CCoonnccrreettoo AArrmmaaddoo ddaa UUFFPPRR 22000066

Agradeço a colaboração prestada pelos Professores Carlos E. N. L. Michaud, Jorge L. Ceccon e Miguel F. Hilgenberg Neto na elaboração deste texto. Agradecimento especial ao Professor Roberto Dalledone Machado que além de colaborar a elaboração do texto, permitiu que sua publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO fosse incorporada ao Capítulo 8 desta edição.

M. A. Marino Universidade Federal do Paraná

Departamento de Construção Civil (41) 3361-3438 marino@ufpr.br

2006 1-1 ufpr/tc405

1 1ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

1.1 Introdução Basicamente, as estruturas de concreto armado apresentam bom desempenho porque,

sendo o concreto de ótima resistência à compressão, este ocupa as partes comprimidas ao passo que o aço, de ótima resistência à tração, ocupa as partes tracionadas. É o caso das vigas de concreto armado (Figura 1.1).

Figura 1.1 - Viga de concreto armado Sendo o aço, também de boa resistência a compressão, o mesmo pode colaborar com o

concreto em regiões comprimidas. É o caso dos pilares de concreto armado (Figura 1.2). As obras de concreto estrutural, no Brasil, são regidas, basicamente, pela ABNT NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento – mar/2004. Segundo o item 1.2, esta Norma aplica-se às estruturas de concreto normais, identificados por massa específica seca maior do que 2 000º kg/m3, não excedendo 2 800 kg/m3, do grupo I de resistência (C10 a C50), conforme classificação da ABNT NBR 8953. Entre os concretos especiais excluídos desta Norma estão o concreto-massa e o concreto sem finos.

Figura 1.2 - Pilar de concreto armado

1.2 Histórico É atribuída ao francês Lambot a primeira construção de concreto armado. Tratava-se de um

barco que foi construído em 1855. Outro francês, Coignet, publicou em 1861 o primeiro trabalho descrevendo aplicações e uso do concreto armado1.

1.3 Viabilidade do concreto armado O sucesso do concreto armado se deve, basicamente, a três fatores:

1 Para melhor conhecimento da história do concreto armado, ver O CONCRETO NO BRASIL, Vol. 1, A. C.

Vasconcelos, edição patrocinada por Camargo Corrêa S.A., 1985.

A

A

M M

armadura tracionada

concreto comprimido

Corte AA

A A

N

Corte AA

concreto comprimido

armadura comprimida

N

armadura comprimida

2006 1-2 ufpr/tc405

− aderência entre o concreto e a armadura; − valores próximos dos coeficientes de dilatação térmica do concreto e da armadura; e − proteção das armaduras feita pelo concreto envolvente. O principal fator de sucesso é a aderência entre o concreto e a armadura. Desta forma, as

deformações nas armaduras serão as mesmas que as do concreto adjacente, não existindo escorregamento entre um material e o outro. É este simples fato de deformações iguais entre a armadura e o concreto adjacente, associado à hipótese das seções planas de Navier, que permite quase todo o desenvolvimento dos fundamentos do concreto armado.

A proximidade de valores entre os coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto torna praticamente nulos os deslocamentos relativos entre a armadura e o concreto envolvente, quando existe variação de temperatura. Este fato permite que se adote para o concreto armado o mesmo coeficiente de dilatação térmica do concreto simples.

Finalmente, o envolvimento das barras de aço por concreto evita a oxidação da armadura fazendo com que o concreto armado não necessite cuidados especiais como ocorre, por exemplo, em estruturas metálicas.

1.4 Propriedades do concreto O concreto, assim como outro material, tem coeficiente de dilatação térmica, pode ser

representado por um diagrama tensão-deformação, possui módulo de elasticidade (módulo de deformação), etc. Apresenta, também, duas propriedades específicas, que são a retração e a fluência (deformação lenta).

1.4.1 Concretos da ABNT NBR 6618 Segundo a ABNT NBR 8953, os concretos a serem usados estruturalmente estão divididos

em dois grupos, classificados de acordo com sua resistência característica à compressão (fck), conforme mostrado na Tabela 1.1. Nesta Tabela a letra C indica a classe do concreto e o número que se segue corresponde à sua resistência característica à compressão (fck), em MPa1.

Grupo I fck Grupo II fck C15 15 MPa C55 55 MPa C20 20 MPa C60 60 MPa C25 25 MPa C70 70 MPa C30 30 MPa C80 80 MPa C35 35 MPa C40 40 MPa C45 45 MPa C50 50 MPa

Tabela 1.1 - Classes de concreto estrutural A dosagem do concreto deverá ser feita de acordo com a ABNT NBR 12655. A composição

de cada concreto de classe C15 ou superior deve ser definida em dosagem racional e experimental, com a devida antecedência em relação ao início da obra. O controle tecnológico da obra deve ser feito de acordo com a ABNT NBR 12654. ABNT NBR 6118, item 8.2.1:

“Esta Norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I, indicadas na ABNT NBR 8953, ou seja, até C50. A classe C202, ou superior, se aplica a concreto com armadura passiva3 e a classe C25, ou superior, a concreto com armadura ativa4. A classe C15 pode ser usada apenas em fundações, conforme ABNT NBR 6122, e em obras provisórias.”

1 1 MPa = 0,1 kN/cm2 = 10 kgf/cm2. 2 A adoção de um concreto com resistência mínima de 20 MPa visa uma durabilidade maior das estruturas. 3 Concreto armado. 4 Concreto protendido.

2006 1-3 ufpr/tc405

1.4.2 Massa específica Segundo o item 8.2.2, a ABNT NBR 6118 se aplica a concretos de massa específica normal,

que são aqueles que, depois de secos em estufa, têm massa específica compreendida entre 2 000 kg/m3 e 2 800 kg/m3. Se a massa específica real não for conhecida, para efeito de cálculo, pode-se adotar para o concreto simples o valor 2 400 kg/m3 e para o concreto armado 2 500 kg/m3.

Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se considerar para valor da massa específica do concreto armado aquela do concreto simples acrescida de 100 kg/m3 a 150 kg/m3.

1.4.3 Coeficiente de dilatação térmica Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como

sendo igual a 10-5/ºC (ABNT NBR 6118, item 8.2.3).

1.4.4 Resistência à compressão As prescrições da ABNT NBR 6118 referem-se à resistência à compressão obtida em

ensaios de cilindros moldados segundo a ABNT NBR 5738, realizados de acordo com a ABNT NBR 5739 (item 8.2.4 da ABNT NBR 6118).

Quando não for indicada a idade, as resistências referem-se à idade de 28 dias. A estimativa da resistência à compressão média, fcmj, correspondente a uma resistência fckj especificada, deve ser feita conforme indicado na ABNT NBR 12655.

A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida através de ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados experimentais pode-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados em [3.8.2.2].

1.4.5 Resistência à tração Segundo a ABNT NBR 6118, item 8.2.5, a resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à

tração na flexão fct,f devem ser obtidas de ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, respectivamente.

A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das equações seguintes:

3 2ckmct,supctk,

ckmct,3 2

ckmct,infctk,

3 2ckmct,

f0,39f 1,3f

MPa em f e ff0,21f 0,7ff0,3f

×==

×==

×=

Equação 1.1

Sendo fckj ≥ 7MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias.

O fctk,sup é usado para a determinação de armaduras mínimas. O fctk,inf é usado nas análises estruturais.

1.4.6 Módulo de elasticidade Segundo a ABNT NBR 6118, item 8.2.8, o módulo de elasticidade deve ser obtido segundo

ensaio descrito na ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial cordal a 30% de fc, ou outra tensão especificada em projeto. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão:

MPa em f e Ef 600 5E ckcickci = Equação 1.2

O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 dias pode também ser avaliado através dessa expressão, substituindo-se fck por fckj.

Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra.

2006 1-4 ufpr/tc405

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão:

cics E 0,85E = Equação 1.3

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs).

Na avaliação do comportamento global da estrutura pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial (Eci).

1.4.7 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o

coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a 0,4 Ecs (ABNT NBR 6118, item 8.2.9).

Observar que a equação clássica da Resistência dos Materiais para a determinação do módulo de elasticidade transversal G não é seguida à risca pela ABNT NBR 6118. Para se obter Gc igual a 0,4 Ecs, seria necessária a imposição de um coeficiente de Poisson igual a 0,25, ou seja:

( ) ( ) cscscs

c E4,025,012

E12EG =

+=

ν+=

1.4.8 Diagrama tensão-deformação - compressão Uma característica do concreto é não apresentar, para diferentes dosagens, um mesmo tipo

de diagrama tensão-deformação. Os concretos mais ricos em cimento (mais resistentes) têm um "pico" de resistência (máxima tensão) em torno da deformação 2‰. Já os concretos mais fracos apresentam um "patamar" de resistência que se inicia entre as deformações 1‰ e 2‰ (Figura 1.3).

Figura 1.3 - Diagramas tensão-deformação (compressão) de concretos diversos

A ABNT NBR 6118, item 8.2.10.1, não leva em consideração os diferentes diagramas tensão-deformação mostrados na Figura 1.3 e apresenta, de modo simplificado, o diagrama parábola-retângulo mostrado na Figura 1.4.

Figura 1.4 - Diagrama tensão-deformação (compressão) da ABNT NBR 6118

εc

σc

40 MPa

30 MPa

20 MPa

10 MPa

1‰ 2‰ 3‰ 4‰

ε−−=σ

2c

ckc ‰211f

σc

εc

2‰ 3,5‰

fck

2006 1-5 ufpr/tc405

1.4.9 Diagrama tensão-deformação - tração Para o concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-deformação bilinear de

tração, indicado na Figura 1.5 (ABNT NBR 6118, item 8.2.10.2).

Figura 1.5 - Diagrama tensão-deformação (tração) da ABNT NBR 6118

1.4.10 Fluência e retração 1.4.10.1 Fluência

A fluência é uma deformação que depende do carregamento. Corresponde a uma contínua (lenta) deformação do concreto, que ocorre ao longo do tempo, sob ação de carga permanente. Um aspecto do comportamento das deformações de peças de concreto carregada e descarregada é mostrado na Figura 1.6.

Figura 1.6 - Deformação de bloco de concreto carregado e descarregado

1.4.10.2 Retração A retração do concreto é uma deformação independente de carregamento. Corresponde a

uma diminuição de volume que ocorre ao longo do tempo devido à perda d'água que fazia parte da composição química da mistura da massa de concreto. A curva que representa a variação da retração ao longo do tempo tem o aspecto mostrado na Figura 1.7.

Figura 1.7 - Retração do concreto

∆ls εcs(t,t0) l

=

l

∆ls εcs

t

σct

εct

0,15‰

fctk 0,9 fctk

Eci

t t0

εc

t

fluência - εcc(t,t0)

recuperação deformação

elástica recuperação da fluência

deformação elástica inicial - εc(t0)

sem carga carga

εc(t0)

εcc(t,t0)

∆lc ∆l0

l

∆l0 l =t0

∆lc l−∆l0

=t

2006 1-6 ufpr/tc405

1.4.10.3 Deformação total A deformação total do concreto, decorrido um espaço de tempo após a aplicação de um

carregamento permanente, corresponde a:

)t,t()t,t()t(E)(t

)t(E)t()t( 0cs

)t,t(

00ci

0c

)t(

0ci

0cc

0cc0c

ε+ϕσ

+σ

=ε

εε44 344 21321

[ ] )t,t()t,t(1)t(E)t()t( 0cs0

0ci

0cc ε+ϕ+

σ=ε Equação 1.4

onde: εc(t) deformação específica total do concreto no instante t; εc(t0) deformação específica imediata (t0) do concreto devida ao carregamento

(encurtamento); εcc(t,t0) deformação específica do concreto devida à fluência no intervalo de tempo t – t0; εcs(t,t0) deformação específica do concreto devida à retração no intervalo de tempo t – t0; σc(t0) tensão atuante no concreto no instante (t0) da aplicação da caga permanente

(negativa para compressão); Eci(t0) módulo de elasticidade (deformação) inicial no instante t0; e ϕ(t,t0) coeficiente de fluência correspondente ao intervalo de tempo t – t0. Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais (t∞) do coeficiente de

fluência ϕ(t∞,t0) e da deformação específica de retração εcs(t∞,t0) do concreto submetido a tensões menores que 0,5 fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da Tabela 1.2. Esta Tabela fornece o valor do coeficiente de fluência ϕ(t∞,t0) e da deformação específica de retração εcs(t∞,t0) em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2 Ac / u, onde:

Ac área da seção transversal; e u perímetro da seção em contato com a atmosfera.

Umidade ambiente (%) 40 55 75 90

Espessura fictícia 2Ac/u (cm)

20 60 20 60 20 60 20 60

5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 ϕ(t∞,t0) 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09

30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 εcs(t∞,t0) (‰)

t0 (dias)

60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 Tabela 1.2 – Valores característicos superiores da deformação específica de retração εcs(t∞,t0)

e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,t0)

1.5 Propriedades do aço O aço, assim como outro material, tem coeficiente de dilatação térmica, pode ser

representado por um diagrama tensão-deformação, possui módulo de elasticidade, etc. Apresenta, também, uma propriedade específica, que é o coeficiente de conformação superficial.

1.5.1 Categoria dos aços de armadura passiva Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela

ABNT NBR 7480 com o valor característico da resistência de escoamento nas categorias CA-25,

2006 1-7 ufpr/tc405

CA-50 e CA-601 (item 8.3.1 da ABNT NBR 6118). Estes aços e suas respectivas resistência características à tração (fyk) estão mostrados na Tabela 1.3.

Categoria fyk CA-25 250 MPa CA-50 500 MPa CA-60 600 MPa

Tabela 1.3 - Aços de armadura passiva

Os diâmetros nominais devem ser os estabelecidos na ABNT NBR 7480.

1.5.2 Coeficiente de conformação superficial Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria

de aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo, determinado através de ensaios de acordo com a ABNT NBR 7477, deve atender ao indicado na ABNT NBR 7480 (item 8.3.2 da ABNT NBR 6118).

A ABNT NBR 7480 relaciona o coeficiente de conformação superficial η com as categorias dos aços. A ABNT NBR 6118 caracteriza a superfície das barras através do coeficiente para cálculo da tensão de aderência da armadura η1. Os coeficientes estabelecidos pelas normas ABNT NBR 7480 e ABNT NBR 6118 estão mostrados na Tabela 1.42.

Superfície η1 η Lisa (CA-25) 1,00 ≥ 1,0

Entalhada (CA-60) 1,40 ≥ 1,5 Alta Aderência (CA-50) 2,25 ≥ 1,5

Tabela 1.4 - Coeficientes de conformação superficial (ABNT NBR 7480) e para Cálculo da Tensão de Aderência (ABNT NBR 6118)

1.5.3 Massa específica Segundo o item 8.3.3 da ABNT NBR 6118, pode-se adotar para massa específica do aço de

armadura passiva o valor de 7 850 kg/m3.

1.5.4 Coeficiente de dilatação térmica O valor 10-5/ºC pode ser considerado para o coeficiente de dilatação térmica do aço, para

intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC (Item 8.3.4 da ABNT NBR 6118).

1.5.5 Módulo de elasticidade Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do aço

pode ser admitido igual a 210 GPa (ABNT NBR 6118, item 8.3.5).

1.5.6 Diagrama tensão-deformação, resistência ao escoamento e à tração O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos da resistência ao

escoamento fyk, da resistência à tração fstk e da deformação na ruptura εuk devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a ABNT NBR ISO 6892. O valor de fyk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2‰ (ABNT NBR 6118, item 8.3.6).

Nos projetos de estruturas de concreto armado, a ABNT NBR 6118 permite utilizar o diagrama simplificado mostrado na Figura 1.8, para os aços com ou sem patamar de escoamento. Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e pode ser aplicado para tração e compressão.

1 As letras CA significam concreto armado e o número associado corresponde a 1/10 da resistência característica em

MPa. 2 A NBR 6118 define o coeficiente de conformação superficial como ηb e estabelece, para o CA-60, o valor mínimo de

1,2, diferente do apresentado na Tabela 2, página 7 da NBR 7480/1996. Nesta Tabela o valor mínimo de η corresponde a 1,5, como apresentado na Tabela 1.4.

2006 1-8 ufpr/tc405

Figura 1.8 - Diagrama tensão-deformação do aço

1.5.7 Características de dutilidade Os aços CA-25 e CA-50, que atendam aos valores mínimos de fyk/fstk e εuk indicados na

ABNT NBR 7480, podem ser considerados como de alta dutilidade. Os aços CA-60 que obedeçam também às especificações dessa Norma podem ser considerados como de dutilidade normal (item 8.3.7 da ABNT NBR 6118).

1.5.8 Soldabilidade Para que um aço seja considerado soldável, sua composição deve obedecer aos limites

estabelecidos na ABNT NBR 8965. A emenda de aço soldada deve ser ensaiada à tração segundo a ABNT NBR 8548. A carga

de ruptura, medida na barra soldada deve satisfazer o especificado na ABNT NBR 7480 e o alongamento sob carga deve ser tal que não comprometa a dutilidade da armadura. O alongamento total plástico medido na barra soldada deve atender a um mínimo de 2% (ABNT NBR 6118, item 8.3.9).

1.5.9 Classificação Conforme especifica a ABNT NBR 7480, item 4.1, os aços a serem usados em estruturas de

concreto armado serão classificados: − como barras, se possuírem diâmetro nominal igual ou superior a 5 mm e forem obtidos

exclusivamente por laminação à quente; e − como fios, se possuírem diâmetro nominal igual ou inferior a 10 mm e forem obtidos

por trefilação ou processo equivalente. De acordo com a categoria, as barras e fios de aço serão classificadas conforme mostrado

na Tabela 1.5.

Categoria Classificação CA-25 CA-50

Barras

CA-60 Fios

Tabela 1.5 - Barras e fios de aço As características das barras (CA-25 e CA-50) e fios (CA-60), definidas pela

ABNT NBR 7480, estão mostradas nas Tabela 1.6 e Tabela 1.7.

10‰

σs

εs

fyk

2006 1-9 ufpr/tc405

Barras

Diâmetro Nominal

(mm)

Massa Nominal1

(kg/m)

Área da Seção (cm2)

Perímetro (cm)

5 0,154 0,196 1,57 6,3 0,245 0,312 1,98 8 0,395 0,503 2,51

10 0,617 0,785 3,14 12,5 0,963 1,227 3,93 16 1,578 2,011 5,03 20 2,466 3,142 6,28 22 2,984 3,801 6,91 25 3,853 4,909 7,85 32 6,313 8,042 10,05 40 9,865 12,566 12,57

Tabela 1.6 - Características das barras de aço para concreto armado

Fios

Diâmetro Nominal

(mm)

Massa Nominal (kg/m)

Área da Seção (cm2)

Perímetro (cm)

2,4 0,036 0,045 0,75 3,4 0,071 0,091 1,07 3,8 0,089 0,113 1,19 4,2 0,109 0,139 1,32 4,6 0,130 0,166 1,45 5,0 0,154 0,196 1,57 5,5 0,187 0,238 1,73 6,0 0,222 0,283 1,88 6,4 0,253 0,322 2,01 7,0 0,302 0,385 2,22 8,0 0,395 0,503 2,51 9,5 0,558 0,709 2,98

10,0 0,617 0,785 3,14 Tabela 1.7 - Características dos fios de aço para concreto armado

1.6 Referências normativas2 As normas relacionadas a seguir contêm disposições que constituem prescrições para a

ABNT NBR 6118. Como toda norma está sujeita a revisão, recomenda-se que seja verificada a conveniência de se usarem as edições mais recentes das normas citadas a seguir (item 2 da ABNT NBR 6118). A ABNT possui a informação das Normas Brasileiras em vigor em um dado momento. 1 A densidade linear de massa, em kg/m, é obtida pelo produto da área da seção nominal em m2 por 7 850 kg/m3. 2 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do capítulo 2 da NBR 6118.

2006 1-10 ufpr/tc405

ABNT NBR 5674:1999 Manutenção de edificações - Procedimento ABNT NBR 5732:1991 Cimento Portland comum - Especificação ABNT NBR 5733:1991 Cimento Portland de alta resistência - Especificação ABNT NBR 5735:1991 Cimento Portland de alto-forno - Especificação ABNT NBR 5736:1991 Cimento Portland pozolânico- Especificação ABNT NBR 5737:1992 Cimento Portland resistente a sulfatos - Especificação ABNT NBR 5738:1994 Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos

de concreto - Procedimento ABNT NBR 5739:1994 Concreto - Ensaio de compressão de corpos-de-prova

cilíndricos - Método de ensaio ABNT NBR 6004:1984 Arames de aço - Ensaio de dobramento alternado - Método de

ensaio ABNT NBR 6120:1980 Cargas para cálculo de estruturas de edificações -

Procedimento ABNT NBR 6122:1996 Projeto e execução de fundações - Procedimento ABNT NBR 6123:1988 Forças devidas ao vento em edificações - Procedimento ABNT NBR 6153:1988 Produto metálico - Ensaio de dobramento semi-guiado -

Método de ensaio ABNT NBR 6349:1991 Fios, barras e cordoalhas de aço para armaduras de

protensão – Ensaio de Tração – Método de ensaio ABNT NBR 7190:1997 Projeto de estruturas de madeira ABNT NBR 7222:1994 Argamassa e concreto - Determinação da resistência à tração

por compressão diametral de corpos-de-prova cilíndricos - Método de ensaio

ABNT NBR 7477:1982 Determinação do coeficiente de conformação superficial de barras e fios de aço destinados a armaduras de concreto armado - Método de ensaio

ABNT NBR 7480:1996 Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado - Especificação

ABNT NBR 7481:1990 Tela de aço soldada - Armadura para concreto – Especificação ABNT NBR 7482:1991 Fios de aço para concreto protendido – Especificação ABNT NBR 7483:1991 Cordoalhas de aço para concreto protendido – Especificação ABNT NBR 7484:1991 Fios, barras e cordoalhas de aço destinados a armaduras de

protensão – Ensaios de relaxação isotérmica – Método de ensaio

ABNT NBR 7680:1983 Extração, preparo, ensaio e análise de testemunhos de estruturas de concreto – Procedimento

ABNT NBR 8522:1984 Concreto - Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação - Método de ensaio

ABNT NBR 8548:1984 Barras de aço destinadas a armaduras para concreto armado com emenda mecânica ou por solda - Determinação da resistência à tração - Método de ensaio

ABNT NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas - Procedimento ABNT NBR 8800:1986 Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (Método

dos estados limites) - Procedimento ABNT NBR 8953:1992 Concreto para fins estruturais - Classificação por grupos de

resistência - Classificação ABNT NBR 8965:1985 Barras de aço CA 42S com características de soldabilidade

destinadas a armaduras para concreto armado - Especificação ABNT NBR 9062:2001 Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado –

Procedimento ABNT NBR 11578:1991 Cimento Portland composto – Especificação ABNT NBR 11919:1978 Verificação de emendas metálicas de barras de concreto

armado - Método de ensaio ABNT NBR 12142:1991 Concreto - Determinação da resistência à tração na flexão em

corpos-de-prova prismáticos - Método de ensaio ABNT NBR 12654:1992 Controle tecnológico de materiais componentes do concreto -

Procedimento

2006 1-11 ufpr/tc405

ABNT NBR 12655:1996 Concreto - Preparo, controle e recebimento – Procedimento ABNT NBR 12989:1993 Cimento Portland branco – Especificação ABNT NBR 13116:1994 Cimento Portland de baixo calor de hidratação – Especificação ABNT NBR 14859-2:2002 Laje pré-fabricada – Requisitos. Parte 2: Lajes bidirecionais ABNT NBR 14931:2003 Execução de estruturas de concreto - Procedimento. ABNT NBR ISO 6892:2002 Materiais metálicos – Ensaio de tração à temperatura ambiente ABNT NBR NM 67:1998 Concreto - Determinação da consistência pelo abatimento do

tronco de cone

1.7 Simbologia1 A simbologia adotada na ABNT NBR 6118, no que se refere a estruturas de concreto, é

constituída por símbolos-base e símbolos subscritos. Os símbolos-base utilizados com mais freqüência encontram-se estabelecidos em 1.7.1 e os símbolos subscritos em 1.7.2.

As grandezas representadas pólos símbolos devem sempre ser expressas em unidades do Sistema Internacional (SI) (item 4.1 da ABNT NBR 6118).

1.7.1 Símbolos base 1.7.1.1 Letras minúsculas

a distância ou dimensão menor dimensão de um retângulo deslocamento máximo (flecha) b largura dimensão ou distância paralela à largura menor dimensão de um retângulo bw largura da alma de uma viga c cobrimento da armadura em relação à face do elemento d altura útil dimensão ou distância e excentricidade de cálculo oriunda dos esforços solicitantes MSd e NSd distância f resistência h dimensão altura i raio de giração mínimo da seção bruta de concreto da peça analisada k coeficiente l comprimento vão n número número de prumadas de pilares r raio de curvatura interno do gancho rigidez s espaçamento das barras da armadura t comprimento do apoio paralelo ao vão da viga analisada tempo u perímetro w abertura de fissura x altura da linha neutra z braço de alavanca distância

1.7.1.2 Letras maiúsculas A área da seção cheia Ac área da seção transversal de concreto As área da seção transversal da armadura longitudinal de tração A's área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do capítulo 4 da NBR 6118.

2006 1-12 ufpr/tc405

D diâmetro dos pinos de dobramento das barras de aço E módulo de elasticidade EI rigidez F força ações G ações permanentes Gc módulo de elasticidade transversal do concreto H altura Ic momento de inércia da seção de concreto K coeficiente M momento momento fletor MRd momento fletor resistente de cálculo MSd momento fletor solicitante de cálculo M1d momento fletor de 1ª ordem de cálculo M2d momento fletor de 2ª ordem de cálculo N força normal Nd força normal de cálculo NRd força normal resistente de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo Q ações variáveis R reação de apoio Rd esforço resistente de cálculo Sd esforço solicitante de cálculo T temperatura momento torçor TRd momento torçor resistente de cálculo TSd momento torçor solicitante de cálculo V força cortante Vd força cortante de cálculo

1.7.1.3 Letras gregas α ângulo parâmetro de instabilidade coeficiente fator que define as condições de vínculo nos apoios β ângulo coeficiente δ coeficiente de redistribuição deslocamento ε deformação εc deformação específica do concreto εs deformação específica do aço φ diâmetro das barras da armadura φl diâmetro das barras de armadura longitudinal de peça estrutural φn diâmetro equivalente de um feixe de barras φt diâmetro das barras de armadura transversal φvibr diâmetro da agulha do vibrador γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto γf coeficiente de ponderação das ações γm coeficiente de ponderação das resistências γs coeficiente de ponderação da resistência do aço ϕ coeficiente de fluência λ índice de esbeltez µ coeficiente momento fletor reduzido adimensional

2006 1-13 ufpr/tc405

ν coeficiente de Poisson força normal adimensional θ rotação ângulo de inclinação desaprumo ρ taxa geométrica de armadura longitudinal de tração ρc massa específica do concreto ρmín taxa geométrica mínima de armadura longitudinal de vigas e pilares ρs taxa geométrica de armadura aderente passiva σc tensão à compressão no concreto σct tensão à tração no concreto σs tensão normal no aço σRd tensões normais resistentes de cálculo σSd tensões normais solicitantes de cálculo τRd tensões de cisalhamento resistente de cálculo τSd tensão de cisalhamento de cálculo usando o contorno adequado ao fenômeno

analisado τTd tensão de cisalhamento de cálculo, por torção τwd tensão de cisalhamento de cálculo, por força cortante

1.7.2 Símbolos subscritos 1.7.2.1 Letras minúsculas

apo apoio c concreto cor corrigido d valor de cálculo e equivalente ef efetivo eq equivalente f feixe fad fadiga fic fictícia g ações permanentes h horizontal i número seqüencial inf inferior j idade (referente à cura do concreto) k valor característico número seqüencial lim limite m média máx máximo mín mínimo nec necessário nom nominal q ações variáveis r radial s aço de armadura passiva sec secante ser serviço sup superior t tração transversal tot total u último de ruptura

2006 1-14 ufpr/tc405

v vertical viga vão vão vig viga w alma transversal x direção ortogonal y direção ortogonal escoamento do aço

1.7.2.2 Letras maiúsculas R resistências S solicitações

1.7.3 Números 0 início instante de aplicação de carga 28 aos 28 dias

1.7.4 Simbologia específica 1.7.4.1 Símbolos base

fc resistência à compressão do concreto fck resistência característica à compressão do concreto fckj resistência característica à compressão do concreto aos j dias fcmj resistência média à compressão do concreto aos j dias fct resistência do concreto à tração direta fctk resistência característica à tração do concreto fctk,inf resistência característica inferior à tração do concreto fctk,sup resistência característica superior à tração do concreto fct,m resistência média à tração do concreto fct,f resistência do concreto à tração na flexão fct,sp resistência do concreto à tração indireta fstk resistência característica à tração do aço fyk resistência característica ao escoamento do aço t tempo u perímetro da seção em contato com a atmosfera Ac área da seção transversal Eci módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial do concreto,

referindo-se sempre ao módulo cordal a 30% fc Eci(t0) módulo de elasticidade (deformação) inicial do concreto Ecs módulo de elasticidade secante do concreto, também denominado módulo de

deformação secante do concreto Gc módulo de elasticidade transversal do concreto M momento fletor N força normal εc deformação específica do concreto εc(t) deformação específica do concreto no instante t εc(t0) deformação específica imediata do concreto εcc deformação específica do concreto devida à fluência εcc(t,t0) deformação específica do concreto devida à fluência no intervalo de tempo t – t0 εcs deformação específica do concreto devida à retração εcs(t,t0) deformação específica do concreto devida à retração no intervalo de tempo t – t0 εct deformação específica do concreto à tração εc0 deformação específica do concreto no instante da aplicação do carregamento

(deformação inicial) εs deformação específica do aço εuk deformação específica característica do aço na ruptura

2006 1-15 ufpr/tc405

η coeficiente de conformação superficial η1 coeficiente para cálculo da tensão de aderência da armadura ϕ(t,t0) coeficiente de fluência correspondente ao intervalo de tempo t – t0 ν coeficiente de Poisson σc tensão à compressão no concreto σc(t0) tensão à compressão imediata no concreto σct tensão à tração no concreto σs tensão normal no aço

1.7.4.2 Símbolos subscritos inf inferior sup superior t tempo t0 início de contagem de tempo

1.8 Exercícios Ex. 1.1: Complete o quadro abaixo.

Concreto fck (MPa)

fctk,inf (MPa)

fctk,sup (MPa)

Eci (MPa)

Ecs (MPa)

C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

Ex. 1.2: Defina os diagramas tensão-deformação - compressão (parábola-retângulo) e

tensão-deformação - tração para o concreto C20. Complete o quadro abaixo e defina os diagramas usando as seguintes escalas:

deformação: 1 cm = 1‰ tensão: 1 cm = 5 MPa

εc σc

compressão (MPa)

σct tração (MPa)

0,0‰ 0,5‰ 1,0‰ 1,5‰ 2,0‰ 2,5‰ 3,0‰ 3,5‰

2006 1-16 ufpr/tc405

Ex. 1.3: Defina o diagrama tensão-deformação para o aço CA-50. Complete o quadro abaixo e defina o diagrama usando as seguintes escalas:

deformação: 1 cm = 1‰ tensão: 1 cm = 100 MPa

εs σs

(MPa) 0,0‰ 1,0‰ 2,0‰ 3,0‰ 4,0‰ 5,0‰

10,0‰

2006 2-1 ufpr/tc405

2 2QUALIDADE DAS ESTRUTURAS

2.1 Condições gerais1 As estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade, durante sua

construção e serviço, e aos requisitos adicionais estabelecidos em conjunto entre o autor do projeto estrutural e o contratante.

Os requisitos da qualidade de uma estrutura de concreto são classificados em três grupos distintos:

− capacidade resistente, que consiste basicamente na segurança à ruptura; − desempenho em serviço, que consiste na capacidade da estrutura manter-se em

condições plenas de utilização, não devendo apresentar danos que comprometam em parte ou totalmente o uso para o qual foi projetada; e

− durabilidade, que consiste na capacidade da estrutura resistir às influências ambientais previstas e definidas em conjunto pelo autor do projeto estrutural e o contratante, no início dos trabalhos de elaboração do projeto.

A solução estrutural adotada em projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, relativos:

− à capacidade resistente (estado limite último - ELU); − ao desempenho em serviço (estados limites de serviço - ELS); e − à durabilidade da estrutura. A qualidade da solução adotada deve ainda considerar as condições: − arquitetônicas; − funcionais; − construtivas; − estruturais; e − de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar condicionado, etc.). Todas as condições impostas ao projeto devem ser estabelecidas previamente e em comum

acordo entre o autor do projeto estrutural e o contratante. Para atender aos requisitos de qualidade impostos às estruturas de concreto, o projeto deve atender a todos os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 6118 e em outras complementares e específicas, conforme o caso.

As exigências relativas à capacidade resistente e ao desempenho em serviço deixam de ser satisfeitas quando são ultrapassados os respectivos estados limites. As exigências de durabilidade deixam de ser atendidas quando não são observados os critérios de projeto definidos na seção 7 da ABNT NBR 6118.

Para tipos especiais de estruturas, devem ser atendidas exigências particulares estabelecidas em Normas Brasileiras. Exigências particulares podem, por exemplo, consistir em resistência a explosões, ao impacto, aos sismos, ou ainda relativas a estanqueidade, ao isolamento térmico ou acústico.

2.2 Estados limites 2.2.1 Estado limite último (ELU)

Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.

A segurança das estruturas de concreto deve sempre ser verificada em relação aos seguintes estados limites últimos: 1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do capítulo 5 da ABNT NBR 6118.

2006 2-2 ufpr/tc405

− estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; − estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu

todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais, admitindo-se a redistribuição de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de adaptação plástica, e admitindo-se, em geral, as verificações separadas das solicitações normais e tangenciais;

− estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;

− estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; − estado limite de colapso progressivo; e − outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais.

2.2.2 Estados limites de serviço (ELS) Estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas,

aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional das mesmas, seja em relação aos usuários, seja em relação às máquinas e aos equipamentos utilizados.

A segurança das estruturas de concreto pode exigir a verificação de alguns dos seguintes estados limites de serviço:

− estado limite de formação de fissuras (ELS-F) − estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) − estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) − estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) Em construções especiais pode ser necessário verificar a segurança em relação a outros

estados limites de serviço diferentes dos acima definidos.

2.2.2.1 Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido

quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual à resistência do concreto à tração na flexão (13.4.2 e 17.3.1 da ABNT NBR 6118).

2.2.2.2 Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos estabelecidos

em 13.4.2 e 17.3.3 da ABNT NBR 6118.

2.2.2.3 Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal

dados em 13.3 e 17.3.2 da ABNT NBR 6118.

2.2.2.4 Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) Estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da

construção.

2.3 Durabilidade das estruturas de concreto1 As estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que sob as

condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado em projeto conservem suas segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil.

Por vida útil de projeto, entende-se o período de tempo durante o qual se mantêm as características das estruturas de concreto, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo construtor, bem como de execução de reparos necessários decorrentes de danos acidentais.

O conceito de vida útil aplica-se à estrutura como um todo ou às suas partes. Desta forma, determinadas partes das estruturas podem merecer consideração especial com valor de vida útil diferente do todo.

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do capítulo 6 da ABNT NBR 6118.

2006 2-3 ufpr/tc405

A durabilidade das estruturas de concreto requer cooperação e esforços coordenados de todos os envolvidos nos processos de projeto, construção e utilização, devendo, como mínimo, ser seguido o que estabelece a ABNT NBR 12655, sendo também obedecidas as disposições constantes de manual de utilização, inspeção e manutenção.

O manual de utilização, inspeção e manutenção deve ser produzido por profissional habilitado, devidamente contratado pelo contratante, de acordo com o porte da construção, a agressividade do meio, as condições de projeto, materiais e produtos utilizados na execução da obra. Esse manual deve especificar de forma clara e sucinta, os requisitos básicos para a utilização e a manutenção preventiva, necessária para garantir a vida útil prevista para a estrutura, conforme indicado na ABNT NBR 5674.

2.3.1 Mecanismos de envelhecimento e deterioração Os mecanismos de envelhecimento e deterioração são referentes ao concreto, a armadura e

a estrutura propriamente dita. Os mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto são: − lixiviação, por ação de águas puras, carbônicas agressivas ou ácidas que dissolvem e

carreiam os compostos hidratados da pasta de cimento; − expansão por ação de águas e solos que contenham ou estejam contaminados com

sulfatos, dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado;

− expansão por ação das reações entre os álcalis do cimento e certos agregados reativos; e

− reações deletérias superficiais de certos agregados decorrentes de transformações de produtos ferruginosos presentes na sua constituição mineralógica.

Os mecanismos preponderantes de deterioração relativos à armadura são: − despassivação por carbonatação, ou seja, por ação do gás carbônico da atmosfera; e − despassivação por elevado teor de íon cloro (cloreto). Os mecanismos de deterioração da estrutura propriamente dita são todos aqueles

relacionados às ações mecânicas, movimentações de origem térmica, impactos, ações cíclicas, retração, fluência e relaxação.

2.3.2 Agressividade do ambiente A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam

sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto.

Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 2.1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes.

O responsável pelo projeto estrutural, de posse de dados relativos ao ambiente em que será construída a estrutura, pode considerar classificação mais agressiva que a estabelecida na Tabela 2.1.

2006 2-4 ufpr/tc405

Classe de agressividade

ambiental Agressividade

Classificação geral do tipo de ambiente para

efeito de projeto

Risco de deterioração da estrutura

Rural I Fraca Submersa

Insignificante

II Moderada Urbana1), 2) Pequeno Marinha1)

III Forte Industrial1), 2) Grande

Industrial1), 3)

IV Muito Forte Respingos de maré

Elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes de estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em industrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, industrias químicas.

Tabela 2.1 - Classes de agressividade ambiental

2.4 Critérios de projeto visando a durabilidade1 2.4.1 Drenagem

Deve ser evitada a presença ou acumulação de água proveniente de chuva ou decorrente de água de limpeza e lavagem, sobre as superfícies das estruturas de concreto.

As superfícies expostas que necessitam ser horizontais, tais como coberturas, pátios, garagens, estacionamentos, e outras, devem ser convenientemente drenadas, com disposição de ralos e condutores.

Todas as juntas de movimento ou de dilatação, em superfícies sujeitas à ação de água, devem ser convenientemente seladas, de forma a torná-las estanques à passagem (percolação) de água.

Todos os topos de platibandas e paredes devem ser protegidos por chapins. Todos os beirais devem ter pingadeiras e os encontros a diferentes níveis devem ser protegidos por rufos.

2.4.2 Formas arquitetônicas e estruturais Disposições arquitetônicas ou construtivas que possam reduzir a durabilidade da estrutura

devem ser evitadas. Deve ser previsto em projeto o acesso para inspeção e manutenção de partes da estrutura

com vida útil inferior ao todo, tais como aparelhos de apoio, caixões, insertos, impermeabilizações e outros.

2.4.3 Qualidade do concreto de cobrimento A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da

espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível

de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na Tabela 2.2.

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do capítulo 7 da ABNT NBR 6118.

2006 2-5 ufpr/tc405

Classe de agressividade (Tabela 2.1) Concreto I II III IV

Relação água/cimento em

massa ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45

Classe de concreto (ABNT NBR 8953) ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40

Tabela 2.2 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

Os requisitos das Tabela 2.2 e Tabela 2.3 são válidos para concretos executados com cimento Portland que atenda, conforme seu tipo e classe, às especificações das ABNT NBR 5732, ABNT NBR 5733, ABNT NBR 5735, ABNT NBR 5736, ABNT NBR 5737, ABNT NBR 11578, ABNT NBR 12989 ou ABNT NBR 13116, com consumos mínimos de cimento por metro cúbico de concreto de acordo com a ABNT NBR 12655.

Não é permitido o uso de aditivos contendo cloreto na sua composição em estruturas de concreto armado.

2.4.3.1 Cobrimento O cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de

todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o

cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na Tabela 2.3 para ∆c = 10 mm. Nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm.

Classe de agressividade ambiental (Tabela 2.1) I II III IV2) Componente ou

elemento Cobrimento nominal (cnom)

Laje1) 20 mm 25 mm 35 mm 45 mm Viga1) e Pilar 25 mm 30 mm 40 mm 50 mm

1) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo cobrimento nominal referente à barra ou feixe (cnom ≥ φbarra ou cnom ≥ φfeixe), respeitado um cobrimento nominal de no mínimo 15 mm (cnom ≥ 15 mm).

2) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal igual ou maior que 45 mm (cnom ≥ 45 mm).

Tabela 2.3 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ∆c = 10 mm

Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 2.3. em 5 mm.

Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo (Figura 2.1).

2006 2-6 ufpr/tc405

Figura 2.1 - Cobrimentos de barras longitudinais e transversais

O cobrimento nominal de uma barra ou de um feixe de barras (Figura 2.2) deve sempre ser:

ncc

nfeixenom

barranom

φ=φ=φ≥φ≥

Equação 2.1

Figura 2.2 - Feixe de barras A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode

superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

nommax c 1,2d ≤ Equação 2.2

2.4.4 Controle da fissuração O risco e a evolução da corrosão do aço na região das fissuras de flexão transversais à

armadura principal depende essencialmente da qualidade e da espessura do concreto de cobrimento da armadura. Aberturas características limites de fissuras na superfície do concreto estabelecidas no item 13.4.2 da ABNT NBR 6118, em componentes ou elementos de concreto armado, são satisfatórias para as exigências de durabilidade.

2.5 Simbologia específica 2.5.1 Símbolos base

cl cobrimento da barra longitudinal cmin cobrimento mínimo cnom cobrimento nominal (cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução) ct cobrimento da barra transversal (estribo) dmax dimensão máxima característica do agregado graúdo n número de barras que constituem um feixe φ diâmetro das barras que constituem um feixe φbarra diâmetro da barra φfeixe diâmetro equivalente de um feixe de barras φl diâmetro da barra longitudinal

cl

φt cl ≥ cnom ≥ φl ct ≥ cnom ≥ φt

φl ct

φ = φbarra

φn = φfeixe

n = 3 φn = φ 3

cnom ≥ φn

φn cnom ≥ φn

2006 2-7 ufpr/tc405

φn diâmetro equivalente de um feixe de barras (diâmetro nominal) φt diâmetro da barra transversal (estribo) ∆c tolerância de execução para o cobrimento

2.5.2 Símbolos subscritos barra barra feixe feixe max máximo min mínimo nom nominal

2.6 Exercícios Ex. 2.1: Determinar a menor classe possível de concreto (menor fck), bem como o maior

fator possível água/cimento (maior A/C) para as seguintes construções: − construção urbana, ambiente interno seco; − construção industrial, ambiente externo seco; e − construção marinha, ambiente externo. Ex. 2.2: Determinar o cobrimento nominal a ser adotado para as barras das vigas e pilares

das seguintes construções: − construção urbana, ambiente interno seco; − construção industrial, ambiente externo seco; e − construção marinha, ambiente externo. Ex. 2.3: Determinar os valores de a e b do estribo abaixo representado. A viga será

construída em local de classe de agressividade ambiental II, as barras longitudinais superiores tem diâmetro 10 mm, as barras longitudinais inferiores tem diâmetro 16 mm e o estribo será constituído por barras de 6,3 mm. Considerar valores inteiros (em centímetros) para as dimensões a e b, barras mais próximas possível das faces e ignorar as curvaturas dos cantos do estribo.

Ex. 2.4: Determinar as coordenadas dos eixos das barras longitudinais mostradas na figura abaixo. A viga será construída em local de classe de agressividade ambiental I, as barras longitudinais superiores tem diâmetro 16 mm, as barras longitudinais inferiores tem diâmetro 25 mm e o estribo será constituído por barras de 8 mm. Considerar as barras mais próximas possível das faces.

x

30 cm

50 cm

y

20 cm

40 cm

a

b

2006 3-1 ufpr/tc405

3 3AÇÕES, SOLICITAÇÕES E RESISTÊNCIAS1

3.1 Tipos de ações Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam

produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço.

As ações a considerar classificam-se de acordo com a ABNT NBR 8681 em: − permanentes; − variáveis; e − excepcionais.

3.1.1 Ações permanentes Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda

a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança.

As ações permanentes são constituídas pelas: − ações permanentes diretas; e − ações permanentes indiretas.

3.1.1.1 Ações permanentes diretas As ações permanentes diretas são constituídas pelos: − peso próprio da estrutura; − pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes; e − empuxos permanentes.

3.1.1.1.1 Peso próprio da estrutura Nas construções correntes admite-se que o peso próprio da estrutura seja avaliado

considerando a massa especifica do material conforme estabelecido em [1.4.2].

3.1.1.1.2 Peso dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes As massas específicas dos materiais de construção correntes podem ser avaliadas com

base nos valores indicados na ABNT NBR 6120. Os pesos das instalações permanentes são considerados com os valores nominais indicados pelos respectivos fornecedores.

3.1.1.1.3 Empuxos permanentes Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos

quando forem admitidos não removíveis. Como representativos devem ser considerados os valores característicos Fk,sup ou Fk,inf

conforme a ABNT NBR 8681.

3.1.1.2 Ações permanentes indiretas As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por: − retração; − fluência; − deslocamentos de apoio; e − imperfeições geométricas.

1 O texto relativo a este capítulo é, basicamente, uma cópia dos capítulos 11 e 12 da ABNT NBR 6118.

2006 3-2 ufpr/tc405

3.1.1.2.1 Retração do concreto A deformação específica de retração do concreto deve ser calculada conforme indica o

Anexo A da ABNT NBR 6118. Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada simplificadamente através

da Tabela [1.2], por interpolação. Essa tabela fornece o valor característico superior da deformação específica de retração entre os instantes t0 e t∞, εcs(t∞,t0), em algumas situações usuais.

Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na ABNT NBR 6118, o valor de εcs(t∞,t0) pode ser adotado igual a

)10(-15‰15,0)t,t( -50cs ×−=ε ∞ Equação 3.1

Esse valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiental não inferior a 75%.

O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. Nos elementos estruturais permanentes submetidos a diferentes condições de umidade em

faces opostas, admite-se variação linear da retração ao longo da espessura do elemento estrutural entre os dois valores correspondentes a cada uma das faces.

3.1.1.2.2 Fluência do concreto As deformações decorrentes da fluência do concreto devem ser calculadas conforme indica

o Anexo A da ABNT NBR 618. Nos casos em que a tensão σc(t0) não varia significativamente, permite-se que essas

deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão:

ϕ+σ=ε ∞

∞ )28(E)t,t(

)t(E1)t( )t,t(

ci

0

0ci0c0c Equação 3.2

onde: εc(t∞,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t∞; σc(t0) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; ϕ(t∞,t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento

aplicado em t0; Eci(t0) é o módulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0; e Eci(28) é o módulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias. O valor de ϕ(t∞,t0) pode ser calculado por interpolação da Tabela [1.2]. Essa Tabela fornece

o valor característico superior de ϕ(t∞,t0) em algumas situações usuais. O valor característico inferior de ϕ(t∞,t0) é considerado nulo.

3.1.1.2.3 Deslocamentos de apoio Os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços

significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida.

O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em função das características físicas do correspondente material de fundação. Como representativo desses deslocamentos, devem ser considerados os valores característicos superiores, δk,sup, calculados com avaliação pessimista da rigidez do material de fundação, correspondente, em princípio, ao quantil de 5% da respectiva distribuição de probabilidade.

Os valores característicos inferiores podem ser considerados nulos. O conjunto desses deslocamentos constitui-se numa única ação, admitindo-se que todos

eles sejam majorados pelo mesmo coeficiente de ponderação. 3.1.1.2.4 Imperfeições geométricas

Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos:

2006 3-3 ufpr/tc405

− imperfeições globais; e − imperfeições locais.

3.1.2 Ações variáveis As ações variáveis são constituídas pelas: − ações variáveis diretas; e − ações variáveis indiretas.

3.1.2.1 Ações variáveis diretas As ações variáveis diretas são constituídas pelas: − cargas acidentais1 previstas para o uso da construção; e − ação do vento e da chuva. Todas as ações devem respeitar as prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas.

3.1.2.1.1 Cargas acidentais previstas para o uso da construção As cargas acidentais correspondem normalmente a: − cargas verticais de uso da construção; − cargas móveis, considerando o impacto vertical; − impacto lateral; − força longitudinal de frenação ou aceleração; e − força centrífuga. Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o elemento

estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por Normas Brasileiras específicas.

3.1.2.1.2 Ação do vento Os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam

determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas.

3.1.2.1.3 Ação da água O nível d'água, ou de outro líquido, adotado para cálculo de reservatórios, tanques,

decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de extravasão, considerando apenas o coeficiente γf = γf3 =1,2 (ver 3.5 e 3.6). Nas estruturas em que a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a presença de uma lâmina de água correspondente ao nível da drenagem efetivamente garantida pela construção.

3.1.2.1.4 Ações variáveis durante a construção As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida pela

verificação da obra pronta, devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas mais significativas e sua influência na fase final.

A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura já executada e as estruturas provisórias auxiliares com os respectivos pesos próprios. Além disso devem ser consideradas as cargas acidentais de execução.

3.1.2.2 Ações variáveis indiretas As ações variáveis indiretas são constituídas pelas: − variações uniformes de temperatura; e − variações não uniformes de temperatura.

3.1.2.2.1 Variações uniformes de temperatura A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura

da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem.

1 O termo "cargas acidentais", embora bastante consagrado na engenharia brasileira de estruturas, não representa

carregamento que provoque acidente, mas corresponde, apenas e tão somente, as "cargas não permanentes". Nos paises de língua inglesa, cargas acidentais (não permanentes) são definidas como "live loads" e cargas permanentes como "dead loads".

2006 3-4 ufpr/tc405

De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: − para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser

considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; − para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente

fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; e

− para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados.

A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra.

Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas prescritas pela ABNT NBR 6118 para que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre a estrutura da construção.

3.1.2.2.2 Variações não uniformes de temperatura Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente

diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC.

3.1.3 Ações dinâmicas Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vibrações, os

respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais de acordo com a seção 23 da ABNT NBR 6118.

3.1.4 Ações excepcionais No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos

não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por Normas Brasileiras específicas.

3.2 Tipos de estruturas Segundo a ABNT NBR 8681, as estruturas são classificadas como: − grandes pontes; − edificações tipo 1; e − edificações tipo 2.

3.2.1 Grandes pontes Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade

das ações permanentes.

3.2.2 Edificações tipo 1 Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2.

3.2.3 Edificações tipo 2 Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2.

3.3 Valores das ações 3.3.1 Valores característicos

Os valores característicos Fk das ações são estabelecido em função da variabilidade de suas intensidades.

3.3.1.1 Ações permanentes Para as ações permanentes, os valores característicos devem ser adotados iguais aos

valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos

2006 3-5 ufpr/tc405

superiores ou inferiores. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120.

Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para peso específico de materiais de construção, correspondem a:

blocos de argamassa ................................................................................................. 22 kN/m3 lajotas cerâmicas ....................................................................................................... 18 kN/m3 tijolos furados ............................................................................................................. 13 kN/m3 tijolos maciços ............................................................................................................ 18 kN/m3 argamassa de cal, cimento e areia ............................................................................ 19 kN/m3 argamassa de cimento e areia ................................................................................... 21 kN/m3 concreto simples ........................................................................................................ 24 kN/m3 concreto armado ........................................................................................................ 25 kN/m3

3.3.1.2 Ações variáveis Os valores característicos das ações variáveis, Fqk estabelecidos por consenso e indicados

em Normas Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos, o que significa que o valor característico Fqk é o valor com período médio de retorno de 200 a 140 anos respectivamente. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120.

Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para valores mínimos de cargas verticais, correspondem a:

ginásios de esportes ................................................................................................. 5,0 kN/m2 lojas ........................................................................................................................... 4,0 kN/m2 restaurantes .............................................................................................................. 3,0 kN/m2 escritórios .................................................................................................................. 2,0 kN/m2 forros ......................................................................................................................... 0,5 kN/m2 edifícios residenciais

dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ...................................................... 1,5 kN/m2 despensa, área de serviço e lavanderia .......................................................... 2,0 kN/m2

escadas com acesso ao público .................................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao público .................................................................................... 2,5 kN/m2

3.3.2 Valores representativos As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: − valores característicos conforme definido em 3.3.1; − valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações

excepcionais; − valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como:

! verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pela expressão ψ0 Fk, que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes; e

! verificações de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pelas expressões ψ1 Fk e ψ2 Fk, que estimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, de uma ação que acompanha a ação principal.

3.3.3 Valores de cálculo Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos,

multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf.

2006 3-6 ufpr/tc405

3.4 Tipos de carregamento1 Durante o período de vida da construção, podem ocorrer os seguintes tipos de

carregamento: − normal; − especial; − excepcional; ou − de construção. Os tipos de carregamento podem ser de longa duração ou transitórios, conforme seu tempo

de duração.

3.4.1 Carregamento normal O carregamento normal decorre do uso previsto para construção. Admite-se que o

carregamento normal possa ter duração igual ao período de referência da estrutura, e sempre deve ser considerado na verificação da segurança, tanto em relação a estados limites últimos quanto em relação a estados limites de serviço.

3.4.2 Carregamento especial Um carregamento especial decorre da atuação de ações variáveis de natureza ou

intensidade especiais, cujos efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas no carregamento normal. Os carregamentos especiais são transitórios, com duração muito pequena em relação ao período de referência da estrutura. Os carregamentos especiais são em geral considerados apenas na verificação da segurança em relação aos estados limites últimos, não se observando as exigências referentes aos estados limites de serviço.

3.4.3 Carregamento excepcional Um carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais que podem

provocar efeitos catastróficos. Os carregamentos excepcionais somente devem ser considerados no projeto de estrutura de determinados tipos de construção, para os quais a ocorrência de ações excepcionais não possa ser desprezada e que, além disso, na concepção estrutural, não possam ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a gravidade das conseqüências dos efeitos dessas ações. O carregamento excepcional é transitório, com duração extremamente curta. Com um carregamento do tipo excepcional, considera-se apenas a verificação da segurança em relação a estados limites últimos, através de uma única combinação última excepcional de ações.

3.4.4 Carregamento de construção O carregamento de construção é considerado apenas nas estruturas em que haja risco de

ocorrência de estados limites, já durante a fase de construção. O carregamento de construção é transitório e sua duração deve ser definida em cada caso particular. Devem ser consideradas tantas combinações de ações quantas sejam necessárias para verificação das condições de segurança em relação a todos os estados limites que são de se temer durante a fase de construção.

3.5 Coeficientes de ponderação das ações 3.5.1 Estado limite último 3.5.1.1 Coeficientes de majoração de ações

Quando se consideram estados limites últimos, os coeficientes γf de ponderação (majoração) das ações podem ser considerados como o produto de dois outros, de tal forma que:

0,13f1ff ≥γ×γ=γ Equação 3.3 onde2:

γf1 leva em conta a variabilidade das ações; e γf3 considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas

construtivos, seja por deficiência do método de cálculo empregado.

1 O texto relativo a este capítulo é, basicamente, uma cópia do item 4.3.2 da ABNT NBR 8681. 2 O coeficiente de combinação ψ0 faz o papel do terceiro coeficiente, que seria indicado por γf2.

2006 3-7 ufpr/tc405

O desdobramento do coeficiente de segurança γf em coeficientes parciais permite que os valores gerais estabelecidos para γf possam ser discriminados em função de peculiaridades dos diferentes tipos de estruturas e de materiais de construção considerados.

Tendo em vista as diversas ações levadas em conta no projeto, o índice do coeficiente γf pode ser alterado para identificar a ação considerada, resultando os símbolos γg, γq e γε, de tal forma que:

γγγγ

=γ×γ=γ

ε

ε

indiretas) variáveis (açõesdiretas) variáveis (ações

indiretas) spermanente (açõesdiretas) spermanente (ações

q

q

g

g

3f1ff Equação 3.4

Os coeficientes de ponderação para combinações últimas γg, γεg, γq e γεq são apresentados, em forma de tabelas, na ABNT NBR 8681, considerando:

− ações permanentes diretas consideradas separadamente (Tabela 1); − ações permanentes diretas agrupadas (Tabela 2); − efeitos de recalques de apoio e de retração dos materiais (Tabela 3); − ações variáveis consideradas separadamente (Tabela 4); e − ações variáveis consideradas conjuntamente (Tabela 5). A ABNT NBR 6118 procura sintetizar, na sua Tabela 11.1, os valores mais usados

apresentados nas Tabelas 1 a 5 de ABNT NBR 8681. Por se tratar de uma tabela incompleta (não leva em conta os tipos de estrutura, não diferencia ações consideradas separadamente de ações agrupadas, não apresenta coeficientes para efeitos de temperatura, etc.) recomenda-se, sempre, o uso das tabelas da ABNT NBR 8681.

Quando as ações permanentes diretas são agrupadas (Tabela 1 da ABNT NBR 8681) e as ações variáveis são consideradas conjuntamente (Tabela 5 da ABNT NBR 8681), os valores de γg, γεg, γq e γεq assumem os valores apresentados na Tabela 3.11, Tabela 3.2 e Tabela 3.3.

Grandes pontes

Ações

Permanentes Variáveis

Diretas (γg) Indiretas (γεg) Diretas (γq) Indiretas (γεq) Combinações de

ações

D F D F D F D F

Normais

1,3 1,0 1,2 0,0 1,5 0,0 1,2 0,0

Especiais ou de

construção 1,2 1,0 1,2 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0

Excepcionais

1,1 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0

D → desfavorável F → favorável

Tabela 3.1 - ELU - Coeficientes γf – Grandes pontes - Ações permanentes diretas agrupadas e ações variáveis consideradas conjuntamente

1 A Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3 foram construídas com base na afirmação contida no rodapé da Tabela 5 da

ABNT NBR 8681: “Quando as ações variáveis forem consideradas conjuntamente, o coeficiente de ponderação mostrado na

tabela 5 se aplica a todas as ações, devendo-se considerar também conjuntamente as ações permanentes diretas. Nesse caso permite-se considerar separadamente as ações indiretas como recalque de apoio e retração dos materiais conforme tabela 3 e o efeito de temperatura conforme tabela 4.“

2006 3-8 ufpr/tc405

Edificações tipo 1 e pontes em geral

Ações

Permanentes Variáveis

Diretas (γg) Indiretas (γεg) Diretas (γq) Indiretas (γεq) Combinações de

ações

D F D F D F D F

Normais

1,35 1,0 1,2 0,0 1,5 0,0 1,2 0,0

Especiais ou de

construção 1,25 1,0 1,2 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0

Excepcionais

1,15 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0

D → desfavorável F → favorável

Tabela 3.2 - ELU - Coeficientes γf – Edificações tipo 1 e pontes em geral - Ações permanentes diretas agrupadas e ações variáveis consideradas conjuntamente

Edificações tipo 2

Ações

Permanentes Variáveis

Diretas (γg) Indiretas (γεg) Diretas (γq) Indiretas (γεq) Combinações de

ações

D F D F D F D F

Normais

1,4 1,0 1,2 0,0 1,4 0,0 1,2 0,0

Especiais ou de

construção 1,3 1,0 1,2 0,0 1,2 0,0 1,0 0,0

Excepcionais

1,2 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0

D → desfavorável F → favorável

Tabela 3.3 - ELU - Coeficientes γf – Edificações tipo 2 - Ações permanentes diretas agrupadas e ações variáveis consideradas conjuntamente

O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesma origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A única exceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido.

O valor do coeficiente de ponderação, para ações variáveis direta decorrentes de empuxos d'água, ou de outro líquido, adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser considerando como sendo 1,1 (ver 3.1.2.1.3).

3.5.1.2 Pilares com dimensão inferior a 20 cm Em casos especiais, permite-se a consideração de pilares ou pilares-parede com dimensões

entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional (coeficiente de ajustamento) γn apresentado na Tabela 3.4. Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal inferior a 360 cm2.

2006 3-9 ufpr/tc405

b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12

γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 onde:

γn = 1,95 – 0,05b (b em cm) b é a menor dimensão da seção transversal da parede ou pilar.

nota: o coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento.

Tabela 3.4 - Coeficiente γn - ELU

3.5.1.3 Fatores de combinação de ações A consideração da simultaneidade das ações variáveis é expressa pelo fator ψ0 da

ABNT NBR 8681 e estão, resumidamente, apresentados na Tabela 3.5. O fator ψ0 pode ser representado por:

0,102ff ≤ψ=γ=γ Equação 3.5

Ações ψ0

Edificações residenciais, de acesso restrito 0,5

Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público 0,7 Cargas acidentais de

edifícios Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e

garagens 0,8

Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6

Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6

Passarelas de pedestre 0,6

Pontes rodoviárias 0,7

Pontes ferroviárias não especializadas 0,8

Pontes ferroviárias especializadas 1,0

Passarelas e pontes

Vigas de rolamento de pontes rolantes 1,0

Tabela 3.5 - Coeficiente γf2 – ELU

3.5.2 Estado limite de serviço O coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela

Equação 3.6 e tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (Tabela 3.6).

2ff γ=γ Equação 3.6 onde:

γf2 = 1,0 para combinações raras; γf2 = ψ1 para combinações freqüentes; e γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes.

2006 3-10 ufpr/tc405

Ações ψ1 ψ21), 2)

Edificações residenciais, de acesso restrito 0,4 0,3

Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público 0,6 0,4 Cargas acidentais de

edifícios Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e

garagens 0,7 0,6

Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,3 0,0

Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,5 0,3

Passarelas de pedestre 0,4 0,3

Pontes rodoviárias 0,5 0,3

Pontes ferroviárias não especializadas 0,7 0,5

Pontes ferroviárias especializadas 1,0 0,6

Passarelas e pontes

Vigas de rolamento de pontes rolantes 0,8 0,5 1) Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar para ψ2 o valor zero. 2) Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o fator de redução ψ2 pode ser reduzido,

multiplicando-o por 0,7.

Tabela 3.6 - Coeficiente γf2 - ELS

3.6 Combinações de ações Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não

desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-estabelecido.

A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. A verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente.

3.6.1 Combinações últimas Uma combinação última pode ser classificada em: − normal; − especial ou de construção; e − excepcional.

