна .4

1

Составить ряд распределения случайной величины «количество ист-

раченных патронов», если: а) количество выстрелов неограниченно,

б) можно произвести не более трех выстрелов. Найти математическое ожи-

дание М(Х) и дисперсию D(Х) числа израсходованных патронов.

Решение:

Случайная величина Х – число израсходованных патронов – прини-

мает значения 1, 2, 3, …

a) Ряд распределения случайной величины в случае бесконечного

числа патронов имеет вид

хi 1 2 3 … k

ip

4

1

4

3

4

1

2

4

3

4

1

…

1

4

3

4

1

k

41

)( p

XM (патрона); 12)(2

p

qXD (патронов

2);

б) посчитаем вероятности в случае трех патронов.

Для того чтобы число израсходованных патронов было равно одному

(Х = 1), надо чтобы охотник попал с первого раза, вероятность этого со-

бытия Р(Х = 1) = .4

1

Для того чтобы число израсходованных патронов было равно двум,

надо, чтобы при первом выстреле охотник промахнулся, а во второй раз

попал. Вероятность такого события определяется по теореме умножения:

Р(Х = 2) = .16

3

4

1

4

3

4

1

4

11

33

Для того чтобы число израсходованных патронов было равно трем,

надо, чтобы при первых двух выстрелах охотник промахнулся, а в третий

раз попал или промахнулся три раза. Вероятность такого события опреде-

ляется по теореме умножения:

Р(Х = 3) = 16

9

64

27

64

9

4

3

4

3

4

3

4

1

4

11

2

.

Ряд распределения случайной величины для трех патронов имеет вид

хi 1 2 3

ip 0,254

1 0,19

16

3 0,56

16

9

Проверка: 116

9

16

3

4

1

1

k

iip .

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

М(Х) = .16

37

16

93

16

32

4

11

3

1

i

ii px

34

Дисперсия:

D(X) = .71,016

37

16

99

16

34

4

11))((

22

3

1

2

XMpxi

ii

Функция распределения имеет следующий вид:

3.при1

3;2при0,44

2;1при0,25

1;при0

)(

x

x

x

х

xF

4.4.2. Биномиальное распределение В(п; р)

Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых

событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из ис-

пытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.

Пусть случайная величина Х – число появлений некоторого события

А в n -испытаниях.

Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необ-

ходимо определить значения этой величины и их вероятности.

35

Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате n -

испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два

раза, три и т. д. до n -раз.

Вероятность каждого значения этой случайной величины можно

найти по формуле Бернулли: , 0,1, 2, ...k k n k

n nP (k) C p q k

Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения.

Этот закон распределения называется биномиальным и обозначается

);( pnB .

Х 0 1 2 … n

Р nq 11 nn pqC 222 n

n qpC … pn

Определим числовые характеристики биномиального распределения.

Пусть Х – число появлений события А в n -испытаниях. Если обозначим

через Xk число появлений события А в k-м испытании, то

n

1kkn XX...XXX 21 .

Закон распределения случайной величины Xk имеет вид

Xk 0 1

Р q р

Следовательно, М(Хi) = p. Тогда

n

i

n

ii nppXMXM

1 1

.)()(

Аналогичным образом вычислим дисперсию:

D(Xi) = 0² ·q + 1² ·p – p² = p – p² = p(1 – p), откуда по свойствам дис-

персии

n

ii npqpnpXDXD

1

.)1()()(

36

Итак, для биноминального распределения

npXMXMn

kk

1

)()( , npqXDXDn

kk

1

)()( , npqX )( .

Примеры биномиального распределения дискретной случайной вели-

чины для различных значений математического ожидания и дисперсии

представлены на рисунке.

П р и м е р . В некотором городе 20 % жителей добирается до работы

на личном автотранспорте. Наугад отобраны 4 человека.

1. Написать биноминальный закон распределения дискретной слу-

чайной величины Х – числа людей, добирающихся личным автотранспор-

том, и построить многоугольник полученного распределения.

2. Найти числовые характеристики этого распределения.

37

3. Написать функцию распределения числа людей в выборке, доби-

рающихся до работы на личном автомобиле.

4. Найти вероятность того, что хотя бы один человек добирается

на работу на личном автомобиле.

5. Найти вероятность того, что не более двух добираются на работу

на личном автомобиле.

Решение:

Случайная величина X – число людей, добирающихся личным авто-

транспортом. Возможные значения Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных людей добирается

на личном автотранспорте, равна 0,2.

Найдем вероятности того, что среди отобранных людей:

1) нет автомобилистов: 4096,08,02,0!4!0

!4)0( 40

4

P ;

2) один автомобилист: 4096,08,02,0!3!1

!4)1( 31

4

P ;

3) два автомобилиста: 1536,08,02,0!2!2

!4)2( 22

4

P ;

4) три автомобилиста: 0256,08,02,0!1!3

!4)3( 13

4

P ;

5) четыре автомобилиста: 0016,08,02,0!0!4

!4)4( 04

4

P .

Получаем закон распределения:

x 0 1 2 3 4

p 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016

При этом .14

0

n

nPP

38

Многоугольник распределения имеет следующий вид:

Математическое ожидание: 8,0)( npXM (человек).

Дисперсия: 64,0)( npqXD (человек2

).

Среднее квадратичное отклонение 8,0][][ XDX (человек).

Зададим теперь случайную величину как функцию распределения:

4

0

44 8,02,0)()(

m

mmmСxXPmXF .

39

При этом

.4при1

;43при9984,0

;32при9728,0

;21при8192,0

;10при4096,0

;0при0

)(

x

x

x

x

x

х

xF

Определим вероятность того, что в выборке хотя бы один автомоби-

лист:

5904,04096,01)0(1)1(1)1( XPXPXP .

Определим вероятность того, что в выборке не более двух автомоби-

листов:

.9728,0)2()1()0()3( XPXPXPXP

4.4.3. Распределения Пуассона Pu( )

Этот закон определяется формулой Пуассона:

λ

!

λ)( e

kkP

k

n ,

где = np.

Случайная величина Х – число появлений события А в n -испытаниях

при большом n и малой вероятности р имеет вид распределения Пуассона:

Х 0 1 2 … n

Р e

e

1!

λ

λ

2

2!

λ e … λ

!

λ e

n

n

40

Вычислим числовые характеристики распределения Пуассона:

М(Х) =

1 1

1n

)!1(!n n

n

ееn

ееn

n

(использовалось разложение в ряд Тейлора функции ех).

Для определения дисперсии найдем вначале

М(Х2) =

1 1

λ1

λ2

1)!(

λnλ

!

λn

n n

nn

еn

еn

1

λ1

1)!(

λ11)(λ

n

n

еn

n

1

λ1n

1)!(

λ1)(λ

n

еn

n .еnn

n

1)λ(λ1)!(

λλ

1

λ1

Поэтому D(X) = 22 .

Примечание: Равенство значений XM и ХD является отличительной осо-

бенностью распределения Пуассона. Если в результате какого-то опыта получены не-

сколько значений случайной величины и на основании полученных данных найдены

XM и XD , причем их значения близки между собой, т. е. основание предполо-

жить, что случайная величина распределена по закону Пуассона. В противном случае

оснований для таких предположений нет.

Закон Пуассона может возникнуть в ряде случаев. Так, для простей-

шего потока событий число событий, попадающих на произвольный отре-

зок времени, есть случайная величина, имеющая пуассоновское распреде-

ление. Также по закону Пуассона распределены, например, число рожде-

ния близнецов, число сбоев на автоматической линии, число отказов слож-

ной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслужива-

ние», поступивших в единицу времени в системах массового обслужива-

ния, и другие.

Примеры распределения Пуассона дискретной случайной величины

для различных значений математического ожидания и дисперсии пред-

ставлены на рисунках.

41

П р и м е р . Среднее число инкассаторов, прибывающих в банк в 15–

минутный интервал, равно 2. Прибытие инкассаторов происходит случай-

ным образом и независимо друг от друга.

1) составить закон распределения числа инкассаторов за 15 мин;

2) найти числовые характеристики этого распределения;

3) написать функцию распределения числа прибывающих в банк

инкассаторов;

4) найти вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут

хотя бы 2 инкассатора;

42

5) найти вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудет

не менее трех инкассаторов.

Решение:

Случайная величина X – число инкассаторов – может принимать

любое целочисленное значение ....,2,1,0, n

Так как прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо

друг от друга, то имеет место распределение Пуассона: 2 np , .mX

1. Составим ряд распределения.

Считаем следующие вероятности:

Прибудет ноль инкассаторов: .1353,0!0

2)0( 2

0

eXP

Однако проще посчитать эти значения, пользуясь таблицей вероят-

ности распределения Пуассона при заданных m и (прил. 3).

Имеем

,1353,0)0( XP ,2707,0)1( XP ,2707,0)2( XP

,1804,0)3( XP ,0902,0)4( XP ,0361,0)5( XP

,0120,0)6( XP ,0034,0)7( XP ,0009,0)8( XP

.0002,0)9( XP

Данных для 2 и 10m в таблице нет, что означает малость этих

вероятностей: .0)10( XP

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

iX 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4

i10P 1353 2707 2707 1804 902 361 120 34 9 2

При этом .PPn

n 19

0

43

Многоугольник распределения имеет вид

2. Вычислим основные числовые характеристики полученного рас-

пределения:

2)( XM (чел.), 2)( XD (чел.2).

Среднее квадратичное отклонение:

1,417)()ζ( ХDX (чел.).

3. Зададим теперь случайную величину как функцию распределе-

ния:

2

!

2)()(

em

xXPmXFm

m

.

44

При этом

9.при1

9;8при0,9997

8;7при0,9988

7;6при0,9954

6;5при0,9834

5;4при0,9473

4;3при0,8571

3;2при0,6767

2;1при0,4060

1;0при0,1353

0;при0

)(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

х

xF

4. Определим вероятность того, что в банк за 15 мин прибудут хотя

бы два инкассатора:

.5940,02707,01353,01)1()0(1)1(1)2( XPXPXPXP

5. Определим вероятность того, что за 15 мин в банк приедет менее

трех инкассаторов:

.6767,02707,02707,01353,0)2()1()0()3( XPXPXPXP

4.4.4. Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распре-

деление, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., min{n, M} с вероятностями

nN

mnMN

mM

mnC

CCP

, ,

где m = 1, 2, ..., min{n, M}, m ≤ N, n ≤ N; n, N, M – натуральные числа.

45

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина

X = m – число объектов, обладающих данным свойством, среди n-

объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности N-

объектов, M из которых обладают этим свойством.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X оп-

ределяются по следующим формулам:

,)(N

MnmM

.1

111)(

N

n

N

M

N

MnmD

Примечание: Данные формулы получены в предположении, что случайная ве-

личина X принимает значения 0, 1, 2, ... min{n, M}.

В других случаях значения )(mM и )(mD вычисляются, исходя из оп-

ределения.

П р и м е р . Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4.

Наудачу выбирают 4 билета:

1) составить ряд распределения числа выигрышных билетов среди

выбранных;

2) найти числовые характеристики этого распределения;

3) найти функцию распределения числа выигрышных билетов среди

выбранных;

4) найти вероятность того, что среди отобранных

не менее 3 выигрышных;

5) найти вероятность того, что среди отобранных не больше одного

выигрышного билета.

46

Решение:

Случайная величина X – число выигрышных билетов в выборке –

может принимать целочисленное значение .43,2,1,0,

Очевидно, что отбор билетов бесповторный. Следовательно, испыта-

ния зависимые.

Случайная величина подчиняется гипергеометрическому распреде-

лению

nN

mnMN

mM

mnC

CCP

, , где 20N – общее число билетов, 4M – общее

число выигрышных билетов, n – число билетов в выборке, m – число вы-

игрышных билетов в выборке.

Найдем вероятности того, что в выборке:

1. Нет выигрышных билетов: 3756,0420

416

04

0,4 C

CCP .

2. Один выигрышный билет: 4623,0420

316

14

1,4 C

CCP .

3. Два выигрышных билета: 1486,0420

216

24

2,4 C

CCP .

4. Три выигрышных билета: 0132,0420

116

34

3,4 C

CCP .

5. Четыре выигрышных билета: 0002,0420

016

44

4,4 C

CCP .

Получаем закон распределения:

x 0 1 2 3 4

p 0,3756 0,4623 0,1486 0,0132 0,0002

При этом .14

0

n

nPP

47

Многоугольник распределения имеет вид

Математическое ожидание: 8,020

44)(

N

MnmM (билетов).

Дисперсия:

5390,0475

256

192020

161616

1

111)(

N

n

N

M

N

MnmD (билетов 2 ).

Среднее квадратичное отклонение:

0,7342)()ζ( ХDХ (билета).

Зададим теперь случайную величину как функцию распределения:

)()( xXPmXF .nN

mnMN

mM

C

CC

Рассчитаем функцию распределения:

4.при1

4;3при0,9998

3;2при0,9866

2;1при0,8380

1;0при0,3756

0;при0

)(

x

x

x

x

x

х

xF

48

При этом график функции распределения имеет вид

Определим вероятность того, что среди отобранных билетов

не менее трех выигрышных:

.01342,000021,001321,0)4()3()3( XPXPXP

Определим вероятность того, что среди отобранных не больше одно-

го выигрышного билета:

83797,046233,037564,0)1()0()1( XPXPXP .

49

Проверочный тест по теме

«Некоторые стандартные законы распределения

дискретных случайных величин»

1. Биноминальное распределение предполагает, …

а) что дискретная случайная величина – число появления события А,

примет значение m в n несовместных одинаковых опытах;

б) дискретная случайная величина – число появления события А, при-

мет значение m в n независимых одинаковых опытах;

в) дискретная случайная величина – число появления события А, при-

мет значение не более m в n независимых одинаковых опытах.

2. Распределение количества удач в серии независимых испытаний

с двумя исходами называется …

а) биномиальным распределением;

б) гипергеометрическим распределением;

в) геометрическим распределением;

г) нормальным распределением.

3. Биномиальное распределение имеет вид

а) knêknn qPCkP )( ; б) knkn

kn qPCkP )( ;

в) mnmknn qPCkP )( ; г) nmnm

nnm qPCP , .

4. В биномиальном распределении )(kPn случайная величина k может

принимать значения

а) 1, 2, ..., n – 1; б) 0, 1, 2,..., n – 1;

в) 1, 2, ..., n; г) 0, 1, 2, ..., n.

50

5. Что не характерно для биномиального закона распределения:

а) эксперимент состоит из n-идентичных испытаний;

б) в каждом испытании возможно только два исхода;

в) испытания независимы;

г) вероятности исходов одни и те же;

д) все ответы неверны.

6. Математическое ожидание биномиального распределения вычисля-

ется по формуле

а) nqxM ][ ; б) npxM ][ ;

в) qnpxM 2][ ; г) npqxM ][ .

7. Для биномиального распределения kk

nmkk

P

5

, 6,04,0)!5(!

!5 ма-

тематическое ожидание равно

а) 4; б) 3; в) 2; г) 1,2; д) 2,5.

8. Дисперсия биномиального распределения вычисляется по формуле

а) npqxD )( ; б) nqxD )( ;

в) npxD )( ; г) mnmmn qpCxD )( .

9. Для биномиального распределения kk

nmkk

P

5

, 6,04,0)!5(!

!5 наи-

более вероятным будет значение k, равное

а) 3; б) 5; в) 0; г) 1; д) 4; е) 2.

51

10. Характерный вид биномиального распределения следующий:

11. Пусть имеется N предметов, из них M помеченных. Наудачу вытас-

кивают n предметов. Вероятность того, что среди вытащенных n предме-

тов будет m помеченных, дается…

а) биномиальным распределением;

б) гипергеометрическим распределением;

в) показательным распределением;

г) геометрическим распределением.

12. Дисперсия случайной величины – числа подбрасываний монеты до

первого появления «орла» – равна

а) 3; б) 1; в) 2,5; г) 2.

13. Математическое ожидание числа подбрасываний монеты до перво-

го появления орла равно

а) 3; б) 1; в) 2,5; г) 2.

52

14. Распределение случайной величины – количества испытаний до

первой удачи в независимых испытаниях с двумя исходами – называется…

а) показательным распределением;

б) гипергеометрическим распределением;

в) биномиальным распределением;

г) геометрическим распределением.

15. Разница между биномиальным законом и гипергеометрическим

в том, что…

а) вероятность успеха может быть меньше 0,5;

б) вероятность успеха меняется от испытания к испытанию;

в) имеется только два исхода;

г) случайная величина непрерывна;

д) все ответы неверны.

16. Распределение Пуассона имеет вид

а) !m

emP

tt

m

; б) !

)(

m

etP

tm

m

;

в) mnmm

nm ppCP )1( ; г) λ

!

λ)( e

kkP

k

n .

17. Равенство математического ожидания и дисперсии случайной ве-

личины характерно…

а) для биномиального распределения;

б) гипергеометрического распределения;

в) распределения Пуассона;

г) геометрического распределения.

53

18. Какая из перечисленных ниже случайных величин может быть

распределена по закону Бернулли?

a) число молекул в выбранном объеме;

б) число попаданий в цель при 10 выстрелах, если нет возможности

узнать результат после каждого выстрела;

в) число студентов департамента технологического;

г) число звонков, поступающих в справочную службу в течение суток.

19. Какая из перечисленных ниже случайных величин может быть

распределена по закону Пуассона?

а) число молекул в выбранном объеме;

б) число попаданий в цель при 10 выстрелах, если нет возможности

узнать результат после каждого выстрела;

в) число студентов-отличников в студенческой группе;

г) ни одна.

20. Вы играете в лотерею, в которой необходимо выбрать 6 чисел

из диапазона от 1 до 53 включительно. Числа не могут повторяться. Слу-

чайная величина Х – число угаданных номеров. Какое распределение име-

ет случайная величина Х?

а) биномиальное;

б) гипергеометрическое;

в) геометрическое;

г) распределение Пуассона.

21. В преддверии Нового года преподаватель ставит зачет каждому

студенту, который приходит на зачет. В среднем за 3 часа к нему приходят

54

49 студентов. Случайная величина Х – число студентов, которые придут

за 30 минут. Какое распределение имеет случайная величина Х?

а) биномиальное;

б) гипергеометрическое;

в) геометрическое;

г) распределение Пуассона.

22. Предположим, что в среднем 3 раза в день Вам звонят по телефону

и оказывается, что вызывающий абонент ошибся номером. Пусть случай-

ная величина Х – число ошибочных звонков в день. Какое распределение

имеет случайная величина Х?

а) биномиальное;

б) гипергеометрическое;

в) геометрическое;

г) распределение Пуассона.

23. В коробке находится 5 красных и 10 синий шаров. Из коробки нау-

гад с возвращением достают 7 шаров. Пусть случайная величина Х – число

красных шаров среди выбранных. Какое распределение имеет случайная

величина Х?

а) биномиальное;

б) гипергеометрическое;

в) геометрическое;

г) распределение Пуассона.

24. Найти математическое ожидание М(3–5Х), если случайная величи-

на Х распределена по закону Пуассона с параметром λ = 2.

а) 20; б) 0,2; в) 1; г) 2.

55

25. Найти дисперсию D(3 + Х), если случайная величина Х принимает

целые неотрицательные значения от 0 до 5 с вероятностями

.1,09,0)( 55

mmmCmXP

а) 2,7; б) 0,2; в) 1,2; г) 1,8.

Типовые примеры по теме

«Дискретная случайная величина»

П р и м е р 1 . Бросается игральная кость. Величина Х, равная числу

выпавших очков, является случайной величиной. Найти математическое

ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

Очевидно, что случайная величина Х – выпало 1, 2, …, 6 очков –

имеет равномерный закон распределения с вероятностью 6

1P .

Х 1 2 3 4 5 6

Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Проверка: 166

16

1

i

ip .

Имеем 5,36

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11)( XM ;

2222222 )5,3(6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11)(XD 91667,2 ;

1,71)ζ( X .

П р и м е р 2 . Бросают две игральные кости. Найти закон распределе-

ния случайной величины Х, равной сумме очков на двух костях.

56

Решение:

Случайная величина X может иметь следующие значения:

1 + 1 = 2, 1 + 2 = 2 + 1 = 3, 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4 и т. д. Нетрудно

посчитать соответствующие вероятности:

36

1)2(1 XPp ,

36

2)3(2 XPp ,

36

3)4(3 XPp ;

36

4)5(4 XPp ,

36

5)6(5 XPp ,

36

6)7(6 XPp ;

36

5)8(7 XPp ,

36

4)9(8 XPp ,

36

3)10(9 XPp ;

36

2)11(10 XPp ,

36

1)12(11 XPp .

Запишем этот закон распределения в виде таблицы

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Р 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

Проверка: 136

1234565432111

1

i

ip ;

36404230201262(36

1)(XM ;7)122230

1004818(436

1)( XD +

83,5)144242300324320294180 ;

2,41)ζ( X .

57

П р и м е р 3 . Зная функцию распределения случайной величины Х

0 , 3;

0,2 , 3 0;( )

0,4 , 1 2;

1,0 , 2,

x

xF x

x

x

записать ряд ее распределения.

Решение:

;2,002,01 P ;2,02,04,02 P 0,6.0,413 P

kx –3 0 2

kP 0,2 0,2 0,6

П р и м е р 4 . Техническое устройство состоит из трех функцио-

нальных блоков, каждый из которых выходит из строя с вероятностью 0,3.

Дискретная СВ X – это количество блоков, вышедших из строя. Постро-

ить для ДСВ X ряд распределения, определить функцию распределения,

построить график функции распределения.

Решение:

а) Дискретная СВ X может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Поскольку постановка задачи соответствует биномиальному закону,

для вычисления вероятностей используем формулу Бернулли:

;343,07,03,0!3!0

!3)0( 30

3

P ;441,07,03,0!2!1

!3)1( 21

3

P

;189,07,03,0!1!2

!3)2( 12

3

P .027,07,03,0!0!3

!3)3( 03

3

P

Проверка: 1027,0189,0441,0343,04

1

i

ip .

58

Ряд распределения ДСВ X имеет вид

Х 0 1 2 3

Р 0,343 0,441 0,189 0,027

Проверка: 1027,0189,0441,0343,04

1

i

ip .

;9,0027,03189,02441,01)( XM

2 2 2 2( ) 1 0,441 2 0,189 3 0,027 0,9 0,63D X ; ζ( ) 0,79.X

Примечание. Так как вид распределения нами был определен как биномиаль-

ный, то можно было воспользоваться полученными формулами для математического

ожидания и дисперсии:

0,90,33)( npXM , 0,630,70,33)( npqXD .

б) Запишем функцию распределения )(XF аналитически, а затем

построим ее график:

.3при1

;32при973,0

;21при784,0

;10при343,0

;0при0

)(

x

x

x

x

х

xF

График функции распределения ДСВ X :

59

П р и м е р 5 . Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность

попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Составить закон распре-

деления числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти функцию

распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Найти

для X ее математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение:

Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при трех

выстрелах. Случайная величина X может принимать следующие значе-

ния: 1 2 3 40; 1; 2; 3.x x x x .

Найдем соответствующие вероятности для данного примера:

512,08,08,02,0)0( 30300330 CXPp ;

384,08,02,038,02,0)1( 21311331 CXPp ;

096,08,02,038,02,0)2( 22322332 CXPp ;

008,02,08,02,0)3( 33333333 CXPp .

Тогда искомый закон распределения примет вид

X 0 1 2 3

p 0,512 0,384 0,096 0,008

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

1008,0096,0384,0512,03

0

i

ip .

Так как вид распределения нами был определен как биномиальный,

то можно было воспользоваться полученными формулами для математиче-

ского ожидания и дисперсии:

6,02,03)( npXM ; 48,08,02,03)( npqXD ; 0,69)ζ( X .

60

П р и м е р 6 . В темной комнате 7 красных кубиков и 8 синих, не от-

личаемых друг от друга на ощупь. Мальчик вынес три кубика. Пусть X –

случайная величина числа красных кубиков среди вынесенных. Найти за-

кон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной ве-

личины X . Построить график функции распределения F(x) = P( X < x)

и найти вероятность Р( X < 2).

Решение:

Случайная величина X подчинена гипергеометрическому распреде-

лению. Возможные ее значения равны 0, 1, 2, 3. Пусть им соответствуют

вероятности Р0, Р1, Р2, Р3.

Найдем их, используя непосредственный подсчет:

;455

56

151413

321

321

876

!5!3

!15

!5!3

!81

315

38

07

0

C

CCP ;

455

196

!5!3

!15

!6!2

!87

315

28

17

1

C

CCP

;455

168

!5!3

!15

!5!2

!78

315

18

27

2

C

CCP .

455

35

!5!3

!15

!3!4

!71

315

08

37

3

C

CCP

Таким образом, закон распределения имеет вид

Х 0 1 2 3

Р 455

56

455

196

455

168

455

35

Проверка: 56 196 168 35

1455 455 455 455

.

455

1961)(XM

455

1682

455

353 ;4,1

455

637

61

)(XD 455

19612

455

16822 64,04,1

455

353 22 ; 0,8)ζ( X .

Примечание. Так как вид распределения нами был определен как гипергеомет-

рический, и случайная величина X принимает значения 0, 1, 2,…, то можно было вос-

пользоваться полученными формулами для математического ожидания и дисперсии:

1,4,15

73)(

N

MnmM

0,64.14

12

15

8

15

73

1

111)(

N

n

N

M

N

MnmD

По определению функция распределения находится по формуле

)()( xXPXF :

.3при1

;32при455

420

;21при455

252

;10при455

56

;0при0

)(

x

x

x

x

х

xF

По функции распределения Р( X < 2) = F(2) = 554,0 .

62

П р и м е р 7 . Имеется 7 микросхем, среди которых 3 неисправные,

но внешне ничем не отличающиеся от новых. Наугад берутся

4 микросхемы. Найти ряд распределения для ДСВ X , равной количеству

работающих микросхем из четырех выбранных. Построить график функ-

ции распределения.

Решение:

Случайная величина X принимает значения, равные количеству ра-

ботающих микросхем, т. е. 1, 2, 3, 4.

Условие задачи соответствует гипергеометрическому распределению,

однако случайная величина X не принимает значение, равное 0:

;114,035

447

33

14

1 C

CCP ;514,0

35

1847

23

24

2 C

CCP

;343,035

1247

13

34

3 C

CCP 029,0

35

147

03

44

4 C

CCP .

Ряд распределения имеет вид

Х 1 2 3 4

Р 4

35

18

35

12

35

1

35

Проверка: 135

354

1i

i

p .

Так как вид распределения нами был определен как гипергеометри-

ческий, и случайная величина X не принимает значение 0, то применение

полученных в пп. 4.4.4 формул для математического ожидания и диспер-

сии невозможно. Поэтому считаем их значения по определению:

2,287;35

804)3636(4

35

1)( XM

63

0,49;2,28716)10872(435

1)( 2 XD

ζ( ) 0,7.X

График функции распределения:

П р и м е р 8 . Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены

на отлично, наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения

числа работ, оцененных на «отлично» (случайная величина X) среди ото-

бранных. Найти для X математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение:

Пусть случайная величина X – число работ, оцененных на «отлич-

но». Так как из 25 контрольных работ 5 оценены на «отлично» и выбирает-

ся из них 3 работы, то случайная величина X может принимать следующие

значения: 1 2 3 40, 1, 2, 3x x x x .

Найдем вероятности того, что случайная величина X примет соответ-

ствующие значения. Заметим, что распределение случайной величины X

носит гипергеометрический вид.

Тогда

496,0230

114

2300

11401)0(

325

320

05

1

C

CCXPp ;

413,0230

95

2300

950

2300

1905)1(

325

220

15

2

C

CCXPp ;

64

087,0230

20

2300

200

2300

2010)2(

325

120

25

3

C

CCXPp ;

004,0230

1

2300

10

2300

110)3(

325

020

35

4

C

CCXPp .

Искомый закон распределения примет вид

X 0 1 2 3

p 230

114

230

95

230

20

230

1

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

1230

230

230

1

230

20

230

95

230

1144

1

i

ip .

Так как вид распределения нами был определен как гипергеометри-

ческий, и случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, …, то можно

было воспользоваться полученными формулами для математического

ожидания и дисперсии:

;6,025

53)(

N

MnХM

;44,024

22

25

20

25

53

1

111)(

N

n

N

M

N

MnХD

0,66)ζ( X .

П р и м е р 9 . Две игральные кости подбрасываются до тех пор, пока

на каждой из них не появится шестерка. Составить ряд распределения слу-

чайной величины X – количество проведенных опытов.

Решение:

Имеет место геометрическое распределение:

)1(XP ,6

1

6

1 ,

36

1

36

35)2( XP

36

1

36

35

36

35)3( XP

и т. д.

65

Поэтому ряд распределения имеет вид

X 1 2 3 ... m

P 36

1

236

35

3

2

36

35 ...

135

36

m

m

Найдем числовые характеристики распределения. Так как

36

35,

36

1 qp , то по формулам, полученным в пп. 4.4.1 имеем

;361

)( p

XM ;12603636

35)( 2

2

p

qXD 5,35)( X .

П р и м е р 1 0 . Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпа-

дет «двойка». Найти среднее число бросаний.

Решение:

Имеет место геометрическое распределение.

Р(Х = 1) = 1/6, Р (Х = 2) = (5/6)∙(1/6), Р(Х = 3) = (5/6)2∙1/6,

Р(Х = 4) = (5/6)2∙1/6 и т. д.

Получим ряд распределения вероятностей:

Х 1 2 3 … k

Р 1/6 5/6∙1/6 (5/6)2∙1/6 … (5/6)

k ∙1/6

Найдем математическое ожидание случайной величины. Так как

,6

1p

6

5q , то 6

1)(

pXM .

Таким образом, среднее число бросаний равно 6.

П р и м е р 1 1 . Бросаются три игральные кости. Найти математиче-

ское ожидание суммы выпавших очков.

66

Решение:

Можно найти распределение случайной величины Х – суммы вы-

павших очков и затем ее математическое ожидание. Однако такой путь

слишком громоздок. Проще использовать другой прием, представляя слу-

чайную величину Х, математическое ожидание которой требуется вычис-

лить, в виде суммы нескольких более простых случайных величин, мате-

матическое ожидание которых вычислить легче. Если случайная величина

Хi – это число очков, выпавших на i-й кости (i = 1, 2, 3), то сумма очков Х

выразится в виде

Х = Х1 + Х2 + Х3.

Для вычисления математического ожидания исходной случайной ве-

личины останется лишь воспользоваться свойством математического ожи-

дания:

М (Х1 + Х2 + Х3) = М(Х1) + М(Х2) + М(Х3).

Очевидно, что

Р (Х i = k) = 1/6, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, i = 1, 2, 3.

Следовательно, математическое ожидание случайной величины Хi

имеет вид

М (Х i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 + 1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

а значит,

М(Х) = 3∙7/2 = 10,5.

67

Контрольный тест по теме

«Дискретные случайные величины»

1. Неизвестная вероятность р в законе распределения равна

Х 0 1 2 3 4

Р 0,05 0,25 р 0,25 0,05

а) 0,3; б) 0,4; в) 0,5; г) 0,6.

2. Случайная величина Х задана законом распределения:

Х 0 5 3х

Р 0,1 0,7 0,2

Найти значение 3х , если М (Х) = 5,5.

а) 3; б) 1; в) 12; г) 10.

3. Закон распределения случайной величины Х имеет вид

Х –1 9 29

Р 0,94 р 0,02

Найти математическое ожидание случайной величины.

а) 2,1; б) 1,1; в) 3,1; г) 0; д) 0,343.

4. Закон распределения дискретной случайной величины Х задан

таблицей

Х 1 2 3 4

Р 1/16 1/4 1/2 3/16

Найти Р (Х > 2).

а) 3/32; б) 3/128; в) 15/16; г) 11/16.

68

5. Задан биномиальный закон распределения дискретной случайной

величины. Найти Р (х < 2).

0 0 4 1 1 3 2 2 2 3 3 1 4 4 0

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4

X

P C С C C C

а) 0,0272; б) 0,0272; в) 0,3398; г) 0,1792.

6. Нужная студенту книга может находиться в четырех библиотеках

с равными вероятностями 0,4. Вычислить математическое ожидание слу-

чайного числа посещенных библиотек.

а) 2,1; б) 1,6; в) 3,2; г) 0,8.

7. От аэровокзала отправились три автобуса – экспресса к трапам са-

молета. Вероятность своевременного прибытия автобусов в аэропорт оди-

накова и равна 0,9. Случайная величина Х – число своевременно прибыв-

ших автобусов. Найти математическое ожидание величины Х.

а) 2,7; б) 0,09; в) 3; г) 0,9.

8. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того,

что студент ответит на каждый из этих вопросов равна 0,8. Случайная ве-

личина Х – число вопросов, на которые ответил студент. Найти вероят-

ность того, что она примет значение, равное 2.

а) 0,32; б) 0,16; в) 0,8; г) 0,384.

9. Игральную кость подбрасывают три раза подряд. Случайная вели-

чина Х – количество выпадений цифры 6. Найти вероятность р того, что

она примет значение, не равное 0:

а) 91/216; б) 125/216; в) 25/216; г) 215/216.

69

10. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение

смены каждый станок потребует внимания рабочего, равна 0,7. Случайная

величина Х – число станков, потребовавших внимания рабочего в течение

смены. Найти ее дисперсию D.

а) 2,1; б) 1,1; в) 3,1; г) 0,63.

11. Производится 200 повторных независимых испытаний, в каждом

из которых вероятность события А равна 0,2. Найти дисперсию D случай-

ной величины Х – числа появления события А в двухстах испытаниях.

а) 32; б) 12; в) 16; г) 20.

12. Спрос на товар и вероятностное распределение дано таблицей:

Х 0 1 2 3 4

Р 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2

Какова вероятность покупки, по крайней мере, двух единиц?

а) 0,7; б) 0,6; в) 0,3; г) 0,4.

13. Вероятность обслуживания количества клиентов приведена в

таблице:

Х 0 1 2 3 4 5 6

Р 0,05 0,1 0,15 0,35 0,2 0,1 0,05

Ожидаемое количество обслуживаемых клиентов равно

а) 6; б) 0; в) 3,05; г) 21; д) больше 6.

14. Из урны, содержащей пять белых и семь черных шаров, с возвра-

щениями извлекаются три шара. Чему равно математическое ожидание

случайного числа появившихся черных шаров?

а) 3/4; б) 7/12; в) 5/12; г) 7/4.

70

15. Из урны, содержащей пять белых и семь черных шаров, без воз-

вращения извлекаются три шара. Чему равно математическое ожидание

случайного числа появившихся черных шаров?

а) 5/4; б) 7/12; в) 5/12; г) 7/4.

16. Имеется 10 пирожков, из них 7 с капустой. Случайно отобрали 3

пирожка. Найти математическое ожидание случайной величины X – коли-

чества пирожков с мясом.

а) 0,9; б) 0,6; в) 0,3; г) 0,4.

17. Преподаватель задает 6 вопросов. Он прекращает задавать вопро-

сы студенту, как только студент отвечает неверно. Вероятность того, что

студент ответит на вопрос неверно, равна 0,3. Найти математическое ожи-

дание дискретной случайной величины X – числа вопросов, которые задаст

преподаватель.