3.6.1.1 Combinações últimas normais Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável

principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas como secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681.

De modo geral, as combinações últimas usuais de ações deverão considerar: − o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto

armado; e − a perda de equilíbrio como corpo rígido

3.6.1.1.1 Esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais A equação para o cálculo de solicitações considerando o possível esgotamento da

capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado pode ser representada por:

qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ Equação 3.7

2006 3-11 ufpr/tc405

onde: Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última. Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico):

− peso próprio da estrutura; − peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e − empuxos permanentes.

Fεgk representa as ações permanentes indiretas (valor característico): − retração do concreto; − fluência do concreto; − deslocamentos de apoio; e − imperfeições geométricas.

Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor

característico): − cargas acidentais; − ação do vento; e − ação da água.

Fεqk representa as ações variáveis indiretas (valor característico): − variações uniformes de temperatura; e − variações não uniformes de temperatura.

γg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): − 1,3 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável. Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): − 1,35 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável. Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): − 1,4 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável.

γεg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): − 1,2 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável.

γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): − 1,5 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável. Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): − 1,5 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável. Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): − 1,4 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável.

γεq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): − 1,2 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável.

ψ0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas (Tabela 3.5): − 0,5 para cargas acidentais de edifícios residenciais; − 0,7 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; − 0,8 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e − 0,6 para o vento.

2006 3-12 ufpr/tc405

ψ0ε representa o fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas (Tabela 3.5): − 0,6 para variações uniformes de temperatura.

No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas.

Deve ser observado que a Equação 3.7 não considera a ação variável indireta (temperatura) como possível de ser a ação principal dentre as ações variáveis (diretas ou indiretas). Caso os efeitos de temperatura (Fεqk) venham a se constituir em fator altamente significativo para a determinação dos esforços em estruturas, constituindo-se numa possível ação variável principal, a seguinte equação deve também ser verificada:

qkqqjkj0qgkggkgd FFFFF εεεε γ+ψγ+γ+γ= ∑ Equação 3.8

3.6.1.1.2 Cargas de Fundações A capacidade de carga1 de fundações superficiais (sapatas) ou de fundações profundas

(estacas ou tubulões), de modo geral, são definidas por tensões admissíveis (fundações superficiais) ou cargas admissíveis (fundações profundas). Essas tensões ou cargas admissíveis incluem coeficientes (fatores) de segurança que minoram as resistências dos elementos de fundação. Segundo a Tabela 1 da ABNT NBR 6122, os fatores de segurança globais mínimos correspondem a:

capacidade de carga de fundações superficiais ................................................................. 3,0 capacidade de carga de estacas ou tubulões sem prova de carga .................................... 2,0 capacidade de carga de estacas ou tubulões com prova de carga .................................... 1,6 Os valores das solicitações correspondentes às reações de apoio a serem suportadas por

elementos de fundação, decorrentes das combinações de ações estabelecidas pela Equação 3.7 (estado limite último), consideram coeficientes de ponderação (majoração) variáveis de acordo com a natureza das ações.

Se as reações de apoio a serem suportadas por elementos de fundação, definidas pela Equação 3.7 do estado limite último, forem usadas diretamente nos projetos de fundações superficiais ou profundas, baseados no critério das tensões ou cargas admissíveis, haverá um confronto de critérios de segurança, pois:

− o critério do estado limite último usa coeficientes de segurança diferenciados tanto para as solicitações (ações) como para as resistências dos materiais; e

− o critério das tensões ou cargas admissíveis usa um único coeficiente de segurança global envolvendo tanto as solicitações (ações) com as resistências dos materiais.

Portanto, para que não ocorra confronto entre critérios de segurança, a aplicação do critério das tensões ou cargas admissíveis nas fundações superficiais ou profundas implica na necessidade das solicitações resultantes das combinações de ações atuantes na estrutura serem consideradas sem coeficientes de ponderação (majoração).

Por outro lado, a probabilidade de ocorrência simultânea de diferentes ações variáveis (cargas acidentais, vento, temperatura, etc.), representada pelo coeficiente ψ0, deve ser considerada.

Desta forma, a equação para a definição das reações de apoio a serem suportadas por elementos de fundação superficiais ou profundas, que empregam fator se segurança global (tensões ou cargas admissíveis), corresponde a:

qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF εεε ψ+ψ+++= ∑ Equação 3.9

1 A ABNT NBR 6122 estabelece dois modos de verificação de segurança. O cálculo empregando fator de segurança

global (tensões e cargas admissíveis) e o cálculo empregando-se fatores de segurança parciais (estado limite último). O primeiro é quase que o único utilizado.

2006 3-13 ufpr/tc405

A Figura 3.1 mostra as solicitações decorrentes das diversas combinações de ações, a serem usadas na verificação da capacidade do terreno de fundação superficial (sapata). A força normal Nz, sendo de compressão, tem o sentido indicado na Figura. Os momentos fletores Mx e My, bem como as forças horizontais Hx e Hy dependem das combinações das ações (direção do vento, por exemplo) e podem assumir tanto valores positivos como negativos.

Figura 3.1 – Solicitações em sapatas de concreto armado Deve-se tomar muito cuidado com a manipulação da Equação 3.7 e da Equação 3.9. No

caso específico da Figura 3.1, a Equação 3.7 deve ser usada para o dimensionamento da sapata de concreto armado, ao passo que a Equação 3.9 seria a usada para a verificação da capacidade do terreno de fundação.

Exemplo 3.1: Definir a equação de cálculo das ações para a combinação última normal (Fd) de estruturas de edifícios comerciais onde os carregamentos são resultantes de combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas (peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas (cargas acidentais e vento). Considerar o esgotamento da capacidade resistente de edificações tipo 2 para:

- carregamentos gerais desfavoráveis; e - efeito favorável das cargas permanentes. Estabelecer, também, as equações de cálculo a serem usadas em projeto de

fundação. Solução: Para a combinação última normal, deverão ser usados, para a Equação 3.7, os

valores da Tabela 3.3 e da Tabela 3.5. Para o projeto de fundações diretas, deverá ser usada a Equação 3.9.

Fgk: Gk (valor característico da ação permanente direta) Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta – carga acidental) Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta – vento) γg: 1,4 (combinação normal, ação permanente direta desfavorável) 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) γq: 1,4 (combinação normal, ação variável direta desfavorável geral) 0,0 (combinação normal, ação variável direta favorável) ψ0: 0,7 (carga acidental de edifício comercial - desfavorável) 0,0 (carga acidental de edifício comercial - favorável) ψ0: 0,6 (vento - desfavorável) 0,0 (vento - favorável) a. Ação permanente direta desfavorável (γg =1,4) qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ Fd = 1,4 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,4 Gk ◄ Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk ◄ Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk ◄

My Hy

Nz

Mx Hx

2006 3-14 ufpr/tc405

Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ b. Ação permanente direta favorável (γg =1,0) qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ Fd = 1,0 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,0 Gk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk ◄ Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ c. Ação para projeto de fundação qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF εεε ψ+ψ+++= ∑ Fd = Gk + 0,0 (Qk + Wk) → Fd = Gk ◄ Fd = Gk + (Qk + 0,0 Wk) → Fd = Gk + Qk ◄ Fd = Gk + (Qk + 0,6 Wk) → Fd = Gk + Qk + 0,6 Wk ◄ Fd = Gk + (Wk + 0,0 Qk) → Fd = Gk + Wk ◄ Fd = Gk + (Wk + 0,7 Qk) → Fd = Gk + Wk + 0,7 Qk ◄ d. Observações d.1 Vento Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o

vento tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 14 combinações possíveis de ações (carregamentos) para o item a e mais 14 combinações para o item b. O total corresponderia a 28 possíveis combinações de ações (carregamentos) para a consideração do estado limite último - combinação normal.

d.2 Verificação da fundação direta Também para o projeto de fundação haveria outras 14 combinações de ações,

dependentes das direções do vento. A planilha para fornecimento das ações possíveis de atuarem nos elementos de

fundação, para cada um deles (cada pilar), tem o aspecto mostrado a seguir. É importante observar que as 14 combinações de ações, individualmente, têm que ser verificadas. A combinação de valores da tabela, como por exemplo valores máximos, não deve ser incluída como outros casos possíveis de combinação de ações.

planta de pilares da estrutura

Wk1

Wk3

Wk2

WK4

2006 3-15 ufpr/tc405

cp: carga permanente ca: carga acidental vt: vento d.3 Estruturas usuais de edifícios Caso a estrutura venha a ser considerada como “usual”, os efeitos decorrentes

das ações permanentes diretas favoráveis (γg =1,0) não precisam ser considerados. Isto vale dizer que todo o item b poderia ser desconsiderado.

d.4 Carregamentos obrigatórios em estruturas As ações (carregamentos) consideradas neste exemplo (cargas permanentes,

cargas acidentais e vento) constituem as ações obrigatórias de serem consideradas em todas as estruturas. Para qualquer tipo de estrutura, a ação do vento tem que ser considerada.

Incluindo a definição dos carregamentos nos elementos de fundação, são necessárias 42 combinações de ações para o projeto estrutural de um edifício de concreto armado. A consideração de ações indiretas (fluência, retração, recalques de apoio, temperatura, etc.) elevaria bem mais este valor.

3.6.1.1.3 Perda de equilíbrio como corpo rígido A equação para a verificação da perda de equilíbrio como corpo rígido pode ser

representada por: ( ) ( )

min,sqsjkj0k1qnkgnnd

dskgssd

ndsd

Q)QQ(GFRGF

FSFS

γ−ψ+γ+γ=+γ=

≥

∑ Equação 3.10

onde: S(Fsd) é o valor de cálculo das solicitações estabilizantes. S(Fnd) é o valor de cálculo das solicitações não estabilizantes. Fsd representa as ações estabilizantes (valor de cálculo). Fnd representa as ações não estabilizantes (valor de cálculo). Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver. Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante. Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante. Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal. Qjk é o valor característico da ação variável instabilizante. Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha

obrigatoriamente uma ação variável instabilizante.

Sapata (Bloco) nº .... Nz Mx My Hx Hy

cp cp + ca

cp + ca + (0,6 vt1) cp + ca + (0,6 vt2) cp + ca + (0,6 vt3) cp + ca + (0,6 vt4)

cp + vt1 cp + vt2 cp + vt3 cp + vt4

cp + vt1 + (0,7 ca) cp + vt2 + (0,7 ca) cp + vt3 + (0,7 ca) cp + vt4 + (0,7 ca)

2006 3-16 ufpr/tc405

γgs representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas estabilizante: − 1,0 para combinação favorável.

γgn representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas instabilizante: − valores das Tabelas 1 e 2 da ABNT NBR 8681.

γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas instabilizante: − valores das Tabelas 4 e 5 da ABNT NBR 8681.

γqs representa o coeficiente de ponderação da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante: − usar o valor que conduza ao máximo Fnd.

ψ0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas instabilizantes:

− usar valores que levem em conta a simultaneidade das ações.

Exemplo 3.2: Verificar as condições de segurança quanto ao tombamento da barragem de rejeito abaixo representada. Considerar:

– massa específica do concreto da barragem igual a 2 200 kg/m3; e – massa específica do material de rejeito igual 1 300 kg/m3.

Solução: Deverá ser verificada a condição de perda de equilíbrio como corpo rígido da barragem. Para tal deverão ser calculados o momento estabilizante [S(Fsd)] e o momento não estabilizantes [S(Fnd)] em relação ao pé da barragem (ponto A). A barragem será segura se [S(Fsd)] ≥ [S(Fnd)]. Deverão ser usados, para a Equação 3.10, as seguintes notações e os seguintes valores para as ações e coeficientes:

Gsk = Gpp,bar (peso próprio da barragem - ação característica estabilizante) Q1k = Erej (empuxo do material de rejeito - ação característica não

estabilizante) Fsd = γgs Gsk = γgs Gpp,bar (valor de cálculo da ação estabilizante) Fnd = γq Q1k = γq Erej (valor de cálculo da ação não estabilizante) γgs = 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) γq = 1,2 (ver 3.1.2.1.3) a. Massas específicas e pesos específicos do concreto e do material de rejeito (valores

característicos) ρconc = 2 200 kg/m3 ⇒ pconc = 22 000 N/m3 = 22 kN/m3 ρrej = 1 300 kg/m3 ⇒ prej = 13 000 N/m3 = 13 kN/m3

1H 1,8V

51 m 54 m

0 m A

2006 3-17 ufpr/tc405

b. Ação permanente estabilizante (peso próprio da barragem)

m 301,854B ==

kN/m 820,0 17222

5430p2

HBGG concbar,ppsk =××

=××

==

kN/m 820,0 17820 171,0GF skgssd =×=γ=

c. Ação variável não estabilizante (empuxo do material de rejeito)

kN/m 906,5 16132

51p2

HEQ2

rejei

2

rejei1k =×=×==

kN/m 6,28620905,5 161,2QF 1kqnd =×=γ=

d. Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem - ponto A)

( ) kNm/m 400,0 3563302820,0 17

3B2

FMFS barsd

Abarpp,d,sd =

××=

××==

B

H = 54 m

1 1,8

A Gsk

H = 51 m Q1k

A

Bbar = 30 m

Fsd

Fnd Hrej = 51 m

A

2006 3-18 ufpr/tc405

( ) kNm/m 2,8723443516,28620

3H

FMFS rejeind

Arejeiemp,d,nd =×=×==

e. Condição de segurança ( ) ( ) segura barragemFSFS

)2,872344(

nd

)0,400356(

sd ⇒>321321

◄

f. Consideração do material de rejeito como sólido Como o peso próprio da estrutura supera em 75% peso total das ações permanentes

deve ser considerado para γq o valor 1,5 (Tabela 5 da ABNT NBR 8681). f.1 Ação variável não estabilizante (empuxo do material de rejeito)

kN/m 906,5 16132

51p2

HEQ2

rejei

2

rejei1k =×=×==

kN/m 358,25 25905,5 161,5QF 1kqnd =×=γ= f.2 Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem – ponto A)

( ) kNm/m 400,0 3563302820,0 17

3B2

FMFS barsd

Abarpp,d,sd =

××=

××==

( ) kNm/m 090,25431351358,25 25

3H

FMFS rejeind

Arejeiemp,d,nd =×=×==

f.3 Condição de segurança ( ) ( ) segura não barragemFSFS

)25,090431(

nd

)0,400356(

sd ⇒<321321

◄

3.6.1.2 Combinações últimas especiais ou de construção Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável

especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681.

H = 51 m Q1k

A

Bbar = 30 m

Fsd

Fnd Hrej = 51 m

A

2006 3-19 ufpr/tc405

As combinações últimas de ações deverão considerar o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais. A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por:

qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ Equação 3.11

onde: Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última. Fgk representa as ações permanentes diretas, para a situação transitória considerada

(valor característico). − peso próprio parcial da estrutura; − peso dos elementos construtivos transitórios; − empuxos transitórios.

Fεgk representa as ações permanentes indiretas, para a situação transitória considerada (valor característico). − retração parcial do concreto; − fluência parcial do concreto; e − deslocamentos de apoio.

Fq1k representa a ação variável direta principal (especial, se for o caso), para a situação transitória considerada (valor característico).

Fqjk representa as demais ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com a ação principal Fq1k (valor característico): − ações variáveis transitórias durante a construção; e − demais ações variáveis diretas (vento, água, etc.).

Fεqk representa as ações variáveis indiretas que podem agir concomitantemente com a ação principal Fq1k (valor característico). − variações de temperatura.

γg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): − 1,2 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável. Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): − 1,25 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável. Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): − 1,3 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável.

γεg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): − 1,2 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável.

γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): − 1,3 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável. Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): − 1,3 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável. Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): − 1,2 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável.

γεq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): − 1,0 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável.

2006 3-20 ufpr/tc405

ψ0j1 representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas que podem

agir concomitantemente com a ação principal Fq1k, durante a situação transitória. Este fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais (Tabela 3.5), salvo quando a ação principal Fq1k tiver um tempo de atuação muito pequeno ou probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que ψ0j pode ser tomado com o correspondente ψ2j (Tabela 3.6): − 0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; − 0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; − 0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e − 0,6 ou 0,0 para o vento.

ψ0ε representa o fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas que podem agir concomitantemente com a ação principal Fq1k, durante a situação transitória. Este fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais (Tabela 3.5), salvo quando a ação principal Fq1k tiver um tempo de atuação muito pequeno ou probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que ψ0ε pode ser tomado com o correspondente ψ2ε (Tabela 3.6): − 0,6 ou 0,3 para variações uniformes de temperatura.

Deve ser observado, que a Equação 3.11 não considera a ação variável indireta (temperatura) como possível de ser a ação principal dentre as ações variáveis (diretas ou indiretas). Caso os efeitos de temperatura (Fεqk) venham a se constituir em fator altamente significativo para a determinação dos esforços em estruturas, constituindo-se numa possível ação variável principal, a seguinte equação deve também ser verificada:

qkqqjkj0qgkggkgd FFFFF εεεε γ+ψγ+γ+γ= ∑ Equação 3.12

3.6.1.3 Combinações últimas excepcionais Em cada combinação devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional,

quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso progressivo.

As combinações últimas de ações deverão considerar o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais. A equação2 para o cálculo de solicitações pode ser representada por:

∑ψγ++γ= qjkj0qexc1qgkgd FFFF Equação 3.13

onde: Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última. Fgk representa as ações permanentes diretas, para a situação transitória considerada

(valor característico). − peso próprio parcial da estrutura; − peso dos elementos construtivos transitórios; e − empuxos transitórios.

Fq1exc representa a ação variável transitória excepcional (valor característico). Fqjk representa as ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com a ação

excepcional Fq1exc (valor característico). − ações variáveis transitórias; e − demais ações variáveis diretas (vento, água, etc.).

γg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): − 1,1 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável.

1 A ABNT NBR 8681 define este fator como ψ0,ef. Como a ABNT NBR 6118 não faz distinção de valores ψ0, a

Equação 3.7 (combinação última normal) e a Equação 3.11 (combinação última especial ou de construção) são iguais na apresentação, embora com significados diferentes na aplicação.

2 A equação apresentada pela ABNT NBR 6118 contém os termos Fεgk e Fεqk, o que não faz sentido pois os coeficientes γεg e γεq são nulos (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3).

2006 3-21 ufpr/tc405

Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): − 1,15 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável. Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): − 1,2 para combinação desfavorável; e − 1,0 para combinação favorável.

γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas Grandes pontes (Tabela 3.1): − 1,0 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável. Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): − 1,0 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável. Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): − 1,0 para combinação desfavorável; e − 0,0 para combinação favorável.

ψ0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com a ação excepcional Fq1exc, durante a situação transitória. Este fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais (Tabela 3.5), salvo quando a ação excepcional Fq1exc tiver um tempo de atuação muito pequeno ou probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que ψ0j pode ser tomado com o correspondente ψ2j (Tabela 3.6). − 0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; − 0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; − 0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e − 0,6 ou 0,0 para o vento.

3.6.2 Combinações de serviço As combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na estrutura

e devem ser verificadas como estabelecido a seguir: − quase permanentes; − freqüentes; e − raras.

3.6.2.1 Combinações quase permanentes de serviço São combinações que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e

sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são

consideradas com seus valores quase permanentes ψ2 Fqk. A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por:

∑ψ+= qjkj2gkser,d FFF Equação 3.14

onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico):

− peso próprio da estrutura; − peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e − empuxos permanentes.

Fqjk representa as ações variáveis diretas (valor característico): − cargas acidentais; − ação do vento; e − ação da água.

ψ2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para as ações variáveis diretas (Tabela 3.6): − 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; − 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios;

2006 3-22 ufpr/tc405

− 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e − 0,0 para o vento.

3.6.2.2 Combinações freqüentes de serviço São combinações que se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e

sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações.

Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor freqüente ψ1 Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes ψ2 Fqk.

A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por:

∑ψ+ψ+= qjkj2k1q1gkser,d FFFF Equação 3.15

onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico):

− peso próprio da estrutura; − peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e − empuxos permanentes.

Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor

característico): − cargas acidentais; − ação do vento; e − ação da água.

ψ1 representa o fator de redução de combinação freqüente para a ação variável direta principal Tabela 3.6): − 0,4 para cargas acidentais de edifícios residenciais; − 0,6 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; − 0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e − 0,3 para o vento.

ψ2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para as ações variáveis diretas (Tabela 3.6): − 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; − 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; − 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e − 0,0 para o vento.

3.6.2.3 Combinações raras de serviço São combinações que ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua

consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor

característico Fq1k e todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes ψ1 Fqk. A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por:

∑ψ++= qjkj1k1qgkser,d FFFF Equação 3.16

onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico):

− peso próprio da estrutura; − peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e − empuxos permanentes.

Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico).

2006 3-23 ufpr/tc405

Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor característico): − cargas acidentais; − ação do vento; e − ação da água.

ψ1 representa o fator de redução de combinação freqüente para a ação variável direta principal Tabela 3.6): − 0,4 para cargas acidentais de edifícios residenciais; − 0,6 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; − 0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e − 0,3 para o vento.

Exemplo 3.3: Definir as equações cálculo das ações para as combinações de serviço (Fd,ser) de estruturas de edifícios residenciais onde os carregamentos são resultantes de combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas (peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas (cargas acidentais e vento).

Solução: Deverá ser usada a Equação 3.14 para a combinação quase permanente, a Equação 3.15 para a combinação freqüente e a Equação 3.16 para a combinação rara. Os valores de ψ1 e ψ2 são os constantes da Tabela 3.6.

Fgk: Gk (valor característico da ação permanente direta) Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta – carga acidental) Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta – vento) ψ1: 0,4 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) ψ2: 0,3 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) ψ1: 0,3 (vento - desfavorável) 0,0 (vento - favorável) ψ2: 0,0 (vento - desfavorável) 0,0 (vento - favorável) a. Combinação quase permanente ∑ψ+= qjkj2gkser,d FFF Fd,ser = Gk + 0,3 Qk + 0,0 Wk → Fd,ser = Gk + 0,3 Qk ◄ b. Combinação freqüente ∑ψ+ψ+= qjkj2k1q1gkser,d FFFF Fd,ser = Gk + 0,4 Qk + 0,0 Wk → Fd,ser = Gk + 0,4 Qk ◄ Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk → Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk ◄ c. Combinação rara ∑ψ++= qjkj1k1qgkser,d FFFF Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk → Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk ◄ Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk → Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk ◄

Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o vento tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 5 combinações possíveis de ações (carregamentos) para a combinação freqüente e 8 combinações possíveis para a combinação rara.

2006 3-24 ufpr/tc405

3.7 Solicitações e tensões de cálculo As solicitações (esforços), decorrentes das ações atuantes em elementos estruturais,

classificam-se em: − Solicitações normais, caracterizadas pelos momentos fletores (M) e forças normais

de (N), e − Solicitações de cisalhamento, caracterizadas pelos momentos torçores (T) e forças

cortantes (V). As tensões, também decorrentes das ações, classificam-se em: − Tensões normais (σ), relacionadas aos momentos fletores (M) e forças normais (N), e − Tensões de cisalhamento (τ), relacionadas aos momentos torçores (T) e forças

cortantes (V). Como as ações a serem consideradas no projeto estrutural correspondem às ações de

cálculo (ações combinadas), as solicitações e as tensões deverão, também, ser representadas pelos seus valores de cálculo. Desta, forma, para efeito de dimensionamento e verificação de elementos estruturais os valores das solicitações e tensões a serem considerados são:

− Solicitações e tensões normais: MSd momento fletor solicitante de cálculo; NSd força normal solicitante de cálculo; e σSd tensão normal solicitante de cálculo.

− Solicitações e tensões de cisalhamento: TSd momento torçor solicitante de cálculo; VSd força cortante solicitante de cálculo; e τSd tensão de cisalhamento solicitante de cálculo.

Exemplo 3.4: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd), considerando ações diretas, estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 e peso próprio desprezível. Admitir:

a. estrutura qualquer, onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (γg = 1,0) precisam ser consideradas; e

b. estrutura usual de edifício onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (γg = 1,0) não precisam ser consideradas (ver 3.6.1.1.1).

Solução: Deverão ser usados, para a Equação 3.7, os seguintes valores para as ações e coeficientes (Tabela 3.3 – edificação tipo 2):

qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ Fgk = Gk = 10 kN (valor característico da ação permanente direta) Fq1k = Qk = 5 kN (valor característico da ação variável direta principal) γg = 1,4 (combinação normal, ação permanente direta desfavorável) γg = 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) γq = 1,4 (combinação normal, ação variável direta desfavorável geral) γq = 0,0 (combinação normal, ação variável direta favorável geral) Para o caso a, deverão ser consideradas as seguintes combinações: Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + ação variável favorável) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável geral) Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk (permanente favorável + ação variável favorável)

C A

B D 2 m 4 m 4 m

Gk = 10 kN (permanente) Qk = 5 kN

(variável)

2006 3-25 ufpr/tc405

Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk (permanente favorável + variável desfavorável geral) Para o caso b, deverão ser consideradas as seguintes combinações: Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + ação variável favorável) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável geral) a. Consideração do efeito favorável da ação permanente a.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk

a.2 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk

a.3 Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk

a.4 Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk

a.5 envoltória MSd

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,0 x 10 = 10 kN 1,4 x 5 = 7 kN

MSd,A = -00 kNm MSd,B = +04 kNm MSd,C = -20 kNm MSd,D = -00 kNm

-14 kNm

-28 kNm

+4 kNm

MSd,A = -00 kNm MSd,B = -00 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN

MSd,A = -00 kNm MSd,B = -14 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 0,0 x 5 = 0 kN

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,0 x 10 = 10 kN 0,0 x 5 = 0 kN

MSd,A = -00 kNm MSd,B = -10 kNm MSd,C = -20 kNm MSd,D = -00 kNm

2006 3-26 ufpr/tc405

b. Não consideração do efeito favorável da ação permanente b.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk

b.2 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk

b.3 envoltória MSd

c. Observações Deve ser observado que a consideração ou não do efeito favorável da carga

permanente define a existência ou não de momentos positivos atuando na viga. A envoltória MSd mostrada no item a.5 mostra um momento positivo máximo de 4 kNm, enquanto que a envoltória MSd mostrada no item b.3 não apresenta momentos positivos.

Em princípio, deve-se acreditar que o efeito favorável da carga permanente deva ser sempre considerado nas combinações de ações, e que a envoltória apresentada no item a.5 é a única correta.

Na realidade a opção mostrada em 3.6.1.1.1, onde a ABNT NBR 6118 estabelece: "No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram

γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas" não pode ser usada isoladamente. A ABNT NBR 6118 estabelece, também: "14.6.7 Estruturas usuais de edifícios - Aproximações permitidas 14.6.7.1 Vigas contínuas Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada

nos pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais:

a) não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos;

b) ............." Portanto, ao diagrama (envoltória) apresentado no item b.3, deve-se acrescentar o

diagrama de momentos fletores para o seguinte carregamento:

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN

MSd,A = -00 kNm MSd,B = -00 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm

-14 kNm

-28 kNm

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 0,0 x 5 = 0 kN

MSd,A = -00 kNm MSd,B = -14 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm

2006 3-27 ufpr/tc405

Desta forma, embora o efeito favorável da ação permanente não tenha sido considerado nas combinações últimas, a envoltória MSd apresenta momentos positivos, como mostrado no diagrama seguinte.

3.8 Resistências 3.8.1 Valores característicos

Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança.

Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf., cujo valor é menor que a resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência característica superior fk,sup, cujo valor é maior que fm.

Para os efeitos desta Norma, a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material (Figura 3.2).

Figura 3.2- Valor característico de resistência

3.8.1.1 Resistência característica do concreto O concreto, quer preparado no canteiro quer pré-misturado, deverá apresentar uma

resistência característica fck, compatível com a adotada no projeto. Conforme mostrado na Tabela [1.1], ao se definir a classe do concreto, fica estabelecido o valor da sua resistência característica (por exemplo, para o concreto classe C25, o valor de fck corresponde a 25 MPa).

-28 kNm

-14 kNm

+8,75 kNm

dens

idad

e de

pr

obab

ilidad

e

resistências fm fk,inf

5% distribuição

normal

B C

A

4 m 4 m

1,4 x 5 = 7 kN MSd,A = -0,00 kNm MSd,B = +8,75 kNm MSd,C = -10,5 kNm

2006 3-28 ufpr/tc405

A especificação pura e simples da classe não é suficiente para a caracterização do concreto. A ABNT NBR 6118 exige, também, que seja fixado um valor máximo para a relação água/cimento, conforme mostrado na Tabela [2.2].

Outras características do concreto, tais como diâmetro máximo da brita, “slump”, etc. também podem ser requeridas. Em casos específicos, o consumo mínimo de cimento por metro cúbico de concreto pode vir a ser solicitado.

Outro fator importante que deve ser estabelecido pelo profissional responsável pelo projeto é a data em que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. Etapas construtivas, tais como, retirada de cimbramento, manuseio de pré-moldados, etc., definem valores da resistência característica do tipo fck,14, fck,90, fck,180, onde o número posterior à vírgula corresponde à data em que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. A não indicação da data significa que o concreto foi dosado para atingir sua resistência característica aos 28 dias (fck = fck,28).

3.8.1.2 Resistência característica do aço Conforme mostrado na Tabela [1.3], ao se definir a categoria do aço, fica estabelecido o

valor da sua resistência característica (por exemplo, para o aço CA-25, o valor de fyk corresponde a 250 MPa).

3.8.2 Valores de cálculo 3.8.2.1 Resistência de cálculo

A resistência de cálculo fd é dada pela expressão:

m

kd

ffγ

= Equação 3.17

onde: fd resistência de cálculo; fk resistência característica; e γm coeficiente de ponderação (minoração) da resistência. O coeficiente γm é obtido pela multiplicação de três fatores, de tal forma que:

3m2m1mm γ×γ×γ=γ Equação 3.18 onde:

γm1 leva em conta a variabilidade da resistência efetiva, transformando a resistência característica num valor extremo de menor probabilidade de ocorrência;

γm2 considera as diferenças entre a resistência efetiva do material da estrutura e a resistência medida convencionalmente em corpos-de-prova padronizados; e

γm3 considera as incertezas existentes na determinação das solicitações resistentes, seja em decorrência de métodos construtivos seja em virtude do método de cálculo empregado.

3.8.2.2 Resistência de cálculo do concreto Quando os valores de projeto são referidos à resistência do concreto aos 28 dias, a

resistência de cálculo fica definida pela expressão:

f fcd

ck

c=γ

Equação 3.19

O valor de γc varia acordo com os estados limites e com as combinações de ações. Seus valores estão mostrados na Tabela 3.7.

Combinações γc Normais 1,40

Especiais ou de construção 1,20 Estado Limite Ultimo

Excepcionais 1,20 Estado Limite de Serviço 1,00

Tabela 3.7 - Valores de γc

2006 3-29 ufpr/tc405

Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente γc deve ser multiplicado por 1,1.

Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados deve ser consultada a ABNT NBR 9062.

Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir o valor de γc por 1,1 No caso em que o concreto venha a ser solicitado antes dos 28 dias, a resistência de

cálculo fica definida pela expressão:

c

ck1

c

ckjcd

fff

γβ≅

γ= Equação 3.20

Na Equação 3.20, fckj representa a resistência característica do concreto aos j dias. Os valores de β1 dependem do tipo de cimento e podem ser estabelecidos pelas expressões:

ARI-CPV decimento concreto paraeff

CPII e CPI cimento de concreto paraeff

CPIV e CPIII cimento de concreto paraeff

t2810,20

ck

ckj1

t2810,25

ck

ckj1

t2810,38

ck

ckj1

−

−

−

==β

==β

==β

Equação 3.21

Na Equação 3.21, t corresponde a idade efetiva do concreto, em dias. Alguns valores de β1 estão mostrados na Tabela 3.8.

β1 Dias CPIII e CPIV CPI e CPII CPV - ARI

3 0,46 0,60 0,66 7 0,68 0,78 0,82

14 0,85 0,90 0,92 21 0,94 0,96 0,97 28 1,00 1,00 1,00

Tabela 3.8 - Valores de β1

Exemplo 3.5: Definir o valor de fcd para o concreto classe C25. Considerar combinação de ações normais para estado limite último, cimento CPIV e concreto solicitado aos 10 e 28 dias. Considerar, também, estado limite de serviço.

Solução: A fixação da classe do concreto automaticamente define o valor da resistência característica fck, conforme mostrado na Tabela [1.1]. A obtenção do valor da resistência de cálculo fcd aos 28 dias é feita pela Equação 3.19, com valores de γc obtidos da Tabela 3.7. Para a determinação do valor da resistência de cálculo fcd aos 10 dias deverão ser usadas a Equação 3.20 e a Equação 3.21.

a. Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELU 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f == 1,4=γ c

2

c

ckcd kN/cm 1,79

1,42,5f

f ==γ

= ◄

b. Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELS 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f ==

2006 3-30 ufpr/tc405

1,0=γ c

2

c

ckcd kN/cm 2,50

1,02,5f

f ==γ

= ◄

c. Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELU 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f == 1,4=γ c dias 10t = cimento = CPIV

0,774ee 102810,38

t2810,38

1 ===β

−

−

2

c

ck1cd,10 kN/cm 1,38

1,42,5774,0

ff =×=

γβ= ◄

d. Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELS 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f == 1,0=γ c dias 10t = cimento = CPIV

0,774ee 102810,38

t2810,38

1 ===β

−

−

2

c

ck1cd,10 kN/cm 1,94

1,02,5774,0

ff =×=

γβ= ◄

3.8.2.3 Resistência de cálculo do aço O valor da resistência de cálculo fyd é definido pela expressão:

s

ykyd

ff

γ= Equação 3.22

O valor de γs varia acordo com os estados limites e com as combinações de ações. Seus valores estão mostrados na Tabela 3.9.

Combinações γs Normais 1,15

Especiais ou de construção 1,15 Estado Limite Ultimo

Excepcionais 1,00 Estado Limite de Serviço 1,00

Tabela 3.9 - Valores de γs

Exemplo 3.6: Definir o valor de fyd para o aço CA-50. Considerar ações normais para o estado limite último, e estado limite de serviço.

Solução: A fixação da categoria do aço automaticamente define o valor da resistência característica fyk, conforme mostrado na Tabela [1.3]. A obtenção do valor da resistência de cálculo fyd é feita pela Equação 3.22, com valores de γs obtidos da Tabela 3.9.

a. Valor de fyk para o aço CA-50 - ELU 2

yk kN/cm 50MPa 500f == 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

= ◄

2006 3-31 ufpr/tc405

b. Valor de fyk para o aço CA-50 - ELS 2

yk kN/cm 50MPa 500f == 1,0=γ s

2

s

ykyd kN/cm 50,0

1,050f

f ==γ

= ◄

3.9 Esforços resistentes de cálculo Os esforços resistentes de cálculo decorrem da distribuição de tensões (resistentes)

atuantes numa dada seção do elemento estrutural. Desta forma, assim como para as solicitações e tensões de cálculo, os esforços e as tensões resistências de cálculo a serem consideradas são:

− Esforços e tensões normais: MRd momento fletor resistente de cálculo; NRd força normal resistente de cálculo; e σRd tensão normal resistente de cálculo.

− Esforços e tensões de cisalhamento: TRd momento torçor resistente de cálculo; VRd força cortante resistente de cálculo; e τRd tensão de cisalhamento resistente de cálculo.

3.10 Verificação da segurança Na verificação da segurança das estruturas de concreto devem ser atendidas: − as condições construtivas; e − as condições analíticas de segurança.

3.10.1 Condições construtivas de segurança Para as condições construtivas de segurança devem ser atendidas as exigências

estabelecidas: − nos critérios de detalhamento constantes das seções 18 e 20 da ABNT NBR 6118; − nas normas de controle dos materiais, especialmente a ABNT NBR 12655; e − no controle de execução da obra, conforme ABNT NBR 14931 e Normas Brasileiras

específicas.

3.10.2 Condições analíticas de segurança As condições analíticas de segurança devem ser verificadas para o: − estado limite último; e − estado limite de utilização.

3.10.2.1 Estado limite último As condições analíticas de segurança estabelecem que as resistências não devem ser

menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construção considerada, ou seja, em qualquer caso deve ser respeitada a condição:

dd SR ≥ Equação 3.23 onde:

Rd representa os esforços resistentes de cálculo; e Sd representa as solicitações de cálculo. Os valores de cálculo dos esforços resistentes são determinados a partir dos valores de

cálculo das resistências dos materiais adotados no projeto, ou das tensões resistentes de cálculo, como definido em 3.8.2.1.

As solicitações de cálculo são calculadas, para a combinação de ações considerada, de acordo com a análise estrutural.

2006 3-32 ufpr/tc405

Para a verificação do estado limite último de perda de equilíbrio como corpo rígido, Rd e Sd devem assumir os valores de cálculo das ações estabilizantes e desestabilizantes respectivamente.

Uma condição analítica de segurança pode ser representada no trecho ∆l de uma viga de concreto armado, mostrada na Figura 3.3.

Figura 3.3 - Solicitações e resistências em viga de concreto armado Na Figura 3.3, as dimensões, áreas, deformações, tensões, esforços e solicitações

correspondem a: MSd solicitação de cálculo obtida da envoltória MSd (ações características - permanentes,

variáveis, dinâmicas ou excepcionais - ponderadas pelos coeficientes γf e combinadas entres si definem a envoltória MSd, como mostrado no Exemplo 3.4);

MRd esforço resistente de cálculo, binário dado pelo produto Rcd z ou Rsd z; εc encurtamento (deformação) do concreto provocado pelo momento fletor solicitante de

cálculo MSd; εs alongamento (deformação) da armadura provocado pelo momento fletor solicitante de

cálculo MSd; σc tensão de compressão atuante na região de concreto comprimido decorrente do

encurtamento (deformação) εc; x posição da linha neutra (distância compreendida entre a fibra de concreto mais

comprimida e a linha neutra); z braço de alavanca (distância entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd); d altura útil da viga (distância compreendida entre a fibra de concreto mais comprimida e

o centro de gravidade da seção geométrica da armadura tracionada); bw largura da viga; h altura da viga; As área da seção transversal da armadura tracionada: Rcd esforço resistente de cálculo, atuante na região de concreto comprimido, igual a ∫σcdA; Rsd esforço resistente de cálculo, atuante na armadura tracionada, igual a σs As (σs obtido

do diagrama tensão-deformação do aço, através εs). Na Figura 3.3, confrontando os valores de MSd e MRd, conclui-se: a. MRd >>> MSd

O trecho ∆l é seguro (Rd > Sd), com excesso de materiais. A seção transversal da viga não é econômica.

b. MRd > MSd O trecho ∆l é seguro (Rd > Sd), com sobra de materiais. A seção transversal da viga estará mais próxima da econômica quanto menor for à sobra de material.

h z

σc

∆l

Rsd εs

εc

MSd

bw

d

As

Rcd MRd

esforços resistentes de cálculo ("interno")

solicitações de cálculo

("externa")

x

2006 3-33 ufpr/tc405

c. MRd = MSd O trecho ∆l atinge o limite de segurança (Rd = Sd), com uso adequado de materiais. A seção transversal da viga mais econômica será aquela em que o balanço dos materiais (concreto e aço) atingir o menor custo.

d. MRd < MSd O trecho ∆l não é seguro (Rd < Sd), com falta de materiais. A seção transversal da viga tem que ser redimensionada. O redimensionamento da seção transversal do trecho ∆l da viga pode ser feito alterando, de forma isolada ou combinada, os valores d, bw ou As. A alteração das resistências do concreto ou do aço, embora possa ser feita, não constitui prática comum nos projetos de estrutura de concreto armado.

3.10.2.2 Estruturas em regime elástico linear No projeto de estruturas de concreto armado, se for considerado comportamento em regime

elástico linear (elástico ou pseudo-elástico), os coeficientes de ponderação γf, conforme mostrados em 3.6, poderão ser aplicados tanto às ações características (carregamento) como aos esforços resultantes (momento fletor, força cortante, força norma ou momento torçor). Desta forma, Sd pode ser obtido de duas formas, como mostrado na Equação 3.24.

( )

( )

γ=γ

γ=

kfkf

kf

d

FSSou

FSS Equação 3.24

Caso o comportamento da estrutura não possa ser considerado em regime elástico linear, os coeficientes de ponderação γf deverão ser aplicados somente às ações características (carregamento), conforme estabelecido em 3.6.1. Neste caso o valor de Sd deve ser estabelecido considerando apenas a primeira igualdade da Equação 3.24 (Sd = S(γf Fk).

Diz-se que não há linearidade geométrica quando o comportamento estrutural deixa de ser linear em virtude da alteração da geometria do sistema.

Considerando que a aplicação direta dos coeficientes de ponderação γf nas ações características (carregamento) é válida para qualquer comportamento de estrutura, fica mais simples adotar sempre este procedimento.

3.10.3 Estado limite de serviço As condições usuais de verificação da segurança relativas aos estados limites de serviço

são, de modo geral, expressas pela desigualdade:

limd SS ≤ Equação 3.25 onde:

Sd representa as solicitações de cálculo; e Slim corresponde a valores limites estabelecidos.

3.11 Simbologia específica 3.11.1 Símbolos base

b menor dimensão da seção transversal da parede ou pilar bw largura da alma de uma viga d altura útil fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fckj resistência à compressão do concreto característica aos j dias fd resistência de cálculo fk resistência característica fk,inf resistência característica inferior fk,sup resistência característica superior fm resistência média fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo fyk resistência ao escoamento do aço característica

2006 3-34 ufpr/tc405

gk valor característico da ação permanente h altura l vão qk valor característico da ação variável t tempo x altura da linha neutra z braço de alavanca As área da seção transversal da armadura longitudinal de tração B base E empuxo Eci(t0) módulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0 Eci(28) módulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias F ações Fd valor de cálculo das ações Fd,fund valor de cálculo das ações a serem considerados em projetos de fundações,

quando nesses projetos será usado o método das tensões ou cargas admissíveis Fd,ser valor de cálculo das ações para combinações de serviço Fgk valor característico das ações permanentes diretas Fk valor característico das ações Fk,inf valor inferior característico das ações Fk,sup valor superior característico das ações Fnd valor de cálculo das ações não estabilizantes Fqjk valor característico das ações variáveis diretas Fqk valor característico das ações variáveis Fq1exc valor característico da ação variável transitória excepcional Fq1k valor característico da ação variável direta principal Fsd valor de cálculo das ações estabilizantes Fεgk valor característico das ações permanentes indiretas Fεqk valor característico das ações variáveis indiretas Gk valor característico da ação permanente Gnk valor característico da ação permanente instabilizante Gsk valor característico da ação permanente estabilizante H altura Hx força horizontal na direção x Hy força horizontal na direção y M momento fletor MRd momento fletor resistente de cálculo MSd momento fletor solicitante de cálculo Mx momento fletor na direção x My momento fletor na direção y N força normal NRd força normal resistente de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo Nz força normal na direção z Qjk valor característico da ação variável instabilizante Qk valor característico de ação variável Q1k valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal Qs,min valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha

obrigatoriamente uma ação variável instabilizante Rcd esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rd esforço resistente de cálculo esforço resistente considerado como estabilizante Rsd esforço resistente de cálculo atuante na armadura tracionada S(Fnd) valor de cálculo das solicitações não estabilizantes S(Fsd) valor de cálculo das solicitações estabilizantes Sd solicitação de cálculo Sk solicitação característica Slim solicitações limites

2006 3-35 ufpr/tc405

T momento torçor TRd momento torçor resistente de cálculo TSd momento torçor solicitante de cálculo V força cortante VRd força cortante resistente de cálculo VSd força cortante solicitante de cálculo Wk valor característico de ação variável devida ao vento β1 coeficiente referente à resistência do concreto a j dias εc deformação específica do concreto εc(t∞,t0) deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t∞ εs deformação específica do aço à tração εcs(t∞,t0) deformação específica do concreto devida à retração entre os instantes t0 e t∞ δk,sup deslocamento de apoio (valor característico superior) γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto γf coeficiente de ponderação das ações γf1 parte do coeficiente de ponderação das ações γf que considera a variabilidade das

ações γf2 parte do coeficiente de ponderação das ações γf que considera a simultaneidade de

atuação das ações γf3 parte do coeficiente de ponderação das ações γf que considera os desvios gerados

nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações

γg coeficiente de ponderação para as ações permanentes diretas γgn coeficiente de ponderação para as ações permanentes diretas instabilizantes γgs coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas estabilizantes γm coeficiente de ponderação das resistências γm1 parte do coeficiente de ponderação das resistências γm que considera a

variabilidade da resistência dos materiais envolvidos γm2 parte do coeficiente de ponderação das resistências γm que considera a diferença

entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura γm3 parte do coeficiente de ponderação das resistências γm que considera os desvios

gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências

γn coeficiente de ajuste de γf que considera o aumento de probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção (aplicado em paredes e pilares com dimensões abaixo de certos valores)

γq coeficiente de ponderação para as ações variáveis diretas coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas instabilizantes γqs coeficiente de ponderação da ação variável estabilizante que acompanha

obrigatoriamente uma ação variável instabilizante γs coeficiente de ponderação da resistência do aço γεg coeficiente de ponderação para as ações permanentes indiretas (retração, fluência,

deslocamento de apoios e imperfeições geométricas) γεq coeficiente de ponderação para as ações variáveis indiretas (temperatura) ϕ(t∞,t0) limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento

aplicado em t0 ρ massa específica σ tensão normal σc tensão à compressão no concreto σc(t0) tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0 σSd tensão normal solicitante de cálculo σRd tensão normal resistente de cálculo τ tensão de cisalhamento τSd tensão de cisalhamento solicitante de cálculo τRd tensão de cisalhamento resistente de cálculo ψ0 fator de redução de combinação para as ações variáveis diretas para ELU

2006 3-36 ufpr/tc405

ψ0j fator de redução de combinação para as ações variáveis diretas para ELU fator de redução de combinação para as ações variáveis diretas instabilizantes ψ0ε fator de redução de combinação para as ações variáveis indiretas para ELU ψ1 fator de redução de combinação freqüente para ELS ψ1j fator de redução de combinação freqüente para ELS ψ2 fator de redução de combinação quase permanente para ELS ψ2j fator de redução de combinação quase permanente para ELS

3.11.2 Símbolos subscritos acid acidental bar barragem conc concreto emp empuxo pp peso próprio rej rejeito ser serviço vento vento

3.12 Exercícios Ex. 3.1: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama das forças

cortantes solicitantes de cálculo (VSd), considerando ações diretas, estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 e peso próprio desprezível. Admitir:

a. estrutura qualquer, onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (γg = 1,0) precisam ser consideradas; e

b. estrutura usual de edifício onde as combinações das ações que consideram o efeito favorável das cargas permanentes (γg = 1,0) não precisam ser consideradas.

Ex. 3.2: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd), considerando

a. combinação última normal; b. combinação última especial (Qk corresponde ao carregamento especial); c. combinação última excepcional (Qk corresponde ao carregamento excepcional); d. combinação quase permanente de serviço; e. combinação freqüente de serviço; e f. combinação rara de serviço. A viga, cujo peso próprio pode ser desprezado, é parte de uma estrutura usual de edifício

residencial (edificação tipo 2), cujas ações (cargas) são provenientes de: − peso de elementos construtivos (Gk); − carga acidental (Qk); e − vento (Wk).

C A

B D 2 m 4 m 4 m

Gk = 10 kN (permanente) Qk = 5 kN

(variável)

C A

B D 2 m 4 m 4 m

Gk = 10 kN Qk = 5 kN Wk = 5 kNm

2006 3-37 ufpr/tc405

Ex. 3.3: Determinar as solicitações de cálculo (NSd) atuantes na barra AD. A estrutura é de um edifício residencial, cujas ações (cargas) são provenientes de:

− peso próprio da viga AC mais elementos construtivos (gk); e − carga acidental (qk). Considerar: − estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 1; e − estado limite de serviço, combinação quase permanente.

Ex. 3.4: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) e a envoltória do diagrama das forças cortantes solicitantes de cálculo (VSd). O carregamento gk (carga permanente) corresponde a uma ação permanente direta e os carregamentos q1k e q2k (cargas acidentais de mesma natureza1) correspondem a ações variáveis diretas independentes, ou seja, podem atuar simultaneamente ou não.

Considerar: − estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 1; e − estrutura de edifício onde as combinações das ações que consideram o efeito

favorável das cargas permanentes (γg = 1,0) precisam ser consideradas.

Ex. 3.5: Deseja-se dimensionar a viga de concreto armado abaixo indicada. Para tanto, é necessário determinar os momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) nas seções A (apoio do balanço) e C (meio do vão AB). Levando-se em consideração os coeficientes de ponderação das ações estabelecidos na ABNT NBR-6118, por meio de uma combinação de carregamentos, determine a envoltória de solicitações e avalie os momentos fletores solicitantes de cálculo nas seções A e C.

Considerar: − estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2;

! ação permanente direta desfavorável: ..........................γg = 1,40 ! ação variável direta desfavorável: .................................γq = 1,40 ! ação variável direta favorável: .......................................γq = 0,00

1 As cargas q1k e q2k são de mesma natureza. Isto vale dizer que ambas representam a ação variável direta

considerada como principal (ambas correspondem ao índice 1 da Equação 3.7, dependendo qual delas esteja sendo considerada). Mesmo que as cargas possam atuar simultaneamente, não se implica o fator ψ0 pois as cargas são de mesma natureza.

qk = 50 kN/m

gk = 10 kN/m

8 m 10 m

D

C B A

8 m 3 m

q2k = 70 kN/m q1k = 90 kN/m

gk = 25 kN/m

2006 3-38 ufpr/tc405

− cargas variáveis diretas1 Q1k e Q2k correspondendo a cargas acidentais de mesma natureza (não considera ψ0), independentes, podendo atuar simultaneamente ou não; e

− carga permanente direta gk atuando simultaneamente ao longo de toda viga. Obs: − não considerar ação permanente direta favorável (γg = 1,00); e − apresentar a envoltória de modo esquemático, destacando, apenas, os valores exatos

dos momentos fletores em A e C.

Ex. 3.6: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) e do diagrama de forças cortantes solicitantes de cálculo (VSd), admitindo:

− ações diretas; − estado limite último; − combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4 e γq = 1,4); e − peso próprio desprezível. Considerar: − cargas Q1k e Q2k como acidentais2 (valores característicos) de mesma natureza (não

considera ψ0); e − cargas Q1k e Q2k como independentes (atuam simultaneamente ou não);

1 Para as cargas Q1k e Q2k valem as observações (rodapé) apresentadas para as cargas q1k e q2k do Ex. 3.4. 2 Para as cargas Q1k e Q2k valem as observações (rodapé) apresentadas para as cargas q1k e q2k do Ex. 3.4.

2,0 m

Q1k = 40 kN Q2k = 30 kN

C 4,0 m 4,0 m

A B

gk = 20 kN/m

2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m

Q1k = 16 kN

Q2k = 32 kN

l/2 l/2 l

P

32P3

32P22

32P13

2006 3-39 ufpr/tc405

Ex. 3.7: Determinar, para a viga abaixo indicada, os máximos momentos solicitantes de cálculo (positivo e negativo) na seção do meio do vão AB, considerando as possíveis combinações de cálculo, os coeficientes de ponderação, e os fatores de redução de combinações de ações segundo a ABNT NBR 6118.

A viga está submetida a uma ação permanente direta uniformemente distribuída gk igual a 20 kN/m e a duas ações variáveis diretas, quais sejam, Qk igual a 180 kN e Wk igual a 300 kNm. As ações variáveis, por serem de diferentes naturezas (independentes), atuam simultaneamente ou não.

A viga, é parte de uma estrutura cujas ações (cargas) são provenientes de: − peso de elementos construtivos, inclusive peso próprio da viga (gk); − carga acidental (Qk); e − vento (Wk). Considerar: − combinações normais, edificações tipo 1 − coeficientes de ponderação de ações (γf):

! ações permanentes diretas favoráveis: ........................ γg = 1,00 ! ações permanentes diretas desfavoráveis: .................. γg = 1,35 ! ações variáveis diretas favoráveis: ............................... γq = 0,00 ! ações variáveis diretas desfavoráveis: ......................... γq = 1,50

− fatores de redução de combinações de ações (ψ0): ! carga acidental (Qk): .................................................... ψ0 = 0,70 ! vento (Wk): ................................................................... ψ0 = 0,60

Ex. 3.8: Certa ponte de concreto armado deve ser projetada para suportar as passagens eventuais, simultâneas ou não, de dois veículos de carga, tal como ilustrado na figura. Sabe-se que as rodas dos veículos transmitem à estrutura cargas concentradas de 75 kN cada uma (valor característico). Para a posição indicada na figura, determine, no estado limite último, as reações de apoio máxima e mínima (valores de cálculo) sobre o apoio correspondente à viga V01 (apoio A). Considere as combinações de carregamento exigidas para a situação e os coeficientes de ponderação recomendados pela ABNT NBR 6118, tanto no sentido favorável quanto no sentido desfavorável das ações atuantes.

Considerar: − carga permanente uniformemente distribuída: 40 kN/m (valor característico); e − coeficientes de ponderação para as ações da ABNT NBR-6118, combinações normais,

edificações tipo 1 e pontes em geral: ! ações permanentes diretas favoráveis: ........................ γg = 1,00 ! ações permanentes diretas desfavoráveis: .................. γg = 1,35 ! ações variáveis diretas favoráveis: ............................... γq = 0,00 ! ações variáveis diretas desfavoráveis: ......................... γq = 1,50

Obs: − os pesos próprios das partes da estrutura estão incluídos nos carregamentos.

A B 2 m 8 m

gk = 20 kN/m

Qk = 180 kN

Wk = 300 kNm

2006 3-40 ufpr/tc405

1,4 m 1 m 1,3 m

B A 1,3 m 2,0 m

1 m 1,4 m

75 kN 75 kN 75 kN 75 kN

V02 V01

40 kN/m

2006 4-1 ufpr/tc405

4 4DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU

4.1 Diagrama tensão-deformação do concreto Conforme visto na Figura [1.3], os diagramas tensão-deformação do concreto variam de

acordo com suas resistências. A ABNT NBR 6118 ignora tal fato e permite que se adote um único diagrama, independente da resistência do concreto. Define o item 8.2.10.1 que o diagrama tensão-deformação à compressão, a ser usado no cálculo, será o diagrama mostrado na Figura 4.1, onde o trecho curvo corresponde a uma parábola do segundo grau, a tensão limite do concreto é fixada em 0,85 fcd e o limite de encurtamento do concreto é definido como sendo 3,5�.

Figura 4.1 - Diagrama tensão-deformação de cálculo do concreto

O valor máximo de σc é tomado igual a 0,85 fcd devido a três fatores: − efeito Rüsch, que considera a variação da resistência do concreto em função das

velocidades de carregamento (Figura 4.2); − ganho de resistência do concreto ao longo do tempo; e − influência da forma cilíndrica do corpo de prova. O efeito Rüsch é mostrado na Figura 4.2, onde, para diferentes velocidades de

carregamento, o concreto apresenta diferentes formas da curva tensão-deformação. Para durações maiores do tempo de carregamento, a tensão de ruptura σc tende para valores próximos de 80% da resistência correspondente ao carregamento de curta duração (fc).

Figura 4.2 - Efeito Rüsch Deve ser levado em conta que as cargas permanentes nas estruturas são geralmente

aplicadas rapidamente mantendo-se constante ao longo do tempo, de tal forma a permitir o desenvolvimento do fenômeno da fluência (item [1.4.10.1]). Assim, se o nível de tensão inicial for superior à resistência de longo prazo (ponto A da Figura 4.2) poderá, após certo tempo, ocorrer o colapso do elemento estrutural por ter sido atingido o limite de ruptura (ponto B da Figura 4.2). Por outro lado, se o nível de tensão inicial for inferior à resistência de longo prazo (ponto C da

εc

σc

2� 3,5�

0,85 fcd

ε−−=σ

2c

cdc �211f85,0

A

σc/fc

εc

8�

0,8 B

C D

limite de ruptura

limite de fluência

fluência

— 2 minutos — 20 minutos — 100 minutos — 3 dias

duração do carregamento:

1,0

2006 4-2 ufpr/tc405

Figura 4.2) não haverá ruptura, mesmo com o desenvolvimento do fenômeno da fluência (ponto D da Figura 4.2).

Desta forma, para que não ocorra à ruína, é necessário que o limite de fluência seja atingido antes do limite de ruptura. Isto é feito limitando a resistência do concreto a um valor inferior à resistência de curto prazo. Daí, decorre o fato da ABNT NBR 6118 adotar para a máxima resistência de cálculo do concreto o valor 0,85 fcd. Este valor leva em conta não só o efeito Rüsch, como também o ganho de resistência do concreto ao longo do tempo e a influência da forma cilíndrica do corpo de prova.

Como simplificação1 pode ser adotado, para representar o diagrama tensão-deformação do concreto, o diagrama mostrado na Figura 4.3, o qual corresponde a uma adaptação do item 17.2.2-e da ABNT NBR 61182. Este diagrama pode ser representado pela Equação 4.1.

Figura 4.3 - Diagrama tensão-deformação simplificado de cálculo do concreto

�5,3�7,0f85,0 ccdc ≤ε≤=σ Equação 4.1

4.2 Diagrama tensão-deformação do aço 4.2.1 Convenção

Para representar tensões será usado o eixo vertical, correspondendo a parte superior às tensões de tração e a inferior as tensões de compressão. No caso do aço, para diferenciar tração de compressão será usada a plica (') nas tensões de compressão.

Para representar deformações será usado o eixo horizontal, sendo os alongamentos representados a direita e os encurtamentos à esquerda. Para diferenciar alongamento de encurtamento, será usada a plica (') nos encurtamentos (Figura 4.4).

As deformações e as tensões serão consideradas, nos diagramas, sempre em valores absolutos.

Figura 4.4 - Convenção para diagrama tensão-deformação do aço.

4.2.2 .Diagrama tensão-deformação do aço Para os aços, a ABNT NBR 6118, item 8.3.6, apresenta o diagrama simplificado mostrado

Figura 4.5, onde no trecho inclinado é válida a Lei de Hooke e o limite de alongamento é fixado

1 Ver SEÇÕES TRANSVERSAIS DE CONCRETO ARMADO SUJEITAS A SOLICITAÇÕES NORMAIS, M. A. Marino,

COPEL, 1979. 2 O item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118 prevê, para alguns casos, σc = 0,80 fcd para 0,7� ≤ εc ≤ 3,5� (ver Capítulo [5],

item [5.4]).

εc

σc

0,7� 3,5�

0,85 fcd

εs

σs tensões de

tração

tensões de compressão

alongamentos

encurtamentos

σ's

ε's

2006 4-3 ufpr/tc405

em 10�. O limite de encurtamento é tomado igual a 3,5�, compatível com o limite do concreto (Figura 4.1 e Figura 4.3). Este diagrama pode ser representado pela Equação 4.2.

Figura 4.5 - Diagrama tensão-deformação de cálculo do aço

ydsss fE ≤ε=σ Equação 4.2

Os valores de fyd e εyd, para os aços destinados a estruturas de concreto armado estão mostrados na Tabela 4.1. Os valores de fyd são determinados pela Equação [3.22] com o coeficiente de minoração da resistência γs igual a 1,15 (Tabela [3.9]). Os valores de εyd são definidos pela Lei de Hooke, onde o Módulo de Elasticidade Es é tomado igual a 210 GPa (item [1.5.5]).

Aço fyk fyd εyd

CA-25 250 MPa 217 MPa 1,035� CA-50 500 MPa 435 MPa 2,070� CA-60 600 MPa 522 MPa 2,484�

Tabela 4.1 - Aços - valores de cálculo - ELU1

Exemplo 4.1: Determinar, para a viga abaixo representada: � a posição da linha neutra (x); � a força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd); � a força resistente de cálculo atuante na armadura superior (R'sd); � a força resistente de cálculo atuante na armadura inferior (Rsd); e � os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd). Dados: � concreto: C25; � aço: CA-50; � armadura superior: 2 φ 12,5 mm; � armadura inferior: 3 φ 16 mm; � encurtamento do concreto: 2,5� para a fibra mais comprimida; e � alongamento da armadura: 10,0� para a barra mais tracionada. Considerar: � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); e � diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

1 Para combinações excepcionais, o valor de fyd deve ser tomado igual a fyk (γs = 1,0 � Tabela [3.7]).

σs = εs Es

εyd

σ's

σs

ε's εs

fyd

fyd

10�

εyd

Es = 210.000 MPa

3,5�

2006 4-4 ufpr/tc405

Solução: A posição da linha neutra fica definida pelo diagrama de deformações. As tensões na região de concreto comprimido serão determinadas pela Equação 4.1 e as tensões nas armaduras serão definidas pela Equação 4.2. As resistências de cálculo correspondem às forças atuantes na região de concreto comprimido (Rcd = Acc σc), na região da armadura comprimida (R'sd = A's σ's) e na região da armadura tracionada (Rsd = As σs). Os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) ficam definidos pelas forças Rcd, R'sd e Rsd, como mostrado na figura abaixo.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,402,5ff ==

γ=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E ===

22

'ssups, cm ,452

41,252AA =

×π×==

22

sinfs, cm ,03641,63AA =

×π×==

2,5�=εc 0�,10=εs

NSd

MSd

10,0�

2,5�

20 cm

45 cm

5 cm

5 cm

y

NSd

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitações de cálculo

x

εc

σc

NRd

Rsd

MRd

d'

d

A's

bw

As

R'sd

Rcd ε's

0,7�

2006 4-5 ufpr/tc405

cm 20bw = cm 50d = cm 5d' = cm 55h = b. Posição da linha neutra (x)

dxsc

c

ε+ε

ε=

sc

cx d

xε+ε

ε==β

20,0�0,102,5�

2,5�x =

+=β

cm 10,050 0,20d x x =×=β= cm 10,0x = ◄

c. Posição da deformação 0,7� (y)

d�7,0 x�7,0ysc

c

c

c

ε+ε

−ε=

ε−ε

=

ε+ε

−ε==β

sc

cy

�7,0dy

0,144�10�5,2�7,0�5,2

y =

+−

=β

cm 7,250 0,144d y y =×=β= cm 7,2y = ◄

0,7210,07,2

xy

==

x72,0y = 1 d. Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) �5,3�7,0f85,0 ccdc ≤ε≤=σ

2c kN/cm 1,521,790,85 =×=σ

{ {tensão

cáreawcd σ ybR ×=

( )( )cdywcd f0,85dbR β= ( ) cdwycd fdb0,85R β= kN 1,2191,795020144,00,85Rcd =××××= kN1,219Rcd = ◄

1 Como mostrado no Capítulo [5], Equação [5.5], a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, permite adotar, de modo

simplificado, y = 0,8 x, para qualquer estado de deformação.

σc = 0,85fcd = 1,52 kN/cm2

bw = 20 cm

y = 7,2 cm

Rcd

εs = 10�

εc = 2,5�

d = 50 cm

x

linha neutra

εc = 2,5�

εs = 10�

d = 50 cm

x

0,7�

y

2006 4-6 ufpr/tc405

e. Deformação da armadura comprimida (ε's)

xddx

xdx

s

'

c

''s ε

−−

=ε

−=ε

ε

β−

−β

ε

β

−β

=ε

sx

'

x

cx

'

x

's

1dd

dd

1,25�2,5� 20,0

50520,0

's =

−=ε

f. Força resistente de cálculo atuante na região da armadura comprimida (R'sd) yds

's

's fE ≤ε=σ

22's kN/cm 43,5kN/cm 26,25000 21

10001,25

<=×=σ

{ {tensão

's

área

's

'sd AR σ×=

kN 64,326,252,45R'sd =×=

kN3,64R'sd = ◄

g. Força resistente de cálculo atuante na região da armadura tracionada (Rsd) ydsss fE ≤ε=σ

22s kN/cm 43,5kN/cm 210000 21

100010,0

>=×=σ

2s kN/cm 43,5=σ

{ {

tensãos

áreassd AR σ×=

kN 3,26243,503,6Rsd =×= kN3,262Rsd = ◄

5 cm

20 cm

R'sd

5 cm

20 cm

Rsd

εc = 2,5�

εs = 10�

d = 50 cm

x

d' = 5 cm

ε�s

2006 4-7 ufpr/tc405

h. Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd R-R-RN = (positivo para tração)

kN -21,164,3-219,1-262,3NRd == compressãokN -21,1NRd = ◄

( )

−+

−+

−−= ''

sdcdsdRd d2hR

2y

2hRdh

2hRM (positivo para sentido horário)

( )

−×+

−×+

−−×= 5

2553,64

22,7

2551,2195055

2553,262MRd

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] kNcm 585,0 1255,273,646,35,271,21955,273,262MRd =−×+−×+−×= positivokNm 125,8MRd = ◄

i. Condição limite de segurança A condição limite de segurança corresponde à igualdade da Equação [3.20]: dd SR = compressãokN 21,1NN SdRd −==

positivo momentokNm 125,8MM SdRd ==

j. Consideração do espaço ocupado por barras na região de concreto comprimido Deve ser observado que na determinação do valor da força resistente de cálculo

atuante na região de concreto comprimido (Rcd) foi ignorada a existência da armadura superior, tomando-se a seção de concreto comprimido sem o desconto de 2,45 cm2 (área correspondente a 2 φ 12,5 mm).

A consideração do espaço ocupado por armadura na região de concreto comprimido pode ser feita de duas maneiras:

− descontando da área de concreto comprimido a área da armadura existente nesta região (altera o valor de Rcd, bem como seu ponto de atuação que deixa de ser y/2 por se tratar de seção vazada); ou

− descontando da tensão atuante na barra comprimida, a tensão atuante no concreto comprimido (altera apenas o valor de R'sd).

A primeira solução é a mais trabalhosa pois implica na definição do centro de gravidade de uma seção vazada (deixa de ser y/2). A segunda solução é a mais simples, como demonstrado a seguir:

43421

tração

c's

'sdcdsdRd AR-R-RN σ×+=

( ) ( )c's

's

'scdsdRd AARRN σ×+σ×−−=

( )44 344 21

'mod,sdR

c's

'scdsdRd ARRN σ−σ×−−=

h - d = 5 cm

h/2 = 27,5 cm

CG

Rsd = 262,3 kN

y/2 = 3,6 cm Rcd = 219,1 kN

R'sd = 64,3 kN

d' = 5 cm

h/2 = 27,5 cm

+

+

esforços resistentes de cálculo

2006 4-8 ufpr/tc405

Desta forma, alterando-se o valor da força resistente de cálculo atuante na região da armadura comprimida (R'sd), tem-se:

( ) ( ) f85,0A AR cd's

'sc

's

's

'modsd, −σ×=σ−σ×=

( )[ ] kN 60,6 1,790,85 26,252,45R'modsd, =×−×=

'modsd,cdsdRd R-R-RN =

kN -17,460,6-219,1-262,3NRd == compressãokN -17,4NRd =

( )

−+

−+

−−= ''

modsd,cdsdRd d2hR

2y

2hRdh

2hRM

( )

−×+

−×+

−−×= 5

2556,60

22,7

2551,2195055

2553,262MRd

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] kNcm 501,7 1255,276,606,35,271,21955,273,262MRd =−×+−×+−×= positivokNm 125,0MRd =

21,3%4,17

4,171,21NRd =−

=∆

0,6%0,125

0,1258,125MRd =−

=∆

Como pode ser observado, a consideração do espaço ocupado por barras na região de concreto comprimido só é significativa na determinação do esforço resistente de cálculo NRd (diferença de 21,3%).

k. Observações − As equações e notações aqui apresentadas são as mesmas do Capítulo [5]. São

válidas para a resolução de qualquer tipo de problema referente a seções retangulares submetidas à flexão normal simples ou composta.

− A ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, adota para a relação y/x, calculada como 0,72 no item c deste Exemplo, o valor fixo de 0,8 (y = 0,8 x), não considerando, desta forma, as relações tensão-deformação que ocorrem na região de concreto comprimido.

4.3 Domínios da ABNT NBR 6118 Na resolução do Exemplo 4.1, item b, a posição da linha neutra pode ser determinada como

mostrado na Figura 4.6, resultando na Equação 4.3. Esta equação mostra que um único valor de βx, que deveria corresponder a uma única posição da linha neutra, pode ser obtido com infinitas combinações das variáveis εc e εs (os conjuntos εc = εs = 1�, εc = εs = 2� e εc = εs = 3,5�, dentre outros, correspondem a βx = 0,5). Afim de evitar infinitas soluções para a posição de linha neutra em um peça sujeita a solicitações normais, a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-g, estabelece que o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 4.7.

Figura 4.6 � Posição da linha neutra

sc

cx d

xε+ε

ε==β Equação 4.3

εs

εc

d

x

linha neutra

2006 4-9 ufpr/tc405

Figura 4.7 - Domínios de estado limite último de uma seção transversal Na Figura 4.7 as retas e domínios correspondem a: reta a: tração uniforme (εs� = 10� e εs = 10�), obtida por força de tração centrada; domínio 1: tração não uniforme, sem compressão (εs� ≤ 10� e εs = 10�), obtida por força de tração excêntrica; domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto e com

máximo alongamento do aço tracionado (0� ≤ εc ≤ 3,5� e εs = 10�), obtida por momento fletor isolado ou força de compressão excêntrica; domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão

do concreto e com escoamento do aço tracionado (εc = 3,5� e εyd ≤ εs ≤ 10�),

obtida por momento fletor isolado ou força de compressão excêntrica; domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão

do concreto e aço tracionado sem escoamento (εc = 3,5� e 0�≤ εs ≤ εyd), obtida por momento fletor isolado ou força de compressão excêntrica; domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas (εc = 3,5� e εs ≤ 0�), obtida por força de compressão excêntrica; domínio 5: compressão não uniforme, sem tração (2� ≤ εc ≤ 3,5� e -2� ≤ εs ≤ 0�), obtida por força de compressão excêntrica; reta b: compressão uniforme (εc = 2� e εs = 2�), obtida por força de compressão centrada. Deve ser observado, na Equação 4.3, que: − a reta a (tração uniforme) corresponde ao valor βx = -∞ (εs é igual a 10� e εc é quem

sofre variação até chegar ao valor -10�); e − a reta b (compressão uniforme) corresponde ao valor βx = +∞ (εc é igual a 2� e εs é

quem sofre variação até chegar ao valor -2�). A definição dos domínios de estado limite último de uma seção transversal (Figura 4.7) vai

implicar que se imponha limites para a equação estabelecida no item c do Exemplo 4.1 que define a posição de deformada 0,7� (ordenada y), como mostrado na Figura 4.8. Ao contrario de βx, que pode sofrer uma variação de -∞ a +∞, βy deverá ficar limitado como estabelecido na Equação 4.4, obedecendo a condição de y ≤ h.

5 4

2

1

encurtamentos

εc = 2� εc = 3,5�

d�

alongamentos

εs = εyd

4a

3 d

εs = 10�

As

A�s

h74

a

b

h73

2006 4-10 ufpr/tc405

Figura 4.8 � Posição da deformada 0,7�

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy Equação 4.4

As retas a e b, bem como os domínios mostrados na Figura 4.7, podem, também, ser representados por valores de βx obtidos da Equação 4.3. Para tal torna-se conveniente usar a convenção de sinais apresentada na Figura 4.9 (encurtamentos positivos para o concreto e alongamentos positivos para as armaduras). A origem da ordenada βx ocorre no ponto O, posição da fibra de concreto mais comprimida ou menos tracionada. As ordenadas x (posição da linha

neutra), d (posição da armadura mais tracionada) e d� (posição da armadura menos tracionada1), também são posicionadas a partir da fibra de concreto mais comprimido (ponto O), com sentido positivo na direção da armadura mais tracionada (mesmo sentido positivo de βx).

Figura 4.9 � Convenção de sinais para βx Usando a convenção de sinais apresentada na Figura 4.9, as retas a e b, bem como as

retas limite entre os domínios, mostradas na Figura 4.7, podem ser representadas pelas seguintes equações:

reta a (tração simples)

−∞=+

−=β

=ε−=ε

10�10�-�10

�10�10

a,x

sc

Equação 4.5

1 Observar que a armadura A�s passou a ser chamada de armadura menos tracionada e não mais de armadura

comprimida. Como a Figura 4.9 mostra, esta armadura, dependendo da posição da linha neutra, poderá estar tracionada. Observar, também, que a própria armadura As, dependendo da posição da linha neutra, poderá estar comprimida (ver domínios 4a e 5 da Figura 4.7).

ε�s

εs

εc

βx

O

d

x

A�s As

d'

εc

εs

d

x

0,7�

y

h

2006 4-11 ufpr/tc405

reta 1-2 (limite entre os domínios 1 e 2)

000,010�0�

�0

�10�0

12,x

sc

=+

=β

=ε=ε Equação 4.6

reta 2-3 (limite entre os domínios 2 e 3)

259,010�3,5�

�5,3

�10�5,3

23,x

sc

=+

=β

=ε=ε Equação 4.7

reta 3-4 (limite entre os domínios 3 e 4)

60CA585,02,484�3,5��5,3

50CA628,02,070�3,5��5,3

25CA772,01,035�3,5��5,3

�5,3

6034,x

5034,x

2534,x

ydsc

−=+

=β

−=+

=β

−=+

=β

ε=ε=ε

Equação 4.8

reta 4-4a (limite entre os domínios 4 e 4a)

000,10�3,5�

�5,3

�0�5,3

a44,x

sc

=+

=β

=ε=ε Equação 4.9

reta 4a-5 (limite entre os domínios 4a e 5)

dh

�5,31hd3,5�

�5,3

�5,31hd�5,3

5a4,x

sc

=×

−+

=β

×

−=ε=ε

Equação 4.10

reta b (compressão simples)

+∞==β

−=ε=ε

2�-2��2

�2�2

b,x

sc

Equação 4.11

Além das deformações εc e εs, é conveniente, também, representar ε�s (encurtamento da armadura comprimida ou alongamento da armadura menos tracionada) como função de βx (Figura 4.10). Na resolução do Exemplo 4.1, item 0, foi mostrado que ε�s pode ser determinado pela Equação 4.121.

1 Observar que a Equação 4.12, que segue a convenção de sinais da Figura 4.9, diferente, no sinal, da equação

apresentada no Exemplo 4.1, item e.

2006 4-12 ufpr/tc405

Figura 4.10 � Deformações das armaduras

⇒<ε⇒>ε

⇒

ε

β−

β−

ε

β

β−

=εtoencurtamen0oalongament0

1dd

dd

's

's

sx

x

'

cx

x

'

's Equação 4.12

Exemplo 4.2: Determinar, para a seção abaixo representada, o diagrama NRd x MRd. Dados: � concreto: C25; � aço: CA-50; � armadura superior: 2 φ 12,5 mm; � armadura inferior: 2 φ 12,5 mm; Considerar: � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); � domínios da ABNT NBR 6118; e � diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Solução: A solução do problema consiste na determinação de pares de valores NRd, MRd para diversas posições da linha neutra. Estas posições da linha neutra poderão ser as retas a e b e as retas limites dos domínios da Figura 4.7. Com os valores de βx definidos pelas retas, os alongamentos e encurtamentos poderão ser calculados usando as equações mostras a partir da página 4-10 (Equação 4.5 a Equação 4.12). As tensões na região de concreto comprimido serão

εs (+)

ε�s (+)

d' εc

εs

d

x

ε�s

NSd

MSd

εs

εc

20 cm

45 cm

5 cm

5 cm

2006 4-13 ufpr/tc405

determinadas pela Equação 4.1 e as tensões nas armaduras serão definidas pela Equação 4.2. As resistências de cálculo correspondem às forças atuantes na região de concreto comprimido (Rcd = Acc σc), na região da armadura comprimida (R'sd = A's σ's) e na região da armadura tracionada (Rsd = As σs). Os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) ficam definidos pelas forças Rcd, R'sd e Rsd, como mostrado na figura abaixo.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,402,5ff ==

γ=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E ===

22

'ssups, cm ,452

41,252AA =

×π×==

22

sinfs, cm 45,241,252AA =

×π×==

cm 20bw = cm 50d = cm 5d' = cm 55h =

10,0505

dd'

==

10,15055

dh

==

b. Alongamentos e encurtamentos (εc, εs e ε�s) εc ⇒ Figura 4.7 (Equação 4.5 a Equação 4.11) εs ⇒ Figura 4.7 (Equação 4.5 a Equação 4.11) εs (+)

ε�s (+)

d' εc

εs

d

x

ε�s

y

NSd

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitações de cálculo

x

εc

σc

NRd

Rsd

MRd

d'

d

A's

bw

As

R'sd

Rcd ε's

0,7�

2006 4-14 ufpr/tc405

ε

β−

β−

ε

β

β−

=ε

sx

x

'

cx

x

'

's

1dd

ou

dd

(Equação 4.12)

c. Posição da deformação 0,7� (y)

d �7,0 x�7,0ysc

c

c

c

ε+ε

−ε=

ε−ε

=

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy (Equação 4.4)

d. Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) �5,3�7,0f85,0 ccdc ≤ε≤=σ { {

tensãoc

áreawcd σ ybR ×=

( ) cdywcd f85,0dbR ×β= cdw ycd f db 0,85R β=

e. Força resistente de cálculo atuante nas armaduras As (Rsd) ou A�s (R�sd) ydsss fE ≤×ε=σ sssd AR σ×=

σc = 0,85fcd

bw

y

Rcd

Os valores de Rsd e R�sd são determinados da mesma forma (mesmas equações). Se a armadura (As ou A�s) estiver alongada (εs ou ε�s positivo) a força resultante (Rsd ou R�sd) correspondera a força de tração. Caso contrário, a força de compressão. A figura apresenta somente o caso da armadura As (são mostrados d e Rsd). Para a armadura A�s apareceriam d� no lugar de d e R�sd no lugar de Rsd.

d

bw

Rsd

As

εc

εs

d

x

0,7�

y

h

2006 4-15 ufpr/tc405

f. Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) ⇒ convenção de sinais

'sdcdsdRd RR-RN += (positivo para tração)

( )

−+

−+

−−=

2hdR

2y

2hRdh

2hRM ''

sdcdsdRd

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd (positivo para sentido horário)1

g. Reta a (tração simples)

−∞=β=ε−=ε

x

s

c

�10�10

Equação 4.5

g.1 deformação da armadura A�s (ε�s)

sx

x

'

's

1dd

ε

β−

β−=ε

10�10�110,0'

s =×

∞−∞−

=ε

g.2 posição da deformação 0,7� (βy)

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy

000,0�10�10�7,0�10

yy =β⇒−∞=

+−−−

=β

dy

y =β

cm00,0y50y000,0 =⇒=

g.3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) cdw ycd f db 0,85R β= kN 00,01,7950200,0000,85Rcd =××××=

1 Esta equação segue a convenção de sinais apresentada na Figura 4.9 e por isto difere um pouco da equação

apresentada no Exemplo 4.1, item h.

εs = 10�

NSd

ε�s = 10�

A�s

As

reta a

h/2

CG

Rsd

y/2 Rcd

R'sd

d'

h/2

NRd (+)

MRd (+)

esforços resistentes de cálculo

d

2006 4-16 ufpr/tc405

g.4 força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd) ydsss fE ≤×ε=σ

2s

22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

100010

=σ⇒>=×=σ

sssd AR σ×= kN58,1065,4345,2Rsd =×= g.5 força resistente de cálculo atuante na armadura A�s (R�sd) yds

's

's fE ≤×ε=σ

2's

22's cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

100010

=σ⇒>=×=σ

's

's

'sd AR σ×=

kN58,1065,4345,2R'sd =×=

g.6 esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) '

sdcdsdRd RR-RN += kN16,21358,1060,00-58,106NRd =+= (tração)

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm00,02

55558,1062

00,05500,02

555058,106MRd =

−×+

−

×+

−×=

kNm00,0MRd =

( )

=

=

kNm00,0M

traçãokN16,213Na reta

Rd

Rd

◄

h. Reta 1-2

=β=ε=ε

000,0�10

�0

x

s

c

Equação 4.6

h.1 deformação da armadura A�s (ε�s)

sx

x

'

's

1dd

ε

β−

β−=ε

1�10�000,01

000,010,0's =×

−−

=ε

h.2 posição da deformação 0,7� (βy)

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy

000,0070,0�10�0�7,0�0

yy =β⇒−=

+−

=β

dy

y =β

cm00,0y50y000,0 =⇒=

εs = 10�

As

A�s ε�s

NSd

MSd

reta 1-2

2006 4-17 ufpr/tc405

h.3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) cdw ycd f db 0,85R β= kN 00,01,7950200,0000,85Rcd =××××= h.4 força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd) ydsss fE ≤×ε=σ

2s

22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

100010

=σ⇒>=×=σ

sssd AR σ×= kN58,1065,4345,2Rsd =×= h.5 força resistente de cálculo atuante na armadura A�s (R�sd) yds

's

's fE ≤×ε=σ

2's

22's cm/kN0,21cm/kN5,43cm/kN0,2100021

10001

=σ⇒<=×=σ

's

's

'sd AR σ×=

kN45,510,2145,2R'sd =×=

h.6 esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) '

sdcdsdRd RR-RN += kN03,15845,510,00-58,106NRd =+= (tração)

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd

kNm43,12402

55545,512

00,05500,02

555058,106MRd =

−×+

−

×+

−×=

kNm40,12MRd = (positivo)

( )

=

=

)positivo(kNm40,12M

traçãokN03,158N12reta

Rd

Rd

◄

i. Reta 2-3

=β=ε=ε

259,0�10�5,3

x

s

c

Equação 4.7

i.1 deformação da armadura A�s (ε�s)

cx

x

'

's d

d

ε

β

β−=ε

�15,23,5�259,0

259,010,0's −=×

−=ε

i.2 posição da deformação 0,7� (βy)

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy

207,0�10�5,3�7,0�5,3

y =

+−

=β

dy

y =β

εc = 3,5�

εs = 10�

As

A�s ε�s

NSd

MSd

reta 2-3

2006 4-18 ufpr/tc405

cm35,10y50y207,0 =⇒=

i.3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) cdw ycd f db 0,85R β= kN 314,951,7950200,2070,85Rcd =××××= i.4 força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd) ydsss fE ≤×ε=σ

2s

22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

100010

=σ⇒>=×=σ

sssd AR σ×= kN58,1065,4345,2Rsd =×= i.5 força resistente de cálculo atuante na armadura A�s (R�sd) yds

's

's fE ≤×ε=σ

( ) 2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN15,4500021

100015,2

2's

−=σ⇒−=×−

=σ>σ

44 344 21

's

's

'sd AR σ×=

( ) kN58,1065,4345,2R'sd −=−×=

i.6 esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) '

sdcdsdRd RR-RN += kN95,314106,58-314,95-58,106NRd −== (compressão)

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm36,827112

55558,1062

35,105595,3142

555058,106MRd =

−×−

−

×+

−×=

kNm27,118MRd = (positivo)

( )

=

=

)positivo(kNm27,118M

compressãokN95,314N23reta

Rd

Rd

◄

j. Reta 3-4

=β=ε=ε

628,0�07,2

�5,3

x

s

c

Equação 4.8

j.1 deformação da armadura A�s (ε�s)

cx

x

'

's d

d

ε

β

β−=ε

�94,23,5�628,0

628,010,0's −=×

−=ε

j.2 posição da deformação 0,7� (βy)

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy

εs =

2,07�

εc = 3,5�

As

A�s ε�s

NSd

MSd

reta 3-4

2006 4-19 ufpr/tc405

502,0�07,2�5,3

�7,0�5,3y =

+−

=β

dy

y =β

cm10,25y50y502,0 =⇒=

j.3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) cdw ycd f db 0,85R β= kN 79,6371,7950200,5020,85Rcd =××××= j.4 força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd) ydsss fE ≤×ε=σ

OKcm/kN5,43000211000

07,2 2s =×=σ

sssd AR σ×= kN58,1065,4345,2Rsd =×= j.5 força resistente de cálculo atuante na armadura A�s (R�sd) yds

's

's fE ≤×ε=σ

( ) 2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN74,6100021

100094,2

2's

−=σ⇒−=×−

=σ>σ

44 344 21

's

's

'sd AR σ×=

( ) kN58,1065,4345,2R'sd −=−×=

j.6 esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) '

sdcdsdRd RR-RN += kN79,763106,58-763,79-58,106NRd −== (compressão)

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm76,162142

55558,1062

10,255579,7632

555058,106MRd =

−×−

−

×+

−×=

kNm42,177MRd = (positivo)

( )

=

=

)positivo(kNm15,162M

compressãokN79,763N43reta

Rd

Rd

◄

k. Reta 4-4a

=β=ε=ε

000,1�0

�5,3

x

s

c

Equação 4.9

k.1 deformação da armadura A�s (ε�s)

cx

x

'

's d

d

ε

β

β−=ε

�15,33,5�000,1

000,110,0's −=×

−=ε

εc = 3,5�

As

A�s ε�s

NSd

MSd

reta 4-4a

εs = 0�

2006 4-20 ufpr/tc405

k.2 posição da deformação 0,7� (βy)

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy

800,0�0�5,3�7,0�5,3

y =

+−

=β

dy

y =β

cm00,40y50y800,0 =⇒=

k.3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) cdw ycd f db 0,85R β= kN 20,12171,7950200,8000,85Rcd =××××= k.4 força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd) ydsss fE ≤×ε=σ

2s cm/kN00,000021

10000,0

=×=σ

sssd AR σ×= kN00,000,045,2Rsd =×= k.5 força resistente de cálculo atuante na armadura A�s (R�sd) yds

's

's fE ≤×ε=σ

( ) 2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN15,6600021

100015,3

2's

−=σ⇒−=×−

=σ>σ

444 3444 21

's

's

'sd AR σ×=

( ) kN58,1065,4345,2R'sd −=−×=

k.6 esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) '

sdcdsdRd RR-RN += kN78,1323106,58-1217,20-00,0NRd −== (compressão)

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm05,115272

55558,1062

00,405520,12172

555000,0MRd =

−×−

−

×+

−×=

kNm27,115MRd = (positivo)

( )

=

=

)positivo(kNm27,115M

compressãokN78,1323Na44reta

Rd

Rd

◄

l. Reta 4a-5

==β

=×

−=ε

=ε

100,15055

-0,32��5,315550

�5,3

x

s

c

Equação 4.10

εc = 3,5�

As

A�s ε�s

NSd

MSd

reta 4a-5

εs

2006 4-21 ufpr/tc405

l.1 deformação da armadura A�s (ε�s)

cx

x

'

's d

d

ε

β

β−=ε

�18,33,5�100,1

100,110,0's −=×

−=ε

l.2 posição da deformação 0,7� (βy)

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy

880,0�32,0�5,3�7,0�5,3

y =

−−

=β

dy

y =β

cm00,44y50y880,0 =⇒=

l.3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) cdw ycd f db 0,85R β= kN 92,13381,7950200,8800,85Rcd =××××= l.4 força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd) ydsss fE ≤×ε=σ

( ) 2s

cm/kN5,43

2s cm/kN72,6cm/kN72,600021

100032,0

2s

−=σ⇒−=×−

=σ<σ

44 344 21

sssd AR σ×= ( ) kN46,1672,645,2Rsd −=−×= l.5 força resistente de cálculo atuante na armadura A�s (R�sd) yds

's

's fE ≤×ε=σ

( ) 2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN78,6600021

100018,3

2's

−=σ⇒−=×−

=σ>σ

444 3444 21

's

's

'sd AR σ×=

( ) kN58,1065,4345,2R'sd −=−×=

l.6 esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) '

sdcdsdRd RR-RN += kN96,1461106,58-1338,92-46,16NRd −=−= (compressão)

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm76,93912

55558,1062

00,445592,13382

555046,16MRd =

−×−

−

×+

−×−=

kNm92,93MRd = (positivo)

( )

=

=

)positivo(kNm92,93M

compressãokN96,1461N4a5 reta

Rd

Rd

◄

2006 4-22 ufpr/tc405

m. Reta b

+∞=β−=ε

=ε

x

s

c

�0,2�0,2

Equação 4.11

m.1 deformação da armadura A�s (ε�s)

cx

x

'

's d

d

ε

β

β−=ε

�0,2�0,210,0's −=×

∞∞−

=ε

m.2 posição da deformação 0,7� (βy)

≤

≥

ε+ε

−ε==β

dh

0,0�7,0

dy

sc

cy

100,1dh

�2�2�7,0�2

yy ==β⇒∞=

−−

=β

dy

y =β

cm00,55y50y100,1 =⇒=

m.3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) cdw ycd f db 0,85R β= kN 65,16731,795020100,10,85Rcd =××××= m.4 força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd) ydsss fE ≤×ε=σ

( ) 2s

cm/kN5,43

2s cm/kN00,42cm/kN00,4200021

10002

2s

−=σ⇒−=×−

=σ<σ

44 344 21

sssd AR σ×= ( ) kN90,10200,4245,2Rsd −=−×= m.5 força resistente de cálculo atuante na armadura A�s (R�sd) yds

's

's fE ≤×ε=σ

( ) 2's

cm/kN5,43

2's cm/kN00,42cm/kN00,4200021

10002

2's

−=σ⇒−=×−

=σ<σ

44 344 21

's

's

'sd AR σ×=

( ) kN90,10200,4245,2R'sd −=−×=

m.6 esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) '

sdcdsdRd RR-RN += kN45,1879102,90-1673,65-90,102NRd −=−= (compressão)

−+

+

−=

2hdR

2y-hR

2hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm00,02

55558,1062

555565,16732

555090,102MRd =

−×−

−

×+

−×−=

kNm00,0MRd =

εc = 2�

As

A�s

ε�s NSd

reta b

εs = -2�

2006 4-23 ufpr/tc405

( )

=

=

kNm00,0M

compressãokN45,1879Nbreta

Rd

Rd

◄

n. Diagrama NRd x MRd

Tendo sido estabelecido valores para βx que definem os limites dos domínios, como também as relações entre βx e as deformações do concreto e das armaduras (Equação 4.3 e Equação 4.12) torna-se possível uma formulação matemática para os domínios da ABNT NBR 6118. Considerando a convenção de sinais da Figura 4.9, tem-se:

domínio 1: -∞ ≤ βx ≤ 0,000

)(oalongament010� 1dd

)(oalongament0�10

)(oalongament0�10-1

's

x

x

'

's

ss

cx

xc

+⇒>ε×

β−

β−=ε

+⇒>ε=ε

−⇒<ε×

ββ

=ε

Equação 4.13

domínio 2: 0,000 ≤ βx ≤ 0,259

−⇒<+⇒>

ε×

β−

β−=ε

+⇒>ε=ε

+⇒>ε×

ββ

=ε

)(toencurtamen0)(oalongament0

10� 1dd

)(oalongament0�10

)(toencurtamen0�10-1

's

x

x

'

's

ss

cx

xc

Equação 4.14

NRd (compressão)

NRd (tração)

500 kN 500 kN 1000 kN 15000 kN 2000 kN

MRd

200 kNm

150 kNm

100 kNm

50 kNm

domínio 1

domínio 2

domínio 3

domínio 4

domínio 4a

domínio 5

2006 4-24 ufpr/tc405

domínio 3: 0,259 ≤ βx ≤

−−−

60CA585,050CA628,025CA772,0

−⇒<+⇒>

ε×

β

β−=ε

+⇒>ε×

ββ−

=ε

+⇒>ε=ε

)(toencurtamen0)(oalongament0

3,5� dd

)(oalongament0�5,31

)(toencurtamen0�5,3

's

x

x

'

's

sx

xs

cc

Equação 4.15

domínio 4:

−−−

585,060CA628,050CA772,025CA

≤ βx ≤ 1,000

−⇒<+⇒>

ε×

β

β−=ε

+⇒>ε×

ββ−

=ε

+⇒>ε=ε

)(toencurtamen0)(oalongament0

3,5� dd

)(oalongament0�5,31

)(toencurtamen0�5,3

's

x

x

'

's

sx

xs

cc

Equação 4.16

domínio 4a: 1,000 ≤ βx≤ dh

)(toencurtamen03,5� dd

)(toencurtamen0�5,31

)(toencurtamen0�5,3

sx

x

'

's

sx

xs

cc

−⇒<ε×

β

β−=ε

−⇒<ε×

ββ−

=ε

+⇒>ε=ε

Equação 4.17

2006 4-25 ufpr/tc405

domínio 5: dh ≤ βx≤ +∞

)(toencurtamen0�2

dh

73

dd

)(toencurtamen0�2

dh

73

1

)(toencurtamen0�2

dh

73

's

x

x

'

's

s

x

xs

c

x

xc

−⇒<ε×

×−β

β−=ε

−⇒<ε×

×−β

β−=ε

+⇒>ε×

×−β

β=ε

Equação 4.18

4.4 Simbologia específica 4.4.1 Símbolos base

bw largura da viga d altura útil da viga - distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de

gravidade da armadura tracionada d' distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da

armadura comprimida fc resistência à compressão do concreto fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fc28 resistência do concreto aos 28 dias fk resistência característica fm resistência média fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo fyk resistência ao escoamento do aço característica gk valor característico da ação permanente h altura da viga l vão s desvio padrão x altura da linha neutra y altura do retângulo de tensões σc z braço de alavanca Acc área de concreto comprimido As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada A's área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida Es módulo de elasticidade do aço MRd momento fletor resistente de cálculo MSd momento fletor solicitante de cálculo NRd força normal resistente de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo Qk valor característico da ação variável Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rd esforço resistente de cálculo Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada R'

sd força resistente de cálculo atuante na armadura comprimida Sd solicitação de cálculo

2006 4-26 ufpr/tc405

βx valor adimensional que define a posição da linha neutra βy valor adimensional que define a região de concreto comprimido εc deformação específica do concreto εs deformação específica do aço à tração ε's deformação específica do aço à compressão εyd deformação específica de escoamento do aço φ diâmetro das barras da armadura γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto γg coeficiente de ponderação para as ações permanentes diretas γq coeficiente de ponderação para as ações variáveis diretas γs coeficiente de ponderação da resistência do aço σc tensão à compressão no concreto σs tensão à tração na armadura σ's tensão à compressão na armadura

4.4.2 Símbolos subscritos inf inferior mod modificado sup superior

4.5 Exercícios Ex. 4.1: Defina os diagramas tensão-deformação de cálculo para: − concreto C20 (parábola-retângulo); e − aço CA-50. Complete o quadro abaixo e defina os diagramas usando as seguintes escalas: − deformação: 1 cm = 1� − tensão do concreto: 1 cm = 5 MPa − tensão da armadura: 1 cm = 100 MPa

ε σc (MPa)

σs (MPa)

0,0� 0,5� 1,0� 1,5� 2,0� 2,5� 3,0� 3,5� 4,0� 5,0�

10,0� Ex. 4.2: Determinar, para a viga abaixo representada: a. a posição da linha neutra (x) e o correspondente domínio; b. a força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd); c. a força resistente de cálculo atuante na armadura superior (R'sd); d. a força resistente de cálculo atuante na armadura inferior (Rsd); e. os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd); e f. as solicitações de cálculo (NSd e MSd) para a condição limite de segurança (Rd = Sd). Dados: − concreto: C25; − aço: CA-50; − armadura superior: 2 φ 10 mm;

2006 4-27 ufpr/tc405

− armadura inferior: 3 φ 12,5 mm; − encurtamento do concreto: 3,5� para a fibra mais comprimida; e − alongamento da armadura: 7,0� para a barra mais tracionada. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Ex. 4.3: Determinar os valores da força normal resistente de cálculo (NRd) e do momento fletor resistente de cálculo (MRd) correspondentes ao estado de deformação mostrado na viga abaixo representada.

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; − armadura superior: 2 φ 12,5 mm; − armadura inferior: 3 φ 16 mm; − encurtamento do concreto: 2,0� para a fibra mais comprimida; e − alongamento da armadura: 10,0� para a barra mais tracionada. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Ex. 4.4: Determinar os valores da força normal resistente de cálculo (NRd) e do momento fletor resistente de cálculo (MRd) correspondentes ao estado de deformação mostrado na viga abaixo representada.

NSd

MSd

7,0�

3,5�

20 cm

40 cm

5 cm

5 cm

NSd

MSd

10,0�

2,0�

20 cm

55 cm

5 cm

5 cm

2006 4-28 ufpr/tc405

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-25; − armadura: 3 φ 16 mm; − encurtamento do concreto: 3,5� para a fibra mais comprimida; e − alongamento da armadura: 3,5� para a barra mais tracionada. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,80 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

Ex. 4.5: Determinar os valores da força normal resistente de cálculo (NRd) e do momento fletor resistente de cálculo (MRd) correspondentes ao estado de deformação mostrado na viga abaixo representada.

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-25; − armadura: 4 φ 16 mm; − encurtamento do concreto: 3,5� para a fibra mais comprimida; e − alongamento da armadura: 3,5� para a barra mais tracionada. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

5 cm 3,5�

NSd

MSd

3,5�

45 cm

35 cm

5 cm

2006 4-29 ufpr/tc405

Ex. 4.6: Determinar os valores da força normal resistente de cálculo (NRd) e do momento fletor resistente de cálculo (MRd) correspondentes ao estado de deformação mostrado na viga abaixo representada.

Dados: − concreto: C30; − aço: CA-50; − armadura: 2 φ 16 mm; − encurtamento do concreto: 3,5� para a fibra mais comprimida; e − alongamento da armadura: 1,75� para a barra mais tracionada. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

Ex. 4.7: Determinar a curva força normal resistente de cálculo x momento fletor resistente de cálculo (NRd x MRD) para a viga abaixo representada.

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; − armadura superior: 2 φ 10 mm; e − armadura inferior: 3 φ 12,5 mm.

NSd

MSd

10 cm

5 cm

3,5�

1,75�

10 cm

10 cm

30 cm

10 cm

50 cm

10 cm

20 cm

60 cm

80 cm

20 cm

10 cm

NSd

MSd

3,5�

3,5�

20 cm

2006 4-30 ufpr/tc405

A curva deverá ser traçada para o intervalo de pontos definidos a seguir:

Ponto εc

(encurtamento) εs

(alongamento) NRd MRd

1 0,0� 10,0� 2 2,0� 10,0� 3 3,5� 10,0� 4 3,5� 7,0� 5 3,5� 3,5� 6 3,5� 0,0�

Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Ex. 4.8: A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 125 kNm. Sabendo-se que o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (εc) é igual a 3,5�, para a condição limite de segurança (Rd = Sd), pede-se:

a. a posição da linha neutra (x) e o correspondente domínio; b. a tensão no concreto (σc) na região comprimida; c. a altura do bloco de concreto comprimido (y); d. valor do braço de alavanca (z) correspondente ao binário formado pelas forças

resistentes; e. a força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd); f. a força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada (Rsd); g. o alongamento da armadura (εs) necessário para resistir ao momento fletor solicitante

de cálculo; h. a tensão na armadura (σs) necessária para resistir ao momento fletor solicitante de

cálculo; e i. a área de armadura (As) necessária para resistir ao momento fletor solicitante de

cálculo. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e

NSd

MSd

εs

εc

20 cm

40 cm

5 cm

5 cm

2006 4-31 ufpr/tc405

− diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para 0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Ex. 4.9: A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Sabendo-se que:

− o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (εc) é igual a 3,5�; − a linha neutra (x) encontra-se 25 cm abaixo da fibra mais comprimida; e − a armadura de compressão (A's) corresponde a 4,0 cm2,

pede-se: a. o domínio correspondente ao estado de deformação; b. o alongamento (εs) da armadura tracionada; c. o encurtamento (ε's) da armadura comprimida; d. a tensão no concreto (σc) na região comprimida; e. a tensão na armadura comprimida (σ's); f. a tensão na armadura tracionada (σs); g. o valor da força resistente de cálculo na região de concreto comprimido (Rcd); h. o valor da força resistente de cálculo na armadura comprimida (R'sd); i. o valor da força resistente de cálculo na armadura tracionada (Rsd); j. a área de armadura tracionada (As) necessária para absorver o momento fletor

solicitante de cálculo; e k. o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd). Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

εs

3,5�

20 cm 5 cm

45 cm

MSd = 125 kNm

As

5 cm

εs

3,5�

MSd 25 cm

5 cm

40 cm

4,0 cm2

As

20 cm

35 cm

20 cm

2006 4-32 ufpr/tc405

Ex. 4.10: A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Sabendo-se que:

− o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (εc) é igual a 3,5�; e − a linha neutra (x) encontra-se 25 cm acima da fibra mais comprimida,

pede-se: a. o valor da força resistente de cálculo na região de concreto comprimido (Rcd); b. o valor da força resistente de cálculo na armadura tracionada (Rsd); c. a área de armadura tracionada (As) necessária para absorver o momento fletor

solicitante de cálculo; e d. o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd). Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,80 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

Ex. 4.11: Determinar os valores da força normal resistente de cálculo (NRd) e do momento fletor resistente de cálculo (MRd) correspondentes ao estado de deformação mostrado na viga abaixo representada.

Dados: − concreto: C25; − aço: CA-25; − armadura superior: 2 φ 10 mm; − armadura inferior: 3 φ 12,5 mm; − encurtamento do concreto: 2,0� para a fibra mais comprimida; e − alongamento da armadura: 10,0� para a barra mais tracionada. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,80 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

5 cm

MSd

3,5�

εs

25 cm

40 cm

As

20 cm

35 cm

20 cm

2006 4-33 ufpr/tc405

Ex. 4.12: Uma viga calha, tal como ilustrada na figura, ao ser submetida a um carregamento permanente uniformemente distribuído, sofreu uma deformação de flexão. Para a seção crítica (máxima solicitação), constatou-se que o encurtamento da fibra mais comprimida do concreto atingiu o máximo permitido pela ABNT NBR 6118 e foi igual ao alongamento da armadura. Nestas condições, e considerando a condição limite de segurança (Rd = Sd), determinar:

a. a armadura As (cm2) necessária para que o estado de deformação supra referido seja provocado somente por momento fletor (carregamento gk);

b. a força resistente de cálculo Rcd (kN) atuante na região de concreto comprimido, componente do binário (momento fletor) estabelecido no item a; e

c. o carregamento característico gk (kN/m) atuante nas condições estabelecidas nos itens a e b.

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; e − altura útil: d = h - 5 cm. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

Ex. 4.13: A viga abaixo indicada, em equilíbrio estático, está submetida somente a um momento fletor de cálculo MSd. Sabendo-se que o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida é igual a 3,5� e que a armadura tracionada é composta por três barras de 20 mm, pede-se:

a. o alongamento da armadura tracionada necessário para promover o equilíbrio entre os esforços externos e internos atuantes na viga;

NSd

MSd

40 cm

20 cm

65 cm

10�

2�

5 cm

5 cm

20 20 20

5 m

gk = ? kN/m

seção transversal (dimensões em cm)

40

15

2006 4-34 ufpr/tc405

b. a tensão na armadura necessária para promover o equilíbrio entre os esforços externos e internos atuantes na viga; e

c. o valor do momento fletor de cálculo MSd atuante na viga. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Ex. 4.14: As colunas AB e CD, de seções transversais iguais a 30 cm x 30 cm, estão submetidas à compressão centrada e recebem as reações da viga simplesmente apoiada AC. Nestas condições, pede-se:

a. a área de armadura (As), necessária em cada coluna, considerando, na ruptura à compressão centrada, a deformação do concreto igual a 2�.

b. para a armadura calculada no item a, o máximo carregamento gk efetivamente permitido sobre a viga, sabendo-se que o controle tecnológico (ruptura dos corpos de prova cilíndricos), constatou, durante o processo de concretagem, que a resistência média do concreto (fc28) resultou em 25,55 MPa e o desvio padrão (s) em 7,0 MPa.

c. citar, pelo menos uma recomendação, para evitar ou solucionar os problemas associados ao item b.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama parábola-retângulo para o concreto. Obs: − considerar o peso próprio da viga incluído na carga gk; e − admitir a probabilidade de 5% de ocorrência, na obra, de valores inferiores à

resistência característica do concreto (fc,28 = fck + 1,65 s).

εs

3,5�

15 cm 5 cm

40 cm

MSd

As

2006 4-35 ufpr/tc405

Ex. 4.15: A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que provoca o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (εc) igual a 2,5�. Tendo em vista que esta viga obedecerá, rigorosamente, o estabelecido para os domínios da ABNT NBR 6118 (correspondência entre alongamentos e encurtamentos), determinar:

a. o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd) correspondente ao estado de deformação acima definido (MSd = MRd); e

b. a armadura tracionada (As) necessária para resistir o momento fletor solicitante de cálculo (MSd) estabelecido de acordo com o item a.

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-25; Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,80 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

Ex. 4.16: A viga abaixo representada está solicitada apenas por um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Na condição limite de segurança - estado limite último (MRd = MSd), a fibra de concreto mais comprimida deformou até o valor máximo admissível pela ABNT NBR 6118 e a linha neutra ficou situada 31,25 cm abaixo desta fibra. Nestas condições, pede-se:

NSd

2�

D

C

B

A

gk = 260 kN/m

l = 10 m

As

corte longitudinal de uma coluna

diagrama de deformações

AS

εs

MSd

2,5�

55 cm 5 cm

50 cm

2006 4-36 ufpr/tc405

a. os valores das forças resistentes de cálculo (kN) atuantes na região de concreto comprimido (Rcd) e na região da armadura tracionada (Rsd);

b. o valor do momento fletor solicitante de cálculo MSd (kNm) capaz de provocar o estado de deformação acima definido; e

c. o valor da armadura de tração As (cm2) necessária para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo MSd.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

Ex. 4.17: Determinar, para a viga abaixo representada: a. o valor limite para a carga Qk (carga acidental direta � valor característico)

correspondente às condições mínimas de segurança estabelecidas pela ABNT NBR 6118; e

b. a armadura necessária (cm2) para a condição estabelecida no item a. Sabe-se que, para o estabelecido no item a, a viga apresenta as deformações indicadas no

desenho. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50; Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�). Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

εs

εc

20 cm

5 cm

50 cm

MSd

As

15 cm

60 cm

2006 4-37 ufpr/tc405

Ex. 4.18: Determinar o momento solicitante de cálculo (MSd) e a correspondente armadura tracionada (As), capazes de provocar, na viga abaixo representada, um encurtamento na fibra de concreto mais comprimida (εc) igual a 3,5� associado a uma altura (y) da região de concreto comprimida igual a 24 cm.

Dados: − concreto: C30; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

10�

2,5�

20 cm

5 cm

45 cm MSd

As

estado de deformação na seção correspondente a posição da carga Qk

1,0 m 2,0 m 1,0 m

Qk

gk = 20 kN/m

2,0 m

3,5�

5

20

20

20

15 30 15 dimensões em cm

MSd

As

εs

2006 4-38 ufpr/tc405

Ex. 4.19: Determinar, para o estado de deformação da viga abaixo representada: a. a armadura de compressão (A�s), necessária para que a seção transversal resista

somente ao momento fletor solicitante de cálculo (MSd); e b. o valor deste momento fletor solicitante de cálculo. Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; − armadura inferior: 3 φ 16 mm; e − encurtamento da fibra de concreto mais comprimida: 2,5�. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Ex. 4.20: Determinar, para a viga abaixo representada, qual o momento resistente de cálculo MRd para a condição de força normal nula. Sabe-se que o referido momento encontra-se no domínio 2. Admitir, para este domínio, variação linear da curva MRd x NRd.

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; − armadura superior (A�s): 2 φ 10 mm; e − armadura inferior (As): 2 φ 12,5 mm. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

εs 20 cm 5 cm

45 cm

5 cm MSd

A�s

2,5�

A�s

5 cm

εs

εc

20 cm

55 cm MSd

As

5 cm

2006 4-39 ufpr/tc405

Ex. 4.21: Para a viga abaixo representada, determinar: a. a armadura de tração (As), necessária para que a seção transversal resista somente

ao momento fletor solicitante de cálculo (MSd); e b. o valor deste momento fletor solicitante de cálculo. Dados: − concreto: C25; − aço: CA-50; e − altura da região de concreto comprimido (y): 15 cm. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

Ex. 4.22: A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que provoca o alongamento da fibra de aço mais tracionada (εs) igual a 7�. Tendo em vista que esta viga será dimensionada com concreto C20, aço CA-25 e obedecerá, rigorosamente, o estabelecido para os domínios da ABNT NBR 6118 (correspondência entre alongamentos e encurtamentos), determinar:

a. o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd) correspondente ao estado de deformação acima definido (MSd = MRd); e

NRd (compressão)

NRd (tração)

MRd

domínio 2 (reta)

domínio 3

domínio 1

50 cm

εs 20 cm 5 cm

40 cm

10 cm MSd

As

εc

15 cm

0,7�

2006 4-40 ufpr/tc405

b. a armadura tracionada (As) necessária para resistir o momento fletor solicitante de cálculo (MSd) estabelecido de acordo com o item a.

Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,80 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�); e − solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

Ex. 4.23: A viga abaixo indicada está submetida somente a um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Sabendo-se que a área da seção transversal da armadura tracionada corresponde a 8,66 cm2, pede-se:

a. a altura do bloco de concreto comprimido (y); b. a posição da linha neutra (x); c. valor do braço de alavanca (z) correspondente ao binário formado pelas forças

resistentes; d. a força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd); e. a força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada (Rsd); f. o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (εc); g. o alongamento da armadura tracionada (εs); h. a tensão na armadura (σs); e i. o momento fletor solicitante de cálculo (MSd). Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15); − domínios da ABNT NBR 6118; − condição de segurança Rd = Sd; e − diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (σc = 0,85 fcd para

0,7� ≤ εc ≤ 3,5�).

AS

7�

MSd

εc

50 cm 5 cm

45 cm

2006 4-41 ufpr/tc405

5 5

5

35

5 105

εs

MSd

As

εc

dimensões em cm

2006 5-1 ufpr/tc405

5 5FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA

5.1 Introdução Uma viga reta, desde que não possua carregamentos horizontais ou inclinados, será

solicitada por momentos fletores e forças cortantes, como mostrado na Figura 5.1.

Figura 5.1 � Solicitações em viga Nas vigas de concreto armado, os momentos fletores e as forças cortantes são

responsáveis pela existência de dois tipos de armadura (Figura 5.2): − longitudinal, para resistir

aos momentos fletores; e − transversal, para resistir

às forças cortantes. Neste capítulo só serão

estudadas as armaduras longitudinais, ou seja, as armaduras necessárias para resistir aos momentos fletores.

Figura 5.2 � Armaduras de viga de concreto armado Segundo o item 18.3.1 da ABNT NBR 6118, as vigas ficam caracterizadas quando: − l/h ≥ 3 para vigas isostáticas; e − l/h ≥ 2 para vigas contínuas;

onde: l é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de

balanço); e h é a altura total da viga. Vigas com relações l/h menores devem ser tratadas como vigas-parede.

força cortante

momento fletor

A

A

corte AA

armadura para momento fletor

armadura para momento fletor

armadura para força cortante

2006 5-2 ufpr/tc405

5.2 Vãos efetivos de vigas Segundo a 6118, item 14.6.2.4, o vão efetivo (Figura 5.3) pode ser calculado pela seguinte

expressão:

210ef aa ++= ll Equação 5.1 com

=

=

h3,0t5,0

mina

h3,0t5,0

mina

22

11

onde: lef vão efetivo da viga; l0 distância entre faces de dois apoios consecutivos; t comprimento do apoio paralelo ao vão da viga analisada; h altura da viga.

Figura 5.3 � Vão efetivo de viga

5.3 Estado limite último – domínios da ABNT NBR 6118 5.3.1 Domínios 2, 3 e 4

Quando da apresentação dos domínios da ABNT NBR 6118 (Figura [4.7]) foi visto que as peças de concreto armado solicitadas somente por momento fletor (vigas) seriam possíveis apenas nos domínios 2, 3 e 4, como reproduzido na Figura 5.4. Desta Figura deve ser observado que:

− no domínio 2 ! o concreto não chegou ao seu encurtamento limite (3,5�), possuindo, ainda,

uma certa reserva de capacidade resistente; ! o aço chegou ao seu alongamento máximo (10�), tendo esgotado sua

capacidade resistente; e ! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar

um quadro de fissuração intensa devido ao excessivo alongamento da armadura (e do concreto adjacente);

− no domínio 3 (seção subarmada) ! o concreto chegou ao seu encurtamento limite (3,5�), tendo esgotado sua

capacidade resistente; ! o aço tem seu alongamento compreendido entre εyd e 10�, possuindo, ainda,

uma boa reserva de capacidade resistente; e ! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar

um quadro de fissuração expressivo devido ao fato da armadura (e o concreto adjacente) apresentar alongamento considerável;

h

t2 t1

l0

lef

viga

pilar

2006 5-3 ufpr/tc405

− no domínio 4 (seção superarmada) ! o concreto pode estar próximo de ultrapassar seu encurtamento limite (3,5�),

tendo esgotado, por inteiro, sua capacidade resistente; ! o aço tem seu alongamento compreendido entre 0� e εyd, possuindo uma

grande reserva de capacidade resistente; e ! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, não deve

apresentar um quadro de fissuração tão perceptível quanto aos dos domínios 2 e 3 devido ao pequeno alongamento da armadura (e do concreto adjacente).

Figura 5.4 � Domínios possíveis para vigas de concreto armado As vigas, quando dimensionadas no domínio 4 (superarmadas), podem, em caso de uma

eventual sobrecarga imprevista, ser conduzidas a uma ruptura frágil (sem aviso prévio pois o concreto rompe bruscamente sem que a armadura tenha esgotado sua capacidade resistente). As vigas dimensionadas nos domínios 2 e 3 (subarmadas) têm, devido a condições mais adequadas da posição da linha neutra, garantida boas condições de dutilidade, sendo conduzidas, para uma condição adversa de carregamento, a rupturas com aviso prévio (a armadura escoa antes do rompimento do concreto mostrando um quadro visível de deterioração da viga).

O comportamento de viga, se subarmada ou superarmada1, fica definido pela passagem do domínio 3 para o domínio 4 (Figura 5.4), que corresponde à reta 3-4 definida pela Equação [4.8]. Desta forma é possível estabelecer, matematicamente, a condição para comportamento de viga subarmada (desejado) e superarmada (a ser evitado), ou seja:

1 As vigas superarmadas possuem, em geral, pouca altura e excessiva armadura (daí o super, no sentido de

excessiva quantidade de armadura), ao passo que as vigas subarmadas têm uma distribuição mais equilibrada de materiais (daí o sub, no sentido de menos quantidade de armadura).

sub- armada super-

armada

x

σs

dx

x =β

MSd

βx

10� εyd

εs

εc = 3,5�

4

2

3 d

As

fyd

3 4

2

0,259 βx,34 1,000

βx,34

CA-25: 0,772 CA-50: 0,628 CA-60: 0,585

0,000

0,259

1,000

βx,34

2006 5-4 ufpr/tc405

⇒β>

⇒β≤β⇒

−

−

−

=βerarmadasup

subarmada

60CA585,0

50CA628,0

25CA772,0

34,x

34,x

xx,34 Equação 5.2

5.3.2 Recomendações da ABNT NBR 6118 ABNT NBR 6118, item 16.2.3:

�Em relação aos ELU, além de se garantir a segurança adequada, isto é, uma probabilidade suficientemente pequena de ruína, é necessário garantir uma boa dutilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários.�

ABNT NBR 6118, item 17.2.3: �Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que garanta a posição da linha neutra (x), respeitando-se os limites de 14.6.4.3. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.�

ABNT NBR 6118, item 14.6.4.3: �A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões dos apoios das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: − x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou − x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa. Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.�

O dimensionamento e detalhamento de vigas de concreto armado ficam mais simples se for seguido, para todas as regiões da viga (regiões de apoios e afastadas deles), o prescrito no item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118. Desta forma, a melhora nas condições de dutilidade das estruturas fica garantida se for adotado, para a posição da linha neutra, os valores limites (daí o βx.lim) mostrados na Figura 5.5 e na Equação 5.3.

>

≤=β

MPa35f400,0

MPa35f500,0

ck

ck

limx, Equação 5.3

2006 5-5 ufpr/tc405

Figura 5.5 � Condições de dutilidade da ABNT NBR 6118

5.4 Distribuição de tensões na região de concreto comprimido Conforme visto em [4.1], o diagrama tensão-deformação simplificado de cálculo

(Figura [4.3]) permite, ao longo da altura y, a distribuição constante de tensões σc (região de concreto comprimido), como mostrado na Figura 5.6.

Figura 5.6 � Distribuição de tensões na região de concreto comprimido

y

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitações de cálculo

x

εc σc

Rsd

MRd d

As

Rcd

0,7�

x

σs

dx

x =β

MSd

βx

10� εyd

εs

εc = 3,5�

4

2

d

As

fyd

4

2

0,259 1,000

βx,lim

0,500 ⇒ fck ≤ 35 MPa 0,400 ⇒ fck > 35 MPa

0,000

0,259

1,000

βx,lim

dútil

3

βx,lim

frágil

3

2006 5-6 ufpr/tc405

Da Figura 5.6, tem-se:

x�7,0yc

c

ε−ε

= Equação 5.4

Tendo em vista que nos domínios 3 e 4 o encurtamento do concreto εc é igual a 3,5� (Figura 5.4), a Equação 5.4 resulta:

x�5,3

�7,0�5,3y

−

=

x8,0y = Equação 5.5

ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e: �a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 12.3.3. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: − 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não

diminuir a partir desta para a borda comprimida; − 0,80 fcd no caso contrário. As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional.�

Como pode ser observado, a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, estende o resultado alcançado pela Equação 5.5 a todos os domínios, inclusive o domínio 2, deixando de ser necessário representar o valor de y como função da deformação εc (Equação 5.4).

Cabe ao engenheiro responsável pelo projeto estrutural a opção em adotar o procedimento mostrado Capítulo [4]1, onde a altura do retângulo de tensões de compressão é estabelecida em função do encurtamento da fibra de concreto mais comprimida e da posição da linha neutra (y = y(εc, x) ⇒ Equação 5.4), ou adotar a simplificação prevista no item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118, onde a altura do retângulo de tensões de compressão é estabelecida em função apenas da posição da linha neutra (y = 0,8 x ⇒ Equação 5.5).

Tendo em vista que o prescrito no item 17.2.2-e da ABNT NBR conduz a uma sistemática de cálculo mais simples, a Equação 5.5 será usada na determinação das equações de dimensionamento e verificação de armadura longitudinal de vigas de concreto armado.

Ainda, seguindo o que prescreve o item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118, o valor da tensão de compressão (σc) deve obedecer ao mostrado na Figura 5.7, para a condição y = 0,8 x.

Figura 5.7 � Valor de tensão de compressão na região de concreto comprimido

5.5 Variáveis adimensionais - ELU 5.5.1 Elementos geométricos de seções retangulares

Seja a Figura 5.8 onde são mostrados, dentre outros: os esforços resistentes de cálculo (Rcd e Rsd), a posição da linha neutra (x), a altura do retângulo de tensões de compressão (y), a distância entre os esforços resistentes de cálculo (z) e a altura útil da viga (d).

1 Ver Exemplo [4.1], item c e Exemplo [4.2], item c.

σc = 0,85 fcd

x

linha neutra y = 0,8 x

σc = 0,80 fcd

y = 0,8 x linha neutra

x

2006 5-7 ufpr/tc405

Figura 5.8 � Solicitação e esforços resistentes em vigas de concreto armado Da Figura 5.8 e levando-se em conta a Equação 5.5, tem-se: − posição da linha neutra1

dxsc

c

ε+ε

ε=

sc

cx d

xε+ε

ε==β

− altura do retângulo de tensões σc2

==

dxd8,0x8,0y

xy 8,0dy

β==β

− braço de alavanca entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd y5,0dz −= ( )x8,05,0dz −=

−=−=

dx4,01dx4,0dz

xz 4,01dz

β−==β

Agrupando todas as variáveis geométricas β, e criando a variável auxiliar βc, tem-se:

( ) auxiliar variável4,0168,068,0

R e R entre alavanca de braço4,01dz

tensões de retângulo do altura8,0dy

neutra linha da posiçãodx

xxzxc

sdcdxz

cxy

sc

cx

β−β=ββ=β

β−==β

σβ==β

ε+εε

==β

Equação 5.6

A Equação 5.6 mostra que as variáveis adimensionais βy, βz e βc são funções diretas de βx. Desta forma, uma vez conhecida a posição da linha neutra (βx), todos os demais elementos

1 Ver Equação [4.3]. 2 Ver Equação 5.5.

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitação de cálculo

x

εc σc

Rsd

MRd d

bw

As

z h

y = 0,8 x 0,5 y Rcd

2006 5-8 ufpr/tc405

geométricos (βy, βz e βc) ficam igualmente definidos. A Equação 5.6 permite agrupar os valores de β como mostrado na Tabela 5.1.

βx βy βz βc

0,100 0,080 0,960 0,065

0,259 0,207 0,896 0,158

0,585 0,468 0,776 0,305

0,628 0,502 0,749 0,320

0,772 0,618 0,691 0,363

Tabela 5.1 � Valores de βy, βz, e

βc como função de βx

5.5.2 Diagrama adimensional tensão-deformação do aço Conforme visto em [4.2.2], o diagrama tensão-deformação do aço tem o aspecto mostrado

na Figura 5.9. Nesta Figura optou-se por apresentar este diagrama de forma adimensional, com a introdução dos valores de βs e β�s dados pela Equação 5.7.

Figura 5.9 � Diagrama adimensional tensão--deformação do aço

0,1fE

f

0,1fE

f

yd

s's

yd

's'

s

yd

ss

yd

ss

≤ε

=σ

=β

≤ε

=σ

=β

Equação 5.7

Seja a Figura 5.10 onde são mostrados, dentre outros: os esforços resistentes de cálculo (Rcd, R�sd e Rsd), a posição da linha neutra (x), a altura útil da viga (d), a posição da armadura comprimida (d�), o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (εc), o encurtamento da armadura comprimida (ε�s) e o alongamento da armadura tracionada (εs).

yd

sss f

Eε=β

εyd

yd

's'

s fσ

=β

yd

ss f

σ=β

ε's εs

1,0

1,0

10�

εyd

Es = 210.000 MPa

3,5�

2006 5-9 ufpr/tc405

Figura 5.10 � Alongamento e encurtamento da armadura Da Figura 5.10 e levando-se em consideração a Equação 5.6, a Figura 5.4 e a Figura 5.9,

tem-se: − alongamento da armadura tracionada1

ccs

dx

dx1

xxd

ε

−=ε

−

=ε

cx

xs

1ε

ββ−

=ε

>β×

ββ−

≤β

=ε

4 e 3 domínios259,0

�5,31

2 domínio259,0

�10

X

x

x

X

s Equação 5.8

− encurtamento da armadura comprimida2

s

'

c

''s xd

dx x

dxε

−−

=ε

−=ε

s

'

c

'

's

dx1dd

dx

dx

dd

dx

ε

−

−=ε

−

=ε

sx

'

x

cx

'

x's 1

dd

dd

ε

β−

−β=ε

β

−β=ε

1 Ver Equação [4.15], Equação [4.16] e Equação [4.17]. 2 Ver Equação [4.12], onde foi considerada a convenção de sinais da Figura [4.8].

d' σc

Rcd y

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitações de cálculo

x

εc

Rsd

MRd d

As

R�sd A�s

ε�s

2006 5-10 ufpr/tc405

>β×

β

−β

≤β×

β−

−β

=ε

4 e 3 domínios259,0

�5,3dd

2 domínio259,0

�101

dd

X

x

'

x

X

x

'

x

's Equação 5.9

A associação da Equação 5.7 com a Equação 5.8 e com a Equação 5.9 resulta:

>β≤×

β

−β

≤β≤×

β−

−β

=σ

=β

>β≤×

ββ−

≤β

=σ

=β

4 e 3 domínios259,0

0,1�5,3dd

fE

2 domínio259,0

0,1�101

dd

fE

f

4 e 3 domínios259,0

0,1�5,31fE

2 domínio259,0

0,1

f

X

x

'

x

yd

s

X

x

'

x

yd

s

yd

's'

s

X

x

x

yd

s

X

yd

ss

Equação 5.10

A Equação 5.10 demonstra que βs e β�s são funções de βx, da relação d/d� e da categoria do aço (fyk). Assim como feito para as variáveis βy, βz, e βc (Tabela 5.1), é possível associar os valores βs e β�s a valores pré-fixados de βx e (d�/d), como mostrado na Tabela 5.2, feita para o aço CA-501.