а) 2,104; б) 2,533; в) 3,132; г) 0,639.

18. Два противника играют в шахматы. Вероятность выиграть пар-

тию первым игроком равна p = 0,2. Найти дисперсию СВ X – количества

выигранных партий первым игроком в серии из 8 партий.

а) 2,16; б) 1,96; в) 1,28; г) 0,63.

19. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того,

что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти математиче-

ское ожидание случайной величины Х – наудачу взятая книга бракована.

а) 10; б) 1; в) 100; г) 20.

71

20. По данным длительной проверки качества запчастей определен-

ного вида брак составляет 3 %. Изготовлено 1000 запчастей. Определить

среднее квадратическое отклонение числа годных запчастей.

а) 2,64; б) 5,39; в) 1,28; г) 3,62.

21. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных по-

купателей и звонит до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара.

Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4.

Найти дисперсию этой случайной величины.

а) 2,67; б) 1,96; в) 4,42; г) 2,61.

22. Дан закон распределения случайной величины X:

X –4 –3 –2 –1

p 0,3 0,5 0,1 0,1

Найти дисперсию D(5–3X).

а) 7,2; б) 3,6; в) 6,3; г) 8,4.

23. В экзаменационном билете по теории вероятностей 4 вопроса. Ве-

роятность ответа на каждый вопрос у студента равно 0,7. Составить закон

распределения числа вопросов, на которые были даны правильные ответы.

а)

X 0 1 2 3 4

p 0,01 0,08 0,27 0,41 0,23

б)

X 0 1 2 3 4

p 0,0081 0,0756 0,4116 0,2646 0,2401

72

в)

X 0 1 2 3 4

p 0,0081 0,756 0,0264 0,1855 0,0240

г)

X 0 1 2 3 4

p 0,0081 0,0756 0,2646 0,4116 0,2401

24. Предприниматель сделал 2 рискованных вклада: 20 млн руб.

в компанию А и 10 млн руб. в компанию В. Компания А обещает 40 % го-

довых, но может обанкротиться с вероятностью 0,3. Компания В обещает

30 % годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,2. Считаем, что

банкротства компаний – события независимые. Найти математическое

ожидание случайной величины Х – суммы вкладов, полученных от двух

компаний через год.

а) 26; б) 30; в) 34; г) 40.

73

5. Непрерывные случайные величины

5.1. Функция распределения непрерывной случайной величины

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, заданную на неко-

тором интервале (а, b). Закон распределения вероятностей для такой вели-

чины должен позволять находить вероятность попадания ее значения

в любой интервал (х1, х2).

Функцией распределения непрерывной случайной величины Х назы-

вают функцию F(x), определяющую для каждого значения ),( bax веро-

ятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т. е.

)()( xXPxF .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Как любая вероятность 1)(0 xF .

2. F(x) – неубывающая функция, т. е. если х1 < х2, то F(x1) ≤ F(x2).

3. )()()( 1221 xFxFxXxP .

4. Р(Х = x1) = 0.

5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на

интервале ),( ba , то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при bx .

6. 0)(lim

xFx

, 1)(lim

xFx

.

74

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х на-

зывают производную от функции распределения: )()( xFxf .

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обла-

дает следующими свойствами:

1. f(x) ≥ 0, т. к. функция F(x) – неубывающая.

2. 1)(

dxxf (условие нормировки). Его справедливость следует

из того, что

),()( Fdxxf а .1)(lim

xFx

3. Зная плотность распределения )(xf , можно найти функцию рас-

пределения случайной величины

x

dxxfxF )()( .

Геометрически функция распределения равна площади заштрихо-

ванной фигуры.

4. b

a

dxxfbXaP )()( . Действительно,

b

a

b a

dxxfdxxfdxxfaFbFbXаР .)()()()()()(

Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ог-

раниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [a,b].

75

5. ,0)(lim

xfx

т. к. const)( xF при .x

Таким образом, график плотности распределения представляет собой

кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизон-

тальной асимптотой при x (последнее справедливо только для слу-

чайных величин, множеством возможных значений которых является все

множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ог-

раниченной графиком этой функции, равна единице.

Примечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины

сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах,

а вне интервала [a, b] f(x) ≡ 0.

76

П р и м е р 1 . Случайная величина Х задана функцией распределения

.3 при 1

,32 при )2(

,2 при 0

)( 2

x

xx

x

xF

Найти плотность распределения этой случайной величины и вероят-

ность попадания ее в интервал (1; 2,5).

Решение:

По определению

.3 при 0

,32 при )2(2

,2 при 0

)()(

x

xx

x

xFxf

Требуемая вероятность будет равна

4

10

4

1)1()5,2()5,21( FFXP .

П р и м е р 2 . Дана плотность распределения непрерывной случай-

ной величины Х:

.2 при 0

,21 при 2

1

,1 при 0

)(

x

xx

x

xf

Найти функцию распределения этой величины.

Решение:

Воспользуемся формулой

x

dxxfxF )()( .

Если х ≤ 1, то f(x) = 0, следовательно, 00)(

x

dxxF .

Если 1 < x ≤ 2, то

xxtt

dttdxdxxfxF

xxx

2

1

2

1

1

2

1

2

1

22

10)()( .

77

Если х > 2, то

12

10

2

10)()(

2

1

2

2

2

1

1

xxdxdxxdxdxxfxFxx

.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

.2 при 1

,21 при 2

1

,1 при 0

)( 2

x

xxx

x

xF

П р и м е р 3 . Плотность распределения непрерывной случайной ве-

личины задана формулой

.,1

)(2

xx

Cxf

Найти: а) константу С; б) вид функции распределения;

в) Р(– 1 < x < 1).

Решение:

а) Значение константы С найдем из свойства 2:

1,π2

π

2

πarctg

1 2CCxСdx

х

С откуда

π

1C ;

б)

x

2

x1 1 1 1 π 1 1

F( x ) dt arctg t arctg x arctg x ;π π π 2 π 21 t

в)

1

12

0,5.4

π

4

π

π

1

1

1

arctgπ

1

1

1

π

11)1( xdx

xxР

78

5.2. Числовые характеристики

непрерывной случайной величины

Аналогично тому, как это было сделано для дискретной случайной

величины, определим числовые характеристики непрерывной случайной

величины Х с плотностью распределения f(x).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х,

возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется опре-

деленный интеграл

b

a

dxxxfXM )()( .

Если возможные значения случайной величины рассматриваются

на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле

dxxxfXM )()( .

При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математи-

ческое ожидание квадрата ее отклонения

dxxfXMxXD )()]([)( 2 .

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для

практического вычисления дисперсии используется формула

22 )]([)()( XMdxxfxXD .

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень

из дисперсии

)()ζ( XDX .

79

П р и м е р . Случайная величина Х задана плотностью распределе-

ния

.2 при 0

,20 при 4

1

,0 при 0

)( 3

x

xxx

x

xf

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное

отклонение величины Х.

Решение:

Воспользуемся определениями:

223 3 5

00

1 1 1 8 8 16( ) ( ) ;

4 3 20 3 5 15M X xf x dx x x x dx x x

222 2 2 3 4 6

00

1 1 1 4( ) ( ) ;

4 4 24 3M X x f x dx x x x dx x x

2 2 4 256 44( ) ( ) ( ) ;

3 225 225D X M X M X

15

112)()ζ( XDX .

80

Проверочный тест по теме

«Основные характеристики непрерывной

случайной величины»

1. Случайную величину X называют непрерывной, если:

а) ее возможные значения – вся числовая ось или ее часть;

б) ее функция распределения F(x) есть непрерывная кусочно-

дифференцируемая функция с непрерывной производной;

в) ее возможные значения ограничены некоторым интервалом (a, b);

г) ее функция распределения F(x) является непрерывной.

2. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной

величины равна

а) 0; б) 1; в) от 0 до 1; г) близка к 0.

3. Под функцией распределения непрерывной случайной величины X

понимается:

а) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение больше x;

б) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение меньше x;

в) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение, не равное x;

г) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение, равное x.

81

4. Функция распределения F (x) непрерывной случайной величины яв-

ляется:

а) периодической;

б) невозрастающей;

в) убывающей;

г) неубывающей.

5. Из приведенных функций укажите ту, которая может быть функци-

ей распределения непрерывной случайной величины:

а)2

0 при 1,

( ) при 1 1,

1 при 1;

x

F x х x

x

б)

0 при 2,

2( ) при 2 4,

2

1 при 4;

x

хF x x

x

в)

0 при 0,

( ) 0,5 при 0 20,

1 при 20;

x

F x х x

x

г)

.4 при 0

,42 при 2

2

,2 при 0

)(

x

xх

x

xF

6. Функция распределения F (x) непрерывной случайной величины яв-

ляется

а) невозрастающей;

б) убывающей;

в) периодической;

г) неотрицательной.

7. Значения функции распределения F (x) непрерывной случайной ве-

личины X находятся в диапазоне

а) от –1 до 1; б) от 0 до ∞; в) от –1 до 0; г) от 0 до 1.

82

8. Какая из формул является функцией распределения?

а) )()( xXPxF ; б) )()( xFxf ;

в) )()( xfxF ; г) )()( xXPxF .

9. В каком ответе правильно записаны свойства функции распределе-

ния?

а) )()( 12 xFxF , для 12 xx ; 1)( F ; 0)( F ;

б) )()( 12 xFxF , для 12 xx ; 0)( F ; 1)( F ;

в) )()( 12 xFxF , для 12 xx ; 0)( F ; 1)( F ;

г) )()( 12 xFxF , для 12 xx ; 1)( F ; 1)( F ;

д) )()( 12 xFxF , для 12 xx ; 0)( F ; 0)( F .

10. Если возможные значения непрерывной случайной величины Х –

вся числовая ось, то можно утверждать, что

а) 1)(lim

xFx

; б) 0)(lim

xFx

; в) 1)(lim

xFx

.

11. Если возможные значения непрерывной случайной величины Х

принадлежат интервалу (a, b), то можно утверждать, что

а) bxaxF ,0)( ; б) bxaxF ,1)( ;

в) axxF ,1)( ; г) bxxF ,1)( .

12. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет

значение в диапазоне (a, b), равна

а) )()()( aFbFbXаР ;

б) )()()( aFbFbXаР ;

в) )(/)()( aFbFbXаР ;

г) )()()( bFaFbXаР .

83

13. Найти вероятность того, что Х примет значение в диапазоне (2; 3),

если функция распределения имеет вид

.4 при 1

,42 при 2

2

,2 при 0

)(

x

xх

x

xF

а) 0,6; б) 0,5; в) 0,4; г) 0,8.

14. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х,

функция распределения которой имеет вид

2

0 при 0,

( ) при 0 1,

1 при 1,

x

F x x x

x

примет значение в диапазоне

2

1;

3

1:

а) 6/35; б) 7/38; в) 8/33; г) 5/36.

15. Под плотностью распределения непрерывной случайной величины

X понимается…

а) производная от функции распределения случайной величины;

б) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение, не равное x;

в) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение, меньшее x;

г) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение больше x.

16. Из приведенных соотношений укажите неправильное:

а) 1)(0 xf ; б) 0)( xf ; в) 0)(lim

xfx

; г) 1)(

dxxf .

84

17. Значения плотности распределения f (x) непрерывной случайной

величины X находятся в диапазоне:

а) от 0 до ∞; б) от – ∞ до ∞; в) от 0 до 1; г) от –1 до 1.

18. Если возможные значения непрерывной случайной величины Х

принадлежат интервалу (a, b) , то можно утверждать, что

а) bxxf ,0)( ;

б) axxf ,0)( ;

в) bxaxf ,1)( .

г) bxxf ,1)( ;

19. Из приведенных функций укажите ту, которая может быть плотно-

стью распределения непрерывной случайной величины:

а)

0 при 2

1 при 2 3

3

0 при 3

x ,

f ( x ) x ,

x .

б)

.1 при 0

,10 при 2

,0 при 0

)(

x

xx

x

xf

в)

.20 при 1

,200 при ,050

,0 при 0

)(

x

xх

x

xf г)

0 при 1,

1( ) при 1 3,

3

0 при 3.

x

f x x

x

20. В каком ответе правильно записаны свойства плотности распреде-

ления?

а) 1)(

x

dxxf , 0)( xf ; б) 1)(

dxxf , 0)( xf ;

в) 0)(

dxxf , 0)( xf ; г) 1)(

dxxf , 0)( xf ;

д) 1)(

0

dxxf , 0)( xf .

85

21. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок

),( равна

а) )()()( FFxP ; б) )()()( FFxP ;

в)

dxxFxP )()( ; г) )()()( ffxP .

д) )()()( ffxP ;

22. Вероятность попадания случайной величины на интервал );( бу-

дет определяться по формуле

а)

dxxFxP )()( ; б) )()()( ffxP ;

в) )()()( FFxP ; г)

dxxfxP )()( .

23. Найти вероятность того, что Х примет значение в диапазоне

(0,5; 1), если плотность распределения имеет вид

0 при 2,

1( ) при 2 3,

5

0 при 3.

x

f x x

x

а) 0,2; б) 0,1; в) 0,4; г) 0,25.

24. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х,

функция распределения которой имеет вид

.1 при 0

,10 при 2

,0 при 0

)(

x

xx

x

xf при-

мет значение в диапазоне

2

1;

3

1.

а) 6/35; б) 7/38; в) 8/33; г) 5/36.

86

25. Какая из формул устанавливает связь между плотностью распреде-

ления f(x) и функцией распределения F(x):

а) )()( xfxF ; б) )()( xFxf ;

в) )()()( xFxxFxf ; г)

x

dxxFxf )()( .

26. Какая из формул верно устанавливает связь между функцией рас-

пределения и плотностью распределения?

а)

dxxfxF )()( ; б)

x

dttfxF )()( ;

в)

x

dttfxF )()( ; г) )()( xfxF .

27. Для дискретной случайной величины…

а) функция распределения F(x) существует, а плотность распределения

f (x) – нет;

б) плотность распределения f (x) существует, а функция распределения

F (x) – нет;

в) не существует ни функция распределения F (x), ни плотность рас-

пределения f(x);

г) существует и функция распределения F (x), и плотность распределе-

ния f (x).

87

28. Математическое ожидание ][xM непрерывной случайной величи-

ны есть число, определяемое по формуле

а)

n

iii PxxM

1

][ ; б)

dxxxfxM )(][ ;

в)

dxxfmxxM x )()(][ ; г)

dxxfmxxM x )()(][ 2;

д)

dxxxPxM i )(][ .

29. Какое из заданных значений может служить математическим ожи-

данием непрерывной случайной величины X: 1) x2 + С; 2) 2х; 3) π

2;

4) 2/π; 5) – 4?

а) все, кроме 5);

б) 1), 2);

в) 3), 4);

г) 3), 4), 5).

30. Среди выражений:

1) центр распределения; 2) среднее значение;

3) плотность вероятности; 4) математическое ожидание

синонимами являются:

а) 1), 4); б) все, кроме 1); в) все, кроме 3); г) 2), 4); д) 3), 4).

31. В каком ответе правильно перечислены свойства математического

ожидания независимых случайных величин Х и У?

а)

];[][][];[][][];[][;0][ yMxMyxMyMxMyxMxCMCxMCM

88

б)

];[][][];[][][];[][;][ yMxMyxMyMxMyxMxCMCxMCCM

в)

];[][][];[][][];[][;][ 2 yMxMyxMyMxMyxMxMCCxMCCM

г)

].[][][];[][][];[][;0][ 2 yMxMyxMyMxMyxMxMCCxMCM

32. Дисперсией случайной величины называется

а) математическое ожидание квадрата отклонения случайной величи-

ны от ее математического ожидания, т. е. ])[( 2xmxM ;

б) квадрат математического ожидания отклонения случайной величи-

ны от ее математического ожидания, т. е. ][2xmxM ;

в) математическое ожидание квадрата случайной величины, т. е.

][ 2xM ;

г) квадрат математического ожидания квадрата отклонения случайной

величины от ее математического ожидания, т. е. ])[( 22xmxM .

33. Можно ли вычислять дисперсию случайной величины по формуле

][][)( 22 xMxMxD ?

а) да;

б) нет;

в) можно только в случае непрерывной случайной величины;

г) можно только в случае дискретной случайной величины.

34. Дисперсия )(xD непрерывной случайной величины есть число, оп-

ределяемое по формуле

89

а)

2

2 )()(][

dxxxfdxxfxxD ;

б)

2

2 )()(][

dxxxfdxxxfxD ;

в)

2

22 )()(][

dxxxfdxxfxxD ;

г)

2

22 )()(][

dxxxfdxxfxxD .

35. В каком ответе правильно перечислены свойства дисперсии?

а) ][][][];[][;][ 2 yDxDyxDxDccxDccD ;

б) ][][][];[][;0][ yDxDyxDxcDcxDcD ;

в) ][][][];[][;0][ 2 yDxDyxDxDccxDcD ;

г) ][][][];[][;0][ 2 yDxDyxDxDccxDcD ;

36. Для непрерывной случайной величины X среднеквадратичное от-

клонение равно 4. Дисперсия случайной величины X равна

а) 8; б) 16; в) 2; г) 1.

37. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет

вид

.1 при 0

,10 при 3

,0 при 0

)( 2

x

xx

x

xf

Чему равно математическое ожидание?

а) 1/3; б) 2/3; в) 2/5; г) 3/4.

90

38. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет

вид 3

0 при 0,

( ) /4 при 0 2,

0 при 2.

x

f x x x

x

Чему равна дисперсия?

а) 4/39; б) 8/75; в) 2/27; г) 1/40.

39. Дисперсия случайной величины, плотность распределения которой

имеет вид

0 при 0,

( ) 2 при 0 1,

0 при 1,

x

f x х x

x

равна: а) 1/8; б) 1/18; в) 1/16; г) 1/14.

40. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет

вид

.1 при 1

,10 при

,0 при 0

)( 3

x

xx

x

xF

Чему равно математическое ожидание?

а) 3/4; б) 2/5; в) 2/3; г) 1/4.

41. Для непрерывной случайной величины X дисперсия равна 4. Сред-

неквадратичное отклонение случайной величины X равно

а) 8; б) 16; в) 2; г) 1.

42. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет

вид

.1 при 1

,10 при

,0 при 0

)(

x

xx

x

xF

Чему равна дисперсия?

91

а) 2/13; б) 1/12; в) 1/13; г) 1/14.

5.3. Некоторые стандартные законы распределения

непрерывной случайной величины

5.3.1. Равномерный закон распределения

Это распределение реализуется в опытах, где наудачу ставится точка

на отрезке [a, b], а также в экспериментах по измерению тех или иных фи-

зических величин с округлением (Х – ошибка округления).

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределе-

ние вероятностей, если ее плотность распределения задается следующим

образом:

.;при0

,при)(

bxax

bxacxf

Найдем значение с. По свойству плотности распределения

1)(

dxxf получаем, что 1)()(

abccdxdxxfb

a

, следовательно,

abc

1 и

.;при0

,при1

)(

bxax

bxaabxf

Так как c

ab1

, то промежуток [a, b], на котором имеет место рав-

номерное распределение, обязательно конечен.

92

Определим вероятность того, что случайная величина Х примет зна-

чение, заключенное в интервале ( ):,

.ab

dxab

dxxfXP

αβ1)(β)(α

β

α

β

α

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь за-

штрихованного прямоугольника.

Вероятность попадания Х в интервал ab

XP

αββ)(α зависит

только от длины этого интервала и не зависит от значений величины Х.

При равномерном распределении случайной величины Х вероятности по-

падания Х в промежутки равной длины одинаковы.

Найдем функцию распределения

x

dxxfxF )()( .

Если х ≤ a, то f(x) = 0 и, следовательно, 0)( xF .

Если а < x ≤ b, то ab

xf

1

)( и ab

axdx

abxF

x

a

1)( .

Если х >b, то f(x) = 0 и 101

)(

ab

abdxdx

abxF

x

b

b

a

.

Таким образом,

. при 1

, при

, при 0

)(

bx

bxaab

ax

ax

xF

93

Определим числовые характеристики равномерного распределения.

По определению математического ожидания

2)(22

11)()(

222 ba

ab

abx

abdx

abxdxxxfXM

b

a

b

a

.

3)(33

11)()(

22333222 baba

ab

abx

abdx

abxdxxfxXM

b

a

b

a

.

Дисперсия равномерно распределенной случайной величины будет

)()()( 22 XMXMXD

12

)(

12

2

4

2

3

2222222 abbabababababa

.

Итак,

2)(

baXM

, )(XD =

12

)( 2ab ,

32)ζ(

abX

.

П р и м е р . Интервал движения автобуса равен 20 мин. Найти веро-

ятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 мин.

Решение:

Пусть случайная величина Х – время прихода пассажира на станцию

после отправления очередного автобуса 0 < X < 20. Случайная величина Х

имеет равномерное распределение, т. к. вероятность прихода, например,

в пятую минуту, равна вероятности прихода в восьмую. В задаче требуется

94

найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение из ин-

тервала (15; 20).

25,020

5)2015( XP .

5.3.2. Показательный закон распределения )(λE

Показательным (экспоненциальным) называется распределение ве-

роятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается

плотностью

0,приλ

0,при0)(

λ xe

xxf

x

где – положительное число.

Найдем закон распределения.

,1λ0)()( λ

0

λ0

xx

xx

edxedxdxxfxF

т. е.

λ

0 при 0,( )

1 при 0.x

xF x

e x

95

Графики функции распределения и плотности распределения имеют

следующий вид:

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчинен-

ной показательному распределению.

;λ

;

;;

λ)()( λ

λ

0

λ

ve

dxdu

dvdxexu

dxexdxxxfXM x

x

x

0

λ

0

λ

λλλ dx

exe xx

.e

dxex

x

1

00

Результат получен с использованием того факта, что

0.λ

1lim

Лопиталя

правилуПо0lim

λλx0

λ

xxx

x

ee

xxe

0

λ222 λ)()( dxexdxxfxXM x .

Дважды интегрируя по частям, получим .λ

2)(

2

2 XM Тогда

.λ

1)()()(

2

22 XMXMXD

Итак,

.λ

1)ζ(;

λ

1)(;

λ

1)(

2 XXDXM

96

Вероятность попадания случайной величины, подчиненной показа-

тельному закону распределения, в заданный интервал, имеет вид

.)()()( λλ ba eeaFbFbxaP

Показательное распределение широко используется в теории на-

дежности.

Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент време-

ни t0 = 0, а через какое-то время t происходит отказ устройства.

Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность без-

отказной работы устройства.

Таким образом, функция распределения F(t) = P(T < t) определяет

вероятность отказа за время длительностью t.

Вероятность противоположного события (безотказная работа

в течение времени t) равна R(t) = P(T > t) = 1 – F(t).

Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую ве-

роятность безотказной работы устройства в течение времени t:

.)(1)( λ tetFtR

Данное соотношение называют показательным законом надежности.

Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение

задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы

устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей

работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от дли-

тельности времени t.

Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от ин-

тенсивности отказов и не зависит от безотказной работы устройства

в прошлом.

97

Так как подобным свойством обладает только показательный закон

распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон рас-

пределения случайной величины показательным или нет.

П р и м е р . Испытываются два независимо работающих элемента.

Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет пока-

зательное распределение ,)( 02,01

tetR второго – .)( 05,02

tetR Найти ве-

роятность того, что за время t = 6 ч откажут оба элемента; оба элемента

будут работать; откажет только один элемент.

Решение:

Вероятность отказа первого элемента за 6 ч равна

.113,011)6(1)6( 12,0602,0111 eeRFq

Вероятность отказа второго элемента за то же время:

.259,011)6( 3,0605,022 eeFq

Вероятность отказа двух элементов по теореме умножения вероятно-

стей равна .029,0259,0113,021 qq

Вероятности безотказной работы каждого элемента за 6 ч:

.741,0)6(1;887,0113,01)6(1 2211 FpFp

Поэтому вероятность отказа только одного элемента будет равна

.310,0887,0259,0741,0113,01221 qpqp

5.3.3. Нормальный закон распределения σ);(aN

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной

случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

2

2

2ζ

)(

2πζ

1)(

ax

exf

.

98

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место

в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется

во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия

большого числа различных факторов. К нормальному закону приближают-

ся все остальные законы распределения.

Изучение различных явлений показывает многие случайные величи-

ны, например, такие, как погрешности при измерениях, величина износа

деталей во многих механизмах и т. д., имеют данную плотность распреде-

ления вероятности.

Кривая нормального распределения изображена на рисунке.

В дальнейшем нам потребуется интеграл Пуассона: 2π2

2

dte

t

.

Используя этот интеграл несложно заметить, что функция распреде-

ления f(x) удовлетворяет основному соотношению

1)(

dxxf .

Действительно, обозначив dtdx tax

ζ ,ζ

, можно написать

2 2

2

( )

2ζ 21 1 1

2π 1ζ 2π 2π 2π

x a t

e dx e dt

.

99

Построим график функции плотности распределения для нескольких

значений 21 ζζζ (при постоянном а ) и нескольких значений а

321 aaa (при постоянном ).

Видно, что при увеличении значения график становится более по-

логим, а максимальное значение уменьшается. Величина а определяет

сдвиг графика вдоль оси ОХ. Если а > 0, то график сместится

в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

5.3.3.1. Числовые характеристики

нормального распределения

Определим математическое ожидание случайной величины с нор-

мальным законом распределения

dxexdxxxfXM

ax2

2

2ζ

)(

2πζ

1)()( .

Выполнив замену переменной dtdxtax

ζ ,ζ

, получаем

dttedtea

dtetaXM

ttt

222

222

2π

ζ

2π)ζ(

2π

1)(

100

aea

t

2

2

2π

ζ2π

2π.

Значение параметра а в формуле, определяющей плотность распре-

деления вероятности, равно математическому ожиданию рассматриваемой

случайной величины. Точка х = а является центром распределения вероят-

ностей, или центром рассеивания.

Найдем

dxexdxxfxXMax2

2

2ζ

)(

222

2πζ

1)()( .

Выполнив ту же замену переменной, будем иметь

dtettaaXM

t

22222

2

)ζζ2(2π

1)(

dttetadtetdttea

ea

tttt

2

2222

2

22

22222

2π

ζ0

2π

ζ

2π

ζ2dt

2π.

Проинтегрировав по частям последний интеграл: u = t, dttedv

t

2

2

,

получим

dteteaXM

tt

22

222

22

2π

ζ)( .

Так как по правилу Лопиталя 0lim 2

2

t

tte , то

222

22 ζ2π2π

ζ)( aaXM .

Поэтому дисперсия нормально распределенной случайной величины

будет равна

222222 ζζ)()()( aaXMXMXD .

101

Окончательно:

M(X) = a, D(X) = σ2, σ(X) = σ.

5.3.3.2. Функция распределения

Найдем теперь функцию распределения F(x):

dxexFx

ax

2

2

2ζ

)(

2πζ

1)( .

В дальнейшем будем использовать функцию Лапласа, определяемую

равенством

x

t

dtex0

2

2

2π

1)Ф( .

Для этой функции составлены подробные таблицы значений (см.

прил. 2).

Укажем некоторые свойства функции )Ф(x .

1. )Ф(x определена при всех значениях х.

2. 0Ф(0) .

3. 2

1

2

2π

2π

1

2π

1)Ф(

0

2

2

dte

t

.

4. 2

1)Ф( .

5. )Ф(x монотонно возрастает при всех ),( x .

6. )Ф(x – функция нечетная: )Ф( x )Ф(x .

102

Определим функцию распределения случайной величины Х, имею-

щей нормальное распределение

( )

2ζ

2

1 2( ) ( )

ζ 2π

x ax x

F x f x dx e dx

.

Обозначив ,ζ

tax

получим

ttt

tt

dtedtedtexF0

20

22

222

2π

1

2π

1

2π

1)(

1 1 1

2π Ф Ф2 2 ζ2π

x at

.

Итак, функция распределения случайной величины Х имеет вид

ζФ

2

1)(

axxF .

103

Используя функцию распределения случайной величины Х, найдем

вероятность попадания ее значений в интервал ( , ) .

ζ

αФ

2

1

ζ

βФ

2

1(αα(βββ)P(α

aaFFX

.ζ

αФ

ζ

βФ

aa

Таким образом,

ζ

αФ

ζ

βФβ)P(α

aaX .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной

величины на интервал, симметричный относительно среднего значения,

равна

)δ/(Ф2δ)δP(δ)P( aXaaX .

П р и м е р 1 . Случайная величина X распределена по нормальному

закону с параметрами 0a , 1 . Определить вероятность того, что

а) Х примет значение из интервала (0; 1,56);

104

б) Х примет значение, меньшее чем –2,48;

в) Х примет значение из интервала (1; 2).

Решение:

а)

ζ

αФ

ζ

βФ1,56)P(0

aaX 0Ф1,56Ф 0,4406.

Графическая интерпретация полученного результата очевидна из ри-

сунка (справа представлена вырезка из табл. П.2).

б)

)Ф(

ζ

βФ2,48)P( X 0,5)(2,48Ф

0,50,49340,5)(2,48Ф .0066,0

Можно было поступить по-другому, используя четность функции

плотности распределения:

2,48)P( X )P(2,48 X 2,48Ф0,5 .0066,0

в) 2)P(1 X 1Ф2Ф 0,4772 – 0,3413 = 0,1359.

105

П р и м е р 2 . Дозатор-автомат фасует сахар в мешки по 50 кг. Неиз-

бежные случайные ошибки в работе дозатора приводят к тому, что масса

наудачу взятого мешка есть СВ Х, имеющая нормальное распределение со

средним значением m = 50 кг. Известно, что 1,5 % мешков имеют массу,

превышающую 51 кг.

а) Каков процент мешков, масса которых меньше 49,5 кг?

б) Какова вероятность того, что среди 7 наудачу выбранных мешков

ровно 1 будет иметь массу меньше 49,5 кг?

Решение:

Рассмотрим событие А = {X > 51}. По условию задачи, Р(А) = 0,015.

С другой стороны:

.XPAP

ζ

1Ф0,5

ζ

5051Ф)Ф()(51)(

Сравнивая, получим 0,485.ζ

1Ф

Из таблицы значений функции Лапласа находим, что значение 0,485

она принимает в точке 2,17.

Отсюда получаем 0,461.2,17

1ζ

106

0,461

50Ф

0,461

0,5Ф49,5)(049,5)(a) XPXP

.0,1400,50,360,5Ф(1,08)

Таким образом, 14 % всех мешков имеют массу меньше 49,5 кг.

б) выбор мешка – это испытание, в котором может произойти собы-

тие A = {X < 49,5}, причем р = Р(А) = 0,14. Используем формулу Бернулли:

.396,0)14,01(14,0)1;7( 17117

CP

5.3.3.3. Правило «трех сигм»

Пусть имеется нормально распределенная случайная величина X с

математическим ожиданием a и дисперсией 2 .

Напомним, что вероятность попадания X на интервал,

симметричный относительно среднего значения, равна

δ( δ) ( δ δ) 2Ф .

ζP X a P a X a

Определим вероятности попадания X в следующие симметричные

интервалы ζ; ζa a , 2 2a ; a , 3 ; 3a a :

0,68260,3413212Фζ

ζ2Фζ

aXP ;

0,95440,4772222Фζ

2ζ2Ф2ζ

aXP ;

107

0,99730,49865232Фζ

3ζ2Ф3ζ

aXP .

Геометрическая интерпретация полученных результатов представле-

на на рисунке.

Обращает на себя внимание тот факт, что вероятность того, что зна-

чение случайной величины окажется вне интервала ζ3;ζ3 aa , равна

0,0027, т. е. составляет 0,27 % и может считаться пренебрежимо малой.

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех

сигм»: если случайная величина распределена по нормальному закону, то

с вероятностью, близкой к достоверности, можно считать, что практи-

чески все рассеивание укладывается на интервале ( 3ζ, 3ζ)a a

от центра распределения, т. е. можно пренебречь вероятностью попада-

ния случайной величины вне интервала ( 3ζ, 3ζ)a a .

108

На практике считается, что если для какой–либо случайной величи-

ны выполняется правило «трех сигм», то эта случайная величина имеет

нормальное распределение.

5.3.4. Распределение 2

χ

Пусть имеется n-независимых случайных величин X1, X2, ..., Xn, распре-

деленных по нормированному нормальному закону )1;0(N с математическим

ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.

Сумма квадратов этих величин распределена по закону, который на-

зывается распределение 2 или распределение Пирсона:

.Xn

ii

1

22

Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значе-

ния. Число n называется числом степеней свободы.

При n > 1 график плотности распределения случайной величины 2

представляет собой кривую, изображенную на рисунке.

109

Распределение Пирсона зависит от одного параметра – числа степе-

ней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение при-

ближается к нормальному.

5.3.5. Распределение Стьюдента

Пусть X – нормированная нормально распределенная случайная ве-

личина с параметрами M )(Х = 0 и D )(Х = 1, а Y случайная величина,

распределенная по закону 2 с k степенями свободы.

Величина

22 χ

(0;1)

χ

kN

k

Xt

распределена по так называемому закону распределения Стьюдента с k

степенями свободы.

Сама случайная величина t называется t–величиной с k степенями

свободы.

110

График плотности распределения для закона Стьюдента схематиче-

ски изображен на рисунке. Кривая плотности распределения схожа с ана-

логичной кривой для нормального распределения.

Распределение Стьюдента зависит от одного параметра – числа сте-

пеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение

приближается к нормальному.

5.3.6. Распределение Фишера

Пусть случайные величины X и Y распределены по закону 2

с k1 и

k2 степенями свободы соответственно.

Случайная величина

Yk

Xk

k

Y

k

X

F1

2

2

1

распределена по закону, называемому законом распределения Фишера с k1

и k2 степенями свободы.

111

С увеличением числа степеней свободы распределение приближает-

ся к нормальному.

Проверочный тест по теме

«Основные распределения непрерывной

случайной величины»

1. Какая из перечисленных ниже случайных величин может быть рас-

пределена равномерно?

a) угол поворота стрелки рулетки, отсчитанный от некоторого фикси-

рованного положения;

б) рост студента;

в) число оценок «удовлетворительно» за время обучения;

г) число очков на верхней грани брошенной кости.

2. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале от –1

до 1. Укажите пункт, в котором правильно указаны значения М(х) и D(x).

a) 0,5; 1/12;

б) 0; 1/12;

в) 0; 1/4;

г) нет правильного ответа.

112

3. Плотность вероятности р(х) равномерно распределенной случайной

величины Х сохраняет в интервале (1; 3) постоянное значение, равное с;

вне этого интервала плотность вероятности равна нулю. Найти с.

а) 1/2; б) 2/3; в) 1/4; г) 1.

4. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (2; 6).

Найти вероятность Р попадания случайной величины Х в интервал (3; 5).

а) 1/2; б) 3/5; в) 3/4; г) 4/5.

5. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (2; 6)

и р(х) – ее плотность вероятности. Найти р(3).

а) 1/4; б) 1/5; в) 3/4; г) 4/5.

6. Найти математическое ожидание М(Х) случайной величины Х, рас-

пределенной равномерно в интервале (4; 8). В ответ записать 4 М(Х).

а) 5; б) 6; в) 2; г) 1/4.

7. Если непрерывная случайная величина Х распределена равномерно

на интервале (2; 8), то ее дисперсия равна

а) 2; б) 6; в) 3; г) 4.

8. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале

(0; 10) и F(х) – ее функция распределения. Найти частное F(20)/F(5).

а) 5; б) 6; в) 2; г) 0.

113

9. Какая из функций f(x) задает показательный закон распределения?

1)

.00

,0)(

x

xexf

x

2)

.00

,02)(

x

xexf

x

3)

.00

,1)(

x

xexf

x

4)

.00

,03)(

2

x

xexf

x

а) ни одна; б) все; в) 1); г) 1) и 3).

10. Если случайная величина имеет показательный закон распределе-

ния, то ее плотность вероятности выражается формулой

1)

.01

,01)(

2

x

xexf

x

2)

.00

,04)( 2

x

xexf

x

3)

.00

,0100)(

100

x

xexf

x

4)

.00

,03)(

x

xexf

x

а) ни одна; б) все; в) 3); г) 1) и 3).

11. Дополните выражение, известное под названием «правило трех

сигм»: 9973,0)3(2)3.....( P .

а) aX ; б) ;2aX в) 3Xa ; г) 2

aX .

12. Какое выражение пропущено в формуле для плотности вероятно-

сти нормального закона распределения 22

...

2

1)(

exf ?

а) ax ; б) 2ax в) 2

ax ; г) xa .

114

13. Нормальное распределение имеет вид

а)

xприxf1

)( ; б) 0)( xприexf x ;

в) 2

2

2

)(

2

1)(

аx

exf ; г) 2

2

2

)(

2

1)( а

x

x

em

xf

.

14. С возрастанием среднего квадратического отклонения кривая нор-

мального распределения

а) становится более плоской;

б) смещается влево;

в) смещается вправо;

г) вытягивается вверх, сжимаясь с боков.

15. Изменения параметра а в законе нормального распределения

а) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдви-

гу вдоль оси ;OX

б) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдви-

гу вдоль оси ;OY

в) при уменьшении а кривая распределения вытягивается вверх, при

увеличении а кривая становится более плоской;

г) при увеличении а кривая распределения вытягивается вверх, при

уменьшении а кривая становится более плоской.

16. Функция Лапласа имеет следующий вид:

а)

x t

dtex

0

2

2

2

1)( ; б)

xàx

dxex

0

2

)(

2

2

2

1)( ;

115

в)

x àx

dxex

0

2

)( 2

2

1)( ; г)

x

dxxfx

0

)()( .

17. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нор-

мальному закону, на заданный участок ),( определяется по формуле

а) )()()( xP ;

б)

ааxP )( ;

в)

ааxP )( ;

г) )()()( xP .

18. Случайная величина задана функцией распределения:

0 1,

11 3,

4

1 3

x

xF( x ) x

x .

Найти )32( XM .

а) 1,5; б) 3; в) 1; г) 2.

116

Типовые примеры по теме

«Непрерывные случайные величины»

П р и м е р 1 . Дана функция распределения случайной величины X:

arctg ,x

F x A B xa

(закон Коши), A и B постоянные. Най-

ти А и В, плотность вероятности xf .

Решение:

02

π,

2

πarctglimlim

BA

BA

a

xBAxF

xx.

1.2

π,

2

πarctglimlim

BA

BA

a

xBAxF

xx

,12

π

,02

π

BA

BA

.B

A

π

1

,2

1

Тогда

:arctgπ

1

2

1

a

xxF

.π

1

1

1

π

122

2

2 xa

a

a

a

xxFxf

П р и м е р 2 . Дана функция распределения непрерывной случайной

величины X:

.3

π,1

,3

π

6

π,cos3

,6

π,0

x

xx

x

xF

x a

117

Найти плотность вероятности xf ,

.4

π,

4

π,0,

4

π0

XPXPXPXP

Решение:

.3

π,0

,3

π

6

π,3sin3

,6

π,0

x

xx

x

xFxf

2

20

4

3πcos0

4

π

4

π0

FFXP .

По определению функции распределения xXPxF :

,2

2

4

3πcos

4

π

4

π0,00

FXPFXP

.XPXP2

21

4

π1

4

π

П р и м е р 3 . Непрерывная СВ X задана интегральной функцией

распределения

2

0 при 0,

( ) при 0 1,

1 при 1.

x

F x x x

x

Найти вероятность того, что в результате шести независимых испыта-

ний величина X ровно 4 раза примет значение в интервале (0,5; 0,8).

Решение:

118

Особенность этой задачи заключается в том, что результат испыта-

ния представляет собой непрерывную случайную величину, а количество

испытаний, в которых исследуется Х, – дискретную СВ.

а) Находим вероятность появления Х в одном испытании:

2 2(0,5 0,8) (0,8) (0,5) 0,8 0,5 0,39.P X F F

б) Используя формулу Бернулли, находим вероятность попадания

СВ в интервал (0,5; 0,8) ровно четыре раза:

4 4 2 4 26 6

6!(4) 0,39 0,61 0,129.

4!2!P C p q

П р и м е р 4 . Непрерывная СВ X задана полностью на интервале [0;

1] плотностью распределения 2( ) ( 2 )f x C x x . Найти значение и матема-

тическое ожидание Х.

Решение:

Для определения константы С используем условие нормировки:

1 11 3 22

0 00

( ) 1, ( 2 ) 1, 2 1;3 2

b

a

x xf x dx C x x dx C

3

;4

C

1 11 4 32

0 0 0

3 3 11( ) ( 2 ) 2

4 4 4 3 16

x xM X x x x dx

.

П р и м е р 5 . Случайная величина Х подчинена закону распределе-

ния с плотностью f (x), причем

119

.2при0

,20при)2(

,0при0

)( 2

x

xxxa

x

xf

Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения F(x);

в) вероятность попадания Х в интервал (1; 2).

Решение:

а) Плотность вероятности обладает свойством

1)( dxxf .

Так как )(xf отлична от нуля только на интервале (0;2), то

2

0

2 1)2( dxxxa , отсюда 4

3,1

3

4)

3

84()

3()2(

2

0

2

0

322 aaa

xxadxxxa .

б) Для непрерывной случайной величины X

x

dxxfxF )()( .

При 0x 00)()(

x x

dxdxxfxF .

При 20 x 32

0

2

4

1

4

3)2(

4

3)()( xxdxxxdxxfxF

x x

.

При x2

x

dxxxdxxfxF2

0

2 1)2(4

3)()( .

Итак,

.2при1

,20при4/)3(

,0при0

)( 32

x

xxx

x

xf

в) Вероятность попадания случайной величины в интервал (1;2) рав-

на 5,0)1()2()21( FFxP .

120

П р и м е р 6 . Плотность вероятности случайной величины X имеет

вид xx ee

Axf

. Найти: а) коэффициент А; б) вероятность того, что

в двух независимых наблюдениях X примет значение меньше 1.

Решение:

Коэффициент А определим из свойства плотности вероятности

1

dxxf , поэтому 1

dxee

Axx

.

Найдем

2

π

4

π

2

π2arctg2

102

AAeA

e

dxeA

ee

dxA x

x

x

xx

,

откуда π

2,1

2

π A

A.

Тогда вероятность того, что в одном опыте X примет значение мень-

ше 1, равно .arctgπ

2

π

21

11

eee

dxdxxfXPp

xx

Вероятность того, что в двух независимых наблюдениях X примет зна-

чения меньше 1, будет равно epBpBpBBpP 2

2

22121 arctg

4)()()(

.

П р и м е р 7 . Дана функция

2.0,

2,1,)(2

1,0,

0,0,

)(2

2

x

xxa

xax

x

xf

При каких значениях а функция f(x) является плотностью распреде-

ления f(x) случайной величины Х. Найти интегральную функцию F(x),

Р(0,5 < X < 1,5).

Решение:

x a

dxdxxadxaxdxdxxf0 1

0

2

1 2

22

3

20)2(0)( ,

откуда 2

3a .

121

Найдем ( ) ( ) :

x

F x f t dt

1) 0, ( ) 0 0;

x

x F x dt

0 3

2

0

32) 0 1, ( ) 0 ;

2 2

xx

x F x dt t dt

0 1

0 1

22 )2(2

3

2

30)(,21)3

x

dttdttdtxFx

2

)2(1

2

1

2

)2(

2

1

2

)2(

3

33

1

31

0

3 xxttx

.

;10)2(2

3

2

30)(,2)4

0 1

0

2

1 2

22

x

dtdttdttdtxFx

Поэтому

2.1,

2,1,2

)(21

1,0,2

0,0,

)(3

3

x

xx

xx

x

xF

8

7

2

)5,0(

2

)5,12(1)5,0()5,1()5,15,0(

33

FFXP .

П р и м е р 8 . Случайная величина Х задана плотностью распреде-

ления

.2 при 0

,20 при 4

1,0 при 0

)( 3

x

xxx

x

xf

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное

отклонение величины Х.

Решение:

Воспользуемся определениями.

122

15

16

5

8

3

8

20

1

3

1

4

1)(

2

0

532

0

3

xxdxxxxdxxxfXM .

3

4

24

1

4

1

4

1)(

2

0

642

0

3222

xxdxxxxdxxfxXM .

225

44

225

256

3

422 XMXMXD .

15

112ζ XDX .

П р и м е р 9 . Установить связь между параметрами а и b в экспо-

ненциальном законе распределения

0.0,

0),0(,)(

x

axdxaexf

bx

Найти ин-

тегральную функцию F(x).

Решение:

Из условия нормировки

,1)( 0

0

b

ae

b

adxeadxxf bxbx откуда ba .

Найдем

t

dttfxF )()( .

x

dtxFx ,00)(,0)1

0

0

0 10)(,0)2x

axxatat eedtaedtxFx , тогда

0.,1

0,0,)(

xe

xxF

ax

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

.1121

))(()()(

;1

)()(

2220

2

222

0

aaaadxaexXMdxxfxXD

adxaexdxxfxXM

ax

ax

123

П р и м е р 1 0 . Кривая распределения случайной величины Х имеет

следующий вид:

Величина a известна. Найти: b, ),(xf )(xF , )2

( aXa

P ,

)(),( XDXM .

Решение:

Найдем ординату b точки пересечения прямой с осью OY.

1,е.т.1,)(Δ

Sdxxf ,2

1baS ,1

2

ab .

2

ab

Уравнение прямой, проходящей через точки

a

2,0 и )0,(a , имеет

вид ,2

0

2

0

0

a

ay

a

x

откуда .

222 a

xa

y

Поэтому 2

0, 0,

2 2( ) , 0 ,

0, .

x

f x x x aaa

x a

Найдем

x

dttfxF )()( .

;00)(,0)1

x

dtxFx

0 2

2 20

2 2 22) 0 , ( ) 0 ;

xx

x a F x dt t dt xa aa a

.1)(,)3 xFax

124

Поэтому

0, 0,

( ) 2 ,0 ,

1, .

x

x xF x x a

a a

x a

3 1( ) ( ) 2 2 1 .2 2 2 2 4 4

a a a a a aP X a F a F

a a a a

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

20

2 22 2 2

20

2 2( ) ( ) ;

3

2 2( ) ( ) ( ( )) .

9 18

a

a

aM X x f x dx x x dx

a a

a aD X x f x dx M X x x dx

a a

П р и м е р 1 1 . Дана плотность вероятности случайной величины Х.

Найти параметр А, ( ), ( ) :M X D X

а)

2 πcos , ,

2( ) , б) ( )

π0,

2

xA x x

f x A e f x

x .

Решение:

.2

1,12,222)()

0 0

AAAdxeAdxeAdxeAdxxfa xxx

0

2

1)()( dxxedxxfxXM

x как интеграл по симметричному

промежутку от нечетной функции.

2 2 2 2 2

0 0

1( ) ( ) ( ( )) 2;

2

x

x xD X x f x dx M X x e dx x e dx x e dx

125

π π

2 22

π 0

2

1 cos2 π π 2б) ( ) cos 2 ; 1,

2 2 2 π

x A Af x dx A xdx A dx A .

π

22

π

2

( ) ( ) cos 0;M X x f x dx x xdx

xdxxXMdxxfxXD 22

π

2

π

222 cosπ

2))(()()(

.xdxxdxxdxx

x

2

π

0

2

π

0

2

π

0

2222

2

1

12

π)cos2(

π

2

2

cos21

π

4

П р и м е р 1 2 . Кривая распределения случайной величины Х пред-

ставляет собой полуэллипс с полуосями a и b. Величина а известна. Найти:

1) величину b; 2) )(),( XDXM ; 3) интегральную функцию )(xF .

Решение:

.,0

,,)(

22

ax

axaxaa

b

xf

126

.π

2;

2

πcossin)(

2

π

2

π

2222

ab

abdtta

a

btaxdxxa

a

bdxxf

a

a

a

a

dxxaa

xdxxxfXM 0π

2)()( 22

2 как интеграл по симмет-

ричному промежутку от нечетной функции.

a

a

taxdxxaa

xXMdxxfxXD sin2

))(()()( 22

2

222

.4

cossinπ

2 2

π

2

π

2

2222

2

atdtata

a

Найдем

x

dttfxF .)()(

;00)(,)1

x

dtxFax

a x

a

zattdtaa

dtxFaxa sinπ

20)(,2) 22

2

arcsinarcsin22

π π

2 2

1 1 1( sin2 ) ( sin 1 sin )

π 2 π

xx

az z z z z

2

2

1 πarcsin 1 ;

π 2

x x x

a a a

.10π

20)(,3) 22

2

a a

a

x

a

dtdttaa

dtxFax

Итак, 2 2

2

0, ,

1 π( ) arcsin , ,

π 2

1,

x a

x xF x a x a x a

a a

x a .

127

Типовые примеры по теме

«Основные распределения

непрерывной случайной величины»

П р и м е р 1 . Автобусы некоторого маршрута идут по расписанию.

Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подо-

шедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

Решение:

Время ожидания автобуса можно рассмотреть как случайную вели-

чину Х, распределенную равномерно в интервале (0; 5).

)/(1)( abxf при bxa .

Поэтому

.50при0

,0при5/1)(

xиx

bxxf

Так как b

a

dxxfbxaP )()( , то 5

2

5

2 5

3

5

1

5

1)52( xdxxP .

П р и м е р 2 . Поезда метро идут регулярно с интервалом 2 мин. Пас-

сажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связан-

ный с расписанием поездов. Найти среднее время ожидания поезда. Найти

вероятность того, что ждать придется не больше 0,5 мин.

Решение:

Так как поезда подходят к платформе регулярно с интервалом 2 мин,

то распределение времени ожидания будет равномерным на (0;2), т. е.

плотность такого распределения имеет вид

0 при 0 и 2

1при 0 2

2

x x ,

f ( x )x .

128

)(XM – среднее время ожидания, 12

)(

ba

XM .

2

1

0

2

1

0 4

1

2

1

2

1

2

10

2

1xdxTPPP .

П р и м е р 3 . Цена деления шкалы вольтметра 0,2. Показания при-

бора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того,

что при отсчете будет сделана ошибка: а) больше 0,01; б) меньше 0,06.

Решение:

Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину

Х, распределенную равномерно между двумя целыми делениями:

15, [0;0,2],

0,2( )

0, [0;0,2].

хf x

x

Ошибка отсчета превысит 0,01, если она будет заключена в интерва-

ле (0,01;0,19):

19,0

01,0

9,05)19,001,0( dxXP .

Ошибка будет меньше 0,06, если она будет заключена в интервале

(0;0,06) или в интервале (0,14;0,2):

2,0

14,0

06,0

0

6,055)2,014,0()06,00( dxdxXPXP .

129

П р и м е р 4 . Рыболов ловит рыбу в пруду, где равновероятно пой-

мать любую рыбу от 0,2 до 1 кг при каждом забрасывании снасти. Найти

среднюю величину улова и вероятность поймать при одном забрасывании

не более 0,8 кг.

Решение:

Случайная величина Х – величина улова.

[0,2;1].0,

[0,2;1],,4

5

0,21

1

)(

x

хxf

Средняя величина улова 6,02

12,0

2)(

baXM .

Вероятность поймать при одном забрасывании не более 0,8 кг равна

75,04

5)8,02,0(

8,0

2,0

dxXP .

П р и м е р 5 . Диаметр вала Х1, подчинен закону равномерной плот-

ности распределения на участке (48; 52) мм. Диаметр отверстия D = 51 мм.

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение за-

зора 2X между валом и отверстием и вероятность того, что вал войдет

в отверстие.

Решение:

По условию, b = 52 мм, 2 мм,2

b a мм,51β α 48 ммa .

130

Поэтому мм,5048522

1)( XM

мм,15051)()( 112 XMDXDMXM 3

4

3

2

2

XD ,

3

32)ζ( 2 X ,

4

35148 1 XP .

П р и м е р 6 . На перекрестке стоит автоматический светофор,

в котором 1 мин горит зеленый свет и 0,5 мин – красный, затем опять

1 мин горит зеленый свет; 0,5 мин – красный и т. д. Некто подъезжает

к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой

светофора. Найти: а) вероятность того, что он проедет перекресток, не ос-

танавливаясь; б) закон распределения и числовые характеристики времени

ожидания у перекрестка.

Решение:

Момент проезда автомашины через перекресток распределен равно-

мерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре. Этот пери-

од равен 1 + 0,5 = 1,5 мин.

Чтобы машина проехала через перекресток, не останавливаясь, дос-

таточно, чтоб момент проезда перекрестка пришелся на интервал времени

(0;1), т. е.

1

0

1 2(0 1)

1,5 3P X dx .

Время ожидания ожT есть смешанная случайная величина, с вероят-

ностью 2/3 она равна 0, а с вероятностью 1/3 принимает с одинаковой

плотностью вероятности любое значение между 0 и 0,5 мин. Среднее вре-

мя ожидания у перекрестка

0,0834

1

3

1

3

20

0,5

1

3

1

3

20][

0,5

0ож

dttТМ мин;

131

0,0208)(0,083

02

1

9

2)(0,083

0,5

1

3

1

3

20][

2320,5

0

22ож tdttТD мин

2.

П р и м е р 7 . Устройство состоит из трех резервирующих друг друга

элементов. Длительность времени безотказной работы распределена по

показательному закону:

,)( 1,01

tetR ,)( 2,02

tetR .)( 3,03

tetR

Найти вероятность того, что в интервале времени (0,10) часов:

а) A– откажет только один элемент;

б) B – откажут только два элемента.

Решение:

Вероятность отказа элемента за время длительностью t определим

по формуле ( ) ( )F t P T t .

При t = 10

вероятность отказа 1 элемента ;63,01

11)10( 111

eeFq

вероятность отказа 2 элемента ;863,01

11)10(2

222

eeFq

вероятность отказа 3 элемента .95,01

11)10(3

333

eeFq

Тогда: вероятность безотказной работы 1 элемента ;37,01 11 qp

вероятность безотказной работы 2 элемента ;137,01 22 qp

вероятность безотказной работы 3 элемента .05,01 33 qp

а) Вероятность отказа только одного элемента

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) 0,068p A p p q p q p q p p ;

б) вероятность отказа только двух элементов

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) 0,41p B q p q p q q q q p .

132

П р и м е р 8 . Масса вагона – случайная величина, распределенная

по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним

квадратичным отклонением 0,9 т. Найти вероятность того, что вагон имеет

массу не более 67 и не менее 64 т. По правилу трех сигм найти наиболь-

шую и наименьшую границы предполагаемой массы.

Решение:

Для нормально распределенной случайной величины

67 65 64 65(64 67) Ф Ф

0,9 0,9P X

0,8533.0,36650,4868Φ(1,11)Ф(2,22)

По правилу трех сигм наименьшая граница 3ζa , наибольшая гра-

ница 3ζa . Таким образом, 65 3 0,9 65 2,7 , т. е. наименьшая граница

62,3 т, наибольшая 67,7 т.

П р и м е р 9 . Нормально распределенная случайная величина Х за-

дана своими параметрами а = 2 – математическое ожидание и = 1 –

среднее квадратичное отклонение. Требуется написать плотность вероят-

ности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение

из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю)

от математического ожидания не более чем на 2.

Решение:

Плотность распределения имеет вид 2

2)( 2

2π

1)(

x

exf .

133

Построим график:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал

(1; 3):

1

21Ф

1

23Ф3)(1 XP

= Ф(1) Φ( 1) 2Ф(1) 0,6826.

Найдем вероятность отклонения случайной величины от математи-

ческого ожидания на величину, не большую чем 2.

Так как )/ζФ(δ2δ)δ(δ)( aXaPaXP , то для условий

задачи .XP 0,9522Ф1

22Ф2)2(

П р и м е р 1 0 . На станке изготовляется партия однотипных деталей.

Длина детали X – случайная величина, распределенная по нормальному

закону с параметрами 18 смa , см.0,2ζ Определить:

1) вероятность того, что длина наудачу взятой детали заключена

между 17,7 и 18,4 см;

2) какое отклонение длины детали от номинального размера можно

гарантировать с вероятностью 0,95?

3) в каких пределах будут заключены практически все длины деталей?

134

Решение:

1)

1,5)Ф(Ф(2)

0,2

1817,7Ф

0,2

1818,4Ф18,4)(17,7 XP

Ф(2) Ф(1,5) 0,4772 0,4332 0,9104;

2) воспользуемся формулой ( ) 2Ф( )P X a / . По условию

0,95δ)18( XP , поэтому 0,95)2,0/Ф(δ2 или .( 0,475δ/0,2)Ф

По таблице функции Лапласа (см. прил. 2) находим 96,12,0 / , откуда

392,0 .

Следовательно, 392,018 X или 17 608 18 392;, X ,

3) по правилу трех сигм можно считать, что практически все длины

деталей с вероятностью 0,9973 будут заключены в интервале

( 3δ; 3δ),a a т. е. 9973,0)2,0318( XP , откуда 6,184,17 X .

П р и м е р 1 1 . Автомат штампует детали. Контролируется длина

детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим

ожиданием (проектной длиной), равным 60 мм. Практически длина

изготовленных деталей не менее 58 и не более 62 мм. Найти вероятность

того, что длина наудачу взятой детали:

а) больше 61 мм; б) меньше 60,5 мм.

Решение:

Предварительно найдем неизвестный параметр нормального

распределения по правилу трех сигм:

23 , откуда 67,03

2 .

Поэтому

0,0668Ф(1,5))Ф(0,67

6061Ф

0,67

60Ф61)(

XP ,

135

0,773490)Ф(Ф(0,75)0,67

600Ф

0,67

6060,5Ф60,5)(

XP .

П р и м е р 1 2 . Высотомер самолета дает систематическую погреш-

ность 20 м и случайные погрешности, подчиненные нормальному закону

со средним квадратичным отклонением 30 м. Для самолета отведен кори-

дор высотой в 100 м. Какова вероятность того, что он будет лететь:

а) внутри коридора; б) ниже коридора; в) выше коридора?

Решение:

Пусть случайная величина Х – ошибка высотомера. По условию

20xm , т. к. систематическая погрешность 20 м, 30 м.x Предполага-

ется, что летчик ведет самолет наиболее разумным способом, т. е. так, что-

бы высотомер показывал середину отведенного коридора. Тогда самолет

будет лететь внутри коридора, если 50X м:

1

50 20 50 20 7a) 50 50 Ф Ф Ф 1 Ф

30 30 3P P X

8314,04901,03413,0 ;

21 50 20 1 7

б) 50 50 Ф Ф2 30 2 3

P P Х F

0099,04901,05,0 .

в) Используя определение функции распределения xXPxF

и свойство функции нормального распределения 1

Ф2

x

x

х mF x

имеем

30

2050Ф

2

11501501503 FXPХPP

1 1

Ф 1 0,3413 0,1586.2 2

136

П р и м е р 1 3 . На некоторый полезный сигнал накладывается нор-

мально распределенная помеха X с плотностью распределения

82π2

1 2xexpxf ,

где X – напряжение тока в В. Найти вероятность того, что помеха по абсо-

лютной величине не превысит: а) 1V 4 В; б) 2V 6 В.

Решение:

Из формулы для плотности вероятностей X, следует, что ,0a ζ = 2:

а) так как 1V 2 , то по правилу «двух сигм»

0,95442ζ4 XPXP ;

б) так как 1V 3 , то по правилу «трех сигм»:

0,99733ζ6 XPXP .

П р и м е р 1 4 . Для замера напряжений используются специальные

датчики. Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он

не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нор-

мальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы 0,2 мкв.

Решение:

Случайная величина Х – ошибка датчика 0a , т. к. датчик не имеет

систематических ошибок.

По условию 8,02,0 XP , т. е.

ζ

0,22Ф0,2XP , следова-

тельно, 0,8ζ

0,22Ф

, откуда 0,4

ζ

0,2Ф

, и по таблице для функции

xФ 60,15ζи1,28ζ

0,2 .

137

П р и м е р 1 5 . Коробки с шоколадом укладываются автоматически,

их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 2,5 %

коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок

распределена по нормальному закону.

Решение:

Случайная величина Х – масса коробки. Так как средняя масса ко-

робки равна 1,06, то .06,1a Массу меньше 1 кг имеют 2,5 % коробок, т. е.

05,02025,006,0 aXP .

С одной стороны,

95,005,0106,0106,0 aXPaXP ,

с другой,

ζ

0,062Ф0,06aXP ,

поэтому 0,95ζ

0,062Ф

, откуда 0,475

ζ

0,06Ф

, и по таблице функции

Лапласа 1,96ζ

0,06 и 0,03065.

1,96

0,06ζ

П р и м е р 1 6 . Плотность распределения вероятностей случайной

величины Х имеет вид 164 2

γ)( xxexf . Найти: , M(X), D(X), F(x),

4

5

4

3XP .

Решение:

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Поэтому

приведем плотность распределения f(x) к стандартному виду

2

2

2ζ

)(

2πζ

1)(

ax

exf

.

138

Выделим в показателе заданной функции полный квадрат:

4

5

4

34

4

1

16

9

4

34

4

1

2

34164

2222

xxxxxx .

Следовательно,

2

2

3

43 5 5 144 4 4 4( ) γ γ

x

x

f x e e e

2

2

2ζ

)(

2πζ

1ax

e

.

Из последнего равенства получаем

4

3)( aXM ,

4

12ζ2 ,

т. е. 8

1ζ)( 2 XD .

5

41

γ1

2π2 2

e , 5

4

2γ

π e

.

2

2322Ф

2

1

ζФ

2

1)( x

axxF .

5 33 5 4 4( ) Ф Ф4 4 ζ ζ

a aP X

5 3 3 3

4 4 4 4Ф Ф Ф( 2) Ф( 3 2)1 1

2 2 2 2

0,9210,4999680,4207)2Ф(3)2Ф( .

139

Контрольный тест по теме

«Непрерывные случайные величины»

1. Время ожидания автобуса есть равномерно распределенная в интер-

вале (0; 6) случайная величина Х. Найдите среднее время ожидания оче-

редного автобуса.

а) 6; б) 3; в) 2; г) 1/4 .

2. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожи-

дания звонка есть непрерывная случайная величина Х, имеющая равно-

мерное распределение на отрезке [19, 20]. Найти вероятность того, что

звонок поступит в промежутке от 19 часов 22 минут до 19 часов 46 минут.

а) 0,4; б) 0,5; в) 0,3; г) 0,2 .

3. Случайная величина Х, распределенная равномерно, имеет следую-

щие числовые характеристики М(х) = 2, D(x) = 3. Найти F(x):

а)

0 при 1,

1( ) при 1 5,

6

1 при 5;

x

xF x x

x

б)

0 при 1,

1( ) при 1 5,

6

1 при 5;

x

xF x x

x

в)

0 при 1,

1( ) при 1 5,

6

1 при 5;

x

xF x x

x

140

г)

0 при 1

1 при 1 5

6

0 при 5

x ,

xF( x ) x ,

x .

4. Случайная величина задана плотностью распределения

.1 при 0

,10 при

,0 при 0

)(

x

xСх

x

xf

Найти коэффициент С.

а) 2; б) 1; в) 0,5; г) – 1.

5. Было установлено, что время ремонта радиоаппаратуры есть слу-

чайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить

среднее квадратическое отклонение случайной величины X , если среднее

время ремонта одного изделия составляет 10 дней.

а) 2; б) 10; в) 0,5; г) 1/10.

6. Непрерывная случайная величина распределена по показательному

закону с параметром λ = 1. Найти вероятность того, что случайная величи-

на попадет в интервал (0,5;1).

а) 0,12; б) 0,51; в) 0,34; г) 0,22.

7. Время ремонта автомобиля есть случайная величина Х, имеющая

показательное распределение с параметром λ = 0,1. Найдите среднее время

ремонта автомобиля.

а) 10; б) 0,1; в) 0,5; г) 1.

141

8. Математическое ожидание случайное величины, имеющей показа-

тельной распределение, равно 0,5. Найти вероятность того, что случайная

величина примет значение из интервала (0,2; 0,4). Ответ округлить до

0,001.

а) 0,221; б) 0,302; в) 0,287; г) 0,422.

9. Случайная величина распределена по нормальному закону, причем

М (Х) = 15. Найти Р (10 < X < 15), если известно, что Р (15 < X < 20) = 0,25.

а) 0,10; б) 0,25; в) 0,30; г) 0,20.

10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с па-

раметром а = 35. Если вероятность Р (10 < Х < 25) = 0,4, то чему равна ве-

роятность Р (45 < Х < 60)?

а) 0,10; б) 0,30; в) 0,40; г) 0,20.

11. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному

закону и имеет плотность распределения 50

)60( 2

25

1)(

x

exf . В каком

диапазоне с вероятностью 0,9973 содержатся возможные значения случай-

ной величины Х?

а) (–15; 15); б) (–60; 60); в) (45; 75); г) (55; 65).

12. Диаметр валика – случайная величина, распределенная по нор-

мальному закону с параметрами M(X) = 10 мм, σ(X) = 0,61. Найти длину

интервала, симметричного относительно математического ожидания, в ко-

торый с вероятностью 0,995 будут заключены диаметры изготовляемых

валиков.

а) 0,61; б) 1,22; в) 1,83; г) 0,31.

142

13. Автомат изготавливает шарики, которые считаются годными, если

отклонение его диаметра от проектного составляет 0,7 мм. Найти вероят-

ность изготовления годных шариков, если распределение отклонения под-

чинено нормальному закону с σ = 0,4 мм.

а) 0,62; б) 0,31; в) 0,92; г) 0,08.

14. Случайная величина имеет нормальное распределение с парамет-

рами а = 0 и σ = 1. Что больше: Р (–0,5 < Х < –0,1) или Р (1 < Х < 2)?

а) Р (–0,5 < Х < –0,1); б) Р (1 < Х < 2); в) равны.

15. Заданы математическое ожидание а = 4 и среднеквадратическое

отклонение σ = 6 нормально распределенной случайной величины. Требу-

ется найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (5; 9).

а) 0,1698; б) 0,3023; в) 0,2874; г) 0,2292.

16. Х – нормально распределенная переменная. Каково значение х,

если вероятность попасть в промежуток между –х и х равна 0,7062:

а) 1,15; б) 1,05; в) 0,375; г) 1,26; д) все ответы неверны.

17. Х – нормально распределенная переменная. Каково значение х,

если вероятность попасть в промежуток справа от х равна 0,2946:

а) 0,67; б) 0,82; в) 0,54; г) 0,823; д) все ответы неверны.

18. Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения

4 минуты. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к останов-

ке, будет ожидать очередной поезд менее 1 минуты.

а) 0,35; б) 0,75; в) 0,50; г) 0,25.

143

19. Дисперсия случайное величины, имеющей показательной распре-

деление, равна 0,25. Найти вероятность того, что случайная величина при-

мет значение из интервала (0,1; 0,5). Ответ округлить до 0,001.

а) 0,169; б) 0,323; в) 0,451; г) 0,229.

20. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, кото-

рая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная

длина), равным 40 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее

22 мм и не более 58 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой

детали больше 45 мм. Ответ округлить до 0,01.

а) 0,35; б) 0,80; в) 0,50; г) 0,20.

21. Случайная величина Х распределена нормально с математическим

ожиданием 5 и средним квадратическим отклонением 1. Найти интервал,

симметричный относительно математического ожидания, в который с ве-

роятностью 0,9973 попадет Х в результате испытания. Ответ записать

в следующем виде ).;( ba

а) (1;9); б) (2;8) ; в) (3;7); г) (0;10).

22. Случайная величина Х распределена нормально с математическим

ожиданием 18. Вероятность попадания Х в интервал (18,24) равна 0,15.

Чему равна вероятность попадания Х в интервал (12; 18)?

а) 0,45; б) 0,85; в) 0,15; г) 0,30.

23. Длина изделия описывается случайной величиной X, распределен-

ной по нормальному закону, причем Р(Х >10) = 0,5. Найти M(5X – 6).

а) 44; б) 88; в) 22; г) 30.

144

24. Найти математическое ожидание M(4X – 7), если плотность рас-

пределения случайной величины Х имеет вид

2( 2)

21

( )2π

x

f x e .

а) 8; б) 1; в) 2; г) 4.

25. Найти дисперсию D(4X + 7), если плотность распределения слу-

чайной величины Х имеет вид 2)1(2

2π

1)x( xef .

а) 8; б) 16; в) 2; г) 4.

145

Контрольные вопросы

1. Какая величина называется случайной?

2. Дайте определение дискретной и непрерывной случайных величин.

Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

3. Что называется законом распределения случайной величины?

4. Что называется рядом распределения дискретной случайной величи-

ны?

5. Дайте определение функции распределения вероятности. Перечис-

лите и докажите свойства функции распределения.

6. Как, зная функцию распределения, найти вероятность попадания

случайной величины в заданный интервал?

7. В чем состоит различие графиков функций распределения дискрет-

ной и непрерывной случайных величин?

8. Дайте определение плотности распределения вероятностей. Пере-

числите и докажите свойства плотности распределения. Пригодно ли поня-

тие плотности распределения вероятностей для дискретной случайной ве-

личины?

9. Как, зная плотность распределения, найти вероятность попадания

случайной величины в заданный интервал?

10. Что называется математическим ожиданием дискретной случай-

ной величины?

11. Что называется математическим ожиданием непрерывной случай-

ной величины?

12. Как можно истолковать математическое ожидание механически?

13. Дайте определение дисперсии случайной величины и перечислите

ее свойства.

14. Что называется средним квадратическим отклонением случайной

величины?

15. Какое распределение вероятностей называется биномиальным?

Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины,

имеющей биномиальное распределение?

146

16. Какое распределение называется распределением Пуассона? Чему

равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распре-

деленной по закону Пуассона?

17. Какое распределение случайной величины называется равномер-

ным?

18. Какое распределение случайной величины называется показатель-

ным?

19. Какое распределение случайной величины называется нормальным?

20. Как называется график плотности вероятности нормального рас-

пределения? Каковы его свойства?

21. Что называется функцией Лапласа? Каковы ее свойства?