CA-50 β�s para (d�/d) =

βx βy βz βc βs 0,05 0,10 0,15

0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,268

0,259 0,207 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 0,712

0,628 0,502 0,749 0,320 1,000 1,000 1,000 1,000

0,800 0,640 0,680 0,370 0,422 1,000 1,000 1,000

Tabela 5.2 � Flexão simples � CA-50 A Figura 5.4 pode, também, ser apresentada com o diagrama adimensional

tensão-deformação do aço, como mostrado na Figura 5.11.

1 As tabelas completas são apresentadas em 5.16.

2006 5-11 ufpr/tc405

Figura 5.11 � Vigas - domínios e diagrama adimensional do aço

5.6 Indexação de áreas comprimidas Para a caracterização de áreas comprimidas e correspondentes esforços resistentes de

cálculo (forças e momentos), será usada a seguinte indexação (Figura 5.12): − índice 1

! área de concreto comprimido de largura bw e altura y; ! força resistente de cálculo (Rcd1) definida pelo produto (bw y) σc; e ! momento resistente de cálculo (MRd1) definido pelo produto Rcd1 z.

− índice 2 ou plica (�) ! área de armadura comprimida (A�s); ! força resistente de cálculo (R�sd) definida pelo produto A�s σ�s; e ! momento resistente de cálculo (MRd2) definido pelo produto R�sd (d � d�).

− índice 3 ! área de concreto comprimido de largura (bf - bw) e altura hf; ! força resistente de cálculo (Rcd3) definida pelo produto [(bf - bw) hf] σc; e ! momento resistente de cálculo (MRd3) definido pelo produto Rcd3 (d � hf/2).

x

βs

dx

x =β

MSd

βx

10� εyd

εs

εc = 3,5�

4

2

d

As

1,0

3 4

2

0,259 1,000

βx,lim

0,500 ⇒ fck ≤ 35 MPa 0,400 ⇒ fck > 35 MPa

0,000

0,259

1,000

βx,lim

dútil

3

βx,lim

frágil

2006 5-12 ufpr/tc405

Figura 5.12 � Indexação de áreas comprimidas

5.7 Armaduras longitudinais máximas e mínimas 5.7.1 Armadura mínima

A ruptura frágil de seções transversais de vigas de concreto armado pode, também, ocorrer devida a pouca quantidade de armadura. Vigas com baixa taxa de armadura longitudinal têm comportamento semelhante ao das vigas de concreto simples, onde a ruptura sem aviso prévio pode ocorrer imediatamente após o aparecimento das primeiras fissuras decorrentes de solicitações normais (momento fletor).

A ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1, define a taxa de armadura longitudinal mínima como sendo:

c

min,smin A

A=ρ Equação 5.11

e adota os seguintes valores:

tracionada mesaT seções

%15,0ff031,0

max

comprimida mesaT seções

%15,0ff024,0

max

esretangular seções%15,0

ff035,0

max

yd

cd

min

yd

cd

min

yd

cd

min

=ρ

=ρ

=ρ

Equação 5.12

Nas seções T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

Para vigas de seção retangular, a taxa de armadura mínima pode ser expressa por:

==ρ

%15,0ff

035,0max

hbA

yd

cd

w

min,smin Equação 5.13

εs

esforços resistentes de cálculo

Rsd

MRd

∆l bw

bf d'

As

σc εc

y x

Rcd1 Rcd3

R�sd A�s

z

d

hf

solicitação de cálculo

MSd h

1

3 3

2

MRd = MRd1 + MRd2 + MRd3

ε�s

2006 5-13 ufpr/tc405

5.7.2 Armadura máxima O Capítulo [4] mostrou expressões para a determinação de armadura tracionada (As) e de

armadura comprimida (A�s), sem nenhuma limitação de valores. Esta não limitação para as quantidades de armaduras pode dar a falsa impressão de que sempre seria possível determinar um conjunto delas (As e A�s) que, compondo com as dimensões da seção transversal e com as resistências dos materiais (fcd e fyd), seria capaz de resistir a qualquer solicitação de cálculo. A ABNT NBR 6118 apresenta valores máximos para as armaduras longitudinais tracionadas ou comprimidas.

ABNT NBR 6118, item 17.3.5.1: �A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.�

ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.4: �A soma das armaduras de tração e compressão (As + A’s) não devem ter valor maior que 4% Ac, calculada na região fora da zona de emendas.�

O item 17.3.5.2.4 da ABNT NBR 6118 pode ser representado por: ( )

%4AAA

c

max'ss

max =+

=ρ Equação 5.14

A aplicação direta da Equação 5.14, para seções T, pode conduzir a vigas de difícil concretagem (excesso de armadura). A Figura 5.13 mostra uma seção retangular e uma seção T, de mesma altura (h) e mesma armadura tracionada (As). Admitindo-se que a armadura comprimida (A�s) seja de pequena monta a seguinte situação pode vir a ocorrer:

( ) ( )%4

hbAA

AAA

w

'ss

c

'ss

ret <+

=+

=ρ

( ) ( )( ) %4

hbbhbAA

AAA

fwfw

'ss

c

'ss

T <−+∑+

=∑+

=ρ

Figura 5.13 � Comparativo entre seções retangulares e T

Como pode ser observado na Figura 5.13, no retângulo bw h as quantidades de armadura são iguais tanto para seção retangular como para a seção T. Isto nos leva a concluir que a verificação da taxa máxima de armadura em seções T deve ser feita tanto para a seção total como para a seção bw h., de tal forma que:

( )( )

( )

≤+

≤−+∑+

=ρ

%4hbAA

%4hbbhb

AA

w

'ss

fwfw

'ss

T

Como a concentração de armadura sempre ocorre no retângulo bw h, a verificação da taxa máxima de armadura em seções retangulares e seções T pode, de modo simplificado, ser feita da seguinte forma:

( )%4

hbAA

w

max'ss

max =+

=ρ Equação 5.15

hf

bw

bf

As

h

bw

As

A�s A�s

2006 5-14 ufpr/tc405

5.8 Vigas de seção retangular sem armadura de compressão Seja a Figura 5.14 onde são mostrados, dentre outros, a solicitação de cálculo (MSd), os

esforços resistentes de cálculo (Rcd e Rsd), os elementos geométricos referentes à seção transversal da viga (x, y, z, d, bw e h), as deformações (εc e εs) e a área de armadura (As).

Figura 5.14 � Viga de seção retangular sem armadura de compressão Da Figura 5.14 e considerando as equações anteriormente apresentadas, tem-se: − elementos geométricos da seção retangular (Equação 5.6)

dx xβ= dy yβ= dz zβ=

− valores geométricos adimensionais (Equação 5.6)

zxc

xz

xy

68,04,01

8,0

ββ=β

β−=β

β=β

− valor adimensional da tensão na armadura tracionada (Equação 5.10)

>β≤×

ββ−

≤β

=σ

=β

4 e 3 domínios259,0

0,1�5,31fE

2 domínio259,0

0,1

fX

x

x

yd

s

X

yd

ss

− condição de segurança SdRd MM ≥

− esforços resistentes de cálculo sd1cd RR =

− momento fletor (binário) devido aos esforços resistentes de cálculo 1RdRd MM =

zRzRM sd1cd1Rd == − esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de largura bw

( ) cw1cd ybR σ= ( )( )( )cdw1cd f85,0x8,0bR =

( )( )( )cdxw1cd fdb68,0R β= ( )( )cdwx1cd fdb68,0R β=

As

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitação de cálculo

x

εc σc

Rsd

MRd = MRd1 d

bw

Rcd = Rcd1

z h 1

y = 0,8 x

2006 5-15 ufpr/tc405

− esforços resistentes de cálculo atuantes nas armaduras tracionadas sssd AR σ=

ydsssd fAR β=

ydsssd fAR β= − binário MRd1/Rcd1

zRM 1cd1Rd = ( )( )cdwx1cd fdb68,0R β=

dz zβ=

xz 4,01 β−=β ( )xxzxc 4,0168,068,0 β−β=ββ=β

( )( )[ ]( )dfdb68,0M zcdwx1Rd ββ= ( )( )cd

2wzx1Rd fdb68,0M ββ=

cd2

wc1Rd fdbM β= ( )( )( )cd

2wxx1Rd fdb4,0168,0M β−β=

( )( )( )cd2

wxx1Rd fdb4,0168,0M β−β=

( ) ( )2xx

cd2

w

1Rd 272,068,0fdb

Mβ−β=

0fdb272,0

M5,2

cd2

w

1Rdx

2x =+β−β

cd2

w

1Rdx fdb272,0

M5625,125,1 −−=β

− binário MRd1/Rsd zRM sd1Rd =

ydsssd fAR β= dz zβ= ( )( )dfAM zydss1Rd ββ=

ydsz

1Rds fd

MAββ

=

− equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo ( )( )cdwx1cd fdb68,0R β=

ydsssd fAR β=

1cdsd RR = ( )( )cdwxydss fdb68,0fA β=β

xyds

cdws fA

fdb68,0β

=β

2006 5-16 ufpr/tc405

− equações principais

xyds

cdws

ydsz

1Rds

xx

x

yd

s

x

s

zxc

xz

xy

cd2

w

1Rdx

cd2

wc1Rd

1RdRd

SdRd

fAfdb68,0

fdMA

259,00,1�5,31fE

259,00,1

68,04,01

8,0

fdb272,0M5625,125,1

fdbM

MMMM

β

=β

ββ=

>β≤×

ββ−

≤β=β

ββ=ββ−=β

β=β

⇒−−=β

β=

=

≥

Equação 5.16

5.8.1 Dutilidade A dutilidade de uma viga fica garantida pela condição estabelecida na Equação 5.3, ou seja:

>

≤=β≤β

MPa35f400,0

MPa35f500,0

ck

ck

limx,x

A associação da Equação 5.6 com a Equação 5.3 torna possível estabelecer, também, valores limites de βc que garantam a condição de dutilidade de uma viga, ou seja:

>

≤=β≤β

MPa35f228,0

MPa35f272,0

ck

ck

limc,c Equação 5.17

Por outro lado, associando MRd1 da Equação 5.16 com a Equação 5.17 torna-se possível estabelecer, também, valores limites para MRd1 que garantam a condição de dutilidade de uma viga, ou seja:

>

≤=≤

MPa35ffdb228,0

MPa35ffdb272,0MM

ckcd2

w

ckcd2

w

lim,1Rd1Rd Equação 5.18

Tanto a Equação 5.3, como a Equação 5.17, como a Equação 5.18 representam a condição de dutilidade de uma viga de concreto armado.

5.8.2 Equações para dimensionamento Considerando as condições de: − equilíbrio, compatibilidade e segurança (Equação 5.16); − dutilidade (Equação 5.3 ou Equação 5.17 ou Equação 5.18); − armadura mínima (Equação 5.13); e − armadura máxima (Equação 5.15),

o dimensionamento ou a verificação de vigas de seção retangular, sem armadura de compressão, pode ser representado por:

2006 5-17 ufpr/tc405

xyds

cdws

wmax,s

w

wyd

cd

min,s

ydsz

1Rds

xx

x

yd

s

x

s

xz

ck

ck

cd2

w

1Rdx

szck

ck

cd2

w

1Rdc

1RdRdSd

lim,1RdSd

ckcd2

w

ckcd2

wlim,1Rd

fAfdb68,0

hb04,0Ahb0015,0

hbff035,0

maxAfd

MA

259,00,1�5,31fE

259,00,1

4,01

MPa35f400,0MPa35f500,0

fdb272,0M5625,125,1

ou

β e tabMPa35f228,0MPa35f272,0

fdbM

MMMcompressão de armadura de enecessidad há nãoMM

MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0

M

β

=β

=≤

=≥

ββ=

>β≤×

ββ−

≤β=β

β−=β

>≤

≤−−=β

β⇒⇒>≤

≤=β

==

⇒≤

>≤

=

Equação 5.19

Exemplo 5.1: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 125 kNm.

Dados: � concreto: C20; e � aço: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais (momentos fletores); e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.19. A solução fica facilitada se for feita a utilização da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16).

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

20 cm 5 cm

45 cm

MSd = 125 kNm

As

2006 5-18 ufpr/tc405

2

c

ckcd kN/cm 43,1

1,402,0f

f ==γ

=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E ===

cm 20bw = cm 45d = cm 50h =

=

hb0015,0

hbff035,0

maxAw

wyd

cd

min,s

2

2

2

min,s cm50,1cm50,150200015,0

cm15,150205,43

43,1035,0maxA =

=××

=×××=

hb04,0A wmaxs, =

2maxs, cm,040502004,0A =××=

kNcm50012kNm125MSd == MPa35ffdb272,0M ckcd

2wlim,1Rd ≤=

kNcm7531543,14520272,0M 2lim,1Rd =×××=

{ compressão de armadura de enecessidad há nãoMMkNcm75315

lim,1RdkNcm50012Sd ⇒<

321

kNcm50012MMM 1RdRdSd ===

b. Linha neutra (βx)

500,0fdb272,0

M5625,125,1cd

2w

1Rdx ≤−−=β

OK500,0373,043,14520272,0

500125625,125,1 2x <=×××

−−=β

c. Braço de alavanca (βz) xz 4,01 β−=β ( ) 851,0373,04,01z =×−=β

d. Tensão na armadura (βs)

0,2590,1�5,31fE

xx

x

yd

ss >β≤×

ββ−

=β

000,1000,1840,20001

5,3373,0

373,015,43

00021ss =β⇒>=×

−

×=β

e. Cálculo da armadura (As)

≤≥

ββ=

max,s

min,s

ydsz

1Rds A

Afd

MA

OKcm0,40cm50,1cm50,7

5,43000,145851,050012A 2

22

s

<>

=×××

=

2cal,s cm50,7A = ◄ (armadura calculada)

2006 5-19 ufpr/tc405

f. Resolução com uso de tabela

272,0fdb

M

cd2

w

1Rdc ≤=β

OK272,0216,043,14520

500122c <=××

=β

=β=β

=β

⇒⇒=β000,1851,0373,0

216,0

s

z

x

tabelac 321

≤≥

ββ=

max,s

min,s

ydsz

1Rds A

Afd

MA

OKcm0,40cm50,1cm50,7

5,43000,145851,050012A 2

22

s

<>

=×××

=

2cal,s cm50,7A = ◄ (armadura calculada)

g. Verificação

xyds

cdws fA

fdb68,0β

=β

OK000,1001,1373,05,4350,7

43,1452068,0s ≅=×

××××

=β

5.9 Disposição da armadura A distribuição e o posicionamento corretos das armaduras dentro da seção transversal de

uma viga constitui fator de suma importância para a durabilidade das estruturas de concreto. A disposição da armadura dentro da seção transversal da viga não pode obstruir a colocação do concreto fresco, devendo permitir, com relativa folga, a introdução de equipamentos de vibração (Figura 5.15).

Figura 5.15 � Espaçamento horizontal e vertical de barras longitudinais

ABNT NBR 6118, item 18.3.2.2: �O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: a) na direção horizontal (ah):

− 20 mm; − diâmetro da barra, do feixe ou da luva; − 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado1;

b) na direção vertical (av): − 20 mm; − diâmetro da barra, do feixe ou da luva; − 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado.

1 O correto seria dizer dimensão máxima do agregado. Ver Equação [2.2].

ah

av φt

dmax

φl

2006 5-20 ufpr/tc405

Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe: φn = φ √ n. Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras.�

O item 18.3.2.2 da ABNT NBR 6118 pode ser expresso pela Equação 5.20.

φ≥

φ≥

max

v

max

h

d5,0

cm2maxa

d2,1

cm2maxa

l

l

Equação 5.20

Exemplo 5.2: Determinar o máximo momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que a viga abaixo representada pode suportar.

Dados: � concreto: C20; � aço: CA-50; � armadura longitudinal: 5 φ 16 mm; � armadura transversal: 6,3 mm; � cobrimento: 3 cm; e � dimensão máxima do agregado: 19 mm. Considerar: � somente solicitações normais (momentos fletores); e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.19 e Equação 5.20, com o auxílio da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16).

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm43,1

1,402,0ff ==

γ=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

cm 20bw = cm 45h = cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ

20 cm

45 cm MSd

As

2006 5-21 ufpr/tc405

cm 1,9mm 19dmax ==

22

efs,s cm 05,104

6,15AA =×π

×== (armadura efetiva)

=

hb0015,0

hbff035,0

maxAw

wyd

cd

min,s

2

2

2

min,s cm35,1cm35,145200015,0

cm04,145205,43

43,1035,0maxA =

=××

=×××=

hb04,0A wmaxs, =

2maxs, cm,036452004,0A =××=

OKcm00,36cm05,10cm35,1max,ssmin,s A

2

A

2

A

2434214342143421

<<

b. Verificação de ah e av

( )1n

n2c2ba tnomwh −

φ+φ+−= l

bw largura da viga cnom cobrimento nominal da armadura φt diâmetro da armadura transversal (estribo) φl diâmetro da armadura longitudinal n número de barras na camada

( ) cm97,313

6,1363,020,3220ah =−

×+×+×−=

φ≥

max

h

d2,1

cm2maxa l

cm28,2cm28,29,12,1d2,1

cm6,1cm2

maxa

max

h ≥

=×==φ≥ l

{

OKaacm28,2

min,hcm97,3cal,h 321

>

φ≥

max

v

d5,0

cm2maxa l

cm0,2cm95,09,15,0d5,0

cm6,1cm2

maxa

max

v ≥

=×==φ≥ l

cm0,2av = (valor adotado) c. Determinação da altura útil (d)1

10hycg <

cm5,41045ycg =<

1 ABNT NBR 6118, item 17.2.4.1: �Os esforços nas armaduras podem ser considerados no centro de gravidade

correspondente, se a distância deste cento ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10%.� (Ver Figura 5.26)

φt

cnom

φl av

ah

cg

d

φt

cnom

φl

ycg

(ycg + φt + cnom)

h

d = h - (ycg + φt + cnom)

2 cm (av)

2006 5-22 ufpr/tc405

∑∑ ×

=si

isicg A

yAy

OKcm4,5cm 24,2

46,12

46,13

26,10,26,1

46,12

26,1

46,13

y22

22

cg <=

×π×+

×π×

++×

×π×+

×

×π×

=

( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) cm93,380,363,044,245d =++−= d. Momento limite (MRd1,lim) MPa35ffdb272,0M ckcd

2wlim,1Rd ≤=

kNcm7901143,193,3820272,0fdb272,0M 2cd

2wlim,1Rd =×××==

e. Verificação para valores efetivos

xyds

cdws fA

fdb68,0β

=β

xxs 732,15,4305,10

43,193,382068,0β=β×

××××

=β

d.1 1ª tentativa

577,0732,11

x ==β

=β=β=β

⇒⇒=β000,1302,0769,0

577,0

s

c

z

tabelax 321

Ok000,1577,0732,1732,1 xs =×=β=β f. Momento solicitante de cálculo (MSd) 1RdRdSd MMM == cd

2wc1Rd fdbM β=

4434421

lim,1RdM

21Rd kNcm79011kNcm0901343,193,3820302,0M >=×××=

Como o valor MRd1 calculado (13 090 kNcm) resultou maior que o valor limite MRd1,lim (11 790 kNcm) isto significa que a viga esta com excesso de armadura. Para que sejam mantidas as condições de dutilidade da seção transversal apresentada é necessário que o valor de MSd fique limitado ao valor limite. Portanto:

kNm9,117kNcm79011MM lim,1RdSd ===

kNm9,117MSd = ◄

O valor assumido obedece ao item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118 que limita a 0,500 o valor de βx (βx,lim) para regiões de vigas próximas a apoios, onde ocorrem momentos negativos como é o caso deste exemplo.

5.10 Vigas de seção retangular com armadura de compressão Conforme visto em 5.8, vigas com dimensões adequadas e sem armadura de compressão,

tem comportamento dútil desde que sejam projetadas para suportar momentos solicitantes inferiores a um determinado limite (MSd ≤ MRd1,lim). Quando os momentos solicitantes ultrapassam o valor limite, a dutilidade das vigas pode ser garantida com o uso de armadura de compressão, como mostrado na Figura 5.16. Para tal basta forçar que a linha neutra mantenha-se no domínio 2 ou no domínio 3.

2006 5-23 ufpr/tc405

A manutenção da linha neutra no domínio 2 (0,000 ≤ βx ≤ 0,259) ou no domínio 3 (0,259 ≤ βx ≤ βx,lim) pode ser alcançada com a definição do valor de βx que conduza ao dimensionamento mais econômico, ou seja, aquele que definir a menor quantidade total de armadura (menor As + A�s). Em termos práticos, isto nem sempre é possível. A prática comum é simplesmente adotar para βx o seu valor limite (βx = βx.lim que corresponde a MRd1 = MRd1,lim), independentemente de qualquer estudo econômico.

Figura 5.16 � Vigas de seção retangular com armadura de compressão

Como mostrado na Figura 5.16, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd ≥ MSd) é composto por dois momentos MRd1 e MRd2. No que se refere a MRd1 valem todas as considerações apresentadas em 5.8. Desenvolvendo, para a Figura 5.16, um raciocínio semelhante ao apresentado em 5.8, chega-se:

− valor adimensional da tensão na armadura comprimida (Equação 5.10)

>β≤×

β

−β

≤β≤×

β−

−β

=σ

=β

4 e 3 domínios259,0

0,1�5,3dd

fE

2 domínio259,0

0,1�101

dd

fE

f

X

x

'

x

yd

s

X

x

'

x

yd

s

yd

's'

s

− armadura comprimida

( ) yd's

'2Rd'

s fddM

Aβ−

=

− armadura tracionada

yds'

2Rd

z

1Rds f

1)dd(

Md

MAβ

−+

β=

− equação de verificação

's

s

's

xyds

cdws A

AfA

fdb68,0β

+β

=β

Rsd

σc

As

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitação de cálculo

x

εc

MRd = MRd1 + MRd2

d'

d

bw

R'sd

Rcd1

d-d� z

Rsd

Rsd2 + Rsd1 (R�sd) (Rcd1)

v

As

v

As2 + As1

h

A's

2

1

y = 0,8 x

ε's

2006 5-24 ufpr/tc405

Desta forma, as vigas de seção retangular com armadura de compressão, podem ser representadas por:

( )

( )( )

's

s

's

xyds

cdws

w'ss

yd's

'2Rd'

s

w

wyd

cd

min,syds

'2Rd

z

1Rds

xx

'

x

yd

s

xx

'

x

yd

s

's

xx

x

yd

s

x

s

xz

ck

ck

cd2

w

1Rdx

'ssz

ck

ck

cd2

w

1Rdc

1RdRd2Rd

2Rd1RdRdSd

lim,1RdRd1lim,1Rd1Rd

lim,1RdSd

ckcd2

w

ckcd2

wlim,1Rd

AA

fAfdb68,0

hb04,0AA

fddMA

hb0015,0

hbff035,0

maxAf1

ddM

dMA

259,00,1�5,3dd

fE

259,00,1�101

dd

fE

259,00,1�5,31fE

259,00,1

4,01

MPa35f400,0MPa35f500,0

fdb272,0M5625,125,1

ou

β e β ,βtabMPa35f228,0MPa35f272,0

fdbM

MMMMMMM

)MM ser (pode assumido ser a valorMMcompressão de armadura de enecessidad háMM

MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0

M

β

+β

=β

≤+

β−=

=≥

β

−

+β

=

>β≤×

β

−β

≤β≤×

β−

−β

=β

>β≤×

ββ−

≤β=β

β−=β

>≤

≤−−=β

⇒⇒>≤

≤=β

−=

+==

=⇒≤

⇒>

>≤

=

Equação 5.21

Exemplo 5.3: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 220 kNm.

Dados: � concreto: C20; � aço: CA-50; � armadura transversal: 6,3 mm; � cobrimento: 3 cm; e � dimensão máxima do agregado: 19 mm. Considerar: � somente solicitações normais (momentos fletores); e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15).

2006 5-25 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 5.19 ou Equação 5.21 e da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16).

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 43,1

1,402,0ff ==

γ=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

cm 20bw = cm 50h = (assumido)cm 44d = (assumido)cm 4d' = cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ cm 1,9mm 19dmax ==

=

hb0015,0

hbff035,0

maxAw

wyd

cd

min,s

2

2

2

min,s cm50,1cm50,150200015,0

cm15,150205,43

43,1035,0maxA =

=××

=×××=

( ) 2wmax

'ss cm,040502004,0hb04,0AA =××==+

kNcm00022kNm220MSd == MPa35ffdb272,0M ckcd

2wlim,1Rd ≤=

kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd =×××=

{

compressão de armadura de enecessidad háMMkNcm06115

lim,1RdkNcm00022

Sd ⇒>321

kNcm06115MM limRd1,1Rd =≤ ) a de(correspon adotado valorkNcm06115M limc,Rd1 β⇒= kNcm00022MMMM 2RdRd1RdSd =+== 1RdRd2Rd MMM −= kNcm93960611500022M 2Rd =−=

20 cm

50 cm

MSd = 220 kNm

As

2006 5-26 ufpr/tc405

b. Tabela CA-50

272,0fdb

Mcd

2w

1Rdc ≤=β

limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,14420

06115⇒=

××=β

{

=β

=β

=β

=β

⇒⇒

==

=β

000,1

000,1800,0500,0

091,0444

dd

272,0

's

s

z

x

tabela'

c

( ) min,syds

'2Rd

z

1Rds A

f1

ddM

dMA ≥

β

−

+β

=

OKcm50,1cm82,135,43000,1

1)444(

939644800,0

06115A 22s >=

×

−

+×

=

2cal,s cm82,13A = ◄

22

ef,s cm71,154

0,25mm20 5A =×π

×=φ= (2 camadas)

( ) yd's

'2Rd'

s fddMA

β−=

2's cm99,3

5,43000,1)444(9396A =

××−=

2'cal,s cm99,3A = ◄

22

'ef,s cm02,4

46,12mm16 2A =

×π×=φ=

OKcm0,40cm73,1902,471,15AA 22'ef,sef,s <=+=+

c. Verificação para valores calculados

's

s

's

xyds

cdws A

AfA

fdb68,0β

+β

=β

OK000,1000,182,1399,3500,0

5,4382,1343,1442068,0

s =×

+×

×

×××=β

d. Verificação de ah e av para as barras de 20 mm

( )1n

n2c2ba tnomwh −

φ+φ+−= l

bw largura da viga cnom cobrimento nominal da armadura φt diâmetro da armadura transversal (estribo) φl diâmetro da armadura longitudinal n número de barras na camada

( ) cm37,313

0,2363,020,3220ah =−

×+×+×−=

φ≥

max

h

d2,1

cm2maxa l

cm28,2cm28,29,12,1d2,1

cm2cm2

maxa

max

h ≥

=×==φ≥ l

φt φl

ah

cnom

av

2006 5-27 ufpr/tc405

{

OKaacm28,2

min,hcm37,3cal,h 321

>

φ≥

max

v

d5,0

cm2maxa l

cm0,2cm95,09,15,0d5,0

cm2cm2

maxa

max

v ≥

=×==φ≥ l

cm0,2av = (valor adotado) e. Determinação da altura útil (d)

10hycg <

cm0,51050ycg =<

∑∑ ×

=si

isicg A

yAy

OKcm5,0cm 60,2

40.22

40,23

20,20,20,2

40,22

20,2

40,23

y22

22

cg <=

×π×+

×π×

++×

×π×+

×

×π×

=

( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) cm44cm77,430,363,060,250d <=++−= f. Determinação de d�

2

cd tnom' lφ+φ+=

cm4cm43,426,163,00,3d' >=++=

g. Cálculo da armadura para novos valores de d e d� kNcm9031443,177,4320272,0fdb272,0M 2

cd2

w1Rd =×××== kNcm09779031400022M 2Rd =−=

limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,177,4320

14903⇒=

××=β

=β

=β=β

⇒⇒

==

=β

000,1000,1800,0

101,077,4343,4

dd

272,0

's

s

z

tabela'

c

321

OKcm50,1cm93,135,43000,1

1)43,477,43(

097777,43800,0

90314A 22s >=

×

−

+×

=

2cal,s cm93,13A = ◄

22

ef,s cm71,154

0,25mm20 5A =×π

×=φ=

cg

d

φt

cnom

φl

ycg

(ycg + φt + cnom)

h

d = h - (ycg + φt + cnom)

2 cm (av)

d

φt cnom

φl

h

d' = cnom + φt + 0,5φl

2006 5-28 ufpr/tc405

2's cm15,4

5,43000,1)43,477,43(0977A =

××−=

2'cal,s cm15,4A = ◄

222

'ef,s cm81,4

40,1

46,12mm10 1mm16 2A =

×π+

×π×=φ+φ=

OKcm0,40cm52,2081,471,15AA 22'ef,sef,s <=+=+

h. Resolução para MRd1 <MRd1,lim (assumido)cm 77,43d = (assumido)cm 43,4d' = kNcm9031443,177,4320272,0fdb272,0M 2

cd2

wlim,1Rd =×××== kNcm90314MM limRd1,1Rd =≤ adotado valorkNcm95810MRd1 ⇒= kNcm04211kNcm9581000022M 2Rd =−=

OK272,0200,043,177,4320

958102c <=××

=β

=β

=β

=β

⇒⇒

==

=β

000,1

000,1864,0

101,077,4343,4

dd

200,0

's

s

z

tabela'

c

321

OKcm50,1cm11,135,43000,1

1)43,477,43(

0421177,43864,0

95810A 22s >=

×

−

+×

=

2cal,s cm11,13A = ◄

22

ef,s cm71,154

0,25mm20 5A =×π

×=φ=

2's cm45,6

5,43000,1)43,477,43(04211A =

××−=

2'cal,s cm45,6A = ◄

222

'ef,s cm07,7

40,1

40,22mm 10 1mm 20 2A =

×π+

×π×=φ+φ=

OKcm0,40cm78,2207,771,15AA 22'ef,sef,s <=+=+

i. Comparação de resultados g.1 valores teóricos (valores calculados de As e A�s) kNcm90314MM lim,1Rd1Rd ==

2cal,s cm93,13A =

2'cal,s cm15,4A =

2'cal,scal,s cm08,1815,493,13AA =+=+

kNcm95810M 1Rd = 2

cal,s cm11,13A =

2'cal,s cm45,6A =

%2,8cm56,1945,611,13AA 2'cal,scal,s +=+=+

g.2 valores reais (valores efetivos de As e A�s) kNcm90314MM lim,1Rd1Rd ==

2ef,s cm71,15A =

2006 5-29 ufpr/tc405

2'ef,s cm81,4A =

2'ef,sef,s cm52,2081,471,15AA =+=+

kNcm95810M 1Rd = 2

ef,s cm71,15A =

2'ef,s cm07,7A =

%11cm78,2207,771,15AA 2'ef,sef,s +=+=+

5.11 Vigas de seção T sem armadura de compressão 5.11.1 Região de concreto comprimido

A região de concreto comprimido, em uma viga de seção T, pode ocorrer de três modos distintos como apresentado na Figura 5.17.

Figura 5.17 � Regiões de concreto comprimido em vigas de seção T A situação em que toda a mesa está comprimida, corresponde a:

fhy =

dh

dy f=

Considerando a Equação 5.6, tem-se:

dh

dy f

y ==β

d8,0h

8,0fy

x =β

=β

( )

−

=

−

=β−β=β

2hd

dh85,0

d8,0h4,01

d8,0h68,04,0168,0 f

2fff

xxc

Levando-se em conta as condições estabelecidas na Figura 5.14, cuja região comprimida é definida pelo retângulo de dimensões bw y, tem-se, pela Equação 5.16:

cd2

wc1Rd fdbM β=

( ) cdf

fwcd2

wf

2f

1Rd f2hdhb85,0fdb

2hd

dh85,0M

−=

−

=

No caso particular em que bw (da Figura 5.14) for igual a bf (da Figura 5.17), e definindo, para este caso, MRd1 como sendo o momento resistente de cálculo resistido pela mesa comprimida da seção T, tem-se:

( ) cdf

ffmesa,Rd1Rd f2hdhb85,0MM

−==

y

bw

bf

As

hf

y < hf

y

bw

bf

As

y = hf

y

bw

bf

As

y > hf

2006 5-30 ufpr/tc405

( ) cdf

ffmesa,Rd f2hdhb85,0M

−= Equação 5.22

Desta forma, para as regiões de concreto comprimido em vigas de seções T, têm-se:

mesa,RdRdf

mesa,RdRdf

mesa,RdRdf

MMhy

MMhy

MMhy

>⇔>

=⇔=

<⇔<

Equação 5.23

5.11.2 Seções T sem armadura de compressão: y ≤ hf Seja Figura 5.18 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de

cálculo MSd é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd, composto somente pelo binário das forças Rcd e Rsd, sem a necessidade de armadura de compressão.

Figura 5.18 � Vigas de seção T sem armadura de compressão � y ≤ hf Comparando a Figura 5.14 com a Figura 5.18 pode-se concluir que a viga de seção T sem

armadura de compressão, com y ≤ hf, é equivalente a uma viga de seção retangular de base bf. Desta forma, introduzindo valores de bf nos lugares de bw apresentados na Equação 5.19 e

considerando: − a relação entre y e hf (Equação 5.23); − armadura mínima (Equação 5.12); e − armadura máxima (Equação 5.15),

as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y ≤ hf, podem ser representadas por:

x

εs

esforços resistentes de cálculo

Rsd

MRd = MRd1

∆l

bf

As

σc εc

Rcd = Rcd1

z d

solicitação de cálculo

MSd h 1

y = 0,8 x

bw

hf

2006 5-31 ufpr/tc405

( )

xyds

cdfs

wmax,s

c

cyd

cd

min,s

ydsz

1Rds

fy

xx

x

yd

s

x

s

xz

xy

ck

ck

cd2

f

1Rdx

szyck

ck

cd2

f

1Rdc

1RdRdSd

lim,1RdSd

ckcd2

f

ckcd2

flim,1Rd

ffmesa,RdSd

cdf

ffmesa,Rd

fAfdb68,0

hb04,0AA0015,0

Aff024,0

maxAfd

MA

hdy

259,00,1�5,31fE

259,00,1

4,018,0

MPa35f400,0MPa35f500,0

fdb272,0M5625,125,1

ou

β e β ,βtabMPa35f228,0MPa35f272,0

fdbM

MMMcompressão de armadura de enecessidad há nãoMM

MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0

M

b base de eequivalent retangular seçãohyMM

f2hdhb85,0M

β

=β

=≤

=≥

ββ=

≤β=

>β≤×

ββ−

≤β=β

β−=β

β=β

>≤

≤−−=β

⇒⇒>≤

≤=β

==

⇒≤

>≤

=

⇒≤⇒≤

−=

Equação 5.24

Exemplo 5.4: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 220 kNm.

Dados: � concreto: C20; e � aço: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais (momentos fletores); e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15).

10 cm

40 cm

20 cm

MSd = 220 kNm

As

60 cm

2006 5-32 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.24 e da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16).

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 43,1

1,402,0f

f ==γ

=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 50h = cm 10hf = ( ) fwfwc hbbhbA −+= ( ) 2

c cm 00411020-605020A =×+×=

=

c

cyd

cd

min,s

A0015,0

Aff024,0

maxA

2

2

2

min,s cm10,2cm10,240010015,0

cm10,140015,43

43,1024,0maxA =

=×

=××=

hb04,0A wmaxs, =

2maxs, cm,040502004,0A =××=

kNcm00022kNm220MSd ==

( ) cdf

ffmesa,Rd f2hdhb85,0M

−=

( ) kNcm4432843,12

1044106085,0M mesa,Rd =×

−×××=

{ ff

kNcm44328

mesa,RdkNcm00022

Sd b base de eequivalent retangular seçãohyMM ⇒<⇒<43421

MPa35ffdb272,0M ckcd2

flim,1Rd ≤=

kNcm1824543,14460272,0M 2lim,1Rd =×××=

{

compressão de armadura de enecessidad há nãoMMkNcm18245

lim,1RdkNcm00022

Sd ⇒<321

kNcm00022MMM 1RdRdSd === b. Tabela CA-50

272,0fdb

M

cd2

f

1Rdc ≤=β

OK272,0132,043,14460

000222c <=××

=β

bf

As

d h

hf

2006 5-33 ufpr/tc405

=β

=β

=β

=β

⇒⇒=β

000,1915,0170,0213,0

132,0

s

z

y

x

tabelac 321

OKcm0,10cm48,744170,0dyfh

y 43421<=×=β=

≤≥

ββ=

max,s

min,s

ydsz

1Rds A

Afd

MA

OKcm0,40cm10,2cm56,12

5,43000,144915,000022A 2

22

s

<>

=×××

=

2cal,s cm56,12A = ◄

22

ef,s cm57,124

0,24mm20 4A =×π

×=φ=

c. Verificação para valores calculados

xyds

cdfs fA

fdb68,0β

=β

OK000,1001,1213,05,4356,12

43,1446068,0s ≅=×

××××

=β

d. Comparação com o Exemplo 5.3, para d igual a 44 cm

e. Observação Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em função da disposição

da armadura definida por As,ef. Esta verificação pressupõe o conhecimento do diâmetro da armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimensão máxima do agregado graúdo.

MSd = 220 kNm Seção Retang. Seção T ∆ Ac 1000,0 cm2 1400,0 cm2 40,0% Acc 352,0 cm2 448,8 cm2 27,5% A�s 3,99 cm2 # # As 13,82 cm2 12,56 cm2 -9,1%

As + A�s 17,81 cm2 12,56 cm2 -29,5% βx 0,500 0,213

Domínio 3 2

17,6 cm

20 cm

As

A�s

As = 13,82 cm2 A�s = 3,99 cm2

6 cm

10 cm

34 cm

20 cm

As

60 cm

7,48 cm

As = 12,56 cm2

2006 5-34 ufpr/tc405

5.11.3 Seções T sem armadura de compressão: y > hf Seja Figura 5.19 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de

cálculo MSd é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd, composto pelos binários das forças Rcd1 / Rsd1 e Rcd3 / Rsd3, sem a necessidade de armadura de compressão.

Figura 5.19 � Vigas de seção T sem armadura de compressão � y > hf

Como mostrado na Figura 5.19, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd ≥ MSd) é composto por dois momentos MRd1 e MRd3. No que se refere a MRd1 valem todas as considerações apresentadas em 5.8. Desenvolvendo, para a Figura 5.19, um raciocínio semelhante ao apresentado em 5.8, chega-se:

− armadura tracionada

ydsf

3Rd

z

1Rds f

1

2hd

Md

MAβ

−

+β

=

− equação de verificação ( )[ ]

−

+β

=β

yds

cdfwfx

yds

cdws fA

fhbb85,0fA

fdb68,0

Desta forma, as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y > hf, podem ser representadas por:

Rsd3 + Rsd1 (Rcd3) (Rcd1)

εs

esforços resistentes de cálculo

Rsd

MRd = MRd1 + MRd3

∆l bw

bf

As

σc εc

x Rcd1

Rcd3

z

d

hf

solicitação de cálculo

MSd

Rsd

v

As

v

As3 + As1

h

1

3 3

y = 0,8 x

2006 5-35 ufpr/tc405

( )

( )

( )

( )[ ]

−

+β

=β

=≤

=≥

β

−

+β

=

>β=

>β≤×

ββ−

≤β=β

β−=β

β=β

>≤

≤−−=β

⇒⇒>≤

≤=β

−=

+==

⇒+≤

−−=

>≤

=

⇒>⇒>

−=

yds

cdfwfx

yds

cdws

wmax,s

c

cyd

cd

min,s

ydsf

3Rd

z

1Rds

fy

xx

x

yd

s

x

s

xz

xy

ck

ck

cd2

w

1Rdx

szyck

ck

cd2

w

1Rdc

3RdRd1Rd

3Rd1RdRdSd

3Rdlim,1RdSd

cdf

fwf3Rd

ckcd2

w

ckcd2

wlim,1Rd

fmesa,RdSd

cdf

ffmesa,Rd

fAfhbb85,0

fAfdb68,0

hb04,0AA0015,0

Aff024,0

maxAf1

2hd

Md

MA

hdy

259,00,1�5,31fE

259,00,1

4,018,0

MPa35f400,0MPa35f500,0

fdb272,0M5625,125,1

ou

β e β ,βtabMPa35f228,0MPa35f272,0

fdbM

MMMMMMM

compressão de armadurade enecessidad há não

MMM

f2hdhbb85,0M

MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0

M

T seçãohyMM

f2hdhb85,0M

Equação 5.25

Exemplo 5.5: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 320 kNm.

Dados: � concreto: C20; e � aço: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais (momentos fletores); e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15).

2006 5-36 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.25 e da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16).

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 43,1

1,402,0ff ==

γ=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 50h = cm 10hf = ( ) fwfwc hbbhbA −+= ( ) 2

c cm 00411020-605020A =×+×=

=

c

cyd

cd

min,s

A0015,0

Aff024,0

maxA

2

2

2

min,s cm10,2cm10,240010015,0

cm10,140015,43

43,1024,0maxA =

=×

=××=

hb04,0A wmaxs, =

2maxs, cm,040502004,0A =××=

kNcm00032kNm320MSd ==

( ) cdf

ffmesa,Rd f2hdhb85,0M

−=

( ) kNcm4432843,12

1044106085,0M mesa,Rd =×

−×××=

{T seçãohyMM f

kNcm44328

mesa,RdkNcm00032

Sd ⇒>⇒>43421

MPa35ffdb272,0M ckcd2

wlim,1Rd ≤=

kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd =×××=

bf

bf

As

d h

hf

10 cm

40 cm

20 cm

MSd = 320 kNm

As

60 cm

2006 5-37 ufpr/tc405

( ) cdf

fwf3Rd f2hdhbb85,0M

−−=

( ) kNcm9621843,12

104410206085,0M 3dR =×

−××−×=

kNcm3402396218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd =+=+

{compressão de armadura de enecessidad há nãoMMM

kNcm02334

3Rdlim,1RdkNcm00032

Sd ⇒+<44 344 21

kNcm00032MMMM 3Rd1RdRdSd =+== 3RdRd1Rd MMM −= kNcm038139621800032M 1Rd =−= b. Tabela CA-50

272,0fdb

M

cd2

w

1Rdc ≤=β

OK272,0235,043,14420

038132c <=××

=β

=β=β

=β=β

⇒⇒=β

000,1834,0332,0415,0

235,0

s

z

y

x

tabelac 321

OKcm0,10cm61,1444332,0dyfh

y 43421>=×=β=

≤≥

β

−

+β

=max,s

min,s

ydsf

3Rd

z

1Rds A

Af

1

2hd

Md

MA

OKcm0,40cm10,2cm34,19

5,43000,11

21044

9621844834,0

03813A 2

22

s

<>

=×

−

+×

=

2cal,s cm34,19A = ◄

22

ef,s cm63,194

5,24mm25 4A =×π

×=φ=

c. Verificação para valores calculados

( )[ ]

−

+β

=β

yds

cdfwfx

yds

cdws fA

fhbb85,0fA

fdb68,0

( )[ ] OK000,15,4334,19

43,110206085,0415,05,4334,19

43,1442068,0s =

×××−×

+×

×

×××=β

d. Observação Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em função da disposição

da armadura definida por As,ef. Esta verificação pressupõe o conhecimento do diâmetro da armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimensão máxima do agregado graúdo.

2006 5-38 ufpr/tc405

5.12 Vigas de seção T com armadura de compressão 5.12.1 Seções T com Armadura de Compressão: y ≤ hf

Nas seções T, a necessidade da armadura de compressão (Figura 5.20) pode vir a ser necessária, em alguns casos, quando a relação hf / d assume valores maiores que 0,4 para concretos de classe igual ou inferior a C35, ou 0,32 para concretos de classe superior a C35.

Figura 5.20 � Vigas de seção T com armadura de compressão � y ≤ hf Desenvolvendo um raciocínio análogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de

seção T, com armadura de compressão, com y ≤ hf, podem ser representadas por:

εs

esforços resistentes de cálculo

Rsd

∆l bw

bf d'

As

σc εc

x

Rcd1 R�sd

z

d hf

solicitação de cálculo

MSd

Rsd

Rsd2 + Rsd1 (R�sd) (Rcd1)

v

As

v

As2 + As1

h

A�s

1

2

ε�s

y = 0,8 x

MRd = MRd1 + MRd2

2006 5-39 ufpr/tc405

( )

( )

( )( )

's

s

's

xyds

cdfs

w'ss

yd's

'2Rd'

s

c

cyd

cd

min,syds

'2Rd

z

1Rds

fy

xx

'

x

yd

s

xx

'

x

yd

s

's

xx

x

yd

s

x

s

xz

xy

ck

ck

cd2

f

1Rdx

'sszy

ck

ck

cd2

f

1Rdc

1RdRd2Rd

2Rd1RdRdSd

lim,1RdRd1lim,1Rd1Rd

lim,1RdSd

ckcd2

f

ckcd2

flim,1Rd

ffmesa,RdSd

cdf

ffmesa,Rd

AA

fAfdb68,0

hb04,0AA

fddMA

A0015,0

Aff024,0

maxAf1

ddM

dMA

hdy

259,00,1�5,3dd

fE

259,00,1�101

dd

fE

259,00,1�5,31fE

259,00,14,01

8,0MPa35f400,0MPa35f500,0

fdb272,0M5625,125,1

ou

β e β ,β ,βtabMPa35f228,0MPa35f272,0

fdbM

MMMMMMM

)MM ser (pode assumido ser a valorMMcompressão de armadura de enecessidad háMM

MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0

M

b base de eequivalent retangular seçãohyMM

f2hdhb85,0M

β

+β

=β

≤+

β−=

=≥

β

−

+β

=

≤β=

>β≤×

β

−β

≤β≤×

β−

−β

=β

>β≤×

ββ−

≤β=β

β−=ββ=β

>≤

≤−−=β

⇒⇒>≤

≤=β

−=

+==

=⇒≤

⇒>

>≤

=

⇒≤⇒≤

−=

Equação 5.26

Exemplo 5.6: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 500 kNm.

Dados: � concreto: C20; e � aço: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais (momentos fletores); e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15).

2006 5-40 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.26 e da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16).

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 43,1

1,402,0ff ==

γ=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 4d' = (assumido) cm 50h = cm 52hf = ( ) fwfwc hbbhbA −+= ( ) 2

c cm 00022520-605020A =×+×=

=

c

cyd

cd

min,s

A0015,0

Aff024,0

maxA

2

2

2

min,s cm00,3cm00,300020015,0

cm58,100025,43

43,1024,0maxA =

=×

=××=

hb04,0A wmaxs, =

2maxs, cm,040502004,0A =××=

kNcm00050kNm500MSd ==

( ) cdf

ffmesa,Rd f2hdhb85,0M

−=

( ) kNcm4325743,12

2544256085,0M mesa,Rd =×

−×××=

{ ff

kNcm43257

mesa,RdkNcm00050

Sd b base de eequivalent retangular seçãohyMM ⇒<⇒<43421

MPa35ffdb272,0M ckcd2

flim,1Rd ≤=

bf

As

d h

hf

25 cm

25 cm

20 cm

MSd = 500 kNm

As

60 cm

2006 5-41 ufpr/tc405

kNcm1824543,14460272,0M 2lim,1Rd =×××=

{ compressão de armadura de enecessidad háMMkNcm18245

lim,1RdkNcm00050

Sd ⇒>321

kNcm18245MM limRd1,1Rd =≤ ) a de(correspon adotado valorkNcm18245M limx,Rd1 β⇒= kNcm00050MMMM 2Rd1RdRdSd =+== 1RdRd2Rd MMM −= kNcm81841824500050M 2Rd =−= b. Tabela CA-50

272,0fdb

M

cd2

f

1Rdc ≤=β

limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,14460

18245⇒=

××=β

=β=β=β=β=β

⇒⇒

==

=β

000,1000,1800,0400,0500,0

091,0444

dd

272,0

's

s

z

y

x

tabela'

c

321

OKcm0,25cm60,1644400,0dyfh

y 43421<=×=β=

( )

≥β

−

+β

=

c

cyd

cd

yds'

2Rd

z

1Rds

A0015,0

Aff024,0

f1

ddM

dMA

OKcm00,3cm28,325,43000,1

1)444(

818444800,0

18245A 22s >=

×

−

+×

=

2cal,s cm28,32A = ◄

22

ef,s cm36,344

5,27mm25 7A =×π

×=φ=

( ) ( ) hb04,0AAfdd

MA w'ss

yd's

'2Rd'

s ≤+⇒β−

=

2's cm77,2

5,43000,1)444(8184A =

××−=

2'cal,s cm77,2A = ◄

22

'ef,s cm68,3

425,13mm25 ,1 3A =

×π×=φ=

OKcm0,40cm04,3868,336,34AA 22'ef,sef,s <=+=+

c. Verificação para valores calculados

's

s

's

xyds

cdfs A

AfA

fdb68,0β

+β

=β

OK000,1000,128,32

77,2500,05,4328,32

43,1446068,0s =×

+×

×

×××=β

d. Observação Devem ser verificados os valores de d e d� em função de As,ef e A�s,ef. Esta verificação

pressupõe o conhecimento do diâmetro da armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimensão máxima do agregado graúdo.

2006 5-42 ufpr/tc405

5.12.2 Seções T com Armadura de Compressão: y > hf Nas seções T, a necessidade da armadura de compressão (Figura 5.21) pode vir a ser

necessária, em casos, que a altura da região de concreto comprimido (y) ocupe boa parte da nervura, além da ocupação total da mesa.

Figura 5.21 - Vigas de seção T com armadura de compressão � y > hf Desenvolvendo um raciocínio análogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de

seção T, com armadura de compressão, com y > hf, podem ser representadas por:

εs

esforços resistentes de cálculo

Rsd MRd = MRd1

+ MRd2 + MRd3

∆l bw

bf d'

As

σc εc

x Rcd1

Rcd3 R�sd

A�s

z

d

hf

solicitação de cálculo

MSd

Rsd

Rsd3 + Rsd2 + Rsd1 (Rcd3) (R�sd) (Rcd1)

v

As

v

As3 + As2 + As1

h

1

3 3

2

ε�s

y = 0,8 x

2006 5-43 ufpr/tc405

( )

( )

( )

( )( )

( )[ ]

−

+β

+β

=β

≤+

β−=

=≥

β

−

+−

+β

=

>β=

>β≤×

β

−β

≤β≤×

β−

−β

=β

>β≤×

ββ−

≤β=β

β−=ββ=β

>≤

≤−−=β

⇒⇒>≤

≤=β

+−=

++==

=⇒≤

⇒+>

−−=

>≤

=

⇒>⇒>

−=

yds

cdfwf's

s

's

xyds

cdws

w'ss

yd's

'2Rd'

s

c

cyd

cd

min,sydsf

3Rd'

2dR

z

1Rds

fy

xx

'

x

yd

s

xx

'

x

yd

s

's

xx

x

yd

s

x

s

xz

xy

ck

ck

cd2

w

1Rdx

'sszy

ck

ck

cd2

w

1Rdc

3Rd1RdRd2Rd

3Rd2Rd1RdRdSd

limRd1,Rd1lim,1Rd1Rd

3Rdlim,1RdSd

cdf

fwf3Rd

ckcd2

w

ckcd2

wlim,1Rd

fmesa,RdSd

cdf

ffmesa,Rd

fAfhbb85,0

AA

fAfdb68,0

hb04,0AA

fddMA

A0015,0

Aff024,0

maxAf1

2hd

M)dd(

Md

MA

hdy

259,00,1�5,3dd

fE

259,00,1�101

dd

fE

259,00,1�5,31fE

259,00,14,01

8,0MPa35f400,0MPa35f500,0

fdb272,0M5625,125,1

ou

β e β ,β ,βtabMPa35f228,0MPa35f272,0

fdbM

MMMMMMMMM

)MM ser (pode assumido ser a valorMMcompressão de armadura

de enecessidad a há)MM(M

f2hdhbb85,0M

MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0

M

T seçãohyMM

f2hdhb85,0M

Equação 5.27

2006 5-44 ufpr/tc405

Exemplo 5.7: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 500 kNm.

Dados: � concreto: C20; e � aço: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais (momentos fletores); e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.27 e da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16).

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 43,1

1,402,0ff ==

γ=

2yk kN/cm 50MPa 500f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 43,5

1,1550f

f ==γ

=

cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 4d' = (assumido) cm 50h = cm 10hf = ( ) fwfwc hbbhbA −+= ( ) 2

c cm 00411020-605020A =×+×=

=

c

cyd

cd

min,s

A0015,0

Aff

024,0maxA

2

2

2

min,s cm10,2cm10,240010015,0

cm10,140015,43

43,1024,0maxA =

=×

=××=

hb04,0A wmaxs, =

2maxs, cm,040502004,0A =××=

kNcm00050kNm500MSd ==

10 cm

40 cm

20 cm

MSd = 500 kNm

As

60 cm

2006 5-45 ufpr/tc405

( ) cdf

ffmesa,Rd f2hdhb85,0M

−=

( ) kNcm4432843,12

1044106085,0M mesa,Rd =×

−×××=

{

T seçãohyMM f

kNcm44328

mesa,RdkNcm00050

Sd ⇒>⇒>43421

MPa35ffdb272,0M ckcd2

wlim,1Rd ≤=

kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd =×××=

( ) cdf

fwf3Rd f2hdhbb85,0M

−−=

( ) kNcm9621843,12

104410206085,0M 3dR =×

−××−×=

kNcm0233496218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd =+=+ { compressão de armadura de enecessidad háMMM

kNcm02334

3Rdlim,1RdkNcm00050

Sd ⇒+>44 344 21

lim,1RdRd1 MM ≤ adotado valorkNcm15061MRd1 ⇒= kNcm00050MMMMM 3Rd2Rd1RdRdSd =++== ( )3Rd1RdRd2Rd MMMM +−= kNcm97715)9621806115(00050M 2Rd =+−= b. Tabela CA-50

272,0fdb

M

cd2

w

1dc ≤=β

limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,14420

06115⇒=

××=β

=β

=β

=β

=β=β

⇒⇒

==

=β

000,1

000,1800,0400,0500,0

091,0444

dd

272,0

's

s

z

y

x

tabela'

c

321

OKcm0,10cm60,1744400,0dyfh

y 43421>=×=β=

min,sydsf

3Rd'

2dR

z

1Rds A

f1

2hd

M)dd(

Md

MA ≥

β

−

+−

+β

=

OKcm10,2cm20,305,43000,1

1

21044

96218)444(

9771544800,0

06115A 22s ≥=

×

−

+−

+×

=

2cal,s cm20,30A = ◄

22

ef,s cm36,344

5,27mm25 7A =×π

×=φ=

bf

bf

As

d h

hf

2006 5-46 ufpr/tc405

( ) yd's

'2Rd'

s fddMA

β−=

( )2'

s cm18,95,43000,1444

97715A =××−

=

2'cal,s cm18,9A = ◄

22

'ef,s cm05,10

46,15mm16 5A =

×π×=φ=

viga da dimensões as aumentarcm0,40cm41,4405,1036,34AA 22'ef,sef,s ⇒>=+=+

c. Verificação para valores calculados

( )[ ]

−

+β

+β

=β

yds

cdfwf's

s

's

xyds

cdws fA

fhbb85,0AA

fAfdb68,0

( )[ ] 000,15,4320,30

43,110206085,0000,120,30

18,9500,05,4320,30

43,1442068,0s =

×××−×

+×

+×

×

×××=β

OK d. Observação Se para a verificação da armadura máxima fosse usada a Equação 5.14 no lugar da

Equação 5.15, teríamos: ( ) cmax

'ss A04,0AA ≤+

( ) 2max

'ss cm0,56400104,0AA =×≤+

OKcm0,56cm41,4405,1036,34AA 22'ef,sef,s <=+=+

Porém, pelas razões apresentadas em 5.7.2, é conveniente seguir a seqüência de calculo mostrada no item b e aumentar as dimensões da seção transversal da viga.

5.13 Composição de bf 5.13.1 Conjunto laje–viga

Nas estruturas de concreto armado, as vigas de seção T aparecem naturalmente pois o conjunto laje-viga define este tipo de seção, como mostrado na Figura 5.22.

Figura 5.22 � Conjunto laje-viga

hf bw

bf

A A

P4 20 x 20

P2 20 x 20

P3 20 x 20

P1 20 x 20

V4 �

20

x 50

V2 � 20 x 50

V3 �

20

x 50

V1 � 20 x 50

L1 10 cm

L2 10 cm

Corte AA L1

L2 V3

V4

L3 10 cm

L3

2006 5-47 ufpr/tc405

Deve ser notado que no dimensionamento da armadura longitudinal (armadura de flexão), a viga de concreto armado composta por nervura (alma) e abas (mesa), como mostrado na Figura 5.22, só poderá ser considerada como seção T, quando a mesa estiver comprimida. Caso contrário (mesa tracionada), a viga deverá ser considerada como de seção retangular de base bw.

De modo geral, pode se dizer que a seção T, com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), pode ser usada para o dimensionamento da armadura longitudinal positiva (momentos fletores positivos da viga V3 da Figura 5.22).

Eventualmente, em construções com lajes rebaixadas (apoiadas na base da viga), é possível configurar-se seções ⊥ (T invertido da viga V4 da Figura 5.22). Nestes casos, estas seções poderiam ser usadas no dimensionamento da armadura longitudinal negativa (momentos fletores negativos, se houverem, na viga V4 da Figura 5.22).

5.13.2 Largura colaborante de vigas de seção T 5.13.2.1 Distância entre pontos de momentos fletores nulos

A consideração da largura colaborante da laje associada à viga (Figura 5.22) deve obedecer às prescrições da ABNT NBR 6118.

ABNT NBR 6118, item 14.6.2.2: �A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado, como se apresenta a seguir:

− viga simplesmente apoiada: a = 1,00 l; − viga com momento em uma só extremidade: a = 0,75 l; − viga com momento nas duas extremidades: a = 0,60 l; − viga em balanço: a = 2,00 l.

Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima.�

Os valores de a podem ser estabelecidos como:

balanço em viga2aesextremidad duas nas momento com viga60,0a

eextremidad só uma em momento com viga75,0aapoiada tesimplesmen vigaa

l

l

l

l

====

Equação 5.28

A Figura 5.23 mostra os valores simplificados de a, como estabelecidos pela ABNT NBR 6118.

2006 5-48 ufpr/tc405

Figura 5.23 � Distância entre pontos de momento fletor nulo

Deve ser observado na Figura 5.23 que para a viga isostática (l1) só tem sentido o uso de seções T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), pois nesta viga só atuam momentos fletores positivos. Neste caso:

11aa l==

Para a viga contínua (l2 + l3 + l4), as seções T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé) podem ser admitidas nos trechos I e III, onde atuam momentos fletores positivos. As seções ⊥ com a mesa posicionada na parte inferior da viga (T invertido) podem ser admitidas nos trechos II e IV, onde atuam momentos fletores negativos.

Para o caso em que a viga contínua mostrada na Figura 5.23 tiver, em toda sua extensão, seção transversal em forma de T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), na determinação do valor de bf (a ser usado no dimensionamento dos momentos fletores positivos dos trechos I e III), deve ser tomado para a o menor dos seguintes valores:

==

≤33

22

60,0a75,0a

al

l

Para o caso em que a viga contínua mostrada na Figura 5.23 tiver, em toda sua extensão, seção transversal em forma de ⊥ com a mesa posicionada na parte inferior da viga (T invertido), na determinação do valor de bf (a ser usado no dimensionamento dos momentos fletores negativos dos trechos II e IV), deve ser tomado para a o menor dos seguintes valores:

++

≤43

32

00,220,020,025,0

all

ll

5.13.2.2 Vigas isoladas e painel de vigas Na determinação de bf não pode ser apenas considerada a distância a entre os pontos de

momento fletor nulo, como apresentado em 5.13.2.1. Algumas disposições decorrentes da própria natureza da viga, ou do conjunto delas, devem ser consideradas, como mostrado na Figura 5.24.

a1 = l1

l1 l4 l3 l2

a2 = 0,75 l2 a3 = 0,60 l3 a4 = 2,00 l4

I II III IV

2006 5-49 ufpr/tc405

Figura 5.24 � Largura de mesa colaborante As relações entre os valores de a mostrados na Figura 5.23 e os valores de bi apresentados

na Figura 5.24 correspondem a:

≤

≤4

32

1 ba1,0

bb5,0a1,0

b Equação 5.29

Exemplo 5.8: Determinar o valor de bf para a viga V2. Considerar: � vigas simplesmente apoiadas nos pilares.

b4 b4

b3

bf

bw

c

b3 c

viga isolada

bw

b1

b2 b4

b3

bf

bw

c

b1 c

conjunto de vigas

b1 ≤ 0,5 b2

b3 ≤ b4

L1

L3

L2 V3

V4

P1 P2

P3 P4

V2B V2A

V1B V1A

40

40

400

40 740 40 180

120

2006 5-50 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.28 e da Equação 5.29.

a. Definição de a (vista longitudinal de V2) 22 75,0aa l== cm58578075,0a =×=

b. Definição de bf (seção transversal de V2) cm400b2 = cm120b4 =

≤2

1 b5,0a1,0

b

=×=⇐=×

≤cm2004005,0b5,0

cm5,585851,0b

21

≤4

3 ba1,0

b

⇐=×

≤cm120

cm5,585851,0b3

1w3f bbbb ++= cm1575,58405,58bf =++= cm157bf = ◄

5.14 MSd,min Uma outra maneira de se determinar armadura mínima em vigas de concreto armado é

usando o conceito de MSd,min. ABNT NBR 6118, item 17.3.5.1:

�A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup, devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 17.3.3.�

ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1: �A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%:

Md,mim = 0,8 W0 fctk,sup onde:

W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada;

fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração.�

P4 P3

l1 = 2 m l2 = 7,8 m

a2 = 0,75 l2

V2 V1

bf

b1 b3

bw 40

bw b2 b4 400 120 40

2006 5-51 ufpr/tc405

Seguindo o prescrito no item 17.3.5.2.1 da ABNT NBR 6118, a equação para a determinação do momento fletor mínimo1 resulta:

== MPa em ff39,0ffW8,0M ck

3 2cksup,ctksup,ctk0min,Sd Equação 5.30

para uma taxa mínima de armadura dada por:

%15,0A

A

c

min,smin ==ρ Equação 5.31

ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1: �Em elementos estruturais superdimensionados, pode ser utilizada armadura menor que a mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recalques de apoio. Deve-se ter ainda cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração.�

Exemplo 5.9: Determinar, para a viga abaixo representada, o momento fletor solicitante de cálculo mínimo (MSd,min).

Considerar: � concreto: C20; e � estado limite último, combinações normais (γc = 1,4).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.30. a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

MPa em ff39,0f ck3 2

cksup,ctk =

23 2sup,ctk kN/cm287,0MPa874,22039,0f ===

cm 20bw = cm 06bf = cm 50h = cm 10hf =

1 A ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1, define o momento fletor mínimo como Md,min, deixando de caracterizá-lo como

momento fletor solicitante de cálculo. Para manter coerência com o desenvolvimento deste Capítulo, na Equação 5.30, o momento foi definido como sendo MSd,min.

10 cm

40 cm

20 cm

MSd,min

As

60 cm

2006 5-52 ufpr/tc405

b. MSd,min ( ) fwfwc hbbhbA −+= ( ) 2

c cm 00411020-605020A =×+×=

)]}hh()bb[()hb{[(2])hh()bb[()hb(y

fwff

2fwf

2f

w −−−−−−

=

{ } cm71,30)]1050()2060[()5060[(2])1050()2060[()5060(y

22

w =−×−−×−×−−×

=

wf yhy −= cm29,1971,3050yf =−=

2wc

3fwf

3f yA

3])hh()bb[(hbI −

−−−

=

4233

cm32132671,3040013

])1050()2060[(5060I =×−

−×−−×

=

(w) tracionada mais fibrayIWWw

w,00 ⇐==

30 cm62610

71,30321326W ==

sup,ctk0min,Sd fW8,0M = kNcm4402287,0626108,0M min,Sd =××= kNm4,42M min,Sd = ◄

c. Observação Se nesta viga estiver atuando um momento fletor solicitante de cálculo inferior a

24,4 kNm, o cálculo da armadura As pode ser feito de duas maneiras: - considerando um momento fletor solicitante de cálculo igual a 24,4 kNm e

BBBBverificando a taxa mínima de armadura (0,15%) para o As calculado; ou - considerando um momento fletor solicitante de cálculo igual ao dobro de

BBBB24,4 kNm, sem a verificação da taxa mínima de armadura para o As calculado.

5.15 Disposições construtivas 5.15.1 Dimensões limites

As vigas de concreto armado, de modo geral, não devem possuir largura inferior a 12 cm. ABNT NBR 6118, item 13.2.2:

�A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm e das vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitado um mínimo absoluto de 10 cm em caso excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições: − alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros

elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nesta Norma;

− lançamento e vibração do concreto de acordo com a ABNT NBR 14931.�

5.15.2 Armadura de tração nas seções de apoio Segundo o item 18.3.2.4 da ABNT NBR 6118, as armaduras longitudinais positivas de vigas

devem ser prolongadas até os apoios (Figura 5.25), de tal forma que: − As,apoio ≥ 0,33 As,vão, se Mapoio for nulo ou negativo de valor absoluto Mapoio≤ 0,5 Mvão;

ou − As,apoio ≥ 0,25 As,vão, se Mapoio for negativo de valor absoluto Mapoio> 0,5 Mvão; e

hf

cg

bw

h

bf

yf

yw

2006 5-53 ufpr/tc405

No caso de apoios intermediários, onde não haja a possibilidade de ocorrência de momentos positivos, as armaduras provenientes do meio do vão deverão se estender, no mínimo, 10 φ além da face do apoio (item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118).

Figura 5.25 - Prolongamento de armadura positiva

5.15.3 Concentração de armaduras Os esforços nas armaduras, tracionadas ou comprimidas, podem ser considerados

concentrados no centro de gravidade correspondente (Figura 5.26), se a distância deste centro ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10% h (ABNT NBR 6118, item 17.2.4.1).

Figura 5.26 - Centro de gravidade de armaduras

5.15.4 Armadura de pele Quando a altura de viga superar 60 cm e a armadura longitudinal de tração desta viga for

constituída por aço de alta aderência (η1 ≥ 2,25), é obrigatório o uso da armadura de pele (ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.3). Esta armadura de pele (armadura lateral) deverá ser

constituída pelo mesmo aço da armadura longitudinal de tração, com área mínima igual a 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga. O espaçamento entre as barras constituintes da armadura de pele não deve superar 20 cm (Figura 5.27).

Figura 5.27 - Armadura de pele

5.16 Tabelas de Flexão Simples

As,vão 0,33 As,vão 0,25 As,vão

10 φ

yCG CG

h yCG < 0,1 h

s ≤ 20 cm h ≥ 60 cm

bw

As,pele ≥ 0,1 bw h (por face)

2006 5-54 ufpr/tc405

CA-25 fyd = 21,7 kN/cm2

βx βy βz βc βs 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,2500,010 0,008 0,996 0,007 1,0000,020 0,016 0,992 0,013 1,0000,030 0,024 0,988 0,020 1,000 0,0500,040 0,032 0,984 0,027 1,000 0,1510,050 0,040 0,980 0,033 1,000 0,2550,060 0,048 0,976 0,040 1,000 0,360 0,1030,070 0,056 0,972 0,046 1,000 0,468 0,2080,080 0,064 0,968 0,053 1,000 0,579 0,316 0,0530,090 0,072 0,964 0,059 1,000 0,691 0,425 0,1600,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,806 0,538 0,2690,110 0,088 0,956 0,072 1,000 0,924 0,652 0,381 0,1090,120 0,096 0,952 0,078 1,000 1,000 0,770 0,495 0,2200,130 0,104 0,948 0,084 1,000 1,000 0,890 0,612 0,334 0,0560,140 0,112 0,944 0,090 1,000 1,000 1,000 0,731 0,450 0,1690,150 0,120 0,940 0,096 1,000 1,000 1,000 0,854 0,569 0,2850,160 0,128 0,936 0,102 1,000 1,000 1,000 0,979 0,691 0,403 0,1150,170 0,136 0,932 0,108 1,000 1,000 1,000 1,000 0,816 0,525 0,2330,180 0,144 0,928 0,114 1,000 1,000 1,000 1,000 0,944 0,649 0,354 0,0590,190 0,152 0,924 0,119 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 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β's para d'/d =

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2006 5-55 ufpr/tc405

CA-50 fyd = 43,5 kN/cm2

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β's para d'/d =

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2006 5-56 ufpr/tc405

CA-60 fyd = 52,2 kN/cm2

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β's para d'/d =

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2006 5-57 ufpr/tc405

5.17 Simbologia específica 5.17.1 Símbolos base

a distância entre pontos de momento fletor nulo ah espaçamento horizontal mínimo livre entre as faces das barras longitudinais,

medido no plano da seção transversal av espaçamento vertical mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido

no plano da seção transversal bf largura colaborante da mesa de uma viga bw largura da alma de uma viga b1 parte de bf definida pela existência de vigas paralelas b2 distância entre vigas paralelas, contadas a partir das mísulas, se existirem b3 parte de bf definida pela existência de lajes em balanço b4 largura da laje em balanço, contada a partir da mísula, se existir c cateto vertical de mísula cnom cobrimento nominal d altura útil da viga - distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de

gravidade da armadura tracionada dmax dimensão máxima do agregado graúdo d' distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da

armadura comprimida fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fctk resistência característica à tração do concreto fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo fyk resistência ao escoamento do aço característica gk valor característico da ação permanente h altura da viga hf espessura da mesa de uma viga de seção T l vão qk valor característico da ação variável s espaçamento entre as barras que constituem a armadura de pele x altura da linha neutra y altura do retângulo de tensões σc ycg posição do centro de gravidade da seção transversal de um conjunto de barras

longitudinais (tracionadas ou comprimidas) em relação à geratriz mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta

yf distância do centro de gravidade de uma seção T à fibra da mesa mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta

yw distância do centro de gravidade de uma seção T à fibra da alma mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta

z braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1 Ac área de concreto Acc área de concreto comprimido As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada As,cal área calculada da seção transversal da armadura longitudinal tracionada As,ef área efetiva da seção transversal da armadura longitudinal tracionada As1 área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada, referenciada ao

binário MRd1 As2 área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada, referenciada ao

binário MRd2 As3 área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada, referenciada ao

binário MRd3 A's área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida A�s,cal área calculada da seção transversal da armadura longitudinal comprimida A�s,ef área efetiva da seção transversal da armadura longitudinal comprimida Es módulo de elasticidade do aço Gk valor característico da ação permanente

2006 5-58 ufpr/tc405

I momento de inércia M momento fletor Mgk momento fletor característico decorrentes de ações permanentes Mqk momento fletor característico decorrentes de ações variáveis MRd momento fletor resistente de cálculo MRd1 momento fletor resistente de cálculo referenciado ao binário Rcd1, Rsd1 MRd2 momento fletor resistente de cálculo referenciado ao binário R�sd, Rsd2 MRd3 momento fletor resistente de cálculo referenciado ao binário Rcd3, Rsd3 MRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção

transversal (βx = βx,lim) MRd,mesa momento fletor resistente de cálculo referenciado ao binário Rcd2, Rsd2 para a

condição y = hf MSd momento fletor solicitante de cálculo Qk valor característico da ação variável Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rcd1 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de área bw y Rcd3 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de área

(bf - bw) y Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada Rsd1 força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada de área As1 Rsd2 força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada de área As2 Rsd3 força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada de área As3 R'

sd força resistente de cálculo atuante na armadura comprimida W0 módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais

tracionada β variável adimensional βc valor adimensional auxiliar βc,lim valor adimensional auxiliar correspondente ao limite de dutilidade da seção

transversal (βx = βx,lim) βs valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As β�s valor adimensional que define a tensão de compressão referente à armadura A�s βx valor adimensional que define a posição da linha neutra βx,lim valor adimensional que define a posição da linha neutra correspondente ao limite de

dutilidade da seção transversal βy valor adimensional que define a região de concreto comprimido βz valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1 εc deformação específica do concreto εs deformação específica do aço à tração ε's deformação específica do aço à compressão εyd deformação específica de escoamento do aço φ diâmetro das barras da armadura φl diâmetro da barra longitudinal φt diâmetro da barra transversal (estribo) γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto γg coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas γq coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas γs coeficiente de ponderação da resistência do aço ρ taxa geométrica de armadura longitudinal de tração σc tensão à compressão no concreto σs tensão à tração na armadura σ's tensão à compressão na armadura

5.17.2 Símbolos subscritos alma alma apoio apoio cal cálculo ef efetivo

2006 5-59 ufpr/tc405

lim limite max máximo mesa mesa min mínimo nom nominal pele pele ret retangular rup ruptura sup superior vão vão T seção T

5.18 Exercícios Ex. 5.1: Definir a curva MRd x As para a seção abaixo indicada. Mostrar no gráfico os

domínios 2, 3 e 4, bem como o limite entre peça sub e superarmada. Use o eixo vertical para a área de armadura e o horizontal para o momento fletor.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, grandes pontes

(γg = 1,3, γq = 1,5, γc = 1,4 e γs = 1,15). Escala: − 1 cm2 = 1,0 cm; e − 10 kNm = 1,0 cm. Ex. 5.2: Mantidas as condições de dutilidade, determinar a armadura longitudinal para a

seção transversal da viga abaixo representada, a qual deve suportar, simultaneamente, os momentos fletores Mgk = 80 kNm e Mqk = 25 kNm.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2

(γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15).

Ex. 5.3: Mantidas as condições de dutilidade, determinar o máximo momento fletor solicitante de cálculo que a viga de seção transversal abaixo indicada pode suportar. A viga terá:

− armadura longitudinal constituída por 7 barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 8 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 4 cm. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1

(γg = 1,35, γq = 1,5, γc = 1,4 e γs = 1,15). Ex. 5.4: Mantidas as condições de dutilidade, determinar a armadura longitudinal necessária

para que a viga abaixo representada.

45 cm

20 cm

As

90 cm

30 cm

As

90 cm

30 cm

As

2006 5-60 ufpr/tc405

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15).

Ex. 5.5: A seção de viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo igual a 150 kNm. Mantendo-se as condições de dutilidade e sabendo-se que a viga terá:

− armadura longitudinal inferior constituída por 3 barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 5 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm;

pede-se determinar a altura mínima da viga. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2

(γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15). Obs.: − não considerar a resistência do porta-estribo (armadura longitudinal superior). Ex. 5.6: Uma viga de seção retangular de 20 cm x 60 cm, altura útil correspondente a 55 cm,

foi ensaiada à flexão simples em laboratório até atingir o Estado Limite Último. Avaliou-se, ao final do ensaio, que o braço de alavanca z, entre a resultante de compressão no concreto Rcd e a resultante de tração na armadura Rsd, deveria ser de 46,2 cm. Tendo em vista que a viga só possuía armadura longitudinal de tração As, pede-se:

a. o valor das deformações no bordo mais comprimido e na armadura tracionada; b. o domínio em que viga se encontrava no instante da ruptura; c. a intensidade do momento fletor de cálculo que levou a viga à ruptura; d. a armadura longitudinal de tração da viga correspondente à situação de ruína; e e. o tipo de ruptura (dútil ou frágil) que a peça apresentou (justificar). Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15).

h

18 cm

5 m

gk = 15 kN/m

qk = 5 kN/m

54 cm

18 cm

As 6 cm

2006 5-61 ufpr/tc405

Ex. 5.7: Admitindo-se que a distribuição de tensões na região de concreto comprimido seja triangular e que:

cd2

w

Sdc

x

SdRd

fdbM

dxMM

=β

=β

=

determinar, para vigas de seção retangular, βc como função única de βx.

Ex. 5.8: Após realizar o dimensionamento a flexão simples de uma viga de concreto armado, de base 20 cm e altura útil 70 cm, o engenheiro descobriu que não fora considerado no cálculo um dos três coeficientes de segurança exigidos pela ABNT NBR-6118 (γg, γc, ou γs). Tendo em vista que, sem a consideração adequada de um destes coeficientes de segurança, obteve-se para armadura de tração As o valor correspondente a 11,566 cm2, pede-se:

a. qual dos três coeficientes foi desconsiderado no cálculo da armadura As (tomado igual a 1,0); e

b. qual o valor correto da área da armadura tracionada. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γc = 1,4 e γs =

1,15).

0,5 y Rcd

εs

MSd x

εc σc

Rsd

MRd d

bw

As

z h

y = 0,8 x

Rcd

As

εs

MSd

x

εc σc = 0,85 fcd

Rsd

MRd d

bw

z h

2006 5-62 ufpr/tc405

Ex. 5.9: Mantidas as condições de dutilidade, determinar as armaduras longitudinais necessárias para a viga abaixo representada. A viga terá:

− armadura longitudinal constituída por barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 5 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Ao final dos cálculos, apresentar um corte longitudinal esquemático indicando as posições

das armaduras positivas e negativas. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15).

Ex. 5.10: Mantidas as condições de dutilidade, determinar o máximo valor da carga gk que a viga abaixo representada pode suportar. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior, no meio do vão, constituída por 3 barras de 16 mm; e − armadura longitudinal superior, nos apoios, constituída por 5 barras de 10 mm. Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; e − d = h � 6 cm. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15). Obs.: − não considerar a resistência do porta-estribo (armadura de compressão).

8 m

gk = 30 kN/m

As

70 cm

20 cm

70 cm

20 cm

1,5 m 6 m

gk = 20 kN/m

qk = 10 kN/m

2006 5-63 ufpr/tc405

Ex. 5.11: Mantidas as condições de dutilidade, determinar a máxima carga acidental qk que a viga abaixo representada pode suportar. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior constituída por 3 barras de 20 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15). Obs.: − não considerar a resistência do porta-estribo (armadura longitudinal superior).

Ex. 5.12: Determinar a menor altura possível para que a viga abaixo representada mantenha as condições de dutilidade, sem a utilização de armadura de compressão. Para esta condição, defina sua armadura longitudinal.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15). − peso próprio incluído na carga gk.

20 cm meio

do vão

20 cm 60

cm

apoios

2 m 6 m 2 m

gk

6 m

gk = 10 kN/m

qk

60 cm

20 cm

2006 5-64 ufpr/tc405

Ex. 5.13: Mantidas as condições de dutilidade, determinar a máxima carga permanente Gk que a viga abaixo representada pode suportar. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior constituída por 5 barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15). Obs.: − não considerar a resistência do porta estribo (armadura longitudinal superior).

Ex. 5.14: Determinar, para a viga abaixo representada: a. a menor altura possível, respeitando as condições de dutilidade e sem a utilização de

armadura de compressão; e b. as armaduras positivas e negativas da viga, para a altura definida no item a. A viga terá: − armadura longitudinal constituída por barras de 20 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 8 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Ao final dos cálculos, apresentar um corte longitudinal esquemático indicando as posições

das armaduras positivas e negativas. Dados: − concreto: C30; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, pontes em geral (γg = 1,35, γq = 1,5, γc =

1,4 e γs = 1,15).

5 m

gk = 10 kN/m

qk = 20 kN/m

d

15 cm

As 6 cm

70 cm

20 cm 3 m

Gk

2 m

gk = 10 kN/m

qk = 5 kN/m

2006 5-65 ufpr/tc405

− peso próprio desprezível.

Ex. 5.15: Determinar o menor valor possível para a largura (bw) da viga de seção retangular abaixo representada de tal forma que sejam mantidas as condições de dutilidade. No meio do vão e no apoio do balanço somente deverão existir armaduras de tração para resistir aos momentos fletores. Para a largura mínima determinada, definir as armaduras no meio do vão e no apoio do balanço. Apresentar um corte longitudinal da viga com o posicionamento das armaduras calculadas. A viga terá:

− armadura longitudinal constituída por barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 8 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15). − peso próprio incluído na carga gk. Obs.: − a carga concentrada Qk é acidental, o que vale dizer que ela pode atuar ou não.

Ex. 5.16: Mantidas as condições de dutilidade, determinar o afastamento máximo que as cargas Gk podem ter dos apoios. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior constituída por 5 barras de 12,5 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor);

h

30 cm

Qk = 100 kN

3 m 8 m

70 cm

bw

2 m 8 m

gk = 30 kN/m

Qk = 50 kN

2006 5-66 ufpr/tc405

− estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15).

Ex. 5.17: Mantidas as condições de dutilidade, determinar o máximo valor da carga móvel Qk que a viga abaixo representada pode suportar. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior, no meio do vão, constituída por 3 barras de 16 mm; − armadura longitudinal superior, nos apoios, constituída por 5 barras de 12,5 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, pontes em geral (γg = 1,35, γq = 1,5, γc =

1,4 e γs = 1,15). Obs.: − não considerar a resistência do porta-estribo.

Ex. 5.18: Para a viga abaixo representada, determinar: a. a menor seção transversal possível para esta viga de tal forma que sejam mantidas as

condições de dutilidade sem o uso de armadura de compressão; b. a armadura necessária para o máximo momento positivo; c. a armadura necessária para o máximo momento negativo; e d. a distância, em relação ao apoio A, onde a armadura necessária para o momento

positivo correspondesse a 2 barras de 16 mm. A viga terá: − armadura longitudinal constituída por barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm; e − altura útil (d) igual a 4 vezes a largura da base (bw).

55 cm

18 cm

As a 5 m

Gk = 40 kN

a

gk = 40 kN/m

Gk = 40 kN

1,5 m 4,0 m 1,5 m

gk = 10 kN/m

Qk

20 cm 20 cm

60 c

m

meio do vão

apoios

2006 5-67 ufpr/tc405

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; e Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15).

Ex. 5.19: O carrinho de cargas indicado na figura abaixo suporta um carregamento centrado de 200 kN. Tendo em vista que a definição da estrutura suporte (viga AB) deverá ser feita para o carrinho na posição CD, pede-se:

a. a menor altura possível para a viga AB de tal forma que na seção C não exista armadura longitudinal de compressão e sejam mantidas as condições de dutilidade; e

b. as armaduras necessárias nas seções C e D da viga suporte, definidas a partir da altura estabelecida no item a.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − d = h � 5 cm. Obs.: − ajustar o valor de h para múltiplo de 5 cm; e − considerar nulos os pesos próprios da viga e do carrinho.

Ex. 5.20: Para o estado de deformação abaixo indicado, determinar: a. o valor limite para a carga Qk (valor característico); e b. a armadura necessária (cm2) para a condição estabelecida no item a. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50.

h

20 cm

seção transversal

200 kN carrinho

2,4 m

B A

C D

1,6 m

4,0 m

viga

h

bw

B A 2 m 6 m

gk = 40 kN/m

2006 5-68 ufpr/tc405

Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15). Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 5.21: Duas vigas de concreto armado de seções retangulares iguais, mesmo vão, apoios idênticos, materiais de mesma resistência, porém com taxas longitudinais de armadura desiguais, foram submetidas, num ensaio de laboratório, ao mesmo tipo de carregamento, como ilustrado na figura abaixo. Esse carregamento consistiu em duas cargas concentradas, simétricas, aplicadas simultaneamente, cuja intensidade variou de zero até a carga de ruptura.

Antes da ruptura, observou-se que a Viga 01 deu sinais evidentes de esgotamento da sua capacidade resistente, apresentando um quadro de fissuração intenso, enquanto que a Viga 02 não apresentou a mesma sinalização e rompeu bruscamente, sem aviso prévio. Observou-se, também, que a carga de ruptura da Viga 02 foi 47,7% maior que a da Viga 01.

Sabendo-se que a Viga 01 foi armada com 5 barras de 16 mm, determinar: a. a carga de ruptura (de cálculo) da Viga 01; b. a carga de ruptura (de cálculo) da Viga 02; e c. a armadura longitudinal de tração (As) usada na Viga 02. Dados: − concreto: σc,rup = fcd = 17,86 MPa; − aço: σs,rup = fyd = 43,5 MPa; − bw = 20 cm; − d = 45 cm; e − h = 50 cm. Obs: − desconsiderar o próprio da viga.

10�

2,5�

20 cm

5 cm

45 cm MSd

As

estado de deformação na seção M (posição da carga Qk)

M 1 m 2 m 1 m

Qk

gk = 20 kN/m

2 m

2006 5-69 ufpr/tc405

Ex. 5.22: Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga abaixo representada: a. a menor altura (h) possível; e b. as armaduras necessárias nas seções A, B e C. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − viga de seção retangular, sem armadura de compressão; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15); − bw = 15 cm; e − h = d + 5 cm Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk; − adotar para h valor múltiplo de 5 cm; e − considerar carregamentos permanentes (valores característicos).

Ex. 5.23: Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga de altura variável abaixo representada, os menores valores possíveis para h1 e h2. Para estes valores determinados, definir as armaduras longitudinais (positiva e negativa) para a seção D. Apresentar uma vista da viga mostrando as posições das armaduras calculadas.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-25. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − viga de seção retangular, sem armadura de compressão; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; e

P ⇒ Prupt

esmagamento do concreto

P ⇒ Prupt

2 m 4 m 2 m

VIGA 02

As

P ⇒ Prupt

VIGA 01

P ⇒ Prupt

2 m 4 m 2 m

fissuração intensa

5 φ 16

h

bw A B

3 m 3 m 3 m 3 m

Gk= 120 kN

C

gk = 40 kN/m

2006 5-70 ufpr/tc405

− hi = di + 5 cm Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk; − adotar para h valor múltiplo de 5 cm; e − considerar a viga como simplesmente apoiada nos pilares.

Seção A B C D E F G

x (m) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

Mgk (kNm) 0,0 -5,0 -20,0 0,0 10,0 10,0 0,0

Mqk (kNm) (-) 0,0 -100,0 -200,0 -150,0 -100,0 -50,0 0,0

Mqk (kNm) (+) 0,0 0,0 -0,0 75,0 100,0 75,0 0,0

MSd (kNm) (-) 0,0 -147,0 -308,0 -210,0 -130,0 -60,0 0,0

MSd (kNm) (+) 0,0 -5,0 -20,0 105,0 154,0 119,0 0,0

Ex. 5.24: Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga de seção transversal abaixo indicada, o máximo momento fletor solicitante de cálculo que ela pode suportar. A viga terá:

− armadura longitudinal de compressão (superior) constituída por 2 barras de 12,5 mm; − armadura longitudinal de tração (inferior) constituída por 3 barras

de 20 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 4 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15).

65 cm

25 cm

h1

3 m 1 m 1 m

Qk = 100 kN

1 m

gk = 10 kN/m

A G

h1

B C D

h2

x

2006 5-71 ufpr/tc405

Ex. 5.25: Para a seção de viga abaixo indicada, verificar: a. o momento fletor solicitante de cálculo que corresponderia a condição εs = 7�; e b. as condições de dutilidade para as condições estabelecidas no item a. A viga terá: − armadura longitudinal de compressão (superior) constituída por

2 barras de 10 mm; − armadura longitudinal de tração (inferior) constituída por 5

barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 5 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 25 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15). Ex. 5.26: Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga abaixo representada: a. as armaduras longitudinais de tração e compressão (As e A�s); b. a armadura longitudinal de tração (As), considerando nula a armadura de compressão; c. os valores das tensões de tração e compressão nas armaduras definidas no item a; e d. o valor da tensão de tração na armadura definida no item b. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15). Obs.: − considerar, para o item b, viga superarmada.

Ex. 5.27: A seção transversal da viga abaixo representada está sujeita a um momento fletor solicitante de cálculo igual a 250 kNm e tem uma relação entre as armaduras de tração e de compressão tal que:

%30)AA(

A'ss

's =+

Com base na condição acima, determine: a. a posição da linha neutra; b. a deformação da fibra de concreto mais comprimida; c. o alongamento da armadura tracionada; d. o encurtamento da armadura comprimida; e. a tensão atuante na armadura tracionada;

70 cm

20 cm

6 m

gk = 30 kN/m A�s

40 cm

20 cm

As 6 cm

4 cm

A�s

40 cm

25 cm

As 6 cm

4 cm

2006 5-72 ufpr/tc405

f. a tensão atuante na armadura comprimida; g. a área da seção transversal da armadura tracionada; h. a área da seção transversal da armadura comprimida; e i. as condições de dutilidade. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15). Ex. 5.28: Mantidas as condições de dutilidade, determinar a máxima carga acidental qk que

a viga abaixo representada pode suportar. A viga terá: − armadura longitudinal de compressão (superior) constituída por 2 barras de 12,5 mm; − armadura longitudinal de tração (inferior) constituída por 5 barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 5 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15).

Ex. 5.29: Para a viga abaixo esquematizada determinar o máximo vão que esta pode possuir, mantidas as condições de dutilidade. A viga terá:

− no meio do vão: ! armadura longitudinal de compressão (superior) constituída por 2 barras de

12,5 mm; ! armadura longitudinal de tração (inferior) constituída por 3 barras de 16 mm;

− nos apoios: ! armadura longitudinal de tração (superior) constituída por 7 barras de 12,5 mm; ! armadura longitudinal de compressão (inferior) constituída por 2 barras de

16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 5 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e

6 m

gk = 10 kN/m

qk

60 cm

20 cm

2006 5-73 ufpr/tc405

− estado limite último, combinações normais, pontes em geral (γg = 1,35, γq = 1,5, γc = 1,4 e γs = 1,15).

Ex. 5.30: Um reservatório é suportado pelas vigas V1 e V2 de seção transversal 20 cm x 60 cm, tal como indicado na figura abaixo. O reservatório exerce sobre as vigas igual carregamento, uniformemente distribuído, no trecho central das vigas (4 m). Cada metro cúbico de material armazenado no reservatório pesa 10 kN. Mantidas as condições de dutilidade, determinar qual a máxima altura h permitida para o armazenamento do material. As vigas terão:

− armadura longitudinal de compressão (superior) constituída por 2 barras de 12,5 mm; − armadura longitudinal de tração (inferior) constituída por 3 barras de 25 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 8 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto:

! classe: C20; e ! peso específico: 25 kN/m3.

− aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − nulo o peso próprio do reservatório; e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15).

l/3 l l/3

gk = 10 kN/m

Qk = 25 kN

18 cm 18 cm

70 c

m

apoios meio do vão

4 m

h

V1 V2

4 m

4 m

4 m

20 cm

60 cm

2 φ 12,5

3 φ 25

seção transversal no meio do vão

(vigas V1 e V2)

2006 5-74 ufpr/tc405

Ex. 5.31: A viga abaixo indicada teve sua armadura positiva dimensionada e detalhada com cinco barras de 12,5 mm (2 longas + 3 curtas). Dessas cinco barras, duas foram prolongadas até a extremidade do balanço constituindo-se, portanto, na armadura de compressão para a seção do apoio A (apoio do balanço). Nessas condições, e mantendo-se as condições de dutilidade, pede-se determinar

a. a armadura de tração para a seção do apoio do balanço (apoio A), considerando a armadura de compressão já existente (2 barras de 12,5 mm); e

b. o valor da carga Q2k (valor característico) que determinou as 5 barras de 12,5 mm existente na seção C.

Dados: − concreto:C20;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; − d = 55 cm; e − d�/d = 0,075. Obs.: − considerar as cargas acidentais Q1k e Q2k como independentes (podem atuar

simultaneamente, ou não).

Ex. 5.32 A viga abaixo representada, construída com concreto classe C20 e aço CA-50, tem seção retangular com 20 cm de base e 55 cm de altura. Considerando, no estado limite último, que:

− a distância entre a força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido e a força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada, corresponde a 40 cm; e

− a armadura comprimida é constituída por 2 barras de 10 mm, pede-se:

a. o domínio de deformação, o encurtamento da fibra de concreto mais comprimido e o alongamento da armadura mais tracionada, correspondente a este ELU;

b. a intensidade do momento fletor resistente de cálculo, correspondente a este ELU; c. a área seção transversal da armadura longitudinal tracionada, correspondente a este

ELU; e d. o tipo de ruína possível (frágil ou dúctil), correspondente a este ELU (justificar a

resposta). Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15).

gk = 35 kN/m

Q1k = 100 kN Q2k

A B C

1,2 m 3,0 m 3,0 m

2 φ 12,5 3 φ 12,5 60 cm

2006 5-75 ufpr/tc405

Ex. 5.33: Determinar, para a viga abaixo representada, o máximo valor que a carga acidental Qk (móvel) pode assumir, mantidas as condições de dutilidade. A viga terá 25 cm de largura e 70 cm de altura.

Dados: − concreto:C20;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − d = 63 cm; e − d� = 5 cm.

Ex. 5.34: Mantendo as condições de dutilidade, determinar as armaduras longitudinais necessárias nas seções B (meio do vão) e C (apoio da direita) da viga de seção retangular abaixo representada. O carregamento Qk corresponde a uma carga concentrada móvel equivalente a 135 kN (valor característico). Apresentar, ao final dos cálculos, uma vista longitudinal da viga mostrando a posição das armaduras calculadas.

εs

εc

20 cm 5 cm

45 cm

5 cm

MSd

armadura no meio do vão AB

5 φ20 mm

2 φ20 mm

armadura nos apoios A e B

2 φ20 mm

5 φ20 mm

2 m 6 m 2 m

gk = 50 kN/m

Qk

A B

2006 5-76 ufpr/tc405

Dados: − concreto:C20;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 15 cm; − h = 50 cm; − d = 45 cm; e − d�/d = 0,10. Obs: − considerar desprezível o peso próprio da viga.

Ex. 5.35: Determinar, para a viga abaixo representada: a. a menor altura h (número múltiplo de 5 cm), necessária para que a viga esteja na

condição limite de ductilidade nas seções B e C, sem armadura de compressão; e b. as armaduras longitudinais necessárias na seção do meio do vão AD, mantida a altura

da viga determinada no item anterior. Dados: − concreto: C30;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; − d = h - 5 cm; e − d�/d = 0,10. Obs.: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Qk

A B

3,0 m 3,0 m 1,5 m

C D

Qk = 40 kN Qk = 40 kN

4 m 2 m

gk = 20 kN/m

A

2 m

B C D

2006 5-77 ufpr/tc405

Ex. 5.36: Para a viga abaixo esquematizada determinar o máximo vão l que esta pode possuir, mantida as condições de dutilidade. A viga terá:

− no meio do vão: ! armadura longitudinal de compressão (superior) constituída por 2 barras de

10 mm; ! armadura longitudinal de tração (inferior) constituída por 3 barras de 16 mm;

− nos apoios: ! armadura longitudinal de tração (superior) constituída por 3 barras de 16 mm; ! armadura longitudinal de compressão (inferior) constituída por 2 barras de

10 mm. Dados: − concreto:C20;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − d = 40 cm; e − d� = 4 cm. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 5.37: Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga abaixo representada, o máximo momento fletor solicitante de cálculo que a seção pode resistir. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior constituída por 7 barras de 20 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais,

edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5, γc = 1,4 e γs = 1,15).

92 cm

100 cm

25 cm

8 cm

l 2,828 l l

gk = 50 kN/m

2,828 = 8½ 18 cm 18 cm

44 c

m

meio do vão

apoios

2006 5-78 ufpr/tc405

Ex. 5.38: Determinar a largura da mesa colaborante (seção T) para a viga V4 indicada na figura. As lajes têm 10 cm de espessura e as vigas têm dimensões 15 cm x 40 cm.

Ex. 5.39: Mantidas as condições de dutilidade, determinar a máxima carga acidental qk que a viga abaixo representada pode suportar. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior constituída por 5 barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15).

Ex. 5.40: Determinar os maiores comprimentos possíveis dos vãos l1 (AB = CD) e l2 (BC) da viga da figura abaixo considerando que o dimensionamento das seções transversais será feito no domínio 2 e sem armadura de compressão. Para estes valores definidos de l1 e l2, calcular as armaduras longitudinais nas seções críticas do balanço AB (máximo momento fletor negativo) e

150

cm

280 cm 350 cm

L1 L2

L3 L4

400

cm

V1 (15x40)

V2 (15x40)

V3 (1

5x40

)

V4 (1

5x40

)

V5 (1

5x40

)

PLANTA DE FORMAS

P1 P2 P3

P5 P6 P4

75 cm

120 cm

20 cm

10 cm

6 m

gk = 10 kN/m

qk

2006 5-79 ufpr/tc405

do vão BC (máximo momento fletor positivo). Mostrar, esquematicamente, o posicionamento das armaduras (positiva e negativa) em uma vista longitudinal da viga.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15). Obs.: − determinar o vão l2 somente após a definição do vão l1, ou seja, definir l2,max como

função de l1,max; − ajustar os valores de l1 e l2 para múltiplos de 5 cm (arredondar para baixo); − considerar o peso próprio da viga incluído na carga gk ; − considerar, para a altura útil da viga, a expressão d = h - 5 cm válida para momentos

positivos e negativos; e − considerar bf = 60 cm, admitindo como verificados os valores b1, b2, b3 e b4.

Ex. 5.41: Determinar as armaduras positiva e negativa da viga abaixo indicada. Apresentar, ao final dos cálculos, uma vista longitudinal da viga mostrando as posições das armaduras determinadas com os respectivos valores de As (cm2).

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − d = h � 5 cm. Obs.: − peso próprio da viga incluído na carga gk; − viga isolada a ser considerada como seção T, onde possível; e − obrigatória a verificação do valor de bf.

2 m 5,657 m 2 m

gk = 70 kN/m

5,657 = 4 x 2½ 20 cm

70 cm

10 cm

60 cm

60

25

105

20 seção transversal

cm

l1 l2 l1

gk = 30 kN/m

B C A D

2006 5-80 ufpr/tc405

Ex. 5.42: A viga da figura abaixo representada terá sua armadura de flexão positiva (inferior) detalhada com barras de 16 mm. Três destas barras (3 φ 16) serão prolongadas até a extremidade do balanço, constituindo-se, então, em armadura de compressão para os momentos fletores negativos atuantes neste balanço. Nestas condições, e mantidas as condições de dutilidade, determinar:

a. a armadura de flexão necessária para o apoio B, considerando, obrigatoriamente, os 3 φ 16 (inferiores) existentes neste apoio; e

b. o valor mínimo de bf necessário para que a seção transversal correspondente ao meio do vão AB não necessite de armadura de compressão, considerando, ainda, que a armadura de tração nesta seção resulte igual a armadura de tração calculada para o momento negativo do apoio B (item a).

Dados: − concreto:C20;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − altura útil equivalente a 90% da altura total; − posições relativas das armaduras superiores iguais as das armaduras inferiores; − nulo o peso próprio do reservatório; e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15).

Ex. 5.43: Mantidas as condições de dutilidade, determinar as armaduras necessárias para o momento fletor positivo e para o momento fletor negativo da viga V2 abaixo representada. Apresentar, ao final dos cálculos, um corte longitudinal da viga mostrando as posições das armaduras calculadas. A viga terá:

− armadura longitudinal constituída por barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − peso próprio da viga incluído na carga gk.

14

bf

20

60

seção transversal cm

A B

2 m 7 m

Gk = 50 kN

gk = 50 kN/m

2006 5-81 ufpr/tc405

Ex. 5.44: Determinar as armaduras positiva e negativa da viga isolada abaixo indicada, de tal forma que sejam mantidas as condições de dutilidade. A viga terá:

− armadura longitudinal constituída por barras de 12,5 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 5 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; e − seção transversal:

! bf = 40 cm; ! bw = 15 cm; ! h = 65 cm; e ! hf = 8 cm.

Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − carregamento constituído por cargas permanentes (valores característicos); e − peso próprio da viga desprezível. Obs.: − verificar o valor de bf (viga isolada); e − apresentar, ao final dos cálculos, uma vista longitudinal da viga mostrando,

esquematicamente, o posicionamento das armaduras positivas e negativas (indicar os valores, em cm2, das armaduras calculadas).

08

42

20 20 20 350 350

V1 V2 V3

laje

dimensões em cm

1,5 m 6,0 m 1,5 m

gk = 30 kN/m

carregamento da V2

hf

bw

bf

h

3 m 3 m 2 m 3 m

50 kN 50 kN

100 kN 100 kN

3 m

2006 5-82 ufpr/tc405

Ex. 5.45: Determinar a menor altura possível para a viga V2 abaixo indicada. Não deverá ser usada armadura de compressão e deverão ser mantidas as condições de dutilidade. A viga terá:

− armadura longitudinal inferior constituída por barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − peso próprio da viga V2 incluído na carga gk.

Ex. 5.46: Mantidas as condições de dutilidade, determinar as armaduras positiva e negativa da viga V1 abaixo indicada. A viga terá:

− armadura longitudinal constituída por barras de 16 mm; − armadura transversal (estribos) constituída por barras de 6,3 mm; − dimensão máxima do agregado igual a 19 mm; e − cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm. Dados: − concreto: C30; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor);

P3 P4 2 m 7,8 m

gk = 22 kN/m

qk = 8 kNm

10

V5B

V4A

L1

L3

L2 V4B

V5B

P1 P2

P3 P4

V2B V2A

V1B V1A

40

40

400

40 740 40 180

200 L4

V3B V3A

P5 P6

40

2006 5-83 ufpr/tc405

− estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); e

− peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 5.47: O projeto de uma peça pré-moldada deve considerar, além das condições de trabalho, aquelas decorrentes do processo de montagem. Num desses casos, adotou-se uma viga de seção T como mostrado abaixo. Mantidas as condições de dutilidade e sabendo-se que a viga deverá suportar uma carga acidental uniformemente distribuída (em todo vão) de 10 kN/m (valor característico), pede-se determinar:

a. a armadura longitudinal necessária para a condição de montagem; e b. a armadura longitudinal necessária para a condição de trabalho. Apresentar, ao final dos cálculos, uma vista longitudinal mostrando as posições das

armaduras estabelecidas nos itens a e b. Dados: − concreto:C20;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − peso específico do concreto igual a 25 kN/m3; e − d = h � 5 cm (momentos positivos e negativos). Obs.: − verificar o valor de bf (viga isolada); − não considerar armadura longitudinal de compressão; e − na montagem, considerar somente ao próprio da viga.

2 m 8 m

gk = 25 kN/m

qk = 15 kNm

8

60 V1 V2

bf

25 450 150 25

2006 5-84 ufpr/tc405

Ex. 5.48: Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga isolada de seção transversal constante, abaixo representada, o máximo valor que a carga acidental Qk (móvel) pode assumir.

Dados: − concreto: C20; − aço: CA-50; e − seção transversal:

! bf = 120 cm; ! bw = 20 cm; ! h = 70 cm; e ! hf = 8 cm.

Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − d = h � 5 cm (momentos positivo e negativo). Obs.: − verificar o valor de bf (viga isolada); e − peso próprio da viga incluído na carga gk.

20 cm

7 cm

83 cm

20 cm

8 cm

5 m

B

operação de montagem

condição de trabalho

C

5 m 4 m

A D

14 m

viga de içamento

2006 5-85 ufpr/tc405

Ex. 5.49: Considere que a peça, cuja seção transversal é mostrada abaixo, está solicitada apenas por um momento fletor de cálculo MSd. Na condição limite de segurança - estado limite último (MRd = MSd), a linha neutra ficou situada 31,2 cm abaixo da fibra mais comprimida. Nestas condições, e mantidas as condições de dutilidade, pede-se:

a. o valor do momento fletor solicitante de cálculo MSd (kNm); e b. o valor da armadura de tração As (cm2) necessária para resistir ao momento fletor MSd. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15). Obs.: − considerar o valor de bf verificado.

Ex. 5.50 Mantidas as condições de dutilidade, determinar para a viga V1, de seção transversal constante (seção T), abaixo representada, o máximo valor que a carga acidental Qk (móvel) pode assumir.

Dados: − concreto: C25; − aço: CA-50; e

2 φ20 mm

armadura no meio do vão AB

3 φ20 mm

armadura nos apoios A e B

Qk

2 m 6 m 2 m

gk = 20 kN/m

A B

εs

εc

20 cm

5 cm

50 cm

MSd

As

15 cm

60 cm

2006 5-86 ufpr/tc405

− armadura longitudinal inferior: 7 φ 25 mm (34,36 cm2). Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − d = h � 5 cm (momentos positivo e negativo). Obs.: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 5.51 Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga V2 abaixo representada:

a. o máximo valor possível para bf; b. o máximo valor possível para o carregamento qk, admitindo-se que a altura da linha

neutra, na seção transversal (seção T) de máxima solicitação, seja igual 1,25 hf; e c. a armadura longitudinal necessária para as condições estabelecidas no item b. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − d = h � 5 cm. Obs.: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Qk

6 m

gk = 20 kN/m

A B carregamento da V1

8

85 V1 V2

bf

30 450 150 30

34,36 cm2

seção transversal do conjunto lajes/vigas (dimensões em cm)

2006 5-87 ufpr/tc405

Ex. 5.52: Mantidas as condições de dutilidade, determinar, para a viga isolada abaixo indicada, o maior valor possível para a carga acidental móvel Qk (valor característico).

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − d = 80 cm; − d� = 5 cm; e − peso próprio da viga igual a 5,357 kN/m (não mostrado na figura). Obs.: − admitir, na determinação de bf, b3 = b4.

P4 P3

8 m

gk = 20 kN/m

qk

55

8

V5B

V4A

L1 V4B

V5B

P1 P2

P3 P4

V2 (20 x 55)

V1

20

20

400

20 780 20

200 L2

V3

P5 P6

20

dim

ensõ

es e

m c

m

2006 5-88 ufpr/tc405

Ex. 5.53: A figura abaixo representa a planta de formas de uma escola. Cada laje corresponde a uma sala de aula. Todas as vigas têm seção transversal de 25 cm x 70 cm, todos os pilares têm seção de 25 cm x 50 cm e todas as lajes têm espessura igual a 12 cm. Mantidas as condições de dutilidade, determinar as armaduras longitudinais necessárias para as vigas V04 e V05, levando-se em consideração, se possível, a colaboração do painel de lajes.

Dados: − concreto:C20;e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); e − d = h � 5 cm; − vão de cálculo das vigas igual à distância entre os eixos dos pilares; e − carregamento uniformemente distribuído nas vigas V04 e V05, constituído de:

! peso próprio de cada viga: 5 kN/m; ! reação de uma laje em cada viga: 15 kN/m; ! peso de parede sobre cada viga: 15 kN/m.

Qk

2 m 8 m 2 m

A B C D

seção transversal meio do vão

25 cm

75 cm

10 cm

60 cm

3 φ 20 mm

seção transversal apoios

25 cm

75 cm

10 cm

60 cm

2 φ 10 mm

4 φ 16 mm

2006 5-89 ufpr/tc405

25

800

70

CORTE A-B (dimensões em cm)

12

25 25 400

25 400

25 400

P08 P05 P06

A B

V01 P01 P02 P03

L01

P04

L02 L03

V03 V04 V05 V06

25 P07

V02

2006 6-1 ufpr/tc405

6 6FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA TRANSVERSAL DE VIGA

6.1 Tensões principais Sejam os elementos 1 e 2, próximos ao apoio de uma viga, dos quais se quer determinar as

tensões principais (Figura 6.1). Nesta Figura, o elemento 1 situa-se sobre a linha neutra (máxima tensão tangencial) e o elemento 2 está situado próximo à fibra mais tracionada (máxima tensão normal de tração).

Figura 6.1 - Tensões normais e tangenciais em peças fletidas

Da Resistência dos Materiais é sabido que as tensões principais de tração σI formam, no elemento 1, um ângulo de 45° com a horizontal (plano diagonal de ruptura), sendo no elemento 2 este ângulo igual a 90° (plano vertical de ruptura), como mostrado na Figura 6.2.

Figura 6.2 � Tensões principais nos elementos 1 e 2 Ensaios de laboratório têm demonstrado uma boa aproximação com a teoria, já que em

vigas de concreto armado o aspecto das fissuras, na região próxima a apoio simples, é como indicado na Figura 6.3 (fissuras perpendiculares às tensões principais de tração, pois o concreto não resiste às mesmas).

V

M

τxy σx

1

2

linha neutra

fibra mais tracionada

τxy

τxy

τxy

τxy

1

σx 2

σx

σI = τxy σII = τxy

σII (compressão)

σI (tração)

1

plano diagonal de

ruptura

45º

σI (tração)

σI = σx 2

plano vertical de

ruptura

90º

2006 6-2 ufpr/tc405

Figura 6.3 � Fissura em viga de concreto armado Já foi visto, quando se estudou a armadura longitudinal de vigas (Capítulo [5]), que próximo

ao elemento 2, onde a fissura é provocada somente pelo momento fletor (τxy = 0), a armadura horizontal de tração é colocada perpendicularmente à fissura, isto é na direção da tensão principal σI do elemento 2 (Figura 6.4). No elemento 1, onde a fissura é provocada pela força cortante

(σx = 0), a armadura deveria ser também colocada perpendicularmente à fissura, na direção da tensão principal σI do elemento 1 (Figura 6.4).

Figura 6.4 � Armaduras nas direções das tensões principais de tração

A idéia de se colocar armadura sempre na direção da tensão principal de tração (perpendicular à fissura) vigorou por muitos anos como princípio básico do concreto armado. Mudanças ocorreram e as teorias atuais, tanto para momento fletor como para força cortante, baseiam-se no principio de se "costurar" as fissuras, respeitando sempre o equilíbrio de forças e a compatibilidade das deformações. É por este motivo que as vigas de concreto armado, em sua

grande maioria, são, atualmente, detalhada só com armadura horizontal e vertical (Figura 6.5). As armaduras horizontais "costuram" as fissuras provocadas pelo momento fletor e as armaduras verticais "costuram" as fissuras provocadas pela força cortante. Evidentemente esta é uma idéia simplista, já que as fissuras, na realidade, são provocadas por tensões de tração provenientes da combinação de momentos fletores e forças cortantes atuando conjuntamente.

Figura 6.5 � Armadura de momento fletor e força cortante

V

M 1

2

fissura vertical (90°) na região do elemento 2

fissura inclinada (45°) na região do elemento 1

σI σI

σI

σI 1

2

σI σI

σI

σI 1

2 θ V

M

armadura de momento fletor

armadura de força cortante

2

1

V

M

armadura de momento fletor

armadura de força cortante

2

1

porta estribo

2006 6-3 ufpr/tc405

6.2 Analogia da treliça de Morsh O verdadeiro comportamento de peças fletidas (peças fissuradas) de concreto armado ainda

não é totalmente conhecido. Uma das teorias que procura explicar este comportamento é a Analogia da Treliça de Morsh, onde é suposto que os momentos fletores e as forças cortantes devam ser resistidos por uma treliça interna à viga formada por banzos, diagonais e montantes constituídos por barras de concreto comprimido e barras de aço tracionado (Figura 6.6).

Figura 6.6 � Analogia da treliça de Morsh

6.2.1 Modelos de ABNT NBR 6118 Ensaios de laboratório tem demonstrado que o ângulo θ mostrado na Figura 6.6, que

corresponde à inclinação da fissura mostrada na Figura 6.4, varia entre 30° e 45°. Desta forma, a ABNT NBR 6118, itens 17.4.2.2 e 17.4.2.3 houve por bem adotar dois modelos correspondentes à analogia da treliça de Morsh, ou sejam:

− Modelo I, onde é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de θ = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural; e

− Modelo II, onde é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de θ em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com θ variável livremente entre 30° e 45°.

6.2.2 Colapso de vigas de concreto armado Baseado no mecanismo da treliça, pode ser observado que a ruína da viga pode ocorrer de

varias maneiras, já que qualquer parte (banzo, diagonal ou montante) pode entrar em colapso. Admitindo-se comportamento de viga sub ou superarmada (Figura 6.7), onde o momento

fletor é responsável pelo binário das forças horizontais atuantes nos banzos superior e inferior da treliça, o colapso pode ocorrer por:

− ruptura (esmagamento) do concreto comprimido que constitui o banzo superior (viga superarmada); ou

− ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada do banzo inferior (viga subarmada).

Figura 6.7 - Colapso de viga devido ao momento fletor

α V

M

concreto de momento fletor

concreto de força cortante

barras de cisalhamento inclinadas

θ 90° V

M

armadura de momento fletor

armadura de força cortante

barras de cisalhamento verticais

θ

M

ruptura da armadura tracionada (viga subarmada)

ruptura do concreto comprimido (viga superarmada)

2006 6-4 ufpr/tc405

Para evitar a ruptura (esmagamento) do concreto comprimido no banzo superior (ruptura de viga superarmada mostrada na Figura 6.7), duas providências podem ser tomadas:

− colocação de armadura na região comprimida; ou − aumento das dimensões da seção transversal da viga. De modo análogo ao das vigas super e subarmadas, onde o momento fletor é o causador do

colapso, pode a força cortante também ser responsável pela ruína de uma viga de concreto armado (Figura 6.8). Isto pode acontecer por:

− ruptura (esmagamento) da diagonal de concreto comprimido; ou

− ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada dos montantes (estribos).

Figura 6.8 - Colapso de viga devido a força cortante

O esmagamento do concreto comprimido mostrado na Figura 6.8 só pode ser evitado com o aumento das dimensões da seção transversal da viga. A verificação da necessidade de se aumentar ou não as dimensões de uma viga de concreto armado é feita pelos itens 17.4.2.2 e 17.4.2.3 da ABNT NBR 6118, os quais fixam valores limites para a força cortante atuante em seções transversais de viga.

6.3 Valores limites para força cortante – diagonal de compressão 6.3.1 Equilíbrio da diagonal de compressão de treliça de Morsh

Seja a Figura 6.9 onde a força cortante resistente de cálculo VRd2 é responsável pelo equilíbrio vertical das forças atuantes no trecho de viga.

Figura 6.9 � Equilíbrio vertical da resultante atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh

Na Figura 6.9, θ representa a inclinação da fissura em relação ao eixo horizontal da viga e corresponde

à inclinação das tensões σcw; α corresponde à inclinação da armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de

Morsh) em relação ao eixo horizontal da viga; ψ corresponde a um dos ângulos do triângulo retângulo BCD (reto em B), equivalente a

[(α + θ) - 90°]; bw largura da alma da viga; d altura útil da viga; z representa o braço de alavanca correspondente à distância entre a resultante

horizontal de compressão atuante no banzo superior da treliça de Morsh e a resultante

ruptura da armadura tracionada

ruptura do concreto comprimido

V

VRd2

Rcw = σcw BC bw

σcw

D

C

B A

ψ θ α

α

z = 0,9 d bw d

2006 6-5 ufpr/tc405

atuante na armadura horizontal tracionada (banzo inferior da treliça), admitido como sendo igual 0,9 d;

σcw tensões normais atuantes na diagonal de compressão da treliça de Morsh (tensões perpendiculares à reta BC);

Rcw corresponde à força atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh, resultante das tensões σcw; e

VRd21 corresponde à força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais

comprimidas de concreto. Do triângulo ABD (Figura 6.9) tem-se:

α=

senzBD

___

Do triângulo BCD (Figura 6.9) tem-se:

ψ= cosBDBC______

ou ainda:

zsencosBC

___

αψ

=

Tendo em vista que: ( ) °θ+α=ψ 90-

tem-se: ( )θ−°−α=ψ 90

( )[ ]θ−°−α=ψ 90coscos ( ) ( )θ−°α+θ−°α=ψ 90sensen90coscoscos

θα+θα=ψ cossensencoscos

αθα+θα

=αψ

sencossensencos

sencos

θ+θα=αψ cossengcot

sencos

( )θ+αθ=αψ gcotgcotsen

sencos

que levado para a expressão da reta BC, tem-se:

( )θ+αθ= gcotgcotsenzBC___

Do equilíbrio das forças verticais mostradas na Figura 6.9, tem-se:

θ= senRV cwRd2 ou ainda:

θ

σ= senbBCV w

___

cwRd2

( )[ ]{ } θθ+αθσ= senbgcotgcotsenzV wcw2Rd ( ) θθ+ασ= 2

wcw2Rd sengcotgcotzbV Tendo em vista que (Figura 6.9):

d9,0z = e tomando para σcw um valor em torno de 70% da máxima tensão de compressão de cálculo do concreto 0,85 fcd, necessário pelas incertezas decorrentes da simplificação da analogia de Morsh, tem-se:

( )cdcw f85,0Κ=σ

7,04,11≅=Κ

1 Notação da ABNT NBR 6118. O índice 2 que aparece em VRd2 é usado para indicar vigas, sendo o índice 1, que

aparecerá em VRd1, usado para lajes.

2006 6-6 ufpr/tc405

( )( ) θθ+α

= 2

wcd

2Rd sengcotgcotd9,0b4,1f85,0V

ou ainda: ( )[ ]θ+αθ= gcotgcotsendbf54,0V 2

wcd2Rd Equação 6.1

6.3.2 Modelos da ABNT NBR 6118 6.3.2.1 Modelo I

O Modelo I da ABNT NBR 6118 define θ como sendo igual a 45°. Desta forma a Equação 6.1 resulta:

( )[ ]°+α°= 45gcotgcot45sendbf54,0V 2wcd2Rd

( )( )[ ]1gcot5,0dbf54,0V wcd2Rd +α= ( )[ ]1gcotdbf27,0V wcd2Rd +α=

Se o ângulo α (inclinação das barras de cisalhamento) for tomado igual a 90°, VRd2 assumirá seu valor mínimo, correspondente a:

dbf27,0V wcd2Rd = Equação 6.2

A ABNT NBR 6118, item 17.4.2.2-a, apresenta a Equação 6.2 corrigida do fator αv2, função da resistência característica do concreto. Desta forma, a expressão de VRd2, para o Modelo I, resulta:

MPaemf250f1

dbf27,0V

ckck

2v

wcd2v2Rd

−=α

α= Equação 6.3

6.3.2.2 Modelo II O Modelo II da ABNT NBR 6118, que estabelece para θ uma variação entre 30° e 45°, usa,

para a determinação de VRd2, a Equação 6.1 corrigida do fator αv2. Segundo o item 17.4.2.3-a, VRd2 deve ser determinado pela expressão:

( )

°≤α≤°°≤θ≤°

−=α

θ+αθα=

90454530

MPaemf250f1

gcotgcotsendbf54,0V

ckck

2v

2wcd2v2Rd

Equação 6.4

6.3.3 Resistência de vigas – diagonal de compressão A resistência de viga, numa determinada seção transversal, deve ser considerada

satisfatória quando for verificada, a seguinte condição:

2RdSd VV ≤ Equação 6.5 onde:

VSd força cortante solicitante de cálculo na seção; e VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de

concreto, de acordo com os Modelos I e II descritos em 6.3.2.1 e 6.3.2.2, respectivamente.

Nas regiões dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes nas respectivas faces (Figura 6.10).

2006 6-7 ufpr/tc405

Figura 6.10 � Verificação de força cortante

Exemplo 6.1: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal de compressão (VRd2). Fazer a verificação para o Modelo I e para o Modelo II admitindo θ = 30° e α = 90°.

Considerar: − concreto: C25; − d = h � 4 cm; e − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4).

Solução: Na determinação de VRd2, usar a Equação 6.3 para o Modelo I e a Equação 6.4 para o Modelo II. VSd é definida pela Equação 6.5.

a. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN5,2MPa25f == 4,1c =γ

c

ckcd

ff

γ=

2cd cm/kN79,1

4,15,2f ==

MPaemf250f

1 ckck

v2 =−=α

9,0250251v2 =−=α

cm20bw = cm36440d =−= b. Modelo I dbf27,0V wcd2v2Rd α= kN18,313362079,19,027,0V 2Rd =××××= kN313VV 2RdSd =≤ ◄

20 cm

40 cm

diagrama VSd VSd,face ≤ VRd2

2006 6-8 ufpr/tc405

c. Modelo II

OK)9045(90OK)4530(30

°≤α≤°°=α°≤θ≤°°=θ

( )θ+αθα= gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd

( )°+°×°×××××= 30gcot90gcot30sen362079,19,054,0V 22Rd

( ) ( ) kN90,27073,10,05,0362079,19,054,0V 22Rd =+××××××=

kN271VV 2RdSd =≤ ◄ d. Observação No Modelo I, a força cortante solicitante de cálculo VSd (313 kN) resultou 15% maior que a correspondente no Modelo II (271 kN). Portanto, no que se refere à diagonal de compressão, o Modelo I tem um melhor comportamento que o Modelo II.

6.4 Valores limites para força cortante – diagonal de tração 6.4.1 Equilíbrio da diagonal de tração de treliça de Morsh

Seja a Figura 6.11 onde a força cortante resistente de cálculo VRd2 é responsável pelo equilíbrio vertical das forças atuantes no trecho de viga.

Figura 6.11 - Equilíbrio vertical da resultante atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh)

Na Figura 6.11, θ representa a inclinação da fissura em relação ao eixo horizontal da viga; α corresponde à inclinação da armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de

Morsh) em relação ao eixo horizontal da viga; d altura útil da viga; z representa o braço de alavanca correspondente à distância entre a resultante

horizontal de compressão atuante no banzo superior da treliça de Morsh e a resultante atuante na armadura horizontal tracionada (banzo inferior da treliça), admitido como sendo igual 0,9 d;

s corresponde ao espaçamento da armadura transversal, medido paralelamente ao eixo horizontal da viga;

n representa o número da barras, componentes da armadura transversal, que corta o plano AC co trecho da viga;

Asw corresponde à área da seção transversal de uma barra que constitui a armadura transversal da viga;

σsw tensões normais atuantes na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh);

Rsw corresponde à força atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh), resultante das tensões σsw;

VRd31 corresponde à força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal;

1 Notação da ABNT NBR 6118.

B

Asw σsw Rsw = n Asw σsw

Vc s s

VRd3 C

A θ α α

z = 0,9 d

Rsw Vsw

α

Vsw = Rsw sen α

2006 6-9 ufpr/tc405

Vsw corresponde a componente vertical da força Rsw; e Vc corresponde à parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares

ao da treliça de Morsh. Do triângulo ABC (Figura 6.11) tem-se:

( )α+θ= gcotgcotzAB___

O número de barras que corta o plano AC (projeção horizontal AB) é dado por:

( ) ( )α+θ=α+θ

== gcotgcotsz

sgcotgcotz

sABn

Do equilíbrio vertical de forças atuantes no trecho de viga da Figura 6.11, tem-se: 0VsenRV csw3Rd =−α−

ou ainda: csw3Rd VsenRV +α=

swc3Rd VVV += Equação 6.6

Ainda da Figura 6.11, tem-se: ( ) ασ=α= senAnsenRV swswswsw

( ) ( ) ασ

α+θ= senAgcotgcotszV swswsw

( ) ( ) ασ

α+θ= senAgcotgcot

sd9,0V swswsw

( ) αα+θσ

= sengcotgcotd9,0

sAV sw

swsw Equação 6.7

A ABNT NBR 6118, itens 17.4.2.2.b e 17.4.2.3.b, apresenta a Equação 6.7 com fywd no lugar de σsw, onde fywd é a tensão na armadura transversal, limitada ao valor fyd no caso de estribo e a 70% desse valor no caso de barra dobrada, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa. Desta forma a Equação 6.7 resulta:

( )

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

sengcotgcotfd9,0s

AV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

γ=

γ=

αθ+α

=

Equação 6.8

6.4.2 Armadura componente das diagonais tracionadas da treliça de Morsh As armaduras que compõem as diagonais tracionadas da treliça de Morsh podem ser

constituídos por: − estribos; ou − barras dobradas. Os estribos, de modo geral, são fechados e na grande maioria dos casos são posicionados

verticalmente (α = 90°), como mostrado na Figura 6.12. Os valores de Asw, a serem usados na Equação 6.8, dependem do número de ramos que compõe o estribo.

2006 6-10 ufpr/tc405

Figura 6.12 � Estribos de viga As barras dobradas, de modo geral, são posicionadas nas vigas como continuidade das

barras horizontais, formando ângulo de 45° com a horizontal (Figura 6.13).

Figura 6.13 � Barras dobradas de viga

6.4.3 Modelos da ABNT NBR 6118 6.4.3.1 Modelo I

O Modelo I da ABNT NBR 6118 define θ como sendo igual a 45°. Desta forma a Equação 6.8 resulta:

( ) α°+α

= sen45gcotgcotfd9,0

sAV ywd

swsw

( )

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

cossenfd9,0s

AV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

γ=

γ=

α+α

=

Equação 6.9

O item 17.4.2.2-b da ABNT NBR 6118 apresenta, o cálculo da armadura transversal de viga, para o Modelo I, separado por tipo de solicitação.