147

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массо-

вым случайным явлениям. Как и любая другая наука, теория вероятностей

предназначена для того, чтобы возможно точнее предсказать результат то-

го или иного явления или эксперимента. Однако если явление носит еди-

ничный, не массовый характер, то теория вероятностей способна предска-

зать, обычно, лишь вероятность исхода в весьма широких пределах. Со-

всем иное дело, когда явление массовое. Закономерности проявляются

именно при большом числе случайных явлений, происходящих в однород-

ных условиях. При достаточно большом числе испытаний характеристики

случайных событий и случайных величин, наблюдаемых при испытании,

становятся почти неслучайными. Так, например, частота события при

большом числе испытаний становится устойчива, то же самое относится

к средним значениям случайных величин. Это обстоятельство позволяет

использовать результаты наблюдений над случайными явлениями для

предсказания результатов испытаний.

Группа теорем, устанавливающих соответствие между теоретиче-

скими и экспериментальными характеристиками случайных величин

и случайных событий при большом числе испытаний над ними, а также ка-

сающихся предельных законов распределения, объединяются под общим

названием предельных теорем теории вероятностей.

Существует два типа предельных теорем: закон больших чисел

и центральная предельная теорема.

Закон больших чисел, занимающий важнейшее место в теории веро-

ятностей, является связующим звеном между теорией вероятностей как

математической наукой и закономерностями случайных явлений при мас-

совых наблюдениях над ними. Закон больших чисел формулирует условия,

148

при которых совокупное действие большого числа случайных факторов

приводит к результату, почти не зависящему от случая (т. е. практически

постоянный результат). Закон больших чисел играет очень важную роль

в практических применениях теории вероятностей к явлениям природы

и техническим процессам, связанным с массовым производством.

Вторая группа теорем связана с выяснением вопроса о распределе-

нии сумм большого числа случайных величин. В этих теоремах выясняет-

ся, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин,

если число слагаемых неограниченно увеличивается, и какие условия при

этом нужно наложить на сами величины. В частности, центральная пре-

дельная теорема посвящена установлению условий, при которых возникает

нормальный закон распределения сумм.

6. Законы больших чисел

Как показывает опыт, при некоторых сравнительно широких

условиях сумма достаточно большого числа случайных величин почти

утрачивает характер случайной величины и может быть предсказана

с большой степенью определенности. Это так называемое свойство

устойчивости массовых случайных явлений объясняется тем, что

случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном

опыте, в массе опытов взаимно погашаются. Именно эта устойчивость

средних значений и составляет физическое содержание закона больших

чисел.

Наиболее яркой иллюстрацией проявления закона больших чисел яв-

ляется постоянство давления газа. Каждая молекула газа, двигаясь хаотич-

но, в случайные моменты времени сталкивается со стенкой сосуда, в кото-

рый газ заключен. Тем не менее, ввиду большого числа молекул, давление

149

газа как суммарный итог соударений молекул газа со стенками сосуда

практически остается постоянным.

Основными теоремами закона больших чисел являются теоремы

Чебышева и Бернулли. Их доказательство базируется на весьма общих

леммах, известных под названием неравенства Чебышева.

6.1. Неравенства Чебышева

Первое неравенство Чебышева

Пусть Х – случайная величина с конечным mX, тогда

.0)(

)(

xM

XP

Действительно, пусть, для определенности, Х – непрерывная СВ.

Запишем по определению математическое ожидание от модуля X:

dxxfxXM X )()(

.

Выберем произвольное > 0, разобьем маршрут интегрирования

на два непересекающиеся интервала и воспользуемся свойством

аддитивности интеграла по области:

dxxfxXM X )()(

dxxfx Xx

)(ε

dxxfx Xx

)(ε

.

В силу неотрицательности подынтегральной функции получаем

)( XM ε)(ε

dxxfx Xx

εε)(ε

xPdxxfx

X ,

150

откуда следует первое неравенство Чебышева.

Следствие. Пусть Х 0, тогда по свойствам математического

ожидания mX 0, и первое неравенство Чебышева перепишется в виде

XmP X .

Второе неравенство Чебышева

Пусть случайная величина Х имеет конечные mX и 2ζ ,X тогда

2

2

ζ( ε)

ε

XXP X m .

Действительно, учитывая очевидное равенство

( ε)P X )ε( 22XP и применяя доказанное выше первое неравенство

Чебышева, получим

ε)( XP 2

2

22

ε

)()ε(

XMXP

2

2

ε

ζX ,

что и требовалось доказать.

П р и м е р 1 . Пусть X – число бракованных изделий из 100 наудачу

отобранных из большой партии, поступившей в продажу.

За большой период посчитано, что в среднем для этого вида изделий

брак составляет 1 %. Оценить вероятность события {X 5}.

Решение:

Так как Х > 0 и по условию mX = 0,01100 = 1, то по следствию

из первого неравенства Чебышева 2,05

1

55 Xm

XP .

П р и м е р 2 . Пусть в условиях предыдущего примера известно, что

1ζ2 X . Оценить P{X 5}.

151

Решение:

Заметим, что в силу условия X > 0,

P{X 5} P{|X–1|4}2по второму неравенству ζ 1

0,0625.Чебышева 16 16

X

Вероятность существенно уменьшилась.

П р и м е р 3 . В условиях прим. 2 оценить вероятность события

{X 2}.

Решение:

Очевидно, что в силу условия X > 0 имеем следующую цепочку от-

ношений между событиями:

2 1 1 1 1X X X .

Отсюда получаем

P{X 2} = P{|X – 1| 1}2по второму неравенству ζ

1Чебышева 1

X

, т. е. по-

лучили тривиальный результат. Такая оценка не несет никакой новой ин-

формации.

Сделаем некоторые выводы. Последние примеры показывают, что че-

бышевские оценки сверху вероятностей больших отклонений случайной ве-

личины X от ее математического ожидания являются довольно грубыми, что

является платой за незнание закона распределения случайной величины X.

Отметим также, что рассмотренные выше примеры касались оценок

сверху больших отклонений. Для получения оценок снизу следует перейти

в неравенствах Чебышева к противоположным событиям. Например,

из второго неравенства Чебышева получаем

2

2

ε

ζ1ε)( X

XmXP . (*)

152

П р и м е р 4 . Средняя длина детали, производимой на конвейерной

линии, равна 50 см, а дисперсия 0,1 см2. Оценить снизу вероятность того,

что длина случайно взятой детали окажется в интервале (49,5; 50,5).

Решение:

Пусть X – длина случайно взятой детали. Очевидно, что события

5,505,49 X и 5,050 X равносильны. Поэтому, согласно (*),

.6,025,0

1,015,505,49 XP

П р и м е р 5 . В условиях предыдущего примера оценить снизу веро-

ятность события {49 < X < 52}.

Решение:

Очевидно, что {49 < X < 52} {48 < X < 52} = 250 X . Поэтому

по свойству вероятности

.975,04

1,012505249 XPXP

П р и м е р 6 . Случайная величина X дискретного типа задана зако-

ном распределения

X 0,3 0,6

P 0,2 0,8

а) Используя неравенство Чебышева, оценить снизу вероятность со-

бытия 2,0 XmX .

б) Найти точное значение вероятности указанного события.

Решение:

а) Находим математическое ожидание и дисперсию:

0,3 0,2 0,6 0,8 0,54;Хm

.0144,054,08,036,02,009,0)( 2222 XX mXM

153

Далее, согласно неравенству (*), получаем

.64,036,0104,0

0144,012,0 XmXP

б) Используем закон распределения и цепочку очевидных равенств:

.8,06,074,034,02,0 XPXPmXP X

П р и м е р 7 . Устройство состоит из 10 независимо работающих эле-

ментов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05.

а) Оценить вероятность события 2 XmX , используя неравенст-

во Чебышева.

б) Найти точное значение указанной вероятности.

Решение:

а) Согласно постановке эксперимента, случайная величина Х подчи-

нена биномиальному закону ),(~ pnBX , где n = 10, p = 0,05. Поэтому

;5,0 npmX 0,475.0,950,5ζ2 npqX

Далее, используя (*), получаем

.88123,04

475,012 XmXP

б) Для точного ответа на вопрос используем биномиальный закон

и формулу Бернулли:

2 1 5 2 5XP X m P , X ,

0 1 2 0,9885.P X P X P X

П р и м е р 8 . Игральная кость подбрасывается 6 раз. Пусть X – чис-

ло выпадений четной цифры.

а) Оценить по Чебышеву вероятность события 3 XmX .

б) Найти точное значение указанной вероятности.

154

Решение:

а) По условию эксперимента, ),(~ pnBX , где n = 6, p = 0,5. Отсюда

следует: ;3 npmX .npqX 0,150,53ζ2

Далее, согласно второму неравенству Чебышева,

.mXP XX

6

1

9

0,53

9

ζ3

2

б) Используем закон распределения:

3XmXP .32

15,026033

6 XPXPXP

Анализируя результаты последних трех примеров, обнаруживаем

следующую закономерность: оценки по Чебышеву сверху всегда завышены

по сравнению с точными значениями вероятности, в то время как оценки

снизу – занижены.

6.2. Сходимость по вероятности. Теорема Чебышева

Пусть имеется последовательность независимых случайных величин

1X , 2X , nn XXX ,,3 .

Говорят, что последовательность nX сходится по вероятности

к величине a , если при любом 0ε имеет место равенство

0ε)(lim

aXP nn

или 1ε)(lim

aXP nn

.

Примечания: 1. В частных случаях в качестве предельной величины может

выступать и не случайная величина (например, M(X)).

2. Для сходимости по вероятности принято краткое обозначение aP

Xn

n

.

155

Пусть {Xn} – последовательность случайных величин с конечными

математическими ожиданиями и дисперсиями. Для любого Nn

построим последовательность среднеарифметических

n

kkn X

nY

1

1, т. е.

получим последовательность Y1,Y2, …, Yn, …

Говорят, что к последовательности {Xn} применим закон больших

чисел, если 0)(

n

nn YMYP (или 1)(

n

nn YMYP ).

Т е о р е м а (закон больших чисел в формулировке Чебышева).

Пусть для последовательности {Xn} выполняются следующие условия:

1) элементы последовательности попарно независимы;

2) 1

limn

k

nk

XD

k

2

1

1lim 0

n

kn

k

D( X ) .n

Тогда для {Xn} выполняется закон больших чисел

1 1( ) ... ( )lim ε 1,n n

n

X X M X M XP

n n

т. е. при n среднее арифметическое случайных величин

1

1n

k

k

X Xn

сходится по вероятности к их общему математическому

ожиданию.

Хотя случайные отклонения отдельных величин kX от своих мате-

матических ожиданий могут быть существенны и разного знака (как боль-

ше, так и меньше нуля), но в среднем арифметическом (это тоже случайная

величина) они взаимно погашаются. Поэтому при достаточно большом n

среднее арифметическое значение случайных величин X практически уже

не случайно, и с вероятностью, близкой к достоверности, может прини-

маться в качестве приближенной оценки математического ожидания

156

1

1( ) ( ).

n

k

k

М X M Xn

Отсюда следует способ определения математического ожидания

случайной величины на основе опытных данных: нужно проделать доста-

точно много наблюдений случайной величины и вычислить среднее ариф-

метическое наблюдаемых значений. Если число наблюдений велико,

то почти достоверно, что X мало отличается от математического ожида-

ния наблюдаемой величины и X можно взять в качестве приближенного

значения математического ожидания.

Поэтому при измерении физических величин производят несколько

измерений и в качестве значения измеряемой величины берут среднее

арифметическое из результатов измерений. Обоснование такому способу

действий дает теорема Чебышева.

Действительно, пусть мы измеряем некоторую физическую постоян-

ную а. При измерении допускается некоторая ошибка X, и мы фактически

получаем при измерении значение а + X. Если мы не делаем систематиче-

ской ошибки, иначе говоря, если М(Х) = 0, то М(а + Х) = М(а) + М(Х) = а.

Значит, при достаточно большом числе измерений среднее арифметиче-

ское их результатов будет равно математическому ожиданию (по теореме

Чебышева) и как угодно близко к а с вероятностью, близкой к единице.

Таким образом, даже не точный прибор может обеспечить при указанном

способе действий какую угодно точность.

Этим и объясняется рекомендуемый в практической деятельности

способ многократного измерения изучаемой случайной величины с тем,

чтобы получить ее значение, близкое к истинному.

Если случайные величины X1, X2, ..., Xn попарно независимы и одина-

ково распределены, причем M(Xi) = m, D(Xi) = 2, то все предположения

теоремы Чебышева выполнены. Так как M( nX ) = m, то

1εlim

m

n

X...XXP n21

n.

157

Этот результат носит название закона больших чисел для одинаково

распределенных случайных величин.

6.3. Теорема Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из кото-

рых вероятность появления события А равно р.

Т е о р е м а Б е р н у л л и . Если в каждом из n -независимых ис-

пытаний вероятность р появления события А постоянна, то при не-

ограниченном увеличении числа испытаний вероятность того, что

отклонение относительной частоты появления А от вероятности

р по абсолютной величине будет сколь угодно малым стремиться

к единице:

lim ε 1.n

mР p

n

Примечание. Из теоремы Бернулли не следует, что .pn

m

n

lim Речь идет лишь

о вероятности того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю

может стать сколь угодно малой.

Разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рас-

сматриваемой в математическом анализе, для всех п, начиная с некоторого

значения, неравенство ε рn

m выполняется всегда; в нашем случае мо-

гут найтись такие значения n , при которых это неравенство неверно.

Этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности.

Теорема Бернулли играет большую роль в математической статисти-

ке, составляя основу для оценивания неизвестной вероятности событий в

реальных экспериментах.

158

7. Центральная предельная теорема и ее применение

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распреде-

ления суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем,

называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон

распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь

различные распределения, приближается к нормальному при достаточно

большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона

для практических приложений.

Условия, при которых верна центральная предельная теорема, доста-

точно часто хорошо выполняются на практике. Поэтому и с нормальными

случайными величинами приходится сталкиваться часто.

Как уже говорилось, при достаточно большом количестве испыта-

ний, проведенных в одинаковых условиях, характеристики случайных со-

бытий и случайных величин становятся почти неслучайными. Это позво-

ляет использовать результаты наблюдений случайных событий для пред-

сказания исхода того или иного опыта.

Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают соответст-

вие между теоретическими и экспериментальными характеристиками слу-

чайных величин при большом количестве испытаний.

В зависимости от условий распределения случайных величин Xi, об-

разующих сумму, возможны различные формулировки центральной пре-

дельной теоремы.

159

7.1. Центральная предельная теорема

в формулировке Ляпунова

Допустим, что случайные величины Xi взаимно независимы и одина-

ково распределены.

Теорема (центральная предельная теорема Ляпунова – ЦПТ). Если

случайные величины Xi взаимно независимы и имеют один и тот же

закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией

2, то при неограниченном увеличении числа испытаний n закон рас-

пределения суммы

n

iin XY

1

неограниченно приближается к нормаль-

ному. При этом справедливо неравенство

β ( ) α ( )(α β) Ф Ф

σ( ) σ( )

M Y M YP Y

Y Y

,

где ( ) ( ) , ( ) ( )i i

i i

M Y M X Y D X .

Примечания: 1. Случайные величины Xi, рассмотренные в центральной пре-

дельной теореме, могут обладать произвольными (но одинаковыми) распределениями

вероятностей.

Так, потребление электроэнергии за месяц в каждой квартире некото-

рого жилого дома можно представить как ï случайных величин, подчинен-

ных некоторому закону. Если потребление электроэнергии в каждой кварти-

ре резко не выделяется среди остальных, то на основании теоремы Ляпунова

можно считать, что потребление энергии всего дома будет случайной вели-

чиной, имеющей приближенно нормальный закон распределения. Но если

160

в одной из квартир находится оранжерея, то вывод о приближенно нормаль-

ной энергии всего дома будет неправомерен.

2. Практически данной теоремой можно пользоваться и тогда, когда речь идет

о сумме сравнительно небольшого числа случайных величин. Опыт показывает, что

при числе слагаемых около 10 закон распределения суммы близок к нормальному.

П р и м е р 1 . Складывают 24 независимых случайных величины,

каждая из которых подчинена закону равномерной плотности распределе-

ния на интервале (0;1). Написать приближенное выражение для плотности

суммы этих случайных величин. Найти вероятность того, что сумма будет

заключена в пределах от 6 до 8.

Решение:

Пусть

24

1iin XY , где iX – случайная величина, равномерно распре-

деленная на интервале (0;1).

Условия центральной предельной теоремы соблюдены, поэтому слу-

чайная величина Y имеет приближенно плотность нормального распределе-

ния

2

2

2ζ

)(

2πζ

1)( y

ymy

y

eyf

.

Пользуясь свойствами числовых характеристик, определим матема-

тическое ожидание и дисперсию величины Y .

Для равномерного распределения на интервале (0;1) величин iX имеем

2

1

2)(

baXM , )(XD = .

12

1

12

)( 2

ab

161

Следовательно,

24

1

24

1

12)(i

ii

iy XMXMm ,

24

1i

24

1

2 2)(ζ ii

i XDXDy.

Тогда

4

12)( 2

2π2

1)(

y

eyf .

По формуле для нормального закона распределения имеем

2

126Ф

2

128Ф8)(6 YP 0,0023)

2

2Ф()

2

3Ф( .

Центральная предельная теорема играет большую роль

в приложениях теории вероятностей. Одним из ярких примеров

применения этой теоремы на практике является баллистика, изучающая

явления рассеивания снарядов при стрельбе по цели.

На траекторию полета снаряда действует множество независимых

факторов: колебания атмосферного давления, влажности, температуры, от-

клонения величины порохового заряда и веса снаряда от номинала, ошибка

прицеливания, сила ветра на различных высотах и т. д. Результатом этих

многочисленных воздействий, каждое из которых вносит свой равномерно

малый вклад в общую сумму (ограниченность дисперсий!) является то, что

отклонение точки попадания от цели удивительно точно описывается дву-

мерным нормальным законом распределения.

Другим примером применения центральной предельной теоремы яв-

ляется теория и практика измерений. Всякое измерение неизбежно сопря-

жено с погрешностями. Реально наблюдаемая погрешность измерения яв-

ляется суммой элементарных погрешностей, вызванных многочисленными

162

факторами, каждый из которых лишь незначительно влияет на результат.

В силу центральной предельной теоремы результирующая погрешность

должна быть приближенно нормальной. Это обстоятельство играет ре-

шающую роль в разработке эффективных методов обработки опытных

данных в математической статистике.

7.2. Нормальная асимптотика некоторых распределений

Одним из важных для практики следствий центральной предельной

теоремы является так называемая асимптотическая нормальность неко-

торых известных распределений.

7.2.1. Предельные теоремы в схеме Бернулли

(биномиальное распределение)

Для биномиального распределения асимптотическая нормальность бы-

ла доказана независимо А. Муавром (1730) и П. Лапласом (1812) задолго

до появления ЦПТ и составила содержание так называемых локальной и ин-

тегральной теоремы Муавра – Лапласа (см. пп. 3.10.3–3.10.4 ч. 1 настоящего

пособия).

Если вероятность p появления события A в каждом из n-независимых

испытаний постоянна и отличается от нуля и единицы, то вероятность то-

го, что при n-испытаниях событие A наступит ровно k раз, приблизительно

равна

)(1

)( xnpq

kPn , 2

2

π2

1)(

x

ex

, npq

npkx

.

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании по-

стоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А

163

появится в n-независимых испытаниях не менее k1 и не более k2 раз, прибли-

женно равна

dtekkPx

xn

t

1

2

2

221

2π

1),( ,

где npq

npkx

1

1 и npq

npkx

2

2 , или через функцию Лапласа:

npq

npk

npq

npkkknP 12

21 ФФ),( .

Основные рекомендации по практическому использованию приве-

денных теорем для инженерных расчетов вкратце сводятся к следующему.

При значениях 5,0p хорошие приближения, дающие относительную по-

грешность в пределах 5–7 %, получаются уже при n 10. При этом чем

ближе значения k и 21,kk к значению np , тем точнее получается результат.

П р и м е р 1 . Правильная монета подброшена 10 раз. Вычислить ве-

роятность того, что выпадет ровно k гербов ( k = 0, 1, …, 10).

Решение:

Обозначим 10

10102

1)(

kCkP точные значения биномиальных веро-

ятностей; )(*10 kP приближенные значения, определяемые по локальной тео-

реме Лапласа.

В данном случае имеем ;5np ;5811,15,2 npq 5811,1

5

kk

x ;

5811,1

)()(*

10kx

kP

.

Значения функции ( )k x находим из табл. П.1.

164

Результаты вычислений приведены в таблице (∆ – абсолютная, –

относительная погрешности).

k )(10 kP )(*10 kP ∆ , %

0 0,00098 0,00171 0,00073 74,5

1 0,00977 0,01028 0,00051 5,22

2 0,04395 0,04150 0,00245 5,57

3 0,11719 0,11408 0,00311 2,65

4 0,20508 0,20690 0,00182 0,89

5 0,24609 0,25231 0,00622 2,53

Отсутствующие в таблице значения вероятностей для 10,9,8,7,6m

восстанавливаются по уже найденным благодаря симметрии биномиально-

го распределения )5,0;10(B и четности функции )(x : ).()10( 1010 kPkP

Таким образом, мы видим, что наихудший по точности результат по-

лучается при k = 0 и k = 10. При остальных значениях m относительная

погрешность приближения по локальной теореме Лапласа не превышает

6 % и дает наилучший результат при k = 4.

П р и м е р 2 . Сделано 100 независимых выстрелов по цели

с вероятностью попадания р = 0,23. Пусть nY – число попаданий при 100

выстрелах. Вычислить вероятности 21 kYkP n для трех промежутков:

[15,35], [20,30] и [30,40].

Решение:

Обозначим:

kk

kk

k

CkkP

100

1002104

3

4

1),(

2

1

– точное значение иско-

мой вероятности по формуле Бернулли; ),( 211 kkP – нормальное приближе-

ние, вычисленное по интегральной теореме Муавра – Лапласа.

165

Результаты вычислений приведены в таблице (δ – относительная по-

грешность).

1k 2k ),( 210 kkP ),( 211 kkP δ, %

15 35 0,9852 0,9791 0,62

20 30 0,7967 0,7519 5,62

30 40 0,1492 0,1238 17,02

Из таблицы видно, что результаты ухудшаются по мере удаления ве-

личин ),( 21 kk от 23np , и наихудший результат наблюдается на правом

хвосте распределения.

7.2.2. Предельные теоремы для распределения Пуассона

Без доказательства примем тот факт, что при достаточно больших

значениях параметра распределение Пуассона (см. пп. 3.10.6 ч. 1 на-

стоящего пособия) можно приближенно аппроксимировать нормальным, а

именно: если )(λPu~X , то предельным законом при λ для случайной

величины λ

λ

XY является нормальный закон распределения )1,0(~ NY .

П р и м е р . Для некоторого автопарка среднее число автобусов xm ,

отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях,

равно 4. Считая, что X подчиняется закону Пуассона с параметром = 4,

вычислить вероятности событий kX для 64,2...1,k двумя спосо-

бами: по точной формуле для пуассоновского распределения и в прибли-

жении нормальности.

166

Решение:

Обозначим: 41

!

4)(

ek

kXPkPk

k

– точное значение искомой

вероятности (находим по табл. П.3);

2

4Ф1

2

411)(2

kkZPkXPkP – в приближении

нормальности.

Результаты вычислений представлены в таблице, где указаны отно-

сительные погрешности вычислений по приближенной формуле:

k )(1 kP )(2 kP δ, %

1 0,98168 0,9332 4,94

2 0,7619 0,8413 10,42

4 0,56653 0,5 11,7

6 0,21487 0,1587 26

Снова наблюдается картина, аналогичная той, которая получается

при аппроксимации биномиального распределения нормальным: точность

приближения резко падает при удалении левой границы промежутка k от

среднего значения 4λ xm . Заметим, однако, что значение 4λ не явля-

ется достаточно большим, чтобы гарантировать хорошую точность нор-

мального приближения.

8. Принцип практической уверенности

В человеческом мировоззрении отсутствует один важный элемент –

мы не умеем проводить четкую грань между тем, что может быть, и тем,

чего быть не может. Например, можно ли прожить 200 лет? Нет. Но если

можно прожить 100 лет, то почему нельзя прожить на один день больше?

167

А если можно, то почему нельзя прожить еще на один день больше? и т. д.

Четкой границы между возможным и невозможным провести нельзя.

В подобных ситуациях отчасти помогает понятие практически невозмож-

ного события.

Можно привести примеры событий, которые имеют ничтожно ма-

лую вероятность:

1. Можно научить обезьяну наугад стучать по клавиатуре. Существует

отличная от нуля вероятность того, что обезьяна случайно отпечатает текст

романа «Война и мир». Эта вероятность равна приблизительно N

101

1, где N –

число букв в романе, а 1/101 – вероятность нажать в нужный момент на нуж-

ную клавишу (всего клавиш 101).

2. Существует отличная от нуля вероятность при полете на самолете

попасть в авиационную катастрофу.

3. В примере с возрастом можно считать длительность жизни чело-

века случайной величиной, значения которой больше 150 лет крайне мало-

вероятны.

Во всех приведенных примерах события имеют ничтожно малую ве-

роятность, и возможностью появления таких событий мы и пренебрегаем.

Но пренебрегать возможностью появления маловероятных событий можно

не вообще, а только в определенных условиях.

Пусть вероятность появления события в одном опыте ничтожно мала

и равна р. Тогда вероятность непоявления события равна 1 – р = q, причем

q < 1, т. к. р все же отлично от нуля:

nP

того, что событие произойдет

хотя бы один раз в -независимых 1

опытах

n P

того, что событие

ни разу не произойдет

11)0(1 nn qP .

168

Значит, если опытов производить много, то рано или поздно проис-

ходят даже самые маловероятные события, и возможностью появления ма-

ловероятных событий в большой серии опытов пренебрегать нельзя.

В итоге получаем утверждение: если вероятность события близка

к нулю, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте

оно не произойдет.

Событие, имеющее вероятность, близкую к нулю, в единичном опы-

те можно считать практически невозможным. Насколько малой должна

быть вероятность события, чтобы можно было считать это событие прак-

тически невозможным, зависит от того, насколько серьезные последствия

нам грозят, если событие, объявленное нами практически невозможным,

все–таки произойдет. То есть этот вопрос решается вне рамок теории веро-

ятностей. Например, вероятность события равна 0,01. Если это вероятность

попасть в авиационную катастрофу при полете на самолете, то вряд ли

стоит пренебрегать такой вероятностью. Если же это вероятность выта-

щить на экзамене невыученный билет, то такой вероятностью можно пре-

небречь (на деле пренебрегают и гораздо большими вероятностями).

Обратно. Если вероятность события близка к единице, то можно

быть практически уверенным, что в единичном опыте оно произойдет. Со-

бытие, имеющее вероятность, близкую к единице, можно назвать в еди-

ничном опыте практически достоверным.

Насколько близкой к единице должна быть вероятность – решается

из тех же соображений, что и вопрос о малости вероятности практически

невозможного события.

Понятия практически достоверного и практически невозможного со-

бытий широко используются в математической статистике при формули-

ровке научно обоснованных выводов, сделанных по результатам наблюде-

ний над случайными явлениями.

169

Проверочный тест

по теме «Предельные теоремы»

1. Неравенство Чебышева имеет следующий вид:

;ε

ζ1ε)(а)

2X

XmXP ;ε

ζ1ε)(б)

2

2X

XmXP

;ε

1ε)(в)2

ХX

mmXP .

ε1ε)(г)

2

XX

mmXP

2. В данной местности среднее значение скорости ветра у земли рав-

но 4 м/с. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

в заданный день скорость ветра при одном наблюдении окажется более

25 м/с.

а) 16,0 ; б) 08,0 ; в) 16,0 ; г) 08,0 .

3. В НТИ в 2016–2017 учебных годах обучалось 300 студентов днев-

ной формы обучения. Вероятность того, что в течение дня студент обратит-

ся в деканат, равна 0,1. С помощью неравенства Чебышева оценить вероят-

ность того, что число обращений, поступивших в течение дня, отклонится

от своего среднего значения более чем на 6 (по абсолютной величине).

а) 16,0 ; б) 75,0 ; в) 16,0 ; г) 85,0 .

4. Повышенные оценки при защите дипломов в институте составля-

ют в среднем 90 %. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероят-

ность того, что доля повышенных оценок 3000 выпускников института от-

клонится от своего математического ожидания более чем на 0,02 (по абсо-

лютной величине).

а) 016,0 ; б) 075,0 ; в) 16,0 ; г) 085,0 .

170

5. Средний расход воды в населенном пункте составляет 50 тыс. л

в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте в данный

день расход воды не превысит 150 тыс. л.

а) 33,0 ; б) 75,0 ; в) 16,0 ; г) 67,0 .

6. Вероятность того, что посетитель магазина купит рекламируемый

товар, равна 0,8. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность

того, что из 2000 покупателей более 1200 приобретут этот товар.

а) 823,0 ; б) 752,0 ; в) 988,0 ; г) 67,0 .

7. В некотором городе имеется 3 % левшей. Производится опрос пя-

тисот человек. С какой вероятностью среди опрошенных окажется

(3 ± 1,5) % левшей?

а) 823,0 ; б) 741,0 ; в) 988,0 ; г) 67,0 .

8. Вероятность того, что страховой договор завершится выплатой

страховой суммы, оценивается как 0,3. Используя неравенство Чебышева,

оценить вероятность того, что из 1000 страховых договоров число завер-

шившихся выплатой отклонится от среднего числа таких договоров не бо-

лее чем на 20 (по абсолютной величине).

а) 475,0 ; б) 9508,0 ; в) 988,0 ; г) 67,0 .

9. Под наблюдением ветеринара в зоопарке находится 3 000 живот-

ных. Вероятность того, что в течение дня животному потребуется помощь,

равна 0,1. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того,

что доля животных, нуждающихся в помощи, заключена в пределах от 0,09

до 0,11 (включительно).

а) 7,0 ; б) 9,0 ; в) 8,0 ; г) 0 85, .

171

10. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания

будет по абсолютной величине не более трех средних квадратических от-

клонений этой величины (правило «трех сигм»).

а) 823,0 ; б) 889,0 ; в) 993,0 ; г) 667,0 .

11. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания

будет по абсолютной величине не более трех средних квадратических от-

клонений этой величины (правило «трех сигм»), если известно, что слу-

чайная величина распределена по нормальному закону?

а) 823,0 ; б) 889,0 ; в) 993,0 ; г) 667,0 .

12. Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что отно-

сительная частота появлений «герба» при ста подбрасываниях монеты откло-

нится от вероятности его появления в одном испытании не более чем на 0,1.

а) 37,0 ; б) 89,0 ; в) 93,0 ; г) 75,0 .

13. Закон больших чисел относится…

а) к только непрерывным случайным величинам;

б) только к дискретным случайным величинам;

в) и к дискретным, и к непрерывным случайным величинам;

г) к только непрерывным случайным величинам, возможные значе-

ния которых ограничены интервалом (a, b);

д) только к непрерывным случайным величинам, возможные значе-

ния которых – вся числовая ось.

14. Смысл теоремы Чебышева состоит в том, что…

а) среднее геометрическое большого количества независимых слу-

чайных величин практически перестает быть случайной величиной;

172

б) при большом числе испытаний вероятность реализации случайно-

го события становится близкой к единице;

в) среднее арифметическое большого количества независимых слу-

чайных величин практически перестает быть случайной величиной;

г) при большом числе испытаний средняя величина неограниченно

возрастает.

15. Закон больших чисел состоит в том, что…

а) при большом числе испытаний вероятность реализации случайно-

го события становится близкой к единице;

б) поведение произведения достаточно большого количества случай-

ных величин становится почти закономерным;

в) при большом числе испытаний средняя величина неограниченно

возрастает;

г) поведение суммы достаточно большого количества случайных ве-

личин становится почти закономерным.

16. Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при достаточно

большом числе испытаний…

а) как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение от-

носительной частоты появления события A от вероятности этого события

сколь угодно мало;

б) при большом числе испытаний средняя величина неограниченно

возрастает;

в) при большом числе испытаний вероятность реализации случайно-

го события становится близкой к единице;

г) среднее арифметическое большого количества независимых слу-

чайных величин практически перестает быть случайной величиной.

173

17. Если все случайные величины 1X , 2X , nXX ,3 одинаково

распределены, а их дисперсии конечны и отличны от нуля, то к 1X , 2X ,

nXX ,3 применима…

а) теорема Чебышева; б) теорема Бернулли;

в) центральная предельная теорема; г) теорема Байеса;

д) основная теорема интегрального исчисления

18. Центральная предельная теорема относится…

а) только к непрерывным случайным величинам;

б) только к дискретным случайным величинам;

в) только к непрерывным случайным величинам, возможные значе-

ния которых – вся числовая ось;

г) и к дискретным, и к непрерывным случайным величинам;

д) только к непрерывным случайным величинам, возможные значе-

ния которых ограничены интервалом (a, b).

19. Центральная предельная теорема состоит в том, что…

а) при большом числе испытаний средняя величина неограниченно

возрастает;

б) поведение произведения достаточно большого количества случай-

ных величин становится почти закономерным;

в) поведение суммы достаточно большого количества случайных ве-

личин становится почти закономерным;

г) функция распределения нормированной суммы стремится к нор-

мальной функции распределения при стремлении к бесконечности числа

слагаемых;

д) при большом числе испытаний вероятность реализации случайно-

го события становится близкой к единице.

174

20. Для того чтобы для случайных величин 1X , 2X , 3, , nX X вы-

полнялась центральная предельная теорема, необходимо, чтобы они име-

ли…

а) распределение Фишера;

б) нормальное распределение;

в) показательное распределение;

г) произвольное распределение;

д) распределение Стьюдента.

21. Если случайная величина 1X , 2X , 3, nX X есть сумма большо-

го числа взаимно независимых случайных величин 1X , 2X , 3, ,nX X

влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то…

а) X имеет распределение близкое к показательному;

б) X имеет распределение близкое к распределению 2 ;

в) X имеет распределение близкое к распределению Фишера;

г) X имеет распределение близкое к равномерному;

д) X имеет распределение близкое к нормальному.

22. Математическая запись теоремы Чебышева имеет вид

а) 1;ε)(...)()(...

lim 21n21

n

n

XMXMXM

n

XXXP n

б) 1;ε)(...)()(...

lim 21n21

n

n

XMXMXM

n

XXXP n

в) 1;ε)(...)()(...

lim 21n21

n

n

XDXDXD

n

XXXP n

г) 1.ε)(...)()(...

lim 21n21

n

n

XXX

n

XXXP n

175

Типовые примеры

по теме «Предельные теоремы»

П р и м е р 1 . Количество осадков, выпадающих в данной местности

в течение года, является случайной величиной Х, причем М(Х) = 55 см:

а) оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет

не более 175 см;

б) оценить ту же вероятность, если известно, что )ζ(x = 15 см.

Решение:

а) Так как о дисперсии СВ Х мы ничего не знаем, используем первое

неравенство Чебышева:

Р(Х > 175) < 55/175 = 0,31.

Отсюда получаем оценку снизу для искомой вероятности:

Р(Х 175) = 1 – Р(Х > 175) > 1 – 0,31 = 0,69.

б) Информация о дисперсии СВ Х позволяет использовать второе не-

равенство Чебышева и получить более точную оценку:

P(X > 175) = P(X–55 > 175–55) P(|X–M(X)| > 120) < 152/120

2 = 0,02.

Отсюда Р(Х 175) > 0,98.

П р и м е р 2 . Суточная потребность в электроэнергии в населенном

пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой

равно 3000 кВт/ч, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того,

что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте

будет от 2500 до 3500 кВт/ч.

Решение:

Требуется найти вероятность попадания случайной величины в ин-

тервал ).35002500( XP

176

Крайние значения интервала отклоняются от математического ожи-

дания на одну и ту же величину, а именно – на 500. Тогда можно записать

с учетом неравенства Чебышева:

25001)500()35002500( x

x

DmXPXP .

Отсюда получаем 99,0250000

25001 P .

Таким образом, искомая вероятность будет не меньше, чем 0,99.

П р и м е р 3 . Вероятность успеха в одном испытании равна p = 0,8.

Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,9

можно ожидать, что наблюдаемая частота успеха в испытаниях по схеме

Бернулли отклонится от вероятности p не более чем на = 0,01?

Решение:

Пусть n – число успехов, m – общее число испытаний, m

nX –

частота успеха в испытаниях.

Условие задачи фактически означает, что должно выполняться нера-

венство

0,9ε

p

m

nP .

Для сравнения решим задачу двумя способами:

а) для применения неравенства Чебышева преобразуем полученное

выражение:

9,0

01,01)01,09,0(

2

m

DmmnP x ,

откуда 1,0)01,0( 2

m

Dx .

177

Так как mmpqDx 16,0 , получаем 1,0)01,0(

16,02

m

, откуда

16000;0001,01,0

16,0

mm ;

б) используя теорему Муавра – Лапласа и учитывая, что вероятность

попадания нормально распределенной случайной величины на интервал,

симметричный относительно среднего значения, равна

( δ) ( δ δ) 2Ф(δ / ),P X a P a X a

получим 0,90,01

2Ф)0,010,9(

mpq

mmmnP , откуда 0,450,01Ф

pq

m,

или в соответствии с табл. П.2 65,101,0

pq

m, и следовательно,

435601,0

2,08,065,12

2

m ,

т. е. почти в 4 раза меньше.

П р и м е р 4 . Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятно-

стью не меньше 0,96, можно было ожидать, что абсолютная величина от-

клонения относительной частоты годных деталей от вероятности детали

быть годной, равной 0,98, не превысит 0,02.

Решение:

Условие задачи фактически означает, что должно выполняться нера-

венство

96,002,098,0

m

nP ,

где n – число годных деталей; m – число проверенных деталей.

178

Для применения неравенства Чебышева преобразуем полученное

выражение:

96,0

02,01)02,098,0(

2

m

DmmnP x .

Таким образом, получаем неравенство 2)02,0(

196,0m

Dx .

Так как mpqDx , получаем

1225;0004,004,0

02,098,0

mm .

Таким образом, для выполнения требуемых условий необходимо

не менее 1225 деталей.

П р и м е р 5 . Бюффон бросил монету 4040 раз и получил герб

2048 раз. Найти вероятность отклонения частоты появления герба от веро-

ятности.

Решение:

ε,0,0072

1

4040

2048 p

n

m0,626(0,89)2Ф

0,25

40400,0072Ф 00

P .

П р и м е р 6 . Случайная величина Х имеет нормальное распределе-

ние с параметрами a,ζ . Оценить по неравенству Чебышева:

а) )2( aXP ; б) )3( aXP . Сравнить с точным значением этих ве-

роятностей.

Решение:

а) Из неравенства Чебышева следует, что .ε

)(1ε)P(

2

XDaX

В рассматриваемом случае )(,2 XD , следовательно,

179

0,75.4

11

4ζ

ζ1ε)(

2

2

aXP

По точной формуле имеем

0,95440,4772222Фζ

2ζ2Ф2ζ

aXP ;

б) оценим по неравенству Чебышева вероятность попадания в об-

ласть 3 :

)(,3 XD , .aXP 0,8899

11

ε

ζ1ε)(

2

2

По точной формуле имеем

0,99730,49865232Фζ

3ζ2Ф3ζ

aXP .

Сравнение полученных оценок с точными значениями вероятности

попадания в указанные области показывает, что неравенство Чебышева да-

ет более грубую оценку вероятности отклонения.

П р и м е р 7 . Событие А происходит в каждом опыте с вероятно-

стью 0,2. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что

число появлений события А в 1000 независимых опытов будет заключено

в пределах от 200 до 300.

Решение:

Число появлений события А в 1000 независимых испытаниях – слу-

чайная величина Х с математическим ожиданием 2005

11000)( npxM

и дисперсией .npqxD 1605

4

5

11000)(

180

Наибольшая разность между заданным числом появлений события А

и его средним значением М(Х) равна 100200300 .

Применяя неравенство Чебышева, получим

,ε

)(1100)200(

2

хDXP 984,0

100

1601)100200(

2XP .

П р и м е р 8 . Оценить вероятность того, что ,8,0)( XMX если Х

– дискретная случайная величина, имеющая следующий ряд

распределения:

X 1 2 3

P 0,5 0,3 0,2

Решение:

Находим М(Х) и D(X):

;7,12,033,025,01)( XM

.61,07,1)2,033,025,01()()()( 22222 XMXMXD

Поэтому 0,950,8

0,61

ε

)(0,8))((

22

XDXMXP

П р и м е р 9 . В некотором хозяйстве урожайность куста картофеля,

выраженная в килограммах, имеет следующее распределение:

X 0 1 1,5 2 2,5

P 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2

С вероятностью 0,95 определить пределы, в которых находится уро-

жай, снятый с 900 кустов.

Решение:

181

Обозначим через Xi – урожай с i-го куста, 900,1i . Тогда весь уро-

жай 90021900 XXXS распределен по закону, близкому к нормаль-

ному. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной вели-

чины S900.

Так как M(X) = 1,6, а D(X) = 0,54, то M(S900) = 1440, D(S900) = 486.

Используя интегральную функцию Лапласа, находим интервал, на

который с вероятностью 0,95 попадает значение случайной величины

486

1440900 S:

2Ф( ) 0,95х , откуда 0,475)Ф( х и 1,96х .

Таким образом, искомый интервал (–1,96; 1,96). Поэтому

96,1486

144096,1 900

S,

и

900(1440 1,96 486 1440 1,96 486 ) 0,95P S .

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что снятый

урожай будет равен 1440 43.

П р и м е р 1 0 . Среднее квадратичное отклонение каждой из 2500

независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность

того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих

случайных величин от среднего арифметического их математических ожи-

даний не превосходит 0,3.

Решение:

Требуется найти вероятность

3,011

n

M

n

X

Pp

n

ixi

n

ii

.

182

Неравенство Чебышева в случае суммы случайных величин имеет

вид

22111

ε1ε

X

n

D

n

M

nP

n

ixi

n

ixi

n

ii

.

Если среднее квадратичное отклонение не превосходит 3, то, очевидно,

дисперсия не превосходит 9. Величина по условию задачи равна 0,3.

Тогда 0,09

91

ε1

2221

n

n

n

D

p

n

ixi

.

Отсюда получаем при n = 2500 96,004,01 p .

П р и м е р 1 1 . Выборочным путем требуется определить среднюю

длину изготавливаемых деталей. Сколько нужно исследовать деталей, чтобы

с вероятностью больше, чем 0,9, можно было утверждать, что средняя длина

отобранных изделий будет отличаться от математического ожидания этого

среднего (средняя длина деталей всей партии) не более чем на 0,001 см? Ус-

тановлено, что среднее квадратичное отклонение длины детали не превышает

0,04 см.

Решение:

По условию, если среднее квадратичное отклонение не превышает

0,04, то дисперсия, очевидно, не превышает (0,04)2. Также по условию за-

дано, что

9,0001,01

x

n

ii

mn

X

Pp .

Если преобразовать соотношение, стоящее в скобках и после этого

применить неравенство Чебышева, получаем

9,0001,0

1001,022

1

1

n

D

nnmXP

n

ixi

x

n

ii ;

183

9,0001,0

04,01

22

2

n

n, 22 04,0001,01,0 n ,

2

2

001,01,0

04,0

n , 16000n .

Таким образом, для достижения требуемой вероятности необходимо

отобрать более 16 тыс. деталей.

П р и м е р 1 2 . B кассе учреждения имеется сумма d = 3500 руб.,

в очереди стоит n = 20 человек. Сумма iX , которую нужно выплатить от-

дельному человеку, является СВ со средним значением 150 руб.

и x = 60 руб. Найти:

а) вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты всем людям

из очереди;

б) какую сумму d нужно иметь в кассе, чтобы с вероятностью

p = 0,995 ее хватило всей очереди.

Решение:

При n = 20 уже можно считать, что СВ

20

1iiXY достаточно близка

к нормальной с параметрами распределения

20

1

300020150)()(i

iXMYM и

20

1

2 72000203600)(i

iYD .

Тогда

а) P{Y > d = 3500} = 1 – P{Y ≤ 3500} = 1 – 0,032;72000

30003500Ф

б) P{Y < d} ≥ 0,995, откуда 3000

Ф 0,99572000

d

, или

58,272000

3000

d, т. е. 3692d .

П р и м е р 1 3 . Страховая компания застраховала n человек одного

возраста сроком на 1 год. Для этого возраста известна вероятность смерти

(в течение ближайшего года) и вероятность травмы: 0,00001 и 0,0001 соот-

ветственно. Стоимость страховки L$, в случае травмы клиенту выплачива-

ется a$, в случае смерти – A$. Найти вероятность того, что компания полу-

чит прибыль не менее Q$.

184

Решение:

Рассмотрим случайную величину Хk – выплаты k -му клиенту, k = 1,

…, n.

Ее ряд распределения:

Хк 0 а А

Р 0,99989 0,0001 0,00001

Найдем ее числовые характеристики:

m = M(X) = 0,0001a + 0,00001A;

2 D(X) = 0,0001а2 + 0,00001А

2 – m

2.

Так как клиенты умирают и травмируются, вообще говоря, незави-

симо один от другого, то случайные величины Х1, Х2, …, Хn – независимые,

и к ним применима ЦПТ.

Суммарные выплаты компании клиентам

n

iiXY

1

имеют прибли-

женно нормальное распределение с параметрами mn и nζ .

Доходы компании формируются из страховых взносов и составляют

Ln$.

Разность (Ln – Y ) – это прибыль компании. Найдем (приближенно)

вероятность того, что прибыль будет не менее Q$:

( ) ( ) Ф 0,5.ζ

Ln Q mnP Ln Y Q P Y Ln Q

n

П р и м е р 1 4 . Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 36 (5 из

которых выигрышные). При совпадении трех чисел выигрыш составляет

3$, четырех – 50$ и пяти – 500$. Найти границы практически возможных

выплат по лотерее, если в ней участвуют n = 10 000 человек.

Решение:

Обозначим через Хk – выплаты k -му участнику. Возможные значе-

ния этой дискретной случайной величины: 0, 3, 50, 500.

Соответствующие им вероятности можно найти, используя класси-

ческое определение вероятности, например:

.000411,0числа)4(совпало)50(536

131

45

2 С

ССPXPp k

185

Ряд распределения и числовые характеристики Хк:

Хк 0 3 50 500

Р р0 0,012344 0,000411 0,000003

1,885.)(ζ0,059,)( 2223

0

mpxXDpxXMm kkkk

kkk

В силу ЦПТ суммарные выплаты по лотерее

n

iiXY

1

имеют при-

ближенно нормальное распределение с параметрами mn = 590 $ и

137 n $.

Применяя к случайной величине Y «правило трех сигм», получим

значение верхней границы практически возможных выплат:

9973,0)1373590( YP , откуда 411590 Y , или 10010 Y .

Таким образом, практически возможные выплаты по лотерее лежат

в интервале (0;1001$) .

П р и м е р 1 5 . В условии предыдущего примера определить мини-

мальное число участников, при котором лотерея не принесет убытка орга-

низаторам, если стоимость одного билета 0,3$.

Решение:

Искомое число можно найти из неравенства 0,3n Y или

YYmn 33,0 (значения m и найдены ранее).

Имеем

0,3 0,059 4,11 , или 17,05, 290,8.n n n n n

Итак, уже 291 участник обеспечит организаторам отсутствие убыт-

ков.

186

Контрольные вопросы

1. В чем заключается сущность закона больших чисел?

2. Как записывается неравенство Чебышева?

3. Какое практическое и теоретическое значение имеет правило Че-

бышева?

4. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева.

5. Сформулируйте и докажите обобщенную теорему Чебышева.

6. Какое практическое значение имеют теоремы Чебышева?

7. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли.

8. Как формулируется теорема Пуассона?

9. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы?

10. Сформулируйте и докажите теорему Ляпунова.

11. Сформулируйте теорему Муавра – Лапласа.

12. Приведите примеры задач, при решении которых применяется

теорема Муавра – Лапласа.

187

Библиографический список

1. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные прило-

жения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – М. : Наука, 1988. – 416 с.

2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статисти-

ка / В. Е. Гмурман. – М. : Высш. шк., 1977. – 479 с.

3. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероят-

ностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 5-е

изд. – М. : Высш. шк., 1999. – 276 с.

4. Гурский, Е. И. Сборник задач по теории вероятностей и математи-

ческой статистике / Е. И. Гурский. – Минск : Вышейш. шк., 1984. – 223 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероят-

ностей и математическая статистика / под ред. А. В. Ефимова. – М. : Наука,

1990. – 428 с.

6. Сборник задач по теории вероятностей, математической стати-

стике и теории случайных функций / под ред. А. А. Свешникова. – М. :

Наука, 1965. – 656 с.

7. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и

математической статистике / под ред. А. П. Рябушко. – Минск : Выш. шк.,

1992. – 191 с.

8. Справочник по теории вероятностей и математической стати-

стике / В. С. Королюк [и др.]. – М. : Наука, 1985. – 640 с.

9. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /

П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1980. – 416 с.

10. Колемаев, В. А. Теория вероятностей и математическая стати-

стика : учеб. пособие для экон. спец. вузов / В. А. Колемаев, О. В. Старове-

ров, В. Б. Турундаевский. – М. : Высш. шк., 1991. – 400 с.

11. Тимошенко, Е. И. Теория вероятностей : учеб. пособие / Е. И. Ти-

мошенко, Ю. Е. Воскобойников. – Новосибирск : НГАСУ, 2003. – 98 с.

188

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

2

21Значения функции Гаусса

2

x

x e

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,3989

3970

3910

3814

3683

3521

3332

3123

2897

2661

3989

3965

3902

3802

3668

3503

3312

3101

2874

2637

3989

3961

3894

3790

3653

3485

3292

3079

2850

2613

3988

3956

3885

3778

3637

3467

3271

3056

2827

2589

3986

3951

3876

3765

3621

3448

3251

3034

2803

2565

3984

3945

3867

3752

3605

3429

3230

3011

2780

2541

3982

3939

3857

3739

3589

3410

3209

2989

2756

2516

3980

3932

3847

3726

3572

3391

3187

2966

2732

2492

3977

3925

3836

3712

3555

3372

3166

2943

2709

2468

3973

3918

3825

3697

3538

3352

3144

2920

2685

2444

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

0,2420

2179

1942

1714

1497

1295

1109

0940

0790

0656

2396

2155

1919

1691

1476

1276

1092

0925

0775

0644

2371

2131

1895

1669

1456

1257

1074

0909

0761

0632

2347

2107

1872

1647

1435

1238

1057

0893

0748

0620

2323

2083

1849

1626

1415

1219

1040

0878

0734

0608

2299

2059

1826

1604

1394

1200

1023

0863

0721

0596

2275

2036

1804

1582

1374

1182

1006

0848

0707

0584

2251

2012

1781

1561

1354

1163

0989

0833

0694

0573

2227

1989

1758

1539

1334

1145

0973

0818

0681

0562

2203

1965

1736

1518

1315

1127

0957

0804

0669

0551

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

0,0540

0440

0355

0283

0224

0175

0136

0104

0079

0060

0529

0431

0347

0277

0219

0171

0132

0101

0077

0058

0519

0422

0339

0270

0213

0167

0129

0099

0075

0056

0508

0413

0332

0264

0208

0163

0126

0096

0073

0055

0498

0404

0325

0258

0203

0158

0122

0093

0071

0053

0488

0396

0317

0252

0198

0154

0119

0091

0069

0051

0478

0387

0310

0246

0194

0151

0116

0088

0067

0050

0468

0379

0303

0241

0189

0147

0113

0086

0065

0048

0459

0371

0297

0235

0184

0143

0110

0084

0063

0047

0449

0363

0290

0229

0180

0139

0107

0081

0061

0046

189

Окончание прил. 1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

0,0044

0033

0024

0017

0012

0009

0006

0004

0003

0002

0043

0032

0023

0017

0012

0008

0006

0004

0003

0002

0042

0031

0022

0016

0012

0008

0006

0004

0003

0002

0040

0030

0022

0016

0011

0008

0005

0004

0003

0002

0039

0029

0021

0015

0011

0008

0005

0004

0003

0002

0038

0028

0020

0015

0010

0007

0005

0004

0002

0002

0037

0027

0020

0014

0010

0007

0005

0003

0002

0002

0036

0026

0019

0014

0010

0007

0005

0003

0002

0002

0035

0025

0018

0013

0009

0007

0005

0003

0002

0001

0034

0025

0018

0013

0009

0006

0004

0003

0002

0001

190

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Значения функции Лапласа

tx

x e dt

2

2

0

1Φ

2

x Ф( )x x Ф( )x

x Ф( )x x Ф( )x

x Ф( )x

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,1179

0,1217

0,1255

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2703

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

0,3849

0,3869

0,3883

0,3909

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

1,56

1,57

1,58

1,59

1,60

1,61

1,62

1,63

1,64

1,65

1,66

1,67

1,68

1,69

1,70

1,71

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,79

1,80

1,81

1,82

1,83

1,84

1,85

1,86

1,87

1,88

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

0,4641

0,4649

0,4656

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

0,4693

0,4699

2,16

2,18

2,20

2,22

2,24

2,26

2,28

2,30

2,32

2,34

2,36

2,38

2,40

2,42

2,44

2,46

2,48

2,50

2,52

2,54

2,56

2,58

2,60

2,62

2,64

2,66

2,68

2,70

2,72

2,74

2,76

2,78

2,80

0,4846

0,4854

0,4861

0,4868

0,4875

0,4881

0,4887

0,4893

0,4898

0,4904

0,4909

0,4913

0,4918

0,4922

0,4927

0,4931

0,4934

0,4938

0,4941

0,4945

0,4948

0,4951

0,4953

0,4956

0,4959

0,4961

0,4963

0,4965

0,4967

0,4969

0,4971

0,4973

0,4974

191

Окончание прил. 2

x Ф( )x x Ф( )x

x Ф( )x x Ф( )x

x Ф( )x

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,1915

0,1959

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1,00

1,01

1,02

1,03

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

0,4147

0,4162

0,4177

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

1,89

1,90

1,91

1,92

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,02

2,04

2,06

2,08

2,10

2,12

2,14

0,4706

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

0,4772

0,4783

0,4793

0,4803

0,4812

0,4821

0,4830

0,4838

2,82

2,84

2,86

2,88

2,90

2,92

2,94

2,96

2,98

3,00

3,20

3,40

3,60

3,80

4,00

4,50

5,00

0,4976

0,4977

0,4979

0,4980

0,4981

0,4982

0,4984

0,4985

0,4986

0,49865

0,49931

0,49966

0,499841

0,499928

0,499968

0,499997

0,499997

192

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Значение функции Пуассона k

P k ek

!

k

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679

1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3595 0,3659 0,3679

2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0,1647 0,1839

3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,0284 0,0383 0,0494 0,0613

4 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030 0,0050 0,0077 0,0111 0,0153

5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 0,0007 0,0012 0,0020 0,0031

6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005

7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

k

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,1353 0,0498 0,0183 0,0067 0,0025 0,0009 0,0003 0,0001 0,0000

1 0,2707 0,1494 0,0733 0,0337 0,0149 0,0064 0,0027 0,0011 0,0005

2 0,2707 0,2240 0,1465 0,0842 0,0446 0,0223 0,0107 0,0050 0,0023

3 0,1804 0,2240 0,1954 0,1404 0,0892 0,0521 0,0286 0,0150 0,0076

4 0,0902 0,1680 0,1954 0,1755 0,1339 0,0912 0,0573 0,0337 0,0189

5 0,0361 0,1008 0,1563 0,1755 0,1606 0,1277 0,0916 0,0607 0,0378

6 0,0120 0,0504 0,1042 0,1462 0,1606 0,1490 0,1221 0,0911 0,0631

7 0,0034 0,0216 0,0595 0,1044 0,1377 0,1490 0,1396 0,1171 0,0901

8 0,0009 0,0081 0,0298 0,0653 0,1033 0,1304 0,1396 0,1318 0,1126

9 0,0002 0,0027 0,0132 0,0363 0,0688 0,1014 0,1241 0,1318 0,1251

10 0,0000 0,0008 0,0053 0,0181 0,0413 0,0710 0,0993 0,1186 0,1251

11 0,0000 0,0002 0,0019 0,0082 0,0225 0,0452 0,0722 0,0970 0,1137

12 0,0000 0,0001 0,0006 0,0034 0,0113 0,0263 0,0481 0,0728 0,0948

13 0,0000 0,0000 0,0002 0,0013 0,0052 0,0142 0,0296 0,0504 0,0729

14 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,0071 0,0169 0,0324 0,0521

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0033 0,0090 0,0194 0,0347

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0045 0,0109 0,0217

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0021 0,0058 0,0128

18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0029 0,0071

19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0037

193

Окончание прил. 2

k

2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0006 0,0019

21 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0009

22 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004

23 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002

24 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

194

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Основные законы распределения случайных величин

№

п/п

Закон распределения

случайной величины

Аналитическое задание

распределения

Основные числовые

характеристики

распределения

Дискретные случайные величины

1 Геометрическое

распределение

ppkXP k 1)1()( 1

( ) ;M Xp

2

)(p

qXD

2 Биномиальное

распределение В(п; р)

knkkn qpCkXP )(

;)( npXM ( )D X npq

3 Распределения

Пуассона Pu(λ) !)(

k

ekXP

k

;)( XM ( )D X

4 Гипергеометрическое

распределение nN

mnMN

mM

C

CCmXP

)(

;)(N

MnmM

N

M

N

MnmD 1)(

11

1

n

N

Непрерывные случайные величины

5 Равномерное

распределение

.;при0

,при1

)(

bxax

bxaabxf

( ) ;2

a bM X

12

)()(

2abXD

6 Показательный закон

распределения

λE( )

0.приλ

0,при0)(

λ xe

xxf

x

1( ) ;M X

2)(

qXD

7 Нормальный закон

распределения

N(a,σ)

2

2

2σ

)(

2πσ

1)(

ax

exf

( ) ;M X a

)(XD

195

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

1 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) ( )X ; 6) 3XP .

X 1 3 6 7

P а 0,3 0,2 0,1

10.2. Спортсмен должен последовательно преодолеть 4 препятствия, каждое

из которых преодолевается им с вероятностью p = 0,9. Если спортсмен не преодолевает

какое-либо препятствие, он выбывает из соревнований. Построить ряд распределения,

найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное от-

клонение числа препятствий, преодоленных спортсменом. Найти вероятность того, что

спортсмен преодолеет: а) не более двух препятствий; б) более трех препятствий.

10.3. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна

0,1. Дискретная случайная величина Х – число сбоев. Найти: 1) ряд распределения;

2) функцию распределения и ее график; 3) математическое ожидание; 4) дисперсию

и среднее квадратичное отклонение; 5) вероятность попадания Х в промежуток (2; 3).

10.4. В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение

года составляет 10 %. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обан-

кротиться в течение следующего года; постройте его график. Найдите числовые харак-

теристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения веро-

ятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение года обан-

кротятся не больше одного банка?

10.5. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распреде-

ления случайной величины Х – числа неточных приборов среди наудачу взятых четы-

рех приборов. Найти: F(x), M(X), D(X), σx, р(0 < X < 2).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины:

.3,1

,31,

,1,0

)( 2

x

xBAx

x

xF

196

Найти: А, В, М[Х], D[Х], плотность вероятностей, Р(0 Х 2 ).

11.2 Плотность распределения случайной величины X имеет вид f (x) = ax 2e- kx,

где k > 0 x . Найти: а) коэффициент a; б) функцию распределения случайной ве-

личины X; в) вычислить вероятность попадания случайной величины X на интервал

(0 k/1 ).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью

0, 0;

1(3 1), 0< ;3

10, .3

x

f ( x ) b x x

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; 0,25).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

π 0, ; 2

1 π(sin 1), < ;22

1, .

x

F( x ) x x a

x a

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (–π/4; 0).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Электрички маршрута Н. Тагил – Екатеринбург идут строго по расписа-

нию, интервал движения составляет 2 часа. Найти вероятность того, что пассажир, по-

дошедший к станции, будет ожидать поезд: а) менее 0,5 часа; б) более 1 часа; в) среднее

время ожидания поезда.

197

12.2. Длительность времени безошибочной работы сотрудника банка в течение

рабочего дня имеет показательное распределение c λ = 0,2. Найти вероятность того, что

за время рабочего дня (t = 8 часов): а) сотрудник ошибется; б) сотрудник не ошибется.

12.3. Полагая, что возраст населения страны подчиняется нормальному закону

распределения с параметрами (20;5), найти долю мужчин в возрасте от 25 до 35 лет.

При расчете учитывать, что на 10 женщин приходится 9 мужчин.

12.4. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному за-

кону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите ве-

роятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля.

Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 т угля. Найдите

вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.

12.5. Случайная величина Х – ошибка измерения диаметра вала, подчинена нор-

мальному закону с параметрами (0;20). Найти вероятность того, что из трех независи-

мых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Вероятность появления события А в одном опыте равна 0,6. Можно ли

с вероятностью, большей 0,97 утверждать, что число появлений события А в 1000 неза-

висимых испытаниях будет в пределах от 500 до 700 (использовать неравенство Чебы-

шева)?

13.2. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 60 % от числа заложен-

ных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью 0,99 ожидать, что откло-

нение числа вылупившихся цыплят от их математического ожидания не превышало по

абсолютной величине 50? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых тор-

гов составит 1 %, а среднее квадратическое отклонение оценивается как 0,5 %. Оценить

вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится не более чем на 2 %. Задачу

решить: а) с помощью теоремы Чебышева; б) с помощью неравенства Чебышева.

13.4. Для новогоднего праздника Петя должен сделать гирлянду из 400 электри-

ческих лампочек. Он решает включить их параллельно. Лампочки оказались очень низ-

кого качества – вероятность того, что какая-либо из них погаснет во время праздника,

составляет 0,5. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что число

горящих лампочек будет заключено между 100 и 300.

198

2 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 3XP .

X 1 2 4 7

P 0,2 а 0,4 0,1

10.2. Из коробки, в которой находятся 2 зеленых, 2 черных и 6 красных стерж-

ней для шариковой руки, случайным образом извлекаются 4 стержня. Построить ряд

распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее

квадратичное отклонение числа извлеченных стержней красного цвета. Найти вероят-

ность того, что при этом красных стержней будет: а) не менее трех б) хотя бы один.

10.3. Вероятность повышения цен на сыр в текущем месяце равна 0,7; на молоко

– 0,3. Составить закон распределения случайной величины – числа товаров, на которые

будут повышены цены (из двух рассматриваемых), найти ее математическое ожидание.

10.4. При производстве некоторого изделия вероятность брака составляет 0,1.

В этом случае предприятие терпит убыток в 3 тыс. руб. При изготовлении правильного

изделия прибыль предприятия составляет 10 тыс. руб. За день изготавливаются два из-

делия. Составить закон распределения случайной величины – дневной прибыли пред-

приятия. Найти ее математическое ожидание.

10.5. Игральная кость бросается 4 раза; Х – число выпадений шестерки. Написать

ряд распределения для случайной величины Х. Найти: F(x); M(X); D(X); σx; р(2 < X < 4).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Дана плотность распределения

.0при,0

;0при,)(

2

x

xAxexf

x

Найти: A, F(Х),

М[Х], D[Х], P{X < М(Х)}.

11.2. Случайная величина X имеет функцию распределения

2

16

0, 0

0 2( )

7 / 4 2 11/ 4

1, 11/ 4

при

при

при

при

;

, ;

, ;

.

x

xx

F x

x x

x

199

Найти: а) плотность распределения f (x), построить графики F (x) и f (x)

б) математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X);

в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок 115

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

0, 1;

, 1< 4;

0, 4.

x

bx

x

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (2; 3).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

2

0, 1;

1( 1) , 1< ;

9

1, .

x

x x a

x a

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2; 3).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–1,5;4,5]. Най-

ти M(X) и D(X). Что вероятнее: в результате испытания X окажется в интервале [0; 2]

или вне этого интервала.

12.2. Среднее время безотказной работы мобильного телефона, произведенного

компанией Samsung, 30 тыс. часов. Найти вероятность того, что телефон, купленный

в магазине «Евросеть», проработает не менее 27 тыс. часов.

200

12.3. Значения теста IQ распределены приблизительно по нормальному закону

распределения с параметрами (150;14). Записать выражение для функции распределе-

ния коэффициента интеллекта и плотности его распределения.

12.4. Кандидат на выборах считает, что 20 % избирателей в определенной облас-

ти поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобра-

ны из числа избирателей данной области, найдите вероятность того, что отобранная

доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться по абсолютной

величине от истинной доли более чем на 0,07.

12.5. Производится взвешивание вещества. Случайная ошибка взвешивания

подчинена нормальному закону с параметрами (0; 20). Определить вероятность того,

что при трех независимых взвешиваниях только в одном ошибка по абсолютной вели-

чине не превосходит 10 г.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 60 % из числа заложен-

ных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятность не меньше 0,99 ожидать,

что отклонение числа вылупившихся цыплят от их математического ожидания не пре-

вышало по абсолютной величине 50 (использовать неравенство Чебышева?

13.2. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого

входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в гардеробе у второго входа,

чтобы в среднем в 95 случаях из 100 все зрители могли в нем раздеться? Предполагает-

ся, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает первый

вход с вероятностью 0,7? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Какое минимальное число опытов следует провести, чтобы с вероятностью

0,95 можно было бы утверждать, что частота появления события будет отличаться по аб-

солютной величине от его вероятности, равной 0,6, не более чем на 0,02? Ответ дать с по-

мощью неравенства Чебышева и следствия из интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

13.4. Инвестор покупает ценные бумаги за счет кредита, взятого с процентной ставкой r

под залог своей недвижимости. Доходность ценных бумаг X представляет собой случайную

величину с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением σ. Оценить

вероятность того, что инвестор не сможет вернуть кредит: а) не имея никаких сведений о ха-

рактере закона распределения случайной величины X, зная только, что она положительна;

б) предполагая случайную величину X распределенной по нормальному закону.

201

3 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 2XP .

X 1 2 3 4

P 0,4 а 0,3 0,1

10.2. База снабжает 6 магазинов. В течение дня от каждого из них с вероятно-

стью 1/3 может поступить заявка. Построить ряд распределения, найти функцию рас-

пределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа зая-

вок, поступивших на базу за день. Найти вероятность того, что их будет более пяти.

10.3. Три монеты одновременно подбрасываются 3 раза. Дискретная случайная

величина Х – число появления трех «гербов» Найти: 1) ряд распределения; 2) построить

функцию распределения; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 1XP .

10.4. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210

и 60 у. е. Составьте ряд распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один

билет; б) два билета. Стоимость билета – 3 у. е. Найдите числовые характеристики этих

распределений. Запишите в общем виде функции распределений вероятностей и по-

стройте их графики.

10.5. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на на-

дежность. Надежность каждого из приборов равна 0,76. Каждый следующий прибор испыты-

вается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Найти: закон распределения

случайной величины Х – числа испытанных приборов, M(X), D(X), σх, p(1,5 < X < 2,9).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана формулой

.0),1(

;0,0)(

xeA

xxF

x

Найти: A, f(x), М[Х], D[Х], P{0 < X < 1}.

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

2

0, при 1;

( ), при 1.

x

f x Ax

x

202

Найти а) коэффициент A б) функцию распределения F (x), построить графики F

(x) и f (x); в) математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X); г) вероятность попада-

ния случайной величины X в интервал (2; 3); д) вероятность того, что при 4 независи-

мых испытаниях величина X ни разу не попадает на отрезок 2; 3.

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

3 0, π; 4

3sin2 , π< π;4

0, π.

x

b x x

x

Требуется: 1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (5π/6; π).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

0, 5;

1 ( 5), 5< ;

5

1, .

x

F x x x a

x a

Требуется: 1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (6; 7).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Величина годовой прибыли некоторого предприятия распределена равно-

мерно на отрезке [5; 15] млн у. е. Каковы математическое ожидание и дисперсия годо-

вой прибыли этого предприятия?

12.2. Среднее время задержки дыхания у здорового человека 50 секунд. Найти

вероятность того, что человек задержит дыхание: а) от 38 до 46 секунд; б) в течение

80 секунд.

203

12.3. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Ее математи-

ческое ожидание и дисперсия соответственно равны M(X) = 10, D(X) = 16. Найти веро-

ятность попадания X в интервал (2;13).

12.4. Авиакомпания знает, что в среднем 5 % людей, делающих предварительный

заказ на определенный рейс, не будет его использовать. Если авиакомпания продала 160

билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место бу-

дет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

12.5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение

диаметра шарика от проектных размеров (Х) по абсолютной величине меньше 0,7 мм.

X распределена нормально с параметрами (0; 0,4). Найти вероятность того, что среди

пяти проверенных шариков все годные, если измерения производились независимо.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Вероятность изготовления детали с дефектами равна 0,1. Почему нельзя при-

менить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что число нестандартных де-

талей среди 10 тыс. изготовленных будет заключено в границах от 959 до 1030 включи-

тельно? Какой должна быть левая граница, чтобы применение неравенства Чебышева ста-

ло возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

13.2. Вероятность производства стандартной детали равна 0,95. Оцените с по-

мощью ЦПТ вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится

в границах от 75 до 125.

13.3. Страховой случай приходится примерно на каждый восьмой договор. Оце-

нить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые

нужно заключить, чтобы с вероятностью не меньше 0,8 можно было утверждать, что

доля страховых случаев отклонится от вероятности 0,125 не более чем на 0,01 (по абсо-

лютной величине). Уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы

Муавра – Лапласа.

13.4. По статистическим данным в среднем 87 % новорожденных доживают

до 50 лет (т. е. вероятность дожития до 50 лет равна 0,87). С помощью неравенства Че-

бышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (относительная

частота) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности не более чем на 0,04

(по модулю).

204

4 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 1XP .

X –4 –1 2 3

P 0,1 0,3 0,2 а

10.2. Наблюдение за районом ведется тремя радиолокационными станциями

(РЛС). В район наблюдений попал объект, который обнаруживается любой РЛС с веро-

ятностью 0,2. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математи-

ческое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа РЛС, обнаруживших объ-

ект. Найти вероятность, что их будет не менее двух.