6.4.3.1.1 Flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção No caso de flexão simples ou flexo-tração, com a linha neutra cortando a seção, os valores

de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.9) são dados por:

As

estribo de 2 ramos Asw = 2 As

As

estribo de 4 ramos Asw = 4 As

2006 6-11 ufpr/tc405

( )

°≤α≤°

γ=

γ=

α+α

=

γ=

γ=

==

+=

9045

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

cossenfd9,0s

AV

MPaemff21,0f

f

dbf6,0VVVVV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

ckc

3 2ck

c

inf,ctkctd

wctd0cc

swc3Rd

Equação 6.10

6.4.3.1.2 Flexo-compressão No caso de flexo-compressão, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.9) são

dados por:

( )

°≤α≤°

γ=

γ=

α+α

=

γ=

γ=

=

≤

+=

+=

9045

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

cossenfd9,0s

AV

MPaemff21,0f

f

dbf6,0V

V2M

M1VV

VVV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

ckc

3 2ck

c

inf,ctkctd

wctd0c

0cmax,Sd

00cc

swc3Rd

Equação 6.11

Na Equação 6.11, M0 valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da

seção (tracionada por MSd,Max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valor de γf igual a 1,0; e

MSd,max valor do máximo momento fletor de cálculo que atua na seção considerada.

6.4.3.1.3 Elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção No caso de elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção, os valores

de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.9) são dados por:

2006 6-12 ufpr/tc405

( )

°≤α≤°

γ=

γ=

α+α

=

=

+=

9045

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

cossenfd9,0s

AV

0VVVV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

c

swc3Rd

Equação 6.12

6.4.3.2 Modelo II O Modelo II da ABNT NBR 6118, estabelece para θ uma variação entre 30° e 45°, aplicados

diretamente na Equação 6.8. O item 17.4.2.3-b da ABNT NBR 6118 apresenta, o cálculo da armadura transversal de viga,

para o Modelo II, separado por tipo de solicitação.

6.4.3.2.1 Flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção No caso de flexão simples ou flexo-tração, com a linha neutra cortando a seção, os valores

de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.8) são dados por:

( )

°≤α≤°≤θ≤°

γ=

γ=

αθ+α

=

γ=

γ=

=

≤−−

=

=

+=

9045º4530

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

sengcotgcotfd9,0s

AV

MPaemff21,0f

f

dbf6,0V

VVVVVVV

VVVVV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

ckc

3 2ck

c

inf,ctkctd

wctd0c

0c0c2Rd

Sd2Rd0c1c

1cc

swc3Rd

Equação 6.13

6.4.3.2.2 Flexo-compressão No caso de flexo-compressão, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.8) são

dados por:

2006 6-13 ufpr/tc405

( )

°≤α≤°≤θ≤°

γ=

γ=

αθ+α

=

γ=

γ=

=

≤−−

=

≤

+=

+=

9045º4530

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

sengcotgcotfd9,0s

AV

MPaemff21,0f

f

dbf6,0V

VVVVVVV

V2M

M1VV

VVV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

ckc

3 2ck

c

inf,ctkctd

wctd0c

0c0c2Rd

Sd2Rd0c1c

1cmax,Sd

01cc

swc3Rd

Equação 6.14

Na Equação 6.14, M0 valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da

seção (tracionada por MSd,Max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valor de γf igual a 1,0; e

MSd,max valor do máximo momento fletor de cálculo que atua na seção considerada.

6.4.3.2.3 Elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção No caso de elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção, os valores

de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.8) são dados por:

( )

°≤α≤°≤θ≤°

γ=

γ=

αθ+α

=

=

+=

9045º4530

dobradasbarrasMPa435

f7,0

minf

estribosMPa435

fminf

sengcotgcotfd9,0s

AV

0VVVV

s

yk

ywd

s

yk

ywd

ywdsw

sw

c

swc3Rd

Equação 6.15

6.4.4 Resistência de vigas – diagonal tracionada A resistência de viga, numa determinada seção transversal, deve ser considerada

satisfatória quando for verificada, a seguinte condição:

3RdSd VV ≤ Equação 6.16

2006 6-14 ufpr/tc405

onde: VSd força cortante solicitante de cálculo na seção; e VRd3 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, de acordo

com os Modelos I e II descritos em 6.3.2.1 e 6.3.2.2, respectivamente.

Exemplo 6.2: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal tracionada (VRd3). Fazer a verificação para o Modelo I e para o Modelo II admitindo θ = 30° e α = 90°.

Considerar: − aço: CA-50; − concreto: C25; − d = h � 4 cm; − estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras

de 6,3 mm; − flexão simples; e − estado limite último, combinações normais (γc = 1,4, γs = 1,15).

Solução: Na determinação de VRd3, usar a Equação 6.10 para o Modelo I e a Equação 6.13 para o Modelo II. VSd é definida pela Equação 6.16.

a. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN5,2MPa25f == 4,1c =γ

MPaemff21,0

f ckc

3 2ck

ctd γ=

23 2

ctd cm/kN128,0MPa28,14,12521,0f ===

MPa500fyk = 15,1sγ

γ=

MPa435

fminf s

yk

ywd

2ywd cm/kN5,43MPa435

MPa435

MPa43515,1

500minf ==

==

22

ssw cm623,0463,02A2A =

×π×==

cm10s = cm20bw = cm36440d =−= b. Modelo I °=α 90 (estribos verticais)

20 cm

40 cm

2006 6-15 ufpr/tc405

dbf6,0V wctd0c = kN553620128,06,0V 0c =×××=

( )α+α

= cossenfd9,0

sAV ywd

swsw

( ) kN8890cos90sen5,43369,010623,0Vsw =°+°××××

=

swcRd3 VVV += kN1438855VRd3 =+= kN143VV 3RdSd =≤ ◄ c. Modelo II

OK)9045(90OK)4530(30

°≤α≤°°=α°≤θ≤°°=θ

kN553620128,06,0V 0c =×××= kN271V 2Rd = (ver Exemplo 6.1, item c)

( ) αθ+α

= sengcotgcotfd9,0s

AV ywdsw

sw

( ) kN15290sen30gcot90gcot5,43369,010623,0Vsw =°°+°××××

=

0c0c2Rd

Sd2Rd0c1c V

VVVV

VV ≤−−

=

kN5555271V27155V Sd

1c ≤−−

×=

kN55927,3

V271V Sd1c ≤

−= (Vc1 função de VSd ⇒ necessário processo interativo)

c.1 VSd =VRd3 = Vsw = 152 kN (1ª tentativa, desconsiderado o valor de Vc)

OKkN55kN30927,3

152271V 1c ≤=−

=

kN30VV 1cc == swc3Rd VVV += kN152kN18215230V 3Rd >=+= c.2 VSd = VRd3 = 182 kN (2ª tentativa)

OKkN55kN23927,3

182271V 1c ≤=−

=

kN23VV 1cc == swc3Rd VVV += kN182kN17515223V 3Rd <=+= c.3 VSd = VRd3 = 175 kN (3ª tentativa)

OKkN55kN24927,3

175271V 1c ≤=−

=

kN24VV 1cc == swc3Rd VVV += kN175kN17615224V 3Rd >=+= c.4 VSd = VRd3 = 176 kN (4ª tentativa)

OKkN55kN24927,3

176271V 1c ≤=−

=

kN24VV 1cc == swc3Rd VVV +=

2006 6-16 ufpr/tc405

OKkN17615224V 3Rd =+= kN176VV 3RdSd =≤ ◄ d. Observação No Modelo I, a força cortante solicitante de cálculo VSd (143 kN) resultou 19% menor que a correspondente no Modelo II (176 kN). Portanto, no que se refere à diagonal tracionada, flexão simples, o Modelo II tem um melhor comportamento que o Modelo I.

6.5 Armadura mínima Segundo o item 17.4.1.1 da ABNT NBR 6118, as vigas de concreto armado devem conter

armadura transversal mínima constituída por estribos, com taxa geométrica:

=

=

≥α

=ρ

MPa500f

minf

MPaemff3,0f

ff

2,0sensb

A

ykywk

ck3 2

ckm,ct

ywk

m,ct

w

swsw

Equação 6.17

onde: ρsw taxa geométrica de armadura transversal; Asw área da seção transversal dos estribos; s espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal da viga; α inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da viga; bw largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, fywk resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal; e fct,m resistência média à tração do concreto.

Exemplo 6.3: Determinar a taxa geométrica mínima para a armadura transversal da viga de seção transversal abaixo indicada.

Considerar: − aço: CA-60; e − concreto: C25.

Solução: Usar a Equação 6.17 para a determinação de ρsw. a. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN5,2MPa25f ==

MPaemff3,0f ck3 2

ckm,ct =

23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f ===

MPa600fyk =

=

MPa500f

minf ykywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500MPa600

minf ==

=

20 cm

40 cm

2006 6-17 ufpr/tc405

b. Taxa geométrica

ywk

m,ctsw f

f2,0≥ρ

%10,050256,02,0sw =×≥ρ ◄

6.6 Flexão simples - Vigas com estribos verticais – Modelo I ABNT NBR 6118, item 17.4.1.1.3:

�A armadura transversal (Asw) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio das diagonais, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela composição de estribos e barras dobradas; entretanto, quando forem utilizadas barras dobradas, estas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura.�

O detalhamento de vigas de concreto armado com estribos verticais, permitido pelo item 17.4.1.1.3 da ABNT NBR 6118, tem sido o mais usado pela engenharia de estruturas (Figura 6.14).

Figura 6.14 � Vigas com estribos verticais Por outro lado, a adoção do Modelo I, que exige menos da diagonal comprimida da treliça

de Morsh (ver Exemplo 6.1 e Exemplo 6.2), também tem-se mostrado bastante útil no detalhamento de vigas de concreto armado. Desta forma, levando em consideração apenas as equações estabelecidas em 6.3.2.1 (Equação 6.3), 6.3.3 (Equação 6.5), 6.4.3.1.1 (Equação 6.10), 6.4.4 (Equação 6.16) e 6.5 (Equação 6.17), para flexão simples, tem-se:

s s

2s

2006 6-18 ufpr/tc405

=

=

≥=ρ

γ=

=

γ=

=

+=

−=α

α=

≤

MPa500f

minf

MPaemff3,0f

ff

2,0sb

AMPa435

fminf

fd9,0s

AV

MPaemff21,0

f

dbf6,0VVVV

MPaemf250f1

dbf27,0VVV

V

ykywk

ck3 2

ckm,ct

ywk

m,ct

w

swsw

s

yk

ywd

ywdsw

sw

ckc

3 2ck

ctd

wctdc

swc3Rd

ckck

2v

wcd2v2Rd

3Rd

2RdSd

Equação 6.18

Exemplo 6.4: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar.

Considerar: − aço: CA-50; − concreto: C25; − d = h � 4 cm; − estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, barras de 6,3 mm; − flexão simples, Modelo I; e estado limite último, combinações normais (γc = 1,4, γs = 1,15).

Solução: Na determinação de VSd, usar a Equação 6.18. a. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN5,2MPa25f == 4,1c =γ

MPaemf250f

1 ckck

v2 −=α

9,0250251v2 =−=α

20 cm

40 cm

2006 6-19 ufpr/tc405

c

ckcd

ff

γ=

2cd cm/kN79,1

4,15,2f ==

MPaemff3,0f ck3 2

ckm,ct =

23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f ===

MPaemff21,0

f ckc

3 2ck

ctd γ=

23 2

ctd cm/kN128,0MPa28,14,12521,0f ===

MPa500fyk = 15,1s =γ

=

MPa500f

minf ykywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500MPa500

minf ==

=

γ=

MPa435

fminf s

yk

ywd

2ywd cm/kN5,43MPa435

MPa435

MPa43515,1

500minf ==

==

22

ssw cm623,0463,02A2A =

×π×==

cm10s = cm20bw = cm36440d =−=

ywk

m,ctsw f

f2,0≥ρ

%10,050256,02,0sw =×≥ρ

sb

A

w

swsw ≥ρ

OK%10,0%31,01020

623,0sw >=

×≥ρ

b. VRd2 dbf27,0V wcd2v2Rd α= kN313362079,19,027,0V 2Rd =××××= ◄ c. VRd3 dbf6,0V wctd0c = kN553620128,06,0V 0c =×××=

ywdsw

sw fd9,0s

AV

=

2006 6-20 ufpr/tc405

kN885,43369,010623,0Vsw =×××

=

swcRd3 VVV += kN1438855VRd3 =+= ◄ d. VSd

≤3Rd

2RdSd V

VV

=⇒≤ kN143VkN143kN313

V SdSd ◄

6.7 Flexão simples - Vigas com estribos verticais – Modelo II A adoção do Modelo II para vigas com estribos verticais pode ser uma solução interessante

quando se quer exigir mais da diagonal comprimida da treliça de Morsh (ver Exemplo 6.1 e Exemplo 6.2), e menos da armadura. Desta forma, levando em consideração apenas as equações estabelecidas em 6.3.2.2 (Equação 6.4), 6.3.3 (Equação 6.5), 6.4.3.2.1 (Equação 6.13), 6.4.4 (Equação 6.16) e 6.5 (Equação 6.17), para flexão simples, tem-se:

=

=

≥=ρ

°≤θ≤°

γ=

θ

=

γ=

γ=

=

≤−−

=

=

+=°≤θ≤°

−=α

θθα=

≤

MPa500f

minf

MPaemff3,0f

ff

2,0sb

A4530

MPa435

fminf

cotfd9,0s

AV

MPaemff21,0f

f

dbf6,0V

VVVVVVV

VVVVV

4530

MPaemf250f1

cossendbf54,0VVV

V

ykywk

ck3 2

ckm,ct

ywk

m,ct

w

swsw

s

yk

ywd

ywdsw

sw

ckc

3 2ck

c

inf,ctkctd

wctd0c

0c0c2Rd

Sd2Rd0c1c

1cc

swc3Rd

ckck

2v

wcd2v2Rd

3Rd

2RdSd

Equação 6.19

2006 6-21 ufpr/tc405

Exemplo 6.5: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar.

Considerar: − aço: CA-50; − concreto: C25; − d = h � 4 cm; − estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras

de 6,3 mm; − flexão simples, Modelo II, θ = 30°; e estado limite último, combinações normais (γc = 1,4, γs = 1,15).

Solução: Na determinação de VSd, usar a Equação 6.19 a. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN5,2MPa25f == 4,1c =γ

MPaemf250f

1 ckck

v2 −=α

9,0250251v2 =−=α

c

ckcd

ffγ

=

2cd cm/kN79,1

4,15,2f ==

MPaemff3,0f ck3 2

ckm,ct =

23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f ===

MPaemff21,0

f ckc

3 2ck

ctd γ=

23 2

ctd cm/kN128,0MPa28,14,12521,0f ===

MPa500fyk = 15,1s =γ

=

MPa500f

minf ykywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500MPa500

minf ==

=

γ=

MPa435

fminf s

yk

ywd

20 cm

40 cm

2006 6-22 ufpr/tc405

2ywd cm/kN5,43MPa435

MPa435

MPa43515,1

500minf ==

==

22

ssw cm623,0463,02A2A =

×π×==

cm10s = cm20bw = cm36440d =−=

ywk

m,ctsw f

f2,0≥ρ

%10,050256,02,0sw =×≥ρ

sb

A

w

swsw ≥ρ

OK%10,0%31,01020

623,0sw >=

×≥ρ

°=θ 30 b. VRd2 θθα= cossendbf54,0V wcd2v2Rd kN27130cos30sen362079,19,054,0V 2Rd =°×°×××××= ◄ c. VRd3 dbf6,0V wctd0c = kN553620128,06,0V 0c =×××=

θ

= cotfd9,0s

AV ywdsw

sw

kN15230cot5,43369,010623,0Vsw =°××××

=

0c0c2Rd

Sd2Rd0c1c V

VVVV

VV ≤−−

=

kN5555271V27155V Sd

1c ≤−−

×=

kN55927,3

V271V Sd1c ≤

−= (Vc1 função de VSd ⇒ necessário processo interativo)

c.1 VSd =VRd3 = 200 kN (1ª tentativa, valor arbitrado)

OKkN55kN18927,3

200271V 1c <=−

=

kN18VV 1cc == swc3Rd VVV += kN200kN17015218V 3Rd <=+= c.2 VSd = VRd3 = 170 kN (2ª tentativa)

OKkN55kN26927,3

170271V 1c <=−

=

kN26VV 1cc == swc3Rd VVV += kN170kN17815226V 3Rd >=+=

2006 6-23 ufpr/tc405

c.3 VSd = VRd3 = 178 kN (3ª tentativa)

OKkN55kN24927,3

178271V 1c <=−

=

kN24VV 1cc == swc3Rd VVV += kN178kN17615224V 3Rd <=+= c.4 VSd = VRd3 = 176 kN (4ª tentativa)

OKkN55kN24927,3

176271V 1c <=−

=

kN24VV 1cc == swc3Rd VVV += OKkN17615224V 3Rd =+= kN176VV 3RdSd =≤ ◄ d. VSd

≤3Rd

2RdSd V

VV

=⇒≤ kN176VkN176kN271

V SdSd ◄

e. Comparações de Modelos (valores do Modelo I retirados do Exemplo 6.4)

Como pode ser observado pela tabela, o Modelo I apresenta melhores condições para o concreto (VRd2), ao passo que o Modelo II é melhor para armadura (VRd3). Em outras palavras isto quer dizer que o Modelo II necessita menos armadura que o Modelo I.

6.8 Condições para uso de estribos em vigas Segundo o item 18.3.3.2 da ABNT NBR 6118, os estribos destinados a vigas de concreto

armado devem satisfazer às seguintes exigências (Figura 6.15):

≤⇒>

≤⇒≤

≤φ≤

cm20d3,0

mins67,0VV

cm30d6,0

mins67,0VV

10bmm5

2Rd

Sd

2Rd

Sd

wt

Equação 6.20

onde: φt diâmetro da barra que constitui o estribo; s espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal da viga; bw largura da alma da viga; d altura útil da viga; VSd força cortante solicitante de cálculo na seção; e

Modelo I II

α 90° 90°

θ 45° 30°

Vc 55 kN 24 kN

Vsw 88 kN 152 kN

VRd2 313 kN 271 kN

VRd3 143 kN 176 kN

2006 6-24 ufpr/tc405

VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto.

Figura 6.15 � Estribos de viga de concreto armado Embora a ABNT NBR 6118 não faça referência ao espaçamento mínimo entre estribos, é

recomendável que este valor não seja inferior a 10 cm. Em casos extremos este valor pode ser reduzido para até 7 cm, porém torna-se necessário que sejam verificadas as condições totais de concretagem que envolvem todas as armaduras (longitudinais e transversais). Desta forma a Equação 6.20 resulta:

≤≤⇒>

≤≤⇒≤

≤φ≤

cm20d3,0

minscm1067,0VV

cm30d6,0

minscm1067,0VV

10bmm5

2Rd

Sd

2Rd

Sd

wt

Equação 6.21

No caso de vigas de pouca altura útil (d ≤ 35 cm), o produto 0,3 d poderá resultar inferior a 10 cm. Neste caso o espaçamento mínimo de 10 cm deverá ser ignorado, mantendo-se o espaçamento igual ou inferior a 0,3 d.

Exemplo 6.6: Determinar o espaçamento dos estribos para o trecho II da viga abaixo indicada. Considerar: − aço: CA-60; − concreto: C20; − d = h � 5 cm; − estribos verticais de dois ramos, constituídos por barras de 6,3 mm; − flexão simples, Modelo I; e estado limite último, combinações normais (γc = 1,4, γs = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.18 e Equação 6.21. Observar que a verificação de VRd2 deve ser feita para a maior força cortante

s

φt bw d

20 cm

50 cm

I II

diagrama VSd

140 kN 210 kN

2006 6-25 ufpr/tc405

solicitante de cálculo VSd atuante na viga (210 kN). O cálculo da armadura deve ser feito para VSd igual a 140 kN que corresponde a maior força cortante de cálculo atuante no trecho II.

a. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN0,2MPa20f == 4,1c =γ

MPaemf250f1 ckck

v2 −=α

92,0250201v2 =−=α

c

ckcd

ff

γ=

2cd cm/kN43,1

4,10,2f ==

MPaemff3,0f ck3 2

ckm,ct =

23 2m,ct cm/kN221,0MPa21,2203,0f ===

MPaemff21,0

f ckc

3 2ck

ctd γ=

23 2

ctd cm/kN111,0MPa11,14,12021,0f ===

MPa600fyk = 15,1s =γ

=

MPa500f

minf ykywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500MPa600

minf ==

=

γ=

MPa435

fminf s

yk

ywd

2ywd cm/kN5,43MPa435

MPa435

MPa52215,1

600minf ==

==

10bmm5 w

t ≤φ≤

10200mm5 t ≤φ≤

mm20mm5 t ≤φ≤ OKmm3,6t =φ

22

ssw cm623,0463,02A2A =

×π×==

cm20bw = cm45550d =−=

ywk

m,ctsw f

f2,0≥ρ

2006 6-26 ufpr/tc405

%09,050221,02,0sw =×≥ρ

dbf27,0V wcd2v2Rd α= kN320452043,192,027,0V 2Rd =××××= dbf6,0V wctdc = kN604520111,06,0Vc =×××= b. Verificação de VRd2 2RdSd VV ≤ kN210VSd = (máxima força cortante de cálculo atuante na viga � face do pilar) kN320V 2Rd =

{ {OKVV

kN3202Rd

kN210Sd <

c. Verificação de VRd3 3RdSd VV ≤ kN140VSd = (máxima força cortante de cálculo no trecho II) kN60Vc =

ywdsw

sw fd9,0s

AV

=

s

57,09715,43459,0s623,0Vsw =×××

=

swcRd3 VVV +=

s

57,097160VRd3 +=

s

57,097160140 +≤

cm13scm72,13s =⇒≤ ◄ d. Verificação de s

≤≤⇒>

≤≤⇒≤

cm20d3,0

minscm1067,0VV

cm30d6,0

minscm1067,0VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd

kN140VSd = kN320V 2Rd = cm13s =

44,0320140

VV

2Rd

Sd ==

cm27cm30

cm27456,0minscm1067,0

VV

2Rd

Sd =

=×≤≤⇒≤

OKcm27cm13cm10 <<

e. Verificação de ρsw %09,0sw ≥ρ

sb

A

w

swsw ≥ρ

OK%09,0%24,01320

623,0sw >=

×≥ρ

2006 6-27 ufpr/tc405

6.9 Cargas próximas aos apoios A existência de cargas próximas aos apoios pode influenciar na determinação da armadura

de cisalhamento em vigas de concreto armado. Da Figura 6.16 pode ser observado que: − as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano α, não interferem no nó B

(onde existe Vsw), são direcionadas diretamente ao apoio (nó) A e, no equilíbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força VRd2 (reação de apoio), relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; e

− as cargas uniformemente distribuídas, compreendidas entre os planos α e β, interferem no nó B e, no equilíbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força Vsw, resistida pela armadura transversal Asw.

Figura 6.16 � Cargas próximas aos apoios Da Figura 6.16 pose-se concluir que: − as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano α, não interferem na

determinação de Asw; e − as cargas uniformemente distribuídas, à direita do plano α, interferem na verificação

de VRd2. ABNT NBR 6118, item 17.4.1.2.1:

�Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e a reação forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-a), valem as seguintes prescrições:

a. a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção;

b. a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do eixo teórico do apoio pode, neste trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a/(2d).

As reduções indicadas nesta seção não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos , essas reduções também não são permitidas.�

A Figura 6.17 mostra os diagramas de força cortante para o cálculo da armadura transversal de vigas de concreto armado, segundo o item 17.4.1.2.1 da ABNT NBR 6118.

β

α

V

M B

Rsw

α

β

VRd2

A

2006 6-28 ufpr/tc405

Figura 6.17 � Diagramas VSd para cálculo da armadura de cisalhamento

Exemplo 6.7: Determinar a armadura de cisalhamento os trechos I, II e III da viga abaixo indicada.

Considerar: − aço: CA-60; − concreto: C20; − estribos verticais de dois ramos; − flexão simples, Modelo I; e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4,

γc = 1,4 e γs = 1,15).

d/2

d

diagrama VSd para cálculo da armadura

de cisalhamento

d

a ≤ 2d

diagrama VSd para cálculo da armadura

de cisalhamento

VSd

d2

aVSd

1 m 2 m

Gk = 144 kN

2 m

gk = 72 kN/m

I II III

15 cm

65 cm

30 cm

60 cm

2006 6-29 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.18 e Equação 6.20, bem como das reduções de carga apresentadas na Figura 6.17.

a. Diagramas de força cortante

carga uniformemente distribuída:

kN28,161542724,1V Aeixo,Sd, =

×××=

kN16,146230,0724,128,161V

2

Aface,Sd,

pil

=

××−=

321l

kN92,115260,0

230,0724,128,161V

2d

2

Ad/2,Sd,

pil

=

+

××−=

321321l

kN32,40512724,1VV B,face,SdBeixo,Sd, −=

×××−==

carga concentrada:

kN32,40511444,1VV A,face,SdAeixo,Sd, =

××==

kN28,161541444,1VV B,face,SdBeixo,Sd, −=

××−==

B

3 m 2 m

A

+

-

VSd,eixo,A = +161,28 kN

VSd,face,A = +146,16 kN

VSd,d/2,A = +115,92 kN

VSd,eixo,B = VSd,face,B = -40,32 kN

B

1 m 4 m

VSd,eixo,A = VSd,face,A = 40,32 kN

VSd,eixo,B = VSc,face,B = -161,28 kN

A

+

VSd,a/2d,B = -134,40 kN -

2006 6-30 ufpr/tc405

kN40,134602

10028,161V

d2a

B,d2/a,Sd −=

××−=

43421

b. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN0,2MPa20f == 4,1c =γ

MPaemf250f1 ckck

v2 −=α

92,0250201v2 =−=α

c

ckcd

ff

γ=

2cd cm/kN43,1

4,10,2f ==

MPaemff3,0f ck3 2

ckm,ct =

23 2m,ct cm/kN221,0MPa21,2203,0f ===

MPaemff21,0

f ckc

3 2ck

ctd γ=

23 2

ctd cm/kN111,0MPa11,14,12021,0f ===

MPa600fyk = 15,1s =γ

=

MPa500f

minf ykywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500MPa600

minf ==

=

γ=

MPa435

fminf s

yk

ywd

2ywd cm/kN5,43MPa435

MPa435

MPa52215,1

600minf ==

==

10bmm5 w

t ≤φ≤

10

150mm5 t ≤φ≤

mm15mm5 t ≤φ≤ cm15bw = cm60d =

ywk

m,ctsw f

f2,0≥ρ

%09,050221,02,0sw =×≥ρ

2006 6-31 ufpr/tc405

%09,0sb

Aw

swsw ≥=ρ

{ mcm35,1

cmcm0135,015

10009,0

sA 22

b

sw

w

==×≥

dbf27,0V wcd2v2Rd α= kN320601543,192,027,0V 2Rd =××××= dbf6,0V wctdc = kN606015111,06,0Vc =×××= c. Verificação de VRd2 2RdSd VV ≤ conc,A,face,Sddist,A,face,SdA,face,Sd VVV += kN48,18632,4016,146V A,face,Sd =+= conc,B,face,Sddist,B,face,SdB,face,Sd VVV += kN60,20128,16132,40V B,face,Sd −=−−= kN60,201V max,face,Sd = (valor absoluto) kN320V 2Rd = { OKVV

kN3202Rd

kN60,201

max,face,Sd <43421

d. Trecho I 3RdSd VV ≤ kN24,15632,4092,115VV max,SdSd =+== kN60Vc =

ywdsw

sw fd9,0s

AV

=

s

A23495,43609,0s

AV swswsw =×××

=

swcRd3 VVV +=

s

A234960V sw

Rd3 +=

s

A234960156,24 sw+≤

OKm

cm35,1m

cm10,4cm

cm0410,0s

A 222sw >=≥

≤≤⇒>

≤≤⇒≤

cm20d3,0

minscm1067,0VV

cm30d6,0

minscm1067,0VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd

kN320V 2Rd =

=×≤≤⇒==

cm30cm36606,0

minscm1049,0320

24,156VV

2Rd

Sd 2

2

cm10,4cm100cm623,0cms

→→

cm30scm10 ≤≤ Será adotado para o trecho I, estribos de 6,3 mm, dois ramos, espaçados de 15 cm (4,15 cm2/m). A adoção de barras de 5 mm implicaria em espaçamento inferior a 10 cm, o que, deve ser evitado. A adoção de barras de 8 mm implicaria em um excesso de armadura para o trecho II.

φt (mm)

Asw (cm2)

s (cm)

Asw/s (cm2/m)

5 0,393 9 4,37 ►6,3 0,623 ►15 4,15

8 1,005 24 4,19

+40,32 kN

A

+

2 m

+115,92 kN

-40,32 kN

A

+

I

2006 6-32 ufpr/tc405

e. Trecho II 3RdSd VV ≤ kN032,4032,40VV max,SdSd =+−== kN60Vc =

{ {mínimaarmaduraVV

kN60c

kN0Sd ⇒<

m

cm35,1s

A 2sw ≥

≤≤⇒>

≤≤⇒≤

cm20d3,0

minscm1067,0VV

cm30d6,0

minscm1067,0VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd

kN320V 2Rd =

=×≤≤⇒==

cm30cm36606,0

minscm1000,0320

0VV

2Rd

Sd 2

2

cm35,1cm100cm623,0cms

→→

cm30scm10 ≤≤ Será adotado para o trecho II, estribos de 6,3 mm, dois ramos, espaçados de 30 cm (2,08 cm2/m) que é o máximo permitido por Norma. A adoção de barras de 6,3 mm é devida a manutenção de um mesmo tipo de estribo em todo o vão da viga. f. Trecho III 3RdSd VV ≤ kN72,17440,13432,40VV max,SdSd =−−== kN60Vc =

ywdsw

sw fd9,0s

AV

=

s

A23495,43609,0

sA

V swswsw =×××

=

swcRd3 VVV +=

s

A234960V sw

Rd3 +=

s

A234960174,72 sw+≤

OKm

cm35,1m

cm88,4cm

cm0488,0s

A 222sw >=≥

≤≤⇒>

≤≤⇒≤

cm20d3,0

minscm1067,0VV

cm30d6,0

minscm1067,0VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd

kN320V 2Rd =

=×≤≤⇒==

cm30cm36606,0

minscm1055,0320

72,174VV

2Rd

Sd 2

2

cm88,4cm100cm623,0cms

→→

cm30scm10 ≤≤ Será adotado para o trecho III, estribos de 6,3 mm, dois ramos, espaçados de 12 cm (5,19 cm2/m). A adoção de barras de 6,3 mm é devida à manutenção de um mesmo tipo de estribo em todo o vão da viga.

+40,32 kN

A

+

2 m

-40,32 kN A

-

II

φt (mm)

Asw (cm2)

s (cm)

Asw/s (cm2/m)

5 0,393 8 4,91 ►6,3 0,623 ►12 5,19

8 1,005 20 5,03

B

-

-134,40 kN

B

1 m

-

-40,32 kN

III

φt (mm)

Asw (cm2)

s (cm)

Asw/s (cm2/m)

5 0,393 29 1,36 ►6,3 0,623 ►30 2,08

8 1,005 30 3,35

2006 6-33 ufpr/tc405

g. Posicionamento dos estribos

6.10 Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado Seja a viga da Figura 6.18 submetida a um carregamento qualquer onde, internamente, está

representada a treliça de Morsh.

Figura 6.18 � Viga com representação da treliça de Morsh

Seja agora um trecho isolado da viga onde somente forças horizontais, definidas por momentos fletores, são consideradas (Figura 6.19). Conforme mostrado na Figura 6.18, os banzos superiores e inferiores da treliça são admitidos paralelos. Desta forma, pode-se, também,

admitir-se, na Figura 6.19, a igualdade dos braços de alavanca z, distância entre as forças Rcd e Rsd. Existindo no trecho ∆x da Figura 6.19 variação dos momentos fletores (MRd2 > MRd1), sendo z constante e MRd dado pelo produto Rsd z, conclui-se que a força atuante na armadura tracionada Rsd não é constante neste trecho (Rsd2 > Rsd1 da mesma forma que MRd2 > MRd1).

Figura 6.19 � Forças horizontais em um trecho de viga

Seja agora o mesmo trecho ∆x isolado da treliça da Figura 6.18, onde está mostrado as forças internas de tração Rsd atuantes no banzo inferior da treliça de Morsh. Por se tratar de um trecho de treliça, obrigatoriamente deve-se ter na Figura 6.20 forças Rsd iguais entre dois nós consecutivos (nós A e B que definem o trecho ∆x). Isto vale dizer que a força atuante na armadura tracionada (armadura horizontal inferior) é constante no trecho ∆x.

1 φ @ 30 cm 6 φ 6,3 mm 13 φ 6,3 mm

1 φ @ 15 cm

8 φ 6,3 mm 1 φ @ 12 cm

7 cm 23 cm 20 cm 6 cm

∆x

B A

∆x

z z

Rcd1

Rsd1

Rcd2

Rsd2

MRd2 MRd1

zMR 1Rd

1sd = 1sd2Rd

2sd Rz

MR >=

2006 6-34 ufpr/tc405

Figura 6.20 � Forças horizontais no banzo inferior da treliça

Do exposto, fica caracterizado uma discrepância quanto ao comportamento da força Rsd, pois para o mesmo trecho ∆x ora ela é variável (Figura 6.19) ora ela é constante (Figura 6.20). Isto se explica pela completa independência existente na determinação da armadura horizontal (armadura de momento fletor) com a determinação da armadura vertical (armadura de força cortante). Determina-se a armadura horizontal sem se levar em conta a força cortante, ao mesmo tempo em que se determina a armadura vertical sem se levar em conta o momento fletor. Um critério de cálculo (momento fletor) considera a viga como um todo, o outro (força cortante) admite o comportamento de uma treliça interna.

Para levar em conta a discrepância existente no comportamento da armadura horizontal tracionada, e agora já podemos considerá-la tanto na face inferior da viga (momento positivo) com na face superior (momento negativo), deve o dimensionamento desta armadura ser feito para o

maior valor absoluto da força Rsd atuante no trecho ∆x (ponto B da Figura 6.19 e da Figura 6.20). Isto vale dizer que o diagrama de forças Rsd deve ser deslocado na direção da menor destas forças (na direção de Rsd1 da Figura 6.19, ou de B para A) de tal modo que no trecho ∆x a força horizontal tracionada fique constante com seu maior valor absoluto. A Figura 6.21 mostra um exemplo de diagrama de forças Rsd deslocado.

Figura 6.21 � Diagrama Rsd deslocado ABNT NBR 6118, item 17.4.2.2-c � Modelo de cálculo I:

�Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração obliqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:

( ) ( )

α−α+

−= gcotgcot1

VV2V

dacmax,Sd

max,Sdl

onde: al ≥ 0,5 d, no caso geral; al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°.

Rsd1 Rsd2

B A

∆x

Rsd1 Rsd2

B A

∆x

diagrama Rsd deslocado

diagrama Rsd = MRd/z

Rsd ≠ 0 no apoio

2006 6-35 ufpr/tc405

Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem de momentos fletores. A decalagem do digrama de força no banzo tracionado pode ser também obtida simplesmente aumentando a força de tração, em cada seção, pela expressão:

( )21gcotgcotV

zM

R SdSd

cor,Sd α−θ+= �

ABNT NBR 6118, item 17.4.2.3-c � Modelo de cálculo II: �Se forem mantidas as condições estabelecidas 17.4.2.2-c, o deslocamento do diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito nessa seção, deve ser:

( )α−θ= gcotgcotd5,0al onde:

al ≥ 0,5 d, no caso geral; al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°.

Permanece válida para o modelo II a alternativa dada em 17.4.2.2-c.� As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 17.4.2.2-c e 17.4.2.3-c da

ABNT NBR 6118: a. Contrariando toda a bibliografia nacional e internacional, a ABNT NBR 6118 não

estabelece um limite superior para valores de al. Esta limitação deveria ser: al ≤ d

b. Para valores negativos de al, este deveria ser considerado como: al = d

Desta forma, os valores de al deveriam ser calculados como se segue: − Modelo I

( ) ( )

°⇒≤≤

⇒≤≤

α−α+

−=

45ainclinadosestribosdad2,0geralcasodad5,0

gcotgcot1VV2

Vda

cmax,Sd

max,Sd

l

l

l

para VSd,max<Vc ⇒ al = d

Equação 6.22

− Modelo I, estribos verticais (α = 90°)

( )dad5,0

VVV

2da

cmax,Sd

max,Sd

≤≤

−=

l

l

para VSd,max<Vc ⇒ al = d

Equação 6.23

− Modelo II ( )

°⇒≤≤

⇒≤≤

α−θ=

45ainclinadosestribosdad2,0geralcasodad5,0

gcotgcotd5,0a

l

l

l

Equação 6.24

A Figura 6.22 mostra como ficaria um diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo para efeito de dimensionamento e detalhamento da armadura horizontal de tração. É interessante notar que no apoio rotulado B há um aparente aparecimento de momento fletor. Na realidade, neste apoio B, está representada a força horizontal de tração que aparece no equilíbrio do nó A da Figura 6.16.

2006 6-36 ufpr/tc405

Figura 6.22 � Diagrama MSd deslocado

Exemplo 6.8: Efetuar o deslocamento do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo para a viga abaixo representada.

Considerar: − concreto: C20; − estribos verticais de dois ramos; − preso próprio desprezível; − flexão simples, Modelo I; e − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4,

γc = 1,4 e γs = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.3 para a verificação de VRd2 e na Equação 6.23 para a determinação de al.

B A

al al

al al

diagrama MSd

diagrama MSd deslocado

1 m

Gk = 200 kN

4 m

18 cm

55 cm

30 cm

50 cm

2006 6-37 ufpr/tc405

a. Diagramas MSd e VSd

b. Dados � uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck cm/kN0,2MPa20f == 4,1c =γ

MPaemf250f

1 ckck

v2 −=α

92,0250201v2 =−=α

c

ckcd

ff

γ=

2cd cm/kN43,1

4,10,2f ==

MPaemff21,0

f ckc

3 2ck

ctd γ=

23 2

ctd cm/kN111,0MPa11,14,12021,0f ===

cm18bw = cm50d = dbf27,0V wcd2v2Rd α= kN320501843,192,027,0V 2Rd =××××= dbf6,0V wctdc = kN605018111,06,0Vc =×××= c. Verificação de VRd2 2RdSd VV ≤

1 m

Gk = 200 kN

4 m

kNm2245

142004,1=

×××

kN565

12004,1=

××

kN2245

52004,1=

××

I II

2006 6-38 ufpr/tc405

kN224V max,face,Sd = (valor absoluto) kN320V 2Rd =

{OKVV

kN3202Rd

kN224

max,face,Sd <43421

d. Valor de al para o trecho I

( ) ≤≥

−=

dd5,0

VVV

2da

cmax,Sd

max,Sdl

kN56V max,Sd = (valor absoluto) kN60Vc = {

daVVkN60c

kN56

max,Sd =⇒< l321

cm50a =l ◄

e. Valor de al para o trecho II kN224V max,Sd = (valor absoluto) kN60Vc =

( ) cm3460224

2242

50a =

−

=l

=≤=×=≥

cm50dcm25505,0d5,0

al

cm34a =l ◄ f. Diagrama deslocado

6.11 Simbologia Específica 6.11.1 Símbolos base

a distância de carga concentrada ao eixo do pilar mais próximo al distância correspondente a decalagem do diagrama de força no banzo tracionado bw largura da alma da viga largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção d altura útil da viga

1 m

Gk = 200 kN

4 m I II

50 cm 34 cm

2006 6-39 ufpr/tc405

fcd resistência de cálculo à compressão do concreto fck resistência característica à compressão do concreto fctd resistência de cálculo à tração do concreto fctk,inf resistência característica inferior à tração do concreto fct,m resistência média à tração do concreto fyd resistência de cálculo ao escoamento do aço fyk resistência característica ao escoamento do aço fywd resistência de cálculo ao escoamento do aço da armadura transversal fywk resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal gk valor característico da ação permanente h altura da viga n número da barras qk valor característico da ação variável s espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal da viga espaçamento da armadura transversal, medido paralelamente ao eixo horizontal da

viga z braço de alavanca As área da seção transversal da armadura Asw área da seção transversal dos estribos área da seção transversal de uma barra que constitui a armadura transversal da

viga Gk valor característico da ação permanente M momento fletor MRd momento fletor resistente de cálculo MSd,max máximo momento fletor de cálculo M0 momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção

(tracionada por MSd,Max) Qk valor característico da ação variável Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rcw força atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh, resultante das

tensões σcw Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada Rsw força atuante na armadura transversal (diagonal tracionadas da treliça de Morsh),

resultante das tensões σsw V força cortante Vc força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de Morsh Vc0 valor de Vc na flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção �

Modelo I Vc1 valor de Vc na flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção �

Modelo II VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de

concreto VRd3 cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal VSd força cortante solicitante de cálculo VSd,eixo força cortante solicitante de cálculo correspondente ao eixo do pilar VSd,face força cortante solicitante de cálculo atuante na face interna do pilar VSd,max máxima força cortante solicitante de cálculo Vsw componente vertical da força Rsw

2006 6-40 ufpr/tc405

α inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da viga inclinação da armadura transversal em relação ao eixo horizontal da viga αv2 coeficiente para cálculo de VRd2 φ diâmetro da barra φt diâmetro da barra que constitui o estribo θ inclinação da fissura em relação ao eixo horizontal da viga γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto γg coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas γq coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas γs coeficiente de ponderação da resistência do aço ρsw taxa geométrica de armadura transversal σcw tensão normal atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh σsw tensão normal atuante na armadura transversal σx tensão normal σI tensão principal de tração σII tensão principal de compressão τxy tensão tangencial ψ ângulo auxiliar Κ constante

6.11.2 Símbolos subscritos cor corrigido eixo eixo face face inf inferior max máximo min mínimo

6.12 Exercícios Ex. 6.1: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos

necessários para os estribos dos trechos I, II e III. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de dois ramos; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento.

2006 6-41 ufpr/tc405

Ex. 6.2: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores das distâncias a, b e c. Sabe-se que a armadura transversal do trecho b é composta por estribos verticais de dois ramos, diâmetro 6,3 mm, espaçados de 25 cm.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento.

Gk = 45 kN

6 m 2 m

gk = 50 kN/m

b a c

20 cm 18 cm

60 cm

Qk = 80 kN

1 m 2 m 2 m

gk = 60 kN/m

I II III

20 cm

20 cm

60 cm

20 cm

2006 6-42 ufpr/tc405

Ex. 6.3: Determinar, para a viga abaixo esquematizada: a. a máxima carga Qk possível de atuar na viga; e b. a armadura necessária (cm2/m) para os trechos I e II, função da carga Qk definida no

item anterior. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo II, θ = 37°, estribos verticais; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento.

Ex. 6.4: A estrutura indicada na figura é suportada por uma viga inferior de seção retangular. Para atender às exigências arquitetônicas, a viga deve possuir a menor altura possível. Considerando apenas o cisalhamento, determine o valor de hmin (múltiplo de 5 cm) bem como as armaduras transversais (cm2/m) necessárias nos trechos I e II.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de dois ramos; − h = d + 5 cm; − bw = 25 cm; − carga permanente uniformemente distribuída em toda viga (6 m): gk = 50 kN/m; − carga acidental uniformemente distribuída em toda viga (6 m): qk = 30 kN/m;

Qk

5 m 1 m

gk = 50 kN/m

III

20 cm 20 cm

60 cm

2006 6-43 ufpr/tc405

− viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares (6 m); − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (distância de 10 cm do eixo até a face

do apoio); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 6.5: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores de a, b e c de tal forma que no trecho b a armadura para resistir os esforços devidos à força cortante seja a mínima estabelecida pela NBR 6118.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de dois ramos; − altura útil (d) igual a 93% da altura total (h); − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga;

I II I

20 cm 20 cm

1,9 m 2,0 m 1,9 m

viga pilar pilar

2006 6-44 ufpr/tc405

Ex. 6.6: Determinar, para a viga abaixo indicada, o valor máximo da carga Qk (valor característico) que a mesma pode suportar. Verificar a possibilidade de ruptura ao cisalhamento tanto por compressão no concreto como por tração na armadura transversal (estribos).

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de dois ramos, diâmetro 6,3 mm, espaçados de 10 cm; − d = h � 6 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

20 cm

100 cm

a b c

2 m

A

6 m 2 m

gk = 250 kN/m

B

30

15 15

50

seção transversal - cm

60

90

100

20

2006 6-45 ufpr/tc405

Ex. 6.7: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores de x, y e z de tal forma que no trecho y a armadura para resistir os esforços devidos à força cortante seja a mínima estabelecida pela ABNT NBR 6118.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − d = h � 5 cm; − modelo I, estribos verticais; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 30 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento.

20 cm

60 cm

seção transversal cm

20

60

φt = 6,3 mm

B A

1 φ 6,3 mm @ 10 cm

3 m

gk = 50 kN/m

3 m

Qk

2006 6-46 ufpr/tc405

Ex. 6.8: Uma viga de seção retangular com 60 cm de base e 40 cm de altura, está armada transversalmente com estribos verticais de quatro ramos, diâmetro φ = 6,3 mm. Para esta viga, pede-se:

a. a área de armadura transversal por unidade de comprimento (cm2/m) para espaçamento de estribos igual a 10 cm; e

b. o máximo esforço cortante de cálculo que a seção resiste para ρsw igual a 0,2%. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo II, θ = 40°; − d = h � 5 cm; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento.

Ex. 6.9: Determinar, para a viga abaixo representada: a. a altura mínima necessária; e b. o diâmetro e o espaçamento dos estribos verticais necessários para os trechos I e II,

considerada a altura da viga definida no item a. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante);

30 cm

20 cm

70 cm

30 cm

Gk = 120 kN

2 m 6 m

gk = 60 kN/m

x y z

60 cm

40 cm

2006 6-47 ufpr/tc405

− estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5, γc = 1,4 e γs = 1,15);

− modelo I, estribos de dois ramos; − h múltiplo de 5 cm; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 30 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento.

Ex. 6.10: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos dos estribos verticais necessários para os trechos I, II e III. A viga deverá ter a menor altura possível (múltiplo de 5 cm) permitida pela ABNT NBR-6118.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo II, θ = 30°, estribos de dois ramos; − bw = 20 cm; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 40 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

Gk = 300 kN

4 m 1 m

gk = 50 kN/m

III

30 cm 20 cm

h

2006 6-48 ufpr/tc405

Ex. 6.11: Considere que, para a estrutura indicada abaixo, as vigas V1 e V2, de seções retangulares 15 cm x 60 cm, podem ser calculadas, cada uma delas, de uma forma simplificada, como se fossem isoladas e bi-apoiadas. Considerando apenas os esforços de cisalhamento atuantes na estrutura, pede-se:

a. dentre as duas vigas (V1 e V2), qual é a mais crítica em termos da resistência do concreto;

b. a armadura vertical (cm2/m) necessária para a viga V1, na região do apoio correspondente ao pilar P1 (trecho de 1 m compreendido entre o pilar P1 e a projeção vertical do pilar P3); e

c. a armadura vertical (cm2/m) necessária para a viga V2, na região compreendida entre os pilares P1 e P3.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares com 20 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio das vigas e pilares.

Gk1 = 75 kN Gk2 = 350 kN

1 m 4 m 2 m

I II III

2006 6-49 ufpr/tc405

Ex. 6.12: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos dos estribos verticais necessários para os trechos I, II e III.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo II, θ = 30°, estribos de dois ramos; − d = h � 7 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 30 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

100 20

V1 � 15 x 60

gk = 50 kN/m

V2 � 15 x 60

P1

P2 P3 P4

500 480 20

dimensões em cm

2006 6-50 ufpr/tc405

Ex. 6.13: Determinar, para a estrutura abaixo indicada, o máximo valor que a carga permanente uniformemente distribuída gk pode assumir, de tal forma que a viga, de seção retangular vazada, não atinja o estado limite último relativo à força cortante. A viga terá estribos verticais de quatro ramos constituídos por barras de 10 mm espaçadas de 12 cm.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15); − d = h � 6 cm; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk; e − verificações para o modelo I e para o modelo II, θ = 30°.

30

15 15

50

seção transversal - cm

60

90

100

20

30 cm

100 cm

2 m 6 m 2 m

2 m

A

7 m 1 m

gk = 250 kN/m

B

Gk = 500 kN

I II III

20 20 20

100

dimensões em cm

5 m

face do pilar

gk

2006 6-51 ufpr/tc405

Ex. 6.14: Para a viga abaixo representada, pede-se: a. a menor altura possível (múltiplo de 5 cm) que a mesma deva ter, de tal modo que o

estado limite último por ruptura do concreto não seja alcançado; e b. a armadura de cisalhamento (cm2/m) necessária para o trecho I, calculada em função

da altura definida no item a. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais; − bw = 15 cm; − bf = 60 cm; − hf = 12 cm; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 30 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 6.15: Determinar o máximo carregamento gk que a viga abaixo indicada pode suportar. Nos trechos laterais AB e CD os estribos são espaçados a cada 10 cm, enquanto que no trecho central BC o espaçamento é de 25 cm. Em todos os trechos da viga os estribos são verticais de dois ramos, diâmetro 8 mm.

90 650

30 30 30

Gk = 48 kN

680 120

gk = 20 kN/m

dimensões em cm trecho I

A

A

AA

2006 6-52 ufpr/tc405

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

Ex. 6.16: Determinar a menor altura possível (múltiplo de 5 cm) para a viga abaixo representada. Com esta altura definida e considerando que no trecho central (trecho III) a armadura de cisalhamento será constituída por 1 φ 8 mm @ 25 cm (estribos verticais de 2 ramos), determinar:

a. as distâncias correspondentes aos trechos II, III e IV; e b. o espaçamento necessário para estribos verticais de 2 ramos do trecho V, mantido o

diâmetro de 8 mm. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo II, θ = 37°; − todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 40 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e

D A

Gk = 70 kN Gk = 70 kN

2 m

gk

B C 2 m 2 m

1 φ 8 mm @ 10 cm

1 φ 8 mm @ 25 cm

1 φ 8 mm @ 10 cm

15

10 10

30

seção transversal cm

35

60

65

15

2006 6-53 ufpr/tc405

− todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento.

Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

Ex. 6.17: Sobre a viga AB, abaixo representada, corre um carrinho cujo peso total corresponde a 400 kN. Desconsiderando o peso próprio desta viga e sabendo-se que o carrinho corre a partir da posição 1 (posição limite), pede-se:

a. a menor altura (h) possível para a viga (adotar valor múltiplo de 5 cm); e b. a armadura vertical (cm2/m) necessária para resistir aos esforços de cisalhamento na

região próxima ao apoio A. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada em A e B; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 40 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − para a definição da armadura de cisalhamento próxima ao apoio A, verificar apenas as

posições 1 e 2. Indicar, ao final dos cálculos, qual a posição do carrinho que definiu a armadura de cisalhamento.

1,0 m 2,0 m 2,5 m 2,5 m

A B V I II IV III

50 kN 100 kN

100 kN

20 kN/m

40

12

h = d + 5 cm

12 seção transversal

cm

2006 6-54 ufpr/tc405

Ex. 6.18: Determinar a armadura de cisalhamento (cm2/m) do trecho I (a direita do apoio do balanço) da viga abaixo representada.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais; − h = 100 cm; − d = 94 cm; − bw = 25 cm; − todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 40 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − obrigatória a verificação da resistência do concreto aos esforços de cisalhamento.

h

20 cm

seção transversal

B A

posição 1 (limite do carrinho)

7,6 m

viga

400 kN carrinho

8,0 m

0,7 m

1,0 m

1,2 m

posição 2

eixo do pilar (apoio da viga)

2006 6-55 ufpr/tc405

Ex. 6.19: Determinar o máximo valor da carga Gk (valor característico) que a viga abaixo representada pode suportar. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 30 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 10 cm.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de 2 ramos; − h = 60 cm; − d = 55 cm; − bw = 20 cm; − todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

1,5 m 7,0 m 2,0 m

100 kN 500 kN 500 kN

1,5 m

10 kN/m

II I III

2006 6-56 ufpr/tc405

Ex. 6.20: A viga da figura abaixo representada deve transferir a carga do pilar que nasce na ponta do balanço para as fundações (apoios A e B). Nestas condições, pede-se:

a. a menor altura h possível para a viga (utilizar valor múltiplo de 5 cm); b. o diâmetro e os espaçamentos necessários para os estribos do trecho I e do trecho II,

para a altura estabelecida no item a. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de 2 ramos; − d = h � 6 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

2,0 m

Gk Gk

2,0 m 2,0 m 2,0 m

0,3125 Gk 1,375 Gk 0,3125 Gk

I II III

Gk = 400 kN

1 m 4 m

gk = 20 kN/m

I II

20 cm 30 cm

h

20 cm

2006 6-57 ufpr/tc405

Ex. 6.21: Para a viga abaixo representada, pede-se: a. o menor valor possível (múltiplo de 5 cm) para a base da viga; b. a definição dos trechos I, II e III (valores de x, y e z), de tal forma que o trecho II tenha

a menor taxa de armadura transversal possível, considerando o bw estabelecido no item a; e

c. o espaçamento dos estribos no trecho I, considerando o bw estabelecido no item a. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de 2 ramos, diâmetro 10 mm; − h = 100 cm; − d = h � 6 cm; − viga simplesmente apoiada em A e B; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 30 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 6.22: Definir, para a viga abaixo representada, o máximo carregamento permanente gk (valor característico) possível. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 10 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 30 cm.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50.

30 cm

100 cm

G2k = 200 kN

1 m

G1k = 100 kN

A

4 m 1 m

gk = 80 kN/m B

trecho I (x)

trecho III (z)

trecho II (y)

4 m

G1k = 100 kN

2006 6-58 ufpr/tc405

Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo II, θ = 30°, estribos verticais de 2 ramos; − d = h - 6 cm; − viga simplesmente apoiada em A e B; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 6.23: A viga ABC indicada na figura abaixo tem altura constante por trechos. No trecho AB, a altura é de 60 cm, enquanto que no trecho BC a altura é de 40 cm. Para esta viga, pede-se:

a. o máximo valor da carga concentrada Gk (valor característico) que a viga pode suportar; e

b. a armadura transversal (cm2/m) necessária no trecho AB. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de 2 ramos; − bw = 20 cm; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada em A e C; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e C); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento.

12

20

40

30

48

10

seção transversal cm

20 cm

gk 3gk

I II I

3 m 3 m 3 m

A B

2006 6-59 ufpr/tc405

Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

Ex. 6.24: Determinar o espaçamento da armadura de cisalhamento do trecho II (esquerda do apoio B) da viga abaixo indicada.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de 2 ramos, diâmetro 10 mm; − d = h � 6 cm; − viga simplesmente apoiada em A e B; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 40 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 6.25: Determinar, para a viga abaixo representada, qual o máximo valor que a carga acidental qk (valor característico) pode assumir. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 10 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 25 cm.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50.

2,3 m 2,3 m

20 cm

A C B

1,20 m

60 cm 40 cm

gk = 60 kN/m

Gk

20 cm

Gk = 430 kN

8 m

A

2 m 2 m

B II

gk = 30 kN/m

seção transversal cm

75

25

15

85

2006 6-60 ufpr/tc405

Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de 2 ramos; − d = h � 6 cm; − viga simplesmente apoiada em A e B; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − peso próprio da viga incluído na carga gk.

Ex. 6.26: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos necessários para a armadura de cisalhamento. Considerar os trechos em balanços mais três trechos iguais para o vão central. As reações (cargas permanentes) da laje L1 e das vigas V1 e V2 correspondem a (valores característicos):

− laje L1: 22 kN/m; − viga V1: 120 kN; e − viga V2: 55kN. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais de 2 ramos; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada em A e B; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B);

12

20

40

30

48

10

seção transversal cm

20 cm

1,4 m 5,6 m

I II

qk

gk = 15 kN/m

Gk = 100 kN

A B

2006 6-61 ufpr/tc405

− todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento.

Obs: − avaliar o peso próprio da viga e considerar no carregamento; − somente a reação da laje consiste em carga aplicada na face superior da viga (face

oposta a da reação de apoio).

Ex. 6.27: Determinar o máximo valor da carga Qk que a viga abaixo indicada pode suportar. Nos trechos próximos aos apoios os estribos são espaçados de 10 cm, enquanto que no trecho central o espaçamento é de 25 cm. Em todos os trechos da viga os estribos são verticais de quatro ramos, diâmetro 8 mm.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I; − d = h � 5 cm; − viga simplesmente apoiada em pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − a carga distribuída corresponde ao peso próprio da viga (peso específico igual a

25 kN/m3).

20

60

20

380

20 20

100

A B

20 x 40 20 x 60 V1 L1 V2

dimensões em cm

2006 6-62 ufpr/tc405

Ex. 6.28: Determinara, para a viga abaixo representada, o máximo valor do vão l. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I; − d = 90 cm − viga simplesmente apoiada em A e B; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 30 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

20 60 20

20

70

seção transversal - cm

160

20

1 φ 8 mm @ 10 cm

2 m 2 m 2 m

gk = peso próprio

Qk

A B

1 φ 8 mm @ 25 cm

1 φ 8 mm @ 10 cm

2006 6-63 ufpr/tc405

Ex. 6.29: Determinara, para a viga abaixo representada: a. o menor valor possível para o ângulo θ (múltiplo de 5º), de tal forma que a viga possa

resistir os esforços devidos à força cortante; e b. a armadura necessária (cm2/m) nos trechos I, II e III, considerando o valor de θ

estabelecido no item a. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo II, estribos verticais de 2 ramos; − altura útil (d) igual a 90% da altura total (h); − viga simplesmente apoiada nos pilares; − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga.

30 cm

100 cm

30

15 15

50

seção transversal cm

60

90

100

20

1 m

Gk = 500 kN

A

l - 2 m 1 m

gk = 50 kN/m B

Gk = 500 kN

l

2006 6-64 ufpr/tc405

Ex. 6.30: A viga ABCD da estrutura abaixo representada receberá a carga de n pavimentos. Cada pavimento transmite uma carga Pd,i = 400 kN (valor de cálculo) a cada uma das colunas verticais. O carregamento total que chega aos pontos B e C da viga é a soma das cargas de todos os pavimentos. Pede-se:

a. o número máximo de pavimentos (n) que a viga ABCD é capaz de suportar; e b. a armadura transversal (cm2/m) no trecho AB da referida viga. Dados: − concreto: C30; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − modelo I, estribos verticais; − altura útil (d) igual a altura total (h) menos 10 cm; − viga simplesmente apoiada nos pilares (apoios A e D); − vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; − pilares suportes da viga com 40 cm de largura; − cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e − todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução

no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: − desconsiderar o peso próprio da viga; e − Pd,i (valor de cálculo) leva em consideração os coeficientes de segurança relativos às

combinações de ações (carga permanente e carga acidental).

20 cm

80 cm

seção transversal cm

15

80

gk = 85 kN/m

I II III

6 m 2 m 2 m

A B

3,5 m 3 m 3,5 m

2006 6-65 ufpr/tc405

A D B C

2

1

n-1

n

3 A

B C

D

40 cm 40 cm

80 cm 500 cm 180 cm

40 cm

120 cm Pd,total Pd,total

Pd,3

Pd,2

Pd,1

Pd,n

Pd,total = ∑Pd,i seção

transversal

ESQUEMA ESTRUTURAL

Viga - ABCD

100 cm 10 cm

2006 7-1 ufpr/tc405

7 7ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO

7.1 Tipos de aderência A aderência entre o concreto e o aço pode ser obtida: − por adesão (Figura 7.1a); − por atrito (Figura 7.1b); e − mecanicamente (Figura 7.1c)

Figura 7.1 - Tipos de aderência

A aderência mecânica, conseguida através de mossas ou saliências, é a mais eficiente de todas.

A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras para concreto armado é feita pelo coeficiente de conformação superficial η, através ensaio estabelecido na ABNT NBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na ABNT NBR 7480 são estabelecidos em função da categoria do aço. Para a ABNT NBR 6118, a conformação superficial é medida pelo coeficiente η1. Os valores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo de superfície lateral das barras. As relações entre os coeficientes η e η1, apresentadas pela ABNT NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela 7.11.

Superfície η1 η Lisa (CA-25) 1,00 ≥ 1,0

Entalhada (CA-60) 1,40 ≥ 1,5 Nervurada (CA-50) 2,25 ≥ 1,5

Tabela 7.1 - Relação entre η e η1

7.2 Ancoragem de barras tracionadas Seja a Figura 7.2 onde é mostrada a transferência da força normal Rs atuante na barra de

aço para o bloco de concreto. Esta transferência de força é possível devido ao desenvolvimento de tensões tangenciais de aderência τb,x entre a armadura e o concreto.

1 A ABNT NBR 6118, item 8.3.2, define o coeficiente de conformação superficial da ABNT NBR 7480 como sendo ηb. As barras nervuradas são, também, referidas como de alta aderência.

concreto

aço

a) b) c)

2006 7-2 ufpr/tc405

Figura 7.2 - Transferência de força normal

Fazendo o equilíbrio de forças atuantes no seguimento de barra dx, tem-se: )d(AdxuA x,sx,ssx,bx,ss σ+σ=τ+σ

x,ssx,b dAdxu σ=τ

x,s

2

x,b d4

dx σπφ

=τφπ

dxd

4x,s

x,bσ

⋅φ

=τ

x,bx,s 4

dxd

τ⋅φ

=σ

Equação 7.1

A solução da Equação 7.1 só é possível se for conhecida a variação de τb,x ao longo de x. A solução simplificada (usada em projeto com a introdução de coeficientes de segurança adequados) consiste em adotar para τb,x um valor constante, admitindo as tensões de aderência uniformemente distribuídas ao longo do trecho da barra situado dentro do bloco de concreto (Figura 7.3). Nestas condições tem-se:

unif,bx,s 4

dxd

τ⋅φ

=σ

dx4d unif,bx,s

τ⋅

φ=σ

∫∫

τ⋅

φ=σ dx4d unif,bx,s

x4unif,bx,s

τ⋅

φ=σ Equação 7.2

dx

φ

σs = Rs / As τb,x

σs,x

x

Rs

τb,x

dx tensões tangenciais de aderência

tensões normais na barra

As = πφ2/4 u = πφ

φ

σs,x + dσs,x

2006 7-3 ufpr/tc405

A Equação 7.2 corresponde a uma reta e a Figura 7.3 mostra o esquema simplificado de transferência de força atuante na barra para o bloco de concreto (τb,unif é constante e σs,x varia linearmente). Em se tratando de valores de projeto (valores de cálculo), o valor da tensão normal σs deve ficar limita a fyd e a força Rs assume o valor de cálculo Rsd.