10.3. Вероятность повышения цен на сыр в текущем месяце равна 0,7; на молоко –

0,3. Составить закон распределения случайной величины числа товаров, на которые не бу-

дут повышены цены (из двух рассматриваемых), найти ее математическое ожидание.

10.4. Среди 13 билетов 4 выигрышных. Составить закон распределения случай-

ной величины количества выигрышных билетов из двух взятых наугад, найти матема-

тическое ожидание.

10.5. На электростанции установили 400 новых диодов. Вероятность того, что

за месяц диод сгорит, равна 0,005. Найти вероятность того, что через месяц сгорят

4 диода. Вычислить M(X), D(X), σx, где X – число сгоревших диодов.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Дана плотность распределения x

Aexf

)( . Найти: А, F(x), М[Х], D[Х],

P{|x|<1}.

11.2 Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

F (x) = A B arctg x x

Найти а) постоянные A B б) плотность распределения f (x), построить графики

F (x) и f (x); в) выяснить существует ли М(X).

205

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с

плотностью f(x) =

2. 0,

2;<1 ,

1; 0,

2

x

xbx

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (1; 1,75).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. ,1

;<0 ),cos1(2

1 0; 0,

ax

axx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (π/4; π/3).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–1;3]. Найти

ее дисперсию и вероятность попадания X в интервал [–1/2;1/2].

12.2. Случайная величина X распределена по показательному закону с парамет-

ром λ = 1/3. Что вероятнее: в результате испытания X окажется меньше 2 или больше 2?

12.3. Распределение по скоростям молекул является нормальным с параметрами

(100; 20). Найти вероятность того, что из пяти взятых молекул отклонение от средней

скорости хотя бы одной из молекул не превзойдет по абсолютной величине 15.

12.4. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нор-

мально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием

и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65 % фруктов весят меньше, чем

0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

206

12.5. В нормально распределенной совокупности 15 % значений Х меньше 12 и

40 % больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распре-

деления.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Вероятность производства стандартной детали равна 0,95. Оцените с по-

мощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных среди 2 тыс.

деталей находится в границах от 75 до 125.

13.2. Имеется 1000 квадратов, сторона которых может принимать значения 0,5

или 1 с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. С какой вероятностью суммарная пло-

щадь всех квадратов будет в пределах от 750 до 805? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. По данным статистической службы, в области 5,5 % трудоспособного на-

селения – безработные. Оценить вероятность того, что в наудачу отобранной группе

в 1000 человек из состава трудоспособного населения доля безработных будет заклю-

чена в границах от 4,5 до 6,5 %. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и

следствия из интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

13.4. Банкомат выдает стандартные суммы в 500, 100 и 50 долл., причем первые

составляют 10 %, а последние – 60 % всех выдач. В среднем банкомат производит 100

выдач в сутки. Определить размер денежной суммы, которую необходимо заложить

в банкомат утром, чтобы этой суммы с вероятностью 0,9 хватило для выдачи налично-

сти вкладчикам до следующего утра.

207

5 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ;

6) 104 XP .

X 1 3 4

P 0,1 0,4 a

10.2. Опыт состоит из четырех независимых подбрасываний двух правильных

монет, т. е. выпадение герба и цифры – равновозможные события. Построить ряд рас-

пределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квад-

ратичное отклонение числа одновременного выпадения двух цифр. Найти вероятность

того, что это событие произойдет не менее трех раз.

10.3. Вероятность поражения крейсера торпедой равна 0,4. Произведено четыре

залпа. Случайная величина Х – число попаданий. Найти: 1) ряд распределения, 2) по-

строить функцию распределения, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 2XP .

10.4. Компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Ве-

роятность успешной нефтеразведки 0,05. Предположим, что нефтеразведку осуществля-

ют независимые друг от друга разведывательные партии. Составьте ряд распределения

числа успешных нефтеразведок. Найдите числовые характеристики этого распределения.

Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график.

Чему равна вероятность того, что как минимум 2 нефтеразведки принесут успех?

10.5. Монета подбрасывается 3 раза. Случайная величина – число выпадения

герба. Написать закон распределения данной случайной величины. Найти: F(x), M(X),

D(X), σx, р(1 < X < 3).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана формулой

2.1,

2;1,2

1;0,

)(

x

xBxAx

x

xF

208

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], P{X > 3}.

11.2. График плотности распределения случайной величины Х представляет со-

бой полуэллипс с известной полуосью а = 3. Найти: а) полуось b; б) аналитическое за-

дание f(x); в) М[Х], D[Х], г) P{а/2 < X < 2a}.

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

π.61 0,

π;61<0 sinx,

0; 0,

x

xb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; π/12).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. ,1

;<1 ,ln2

;1 0,

ax

axx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 1,5).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Толщина конспекта по математике студента распределена равномерно

от 10 до 50 листов. Какова вероятность обнаружить конспект по математике толщиной

от 40 до 45 листов?

12.2. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является слу-

чайной величиной Х, распределенной по показательному закону со средним временем

209

ожидания, равным 2 минутам. Найти вероятность того, что ждать придется не более

1 минуты.

12.3. Рост подростков подчиняется нормальному закону распределения с пара-

метрами (145; 15). Найти вероятность того, что из трех наугад выбранных подростков

два имеют рост от 150 до 160 см.

12.4. Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических про-

гнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной пробле-

мы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат та-

ких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз.

Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем

году подчиняется нормальному закону со средним значением a 9 % и стандартным

отклонением σ 2,6 %. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один

человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень

процентной ставки: а) превысит 11 %; б) окажется менее 14 %; в) будет в пределах от

12 до 15 %.

12.5. Комфортной для организма человека при температуре 18–20 ºС является

влажность 50 % с допустимым отклонением 10 %. Определите: 1) сколько процентов

людей будет чувствовать себя комфортно при влажности от 55 до 70 %; 2) в каких гра-

ницах показателей влажности большинство людей будут чувствовать себя комфортно?

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Имеется 1000 квадратов, сторона которых может принимать значения 0,5

или 1 с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. С какой вероятностью суммарная пло-

щадь всех квадратов будет в пределах от 750 до 800 (использовать неравенство Чебы-

шева)?

13.2. В среднем каждый 30-й диск, записываемый на студии, оказывается брако-

ванной. Оцените с помощью ЦПТ вероятность того, что из 900 дисков, записанных

на студии, число бракованных окажется в пределах от 25 до 35.

13.3. Адресная реклама приводит к заявке в одном случае из двадцати. Компания

разослала 1000 рекламных проспектов. Почему нельзя с помощью неравенства Чебы-

шева оценить вероятность того, что число заявок окажется в пределах от 30 до 60? Из-

менить правую границу так, чтобы применение неравенства Чебышева стало возмож-

210

ным, и оценить соответствующую вероятность. Уточнить полученный результат с по-

мощью следствия из интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

13.4. Мера длины «фут», как видно из названия, имеет прямое отношение к ноге:

это – длина ступни (сейчас примерно 30 см). Но, как известно, размеры ног бывают

разные. Немцы в XVI в. выходили из положения так. В воскресный день ставили рядом

16 первых вышедших из церкви мужчин, сумма длин их левых ступней делилась на 16

– средняя длина и была «правильным и законным футом». Известно, что размер стопы

взрослого мужчины того времени описывается случайной величиной с математическим

ожиданием 262,5 мм и средним квадратичным отклонением 12 мм. Найти вероятность

того, что два «правильных и законных фута», рассчитанных указанным способом в раз-

ные дни, отличаются друг от друга более чем на 5 мм. Сколько нужно было бы взять

мужчин для того, чтобы с вероятностью, большей 0,99, средний размер их ступней от-

личался бы от 262,5 мм менее чем на 0,5 мм?

211

6 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 0XP .

X –2 0 2 4

P 0,4 0,3 а 0,1

10.2. Автоматизированную линию обслуживают 5 манипуляторов. При плановом

осмотре их поочередно проверяют. Если характеристики проверяемого манипулятора

не удовлетворяют техническим условиям, вся линия останавливается для переналадки. Ве-

роятность того, что при проверке характеристики манипулятора окажутся неудовлетвори-

тельными, равна 0,3. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, мате-

матическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа манипуляторов, прове-

ренных до остановки линии. Найти вероятность того, что до остановки линии будет прове-

рено: а) не более двух манипуляторов б) более трех манипуляторов.

10.3. Среди 15 билетов 5 выигрышных. Составить закон распределения случай-

ной величины количества выигрышных билетов из двух взятых наугад. Найти ее мате-

матическое ожидание.

10.4. Вероятность того, что кредит размером до 1 млн руб. не будет возвращен, рав-

на 0,25. Для кредита размером свыше 1 млн руб. эта вероятность равна 0,03. Банк выдал

два кредита: 400 тыс. и 5 млн руб. Составить закон распределения случайной величины

числа невозвращенных кредитов из этих выданных. Найти ее математическое ожидание.

10.5. Баскетбольный мяч бросают 2 раза в корзину с трехочковой отметки. Веро-

ятность попадания 0,3. Случайная величина X – число попаданий. Найти: M (X); D (X);

σx; p(1 < X < 2).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения

π].[0,0,

π];[0,,sin)(

x

xxAxf

Найти: А, М[Х], D[Х], P{X > 2

π}, F(x).

212

11.2. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

0, при 1;

( ) arcsin , при 1 1;

1, при 1.

x

F x a b x x

x

Найти а) коэффициенты а и b б) математическое ожидание М(X), дисперсию D(X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

8. 0,

8;<1

1; 0,

,3

x

xx

b

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (1/27; 1/8).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x)=

. ,1

;<1 ),(2

1 ;1 0,

2

ax

axxx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 1,25).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце ка-

ждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время,

которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.

12.2. Вероятность того, что оперативное запоминающее устройство (ОЗУ), куп-

ленное в магазине DNS, проработает без поломки от 1 до 1,5 года, равна 0,8. Найти ве-

роятность того, что это ОЗУ проработает без поломки от 2 до 3 лет.

213

12.3. Нормальное распределение случайной величины Х имеет функцию распре-

деления ( ) 0,5 3Ф(2 0,1).F x x Найти вероятность того, что в результате испытания

Х примет значения из интервала (0,2;0,4).

12.4. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть

случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидани-

ем, равным 48 у. е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того,

что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: а) более 60 у.

е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) между 40 и 50 у. е. за акцию.

12.5. Диаметр втулки распределен нормально с параметрами (2; 0,01). В каких

границах можно практически гарантировать диаметр втулки.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. На склад магазина поступают изделия, 80 % которых первого сорта. Сколь-

ко изделий надо взять, чтобы с вероятностью 0,997 можно было бы утверждать, что

частота изделий первого сорта будет в пределах от 0,75 и до 0,85 (использовать нера-

венство Чебышева)?

13.2. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,85. Оцените при помощи

ЦПТ вероятность того, что из 400 посеянных семян число взошедших будет заключено

в пределах от 300 до 380.

13.3. На основании биржевой статистики составлена следующая таблица воз-

можных значений изменения курса валюты:

Возможность

изменения курса, % –1 –0,5 0 0,5 1

Вероятность изменения 0,1 0,3 0,5 0,05 0,05

Найти вероятность того, что произойдет падение курса валюты, причем не более

чем на 0,44 %.

13.4. Строительная фирма для привлечения инвестиций в строительство нового

дома собирается воспользоваться банковским кредитом. Вероятность того, что какой-

либо банк в ответ на поступление бизнес-плана примет положительное решение о кре-

дитовании фирмы, равна 0,3. Строительная фирма обратилась в 100 банков. Найти ве-

роятности того, что решения о предоставлении кредитов этой фирме примут: а) один

банк; б) 15 банков; в) 30 банков; г) 50 банков.

214

7 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная величина Х задана рядом распределения. Найти: 1) a; 2) M[X];

3) D[Х]; 4) 4 5P X ; 5) функцию распределения и ее график.

X 1 3 4

P 0,1 0,6 a

10.2. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Две карточки вынимаются

наугад одновременно. Построить ряд распределения, найти функцию распределения,

математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение суммы чисел, написан-

ных на этих карточках. Найти вероятность того, что эта сумма будет: а) менее шести

б) не менее пяти.

10.3. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове состав-

ляет 0,2. Случайная величина Х – число сбоев. Найти: 1) ряд распределения,

2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 4XP .

10.4. Под руководством бригадира производственного участка работают

3 мужчины и 4 женщины. Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специаль-

ной работы. Не желая оказывать кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух ра-

бочих случайно. Составьте ряд распределения числа женщин в выборке. Найдите чи-

словые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распре-

деления вероятностей и постройте ее график. Какова вероятность того, что будет вы-

брано не более одной женщины?

10.5. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом вы-

стреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом следующем выстреле вероятность

попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина X – число попаданий при трех

выстрелах. Найти: M(Х), D(Х), σx, p(1,5 < Х < 2,9).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины задается фор-

мулой

[.;1],1

];1;0[,

[;0;],0

)( 2

x

xBAx

x

xF

215

Найти: А, В, М[Х], D[Х], f(x), P{–4 4 X }.

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

3

0, при 1;

( ) , при 1 4;

0, при 4.

x

af x x

xx

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X) и дисперсию D (X); г) вероятность P(3 < X < 5).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.2π 0,

;2π<

2π ,cos

;2π 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; π/4).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. 1,

;<2π ),sin(1

2

1

;2π 0,

ax

axx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (π/2; π).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–4;4]. Запи-

сать ее функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины

в интервал [–5; 2].

216

12.2. Случайная непрерывная величина X распределена по показательному зако-

ну λ = 0,2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение

больше 4.

12.3. Производится расчет издержек на производство некоторого изделия. Слу-

чайные ошибки расчета подчинены нормальному распределению со средним квадрати-

ческим отклонением σ = 10 у. е. Найти вероятность того, что расчет себестоимости бу-

дет произведен с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 у. е.

12.4. Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать

вступительные экзамены. В среднем их выдерживают лишь 25 % абитуриентов. Пред-

положим, что в приемную комиссию поступило 1 889 заявлений. Чему равна вероят-

ность того, что хотя бы 500 поступающих сдадут все экзамены (наберут проходной

балл)?

12.5. Ошибки измерений прибора подчиняются нормальному распределению.

Прибор имеет систематическую ошибку 2 см и среднюю квадратичную ошибку 3 см.

Найти вероятность того, что четыре ошибки измерений попадут в интервал ]0,4 см[.

Измерения независимы.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. В среднем каждый 30-й диск, записываемый на студии, оказывается брако-

ванной. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что из 900 дис-

ков, записанных на студии, число бракованных окажется в пределах от 25 до 35.

13.2. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит в го-

род на поезде, который ходит раз в сутки. Какой наименьшей вместимостью должен

обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще, чем 1 раз в 100 дней?

13.3. Опыт показывает, что адресная реклама приводит к цели в одном из ста

случаев. Найти границы, в которых будет находиться число сделанных по рекламе за-

казов, если всего разослано 5000 рекламных листков.

13.4. В страховой компании 10000 клиентов. Взнос каждого из них составляет

250 €. Вероятность наступления страхового случая равна (по оценкам экспертов компа-

нии) 0,005, а страховая выплата при наступлении страхового случая составляет 25 000€.

Определить, на какую прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятно-

стью 0,99. Определить минимальный размер страховой премии, при котором страховая

компания получит прибыль, не меньшую 250 000€, с вероятностью 0,999.

217

8 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 2XP .

X 1 2 3 4

P а 0,2 0,2 0,1

10.2. Производятся 4 независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью

0,2; 0,4; 0,6; 0,8 соответственно может появиться случайное событие A. Построить ряд

распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее

квадратичное отклонение числа появлений события А. Найти вероятность того, что А

произойдет не менее чем в половине опытов.

10.3. При производстве детали вероятность брака составляет 0,2. В этом случае

предприятие терпит убыток в 5 тыс. руб. При изготовлении качественной детали при-

быль предприятия 12 тыс. руб. За день изготавливаются два детали. Составить закон

распределения случайной величины дневной прибыли предприятия, найти математиче-

ское ожидание.

10.4. Среди 10 билетов 5 выигрышных. Составить закон распределения случай-

ной величины количества выигрышных билетов из трех взятых наугад, найти матема-

тическое ожидание.

10.5. На соревнованиях по ловле рыбы рыбаку дается три попытки поймать оку-

ня. Случайная величина X – число пойманных окуней. Вероятность поймать окуня 0,7.

Найти: M(X); D(X); σx; p(1 < X < 3).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана форму-

лой

2/,1

;2/0,cos

;0,0

)(

x

xBxA

x

xF

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], P{ π/40 X }.

218

11.2. Дана плотность распределения случайной величины X xx ee

axf

)( .

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) вероятность

(0 X ).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с

плотностью f(x) =

. 0,

;<1 ,

1; 0,

2

2

ex

exx

b

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (1; 2).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. 1,

;<1 ,1)(8

1 1; 0,

3

ax

axx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1,5; 2,5).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Самолеты из Москвы во Владивосток летают строго по расписанию через

каждые 10 часов. Найти вероятность того, что пассажир, приехав в аэропорт, будет

ждать менее 1 часа.

12.2. Гарантия на купленные в магазине часы 1 год. Среднее время работы

без поломок этих часов – 2 года. Найти вероятность того, что часы не придется возвра-

щать в магазин по гарантии.

219

12.3. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Ее математи-

ческое ожидание и дисперсия соответственно равны M(X)= 10, D(X) = 16. Найти веро-

ятность попадания X в интервал (2;13).

12.4. Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомо-

биля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением σ 16 мес.

Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сде-

лать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае

ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется

нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать

гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275 %

проданных автомобилей?

12.5. Вес собаки породы лабрадор в питомнике в среднем составляет 60 кг

со средним квадратичным отклонением 7 кг. Найти вероятность того, что вес одного

наугад взятого лабрадора составляет: а) от 50 до 70 кг; б) не более 55 кг.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,85. Оцените при помощи не-

равенства Чебышева вероятность того, что из 400 посеянных семян число взошедших

будет заключено в пределах от 300 до 380.

13.2. Найдите с помощью ЦПТ вероятность того, что среди 800 новорожденных

детей будет от 370 до 430 мальчиков. Считать вероятность рождения мальчика 0,5.

13.3. В среднем каждая тридцатая видеокассета оказывается с браком. Почему

нельзя с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 900 кассет

число бракованных окажется в пределах от 20 до 35? Как надо изменить правую грани-

цу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу с из-

мененной правой границей. Найти ту же вероятность с помощью следствия из инте-

гральной теоремы Муавра – Лапласа и объяснить различие полученных результатов.

13.4. Во время каникул Петя работал в предвыборном штабе кандидата в депута-

ты, который проводил выборочный опрос избирателей. Примерное распределение го-

лосов было известно: по 40 % избирателей «за» и «против» кандидата, остальные воз-

держались. Сколько нужно опросить людей, чтобы с вероятностью не меньше 0,9, га-

рантировать отклонение процента голосов, отданных за кандидата при выборочном оп-

росе, от истинного мнения избирателей не более чем на 2 % от всего электората?

220

9 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 3XP .

X 1 2 3 4

P 0,1 а 0,3 0,2

10.2. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 5 красных. Из этой коробки

наудачу извлекаются 3 карандаша. Построить ряд распределения, найти функцию рас-

пределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа крас-

ных карандашей в выборке. Найти вероятность того, что в выборке будет: а) хотя бы

один красный карандаш б) менее двух красных карандашей.

10.3. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов

остальных и равна 0,2. Испытано 9 приборов. Случайная величина Х – число отказав-

ших приборов. Найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения и ее график;

3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 3XP .

10.4. Некоторый ресторан славится хорошей кухней. Управляющий ресторана

хвастает, что в субботний вечер в течение получаса подходит до 9 групп посетителей.

Составьте ряд распределения возможного числа групп посетителей ресторана в течение

получаса; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределе-

ния. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее гра-

фик. Чему равна вероятность того, что 3 или более групп посетителей прибудут в рес-

торан в течение 10-минутного промежутка времени?

10.5. В цирке медведь должен прокатиться на самокате по арене, не падая, три

круга. Случайная величина X – число кругов, пройденных без падения. Вероятность

упасть 0,4. Найти: M(X); D(X); σx; p(1 < X < 3).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Дана плотность распределения

].;1[,0

];;1[,/)(

ex

exxAxf

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], P

eXe

4

3

2

221

11.2. Случайная величина X подчинена «закону равнобедренного треугольника»

на участке – a; a.

Найти: а аналитическое задание f (x); б) математическое ожидание М(X), дис-

персию D(X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с

плотностью f(x) =

.xbe

x

x <0 ,

0; 0,

3

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; 1).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. 1,

;<0 ,2π

sin22 0; 0,

ax

axxx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (–π/2; π/2).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–1;4]. Запи-

сать ее функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины

в интервал (0; 2).

222

12.2. Время безотказной работы дискеты 30 дней. Случайная величина X – время

работы дискеты. Найти вероятность того, что дискета проработает в течение 33 дней.

12.3. Производится расчет себестоимости некоторого сложного изделия без сис-

тематических ошибок. Случайные ошибки расчета подчинены нормальному закону

распределению со средним квадратическим отклонением σ = 15 у. е. Найти вероятность

того, что расчет себестоимости будет произведен с ошибкой, не превосходящей по аб-

солютной величине 10 у. е.

12.4. При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разлива-

ет определенное число унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную емкость. Число

разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зави-

сящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппара-

том, имеет стандартное отклонение σ 0,4 унции. Пусть емкости объемом в 8 унций

наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат,

чтобы не более 5 % емкостей оказалось переполненными?

12.5. При рождении вес ребенка в среднем составляет 3300 г. Фактически вес

имеет отклонение 250 г. Определите вероятность того, что родившейся ребенок будет

весить: а) от 3200 до 3500 г; б) не менее 3600 г.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. В среднем 10 % работоспособного населения некоторого региона—

безработные. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уро-

вень безработицы среди обследованных 10 тыс. работоспособных жителей города бу-

дет в пределах от 9 до 11 %.

13.2. Найдите такое число k, что с вероятностью приближенно равной 0,9 можно

было бы утверждать, что число мальчиков среди 900 новорожденных больше k. Решить

задачу, используя ЦПТ.

13.3. Даны n -независимых неотрицательных случайных величин Х1, Х2, …, Хn

c математическим ожиданием M(Xi) = 1 и дисперсией D(Xi) = 0,5 (i = 1, …, n). C помо-

щью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что среднее арифметическое

этих случайных величин не превзойдет величины, равной двум.

13.4. В дачном поселке 2500 жителей, каждый из которых примерно шесть раз

в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок случайным образом и независимо

от других жителей. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он

переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).

223

10 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 1XP .

X –3 –1 3 5

P 0,1 а 0,3 0,4

10.2. Стрелок, имеющий 4 патрона, стреляет последовательно по двум мишеням,

до поражения обеих мишеней или пока не израсходует все 4 патрона. При попадании

в первую мишень стрельба по ней прекращается, и стрелок начинает стрелять по вто-

рой мишени. Вероятность попадания при любом выстреле 0,8. Построить ряд распре-

деления, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадра-

тичное отклонение числа пораженных мишеней. Найти вероятность того, что будет по-

ражена хотя бы одна мишень

10.3. Вероятность того, что кредит размером до 3 млн руб. не будет возвращен,

равна 0,04. Для кредита размером свыше 3 млн руб. эта вероятность равна 0,3. Банк вы-

дал два кредита: 1 млн и 3500 тыс. рублей. Составить закон распределения случайной

величины-числа невозвращенных кредитов из этих выданных. Найти ее математиче-

ское ожидание.

10.4. Вероятность повышения цен на сыр равна 0,5; на молоко – 0,3, на масло –

0,1. Составить закон распределения случайной величины-числа товаров, на которые

могут повысить цены, найти ее математическое ожидание.

10.5. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более

четырех выстрелов. Составить закон распределения X – числа промахов, если вероятность

попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Определить M(X), D(X), σx, F(x).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

[.;1],1

];1;0],

];0;],0

)( 3

x

xBAx

x

xF

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], P{0 < X 2}.

224

11.2. Случайная величина X распределена по закону 21

)(x

axf

, при

x .

Найти: а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) вероятность попа-

дания случайной величины X на отрезок –11 г) выяснить, существует ли M(X)

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

3. 0,

3;<1 ,1)(

; 1 0, 2

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; 2).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. 1,

;<π ),cos(12

1 ; 0,

ax

axx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (–π/2; 0).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Патрульная машина ДПС проезжает около одного и того же магазина через

каждые 2 часа. Найти вероятность того, что патрульная машина проедет около данного

магазина не менее чем через 10 минут после совершения ограбления.

12.2. Непрерывная случайная непрерывная величина X распределена по показа-

тельному закону с λ = 2. Найти вероятность попадания X в интервал (0; 3).

225

12.3. Случайная величина X распределена нормально с M (X) = 1, D(X) = 0,25.

Найти, на какую величину значения случайной величины X отличаются от математиче-

ского ожидания с вероятностью 0,997.

12.4. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получа-

ет по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная вели-

чина со средним квадратическим отклонением σ 560 и неизвестным математическим

ожиданием. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найдите

ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

12.5. Случайная ошибка измерения подчинена нормальному закону с парамет-

рами (0; 20). Найти вероятность того, что при двух независимых измерениях ошибка

хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Пусть всхожесть семян некоторого сорта растений составляет 70 %. Ис-

пользуя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что при посеве 10 тыс. се-

мян отклонение доли взошедших от вероятности того, что взойдет каждое из них, не

превзойдет по абсолютной величине 0,01.

13.2. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70 % числа заложенных

яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью 0,95 ожидать, что отклонение

числа вылупившихся цыплят от их математического ожидания не превышало по абсо-

лютной величине 50? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Продолжительность горения лампочки является случайной величиной,

дисперсия которой не превышает 10 000. Пользуясь теоремой Чебышева, оценить наи-

большее отклонение средней арифметической продолжительности горения 5 000 лам-

почек от средней арифметической их математических ожиданий, если результат необ-

ходимо гарантировать с вероятностью не меньше 0,9.

13.4. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех

каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью

0,01. Найти вероятности событий: в принятом тексте из 1100 цифр будет меньше

20 ошибок; будет ровно 7 ошибок.

226

11 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 3XP .

X –1 1 2 4

P 0,2 0,3 0,4 а

10.2. Из ящика, содержащего 4 годных и 3 бракованных детали, наугад извлека-

ют 4 детали. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математи-

ческое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа вынутых годных деталей.

Найти вероятность того, что годных деталей будет: а) менее трех; б) хотя бы одна.

10.3. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака составляет

0,1. Передано сообщение из трех знаков. Случайная величина Х – число «искажений».

Найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х];

5) )σ( X ; 6) P{–1 2 x }.

10.4. Хорошим считается руководитель, принимающий не менее 70 % правиль-

ных решений. Такому управляющему банком предстоит принять решения по 4-м важ-

ным вопросам банковской политики. Считая вероятность принятия правильного ре-

шения постоянной, составьте ряд распределения возможного числа правильных реше-

ний управляющего; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого

распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и по-

стройте ее график. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее 3

правильных решений?

10.5. На прием к травматологу записаны три человека. Вероятность того, что па-

циенту потребуется сделать снимок, равна 0,6. Определить закон распределения случай-

ной величины X – числа пациентов, которым необходимо сделать снимок; M(X); D(X); σx.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

2, [ 1;1]Дана плотность распределения:

0, [ 1;1]

Ax x ;f ( x )

x .

11.1.

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], P{0 < X 2 }.

227

11.2. Случайная величина X подчинена показательному закону распределения

с параметром > 0

. при0,

0;при,λ

λ)(

х

хх

еxf

Найти а) функцию распределения F (x); б) вероятность того, что случайная ве-

личина X примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

4. 0,

4;<0 ,

0; 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; 2).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

;

. 1,

<2 ,2)(27

1 2; 0,

3

ax

axx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (3; 4).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. На бурение одной нефтяной скважины уходит 5 часов работы. Найти веро-

ятность того, что инженер, приехавший к месту бурения, будет ждать конца работы

менее 1 часа, среднее и среднеквадратическое времени ожидания.

12.2. Время безотказной работы станка в среднем 200 часов. Найти вероятность

того, что станок: а) проработает от 100 до 150 часов; б) не выйдет из строя в течение

70 часов.

228

12.3. Стоимость акции предприятия на рынке подчиняется нормальному распре-

делению. Средняя стоимость ее равна 50 у. е., дисперсия равна 1 у. е. Найти вероят-

ность того, что удастся приобрести акцию предприятия по цене не меньше 49,5 у. е.

и не больше 50,5 у. е.

12.4. Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен

по нормальному закону со средним значением, равным 134 786 ед. продукции в неде-

лю, и стандартным отклонением – 13 тыс. ед. Найдите вероятность того, что ежене-

дельный выпуск продукции: а) превысит 150 тыс. ед.; б) окажется ниже 100 тыс. ед.

в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск

продукции стал ниже 80 тыс. ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном

падении выпуска продукции, а профсоюз утверждает, что выпуск продукции находится

в пределах принятого уровня ( 3σ ). Можно ли доверять профсоюзу?

12.5 Деталь считается высшего сорта, если отклонение ее длины от нормы не

превосходит по абсолютной величине 0,45 мм. Случайное отклонение от нормы подчи-

нено нормальному закону с параметрами (0,3). Определить среднее число деталей

высшего сорта, если изготовлено 2 детали. Измерения длин деталей независимы.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди

800 новорожденных детей будет от 370 до 430 мальчиков. Считать вероятность рожде-

ния мальчика 0,5.

13.2. Игральная кость подбрасывается 500 раз. Оцените, используя ЦПТ, вероят-

ность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6 −0,05;1/6 +0,05).

13.3. Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20 градусов.

Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха

будет: а) не более 15 градусов; б) более 20 градусов.

13.4. Вероятность рождения мальчика составляет 0,512. Найти вероятности со-

бытий: а) из 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик; б) разница между количест-

вом мальчиков и девочек из 100 новорожденных не превысит 10.

229

12 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 4XP .

X 2 3 4 5

P 0,1 0,3 а 0,1

10.2. Имеется набор из четырех карточек, на каждой из которых написана одна

из цифр 1, 2, 3, 4. Из набора наугад извлекают карточку, затем ее возвращают обратно,

после чего наудачу извлекают вторую карточку. Построить ряд распределения, найти

функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклоне-

ние случайной величины, равной сумме чисел, написанных на вынутых карточках.

Найти вероятность того, что эта сумма: а) не превзойдет числа 4; б) будет не менее 6.

10.3. Вероятность того, что кредит размером до 2 млн руб. не будет возвращен,

равна 0,25. Для кредита размером свыше 2 млн руб. эта вероятность равна 0,01. Банк

выдал два кредита: 100 тыс. и 3 млн руб. Составить закон распределения случайной ве-

личины числа возвращенных кредитов из этих выданных. Найти ее математическое

ожидание.

10.4. При производстве детали вероятность брака равна 0,1. За день изготавли-

ваются три детали. Составить закон распределения случайной величины количества

изготовленных бракованных деталей. Найти математическое ожидание.

10.5. Имеется 7 лампочек, каждая из них с вероятностью 0,4 имеет дефект. Лам-

почка ввинчивается в патрон и включается ток; при включении тока дефектная лампоч-

ка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Построить ряд распределения X

– числа испробованных лампочек и найти M(X); D(X); σx.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

;

[.;1],1

]1;0[,5,0

[;0,],0

)( 2

x

xxAx

x

xF

Найти: A, f(Х), М[Х], D[Х], P{0 2 X }.

230

11.2. Случайная величина X подчинена закону Лапласа | | /( ) x uf x a e , где

u 0. Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X) и дисперсию D (X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =2

0, 2;

( 2) , 2< 5;

0, 5.

x

b x x

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (3; 4).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. ,1

;<2 ,2

23

;2 0, 2

ax

axxx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2; 2,25).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Ребро куба X измерено приближенно, причем а ≤ X ≤ b. Рассматривая реб-

ро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (a; b),

найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

12.2. Случайная величина X распределена по показательному закону с парамет-

ром λ = 1/5. Что вероятнее: в результате испытания X окажется меньше 5 или больше 5?

Записать функцию распределения случайной величины X.

231

12.3. Случайная величина X распределена по нормальному закону с M(X) = 9,

D(X) = 25. Записать ее плотность распределения, найти вероятность попадания X в ин-

тервал (5; 14).

12.4. Почтовое отделение быстро оценивает объем переводов в рублях, взвеши-

вая почту, полученную утром каждого текущего рабочего дня. Установлено, что если

вес почтовых отправлений составляет N кг, то объем переводов в рублях есть случай-

ная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 160N

и стандартным отклонением 20N кг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес

почтовых отправлений составит 150 кг, объем переводов в рублях будет находиться

в пределах: а) от 21 до 27 тыс. руб.; б) более 28 500 руб.; в) менее 22 тыс. руб.

12.5. Расход бензина автомобиля ВАЗ 2107 является случайной величиной, рас-

пределенной нормально со средним значением 9 л на 100 км со средним квадратичным

отклонением 0,6 л. Определить процент автомобилей: а) имеющих расход бензина

больше 9 л на 100 км; б) имеющих расход бензина меньше 7 л на 100 км.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70 % от числа заложен-

ных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятность, не меньшей 0,95, ожидать,

что отклонение числа вылупившихся цыплят от их математического ожидания не пре-

вышало по абсолютной величине 20? Решить задачу, используя неравенство Чебышева.

13.2. В среднем 10 % работоспособного населения некоторого региона – безра-

ботные. Найдите с помощью ЦПТ вероятность того, что уровень безработицы среди

обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11 %.

13.3. Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантий-

ного срока, равна 0,8. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

из 600 проданных телевизоров доля таких, которые не потребуют гарантийного ремон-

та, будет от 0,78 до 0,82. Решить задачу, используя следствие из интегральной теоремы

Муавра – Лапласа, и объяснить различие в полученных результатах.

13.4. Отдел технического контроля проверяет наудачу качество отобранных 900

деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти наименьший интер-

вал, симметричный относительно 810 деталей, в котором с вероятностью не меньше

0,9544, будет заключено число стандартных деталей.

232

13 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 1XP .

X –1 1 2 4

P а 0,3 0,4 0,1

10.2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют в цель. Вероятность попа-

дания каждого стрелка в цель равна 0,6. Построить ряд распределения, найти функцию

распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа

попаданий, если каждый стрелок делает только один выстрел. Найти вероятность того,

что: а) будет хотя бы одно попадание; б) будет не более одного попадания.

10.3. Вероятность повышения цен на хлеб в текущем месяце равна 0,9; на масло

– 0,6. Составить закон распределения случайной величины-числа товаров, на которые

будут повышены цены (из двух рассматриваемых), найти ее математическое ожидание.

10.4. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивых.

Тщательной проверке подвергается 15 случайно выбранных авизо. Составьте ряд рас-

пределения числа фальшивых авизо, которые могут быть выявлены в ходе проверки;

постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запи-

шите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему

равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее 2 фальшивок?