Figura 7.3 - Comprimento de ancoragem - valores de projeto

Do exposto na Figura 7.3, torna-se possível determinar o comprimento de ancoragem necessário lb,nec para tornar nula, no final da barra, a tensão normal nela atuante, ou seja, o comprimento de ancoragem necessário para que a força atuante na barra possa ser transferida para o concreto. Do diagrama de tensões normais mostrado na Figura 7.3 pode-se estabelecer:

s

sdsx,snec,b

x,s

ARx

00x

=σ=σ⇒=

=σ⇒=

l

Introduzindo os valores de lb,nec e σs na Equação 7.2, tem-se:

nec,bunif,bs4

l

τ⋅

φ=σ

unif,b

snec,b 4 τ

σ⋅

φ=l Equação 7.3

7.3 Influência da posição da barra A qualidade da aderência varia em função da posição da barra. Barras horizontais situadas

na parte superior de uma viga ou de uma laje têm qualidade de aderência inferior àquelas colocadas na parte inferior. Devido à segregação do concreto fresco, ocorre um acúmulo de água sob as barras horizontais superiores, conforme mostrado na Figura 7.4. Posteriormente, sendo esta água absorvida pelo concreto, vazios serão formados na parte inferior das barras superiores diminuindo, conseqüentemente, a qualidade da aderência. A sedimentação do cimento que ocorre

antes do início da pega e a exudação do excesso de água de amassamento também contribuem para a pior qualidade de aderência do concreto situado na parte superior de uma viga ou laje (Figura 7.4).

Figura 7.4 - Qualidade da aderência - armadura horizontal superior

φ

σs = (Rsd / As) ≤ fyd

τb,unif

x

Rs = Rsd

τb,unif

lb,nec tensões tangenciais de aderência

tensões normais na barra

σs,x = (4/φ) (τb,unif) x

água acumulada sob a barra

água de exudação

armadura superior

concreto

2006 7-4 ufpr/tc405

A ABNT NBR 6118, item 9.3.1, considera os trechos de barras em boa situação de aderência quando estiverem em uma das posições seguintes:

a. com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; b. horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que

(Figura 7.5): − para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima

da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima; − para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo

da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem

ser considerados em má situação quanto à aderência.

Figura 7.5 - Situações de boa e má aderência para armaduras horizontais

Em termos gerais pode-se dizer que as armaduras negativas (armaduras horizontais superiores) de vigas e lajes com altura superior a 30 cm então em situações de má aderência. As armaduras positivas de lajes e vigas (armaduras horizontais inferiores), bem como as armaduras de pilares (armaduras verticais), de modo geral, estão em situação de boa aderência.

Figura 7.6 - Armaduras em situações de boa e má aderência

7.4 Resistência de aderência de cálculo A ABNT NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistência de aderência de cálculo entre

armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:

ctd321bd ff ηηη= Equação 7.4 sendo:

c

inf,ctkctd

ff

γ=

boa aderência

má aderência

boa

ader

ênci

a

pilares vigas ou lajes com h > 30 cm

(h ≤ 30 cm ⇒ só boa aderência)

h > 30 cm

h < 60 cm boa aderência

má aderência

boa aderência

má aderência

30 cm

30 cm

h ≥ 60 cm

2006 7-5 ufpr/tc405

=ηaderência alta ou nervuradas barras25,2

entalhadas barras40,1lisas barras00,1

1

=ηaderência má de situações70,0aderência boa de situações00,1

2

=φ≤φ

=ηmm 40 92,0mm 32 00,1

3

Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do concreto característica, é permitido pela ABNT NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões:

mct,supctk,

mct,infctk,

3 2ckmct,

f 3,1fMPa em valoresf 0,7f

f 0,3f

==

= Equação 7.5

Sendo fckj ≥ 7MPa, as expressões da Equação 7.5 podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias.

Combinando a Equação 7.4 e a Equação 7.5, tem-se: 3 2

ck3 2

ckmct,infctk, f 0,21f 0,37,0f 0,7f =

×==

c

3 2ck

c

inf,ctkctd

f 0,21ff

γ=

γ=

γηηη=ηηη=

c

3 2ck

321ctd321bdf 0,21

ff

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη= Equação 7.6

Os valores de γc estão mostrados na Tabela [3.7] e para o ELU valem:

=γisexcepciona scombinaçõe20,1

construção de ou especiais scombinaçõe20,1normais scombinaçõe40,1

c

Exemplo 7.1: Determinar o valor de fbd para a região superior de uma viga de concreto armado que terá 70 cm da altura.

Considerar: � concreto: C25; � barra nervurada: φ 40 mm; e � combinação normal de carregamento - ELU. Solução: O valor de fbd é determinado pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor

2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de viga de 70 cm (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 0,92 que corresponde a barra de diâmetro 40 mm; e para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinação de normal de carregamento - ELU.

a. Dados C25MPa 25fck =

nervurada barra25,21 =η

aderência má de situação70,02 =η

2006 7-6 ufpr/tc405

mm 40 92,03 =φ=η

normal combinação - ELU40,1c =γ

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

MPa ,861254,1

92,07,025,221,0f 3 2bd =

×××=

MPa ,861fbd = ◄

Os valores de fbd para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.2.

fbd φ ≤ 32 mm (boa aderência) γc = 1,40

barras concreto lisas entalhadas nervuradas

C20 1,11 MPa 1,55 MPa 2,49 MPa C25 1,28 MPa 1,80 MPa 2,89 MPa C30 1,45 MPa 2,03 MPa 3,26 MPa C35 1,60 MPa 2,25 MPa 3,61 MPa C40 1,75 MPa 2,46 MPa 3,95 MPa C45 1,90 MPa 2,66 MPa 4,27 MPa C50 2,04 MPa 2,85 MPa 4,58 MPa

Tabela 7.2 - Valores de fbd1

7.5 Comprimento de ancoragem - valores de cálculo Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras, a serem usados em

projetos de estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 7.3 substituindo τb,unif por fbd, de tal forma que:

bd

snec,b f4

σ⋅

φ=l Equação 7.7

No caso particular em que a tensão normal σs corresponde ao valor limite de cálculo fyd, tem-se:

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l Equação 7.8

A ABNT NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de lb da Equação 7.8 como sendo o comprimento de ancoragem básico, necessário para ancorar a força limite As fyd, atuante na barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd.

Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,nec da Equação 7.7) será sempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico (lb da Equação 7.8) pois σs ≤ fyd.

ABNT NBR 6118: �9.4.2.4 Comprimento de ancoragem básico Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd, conforme item 9.3.2.1.�

1 Para situação de má aderência, multiplicar os valores da tabela por 0,7.

2006 7-7 ufpr/tc405

O comprimento de ancoragem básico é dado por:

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

9.4.2.5 Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

min,bef,s

cal,sbnec,b A

Alll ≥α=

sendo: α = 1,0 para barras sem gancho; α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal

ao do gancho ≥ 3φ; α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e

gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; lb calculado conforme 9.4.2.4; lb,min o maior valor entre 0,3lb, 10φ e 100 mm

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário.�

Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário apresentado pelo item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela Equação 7.7. No entanto, os dois modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a seguir.

A Equação 7.7 decorre da Figura 7.3 onde é mostrado que:

ef,s

sd

s

sds A

RAR

==σ

onde As representa a área da seção transversal efetiva (As,ef) da barra tracionada pela força Rsd. Desta forma, a Equação 7.7 pode ser escrita

ef,s

sd

bdbd

snec,b A

Rf1

4f4⋅⋅

φ=

σ⋅

φ=l

Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão, para a força Rsd vale:

ydcal,ssd fAR ×= onde As,cal representa a área a ser calculada (As,cal ≤ As,ef), para que a tensão σs atuante na barra tracionada pela força Rsd resulte igual a fyd. Desta forma, tem-se:

ef,s

ydcal,s

bdef,s

sd

bdnec,b A

fAf1

4AR

f1

4×

⋅⋅φ

=⋅⋅φ

=l

ou ainda:

ef,s

cal,sb

ef,s

cal,s

bd

ydnec,b A

AAA

ff

4ll =⋅⋅

φ= Equação 7.9

A Equação 7.9 é, portanto, a mesma apresentada pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.5, a menos do fator α.

Desta forma, o valor de lb,nec pode ser calculado por:

φ≥α=cm10

103,0

maxAA b

ef,s

cal,sbnec,b

l

ll Equação 7.10

A combinação da Equação 7.7 com a Equação 7.9, resulta em:

ef,s

cal,s

bd

yd

bd

snec,b A

Aff

4f4××

φ=

σ×

φ=l

de tal forma que, a tensão atuante na barra tracionada fica definida por:

2006 7-8 ufpr/tc405

ydef,s

cal,ss f

AA

×=σ Equação 7.11

Exemplo 7.2: Determinar o valor do comprimento de ancoragem básico das barras de armadura positiva (armadura inferior) a ser usado em vigas de concreto armado a serem construídas com concreto classe C20 e aço CA-50. Considerar apenas barras nervuradas com diâmetros inferiores a 40 mm e combinações normais de carregamento - ELU.

Solução: O valor de lb é determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU.

a. Dados C20MPa 20fck =

CA50MPa 500fyk =

nervurada barra25,21 =η

aderência boa de situação00,12 =η

mm 40 00,13 <φ=η

normal combinação - ELU40,1c =γ

normal combinação - ELU15,1s =γ

MPa 4351,15500f

fs

ykyd ==

γ=

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

MPa 2,49204,1

0,10,125,221,0f 3 2bd =

×××=

c. lb

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=⋅φ

= 4449,2

4354bl

φ= 44bl ◄

Os valores de lb para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.3.

2006 7-9 ufpr/tc405

lb γc = 1,40 γs = 1,15

φ ≤ 32 mm (boa aderência) CA-50-

Barras concreto Lisas entalhadas nervuradas

C20 98φ 70φ 44φ C25 85φ 61φ 38φ C30 75φ 54φ 33φ C35 68φ 48φ 30φ C40 62φ 44φ 28φ C45 57φ 41φ 25φ C50 53φ 38φ 24φ

Tabela 7.3 - Comprimento de ancoragem básico - CA-501

7.6 Redução do comprimento de ancoragem 7.6.1 Ganchos das armaduras de tração

Uma das maneiras permitida pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de ganchos em armaduras tracionadas (Figura 7.7).

Figura 7.7 � Tipos de ganchos

De acordo com o item 9.4.2.3 da ABNT NBR 6118, os ganchos podem ser: a. semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ (Figura 7.7.a) ; b. em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ

(Figura 7.7.b) ; e c. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ (Figura 7.7.c). Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração

deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 7.4.

Tipo de Aço Bitola (mm) CA-25 CA-50 CA-60

<20 4φ 5φ 6φ ≥20 5φ 8φ -

Tabela 7.4 � Diâmetro dos pinos de dobramento

É importante observar que o uso de ganchos em barras tracionadas é bastante restrito. A necessária cobertura de concreto (3φ), no plano normal ao do gancho, praticamente, só ocorre nas extremidades de vigas que terminam em vigas, como mostrado na Figura 7.8. O gancho da armadura da viga V2, tem, dentro da viga V1, cobertura lateral de concreto maior que 3φ. Para outras barras da viga V1, posicionadas fora do encontro das vigas, torna-se mais difícil a obtenção do cobrimento exigido pela ABNT NBR 6118.

1 Para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7.

2φ

D φ

a)

4φ

D φ

b)

8φ

D φ

c)

2006 7-10 ufpr/tc405

Figura 7.8 � Ganchos em extremidade de viga

7.6.2 Barras transversais soldadas Outra maneira permitida pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de

ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas (Figura 7.9).

Figura 7.9 � Ancoragem com barras transversais soldadas

De acordo com o item 9.4.2.2 da ABNT NBR 6118, a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas poderá ser feita desde que:

a. o diâmetro da barra soldada seja maior ou igual a 60% do diâmetro da barra ancorada (φt ≥ 0,6 φ);

b. a distância da barra transversal ao ponto de início da ancoragem seja maior ou igual 5 vezes o diâmetro da barra ancorada (≥ 5 φ); e

c. a resistência ao cisalhamento da solda seja maior ou igual a 30% da resistência da barra ancorada (0,3 As fyd).

7.7 Diagrama Rsd Conforme mostrada na Figura 7.3, as armaduras necessitam, em sua parte final, de um

determinado comprimento para se fixarem (ancorarem) dentro da massa de concreto. Desta forma o diagrama de tensões normais possível de ser desenvolvido em uma barra de aço destinada a armadura para concreto armado é o mostrado na Figura 7.10.

V2

V1

V2

V1

≥ 3φ

lb,nec

≥ 5φ

φ

lb,nec

≥ 5φ

φ

lb,nec

≥ 5φ

φ

φt

lb,nec

≥ 5φ

φ

2006 7-11 ufpr/tc405

Figura 7.10 - Diagrama de tensões normais em barras de aço para concreto armado

Deve ser observado na Figura 7.10 que a tensão normal na barra σs só pode atingir o valor máximo fyd se houver espaço suficiente para ancoragem com o desenvolvimento do comprimento de ancoragem básico lb (lado direito do diagrama). Quando o espaço necessário para a ancoragem da barra é restrito (lado esquerdo do diagrama), onde somente o comprimento de ancoragem necessário lb,nec pode ser desenvolvido, a tensão normal σs é menor que fyd.

Se as ordenadas mostradas no diagrama de tensões da Figura 7.10 forem multiplicas por As (área da seção transversal da barra) chega-se ao diagrama de força resistente Rsd

1, como mostrado na Figura 7.11 (trocou-se tensão por força).

Figura 7.11 - Diagrama Rsd (esforço resistente de cálculo)

1 A força resistente Rsd é a mesma força mostrada na Figura [5.14] e na Figura 7.3.

σs

lb,nec lb

fyd

início da ancoragem

As

Rsd = As σs

lb,nec lb

Rsd = As fyd

início da ancoragem

As

2006 7-12 ufpr/tc405

Exemplo 7.3: Determinar o diagrama de força resistente de cálculo Rsd para as armaduras negativas (tracionadas) da viga abaixo indicada.

Considerar: � concreto: C20; � barra nervurada: CA-50; � combinação normal de carregamento - ELU; e � σs = fyd (máximo aproveitamento das barras).

Solução: O valor de lb deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. Os diagramas individuais Rsd (N1, N2 e N3) são obtidos de módulo análogo ao apresentado na Figura 7.11 usando somente valores lb na horizontal e As fyd na vertical. Por se tratar de armadura negativa, os valores das forças deverão ser posicionados "para cima", contrário ao apresentado na Figura 7.11 que corresponde a armaduras positivas ("para baixo"). O diagrama final Rsd corresponde à somatória dos diagramas individuais.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C20kN/cm 2MPa 20f 2

ck ==

CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk ==

nervurada barra25,21 =η

aderência má de situação70,02 =η

mm 40 00,13 <φ=η

normal combinação - ELU40,1c =γ

normal combinação - ELU15,1s =γ

2

s

ykyd kN/cm 5,43MPa 435

1,15500f

f ===γ

=

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

23 2bd kN/cm 0,174MPa 1,7420

4,10,17,025,221,0f ==

×××=

N1 φ 12,5 � 280 cm

2N2 φ 16 � 510 cm

2N3 φ 16 � 620 cm - 2ª cam

A

A N3

N2

N1

Corte AA

2006 7-13 ufpr/tc405

c. lb

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=⋅φ

= 63174,0

5,434bl

cm100mm10081663mm 16cm80mm5,7875,1263mm 12,5

b

b

≈=×=⇒=φ≈=×=⇒=φ

l

l

d. Diagramas individuais das forças resistentes de cálculo d.1. φ 12,5 mm, lb = 80 cm

222

s cm ,2314

1,25 4

A =π

=πφ

=

kN 53,543,5,231fAR ydssd =×==

d.2. φ 16 mm, lb = 100 cm

222

s cm ,0124

1,6 4

A =π

=πφ

=

kN 87,443,52,01fAR ydssd =×==

e. Diagrama Rsd

80 cm

53,5 kN

87,4 kN

100 cm

403,1 kN 349,6 kN

174,8 kN

0 kN Rsd

100 cm

2N2 2 x 87,4 = 174,8 kN

100 cm

2 x 87,4 = 174,8 kN 2N3

80 cm

1 x 53,5 = 53,5 kN N1

2006 7-14 ufpr/tc405

7.8 Diagrama MRd1 Seja a Figura 7.121, onde são mostradas as solicitações e resistências atuantes em um

trecho de viga de concreto armado de seção retangular sem armadura de compressão.

Figura 7.12 - Esforços e solicitações em vigas de concreto armado

Por se tratar de seção retangular sem armadura de compressão, para a Figura 7.12, são válidas as seguintes expressões:

1cdcd RR =

1RdRd MM = Da Figura 7.12 também valem as seguintes expressões:

cdc f85,0=σ

2ydz −=

de tal forma que: sd1cd RR =

ybR wc1cd σ= ybf85,0R wcd1cd =

sssd AR σ= zRzRM sd1cd1Rd ==

Portanto: sswcd Aybf85,0 σ=

cd

s

w

s

fbA

85,01y

σ⋅⋅=

2ydz −=

σ⋅⋅−=

cd

s

w

s

fbA

7,11dz

σ⋅⋅−=

cd

s

w

s

fdbA

7,111dz

σ⋅⋅−==β

cd

s

w

sz fdb

A7,111

dz Equação 7.12

Introduzindo o valor de βz na equação de MRd1, tem-se:

1 Esta Figura corresponde à Figura [5.14] do Capítulo [5].

As

∆l εs

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitação de cálculo

x

εc σc

Rsd

MRd = MRd1 d

bw

Rcd = Rcd1

z h 1

y = 0,8 x

2006 7-15 ufpr/tc405

( ) ( )( )dAdRzRM zsszsdsd1Rd βσ=β==

dAM zss1Rd βσ= Equação 7.13

Admitindo que εyd ≤ εs ≤ 10�1, do diagrama tensão-deformação do aço (Figura [4.5]) pode-se estabelecer:

yds f=σ

⋅⋅−==β

cd

yd

w

sz f

fdb

A7,111

dz Equação 7.14

dfAM zyds1Rd β= Equação 7.15

A Equação 7.13 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas com lb,nec (σs < fyd) e a Equação 7.15 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas com lb (σs = fyd). Observar, também, que a Equação 7.13 e a Equação 7.15 estão contidas na Equação [5.18] usada para a determinação de armadura longitudinal de vigas de seção retangular sem armadura de compressão.

O diagrama de momento fletor resistente MRd1 de uma barra, definido pela Equação 7.13 e pela Equação 7.15, é análogo ao diagrama da Figura 7.11, com ordenada As σs βz d para ancoragem lb,nec (σs < fyd) e ordenada As fyd βz d para ancoragem lb (σs = fyd), como mostrado na Figura 7.13. De modo simplificado pode-se dizer que o digrama de momento fletor resistente MRd1 é obtido do diagrama Rsd multiplicando suas ordenadas pelo braço de alavanca z (βz d).

Figura 7.13 - Diagrama MRd1 (momento resistente de cálculo)

Exemplo 7.4: Determinar o diagrama de momento resistente de cálculo MRd1 para as armaduras positivas (tracionadas) da viga abaixo indicada. A viga tem 20 cm de base e 50 cm de altura útil.

Considerar: � concreto: C25; � barra nervurada: CA-50; � combinação normal de carregamento - ELU; e � σs = fyd (máximo aproveitamento das barras).

1 Esta condição para εs corresponde aos domínios 2 e 3 da Figura [5.4]. Corresponde, também, às vigas subarmadas

(dúteis, se βx observar os limites estabelecidos pela Equação [5.3]).

d

MRd1 = Rsd z = As σs βz d

lb,nec lb

MRd1 = Rsd z = As fyd βz d

início da ancoragem

As

2006 7-16 ufpr/tc405

Solução: O valor de lb deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. O diagrama MRd1 é obtido de módulo análogo ao diagrama Rsd do Exemplo 7.3, com o uso da Equação 7.15 para determinação dos valores dos momentos resistentes de cálculo. Por se tratar de armadura positiva, os valores dos momentos deverão ser posicionados "para baixo", como apresentado na Figura 7.13.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C20kN/cm 2,5MPa 25f 2

ck ==

CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk ==

nervurada barra25,21 =η

aderência boa de situação00,12 =η

mm 40 00,13 <φ=η

normal combinação - ELU40,1c =γ

normal combinação - ELU15,1s =γ

viga da larguracm 20bw =

viga da útil alturacm 50d =

barra da diâmetrocm 1,6 mm 16 ==φ

2

c

ckcd kN/cm 79,1MPa 17,9

1,425ff ===

γ=

2

s

ykyd kN/cm 5,43MPa 435

1,15500f

f ===γ

=

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

23 2bd kN/cm 0,289MPa 2,8925

4,10,10,125,221,0f ==

×××=

210

A

A B

B N1 φ 16 � 350 cm

2N2 φ 16 � 750 cm

2N3 φ 16 � 880 cm

N3

BB AA

N3

N2

2006 7-17 ufpr/tc405

c. lb

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=⋅φ

= 38289,0

5,434bl

cm 60mm 608163838b ≈=×=φ=l

d. βz d.1. 2 φ 16 mm (seção BB)

222

s cm 02,44

1,6 24

2A =π

=πφ

=

⋅⋅−=β

cd

yd

w

sz f

fdb

A7,111

943,079,1

5,435020

02,47,111z =

⋅×

⋅−=β

d.2. 4 φ 16 mm (seção AA)

222

s cm 04,84

1,6 44

4A =π

=πφ

=

885,079,1

5,435020

04,87,111z =

⋅×

⋅−=β

d.3. 5 φ 16 mm (seção situada entre 2,1 m e 5,6 m da face interna do pilar esquerdo)

222

s cm 05,104

1,6 54

5A =π

=πφ

=

856,079,1

5,435020

05,107,111z =

⋅×

⋅−=β

d.4. Adoção de um único valor para βz Deve ser observado, neste exemplo, que para uma variação de armadura de

150% (de 2 barras para 5 barras) a variação de βz foi de -9% (de 0,943 para 0,856). Com o objetivo de não perder a linearidade entre os valores de MRd1 para as

diversas combinações de barras, é prática comum no detalhamento de vigas de concreto armado adotar, independentemente do número de barras atuantes na seção transversal de qualquer trecho de viga, um único valor para o braço de alavanca z, ou seja adotar um único βz (z = βz d). Para que as condições de segurança não sejam violadas, adota-se o menor βz (menor braço de alavanca, menor fletor resistente MRd1) que justamente correspondente à seção transversal com maior número de barras, ou seja adota-se o βz correspondente à seção transversal mais solicitada (onde atua o máximo momento fletor solicitante de cálculo MSd). Desta forma, o modo simplificado de determinar o valor de βz é através do uso da equação:

⋅⋅−=β

cd

yd

w

max,sz f

fdb

A7,111

165cm05,10A 2max,s φ=

856,079,1

5,435020

05,107,111z =

⋅×

⋅−=β

856,0z =β e. Diagrama MRd1 para uma barra de 16 mm

222

s cm 01,24

1,6 4

A =π

=πφ

=

500,85643,501,2dfAM zyds1Rd ×××=β=

37 kNm

60 cm

2006 7-18 ufpr/tc405

kNm 73kNcm 3742M 1Rd ==

Existindo barras com bitolas diferentes, para cada uma delas deverá ser desenvolvido o diagrama MRd1.

f. Diagrama MRd1

g. Condição de segurança

1 x 37 = 37 kNm

0 kNm

MRd1

60 cm

60 cm

60 cm

2 x 37 = 74 kNm

2 x 37 = 74 kNm

N1

2N2

2N3

74 kNm

185 kNm

148 kNm

MRd1

MSd,desl

2006 7-19 ufpr/tc405

A viga será segura se, em qualquer seção transversal, for verificada a condição ( )dddesl,Sd1Rd SRMM ≥≥ Além do exposto neste exemplo, outras condições para detalhamento de armadura

longitudinal de vigas devem ser observadas, como as estabelecidas no item 18.3.2.3 da ABNT NBR 6118.

7.9 Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd1 7.9.1 Vãos e apoios intermediários de vigas

Segundo a ABNT NBR 6118, item 18.3.2.3.1, o diagrama MRd1, nos pontos onde a tensão normal atuante nas barras é nula (pontas das barras), deve ficar afastado de 10 φ (diâmetro da barra que esta sendo ancorada) do diagrama MSd,desl, (diagrama de momentos fletores solicitantes, deslocado) como mostrado na Figura 7.14.

Figura 7.14 � Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd1

Exemplo 7.5: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura.

Dados: � concreto: C20; e � barra nervurada: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais;

al

lb

barra m + 1

barra m + 2

barra m

lb

barra m � diâmetro φ

barra m + 1 � diâmetro φ

≥ 10 φ

lb lb barra n

barra n + 1

início da ancoragem

final da ancoragem

MSd,desl

MSd

MRd1 barra n

barra n � diâmetro φ

≥ 10 φ ≥ 10 φ

≥ 10 φ ≥ 10 φ

2006 7-20 ufpr/tc405

� viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente tttttttapoiada nos pilares;

- pilares com 20 cm de largura; � estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4,

tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); - al = d; � armadura transversal (estribos): 6,3 mm; � cobrimento nominal: 3 cm; e � dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: � peso próprio da viga incluído na carga gk.

Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor

positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na

Figura 7.14. a. Diagrama MSd

b. Dados C20MPa 20fck =

normal combinação - ELU40,1c =γ

2

c

ckcd kN/cm43,1MPa3,14

1,420f

f ===γ

=

nervurada barra25,21 =η

aderência boa de situação00,12 =η

mm 40 00,13 <φ=η

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

47,25 kNm

84,00 kNm

+

- -

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. vert.: 1:20

1,5 m 1,5 m 5,0 m

gk = 30 kN/m

Esc.: 1:0,667

2006 7-21 ufpr/tc405

23 2bd kN/cm0,249MPa 2,4920

4,10,10,125,221,0f ==

×××=

CA50MPa 500fyk =

normal combinação - ELU15,1s =γ

2

s

ykyd kN/cm43,5MPa435

1,15500f

f ===γ

=

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=⋅φ

= 44249,0

5,434bl

cm 15bw = cm 50h = cm446-50d == (assumido) cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ cm1,25mm 5,12dmax ==

2

2

2

min,s cm13,1cm13,150150015,0

cm86,050155,43

43,1035,0maxA =

=××

=×××=

2maxs, cm,030501504,0A =××=

kNcm8400kNm84MSd == kNcm2951143,14415272,0M 2

lim,1Rd =×××= {

compressão de armadura de enecessidad há nãoMMkNcm29511

lim,1RdkNcm4008Sd ⇒<

321

kNcm4008MMM 1RdRdSd === c. Armadura longitudinal

OK272,0202,043,14415

40082c <=

××=β

=β=β

⇒⇒=β000,1862,0

202,0s

z

tabelac 321

OKcm0,30cm13,1cm09,5

5,43000,144862,04008A 2

22

s

<>

=×××

=

2

22

22

cm25,51025,123

cm57,14

0,12102

cm68,3425,135,123

=φ+φ

=×π

×=φ

=×π

×=φ

2cal,s cm09,5A =

2ef,s cm25,5A =

d. Verificação de ah e av cm00,2av =

( ) cm00,213

25,1363,020,3215ah =−

×+×+×−=

15 cm

6,3 mm

3 cm

10 mm

2 cm 12,5 mm

ah

2006 7-22 ufpr/tc405

cm0,2cm63,025,15,0d5,0

cm25,1cm2

maxa

max

v =

=×==φ≥ l OK

cm0,2cm50,125,12,1d2,1

cm25,1cm2

maxa

max

h =

=×==φ≥ l OK

e. Verificação de d

×π×+

×π×

++×

×π×+

×

×π×

=

40,12

425,13

20,10,225,1

40,12

225,1

425,13

y22

22

cg

( ) ( ) cm56,10,1225,13

20,10,225,10,12

225,125,13

y 22

22

cg =×+×

++××+

××

=

( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) OKcm44cm81,440,363,056,150d >=++−= cm81,44d = cm45da ≈=l f. Determinação de MRd1

xyds

cdws fA

fdb68,0β

=β

xs 5,4325,543,181,441568,0

β×

××××

=β

xs 862,2 β=β sx 349,0 β=β

=β=β

=β

⇒⇒=βOK000,1

860,0204,0

349,0

s

z

c

tabelax 321

cd2

wc1Rd fdbM β=

4434421SdM

21Rd kNcm4008kNcm786843,181,4415204,0M >=×××=

40,12

425,13

425,13

7868M 22

2

5,12,1Rd ×π×+

×π×

×π×

×=φ

kNm62kNcm158625,568,37868M 5,12,1Rd ==×=φ

40,12

425,13

40,12

7868M 22

2

10,1Rd ×π×+

×π×

×π×

×=φ

kNm26kNcm628225,557,17868M 10,1Rd ==×=φ

cg

d

φt

cnom

φl

ycg

(ycg + φt + cnom)

h

av

2006 7-23 ufpr/tc405

Verificação do valor de βz e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15)

⋅⋅−==β

cd

yd

w

sz f

fdb

A7,111

dz

OK860,043,1

5,4381,4415

25,57,111z =

××

×−=β

dfAM zyds1Rd β= kNcm7868kNcm801881,44860,05,4325,5M 1Rd >=×××= (imprecisão de tabela) A diferença dos valores de MRd1, calculados como funções de βc (8 786 kNcm) e de βz

(8 801 kNcm), é devida à imprecisão de tabela. Para βx igual a 0,349412 (valor mais exato), βc corresponderia a 0,204392 e βz seria igual a 0,860234. O valor de MRd1, função de βc, 0,204392 x 15 x 44,812 x 1,43 resultaria igual a 8803 kNcm e o valor de MRd1, função de βz, 5,25 x 43,5 x 0,860235 x 44,81 corresponderia a 8803 kNcm. Esta imprecisão de tabela será ignorada na seqüência da resolução deste Exemplo.

g. Determinação dos comprimentos de ancoragem cm44mm4401044mm10,b ==×=φl cm55mm5505,1244mm5,12,b ==×=φl

h. Diagrama MSd,desl

i. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl

47,25 kNm

84,00 kNm

al = 45 cm

MSd,desl

MSd

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

φ 12,5 mm

φ 12,5 mm

φ 12,5 mm

φ 10 mm φ 10 mm

62 kNm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

88 kNm 84 kNm

2006 7-24 ufpr/tc405

j. Leque de ancoragem

k. Paralelismo de ancoragem

lb = 44 cm 2 φ 10 mm - 310 cm

0

0

1

2

3

1 2

0

1

2

3

0

1 2

lb = 55 cm 55 cm

44 cm

φ 10 mm

φ 12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

paralelas

≥ 10 φ

paralelas

≥ 10 φ

0

0

1 2

1

2

3

0

0 1 2

1

2

3

φ 10 mm

φ 12,5 mm

lb = 55 cm

lb = 44 cm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 55 cm

44 cm

88 kNm

62 kNm

84 kNm

2006 7-25 ufpr/tc405

l. Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras

Obs.: Todas as pontas das barras estão afastadas de uma distância maior ou igual a 10 φ

do diagrama MSd,desl. O paralelismo de ancoragem existente do lado direito é simétrico em relação ao lado

esquerdo. m. Detalhamento da armadura longitudinal positiva

Para detalhamento da armadura longitudinal negativa ver Exemplo 7.6.

2 N3 - φ 12,5 mm - 510 cm

1 N2 - φ 12,5 mm - 400 cm

2 N1 - φ 10 mm - 310 cm - 2ª cam.

Esc.: 1:66,7

40 cm

15 cm

85 cm

armadura superior (negativa) não

detalhada

armadura inferior (porta-estribo) não

detalhada

cnom = 3 cm

lb = 44 cm

2 φ 12,5 mm � 510 cm

1 φ 12,5 mm � 400 cm

2 φ 10 mm � 310 cm

0

0

1

2

3

1 2

0

1

2

3

0

1 2

lb = 55 cm 55 cm

44 cm

φ 10 mm

φ 12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

paralelas

paralelas

paralelas

2006 7-26 ufpr/tc405

n. Verificações De acordo com o item 18.3.2.4 -c da ABNT NBR 6118, pelo menos 25% da armadura

positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como duas barras (N3) chegam ao apoio, tem-se:

OK%25%47

40,12

425,13

425,12

A% 22

2

apoio,s >=×π

×+×π

×

×π×

=

De acordo com item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118, as armaduras positivas provenientes do meio do vão deverão estender-se, no mínimo, 10 φ além da face do apoio. Como a armadura N3 está posicionada 15 cm além da face interna do apoio, o item da Norma está verificado (10 φ corresponde a 12,5 cm).

o. Diagramas MSd,desl e MRd1

7.9.2 Balanços Para os trechos de vigas em balanços, o detalhamento da ancoragem reta requer alguns

cuidados especiais. Pela Figura 7.15 pode ser observado que, pelo detalhamento apresentado em 7.9.1, parte da armadura reta ancorada ficaria situada fora da viga.

Figura 7.15 � Vigas em balanço

Embora dispositivos especiais de ancoragem possam ser usados para resolver a situação da armadura mostrada na Figura 7.15, é prática comum a dobra desta armadura para dentro da viga. Para se evitar que trechos expressivos de ancoragem se situem na vertical é conveniente adotar para ∆lb valores não superiores a 25% de lb, como mostrado na Figura 7.16 (∆lb contado a partir da face final do balanço). Como as pontas de barras devem estar afastadas de 10 φ do diagrama MSd,desl e a parte dobrada não pode ser maior que d, tem-se para ∆lb:

∆lb

lb

MSd,desl

MRd1

MRd1

MSd,desl

2006 7-27 ufpr/tc405

≤∆≤φ

d25,0

min10 bb

ll Equação 7.16

Se as desigualdades apresentadas na Equação 7.16 não puderem ser verificadas simultaneamente, prevalece os 10 φ, desde que inferiores a d.

Figura 7.16 � Detalhe de armadura de viga em balanço

O comprimento do trecho reto dobrado (trecho vertical), também, não deverá ser inferior a 10 φ (Figura 7.16).

Para a definição do diâmetro do pino de dobramento das barras longitudinais que chegam a ponta do balanço deve ser usada a Tabela 7.6, apresentada em 7.13.

Exemplo 7.6: Detalhar a armadura negativa da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura.

Dados: � concreto: C20; e � barra nervurada: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais; � viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente

tttttttapoiada nos pilares; - pilares com 20 cm de largura; � estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4,

tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); - al = d; � armadura transversal (estribos): 6,3 mm; � cobrimento nominal: 3 cm; e � dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: � peso próprio da viga incluído na carga gk.

Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor

negativo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.2]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na

Figura 7.14.

d ≥10 φ

∆lb ≤ 0,25 lb

φ

1,5 m 1,5 m 5,0 m

gk = 30 kN/m

Esc.: 1:0,667

2006 7-28 ufpr/tc405

a. Diagrama MSd

b. Dados C20MPa 20fck =

normal combinação - ELU40,1c =γ

2

c

ckcd kN/cm43,1MPa3,14

1,420f

f ===γ

=

nervurada barra25,21 =η

aderência má de situação70,02 =η

mm 40 00,13 <φ=η

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

23 2bd kN/cm0,174MPa 74,120

4,10,17,025,221,0f ==

×××

=

CA50MPa 500fyk =

normal combinação - ELU15,1s =γ

2

s

ykyd kN/cm43,5MPa435

1,15500f

f ===γ

=

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=×φ

= 63174,0

5,434bl

cm 15bw = cm 50h = cm446-50d == (assumido) cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ cm1,25mm 5,12dmax ==

2

2

2

min,s cm13,1cm13,150150015,0

cm86,050155,43

43,1035,0maxA =

=××

=×××=

2maxs, cm,030501504,0A =××=

47,25 kNm

84,00 kNm

+

- -

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. vert.: 1:20

2006 7-29 ufpr/tc405

kNcm7254kNm25,47MSd == kNcm2951143,14415272,0M 2

lim,1Rd =×××= {

compressão de armadura de enecessidad há nãoMMkNcm29511

lim,1RdkNcm7254Sd ⇒<

321

kNcm7254MMM 1RdRdSd === c. Armadura longitudinal

OK272,0114,043,14415

72542c <=

××=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1928,0

114,0s

z

tabelac 321

OKcm0,30cm13,1cm66,2

5,43000,144928,07254A 2

22

s

<>

=×××

=

22

cm14,34

0,1410 4 =×π

×=φ (2 camadas)

2cal,s cm66,2A =

2ef,s cm14,3A =

d. Verificação de ah e av cm00,2av =

( ) cm74,512

0,1263,020,3215ah =−

×+×+×−=

cm0,2cm63,025,15,0d5,0

cm25,1cm2

maxa

max

v =

=×==φ≥ l OK

cm0,2cm50,125,12,1d2,1

cm25,1cm2

maxa

max

h =

=×==φ≥ l OK

e. Verificação de d

cm00,2

40,14

20,10,20,1

40,12

20,1

40,12

y2

22

cg =

×π×

++×

×π×+

×

×π×

=

( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) OKcm44cm37,440,363,000,250d >=++−= cm37,44d = cm45da ≈=l f. Determinação de MRd1

xyds

cdws fA

fdb68,0β

=β

xs 5,4314,343,137,441568,0

β

×

×××=β

sx 211,0 β=β

cg

d φt

cnom

φl

ycg

h

av

15 cm

ah 3 cm

10 mm

2 cm

6,3 mm

2006 7-30 ufpr/tc405

=β=β

=β

⇒⇒=βOK000,1

916,0131,0

211,0

s

z

c

tabelax 321

cd2

wc1Rd fdbM β=

4434421SdM

21Rd kNcm7254kNcm532543,137,4415131,0M >=×××=

Verificação do valor de βz e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15)

⋅⋅−==β

cd

yd

w

sz f

fdb

A7,111

dz

OK916,043,1

5,4337,4415

14,37,111z =

××

×−=β

dfAM zyds1Rd β= OKkNcm5325kNcm551537,44916,05,4314,3M 1Rd ≈=×××= g. Determinação dos comprimentos de ancoragem cm63mm6301063mm10,b ==×=φl

h. Diagrama MSd,desl

i. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl (apoio esquerdo)

47,25 kNm

84,00 kNm

al = 45 cm

MSd,desl

MSd

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

φ 10 mm 55,3 kNm

47,25 kNm

Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10

2006 7-31 ufpr/tc405

i. Leque de ancoragem e definição de ∆lb (apoio esquerdo)

O ponto K corresponde ao ponto final de ancoragem (ponta de barra) das barras que irão cobrir o momento negativo que aparece na ponta do balanço devido ao deslocamento do diagrama MSd.

O valor de ∆lb satisfaz a todas as desigualdades da Equação 7.16, ou seja, menor que 0,25 lb (15,75 cm), menor que d (44,37 cm) e maior que 10 φ (10 cm).

j. Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras (apoio esquerdo)

A dobra da barra N1 foi ajustada de 18 para 20 cm (15 cm correspondente a ∆lb mais 3 cm de cnom).

20 cm 2 φ 10 mm � 195 cm

2 φ 10 mm � 275 cm (rt.: 255 cm; db.: 20 cm)

0 0

4

3

1

2

4

3

1

2

K

lb = 63 cm Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10 lb = 63 cm

∆lb = 15 cm (<25% de lb)

paralelas paralelas

paralelas

≥ 10 φ (10 cm)

≥ 10 φ

≥ 10 φ < d

3 cm (cnom) da face final do

balanço

0

4

1

2

3

0 K

lb = 63 cm

φ 10 mm 55,3 kNm

47,25 kNm

Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10 lb = 63 cm

∆lb = 15 cm

4

1

2

3

2006 7-32 ufpr/tc405

k. Detalhamento da armadura longitudinal negativa

Para detalhamento da armadura longitudinal positiva ver Exemplo 7.5.

7.9.3 Apoios extremos de vigas Conforme visto em [6.2], a analogia da treliça de Morsh apresenta um conjunto de forças

como mostrado na Figura 7.17.

Figura 7.17 � Forças atuantes na treliça de Morsh

Na Figura 7.17 tem-se: MSd momento fletor solicitante de cálculo; Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido; Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada; VSd força cortante solicitante de cálculo. Ainda, na Figura 7.17, deve ser observado que: − na região do apoio, a resultante Rsd é função direta da reação de apoio VSd; e − em região afastada do apoio, a resultante Rsd é função direta do momento fletor MSd. Segundo o item 18.3.2.4-b da ABNT NBR 6118, a força cortante solicitante de cálculo VSd

(�externa�) pode ser equilibrada (�internamente�) pelas forças Rcwd (força resistente atuante no diagonal comprimida de concreto) e Rsd (força resistente atuante na armadura tracionada), como mostrado na Figura 7.18.

Figura 7.18 � Equilíbrio de forças no apoio

20 255

60 cm 2ª cam

2 N1 - φ 10 mm - 275 cm

2 N2 - φ 10 mm - 195 cm 2 N2 - φ 10 mm - 195 cm 2ª cam

255

60 cm

Esc.: 1:66,7

armadura inferior (positiva) não

detalhada

armadura superior (porta-estribo) não

detalhada

20 2 N1 - φ 10 mm - 275 cm

cnom = 3 cm

MSd

Rsd

Rcd

VSd

Rcw θ

Rsd

VSd

ladtan =θ

2006 7-33 ufpr/tc405

Da Figura 7.18, tem-se:

Sdsd Vd

aR l= Equação 7.17

ABNT NBR 6118: �18.3.2.4 Armadura de tração nas seções de apoio Os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armadura longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes condições: a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do

dimensionamento da seção; b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão,

armaduras capazes de resistir a uma força de tração RSd = (al / d) Vd + Nd, onde Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente;

c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (Mvão), de modo que: - As,apoio ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto

Mapoio ≤ 0,5 Mvão; - As,apoio ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio > 0,5

Mvão.� 18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração nos apoios "Quando se tratar do caso de 18.3.2.4-a), as ancoragens devem obedecer aos critérios da figura 18.3. Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios extremos, as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valores:

− lb,nec, conforme 9.4.2.5; − (r + 5,5 φ); − 60 mm.

Quando houver cobrimento da barra no trecho, medido normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande freqüência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes. Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios intermediários, o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10 φ, desde que não haja qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa região, provocados por situações imprevistas, particularmente por efeito de vento e eventuais recalques. Quando essa possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio.�

As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 18.3.2.4 e 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118:

a. A expressão que aparece em 18.3.2.4-b, ficaria melhor representada se aparecesse como:

SdSdSd NVd

aR += l

onde: RSd representaria a força (horizontal) de tração solicitante de cálculo (�externa�)

atuante na direção da armadura que chega ao apoio; VSd representaria a força (vertical) cortante solicitante de cálculo (�externa�) atuante

no apoio; NSd representaria a força (horizontal) normal de tração solicitante de cálculo

(�externa�) que poderia atuar na viga; al corresponderia ao deslocamento horizontal do diagrama MSd (momento fletor

solicitante de cálculo); e d corresponderia a altura útil da viga.

2006 7-34 ufpr/tc405

Desta forma todos os componentes da equação seriam referidos a valores solicitantes de cálculo (�externos�). Observar que a Equação 7.17 corresponde ao equilíbrio de uma força vertical solicitante (�externa�) por forças resistentes (�internas�). Daí aparecer Rsd

1 (s minúsculo) no lugar de RSd

2 (s maiúsculo). Ambas representam forças atuantes na armadura horizontal, sendo Rsd a correspondente resistência (�interna�) da força solicitante RSd (�externa�). Pela condição de segurança, Rsd ≥ RSd (a resistente tem que ser maior ou igual a solicitante). A ABNT NBR 6118, ao usar RSd (s maiúsculo), procura representar a solicitação que estará submetida a armadura na região de ancoragem.

b. O r que aparece na expressão r + 5,5 φ, do item 18.3.2.4.1, corresponde ao raio interno mínimo de curvatura, definidos na Tabela 7.4.

7.9.3.1 Ancoragem reta sem gancho ou barra transversal soldada A ancoragem reta, sem gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de

concreto armado pode ser representada pela Figura 7.19.

Figura 7.19 � Ancoragem reta sem gancho

O valor de lb,nec é dado pela Equação 7.7 e vale:

bd

snec,b f4

σ×

φ=l

Por outro lado, RSd da Figura 7.19 pode ser obtido da Equação 7.17 e vale:

SdSd Vd

aR l=

A tesão σs que aparece na equação de lb pode ser representada por:

ydef,s

Sd

s fA

Vda

≤=σl

Introduzindo o valor de σs na expressão de lb,nec, tem-se:

ef,s

Sd

bdnec,b A

Vda

f1

4

l

l ××φ

=

ou ainda,

yd

Sdef,s

Sdbdef,s

nec,b

fV

daA

Vda

f41

A

×≥

××φ

=

l

ll

Equação 7.18

1 R de resultante (força resistente), s (minúsculo) de aço e d de "design" (projeto/cálculo). 2 R (maiúsculo) de força, S (maiúsculo) de solicitação e d de "design" (projeto/cálculo).

RSd

hpil

lb,nec

hpil ≥ lb,nec + cnom

2006 7-35 ufpr/tc405

O item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, estabelece, para lb,nec:

φ≥cm10

103,0

maxb

nec,b

l

l Equação 7.19

Por outro lado, o item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118 define que os comprimentos de ancoragem, em apoios extremos, devem ser iguais ou superiores a r + 5,5 φ ou 60 mm. Como o limite de 60 mm (6 cm) é inferior a 100 mm (10 cm) e o maior diâmetro apresentado na Tabela 7.4 corresponde a 8 φ (raio 4 φ, r + 5,5 φ = 9,5 φ), a verificação da Equação 7.19 atende, por inteiro, ao estabelecido em 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118.

Lembrando que:

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

tem-se:

φ

×

φ

≥

cm10

10

ff

43,0

maxb

bd

yd

nec,b

43421

ll

Equação 7.20

Valores mínimos para lb,nec podem, então, serem tabelados, como mostrado a seguir.

lb,nec γc = 1,40 CA-50

(boa aderência) γs = 1,15

barras nervuradas concreto 10 mm 12,5 mm 16 mm 20 mm 22 mm 25 mm 32 mm

C20 13 cm 16 cm 21 cm 26 cm 29 cm 33 cm 42 cm C25 11 cm 14 cm 18 cm 23 cm 25 cm 28 cm 36 cm C30 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C35 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C40 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C45 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm C50 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm

Tabela 7.5 � Valores mínimos de lb,nec para ancoragem de apoio extremo

Somando-se aos valores apresentados na Tabela 7.5, o cobrimento nominal (cnom), têm-se os valores mínimos para a dimensão do pilar (hpil).

A junção da Equação 7.18 com a Equação 7.20, permite:

2006 7-36 ufpr/tc405

yd

Sdef,s

bd

yd

Sdbdef,s

nec,b

fV

da

A

cm10

10

ff

43,0

Vd

af41

A

b

×≥

φ

×

φ

≥××φ

=

l

ll

43421

l

Equação 7.21

Exemplo 7.7: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 20 cm de base e 60 cm de altura.

Dados: � concreto: C25; e � barra nervurada: CA-50. Considerar: � somente solicitações normais; � viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente

tttttttapoiada nos pilares; - pilares com 20 cm de largura; � estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4,

tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); � armadura transversal (estribos): 6,3 mm; � cobrimento nominal: 3 cm; e � dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: � peso próprio da viga incluído na carga gk.

Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor

positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. A determinação de al é feita de modo análogo ao do Exemplo [6.7]. Para a verificação da ancoragem de apoio extremo usar a Equação 7.21. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado no

Exemplo 7.5.

6,0 m

gk = 20 kN/m

Esc.: 1:0,667

2006 7-37 ufpr/tc405

a. Diagramas MSd e VSd

b. Dados C25MPa 25fck =

MPaemf250f1 ckck

v2 −=α

9,0250251v2 =−=α

normal combinação - ELU40,1c =γ

2

c

ckcd kN/cm79,1MPa9,17

1,425ff ===

γ=

nervurada barra25,21 =η

aderência boa de situação00,12 =η

mm 40 00,13 <φ=η

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

23 2bd kN/cm0,289MPa 2,8925

4,10,10,125,221,0f ==

×××=

MPaemff21,0

f ckc

3 2ck

ctd γ=

23 2

ctd cm/kN128,0MPa28,14,12521,0f ===

CA50MPa 500fyk =

126 kNm

+

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. ver.: 1:20

84 kN

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. ver.: 1:40

2006 7-38 ufpr/tc405

normal combinação - ELU15,1s =γ

2

s

ykyd kN/cm43,5MPa435

1,15500f

f ===γ

=

cm 20bw = cm 06h = cm456-60d == (assumido) cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==φ cm1,9mm 19dmax == c. Verificação de VRd2 dbf27,0V wcd2v2Rd α= kN470542079,19,027,0V 2Rd =××××= 2RdSd VV ≤ kN84V max,Sd = (o correto seria o VSd,face que é menor que VSd,eixo)

{OKVV

kN4702Rd

kN84

max,Sd <321

(verificado para VSd,eixo, fica verificado VSd,face)

d. Valor de al Será admitido Modelo I, estribos verticais dbf6,0V wctdc = kN835420128,06,0Vc =×××=

( ) ≤≥

−=

dd5,0

VVV

2da

cmax,Sd

max,Sdl

kN84V max,Sd = (o correto seria VSd,face)

( ) cm26828384

842

54a =

−

=l

cm54acm54d

cm27545,0d5,0a =⇒

=≤=×=≥

ll

cm54da ==l

e. Determinação de lb

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=⋅φ

= 38289,0

5,434bl

f. Armadura longitudinal

2

2

2

min,s cm80,1cm80,160200015,0

cm73,160205,43

43,1035,0maxA =

=××

=×××=

2maxs, cm,048602004,0A =××=

kNcm60012kNm126MSd == kNcm3952879,15420272,0M 2

lim,1Rd =×××= { compressão de armadura de enecessidad há nãoMM

kNcm39528

lim,1RdkNcm60012Sd ⇒<

321

kNcm60012MMM 1RdRdSd ===

OK272,0121,079,15420

600122c <=

××=β

2006 7-39 ufpr/tc405

=β

=β⇒⇒=β

000,1923,0

121,0s

z

tabelac 321

OKcm0,38cm80,1cm81,5

5,43000,154923,060012A 2

22

S

<>

=×××

=

22

cm14,6425,155,12 5 =

×π×=φ (2 camadas)

2cal,s cm81,5A =

2ef,s cm14,6A =

g. Verificação de ah e av cm00,2av =

( ) cm5,413

25,1363,020,3220ah =−

×+×+×−=

cm0,2cm95,09,15,0d5,0

cm25,1cm2

maxa

max

v =

=×==φ≥ l OK

cm3,2cm3,29,12,1d2,1

cm25,1cm2

maxa

max

h =

=×==φ≥ l OK

h. Verificação de d

×π×+

×π×

++×

×π×+

×

×π×

=

425,12

425,13

225,10,225,1

425,12

225,1

425,13

y22

22

cg

( ) cm93,123

225,10,225,12

225,13

ycg =+

++×+

×

=

( )nomtcg cyhd +φ+−= ( ) OKcm54cm44,540,363,093,160d >=++−= cm44,54d = i. Determinação de MRd1

xyds

cdws fA

fdb68,0β

=β

xs 5,4314,679,144,542068,0

β×

×

×××=β

xs 962,4 β=β sx 202,0 β=β

=β

=β

=β

⇒⇒=β

OK000,1919,0126,0

202,0

s

z

c

tabelax 321

cd2

wc1Rd fdbM β=

44 344 21SdM

21Rd kNcm60012kNcm3691379,144,5420126,0M >=×××=

kNm134M 1Rd =

15 cm

6,3 mm

3 cm

2 cm

12,5 mm

ah

cg

d

φt

cnom

φl

ycg

h

av

2006 7-40 ufpr/tc405

Verificação do valor de βz e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15)

⋅⋅−==β

cd

yd

w

sz f

fdb

A7,111

dz

OK919,079,1

5,4344,5420

14,67,111z =

××

×−=β

dfAM zyds1Rd β= OKkNcm36913kNcm3631344,54919,05,4314,6M 1Rd ≈=×××= j. Determinação dos comprimentos de ancoragem cm48mm4755,1238mm5,12,b ==×=φl

k. Ancoragem de apoio extremo cm20hpil = cm3cnom = cm17320nec,b =−≤l

yd

Sdef,s

bd

yd

Sdbdef,s

nec,b

fV

daA

cm10

10

ff

43,0

maxVda

f41

A

b

×≥

φ

×

φ

≥××φ

=

l

l

l

43421

l

A Tabela 7.5 mostra que somente barras de 10 mm e 12,5 mm podem ser usadas como ancoragem de apoio extremo (lb,nec ≤ 17 cm). A escolha de barras de 12,5 mm para o máximo momento fletor positivo se mostrou correta.

2ef,s cm93,1

5,4384

ddA =×≥ (mínimo de 2 barras de 12,5 chegando ao apoio ⇒ 2,45 cm2)

2ef,s

ef,scm34,5A84

dd

289,041

A25,117 ≥⇒××

××≥ (5 barras de 12,5 mm igual a 6,14 cm2)

Pelos cálculos referentes à ancoragem de apoio extremo, são necessárias 5 barras de 12,5 mm além da face do apoio da viga. Isto significa que todas as barras (5) definidas para o máximo momento fletor positivo deverão ser estendidas até os apoios. Verificações:

OKcm17cm8,1484dd

289,041

14,625,1

nec,b <=×××

×=l

OKcm1,14

cm10

cm5,1225,11010

cm1,14289,0

5,434

25,13,0ff

43,0

max

bd

yd

nec,b =

=×=φ

=××

=×φ

≥l

2006 7-41 ufpr/tc405

l. Diagrama MSd,desl

m. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl

n. Leque de ancoragem

126 kNm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

face interna do pilar

al = 54 cm

MSd,desl

MSd

134 kNm 126 kNm 1

2

3

4

5

0 lb = 48 cm

0 φ 12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

lb = 48 cm

1

2

3

4

5

134 kNm φ 12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

126 kNm

2006 7-42 ufpr/tc405

o. Diagrama MRd1 do conjunto de barras

p. Detalhamento da armadura longitudinal positiva

q. Verificação De acordo com o item 18.3.2.4-c da ABNT NBR 6118, pelo menos 33% da armadura

positiva deve ser estendida aos apoios extremos. Como todas as barras chegam ao apoio, o item da Norma está verificado.

5 φ 12,5 mm � 614 cm

paralelas h ≥ 60 cm

17 cm 17 cm

1

2

3

4

5

0 lb = 48 cm

0

φ 12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

lb = 48 cm

1

2

3

4

5

face interna do pilar

face interna do pilar

5 N1 - φ 12,5 mm - 614 cm

armadura superior (porta-estribo) não

detalhada

cnom = 3 cm

Esc.: 1:66,7

2006 7-43 ufpr/tc405

r. Diagramas MSd,desl e MRd1

7.9.3.2 Ancoragem reta com gancho ou barra transversal soldada A ancoragem reta, com gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de

concreto armado pode ser representada pela Figura 7.20.

Figura 7.20 � Ancoragem reta com gancho

De acordo com o item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, o uso do gancho ou da barra transversal soldada, permite uma redução de 30% no comprimento de ancoragem. Se o gancho e a barra transversal soldada forem usados simultaneamente, a redução passa a ser de 50%. Desta forma a Equação 7.21 pode ser escrita como:

yd

Sdef,s

bd

yd

Sdbdef,s

nec,b

fV

daA

cm10

10

ff

43,0

maxVda

f41

A

×≥

φ

×φ

≥

××

φα=

l

ll

Equação 7.22

sendo: α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do

gancho ≥ 3φ; α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com

cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ;

MSd

MSd,desl

MRd1

RSd

hpil

lb,nec

hpil ≥ lb,nec + cnom

2006 7-44 ufpr/tc405

Os valores mínimos para lb,nec permanecem os mesmos da Equação 7.21, ou seja, os valores da Tabela 7.5 independem da existência de ganchos ou barras transversais soldadas.

7.10 Armadura transversal na ancoragem Embora as equações de ancoragem tenham sido estabelecidas em função da simplificação

apresentada na Figura 7.3, onde é admitido que as tensões (forças) tangenciais são paralelas ao eixo da barra, a verdadeira distribuição de forças (tensões) na interface concreto-aço tem um aspecto mais próximo do apresentado na Figura 7.21. Nesta interface, as forças (tensões) diagonais de compressão (Rb,diag) atuantes no concreto são acompanhadas por forças (tensões)

transversais de tração (Rb,traç) para o estabelecimento do equilíbrio do elemento ∆x.

Figura 7.21 - Região de ancoragem - equilíbrio de forças

As forças (tensões) de tração (Rb,traç) são responsáveis pela criação de uma região microfissurada no entorno das barras de aço, conforme mostrado na Figura 7.22.

Figura 7.22 - Microfissuras na região de ancoragem

Nas regiões de ancoragem, microfissuradas como mostrado na Figura 7.22, podem ocorrer rupturas, como mostrado na Figura 7.23. Estas rupturas se configuram:

− pela separação ("split") do concreto no plano horizontal que contem as barras (Figura 7.23a);

− pela separação do concreto no plano horizontal que contem as barras, acompanhada de fendilhamentos em planos perpendiculares ao de ruptura (Figura 7.23b); e

− pela separação do concreto, em forma de cunhas ("notch") individuais (Figura 7.23c).

Figura 7.23 - Tipos de ruptura em regiões de ancoragem

Mostra, ainda, a Figura 7.23, que as rupturas em regiões de ancoragem são devidas, principalmente a:

− posição relativa entre as armaduras; e − posição das barras dentro da massa de concreto.

σb,traç

lb

a) b) c)

∆x

Rs +∆ Rs Rs

forças aplicadas na barra

Rb,diag

Rb,diag

forças aplicadas no concreto

Rb,traç

Rb,tang = ∆ Rs

2006 7-45 ufpr/tc405

As providências a serem tomadas para evitar rupturas nas regiões de ancoragem consistem na adoção de:

− cobrimento adequado (≥ 3φ) das armaduras de tal forma que a região microfissurada fique interna ao concreto e afastada das bordas (Figura 7.24a);

− espaçamento adequado (≥ 3φ) entre as armaduras evitando ao máximo a sobreposição de regiões microfissuras (Figura 7.24b); e

− armaduras (estribos) que costurem os planos de ruptura ou fendilhamento (Figura 7.24c).

Figura 7.24 - Providências para evitar rupturas em regiões de ancoragem

ABNT NBR 6118, item 9.4.1.1: "À exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais (ver 9.4.2.6) ou pelo próprio concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3φ e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3φ.�

7.10.1 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro menor que 32 mm

ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.1: "Ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista armadura transversal capaz de resistir a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a de maior diâmetro.�

Figura 7.25 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong < 32 mm

A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, normalmente é colocada sob a forma de estribos fechados (Asw,b), como mostrado na Figura 7.25.

≥3φ

≥3φ

a)

φ

b)

≥3φ

φ

c)

lb

Asw,b

As

Rs = As x fyd

sb

2006 7-46 ufpr/tc405

Segundo o item 9.4.2.6.1 da ABNT NBR 6118, a equivalência de forças resulta:

sbsw, R41R =

ou ainda

( ) ( )ydsbywd,bsw, fA41fA n ×=×

com:

b

b

sn l

=

Desta forma, tem-se:

b,yws

yd

b

s

b

bsw,

ff

4A

sA

×=l

Equação 7.23

No caso em que as barras longitudinais e transversais forem constituídas de mesmo material (fyd = fywd,b), tem-se:

b

s

b

bsw,

4A

sA

l= Equação 7.24

O espaçamento entre as armaduras transversais (estribos) deve seguir as mesmas limitações estabelecidas para armadura de cisalhamento (ABNT NBR 6118, item 18.3.3.2).

Exemplo 7.8: Determinar a armadura transversal necessária para a ancoragem de barras de 16 mm.

Considerar: � concreto: C20; � barra nervurada: CA-50; � situação de má aderência; � cobrimento e espaçamento entre barras menor que 3φ; � altura útil da viga igual a 50 cm; � combinação normal de carregamento - ELU; e � σs = fyd (máximo aproveitamento das barras). Solução: O valor de lb deverá ser determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela

Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência; para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. A armadura transversal necessária para ancoragem deverá ser definida pela Equação 7.24.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C20kN/cm 2,0MPa 20f 2

ck ==

CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk ==

nervurada barra25,21 =η

aderência má de situação7,02 =η

mm 40 00,13 <φ=η

normal combinação - ELU40,1c =γ

normal combinação - ELU15,1s =γ

barra da diâmetrocm 1,6 mm 16 ==φ

viga da útil alturacm 50d =

2006 7-47 ufpr/tc405

ancorada barra uma de ltransversa seção da área2,01cm41,6

4A 2

22

s =×π

=πφ

=

2

s

ykyd kN/cm 5,43MPa 435

1,15500f

f ===γ

=

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

23 2bd kN/cm 0,174MPa 74,120

4,10,17,025,221,0f ==

×××=

c. lb

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=⋅φ

= 63174,0

5,434bl

cm 100mm 0810166363b ≈=×=φ=l d. Asw,b/sb

b

s

b

bsw,

4A

sA

l=

/mcm 0,5/cmcm 0,005100401,2

sA 22

b

bsw, ==×

= ◄

considerando armadura transversal constituída por barras de 5 mm, tem-se:

222

bsw, cm 0,240,5

4A =

×π=

πφ=

cm 40s005,0s20,0

bb

=⇒=

como o valor de sb deve ficar limitado a 60% da altura útil da viga ou a 30 cm, tem-se:

cm30cm 30

cm 30506,0minsb =

=×≤

e. Solução armadura transversal: 1 φ de 5 mm a cada 30 cm.◄

7.10.2 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro maior ou igual a 32 mm

ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.2: �Deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5φ (onde φ o diâmetro da barra ancorada). Quando se tratar de barras comprimidas, pelo menos uma das barras constituintes da armadura transversal deve estar situada a uma distância igual a quatro diâmetros (da barra ancorada) além da excentricidade da barra.�

A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, pode ser feita, como mostrado na Figura 7.26.