10.5. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, выбраны

случайным образом для проверки их качества 3 изделия. Найти: M(X); D(X); σx, где X –

число нестандартных изделий среди выбранных.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения случайной величины 21

)(х

Axf

. Найти: А,

F(Х), М[Х], D[Х], P{0 1 х }.

233

11.2. Функция распределения случайной величины X имеет вид

.,0

;0,1)(

0

03

3

0

xx

xxx

x

xF

Найти математическое ожидание М (X) и дисперсию D (X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

2

0 0;

, 0.1

,x

bx

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (–1; π/4).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

. 1,

;<0 ,3π

sin33 0; 0,

ax

axxx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; π/2).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Посетителя ресторана может обслужить официант, который принимает за-

казы с интервалом в 15 минут. Найти вероятность того, что вновь подошедшего посе-

тителя обслужат менее чем за 5 минут.

12.2. Время безотказной работы электродвигателя распределено по показатель-

ному закону f(t) = 0,023e – 0,023t

, где t – время, ч. Найти вероятность того, что элемент

проработает безотказно 75 часов. Найти моду и медиану для времени безотказной ра-

боты.

234

12.3. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Ее математи-

ческое ожидание и среднеквадратическое отклонение соответственно равны M(X) = 15;

σ = 6. Найти вероятность попадания X в интервал (0; 10).

12.4. Менеджер ресторана по опыту знает, что 70 % людей, сделавших заказ

на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять

20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероят-

ность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места?

12.5. Изделие считается высшим сортом, если его вес не превосходит по абсо-

лютной величине эталона более чем на 10 г. Ошибка взвешивания подчинена нормаль-

ному закону с параметрами (0,20). Найти среднее число изделий высшего сорта, если

изготовлено 3 изделия. Взвешивание деталей производится независимо.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Игральная кость подбрасывается 500 раз. Оцените вероятность того, что

частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6 −0,05; 1/6 +0,05) (использовать

неравенство Чебышева).

13.2. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока суммарное число очков

не превысит 700. Оцените вероятность того, что для этого потребуется более 210 бро-

саний. Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Ежедневный расход цемента на стройке – случайная величина, математи-

ческое ожидание которой равно 10 т, а среднее квадратическое отклонение – 2 т. Оце-

нить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что в ближайший день рас-

ход цемента на стройке отклонится от математического ожидания не более чем на 3 т

(по абсолютной величине).

13.4. В страховой компании застраховано 5000 автомобилей. Вероятность по-

ломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,009. Каждый владелец застрахо-

ванного автомобиля платит в год 30$ страховых, и в случае поломки автомобиля в ре-

зультате аварии получает от компании 500$. Найти вероятность того, что по истечении

года компания потерпит убыток.

235

14 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 2XP .

X 0 2 4 6

P 0,5 0,3 а 0,1

10.2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют каждый по своей мишени

один раз. Вероятности попадания при одном выстреле у стрелков равны соответственно

1 2 30,3; 0,6; 0,7.p p p Построить ряд распределения, найти функцию распределе-

ния, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа пораженных

мишеней. Найти вероятность того, что пораженных мишеней будет: а) хотя бы одна;

б) менее двух.

10.3. В библиотеке есть только техническая и математическая литература. Веро-

ятность взять техническую книгу – 0,8. Случайная величина Х – число читателей (если

всего читателей 5), взявших математическую книгу. Найти: 1) ряд распределения,

2) М[Х], 3) D[Х], 4) )σ( X , 5) P{–1 3 x }.

10.4. Вероятность того, что кредит размером до 1 млн руб. не будет возвращен,

равна 0,25. Для кредита размером свыше 1 млн руб. эта вероятность равна 0,03. Банк

выдал три кредита: 400 000, 1 200 000, 5 млн руб. Составить закон распределения слу-

чайной величины-числа невозвращенных кредитов из этих выданных. Найти математи-

ческое ожидание.

10.5. Необходимо заменить перегоревшую лампочку. Имеется всего четыре лам-

почки. Для каждой вероятность того, что она загорится, равна 0,9. Составить ряд распреде-

ления случайной величины X – числа лампочек, которые придется вкручивать в патрон,

пока не загорится свет или не закончатся лампочки. Вычислить M(X), D(X), σx, F(x).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана форму-

лой ( ) arctg .F x A x B

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], P{–1 1 X }.

236

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

).,(при0,

);,(при,

π

1

)( 22

aax

aax

xaxf

Найти: F(x), М(X), D(X); (X) и вероятность P(0 < X < 2a).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

2. 0,

2;<0 ),(4

0; 0, 3

x

xxxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (1; 3).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.3 ,1

;3 ,0

2

xx

a

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (5; 10).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–0,1;5,3]. Най-

ти вероятность попадания случайной величины X в интервал [3; 4].

12.2. Среднее время, в течение которого аккумулятор сотового телефона нахо-

дится в заряженном состоянии, 32 часа. Найти вероятность того, что энергии, запасен-

ной в элементе, хватит на двое суток.

237

12.3. Детали изготавливаются автоматически. Их средняя масса 1,06 кг. Извест-

но, что 5 % деталей имеют массу меньше 1 кг. Каков процент деталей, масса которых

превышает 940 г?

12.4. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак – нормально распре-

деленная случайная величина с математическим ожиданием 11,2 % и стандартным от-

клонением 0,6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого кор-

ма доля протеина составляла не меньше x1, но не более x2 процента. Найдите 1x и 2x .

12.5. Толщина обшивки шлюпки подчинена нормальному закону с параметрами

(10; σ ). Найти σ , при котором вероятность попадания обшивки в интервал (10; 12) бу-

дет равна 0,42.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай при-

ходится примерно на каждый пятый договор. Оцените с помощью неравенства Чебы-

шева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероят-

ностью не менее 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится

от 0,2 по абсолютной величине не более чем на 0,01.

13.2. Пусть всхожесть семян некоторого сорта растений составляет 70 %. Ис-

пользуя ЦПТ, найти вероятность того, что при посеве 10 тыс. семян отклонение доли

взошедших от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по абсолют-

ной величине 0,01. Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Количество воды, используемое предприятием в течение суток, в среднем

равно 200 м3. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды на этом

предприятии: а) не превысит 350 м3; б) превысит 300 м

3.

13.4. В страховой компании застраховано 5 тыс. автомобилей. Вероятность по-

ломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,009. Каждый владелец застрахо-

ванного автомобиля платит в год 30$ страховых, и в случае поломки автомобиля в ре-

зультате аварии получает от компании 500$. Найти вероятность того, что по истечении

года компания получит прибыль не менее 20 000$.

238

15 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная величина Х задана рядом распределения. Найти: 1) а;

2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 20 XP

Х –3 –1 0 2 3 5

Р 0,15 а 0,3 0,05 0,10 0,20

10.2. Опыт состоит из трех независимых подбрасываний одновременно трех мо-

нет. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое

ожидание и среднее квадратичное отклонение числа одновременного выпадения двух

гербов. Найти вероятность того, что два герба одновременно выпадут хотя бы раз.

10.3. Кость бросают 10 раз. Случайная величина Х – число выпадений шестерки

в предыдущей задаче. Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее

график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 110 XP .

10.4. В течение семестра преподаватели проводят консультации по вопросам,

которые остались неясными для студентов. Преподаватель, проводящий консультации

по статистике, заметил, что в среднем 8 студентов посещают его за час консультаци-

онного времени, хотя точное число студентов, посещающих консультацию в опреде-

ленный день, в назначенный час – случайная величина. Составьте ряд распределения

числа студентов, посещающих консультации преподавателя по статистике в течение

часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде

функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность

того, что 3 студента придут на консультацию в течение определенного получаса?

10.5. Производится ряд выстрелов с вероятностью попадания 0,1. Стрельба ве-

дется до первого попадания, но не свыше пяти раз. Построить ряд распределения для

случайной величины X – количество выстрелов до первого попадания. Найти: F(x),

M(Х), D(Х), σx, p(1< Х < 3).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения случайной величины имеет вид

[.1;1],0

[;1;1],)1()(

12

x

xxAxf

239

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], P{–2 4 X }.

11.2. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

, при 0;

( ) , при 0 1;

, при 1.

A x

F x B x x

C x

Найти: а) коэффициенты A, B, C; б) плотность распределения f (x);

в) вероятность (0 X 1/2); г) математическое ожидание М (X) и дисперсию D (X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.3π 0,

;3π<

6π ,sin

;6π 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (π/4; π/2).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.2 ,1

;2 ,0

2x

x

a

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 3).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Среднее время решения контрольной работы по теории вероятностей для

студента с хорошей успеваемостью равно 80 минутам. Найти вероятность того, что

студент будет решать контрольную работу от 65 до 75 минут.

12.2. Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью λ =

0,5. Какова вероятность, что в результате испытания X примет значение больше 1?

240

12.3. Производится расчет себестоимости перевозок из пункта A в пункт B. Слу-

чайные ошибки расчета подчинены нормальному распределению со средним квадрати-

ческим отклонением σ = 20 у. е. Найти вероятность того, что расчет себестоимости бу-

дет произведен с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 у. е.

12.4. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормаль-

но распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый

вес больше чем 4,9 т и 25 % – имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый сред-

ний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

12.5. Средняя длина морского угря, отлавливаемого в районах Средней Север-

ной Атлантики, равна 120 см со средним квадратическим отклонением 5 см. Опреде-

лить: а) процент отлавливаемой рыбы длиной от 90 до 110 см; б) процент отлавливае-

мой рыбы, длина которой более 130 см.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Студент получает на экзамене оценку «отлично» с вероятностью 0,2; «хо-

рошо» – с вероятностью 0,4; «удовлетворительно» – с вероятностью 0,3 и «неудовле-

творительно» – с вероятностью 0,1. За время обучения студент сдает 40 экзаменов.

Найдите вероятность того, что его суммарный балл будет лежать в пределах от 140 до

156 (использовать неравенство Чебышева).

13.2. Урожайность куста картофеля составляет 0 кг с вероятностью 0,1; 1 кг –

с вероятностью 0,2; 1,5 кг – с вероятностью 0,2; 2 кг – с вероятностью 0,3 и 2,5 кг –

с вероятностью 0,2. Какое наименьшее число клубней надо посадить, чтобы с вероят-

ностью не менее 0,975 урожай был не менее 1 тонны? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. В среднем 70 % посетителей магазина делают покупку. Оценить с помо-

щью неравенства Чебышева вероятность того, что из 1000 человек, посетивших мага-

зин, число покупателей, сделавших покупку, заключено в границах от 620 до 780

(включительно). Найти вероятность того же события с помощью теоремы Муавра –

Лапласа и объяснить различие результатов.

13.4. Сколько раз нужно подбросить монету N, чтобы с вероятностью не меньше

0,975 утверждать, что число выпадения герба попадет в интервал (0,4N; 0,6N)?

241

16 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 1XP .

X –1 0 1 2

P 0,3 0,4 0,1 а

10.2. На пути автомобиля 5 светофоров, каждый из них автомобиль проезжает

с вероятностью 0,6. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, ма-

тематическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа светофоров, которые

автомобиль проезжает до первой остановки. Найти вероятность того, что до первой ос-

тановки автомобиль проедет: а) хотя бы один светофор; б) более трех светофоров.

10.3. Пять лампочек включены в цепь последовательно. Вероятность перегореть

для любой лампочки при повышении напряжения равна 0,1. Случайная величина Х –

число перегоревших лампочек. Найти: 1) ряд распределения; 2) М[Х]; 3) D[Х]; 4) )σ( X ;

5) P{Х3}.

10.4. Вероятность того, что кредит размером до 1 млн руб. не будет возвращен, рав-

на 0,3. Для кредита размером свыше 1 млн руб. эта вероятность равна 0,01. Банк выдал три

кредита: 900 тыс., 1,5 и 1 млн руб. Составить закон распределения случайной величины

числа возвращенных кредитов из этих выданных. Найти математическое ожидание.

10.5. На тренировке два хоккеиста независимо друг от друга бьют по пустым во-

ротам с красной линии по одному разу. Вероятность попадания шайбы первого хоккеи-

ста 0,8, а второго – 0,76. Случайная величина X – суммарное число попаданий хоккеи-

стов в ворота. Написать ряд распределения данной случайной величины и найти M(X),

D(X), σx, р(1< X < 2).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

0, , 1 ;

( ) arctg , 1; 1 ;

1, 1; [.

x

F x A x b x

x

242

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], .20 XP .

11.2 Плотность распределения случайной величины X имеет вид

π/2).π/2,(при0,

π/2);π/2,(при,cos)(

x

xxaxf

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X) и дисперсию D (X); г) вероятность ).4

3π(0 XP

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

2. 0,

2;<1 ,

1;x 0,

x

xbx

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; 1,5).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

1. 0,

;<1 ),(1 1

x

xea x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 3).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. На Северный поселок маршрутное такси отправляется с интервалом

в 40 минут. Найти вероятность того, что человек сядет в маршрутное такси менее чем

за 25 минут.

243

12.2. Время ожидания у бензоколонки АЗС является случайной величиной X,

распределенной по показательному закону со средним временем ожидания

M (X) = 6 минут. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (3; 9).

12.3. Ошибка взвешивания – нормально распределенная случайная величина

с дисперсией 196 г. Весы заранее настроены на обвес 80 г. Найти вероятность того, что

ошибка взвешивания находится в интервале от 50 до 100 г.

12.4. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определен-

ной области Заполярья есть случайная величина, подчиненная нормальному закону с

параметрами (0,1). Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения

в определенный момент времени будет больше чем 2,4?

12.5. В листьях мяты в период массового ее цветения содержится 2,6 % эфирно-

го масла со стандартным отклонением 0,2 %. Определить вероятность того, что содер-

жание процента эфирного масла в листьях мяты, собранных на определенном участке:

а) больше чем 2,7 %; б) не более 2,5 %.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1. Сколько надо взять

деталей, чтобы среднее арифметическое их длин составило не менее 49,5 и не более

50,5 см с вероятностью больше 0,95 (использовать неравенство Чебышева)?

13.2. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай при-

ходится примерно на каждый пятый договор. Оцените с помощью ЦПТ необходимое

количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно

было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,2 по абсолютной вели-

чине не более чем на 0,01.

13.3. Вероятность того, что пара обуви будет продана, равна 0,8. Пользуясь не-

равенством Чебышева, оценить вероятность того, что из 400 пар обуви будет продано

от 300 до 340 пар. Вычислить вероятность того же события, используя следствие из ин-

тегральной теоремы Муавра – Лапласа.

13.4. Вероятность того, что интересующая селекционеров ценная культура не

прорастает в данных условиях, равна 0,2. Какое количество семян этой культуры (N)

следует посадить, чтобы с вероятностью 0,8664 ожидать, что отклонение числа не про-

росших культур от 0,2N по абсолютной величине не превзошло 0,05N.

244

17 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 1XP .

X –1 0 1 2

P 0,3 0,2 а 0,1

10.2. Из урны, в которой было 4 белых и 2 черных шара, переложен один шар

в другую урну, в которой находилось 3 черных шара и один белый. После перемешивания

из последней урны вынимают 3 шара. Построить ряд распределения, найти функцию

распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа

черных шаров, вынутых из второй урны. Найти вероятность того, что из нее будет извле-

чено: а) по крайней мере, два черных шара; б) не более двух черных шаров.

10.3. Две кости одновременно бросают три раза. Случайная величина Х – выпа-

дение «двойной шестерки». Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения

и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) P{–1 2 X }.

10.4. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным

образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3 % счетов содержат ошибки, составьте

ряд распределения правильных счетов. Найдите числовые характеристики этого рас-

пределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте

ее график. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой?

10.5. У команды «Спутник» вероятность реализации численного большинства

равна 0,4. В течение одного периода «Спутник» получил возможность реализовать

3 численных перевеса. Случайная величина X – число шайб, заброшенных «Спутни-

ком», когда команда имела численное большинство. Написать ряд распределения X,

найти M(X); D(X); σx.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения случайной величины имеет вид

.2;1,0

;2;1,1)(

x

xxAxf

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], 40 XP .

245

11.2. Дана функция

2

0, при 0;

( ) λ(3 ) , при0 3;

0, при 3.

х

f x x x x

x

Найти а) при каком функция f (x) является плотностью распределения некото-

рой случайной величины X; б) математическое ожидание М (X) и дисперсию D (X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.1 ,0

1;<0 ,

;0 0, 3

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0,25; 8).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.31 1,

;31<0 ,2

0; 0, 2

x

xxxa

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-0,5; 0,25).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–0,5;2,5]. Най-

ти M(X) и D(X). Что вероятнее: в результате испытания X окажется в интервале [0; 1]

или вне этого интервала.

12.2. Среднее время безотказной работы двигателя стиральной машины равно

100 часам. Найти вероятность того, что двигатель безотказно проработает: а) 60−80 ча-

сов; б) 150 часов.

246

12.3. Стоимость турпутевки на рынке подчиняется нормальному распределению.

Средняя стоимость ее равна 500 у. е., среднеквадратическое отклонение равно 10 у. е.

Найти вероятность того, что удастся приобрести турпутевку по цене не меньше

400 у. е. и не больше 500 у. е.

12.4. Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каж-

дая деталь имеет точно установленное значение размера. Деталь, размер которой отли-

чается от установленного размера более чем на 25,0 мм, считается дефектной. Ком-

пания А требует от компании В, чтобы доля брака не превышала 1 % деталей. Если

компания В выполняет требование компании А, то каким должно быть допустимое

максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей

есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

12.5. Производится измерение диаметра вала. Случайная ошибка измерения

подчинена нормальному закону с параметрами (0, δ ). Вероятность того, что измерения

будут произведены с ошибкой, не превышающей абсолютной величины 15 мм, равна

0,8664. Определить δ .

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. При выстреле по мишени стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,3;

в девятку – с вероятностью 0,5; в восьмерку – с вероятностью 0,1; в семерку – с вероят-

ностью 0,05 и в шестерку – с вероятностью 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова

вероятность того, что он набрал не менее 850 и не более 940 очков (использовать нера-

венство Чебышева)?

13.2. Студент получает на экзамене отлично с вероятностью 0,2; хорошо – с ве-

роятностью 0,4; удовлетворительно – с вероятностью 0,3 и неуд – с вероятностью 0,1.

За время обучения студент сдает 40 экзаменов. Найдите вероятность того, что его сум-

марный балл будет больше 160. Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Вероятность того, что в библиотеке имеется необходимая читателю книга,

равна 0,7. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того,

что из 500 читателей число нашедших нужную книгу в библиотеке окажется от 330 до

375? Как следует изменить левую границу, чтобы применение неравенства Чебышева ста-

ло возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

13.4. Сколько раз (N) нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 ожи-

дать, что отклонение числа выпадения герба от 0,5N оказалось по абсолютной величине

менее 0,01N.

247

18 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) σ( );X 6) 1XP .

X –2 –1 2 4

P а 0,4 0,2 0,1

10.2. Стрелок стреляет по мишени до трех попаданий или до тех пор, пока не из-

расходует все патроны, после чего прекращает стрельбу. Вероятность попадания при каж-

дом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения, найти функцию распределения,

математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа выстрелов, произ-

веденных стрелком, если у стрелка имеется 5 патронов. Найти вероятность того, что стре-

лок произведет, по крайней мере, четыре выстрела.

10.3. Две монеты бросают 5 раз. Случайная величина Х – число появлений

«двойного герба». Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее гра-

фик, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 51 XP .

10.4. Выбирается наугад натуральное число от 1 до 10. Чему равно математиче-

ское ожидание количества делителей выбранного числа?

10.5. Из урны, содержащей 5 черных и 3 белых шара, наудачу извлекают 3 шара.

Написать ряд распределения дискретной случайной величины X – числа черных шаров

среди извлеченных. Найти: F(x), M(X), D(X), σx.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

0.1,

0;1,

1;0,

)(

x

xBxA

x

xF

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], 21 XP .

248

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

;

π/4.при0

π/4x0при,cos

0;при0,

)(2

x

x

A

х

xf

Найти а) коэффициент A; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X); г) вероятность ( / 8 < X < / 4).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.1 ,0

1;<1 ,1

1; 0, 2

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0; 0,5).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

π. 1,

π;<π43 ,cos2

π;43 0,

x

xxa

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; π/3).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Студент с помощью транспортира, цена деления которого один градус, из-

меряет угол треугольника. Какова вероятность при считывании угла сделать ошибку

в пределах ±20 минут, если отсчет округляется до ближайшего целого деления?

249

12.2. Случайная величина X – время безотказной работы подъемного крана. Оп-

ределить вероятность того, что подъемный кран проработает без поломок не менее

7 лет, если средний срок эксплуатации составляет 5 лет.

12.3. Мастерская изготовляет стержни, длина которых представляет собой нор-

мально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 см

и средним квадратичным отклонением 0,4 см. Какую точность длины стержня мастер-

ская может гарантировать в этом случае с вероятностью 0,95?

12.4. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному за-

кону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите ве-

роятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля.

Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 т угля. Найдите

вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.

12.5. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величи-

ны – количество сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, – равно 1 кг.

Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов со-

ставляет от 900 г до 1100 г. Определить среднее квадратичное отклонение расхода сыра

на 100 бутербродов.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. При выстреле по мишени стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,3,

в девятку – с вероятностью 0,5, в восьмерку – с вероятностью 0,1, в семерку – с вероят-

ностью 0,05 и в шестерку – с вероятностью 0,05. Сколько нужно сделать выстрелов

стрелку, чтобы суммарное число очков было не менее 850 и не более 940 очков с веро-

ятностью не менее 0,9 (использовать неравенство Чебышева)?

13.2. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1. Сколько надо взять

деталей, чтобы среднее арифметическое их длин стало не менее 49,5 и не более 50,5 см

с вероятностью, равной 0,95? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Было посажено 500 кустарников, вероятность прижиться каждому из них

равна 0,8. Оценить вероятность того, что приживутся от 340 до 460 кустарников (вклю-

чительно). Вычислить вероятность того же события, используя следствие из интеграль-

ной теоремы Муавра – Лапласа. Пояснить различие результатов.

13.4. Вероятность глагола в тексте 0,09. С вероятностью 0,91 оценить интервал,

симметричный относительно наиболее вероятного значения, в котором находится ко-

личество появления глаголов в тексте из 900 слов.

250

19 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 1XP .

X –1 0 2 4

P а 0,3 0,4 0,1

10.2. Ракетная установка обстреливает две удаленные цели. Вероятность попадания

при каждом выстреле равна 0,6. Цель при попадании уничтожается. Запуск ракет прекра-

щается после уничтожения обеих целей или после использования имеющихся пяти ракет.

Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и

среднее квадратичное отклонение числа запущенных ракет. Найти вероятность того, что

при этом будет запущено: а) не более трех ракет; б) от двух до четырех ракет.

10.3. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятность

отказа каждого из элементов за время T одинакова и равна 0,2. Для выхода устройства

из строя достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми. Случайная вели-

чина Х – число отказов. Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее

график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 31 XP .

10.4. Записи страховой компании показали, что 30 % держателей страховых по-

лисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случай-

ном порядке было отобрано 15 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Составьте ряд

распределения числа предъявленных претензий. Найдите числовые характеристики

этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей

и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 10 человек

потребуют возмещения страховых сумм?

10.5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад

извлекают 3 работы. Найти закон распределения случайной величины X – числа работ,

оцененных на «отлично», среди извлеченных и F(x), M(X), D(X), σx.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения случайной величины имеет вид

.3,)(1

3;0,)(

12xxA

xxf

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], 31 XP .

251

11.2. Случайная величина X распределена по закону «прямоугольного треуголь-

ника» в интервале (0; a). Найти: а) аналитическое задание f(x); б) F(Х), М[Х], D[Х],

в) P{а/2 < X < a}.

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.2π 0,

;2π<0 ,sin

0; 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (–π/2; π/4).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.2 ,1

;2<1 ,)(

;1 0, 2

x

xax

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1,5; 2,5).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибо-

ра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете

будет сделана ошибка: а) меньше 0,02; б) больше 0,06.

12.2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному зако-

ну с λ = 0,5. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интер-

вал (1; 2).

252

12.3. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величи-

ны Х равно 49. Вероятность того, что Х будет находиться в интервале (40; 55) равна

0,596. Определить среднее квадратическое отклонение.

12.4. Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует

выпустить несколько экспериментальных партий покрышек и проверить степень их из-

носа на тестирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количе-

ство каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы

покрышек не окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стандартное отклоне-

ние срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии

и составляет 2 500 миль ( σ 2 500). Если компания хочет, чтобы 80 % выпускаемых

автопокрышек имели срок службы не менее 25 тыс. миль, то какой наименьший сред-

ний срок службы автопокрышек должен быть заложен в расчетах технического отдела?

Считать срок службы автопокрышек нормально распределенным.

12.5. В нормально распределенной совокупности 10 % значений случайной ве-

личины Х меньше 15, а 30 % ее значений больше 18. Найти среднее значение и среднее

квадратичное отклонение.

Задание 12. Предельные теоремы

13.1. Пусть вероятность того, что денежный автомат при опускании одной моне-

ты сработает правильно, равна 0,95. Сколько раз нужно опустить монету в автомат,

чтобы частота случаев правильной работы автомата отклонилась (по абсолютной вели-

чине) от вероятности 0,95 не более чем на 0,01 с вероятностью не менее 0,9 (использо-

вать неравенство Чебышева).

13.2. При выстреле по мишени стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,5;

в девятку – с вероятностью 0,3; в восьмерку – с вероятностью 0,1; в семерку – с вероят-

ностью 0,05 и в шестерку – с вероятностью 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова

вероятность того, что он набрал более 950 очков? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. В среднем 90 % изготовленных деталей стандартные. Используя неравенство

Чебышева, найти число изделий, которое следует изготовить, чтобы с вероятностью

не менее 0,75 можно было утверждать, что отклонение доли стандартных деталей от веро-

ятности для детали быть стандартной не превзойдет 0,02 (по абсолютной величине).

13.4. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь содержит дефект, равна

0,02. Какова вероятность того, что при случайном осмотре 600 деталей этой партии

число появления нестандартных деталей отличается по абсолютной величине от наибо-

лее вероятного значения не более чем на 30?

253

20 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a; 2) функцию распределения и ее график; 3) M[X]; 4) D[Х]; 5) )σ( X ; 6) 8XP .

X 1 3 7 10

P a 1/6 1/3 1/4

10.2. Три ракетные установки стреляют каждая по своей цели независимо друг

от друга до первого попадания, затем прекращают стрельбу. Каждая ракетная установка

имеет две ракеты. Вероятность попадания одной ракеты для первой установки – 0,4; для

второй – 0,5; для третьей – 0,6. Построить ряд распределения, найти функцию распреде-

ления, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа ракетных

установок, у которых осталась неизрасходованная ракета. Найти вероятность того, что бу-

дет хотя бы одна такая установка.

10.3. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака составляет

0,2. Передано сообщение из 5 знаков. Случайная величина Х – число искажений. Найти:

1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х],

5) σ( ),X 6) 1XP .

10.4. Пьяница стоит в точке О на прямой Ох. За время ∆t он делает один шаг

вперед с вероятностью 2/3 и назад с вероятностью 1/3. Считая, что шаги независимы

и все длины 1, найти, где он в среднем окажется через время 10 ∙∆t.

10.5. Оператор забыл последнюю цифру кода, необходимого для входа в компь-

ютерную систему, однако помнит, что она нечетная. Написать ряд распределения для

случайной величины Х – числа сделанных им наборов. Найти: F(x), M(X), D(X), σx,

р (|x|<2,5), р (Х ≥ 4,5).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

.3,1

;30,arctg

;0,0

)(

x

xBxA

x

xF

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], 21 XP .

254

11.2. Дана плотность распределения случайной величины X:

;

3.при0,

30при,3

α

0;при0,

)(

2

x

xx

x

х

xf

Найти а) коэффициент ; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X) и дисперсию D (X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.2π|| 0,

;2π|| ,cos2

x

xxb

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (–π ; 0).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

π.61 1,

π;61<0 ,sin

0; 0,

x

xxa

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (π/12; π/2).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0; 4]. Записать

ее функцию распределения, найти M(X) и D(X).

12.2. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена при-

мерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 минуты. Найти

вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 минут. Опреде-

255

лить долю разговоров, которые длятся менее 1 минуты. Найти вероятность того, что

разговор, который длится уже 10 минут, закончится в течение ближайшей минуты.

12.3. Производится измерение диаметра отверстия втулки без систематических

ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним

квадратическим отклонением σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет

произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

12.4. Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых

клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много времени на выпол-

нение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он вы-

яснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6,6 дня, однако для выполнения

20 % заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая, что время выполнения заказа

есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, определите фактиче-

ское стандартное отклонение времени обслуживания клиентов.

12.5. Шлюпка бракуется, если ее обшивка более чем на 2 мм по абсолютной ве-

личине больше проектной. Отклонение имеет нормальное распределение с (0;1). Найти

вероятность того, что среди двух шлюпок хотя бы одна будет бракованной.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста вероятность смерти на 21-м

году равна 0,006. Сколько 20-летних человек нужно застраховать, чтобы доля умерших

отклонилась от вероятности смерти не более чем на 0,0005 с вероятностью не менее

0,95 (использовать неравенство Чебышева)?

13.2. Пусть вероятность того, что денежный автомат при опускании одной моне-

ты сработает правильно, равна 0,95. Оценить, используя ЦПТ, вероятность того, что

при 2500 опусканиях монет частота случаев правильной работы автомата отклонится

(по абсолютной величине) от вероятности 0,95 не более чем на 0,02.

13.3. В отделе технического контроля проверяют 500 изделий. Вероятность того,

что изделие бракованное, равна 0,5. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9426

будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.

13.4. Известно, что для некоторой профессии вероятность проф. заболевания

равна 0,06. Проведено медицинское обследование 625 сотрудников предприятия. Найти

вероятность того, что число выявленных заболеваний будет: не менее 40; не более 60;

от 40 до 60.

256

21 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 3XP .

X 1 3 5 7

P 0,3 0,1 0,2 а

10.2. Батарея состоит из трех орудий. Вероятность попадания в мишень при од-

ном выстреле равна 0,9 для одного из орудий и 0,6 для каждого из двух других. Наугад

выбирают два орудия, и каждое из них стреляет один раз. Построить ряд распределе-

ния, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное

отклонение числа попаданий в мишень. Найти вероятность: а) хотя бы одного попада-

ния в мишень; б) хотя бы одного непопадания в мишень.

10.3. В урне 2 черных и 6 белых шаров. Шар извлекается из урны, а затем воз-

вращается назад. Произведено 5 извлечений. Случайная величина Х – число белых ша-

ров. Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X],

4) D[Х], 5) )σ( X , 6) P{Х3}.

10.4. Экзаменационный тест содержит 15 вопросов, каждый из которых имеет 5

возможных ответов и только 1 из них верный. Предположим, что студент, который сда-

ет экзамен, знает ответы не на все вопросы. Составьте ряд распределения числа пра-

вильных ответов студента на вопросы теста и постройте его график. Найдите числовые

характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей

и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что студент правильно ответит,

по крайней мере, на 10 вопросов?

10.5. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что станок в течение време-

ни T потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,1; для второго – 0,2; для

третьего – 0,3. Случайная величина X – число станков, не требующих внимания рабочего в

течение времени T. Составить закон распределения и вычислить M(X), D(X), σx, р(2 < X < 3).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения имеет вид

.1;00,

;01;,)(

x

xAxf

257

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], 20 XP .

11.2. Функция распределения случайной величины X задана графиком.

Найти математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.0 ,0

0; ,2

x

xbe x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (–1; 1).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

π. 1,

π;<π21 ,cos–

π;21 0,

x

xxa

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (π/4; 3π/4).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Информация в базе данных обновляется один раз в неделю. Найти вероят-

ность того, что база данных будет обновлена в течение трех дней.

12.2. Электрическая схема состоит из двух последовательно соединенных эле-

ментов. Среднее время безотказной работы каждого элемента 2 и 4 года соответствен-

но. Найти вероятность того, что схема выйдет из строя в течение 6 месяцев.

258

12.3. Полагая, что случайная величина X – средняя ошибка результата усиления

транзистора подчинена нормальному закону с параметрами (0; 20), найти вероятность

того, что из трех независимых результатов усиления транзистора ошибка одного из них

будет по абсолютной величине больше четырех единиц.

12.4. Для поступления в некоторый институт необходимо успешно сдать вступи-

тельные экзамены. В среднем их выдерживают лишь 30 % абитуриентов. Предполо-

жим, что в приемную комиссию поступило 1 889 заявлений. Чему равна вероятность

того, что хотя бы 500 поступающих сдадут все экзамены (наберут проходной балл)?

12.5. Средний диаметр стволов елей, предназначенных для вырубки к новому

году, равен 0,08 м, среднее квадратическое отклонение – 0,01 м. Считая диаметр ствола

случайной величиной, распределенной по нормальному закону, определить: а) размер,

который не превзойдет средний диаметр ствола дерева с вероятностью 0,96; б) процент

стволов, имеющих диаметр свыше 9 см.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Сколько приборов надо взять для эксплуатации, чтобы с вероятностью

не менее 0,97 доля надежных приборов отличалась по абсолютной величине от 0,98

не более чем на 0,1. Известно, что каждый прибор имеет надежность 0,9 (использовать

неравенство Чебышева).

13.2. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м

году равна 0,006. Застрахована группа в 10 тыс. человек 20-летнего возраста, причем

каждый застрахованный внес 1200 рублей. Какую максимальную выплату наследникам

следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховая компания ока-

жется в убытке была бы не больше 0,0228? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,991 утвер-

ждать, что частота появления некоторого события будет отличаться от вероятности его

появления в каждом испытании, равном 0,8, не более чем на 0,001 (по абсолютной ве-

личине)?

13.4. Вероятность неисправного кинескопа марки «Электрон» – 0,15. Найти ин-

тервал, симметричный относительно наиболее вероятного значения, в котором

с Р = 0,95 находится число неисправных, если объем партии 10 тыс. штук.

259

22 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 4XP .

X 2 4 6 8

P 0,2 а 0,2 0,5

10.2. Группа состоит из пяти отличных, пяти хороших и десяти посредственных

студентов. Вероятность правильного ответа на один вопрос экзаменационной программы

равна 0,9 для отличного студента; 0,7 для хорошего студента и 0,6 для посредственного

студента. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое

ожидание и среднее квадратичное отклонение числа правильных ответов на два вопроса

наугад выбранного билета одним случайно выбранным студентом данной группы. Найти

вероятность того, что правильным будет ответ хотя бы на один вопрос.

10.3. Кость бросается 5 раз. Случайная величина Х – число выпадения шестерки.

Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х],

5) )σ( X , 6) 30 XP .

10.4. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания

регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки бухгалтерских проводок.

Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают

примерно 5 % ошибок. Предположим, аудитор случайно отбирает 3 входящих доку-

мента. Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных аудитором. Найдите

числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения ве-

роятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что аудитор обнару-

жит более чем 1 ошибку.

10.5. Программист обслуживает 4 независимо работающих компьютера. Вероят-

ность того, что в течение дня компьютер не потребует внимания программиста, равна

0,6 для первого; 0,7 для второго; 0,8 для третьего; 0,9 для четвертого компьютера. Най-

ти закон распределения случайной величины X – числа компьютеров, не потребовав-

ших внимания программиста; F(x); M(X); D(X); σx, р(0,5 < X < 3,5).

260

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

.;1,1

;1;1,

;1;,0

)( 3

x

xBxA

x

xF

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], 44 XP .

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

π].[0,при0,

π];[0,при,sin)(

x

xxaxf

Найти а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X) и дисперсию D (X); г) вероятность P (/2 < X < 3/2).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.2 ,0

2;<1 ),12(

;1 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (0,5; 1,5).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.2 ,1

;2<0 ,

;0 0, 2

x

xax

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 3).

261

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Самолет прилетает на полярную станцию один раз в месяц. Найти вероят-

ность того, что самолет прилетит на остров в течение двух недель.

12.2. Среднее время службы подшипника грузоподъемностью 950 т составляет 25

тыс. часов. Найти вероятность того, что подшипник прослужит от 18 до 22 тыс. часов.

12.3. Химический завод выпускает керосин номинальной плотности 0,80 кг/м3.

В результате испытаний обнаружено, что практически 98,08 % всего выпускаемого ке-

росина имеет плотность в интервале (0,77; 0,83). Закон распределения плотности бли-

зок к нормальному. Найти вероятность того, что керосин удовлетворяет стандарту, ес-

ли для этого достаточно, чтобы его плотность не отклонялась от номинала более чем

на 0,02 кг/м3.

12.4. Вес арбуза – нормально распределенная случайная величина с неизвестным

математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65 %

фруктов весят меньше, чем 5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного арбуза.

12.5. При уборке урожая за один рейс автопоезд перевозит, в среднем, 20 т зер-

на. Фактический вес перевезенного в каждом рейсе зерна отклоняется от среднего и ха-

рактеризуется 300σ кг. Определить вероятность того, что за рейс автопоезд переве-

зет: а) более 20,5 т зерна; б) менее 20 т зерна.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7.

С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что доля сдавших в срок

все экзамены из 2 тыс. студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.

13.2. Сколько приборов надо взять для эксплуатации, чтобы с вероятностью 0,97

доля надежных приборов отличалась по абсолютной величине от 0,98 не более чем на 0,1.

Известно, что каждый прибор имеет надежность 0,9. Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. В отделе технического контроля проверяют 480 шестеренок. Найти вероятность

того, что отклонение числа бракованных от величины np не превзойдет 8 шестеренок.

13.4. В страховой компании застраховано 5 тыс. автомобилей. Вероятность по-

ломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,009. Каждый владелец застрахо-

ванного автомобиля платит в год 30$ страховых, и в случае поломки автомобиля в ре-

зультате аварии получает от компании 500$. Найти вероятность того, что по истечении

года компания получит прибыль не менее 80 000$.

262

23 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 3XP .

X 1 3 5 7

P 0,2 0,5 0,2 а

10.2. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи

до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Построить ряд

распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее

квадратичное отклонение числа промахов. Найти вероятность того, что промахов будет:

а) менее двух; б) не менее трех.

10.3. Устройство состоит из 4-х независимо работающих элементов. Вероятности

отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны 0,2. Для выхода устройства из

строя достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из четырех. Случайная величина Х

– число отказов в устройстве в предыдущей задаче. Найти: 1) ряд распределения,

2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) ( )Х , 6) P{Х 1 }.

10.4. Прибытие посетителей в банк подчиняется одному из теоретических зако-

нов распределения. Предполагая, что в среднем в банк каждые 3 мин входит 1 посети-

тель, составьте ряд распределения возможного числа посетителей банка в течение

15 мин. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем ви-

де функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероят-

ность того, что, по крайней мере, 3 посетителя войдут в банк в течение 1 мин?

10.5. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны три де-

тали. Составить закон распределения случайной величины − числа стандартных дета-

лей среди отобранных. Найти: F(x), M(X), D(X), σx, р(1< X < 2).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид

.1;1,

1

;;11;,0

)(

2x

x

A

x

xf

263

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], 22 xP .

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

2

0, при 3;

3 45( )

44

0, при 5.

6 , при 3 5;

x

f x

x

xx x

Найти: а) функцию распределения F (x); б) математическое ожидание М (X)

и дисперсию D (X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

0, 1

1, 1< 2;

1

0, 2

x ;

xb

x .

Требуется: 1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (1; 3).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.3 ,1

;3<0 ,

;0 0, 2

x

xax

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2; 4).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Величина годовой прибыли некоторого предприятия распределена равно-

мерно на отрезке [1; 4] млн у. е. Каковы математическое ожидание и дисперсия годовой

прибыли этого предприятия?

264

12.2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону,

заданному плотностью вероятности f (x) = 4е−4x

при x ≥ 0. Найти вероятность того, что

в результате испытания X попадает в интервал (0,2). Определить: M(X), D(X), (X), F(x).

12.3. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределе-

ния с параметрами а = 450 г, σ = 20 г. Найти вероятность, что вес одной пойманной ры-

бы будет: а) от 370 до 420 г; б) не более 530 г; в) больше 300 г.

12.4. Менеджер ресторана по опыту знает, что 80 % людей, сделавших заказ

на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять

20 заказов, хотя в ресторане было лишь 16 свободных столиков. Чему равна вероят-

ность того, что более 16 посетителей придут на заказанные места?

12.5. Автомат изготовляет шарики. Шарик годен, если отклонение его диаметра

от нормы по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Отклонение подчинено нормально-

му закону σ0, . Найти σ , если вероятность того, что шарик годен 0,8.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Вероятность того, что студент будет отчислен, равна 0,1. Сколько студен-

тов должно быть в университете, чтобы доля отчисленных студентов отличалась от ве-

роятности отчисления не более чем на 0,05 с вероятностью не менее 0,8 (использовать

неравенство Чебышева).

13.2. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7.

С помощью центральной предельной теоремы оцените вероятность того, что доля

сдавших в срок все экзамены из 2 тыс. студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.

13.3. Страховая компания заключает однотипные договоры, причем страховая

премия составляет 1 млн руб., а при наступлении страхового случая компания должна

выплатить 20 млн руб. Известно, что страховой случай наступает примерно в 4 % слу-

чаев. Фирме удалось застраховать 500 клиентов. Какова вероятность того, что доход

фирмы будет: а) 100 млн руб.; б) более 100 млн руб.?

13.4. Для определения среднего дохода налогоплательщиков города налоговой

инспекцией была проведена проверка 250 жителей этого города, отобранных случай-

ным образом. Оценить вероятность того, что средний годовой доход 250 жителей горо-

да отклонится от среднего арифметического годовых доходов выбранных 250 жителей

не более, чем на 1000 руб., если известно, что среднее квадратичное отклонение годо-

вого дохода не превышает 2500 руб.

265

24 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 3XP .

X 2 3 4 5

P 0,2 а 0,3 0,4

10.2. Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того,

что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7;

для второго – 0,75; для третьего – 0,8; для четвертого – 0,9. Построить ряд распределе-

ния, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное

отклонение числа станков, которые потребуют внимания рабочего. Найти вероятность

того, что таких станков будет не более половины.

10.3. Две кости одновременно бросаются 4 раза. Случайная величина Х – выпа-

дения «двойной шестерки». Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения

и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 11 XP .

10.4. В городе 10 машиностроительных предприятий, из которых 6 – рентабель-

ных и 4 – убыточных. Программой приватизации намечено приватизировать 5 пред-

приятий. При условии проведения приватизации в случайном порядке составьте ряд

распределения рентабельных предприятий, попавших в число приватизируемых; по-

стройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите

функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность

того, что будет приватизировано не менее 4-х рентабельных предприятий?

10.5. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны

наудачу извлекаются 3 шара; X – число белых шаров среди извлеченных. Найти закон

распределения X, F(x), M(X), D(X), σx, р(X > 2).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

.0,1

;0)(

x

xBeAxF

x

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], 2 xP .

266

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

2π

1, при ( 3, 3);

( ) 9

0, при ( 3, 3).

x f x x

x

Найти а) математическое ожидание М (X) и дисперсию D (X); б) что вероятнее:

в результате испытания окажется, что случайная величина X < 1, или что случайная ве-

личина X > 1?

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.4 ,0

4;<2 ),86(

; 2 0, 2

x

xxxb

x

Требуется: 1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (1; 3).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.31 1,

;31<1 1),(

1; 0,

x

xxa

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–2,3; 4,0].

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал [3; 4].

12.2. Время работы инспектора патрульно-постовой службы до совершения

ошибки имеет показательное распределение с λ = 2. Найти вероятность того, что

за время рабочего дня (t = 8 часов): а) инспектор ошибется; б) инспектор не ошибется.

267

12.3. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожида-

нием а = 17,50 и средним квадратическим отклонением σ = 0,23. Найти интервал, сим-

метричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9952

попадет величина X в результате испытания.

12.4. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормаль-

но распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый

вес больше чем 4,9 т и 25 % имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний

вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

12.5. Производится измерение диаметра вала. Случайна ошибка измерения от-

клонения диаметра вала от нормы подчинена нормальному закону с параметрами

(0;10). Каково должно быть отклонение по абсолютной величине от нормы, если веро-

ятность того, что оно произошло, равна 0,866?

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Дисперсия каждой из случайных величин А (продолжительность работы

электролампочки) не превышает 20 часов. Сколько нужно взять для испытания элек-

тролампочек, чтобы вероятность того, что абсолютное отклонение средней продолжи-

тельности горения лампочки от среднего арифметического их математических ожида-

ний не превышает 1 часа, была не меньше 0,95 (использовать неравенство Чебышева)?

13.2. С конвейера сходит в среднем 85 % изделий первого сорта. Сколько изделий

необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частоты изделий первого сорта

от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний

равна 0,8. Найти число испытаний, при котором с вероятностью 0,7887 можно ожидать,

что частота наступления события будет отличаться от его вероятности по абсолютной

величине не более чем на 0,025.

13.4. Средние ежедневные расходы на покупку канцелярских принадлежностей

для офиса банка составляют 1 тыс. руб., а среднее квадратичное отклонение этой слу-

чайной величины не превышает 200 руб. Оценить вероятность того, что расходы

на канцелярские принадлежности в любой наугад выбранный день не превысят 2 тыс.

руб., используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышева.

268

25 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 1XP .

X –2 0 2 4

P а 0,2 0,2 0,5

10.2. В кошельке лежат 5 монет по 1 руб., две монеты по 2 руб. и три монеты

по 5 руб. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математиче-

ское ожидание и среднее квадратичное отклонение количества рублей, извлеченных

из кошелька, если из него извлекают наугад две монеты. Найти вероятность того, что

будет извлечено: а) не менее четырех рублей; б) более семи рублей.

10.3. Две монеты бросают 5 раз. Случайная величина Х – число выпадений

«двойных гербов». Найти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее гра-

фик, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) P{–1 4 X }.

10.4. Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупа-

телями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупа-

тель совершит покупку, равна 0,1. Составьте ряд распределения ежедневного числа про-

даж для агента и постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распреде-

ления. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее гра-

фик. Чему равна вероятность того, что у агента будут хотя бы 2 продажи в течение дня?

10.5. Стрельба продолжается до первого попадания либо до полного израсходова-

ния четырех патронов. Вероятность попадания равна 0,7. Найти ряд распределения слу-

чайной величины Х – числа израсходованных патронов, M(Х), D(Х), σx, p(1,5 < Х < 2,9).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения имеет вид

.1;1,0

;1;1,)(

x

xAxf

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], 44 xP .

269

11.2. Пусть задана функция распределения непрерывной случайной величины X

.1при,1

1;0при,

;0при,0

)(3

x

xxa

x

xF

Найти а) коэффициент a; б) плотность распределения случайной величины f (x);

в) математическое ожидание М (X) и дисперсию D (X); г) вероятность (X (0,2; 0,8)),

д) построить графики функций f (x) и F (x).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.1 ,0

;1<0 ,arctg

;0 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (–1; π/4).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.3 ,1

;3<1 ,)1(1

1; 0,

x

xxa

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2; 4).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0,5; 2,7]. Най-

ти M(X) и D(X). Что вероятнее: в результате испытания X окажется в интервале [1; 2]

или вне этого интервала.

270

12.2. Непрерывная случайная непрерывная величина X распределена по показа-

тельному закону с λ = 4. Найти вероятность попадания X в интервал (0; 6).

12.3. Измеряемая случайная величина Х подчиняется нормальному закону с па-

раметрами (9; 4). Найти симметричный относительно mx интервал, в который с веро-

ятностью 0,6826 попадает измеренное значение.

12.4. Средний срок службы детали составляет 46 мес. со стандартным отклоне-

нием σ 12 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на эту

деталь, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов в случае ее поломки до опре-

деленного срока. Пусть срок службы детали подчиняется нормальному закону.

На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой де-

тали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275 % проданных деталей?

12.5. Случайное отклонение длины втулки от стандартного значения распреде-

лены нормально. Математическое ожидание длины втулки равно 50 мм, среднее квад-

ратическое отклонение 0,5 мм. Стандартными считаются втулки, длина которых за-

ключена между 49,8 и 50,2 мм. Найти процент стандартных втулок. Найти, сколько

процентов втулок имеет длину более 50,25 мм.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. С конвейера сходит в среднем 85 % изделий первого сорта. Сколько изде-

лий необходимо взять, чтобы с вероятностью не менее 0,997 отклонение частоты изде-

лий первого сорта от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01 (использовать

неравенство Чебышева)?

13.2. Средняя температура в квартире, подключенной к теплоцентрали, в период

отопительного сезона составляет 20 С, а среднее квадратическое отклонение равно

2 С. Оцените вероятность того, что температура в квартире будет в пределах от 15 до

25 С. Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. При испытании нового медицинского препарата оказалось, что он дает по-

бочные явления в 5 % случаев. Клинические испытания предполагается провести

на 10 тыс. больных. Найти границы, в которых с вероятностью 0,99 будет заключена

доля пациентов, которым придется испытать побочные явления от нового препарата.

13.4. Складывается 1000 чисел, каждое из которых округлено с точностью

до 10– 3

. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания,

в котором с вероятностью 0,998 заключена суммарная ошибка. Предполагается, что

ошибки округления каждого числа независимы и равномерно распределены в интерва-

ле (–0,5⋅10–3

; 0,5⋅10–3

).

271

26 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 1XP .

X –2 –1 0 1

P 0,3 а 0,1 0,4

10.2. Монету подбрасывают 6 раз. Построить ряд распределения, найти функцию

распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение разности

числа появлений герба и числа появлений цифры. Найти вероятность того, что эта раз-

ность будет менее двух.

10.3. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,7. Сде-

лано 5 выстрелов. Случайная величина Х – число успешных выстрелов. Найти: 1) ряд

распределения, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X ,

6) 32 XP .

10.4. В международном аэропорту время прибытия самолетов различных рейсов

высвечивается на электронном табло. Появление информации о различных рейсах про-

исходит случайно и независимо друг от друга. В среднем в аэропорт прибывает 10 рей-

сов в час. Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии самолетов в тече-

ние часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию

распределения вероятностей и постройте ее график, чему равна вероятность того, что

в течение часа прибудут не менее 3 самолетов? Чему равна вероятность того, что в те-

чение четверти часа не прибудет ни один самолет?

10.5. Рабочий изготавливает 3 равноценные по сложности детали. Вероятность

того, что он изготовит брак, составляет 0,25. Найти закон распределения случайной ве-

личины X – числа деталей, изготовленных качественно. Определить: F(x), M(X), D(X),

σx, р(1 < X < 3).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины

RxBxAxF ,)(arctg)( 3. Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], 11 XP .

272

11.2 Дана плотность распределения случайной величины X:

2

0, при 0;

( ) (4 ), при 0 4;

0, при 4.

x

f x A x x x

x

Найти коэффициент A, функцию распределения F(x) и (–2 X 3).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) = 3

0, 0;

(3 ), 0< 2;

0, 2.

x

b x x x

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (1; 3).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.2 ,1

;2<1 ,)(1

1; 0,

x

xaxx

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 0,5).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Троллейбусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал

движения 7 мин. Найти вероятности того, что пассажир, подошедший к остановке, бу-

дет ожидать очередной троллейбус менее чем 4 мин., и среднее время ожидания.

12.2. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является слу-

чайной величиной Х, распределенной по показательному закону со средним временем

ожидания, равным 5 мин. Найти вероятность того, что ждать придется не более 2 мин.

273

12.3. Высота полета самолета измеряется радиовысотометром, закон распреде-

ления ошибки которого нормальный. Каково должно быть среднеквадратичное откло-

нение, чтобы в 90 % всех случаев ошибка в высоте не превышала по абсолютной вели-

чине 200 м?

12.4. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормаль-

но распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый

вес больше, чем 4,9 т и 25 % имеют вес меньше, чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний

вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

12.5. Длина диаметра шарика подчинена нормальному закону с параметрами

(5; σ ). Найти σ , при котором вероятность того, что диаметр шарика попадает в интер-

вал (6; 7) будет наибольшей.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Средняя температура в квартире, подключенной к теплоцентрали, в период

отопительного сезона составляет 20 С, а среднее квадратическое отклонение равно

2 С. Оцените вероятность того, что температура в квартире будет в пределах от 15 С

до 25 С (использовать неравенство Чебышева).

13.2. Сколько деревьев необходимо посадить, чтобы число прижившихся де-

ревьев было больше 100 с вероятностью 0,9, если известно, что каждое дерево прижи-

вается с вероятностью 0,8? Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Опрос показал, что адресная реклама в среднем в каждом пятом случае

приводит к тому, что потенциальный покупатель приобретает рекламируемый товар.

Торговая фирма от продажи единицы товара получает прибыль 20 тыс. руб. Найти гра-

ницы, в которых с вероятностью 0,95 будет заключен доход компании, если рекламой

охвачено 500 адресатов.

13.4. Производится 400 бросаний игральной кости. Найти вероятность того, что

суммарное число очков, выпавших при 400 бросаниях, будет заключено в пределах

от 1300 до 1500.

274

27 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 1XP .

X –2 0 1 3

P 0,1 a 0,2 0,3

10.2. Производится по два последовательных выстрела по каждой из трех целей.

Вероятность попадания при одном выстреле в любую цель равна 0,7. При попадании

в цель стрельба по ней прекращается, неизрасходованный патрон при стрельбе по дру-

гим целям не используется. Построить ряд распределения, найти функцию распределе-

ния, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа пораженных

целей. Найти вероятность того, что будет поражено хотя бы две цели.

10.3. В библиотеке имеется техническая и художественная литература. Вероят-

ность любого взять техническую книгу равна 0,7; художественную – 0,3. Случайная

величина Х – число художественных книг из 5 взятых. Найти: 1) ряд распределения,

2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 41 XP .

10.4. На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероят-

ность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составьте ряд

распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найдите числовые характе-

ристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероят-

ностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут

как минимум 2 единицы оборудования?

10.5. Производится два выстрела по мишени. Вероятности попадания 0,9 и 0,7

соответственно. Х – число попаданий. Найти: F(x), M(X), D(X), σx.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид

2 , [0;2];( )

0, [0;2]

Ax xf x

x .

Найти: А, В, F(х), М[Х], D[Х], 51 XP .

275

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

1, при , ;

( ) 1

0 , при , .

cx e

x ef x

x ee

Найти: а) коэффициент c; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X) и дисперсию D (X); г) вероятность 3

2 2X

eP

e

.

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

π. 0,

π;<0 ,sin

0; 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (π/2; 3π/2).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.2 ,1

;2<0 ,

;0 0, 3

x

xax

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (–1; 1).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. При выяснении причин недостачи драгоценных металлов в ювелирном мага-

зине установлено, что их взвешивание производится на весах, цена деления которых равна

0,1 г, а показания весов округляются при взвешивании до ближайшего целого деления их

276

шкалы. Оценить возможность возникновения ошибки более чем на 0,03 г, вычислить ма-

тематическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение потерь.

12.2. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное

распределение F (t) = 1– е −0,03t

. Найти вероятность того, что за время, длительностью t

= 200 ч, элемент не откажет.

12.3. Во время дежурства двух операторов, делающих ошибки согласно нор-

мальному закону распределения с параметрами (0 м; 1 м) и (3 м; 10 м), была допущена

ошибка в 23 м. Какой из операторов вероятнее всего ошибся?

12.4. Авиакомпания знает, что в среднем 5 % людей, делающих предварительный

заказ на определенный рейс, не будет его использовать. Если авиакомпания продала 160

билетов на самолет, в котором лишь 150 мест, чему равна вероятность того, что место

будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

12.5. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами

подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 10 км,

а среднее квадратичное отклонение равно 500 м. Найти вероятность того, что расстоя-

ние между этими пунктами: а) не менее 13 км; б) не более 9 км; в) не менее 11,7 км, но

не более 12,3 км.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Сколько деревьев необходимо посадить, чтобы доля прижившихся деревь-

ев была в пределах от 0,75 до 0,85 с вероятностью не менее 0,9, если известно, что каж-

дое дерево приживается с вероятностью 0,8 (использовать неравенство Чебышева)?

13.2. На отрезке [0;1/4] случайным образом выбраны 192 числа (т. е. рассматри-

ваются 192 независимые равномерно распределенные случайные величины). С помо-

щью ЦПТ оцените вероятность того, что их сумма будет заключена между 22 и 26.

13.3. В магазине каждому покупателю, сделавшему покупку более чем

на 25 тыс. руб. полагается бесплатный пакет. Известно, что число покупателей за день

заведомо не превосходит 200, при этом покупку более чем на 25 тыс. руб. делает при-

мерно каждый четвертый. Какое количество пакетов должен иметь на день работы ма-

газин, чтобы их хватило с вероятностью не меньше 0,95?

13.4. В предположении, что размер одного шага пешехода равномерно распреде-

лен в интервале от 70 до 80 см, и размеры шагов независимы, найдите вероятность то-

го, что пешеход пройдет расстояние от 7,49 до 7,51 км, сделав 10 тыс. шагов.

277

28 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 1XP .

X –2 0 1 3

P 0,1 0,4 0,2 а

10.2. Для контроля трех партий деталей выбираются случайным образом две пар-

тии, и из каждой из них берут наугад одну деталь. Построить ряд распределения, найти

функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение

числа бракованных деталей среди двух выбранных, если в первой партии 2/3 недоброкаче-

ственных деталей, во второй 1/3, а в третьей бракованных деталей нет. Найти вероятность

того, что среди этих двух деталей будет хотя бы одна доброкачественная.

10.3. В урне 2 черных и 6 белых шаров. Шар извлекают из урны, а затем возвра-

щают назад. Делают 5 извлечений. Случайная величина Х – число черных шаров. Най-

ти: 1) ряд распределения, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х],

5) σ( )X .

10.4. ТV-канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что

телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны

10 телезрителей. Составьте ряд распределения числа лиц, видевших рекламу. Найдите

числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения ве-

роятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере,

2 телезрителя этого канала видели рекламу нового детского питания?

10.5. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Веро-

ятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,05. Составить закон распреде-

ления числа отказавших элементов в одном опыте. Найти: M(X), D(X), σx, F(x),

р(2 < X < 4).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины

.2,0

;2,1

];2;2[,

)(

3

x

x

xBAx

xF

278

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], P{ 0 3X }.

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

arctg , при [0,1];( )

0, при [0,1].

c x xf x

x

Найти: а) коэффициент c; б) функцию распределения F (x); в) математическое

ожидание М (X).

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

2. 0,

2;<4 ,

4; 0,

x

xb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (–3; –1).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.3 ,1

;3<1 ,1

1; 0, 2

x

xx

a

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2; 4).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Все значения равномерно распределенной случайной величины располо-

жены на отрезке [2; 8]. Найти математическое ожидание, дисперсию этой случайной

величины, а также вероятность ее попадания на отрезок [6; 9] и в интервал (3; 5).

279

12.2. Секретарь совершает в среднем одну ошибку за 3 часа. Время работы

до совершения ошибки имеет показательное распределение. Найти вероятность того,

что за время рабочего дня (t = 8 часов) секретарь ни разу не ошибется.

12.3. Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более

0,0027 получилась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случай-

ные отклонения размера от середины поля допуска подчиняются закону нормального

распределения с параметрами (0;5).

12.4. Изделие считается высшим сортом, если его вес не превосходит по абсо-

лютной величине 10 г. Ошибка взвешивания подчинена нормальному закону с пара-

метрами (0; 20). Найти среднее число изделий высшего сорта, если изготовлено 3 изде-

лия. Взвешивание деталей производится независимо.

12.5. Ошибки измерений подчиняются нормальному закону. Прибор имеет сис-

тематическую ошибку 0,1 мм и среднюю квадратическую ошибку 1 мм. Найти вероят-

ность того, что две ошибки попадут в интервал [1 мм, 2 мм].

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. Вероятность получения с конвейера набракованного изделия равна 0,95. Про-

веряется 800 изделий. Рассматривается случайная величина – число набракованных изде-

лий. Укажите промежуток, в котором значения этой случайной величины можно ожидать

с вероятностью, не меньшей 0,9 (использовать неравенство Чебышева).

13.2. На курсе обучается 600 студентов. Вероятность родиться каждому студен-

ту в определенный день года равна 1/365. Оцените с помощью центральной предельной

теоремы вероятность того, что число студентов, рожденных 1 января, заключено в пре-

делах от 5 до 10.

13.3. После рекламной компании, проведенной в городе с населением 200 тыс.

человек, строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, получила

50 заявок. Какова вероятность, что в городе с населением 20 тыс. человек число заявок

будет не менее пяти?

13.4. Доходы жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб.

и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. (в месяц). Найти вероятность того, что

средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.

280

29 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 1XP .

X –2 –1 1 2

P 0,1 0,2 0,4 а

10.2. Имеются два одинаковых ящика с деталями. В первом ящике содержатся

8 деталей, из них 3 бракованные, во втором – 4 детали, из них – 2 бракованные. Из од-

ного ящика вынимают 3 детали. Построить ряд распределения, найти функцию распре-

деления, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа брако-

ванных деталей среди трех вынутых, если выбор ящиков равновероятен. Найти вероят-

ность того, что будет вынуто не более двух бракованных деталей.

10.3. В семье десять детей. Вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы.

Случайная величина Х – число мальчиков из пяти детей. Найти: 1) ряд распределения,

2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 31 XP .

10.4. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них

7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин

с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета.

Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при усло-

вии, что автомобили отбирались случайно, и постройте его график. Найдите числовые

характеристики этого распределения. Напишите функцию распределения вероятностей

и постройте ее график. Какова вероятность того, что среди проданных фирме автомо-

билей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля черного цвета?

10.5. В партии из 15 деталей имеется 9 окрашенных. Случайным образом извле-

кают 3 детали. Составить ряд распределения для дискретной случайной величины X –

числа окрашенных деталей среди отобранных деталей. Найти: F(x), M(X), D(X), σx,

р(0 < X < 2).

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Функция распределения непрерывной случайной величины

.2,,1

;2,,)(

x

xBeAxF

x

281

Найти: А, В, f(Х), М[Х], D[Х], 01 XP .

11.2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

π/2.при0,

π/2;xпри,cos)(

2

x

xaxf

Найти: а) коэффициент a; б) вероятность того, что в двух независимых испыта-

ниях случайная величина X примет значения больше чем /4.

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.5,3 ,0

3,5;<0 ,1

1 ;1 0,

x

xb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (2; 4).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.1 ,1

;1<0 ,2

0; 0, 23

x

xa

xx

x

Требуется: 1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (–0,5; 0,5).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Толщина конспекта по математике студента распределена равномерно

от 20 до 36 листов. Какова вероятность обнаружить конспект по математике толще

30 листов?

12.2. Среднее время безотказной работы двигателя стиральной машины равно

100 ч. Найти вероятность того, что двигатель безотказно проработает: а) 60−80 ч; б)

150 ч.

282

12.3. Автомат изготавливает детали. Деталь считается годной, если отклонение Х

диаметра детали от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Счи-

тая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим от-

клонением σ = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных деталей среди 100 изго-

товленных.

12.4. В нормально распределенной совокупности 20 % значений случайной ве-

личины Х меньше 10, и 30 % ее значений больше 15. Найти среднее значение и среднее

квадратичное отклонение.

12.5. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной

по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 170 см, а дисперсия

– 36. Найти плотность вероятностей и функцию распределения этой случайной величи-

ны. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех

мужчин будет иметь рост от 168 до 172 см.

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. На отрезке [0; 1/4] случайным образом выбраны 160 числа (т. е. рассматри-

ваются 160 независимых равномерно распределенных случайных величин). С помощью

неравенства Чебышева оцените вероятность того, что их сумма будет заключена между

18 и 22.

13.2. Театр, вмещающий 1000 зрителей, имеет два входа. У каждого входа свой

гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы в среднем в 99 случа-

ях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они за-

шли. Предполагается, что зрители приходят парами, каждая пара независимо от других

выбирает с вероятностью 0,5 любой вход. Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Для отдельного результата измерения случайная величина не превосходит

трех. Производится 1000 измерений этой величины. Какие границы можно гарантиро-

вать с вероятностью 0,95 для результата измерения среднего арифметического этих ве-

личин? Ответ дать с помощью неравенства Чебышева.

13.4. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад взятых монет число

монет, лежащих гербом вверх, будет от 45 до 55 (использовать неравенство Чебыше-

ва)?

283

30 ВАРИАНТ

Задание 10. Дискретная случайная величина

10.1. Случайная дискретная величина X задана законом распределения. Найти:

1) a, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) )σ( X , 6) 1XP .

X 0 1 2 3

P 0,1 0,2 а 0,3

10.2. Два студента сдают экзамен, отвечая на два вопроса программы, независимо

друг от друга. Вероятность правильного ответа на любой вопрос программы для первого

студента – 0,6; для второго – 0,8. При неправильном ответе на вопрос экзамен прекращает-

ся. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожида-

ние и среднее квадратичное отклонение числа студентов, пытавшихся ответить на оба во-

проса. Найти вероятность того, что будет хотя бы один такой студент.

10.3. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,7. Произведено

5 выстрелов. Случайная величина X – число попаданий в цель. Найти: 1) ряд распреде-

ления, 2) функцию распределения и ее график, 3) M[X], 4) D[Х], 5) ( )X ,

6) 21 XP .

10.4. В часы пик для общественного транспорта города происходит в среднем

2 дорожных происшествия в час. Утренний пик длится 1,5 ч, а вечерний – 2 ч. Составь-

те ряды распределения числа дорожных происшествий в утренние и вечерние часы-пик

и постройте их графики. Найдите числовые характеристики этих распределений. Запи-

шите функции распределений вероятностей и постройте их графики. Чему равна веро-

ятность того, что в определенный день во время и утреннего, и вечернего пика не про-

изойдет ни одного дорожного происшествия?

10.5. По мишени производится три независимых выстрела с вероятностью попа-

дания при каждом выстреле p = 0,6. Написать ряд распределения случайной величины

X – числа попаданий в мишень при трех выстрелах. Найти: F(x), M(X), D(X), σx.

Задание 11. Непрерывная случайная величина

11.1. Плотность распределения случайной величины

].2;1[,0

];2;1[),1()(

x

xxAxf

Найти: А, F(Х), М[Х], D[Х], P{0 2 X }.

284

11.2. Случайная величина R – расстояние от точки попадания до центра мишени,

распределена по закону Рэлея:

2 2

, при 0;( )

0, при 0.

h rA r e rf r

r

Найти коэффициент A; М(R) и D(R); моду R, то есть точку максимума плотности

распределения случайной величины R.

11.3. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения

с плотностью f(x) =

.2π 0,

;2π<0 ,sin2

0; 0,

x

xxb

x

Требуется:

1) найти коэффициент b;

2) найти интегральную функцию распределения F(x);

3) построить графики функций f(x) и F(x);

4) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х) случайной ве-

личины Х и вероятность попадания Х в интервал (π/4; 3π/4).

11.4. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения

F(x) =

.1 ,1

;1<1 ,5,0

1; 0,

x

xax

x

Требуется:

1) найти коэффициент а;

2) найти плотность распределения f(x);

3) построить графики f(x) и F(x);

4) найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 2).

Задание 12. Законы распределения непрерывной случайной величины

12.1. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибо-

ра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете

будет сделана ошибка, превышающая 0,04.

285

12.2. Число вагонов, прибывающих в течение суток на станцию, является слу-

чайной величиной, распределенной по показательному закону c λ = 0,03. Определить

вероятность прибытия на эту станцию в течение суток более 10 вагонов.

12.3. Случайная величина X подчинена нормальному закону c M(x) = 0. Вероят-

ность попадания этой величины на участок от –a до a равна 0,5. Найти и написать вы-

ражение плотности вероятности.

12.4. Вес дыни – нормально распределенная случайная величина с неизвестным

математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,03. Агрономы знают, что 70 %

фруктов весят меньше, чем 2 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранной дыни.

12.5. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта яв-

ляется случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандарт-

ная длина равна 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какую

точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Задание 13. Предельные теоремы

13.1. У скольких 20-летних мужчин нужно измерить рост, чтобы с вероятностью

больше 0,95, можно было утверждать, что средний рост у измеренных мужчин будет

отличаться от среднего роста всех 20-летних мужчин по абсолютной величине не более

чем на 1 см? Считается, что среднее квадратичное отклонение роста от среднего значе-

ния равно 5 см (использовать неравенство Чебышева).

13.2. Игральный кубик подбрасывается до тех пор, пока общая сумма выпавших

очков не превысит 700. Оценить вероятность того, что для этого потребуется более

210 бросков кубика. Решить задачу, используя ЦПТ.

13.3. Производится испытание нового оружия, причем основным показателем

служит частота попаданий по стандартной мишени. Разработчики утверждают, что ве-

роятность попадания равна 0,8. Какое количество выстрелов по мишени необходимо

сделать, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что частота попаданий

отклонится от вероятности попадания не более чем на 0,01?

13.4. Для космического корабля вероятность столкновения в течение часа с ме-

теоритом равна 0,001. Найти практически достоверные границы числа столкновений

с метеоритом в течение трех месяцев – с 1 июля по 31 августа, если вероятность прак-

тической достоверности принимается равной 0,9995.

285

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Ответы на проверочный тест

«Дискретные случайные величины»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

б в а б а а б г в в а б а б б а в

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

в б а б а а в а в б г в в а а а а

«Некоторые стандартные законы распределения дискретных случайных величин»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

б а а г д б в а е а б г г г б г в б а б г г а г г

«Основные характеристики непрерывной случайной величины»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

а а б г б г г г в а г а б г а а а а б г б

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

г б г б в а б г в б а а а в б г б б а в б

286

Окончание прил. 5

«Основные распределения непрерывной случайной величины»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

а г а а а б в г в в а б в а а а б в

«Предельные теоремы»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

б а б б г в б а а б в г в в г а в г в г д а

«Дискретные случайные величины»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

б г г г г б а г а г а а в г г а б в а б в а г б

«Непрерывные случайные величины»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

б а в а б г а а б в в б б а г б в г в г б в а б а

287