2006 7-48 ufpr/tc405

Figura 7.26 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong ≥ 32 mm

Para as barras verticais (Axwy,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta:

( ) ( )ydsbywd,bswy, fA41fA ×∑=×∑ Equação 7.25

onde: − Aswy,b corresponde a área da seção transversal de uma barra vertical e sua somatória

abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem lb (na Figura 7.26 são mostradas apenas quatro destas barras); e

− As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento X (barras 1, 2, 3 e 4 da Figura 7.26).

Para as barras verticais (Axwx,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta:

( ) ( )ydsbywd,bswx, fA41fA ×∑=×∑ Equação 7.26

onde: − Aswx,b corresponde a área da seção transversal de uma barra horizontal e sua

somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem lb (na Figura 7.26 são mostradas apenas duas destas barras); e

− As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento Y (barras 5 e 6 da Figura 7.26).

7.11 Ancoragem de barras comprimidas Não deve haver distinção entre comprimentos de ancoragem de barras tracionadas ou

comprimidas. A única exigência feita pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.1 é que as barras comprimidas devem ser ancoradas sem gancho em suas extremidades.

No caso específico de sapatas e blocos sobre estacas (Figura 7.27), onde nascem pilares, a aplicação direta da Equação 7.10, para ancoragem de barras dentro destas estruturas, não deve ser feita. É recomendado que o limite mínimo 0,3 lb seja aumentado para 0,8 lb, de tal forma que:

6

5 4 3 2 1

Plano de fendilhamento X

(barras 1, 2 ,3 e 4) Plano de

fendilhamento Y (barras 5 e 6)

∑Aswx,b � Armadura de costura do plano Y e paralelos

∑Aswy,b � Armadura de costura do plano X e paralelos

barra passante

barra ancorada

2006 7-49 ufpr/tc405

φ

×

φ

≥××φ

=

cm10

10

ff

48,0

maxAA

ff

4

b

bd

yd

ef,s

cal,s

bd

ydnec,b

43421

ll

Equação 7.27

Figura 7.27 � Sapatas e blocos sobre estacas

Exemplo 7.9: Um pilar de seção transversal 25 cm x 50 cm nasce de um bloco de fundação que tem 70 cm de altura útil e será construído com concreto classe C15. Sabendo-se que o pilar necessita 18,05 cm2 de área de armadura de aço CA-50 (barras nervuradas) para resistir às solicitações normais de compressão (ELU), determinar o número de barras de 32 mm necessárias para compor a armadura longitudinal deste pilar. Ao final dos cálculos, apresentar o diagrama Rsd da barra.

70 cm

d ≥ lb,nec h0

h

h d ≥ lb,nec

2006 7-50 ufpr/tc405

Solução: A solução deste problema consiste em se determinar, para as barras do pilar, um comprimento de ancoragem igual ou inferior a 70 cm (altura útil do bloco de fundação). Os cálculos mostrarão que é impossível ancorar barras de 32 mm neste bloco.

O valor de lb,nec deverá ser determinado pela Equação 7.27, com fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência (Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU.

O diagramas Rsd será estabelecido em função da tensão atuante nas barras (Equação 7.11).

Deve ser lembrado que o concreto C15, aqui usado, é permitido pela ABNT NBR 6118 apenas em obras de fundações.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C15kN/cm 1,5MPa 15f 2

ck ==

CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk ==

nervurada barra25,21 =η

aderência boa de situação0,12 =η

mm 40 00,13 <φ=η

normal combinação - ELU40,1c =γ

normal combinação - ELU15,1s =γ

fundação de bloco do útil alturacm 70d =

barra da diâmetrocm 3,2 mm 32 ==φ

pilar do ltransversa seção da áreacm12505025A 2c =×=

aço do cálulo de aresistêncikN/cm 43,5MPa 4351,15500

γf

f 2

s

ykyd ====

cálculada armadura de áreacm05,18A 2cals, =

gancho em terminar pode não comprimida armadura0,1=α

bloco do útil altura à limitado ancoragem de ocomprimentcm70nec,b ≤l

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ckc

321bd

γ

ηηη=

23 2bd kN/cm 0,205MPa 05,215

4,10,10,125,221,0f ==

×××=

c. lb

bd

ydb f

f4

⋅φ

=l

φ=⋅φ

= 53205,0

5,434bl

cm 170mm 1696233553b ≈=×=φ=l

2006 7-51 ufpr/tc405

d. Valor mínimo de comprimento de ancoragem (Equação 7.27)

cm70cm136cm10

cm322,31010cm1361708,08,0

maxb

nec,b >=

=×=φ

=×=≥

l

l

Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 32 mm neste bloco.

e. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 25 mm cm 133mm 1325253553b ≈=×=φ=l

cm70cm106cm10

cm255,21010cm1061338,08,0

maxb

nec,b >=

=×=φ

=×=≥

l

l

Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 25 mm neste bloco.

f. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 20 mm cm 106mm 1060203553b ≈=×=φ=l

cm70cm85cm10

cm200,21010cm851068,08,0

maxb

nec,b >=

=×=φ

=×=≥

l

l

Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 20 mm neste bloco.

g. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 16 mm cm 85mm 848163553b ≈=×=φ=l

OKcm70cm68cm10

cm166,11010cm68858,08,0

maxb

nec,b <=

=×=φ

=×=≥

l

l

Como o valor mínimo para lb,nec resultou menor que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se possível a ancoragem de barras de 16 mm neste bloco.

h. Determinação do número de barras de 16 mm cm 6,1mm 16 ==φ

222

s cm01,24

6,14

A =×π

=πφ

=

mm 16 de barras de par número ncm01,2nAnA 2sefs, =×==

mc7001,2n

18,0585AA

ef,s

cal,sbnec,b ≤

××=×= ll

barras 12n10,90n =⇒≥ barras 12n = ◄ Com o valor de n definido, chega-se: 2

efs, cm 12,2401,212A =×=

pilar do armadura de acréscimo%3405,18

05,1812,24s =

−=∆

pilar do armadura de taxa%93,11250

12,24A

A

c

ef,s ===ρ

2006 7-52 ufpr/tc405

Os valores de lb,nec e σs, para esta solução, resultam:

cm68

cm10mm100

cm106,11010

cm68205,0

5,4346,18,0

maxcm5612,2405,18

205,05,43

46,1

nec,b =

=

=×=φ

=××

≥=××=l

)sapatadaútilaltura(cm70cm68nec,b ≈=l ◄

2yd

ef,s

cal,ss cm/kN6,325,43

12,2405,18f

AA

=×=×=σ

i. Diagrama Rsd kN 5,656,3201,2AR sssd =×=σ×= (ver Figura 7.11)

7.12 Barras lisas e barras com alternância de solicitação Segundo o item 9.4.2.1 da ABNT NBR 6118, é obrigatório o uso de ganchos nas

ancoragens de barras lisas tracionadas. Por outro lado, as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem ser ancoradas com ganchos em suas extremidades.

7.13 Ancoragem de estribos Segundo o item 9.4.6 da ABNT NBR 6118, a ancoragem dos estribos deve necessariamente

ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas.

Figura 7.28 � Ancoragem de estribos

a

a

b

φ≥

cm5

5a

t

φ≥

cm7

10b

t

φt φt φt

65,5 kN

70 cm 56 cm

2006 7-53 ufpr/tc405

Os ganchos dos estribos podem ser (Figura 7.28); a. semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a

5 φt, porém não inferior a 5 cm; e b. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 φt, porém não

inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos) O diâmetro interno da curvatura dos estribos (Figura 7.28) deve ser, no mínimo, igual ao

indicado na Tabela 7.6.

Tipo de Aço Bitola (mm) CA-25 CA-50 CA-60

φt ≤ 10 3φt 3φt 3φt 10 < φt <20 4φt 5φt -

φt ≥20 5φt 8φt - Tabela 7.6 � Diâmetro dos pinos de dobramento

para estribos

7.14 Simbologia específica 7.14.1 Símbolos base

ah espaçamento horizontal mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal

al distância correspondente a decalagem do diagrama de força no banzo tracionado av espaçamento vertical mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido

no plano da seção transversal bw largura da viga cnom cobrimento nominal d altura útil distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da

armadura tracionada dmax dimensão máxima do agregado graúdo fbd resistência de aderência de cálculo fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fckj resistência à compressão do concreto característica aos j dias fctd resistência à tração do concreto de cálculo fctk resistência à tração do concreto característica fctk,inf resistência à tração do concreto característica inferior fct,m resistência à tração do concreto média fctk,sup resistência à tração do concreto característica superior fyd resistência ao escoamento do aço da armadura transversal que atua na região de

ancoragem de barras fyk resistência ao escoamento do aço característica fywd,b resistência ao escoamento do aço característica da armadura transversal de barras

ancoradas gk valor característico da ação permanente h altura da viga hpil dimensão do pilar h0 menor altura de sapata lb comprimento de ancoragem básico lb,min comprimento de ancoragem mínimo

2006 7-54 ufpr/tc405

lb,nec comprimento de ancoragem necessário m número de barras n número de barras r raio interno mínimo de curvatura sb espaçamento da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras u perímetro x abscissa y altura do retângulo de tensões σc ycg posição do centro de gravidade da seção transversal de um conjunto de barras

longitudinais (tracionadas ou comprimidas) em relação à geratriz mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta

z braço de alavanca Ac área de concreto As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada As,apoio área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada no apoio As,cal área da seção transversal da armadura longitudinal calculada As,ef área da seção transversal da armadura longitudinal efetiva As,max área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada máxima As,min área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada mínima As,vão área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada no vão Asw,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de

ancoragem de barras Aswx,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de

ancoragem de barras, referentes ao plano de fendilhamento y Aswy,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de

ancoragem de barras, referentes ao plano de fendilhamento x D diâmetro dos pinos de dobramento Gk valor característico da ação permanente Mapoio momento fletor atuante no apoio Mvão momento fletor atuante no vão MRd momento fletor resistente de cálculo MRd1 momento fletor resistente de cálculo referenciado ao binário Rcd1, Rsd1 MRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção

transversal (βx = βx,lim) MSd momento fletor solicitante de cálculo MSd,desl momento fletor solicitante de cálculo deslocado Nd força normal de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo Rb,diag força normal diagonal de tração devida à ancoragem Rb,tang força normal tangente de tração devida à ancoragem Rb,traç força normal de tração devida à ancoragem Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rcd1 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de área bw y Rcwd força resistente de cálculo atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh Rd resistência de cálculo Rs força normal atuante na barra Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada RSd força solicitante de cálculo atuante em apoio extremo de viga

2006 7-55 ufpr/tc405

Rsw,b força normal atuante na armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras

Sd solicitação de cálculo Vc força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de Morsh Vd força cortante de cálculo VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de

concreto VSd força cortante solicitante de cálculo VSd,max força cortante solicitante de cálculo máxima α coeficiente de minoração para barras ancoradas com gancho na extremidade ou

com armadura transversal soldada αv2 coeficiente para cálculo de VRd2 βc valor adimensional auxiliar βs valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As βx valor adimensional que define a posição da linha neutra βy valor adimensional que define a região de concreto comprimido βz valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1 εc deformação específica do concreto εs deformação específica do aço à tração εyd deformação específica de escoamento do aço φ diâmetro das barras da armadura φl diâmetro das barras da armadura longitudinal φt diâmetro das barras da armadura transversal γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto γg coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas γq coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas γs coeficiente de ponderação da resistência do aço η coeficiente de conformação superficial ηb coeficiente de conformação superficial η1 coeficiente para cálculo da tensão de aderência da armadura coeficiente correspondente à conformação superficial das barras na determinação

de fbd η2 coeficiente que representa as condições de boa e má aderência na determinação

de fbd η3 coeficiente que representa a bitola das barras na determinação de fbd θ ângulo ρ taxa de armadura longitudinal σb,traç tensão normal de tração devida à ancoragem σc tensão à compressão no concreto σs tensão à tração na armadura σs,x tensão à tração na armadura na abscissa x τb,unif tensão tangencial de aderência uniforme τb,x tensão tangencial de aderência na abscissa x

2006 7-56 ufpr/tc405

7.14.2 Símbolos subscritos apoio apoio b aderência cal cálculo cg centro de gravidade desl deslocado diag diagonal ef efetiva inf inferior lim limite m média max máximo min mínimo nec necessário nom nominal pil pilar sup superior tang tangente traç tração unif uniforme vão vão x abscissa

7.15 Exercícios Ex. 7.1: Complete o quadro abaixo considerando ELU. Forneça os valores de lb na forma

nφ, sendo n um número inteiro e φ o diâmetro da barra a ser ancorada.

Aço Concreto fbd (MPa) lb(boa ader.) lb(má ader.) CA-25 C20 CA-50 C25 CA-50 C30 CA-60 C35 CA-60 C40

Ex. 7.2: Determinar os comprimentos das barras necessárias para resistir o momento fletor solicitante de cálculo (negativo) do apoio B da viga abaixo representada. Detalhar a armadura usando barras de 16 mm.

Dados: − concreto: C20; e − barras nervuradas: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais; − viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − d = 60 cm; − bw = 18 cm; e − al = d. Escalas: − vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e − momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20).

2006 7-57 ufpr/tc405

Ex. 7.3: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. Dados: − concreto: C20; e − barra nervurada: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais; − viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; − armadura transversal (estribos): 6,3 mm; − cobrimento nominal: 3 cm; e − dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: − peso próprio da viga desprezível. Escalas: − vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e − momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20).

1,8 m 2,1 m

diagrama de momentos MSd

-

110 kNm

16 mm

B

50 cm

90 cm

20 cm

290 cm 290 cm

Gk = 60 kN

20 cm

2006 7-58 ufpr/tc405

Ex. 7.4: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. Dados: − concreto: C25; e − barra nervurada: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais; − viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; − armadura transversal (estribos): 6,3 mm; − cobrimento nominal: 3 cm; e − dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: − peso próprio da viga desprezível. Escalas: − vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e − momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20).

Ex. 7.5: Detalhar a armadura de flexão mais econômica (barras de menores comprimentos

possíveis) para a viga abaixo indicada. Dados: − concreto: C25; e − barra nervurada: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais; − viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; − armadura longitudinal: 16 mm; − armadura transversal (estribos): 6,3 mm; − cobrimento nominal: 3 cm; e − dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: − as barras deverão ser detalhadas aos pares (duas por vez); − o posicionamento da armadura deverá ser, obrigatoriamente, referido à face interna do

pilar esquerdo (A); − o carregamento é permanente (cargas atuando simultaneamente) e os valores

apresentados são característicos; e − peso próprio da viga desprezível.

A

G2k = 30 kN

160 cm 90 cm

G1k = 60 kN

50 cm

90 cm

20 cm

170 cm 160 cm

20 cm

B

2006 7-59 ufpr/tc405

Escalas: − vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e − momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20).

Ex. 7.6: Detalhar as armaduras positivas e negativas (barras de menores comprimentos possíveis) para a viga abaixo indicada.

Dados: − concreto: C25; e − barra nervurada: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais; − viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; − armadura longitudinal positiva: 16 mm; − armadura longitudinal negativa: 12,5 mm; − armadura transversal (estribos): 6,3 mm; − cobrimento nominal: 3 cm; e − dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: − o posicionamento da armadura deverá ser, obrigatoriamente, referido à face interna do

pilar esquerdo (A); − o carregamento é permanente (cargas atuando simultaneamente) e os valores

apresentados são característicos; e − peso próprio da viga desprezível. Escalas: − vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e − momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20).

150 cm 90 cm

A

Gk = 40 kN

90 cm

Gk = 40 kN

50 cm

90 cm

20 cm

150 cm 90 cm

20 cm

B

Gk = 40 kN

150 cm 90 cm

A

Gk = 90 kN

90 cm

Gk = 90 kN

50 cm

90 cm

20 cm

150 cm 90 cm

20 cm

B

Gk = 144 kN

2006 7-60 ufpr/tc405

Ex. 7.7: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. Dados: − concreto: C25; e − barra nervurada: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais; − viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; − pilares com 30 cm de largura; − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − bw = 20 cm; − h = 65 cm; − armadura transversal (estribos): 6,3 mm; − cobrimento nominal: 3 cm; e − dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: − peso próprio da viga incluído na carga gk. Escalas: − vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e − momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20).

Ex. 7.8: Determinar a altura mínima h do bloco de fundação abaixo indicado. A armadura de compressão necessária para a segurança do pilar (armadura calculada) resultou em 6,0 cm2, porém serão usadas 6 barras de 16 mm.

Considerar: − concreto: C15; − barra nervurada: CA-50; e − combinação normal de carregamento � ELU.

10 cm

h

4 m

gk = 20 kN/m

2 m

Gk = 90 kN

2006 7-61 ufpr/tc405

Ex. 7.9: Um pilar de seção transversal 25 cm x 45 cm, suportado por um bloco de fundação, necessita de 17,42 cm2 de área de armadura longitudinal para suportar a força normal solicitante de cálculo (compressão) que nele poderá atuar. Determinar o número total de barras de 25 mm que o pilar deverá possuir, sabendo-se que o bloco de fundação terá 75 cm de altura útil.

Considerar: − concreto: C15; − barra nervurada: CA-50; e − combinação normal de carregamento � ELU.

Ex. 7.10: O pilar abaixo representado, cujo cálculo da armadura longitudinal de compressão resultou em uma área de aço (As,cal) igual a 14,40 cm2, deverá ser suportado por uma sapata cuja altura não poderá ultrapassar 65 cm. Observadas as regras de ancoragem reta estabelecidas pela ABNT NBR 6118, definir a menor altura possível para a sapata de tal forma que a seção transversal do pilar apresente a menor quantidade de barras (número par).

Considerar: − concreto: C15; − barra nervurada: CA-50; − altura útil da sapata: d = h � 5 cm; e − combinação normal de carregamento � ELU.

Ex. 7.11: Determinar a menor largura possível para o pilar abaixo representado, de tal forma que as armaduras negativas da viga possam nele se ancorar. A armadura da viga, necessária para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo, atuante na região próxima do pilar, resultou em 2,12 cm2, tendo sido optado pelo uso de 3 barras de 16 mm.

NSd

10 cm

85 cm

5 cm

pilar

sapata

d = ?

NSd

2006 7-62 ufpr/tc405

Considerar: − concreto: C20; − barra nervurada: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; e − combinação normal de carregamento � ELU.

?

MSd 3 φ 16 50 cm

início da ancoragem

2006 8-1 ufpr/tc405

8 8LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO1

8.1 Introdução Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em que uma

dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais, podendo receber as seguintes denominações (Figura 8.1):

− placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano;

− cascas: elementos de superfície não plana; e − chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas em

seu plano.

Figura 8.1 � Estruturas laminares As lajes maciças de concreto armado constituem estruturas laminares, tipo placa. Em casos

especiais, onde se requer lajes com maior rigidez (maior altura), pode-se fazer uso de lajes nervuradas (Figura 8.2).

Figura 8.2 � Lajes maciças e nervuradas Quando for desejado que a superfície inferior das lajes nervuradas se torne contínua e

plana, fecham-se os vazios com elementos inertes (tijolos, blocos vazados de concreto, isopor, etc.), como mostrado na Figura 8.3. Esta laje é denominada mista.

Figura 8.3 � Lajes mistas As lajes que se apóiam diretamente sobre pilares são denominadas lajes lisas e as lajes que

se apóiam sobre pilares com capitéis denominam-se lajes cogumelo. Neste Capítulo somente serão abordadas as lajes maciças apoiadas em vigas.

1 Este capítulo é uma cópia adaptada da publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO de Roberto

Dalledone Machado.

placa casca chapa

laje maciça laje nervurada

2006 8-2 ufpr/tc405

8.2 Vãos efetivos de lajes Segundo a ABNT NBR 6118, item 14.7.2.2, quando os apoios puderem ser considerados

suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (Figura 8.4) deve ser calculado pela seguinte expressão:

210ef aa ++= ll Equação 8.1 com

=

=

h3,0t5,0

mina

h3,0t5,0

mina

22

11

onde: lef vão efetivo da laje; l0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos; t comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada; h espessura da laje.

Figura 8.4 � Vão efetivo de laje

8.3 Curvaturas de lajes As lajes maciças de concreto armado (Figura 8.5) podem apresentar:

− curvatura em uma só direção; ou

− curvaturas em duas direções ortogonais.

Figura 8.5 � Curvaturas de lajes Quando a laje apresenta curvatura em uma só direção, seu comportamento é idêntico ao de

uma viga de larga base e pouca altura. As lajes com curvaturas em duas direções ortogonais têm comportamento de placa.

h

t2 t1 l0

lef

laje

viga

ly

lx

ly

lx

2006 8-3 ufpr/tc405

As lajes com curvatura em uma só direção são apoiadas nas bordas perpendiculares ao eixo da curvatura, ao passo que as lajes com curvaturas em duas direções ortogonais são apoiadas em todo seu contorno (Figura 8.5).

Quando a relação entre o vão maior (ly) e vão menor (lx) superar dois, a critério do projetista, a curvatura na direção do vão maior pode ser desprezada. Nesta condição somente a curvatura (esforços) na direção do vão menor será considerada.

As lajes consideradas como de curvatura em uma só direção são também chamadas lajes armadas em uma só direção. As de curvaturas em duas direções ortogonais são denominadas armadas em duas direções (Figura 8.6).

Figura 8.6 � Lajes armadas em uma ou duas direções

8.4 Lajes contínuas Assim como as vigas, as lajes apresentam, também, condições de continuidade. Desta

forma os apoios podem ser: − apoio simples, onde a extremidade da laje é considerada rotulada, transmitindo à viga

suporte somente cargas verticais (reação de apoio); − apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transmitem somente cargas verticais

(reação de apoio) para a viga suporte; e − borda livre, onde a extremidade da laje é considerada em balanço. A consideração de apoios simples em lajes de extremidade evita que sejam transmitidos

momentos torçores para as vigas suportes. Na determinação dos esforços de um painel de laje, é prática comum considerar as lajes

isoladamente. Como em regiões de continuidade de lajes existe momento negativo, este pode ser representado, nas lajes isoladas, por um engaste (Figura 8.7).

Nesta Figura 8.7, − o apoio simples é representado por uma linha contínua; − o engaste é representado pela hachura; e − a borda livre é representada por uma linha tracejada. Ainda na Figura 8.7, − a laje L1 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V4, contínua na direção

da laje L2 (apoiada sobre a V5) e contínua na direção da laje L3 (apoiada sobre a V2); − a laje L2 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V3, contínua na direção

das lajes L1 e L3 (apoiada sobre a V5) e com uma borda livre; e − a laje L3 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V3 e V4, contínua na direção

da laje L1 (apoiada sobre a V2) e contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5).

ly

lx

ly

lx

2006 8-4 ufpr/tc405

Figura 8.7 � Lajes contínuas Quando sobre um apoio comum, duas lajes contíguas apresentarem diferentes dimensões,

considera-se o engaste no vão maior se este for igual ou superior a 2/3 do vão menor (Figura 8.8). Deve ser observado na Figura 8.8 que a laje L1 deverá sempre ser considerada como

engastada na direção da laje L2.

V1

V3

V4 V2

V5

P1 P2

P3 P4

L1

L2

L3

L1

L3

L2

V1

V2

V4 V5

V2

V5 V4

V3

V1

V5

V3

2006 8-5 ufpr/tc405

Figura 8.8 � Lajes contínuas de diferentes dimensões

8.5 Espessura de lajes A fixação da espessura das lajes deve atender às exigências dos esforços solicitantes

(momento fletor e força cortante) para o estado limite último, bem como às verificações do estado limite de serviço (flechas, vibrações, fissuração, etc).

Segundo a ABNT NBR 6118, item 13.2.4.1, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para as espessuras:

− 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; − 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; − 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; e − 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.

8.6 Cargas atuantes nas lajes As cargas atuantes nas lajes podem ser: − permanentes, devidas ao peso próprio, contra-piso, revestimento, paredes, etc.; e − acidentais, decorrentes das condições de uso da laje (residência, escritório, escola,

biblioteca, etc.).

8.6.1 Cargas permanentes Segundo a ABNT NBR 6120, os pesos específicos dos materiais de construção que

eventualmente possam constituir carregamento em lajes podem ser tomados como sendo: argamassa de cal, cimento e areia ......................................................................... 19,0 kN/m3 argamassa de cimento e areia ................................................................................ 21,0 kN/m3 argamassa de gesso ............................................................................................... 12,5 kN/m3 reboco ..................................................................................................................... 20,0 kN/m3 concreto simples ..................................................................................................... 24,0 kN/m3 concreto armado ..................................................................................................... 25,0 kN/m3

21 32ll ≥ L1

L2

l1

l2

L1

L2

21 32ll < L1

L2

l1

l2

L1

L2

2006 8-6 ufpr/tc405

O carregamento atuante na laje (peso por unidade de área) é dado pela expressão: hg matγ= Equação 8.2

onde: g carga permanente uniformemente distribuída, geralmente em kN/m2; γmat peso específico do material, geralmente em kN/m3; e h espessura do material, geralmente em m. Para materiais de acabamento ou coberturas, podem ser adotados os seguintes valores,

considerando pesos por unidade de área: cerâmica ................................................................................................................. 0,70 kN/m2 tacos ....................................................................................................................... 0,65 kN/m2 cobertura de telhas francesas (com vigamento) .................................................... 0,90 kN/m2 cobertura de telhas coloniais (com vigamento) ...................................................... 1,20 kN/m2 cobertura de fibro-cimento (com vigamento) .......................................................... 0,30 kN/m2 cobertura de alumínio (com vigamento) ................................................................. 0,16 kN/m2

8.6.2 Cargas acidentais A ABNT NBR 6120 apresenta uma série de valores que podem ser assumidos para as

cargas acidentais que venham a constituir carregamento em lajes. Alguns valores são reproduzidos a seguir:

arquibancadas .......................................................................................................... 4,0 kN/m2 bibliotecas

sala de leitura .................................................................................................. 2,5 kN/m2 sala para depósito de livros ............................................................................ 4,0 kN/m2 sala com estantes ........................................................................................... 6,0 kN/m2

cinemas platéia com assentos fixos .............................................................................. 3,0 kN/m2 estúdio e platéia com assentos móveis .......................................................... 4,0 kN/m2 banheiro .......................................................................................................... 2,0 kN/m2

corredores com acesso ao público .................................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao público .................................................................................... 2,0 kN/m2

edifícios residenciais dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ..................................................... 1,5 kN/m2 dispensa, área de serviço e lavanderia ........................................................... 2,0 kN/m2

escadas com acesso ao público .................................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao público .................................................................................... 2,5 kN/m2

escolas anfiteatro, corredor e sala de aula .................................................................. 3,0 kN/m2 outras salas ..................................................................................................... 2,0 kN/m2

escritórios ................................................................................................................. 2,0 kN/m2 forros sem acesso de pessoas ................................................................................. 0,5 kN/m2 ginásio de esportes .................................................................................................. 5,0 kN/m2 hospitais

dormitório, enfermarias, sala de recuperação ou cirurgia, banheiro ............... 2,0 kN/m2 corredor ........................................................................................................... 3,0 kN/m2

lojas .......................................................................................................................... 4,0 kN/m2 restaurantes ............................................................................................................. 3,0 kN/m2 teatros

palco ............................................................................................................... 5,0 kN/m2 platéia com assentos fixos .............................................................................. 3,0 kN/m2 estúdio e platéia com assentos móveis .......................................................... 4,0 kN/m2 banheiro .......................................................................................................... 2,0 kN/m2

2006 8-7 ufpr/tc405

Exemplo 8.1: Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje terá de 10 cm de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1 cm, acabamento superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso com 1 cm de espessura.

Solução: As cargas permanentes (Equação 8.2) e acidentais deverão ser determinadas por unidade de área (kN/m2). Os pesos do concreto armado, conta-piso e gesso correspondem a 25 kN/m3, 21 kN/m3 e 12,5 kN/m3, respectivamente. Os tacos pesam 0,65 kN/m2. A carga acidental de um edifício comercial deve ser considerada como sendo 2 kN/m2.

a. Dados � uniformização de unidades (kN e m) 3

armconc m/kN25=γ 3

piso cont m/kN21=γ

3gesso m/kN5,12=γ

2taco m/kN65,0g =

m10,0cm10h armconc == m01,0cm1h piso cont == m01,0cm1hgesso ==

2com edif m/kN2q =

b. Carga permanente pp: .................... 25,0 x 0,10 = 2,50 kN/m2 contra-piso: ...... 21,0 x 0,01 = 0,21 kN/m2 gesso: .............. 12,5 x 0,01 = 0,13 kN/m2 tacos: ................................... = 0,65 kN/m2 gk = 3,49 kN/m2 (≈ 3,50 kN/m2) c. Carga acidental qk = 2,00 kN/m2 d. Carga total gk = 3,50 kN/m2 qk = 2,00 kN/m2 pk = 5,50 kN/m2

8.6.3 Paredes O peso das paredes depende do tipo de tijolo (maciço ou furado) e da espessura do reboco.

Este peso normalmente é apresentado por metro quadrado de parede (parede de 1 m de largura por 1 m de altura), como mostrado na Figura 8.9.

O peso por unidade de área de uma parede rebocada em ambas as faces pode ser representado por:

rebrebtijtijpar e2ep γ+γ= Equação 8.3 onde

ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; γtij peso específico do tijolo, geralmente em kN/m3; etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo, geralmente em m. γreb peso específico do reboco, geralmente em kN/m3; e ereb espessura do reboco, geralmente em m.

tacos contra-piso (1 cm)

concreto armado (10 cm)

gesso (1 cm)

2006 8-8 ufpr/tc405

Figura 8.9 � Carga de paredes Para materiais componentes de parede, podem ser usados os seguintes valores: tijolo de furado ........................................................................................................... 12 kN/m3 tijolo de maciço .......................................................................................................... 16 kN/m3 reboco ....................................................................................................................... 20 kN/m3 A Tabela 8.1 mostra alguns valores de peso de parede. Na Tabela foi considerado reboco

de 2,5 cm de espessura por face.

parede sem reboco parede com reboco tijolo (cm)

tijolo furado (kN/m2)

tijolo maciço (kN/m2)

parede (cm)

tijolo furado (kN/m2)

tijolo maciço (kN/m2)

10 1,20 1,60 15 2,20 2,60 12 1,44 1,92 17 2,44 2,92 15 1,80 2,40 20 2,80 3,40 20 2,40 3,20 25 3,40 4,20

Tabela 8.1 � Pesos de paredes

8.6.3.1 Cargas de paredes em lajes de dupla curvatura As cargas de paredes apoiadas em lajes de dupla curvatura (Figura 8.10) podem ser

consideradas como equivalentes a uma carga uniformemente distribuída em toda esta laje. Para este caso, considera-se o peso total da parede e divide-se este valor pela área total da laje, como apresentado a seguir:

yx

parparparpar

hpg

ll

l

×××

= Equação 8.4

onde: gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando em

toda laje, geralmente em kN/m2; ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; lpar largura da parede, geralmente em metro; hpar altura da parede, geralmente em metro;

e

hpar

1 m

1 m

lpar

2006 8-9 ufpr/tc405

lx menor dimensão da laje, geralmente em metro; e ly maior dimensão da laje, geralmente em metro.

Figura 8.10 � Parede sobre laje de dupla curvatura

Exemplo 8.2: Determinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 10 cm, reboco de 1,5 cm em cada face.

Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3 e a carga uniformemente distribuída sobre a laje é determinada pele Equação 8.4.

a. Dados � uniformização de unidades (kN e m) 3

tij m/kN12=γ

3reb m/kN20=γ

m10,0cm10etij == m015,0cm5,1ereb == m7,42,25,2par =+=l m7,2hpar = m5,3x =l m0,6y =l

b. Curvatura da laje

curvaturadupla271,15,30,6

x

y ⇒<==l

l

c. Peso por metro quadrado de parede rebrebtijtijpar e2ep γ+γ=

( ) ( ) 2par m/kN80,1015,020210,012p =××+×=

2,2

m

3,5

m

6,0 m

2,5 m

ly

lx lpar

gpar (kN por m2 de laje)

2006 8-10 ufpr/tc405

d. Carga uniformemente distribuída na laje

yx

parparparpar

hpg

ll

l

×××

=

2par m/kN09,1

00,650,370,270,480,1g =

×××

=

8.6.3.2 Cargas de paredes em lajes de uma só curvatura As cargas de paredes apoiadas em lajes de uma só curvatura se situam em duas condições: − paredes paralelas ao lado maior da laje;e − paredes paralelas ao lado menor da laje. A carga de parede paralela ao lado maior é considerada como uma carga linear

uniformemente distribuída ao longo de sua largura (Figura 8.11), cujo valor é dado por:

parparpar hpg ×= Equação 8.5 onde:

gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento (linear), atuando ao longo da largura da parede, geralmente em kN/m;

ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; e hpar altura da parede, geralmente em metro.

Figura 8.11 � Parede paralela ao lado maior da laje A carga de parede paralela ao lado menor é considerada como uma carga uniformemente

distribuída na área de dimensões lx por 0,5 lx (Figura 8.12), cujo valor é dado por:

2

hpg

xx

parparparpar l

l

l

×

××= Equação 8.6

onde: gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando na

área de dimensões lx por 0,5 lx, geralmente em kN/m2; ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; lpar largura da parede, geralmente em metro; hpar altura da parede, geralmente em metro; e lx menor dimensão da laje, geralmente em metro.

lx

ly lpar

gpar (kN por metro de laje)

2006 8-11 ufpr/tc405

Figura 8.12 � Parede paralela ao lado menor da laje

Exemplo 8.3: Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 12 cm, reboco de 1,5 cm em cada face.

Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3. A carga linear uniformemente distribuída sobre a laje L1 é determinada pela Equação 8.5 e a carga uniformemente distribuída na região lx por 0,5 lx da laje L2 é determinada pela Equação 8.6.

a. Dados � uniformização de unidades (kN e m) 3

tij m/kN12=γ

3reb m/kN20=γ

m12,0cm12etij == m015,0cm5,1ereb == m2,2par1 =l m7,1par2 =l m7,2hh 2parpar1 ==

2xl

ly

lx gpar (kN por m2 de laje)

lpar

1,6 m 2,5 m

6 m

2,4 m

2,2

m

L1

3,6 m

6 m

2,4 m

1,7 m

L2

2006 8-12 ufpr/tc405

m4,2x2x1 == ll m0,6y2y1 == ll

b. Curvatura da laje

curvaturasóuma250,24,20,6

x

y ⇒>==l

l

c. Peso por metro quadrado de parede rebrebtijtijpar e2ep γ+γ=

( ) ( ) 2par m/kN04,2015,020212,012p =××+×=

d. Laje L1 - peso por metro linear de parede parparpar hpg ×= m/kN51,570,204,2gpar =×=

e. Laje L2 � peso por metro quadrado de parede

2

hpg

xx

parparparpar l

l

l

×

××=

2par m/kN25,3

240,240,2

70,270,104,2g =×

××=

f. Carregamentos

8.6.4 Parapeitos e balcões Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas, uma carga horizontal

de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m (ABNT NBR 6120, item 2.2.15), como mostrado na Figura 8.13.

Figura 8.13 � Parapeitos e balcões

2 kN/m 0,8 kN/m

1,6 m 2,5 m

6 m

2,4 m

2,2

m

L1

5,51 kN/m

L2

1,2 m 6 m

2,4 m 3,25 kN/m2

1,7 m

3 m

2006 8-13 ufpr/tc405

8.6.5 Redução de cargas acidentais em pilares e fundações No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas

comerciais não destinadas a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 8.2 (ABNT NBR 6120, item 2.2.1.8).

Nº de pisos que atuam sobre o elemento

Redução percentual das cargas acidentais

1, 2 e 3 0% 4 20% 5 40%

6 ou mais 60% Tabela 8.2 � Redução de cargas acidentais

Na aplicação da Tabela 8.2, o forro deve ser considerado como piso (Figura 8.14).

Figura 8.14 - Redução de cargas acidentais

8.7 Determinação de esforços em lajes Para a determinação dos esforços em lajes maciças de concreto armado, duas

simplificações são admitidas: − existe uma separação virtual entre as lajes e as vigas que suportam o painel de lajes;

e − a reação de apoio das vigas suporte do painel de lajes se faz de forma uniformemente

distribuída. Embora concretadas de forma monolítica, admite-se que as lajes e vigas sejam separadas

virtualmente, de tal forma que possam ser projetadas individualmente (Figura 8.15). As vigas suporte das lajes são consideradas como apoios indeslocáveis.

g + 1,0 q

g + 1,0 q

g + 1,0 q

g + 0,8 q

g + 0,6 q

g + 0,4 q

g + 0,4 q

g + 0,4 q

2º

1º (cob)

3º

4º

5º

6º

7º

iº

2006 8-14 ufpr/tc405

Figura 8.15 � Separação virtual entre lajes e vigas Uma vez que as vigas suportes das lajes são consideradas como indeslocáveis, pode-se

admitir que as reações de apoio existentes nas interfaces lajes/vigas sejam consideradas como uniformemente distribuídas (Figura 8.16). Rigorosamente isto não ocorre pois existe uma tendência de levantamento nos cantos das lajes.

Figura 8.16 � Reação de apoio de lajes

8.7.1 Lajes isoladas A determinação dos esforços em lajes isoladas pode ser feita por processos aproximados

(MARCUS), pela teoria das placas (BARES), pela teoria das charneiras plásticas (LANGENDONCK), etc.. Dentre o conjunto de soluções apresentadas na literatura mundial, destacam-se as tabelas de CZERNY, para determinação dos momentos fletores atuantes em lajes isoladas. A notação a ser usada para CZERNY está mostrada na Figura 8.17 e o conjunto de tabelas é apresentado em 8.11.

Figura 8.17 � Notação das tabelas de CZERNY

As tabelas de CZERNY foram confeccionadas para varias condições de contorno e carga. Os momentos fletores são dados pelas seguintes expressões:

y

2x

byy

2x

y

x

2x

bxx

2x

x

pmpm

pmpm

β=

α=

β=

α=

ll

ll

Equação 8.7

lx mby

ly

mbx

my

mx

2006 8-15 ufpr/tc405

onde: lx menor vão; ly maior vão; mx momento fletor positivo na direção x; my momento fletor positivo na direção y; mbx momento fletor negativo (borda) na direção x; mby momento fletor negativo (borda) na direção y; p carga uniformemente distribuída em toda laje; αx coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x; αy coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y; βx coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; e βy coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y. Se a carga uniformemente distribuída corresponder a um valor característico (pk = gk + qk) os

momentos fletores resultarão característicos (mk). Se a carga corresponder a um valor de cálculo (pd = γg gk + γq qk), os momentos fletores resultarão de cálculo (md).

8.7.2 Lajes contínuas Como as tabelas de CZERNY determinam momentos fletores isolados em bordas que são

contínuas em um painel de lajes, torna-se necessário uniformizar estes momentos negativos atuantes nestas regiões de continuidade de lajes (Figura 8.18).

Figura 8.18 � Momentos fletores em lajes continuas O momento negativo de borda, atuante na junção das lajes Li e Lj, é dado pela seguinte

expressão:

bibj

bj

bjbi

bij mmm8,02

mmmaxm >

+= Equação 8.8

A uniformização dos momentos fletores negativos atuantes na junção das lajes Li e Lj implica em alterações (correções) nos momentos fletores positivos mi e mj (Figura 8.19). O momento mi tem seu valor reduzido ao passo que o momento mj tem seu valor aumentado.

Figura 8.19 � Momentos fletores uniformizados em lajes continuas

lxi

lyi

lyj

lxj

Li Lj

mi mj

mbi mbj

lxi

lyi

lyj

lxj

Li Lj mbij mbj

mi,cor mj,cor

2006 8-16 ufpr/tc405

O ajuste de momentos fletores positivos nas lajes Li e Lj corresponde a:

bibj

bijbjjcor,j

icor,i

mm

2mm

mm

mm>

−+=

= Equação 8.9

Como pode ser observado na Equação 8.9, a correção de momentos positivos só é feita para o momento mj (momento que sofre acréscimo). Caso mbi seja maior que mbj, os índices i e j devem ser invertidos na Equação 8.8 e na Equação 8.9.

Deve ser observado também que na Figura 8.18 e na Figura 8.19, bem como na Equação 8.8 e na Equação 8.9, os índices x e y correspondentes as direções das lajes Li e Lj não foram considerados (aprecem na Figura 8.17). A relação entre os valores apresentados sem os índices x e y (direções) corresponde a:

mi myi momento fletor positivo na direção y da laje Li; mj mxj momento fletor positivo na direção x da laje Lj; mbi mbyi momento fletor negativo na direção y da laje Li; e mbj mbxj momento fletor negativo na direção x da laje Lj.

Exemplo 8.4: Determinar os momentos fletores de cálculo atuantes no painel de lajes abaixo indicado. Considerar:

− estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4 e γq = 1,4);

− carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m2: e − carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m2.

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos nas regiões de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9.

a. Carregamento das lajes (valores de cálculo) qqkgd qgp γ+γ=

2d m/kN4,80,24,10,44,1p =×+×=

b. Laje L1 m8,1x1 =l m0,4y1 =l

=β=β=α=α

⇒⇒==

00,1200,8

20,4020,14

tab22,28,10,4

1y

1x

1y

1x

x1

y1

l

l

4 m

1,2 m

5m 3 m 1,8 m

L1 L2 L3

L4

ly1 = 4 m

lx1 = 1,8 m

L1 mbx1

mx1

my1

mby1

2006 8-17 ufpr/tc405

m/kNm92,120,14

8,14,8pm2

1x

21xd

d,1x =×

=α

=l

m/kNm68,020,40

8,14,8pm2

1y

21xd

d,1y =×

=α

=l

m/kNm40,300,8

8,14,8pm2

1x

21xd

d,1bx −=×

−=β

−=l

m/kNm27,200,12

8,14,8pm2

1y

21xd

d,1by −=×

−=β

−=l

c. Laje L2 m0,3x2 =l m0,4y2 =l

=β=β=α=α

⇒⇒==

50,1700,1383,4787,27

tab33,10,30,4

2y

2x

2y

2x

x2

y2

l

l

m/kNm71,287,27

0,34,8pm2

2x

22xd

d,2x =×

=α

=l

m/kNm58,183,47

0,34,8pm2

2y

22xd

d,2y =×

=α

=l

m/kNm82,500,13

0,34,8pm2

2x

22xd

d,2bx −=×

−=β

−=l

m/kNm32,450,17

0,34,8pm2

2y

22xd

d,2by −=×

−=β

−=l

d. Laje L3 m0,4x3 =l m0,5y3 =l

=β=β=α=α

⇒⇒==

90,1210,1140,3490,24

tab25,10,40,5

3y

3x

3y

3x

x3

y3

l

l

m/kNm40,590,24

0,44,8pm2

3x

23xd

d,3x =×

=α

=l

m/kNm91,340,34

0,44,8pm2

3y

23xd

d,3y =×

=α

=l

m/kNm11,1210,11

0,44,8pm2

3x

23xd

d,3bx −=×

−=β

−=l

m/kNm42,1090,12

0,44,8pm2

3y

23xd

d,3by −=×

−=β

−=l

e. Laje L4 (laje isostática � laje em balanço) m2,1x4 =l

m/kNm05,62

2,14,82

pm22

4xdd,4bx −=

×−=−=

l

ly2 = 4 m

lx2 = 3 m

L2 mbx2

mx2

my2

mby2

lx3= 4 m

ly3 = 5 m

L3

mby3

my3

mbx3

mx3

lx4= 1,2 m

L4

mbx4

2006 8-18 ufpr/tc405

f. Uniformização de momentos fletores � Lajes L1/L2

d,1bd,2b

d,2b

d,2bd,1b

d,12b mmm8,02

mmmaxm >

+=

×

+=

82,58,02

82,540,3maxm d,12b

=

66,461,4

maxm d,12b

m/kNm66,4m d,12b = ◄

d,1bd,2bd,12bd,2b

d,2cor,d,2 mm2

mmmm >

−+=

2

66,482,571,2m cor,d,2−

+=

m/kNm29,3m cor,d,2 = ◄

g. Uniformização de momentos fletores � Lajes L2/L3

d,2bd,3b

d,3b

d,3bd,2b

d,23b mmm8,02

mmmaxm >

+=

×

+=

42,108,02

42,1082,5maxm d,23b

=

34,812,8

maxm d,23b

m/kNm34,8m d,23b = ◄

d,2bd,3bd,23bd,3b

d,3cor,d,3 mm2mm

mm >−

+=

2

34,842,1091,3m cor,d,3−

+=

m/kNm95,4m cor,d,3 = ◄

h. Uniformização de momentos fletores � Lajes L1/L4 Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L1 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m). Não há correção do momento positivo da laje L1 pois o momento da borda desta laje (2,27 kNm/m) é inferior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m). m/kNm05,6mm d,4bd,14b == ◄ m/kNm68,0m d,1 = ◄

L1

3,40

1,92

L2 5,82

2,71

5,82

L1 L2

3,29

5,82

1,92

4,66

L2 L3

3,91

5,82 10,42

3,29

4,66

L2

3,29

L3

4,95

8,34 4,66

L1

L4

0,68

2,

27

6,05

L1

L4

0,68

6,

05

2006 8-19 ufpr/tc405

i. Uniformização de momentos fletores � Lajes L2/L4 Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L2 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m). Não há correção do momento positivo da laje L2 pois o momento da borda desta laje (4,32 kNm/m) é inferior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m). m/kNm05,6mm d,4bd,24b == ◄ m/kNm58,1m d,2 = ◄

j. Uniformização de momentos fletores � Lajes L3/L4 Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L3 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m). Há correção do momento positivo da laje L4 pois o momento da borda desta laje (10,42 kNm/m) é superior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m). m/kNm05,6mm d,4bd,34b == ◄

d,4bd,3bd,34bd,3b

d,4cor,d,4 mm2mm

mm >−

+=

2

05,611,1240,5m cor,d,4−

+=

m/kNm43,8m cor,d,4 = ◄

k. Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3

L2

L4

1,58

4,

32

6,05

L2

L4

1,58

6,

05

L3

L4

5,40

12,1

1

6,05

L3

L4

8,43

6,05

L1 L2 L3

L4

1,92 3,29 4,95

4,66 8,34

2006 8-20 ufpr/tc405

l. Momentos fletores (kNm/m) nas direções L1/L4, L2/L4 e L3/L4

m. Observação Embora a relação entre o vão maior (4 m) e o vão menor (1,8 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada. Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), o resultado final praticamente não se alteraria pois o momento fletor positivo na direção do balanço resultou bem próximo de zero (0,68 kNm/m) e o momento fletor negativo (6,05 kNm/m) foi definido pela laje em balanço.

8.8 Armadura de flexão 8.8.1 Armadura principal e armadura secundária

Para as lajes armadas em duas direções (curvatura em duas direções ortogonais), todas as armaduras de flexão (armaduras longitudinais) são consideradas como principal.

Para as lajes armadas em uma só direção (uma só curvatura na direção do vão menor), a armadura considerada como principal é aquela posicionada na direção do vão menor. Na direção do vão maior deve-se, obrigatoriamente, colocar uma armadura de distribuição denominada armadura secundária (Figura 8.20).

Figura 8.20 � Armadura principal e secundária de lajes

L1 L2 L3

L4

6,05

6,05

6,05

0,68

8,43

1,58

ly ly

lx lx

armadura principal armadura secundária

2006 8-21 ufpr/tc405

8.8.2 Equações gerais Na determinação da armadura de flexão (momentos fletores) de lajes devem ser seguidos

os mesmos princípios estabelecidos no Capítulo [5]. A armadura será determinada para cada metro de laje (bw = 1 m). Para a determinação da altura útil é conveniente adotar-se a altura útil da armadura mais afastada da borda tracionada (Figura 8.21).

Figura 8.21 � Seção transversal de laje

( )lφ+−= 5,1chd nom Equação 8.10

Para as lajes de pouca altura, as armaduras de compressão devem ser evitadas. Desta forma as equações para determinação ou verificação da armadura longitudinal de lajes correspondem a:

xyds

cdws

min,sydsz

1Rds

xx

x

yd

s

x

s

xz

ck

ck

cd2

w

1Rdx

s

z

ck

ck

cd2

w

1Rdc

1RdRdSd

lim,1RdSd

w

ckcd2

w

ckcd2

wlim,1Rd

fAfdb68,0

Afd

mA

259,00,1�5,31fE

259,00,1

4,01

MPa35f400,0MPa35f500,0

fdb272,0m5625,125,1

ou

tabMPa35f228,0MPa35f272,0

fdbm

mmmcompressão de armadura de enecessidad há nãomm

cm100b

MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0

m

β

=β

≥ββ

=

>β≤×

ββ−

≤β=β

β−=β

>≤

≤−−=β

ββ

⇒⇒>≤

≤=β

==

⇒≤=

>≤

=

Equação 8.11

8.8.3 Armadura mínima Os valores das armaduras mínimas para lajes maciças de concreto armado estão

estabelecidos no item 19.3.3.3 da ABNT NBR 6118 e correspondem a: − armadura negativa

cyd

cdmin,s A

ff035,0A = (por metro de laje) Equação 8.12

h d = h � (cnom + 1,5 φl)

bw = 100 cm

φl

2006 8-22 ufpr/tc405

− armadura positiva de lajes armadas em duas direções

cyd

cdmin,s A

ff023,0A = (por metro de laje) Equação 8.13

− armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

cyd

cdmin,s A

ff035,0A = (por metro de laje) Equação 8.14

− armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção

=

cyd

cd

2princ,s

min,s

Aff018,0

cm9,0A20,0

maxA (por metro de laje) Equação 8.15

8.8.4 Diâmetro da armadura de flexão Segundo o item 20.1 da ABNT NBR 6118, qualquer barra de armadura de flexão de lajes

deve ter seu diâmetro limitado a 1/8 da espessura da laje (Figura 8.22 e Equação 8.16).

Figura 8.22 � Diâmetro máximo da armadura de flexão

8h

≤φl Equação 8.16

8.8.5 Espaçamento da armadura de flexão ABNT NBR 6118, item 20.1

�As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal.�

A Figura 8.23 mostra os espaçamentos máximos da armadura de flexão para lajes maciças de concreto armado.

Figura 8.23 - Espaçamento máximo da armadura de flexão

h

φl

8h

≤φl

φl

armadura principal

≤

h2

cm20mins

armadura secundária

cm33s ≤

2006 8-23 ufpr/tc405

Deve ser observado também que o item 20.1 da ABNT NBR 6118 não faz referência ao espaçamento mínimo entre as barras de flexão de lajes de concreto armado. Por razões construtivas, é conveniente não se posicionar barras com afastamentos inferiores a 7 cm.

De modo geral, pode-se estabelecer para as barras de flexão de lajes de concreto armado: − armadura principal

≤≤

h2cm20

minscm7 Equação 8.17

− armadura secundária cm33scm10 ≤≤ Equação 8.18

Observar que na Equação 8.18 o espaçamento mínimo para armadura secundária foi fixado em 10 cm.

Exemplo 8.5: Determinar as armaduras necessárias para o painel de lajes abaixo representada. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4

γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); − espessura das lajes (h): 12 cm; − cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm; − barras de flexão não alternadas; − carga permanente uniformemente distribuída (gk): 5 kN/m2: e − carga acidental uniformemente distribuída (qk): 1,5 kN/m2.

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As armaduras devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10, Equação 8.11, Equação 8.12, Equação 8.13, Equação 8.14, Equação 8.15, Equação 8.16, Equação 8.17 e Equação 8.18.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,402,5ff ==

γ=

2yk kN/cm 60MPa 600f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

5 m

6m 4 m 2 m

L1 L2 L3

2006 8-24 ufpr/tc405

2

s

ykyd kN/cm 2,52

1,1560f

f ==γ

=

cm 010bw = cm 12h = cm5,2cnom = ( )lφ+−= 5,1chd nom ( ) cm80,15,15,212d =×+−= (assumido φl = 10 mm) 2

wc cm 002112100hbA =×== armadura negativa

cyd

cdmin,s A

ff

035,0A =

m/cm44,112002,52

79,1035,0A 2min,s =××=

armadura positiva de lajes armadas em duas direções

cyd

cdmin,s A

ff023,0A =

m/cm95,012002,52

79,1023,0A 2min,s =××=

armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

cyd

cdmin,s A

ff035,0A =

m/cm44,112002,52

79,1035,0A 2min,s =××=

armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção

=

cyd

cd

2princ,s

min,s

Aff018,0

cm9,0A20,0

maxA

=××

=

m/cm74,012002,52

79,1018,0

cm9,0A20,0

maxA2

2princ,s

min,s

=

m/cm90,0A20,0

maxA 2princ,s

min,s

8h

≤φl

mm5,12cm50,18

12max, =φ⇒=≤φ ll

≤≤

h2cm20

minscm7

=×

≤≤cm24122

cm20minscm7

cm20scm7 ≤≤ (armadura principal) cm33scm10 ≤≤ (armadura secundária) MPa35ffdb272,0m ckcd

2wlim,1Rd ≤=

2006 8-25 ufpr/tc405

m/kNcm116379,18100272,0m 2lim,1Rd =×××=

m/kNm16,31m lim,1Rd = ⇐ máximo momento permitido na laje para que não haja armadura de compressão b. Carregamento das lajes (valores de cálculo) qqkgd qgp γ+γ=

2d m/kN1,95,14,10,54,1p =×+×=

c. Laje L1 m0,2x1 =l m0,5y1 =l

=β=α=α

⇒⇒==00,8

50,4220,14

tab50,20,20,5

1x

1y

1x

x1

y1

l

l

m/kNm56,220,14

0,21,9pm2

1x

21xd

d,1x =×

=α

=l

m/kNm86,050,42

0,21,9pm2

1y

21xd

d,1y =×

=α

=l

m/kNm55,400,8

0,21,9pm2

1x

21xd

d,1bx −=×

−=β

−=l

d. Laje L2 m0,4x2 =l m0,5y2 =l

=β=α=α

⇒⇒==70,1220,4840,26

tab25,10,40,5

2x

2y

2x

x2

y2

l

l

m/kNm52,540,26

0,41,9pm2

2x

22xd

d,2x =×

=α

=l

m/kNm02,320,48

0,41,9pm2

2y

22xd

d,2y =×

=α

=l

m/kNm46,1170,12

0,41,9pm2

2x

22xd

d,2bx −=×

−=β

−=l

e. Laje L3 m0,5x3 =l m0,6y3 =l

=β=α=α

⇒⇒==10,1080,2300,22

tab20,10,50,6

3y

3y

3x

x3

y3

l

l

m/kNm34,1000,22

0,51,9pm2

3x

23xd

d,3x =×

=α

=l

m/kNm56,980,23

0,51,9pm2

3y

23xd

d,3y =×

=α

=l

m/kNm52,2210,10

0,51,9pm2

3y

23xd

d,3by −=×

−=β

−=l

ly1 = 5 m

lx1 = 2 m

L1

mbx1

mx1

my1

ly2 = 5 m

lx2 = 4 m

L2

mbx2

mx2

my2 mbx2

lx3 = 5 m

ly3 = 6 m

L3

my3

mx3 mby3

2006 8-26 ufpr/tc405

f. Uniformização de momentos fletores � Lajes L1/L2

d,1bd,2b

d,2b

d,2bd,1b

d,12b mmm8,02

mmmaxm >

+=

×

+=

46,118,02

46,1155,4maxm d,12b

=

17,901,8

maxm d,12b

m/kNm17,9m d,12b =

d,1bd,2bd,12bd,2b

d,2cor,d,2 mm2

mmmm >

−+=

2

17,946,1152,5m cor,d,2−

+=

m/kNm67,6m cor,d,2 =

g. Uniformização de momentos fletores � Lajes L2/L3

d,2bd,3b

d,3b

d,3bd,2b

d,23b mmm8,02

mmmaxm >

+=

×

+=

52,228,02

52,2246,11maxm d,23b

=

02,1899,16

maxm d,23b

m/kNm02,18m d,23b =

d,2bd,3bd,23bd,3b

d,3cor,d,3 mm2mm

mm >−

+=

2

02,1852,2256,9m cor,d,3−

+=

m/kNm81,11m cor,d,3 =

h. Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3

L1

2,56

L2 11,46

5,52

11,46 4,55

L1

2,56

L2

6,67

11,46 9,17

L2 L3

9,56 22,52 9,17

6,67

11,46

L2 L3

11,81 18,02 9,17

6,67

L2 L3

11,81

18,02 9,17

L1

2,56 6,67

2006 8-27 ufpr/tc405

i. Momentos fletores (kNm/m) das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3)

j. Armadura para os momentos fletores na direção L1/L2/L3 mSd = 2,56 kNm/m { compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm56,2

Sd ⇒<321

m/kNcm256mmm 1RdRdSd ===

MPa35f272,0fdb

mck

cd2

w

1Rdc ≤≤=β

OK272,0022,079,18100

2562c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1987,0

022,0s

z

tabelac 321

min,sydsz

1Rds A

fdmA ≥ββ

=

m/cm95,0A 2min,s =

m/cm95,0m/cm62,02,52000,18987,0

256A 22s <=

×××=

m/cm95,0A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

mSd = -9,17 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm17,9

Sd ⇒<321

m/kNcm917mmm 1RdRdSd ===

OK272,0080,079,18100

9172c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1950,0

080,0s

z

tabelac 321

m/cm44,1A 2min,s =

OKm/cm44,1m/cm31,22,52000,18950,0

917A 22s >=

×××=

L1

0,86

L2

3,02

L3

10,34

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►5 0,196 ►20 0,98

s cm → 0,196 cm2 100 cm → 0,95 cm2

2006 8-28 ufpr/tc405

m/cm31,2A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

mSd = 6,67 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm67,6

Sd ⇒<321

m/kNcm667mmm 1RdRdSd ===

OK272,0058,079,18100

6672c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1964,0

058,0s

z

tabelac 321

m/cm95,0A 2min,s =

OKm/cm95,0m/cm66,12,52000,18964,0

667A 22s >=

×××=

m/cm66,1A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

mSd = -18,02 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm02,18

Sd ⇒<321

m/kNcm1802mmm 1RdRdSd ===

OK272,0157,079,18100

18022c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1897,0

157,0s

z

tabelac 321

m/cm44,1A 2min,s =

OKm/cm44,1m/cm81,42,52000,18897,0

1802A 22s >=

×××=

m/cm81,4A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

mSd = 11,81 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm81,11

Sd ⇒<321

m/kNcm1181mmm 1RdRdSd ===

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

5 0,196 8 2,45 ►6 0,283 ►12 2,36 7 0,385 16 2,41

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►5 0,196 ►11 1,78 6 0,283 17 1,66

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►8 0,503 ►10 5,03 10 0,785 16 4,91

s cm → 0,196 cm2 100 cm → 2,31 cm2

2006 8-29 ufpr/tc405

OK272,0103,079,18100

11812c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1935,0

103,0s

z

tabelac 321

m/cm95,0A 2min,s =

OKm/cm95,0m/cm02,32,52000,18935,0

1181A 22s >=

×××=

m/cm02,3A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

k. Armadura para os momentos fletores na direção das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3) mSd = 0,86 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm86,0

Sd ⇒<321

m/kNcm86mmm 1RdRdSd ===

OK272,0008,079,18100

862c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1996,0

008,0s

z

tabelac 321

m/cm95,0A 2min,s =

m/cm95,0m/cm21,02,52000,18996,0

86A 22s <=

×××=

m/cm95,0A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

mSd = 3,02 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm02,3

Sd ⇒<321

m/kNcm302mmm 1RdRdSd ===

OK272,0026,079,18100

3022c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1984,0

026,0s

z

tabelac 321

m/cm95,0A 2min,s =

m/cm95,0m/cm73,02,52000,18984,0

302A 22s <=

×××=

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►6 0,283 ►9 3,14 8 0,503 16 3,14

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►5 0,196 ►20 0,98

2006 8-30 ufpr/tc405

m/cm95,0A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

mSd = 10,34 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm16,31

lim,1Rdm/kNm34,10

Sd ⇒<321

m/kNcm1034mmm 1RdRdSd ===

OK272,0090,079,18100

10342c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1944,0

090,0s

z

tabelac 321

m/cm95,0A 2min,s =

OKm/cm95,0m/cm62,22,52000,18944,0

1034A 22s >=

×××=

m/cm62,2A 2s = ◄

cm20scm7 ≤≤

l. Armadura positiva

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►5 0,196 ►20 0,98

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

5 0,196 7 2,80 ►6 0,283 ►10 2,83 7 0,385 14 2,75

L1 L2

φ 5 mm @ 20 cm

L3

φ 5 mm @ 11 cm φ 6 mm @ 9 cm

φ 5 mm @ 20 cm φ 5 mm @ 20 cm φ 6 mm @ 10 cm

2006 8-31 ufpr/tc405

m. Armadura negativa

n. Consideração da laje L1 com curvatura em uma só direção Embora a relação entre o vão maior (5 m) e o vão menor (2 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada, resultando na armadura mostrada no item m (todas armaduras consideradas como principais). Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), os momentos fletores da laje L1 resultariam: m0,2x1 =l m0,5y1 =l

0,250,20,20,5

x1

y1 >==l

l

m/kNm56,22,140,21,9

2,14pm

221xd

d,1x =×

==l

m/kNm55,40,8

0,21,90,8

pm22

1xdd,1bx −=

×−=−=

l

Como não houve modificações nos momentos fletores na direção L1/L2, a distribuição de momentos e armadura nesta direção permanecerá inalterada para todo o painel de laje.

ly1 = 5 m

lx1 = 2 m

L1

mbx1

mx1

B A l

p

8pm

2

Bl

−=

2,14pm

2

ABl

+=

L2 L3

11,81

18,02 9,17

L1

2,56 6,67

L1 L2

φ 6 mm @ 12 cm

L3

φ 8 mm @ 10 cm

2006 8-32 ufpr/tc405

A única modificação deverá ser feita para a laje L1, na direção do maior vão (5 m), onde não haverá momento positivo atuando e deverá ser posicionada apenas uma armadura de distribuição, função do momento positivo na outra direção (2,56 kNm/m).

É importante observar que a armadura positiva para o momento fletor positivo da laje L1 (2,56 kNm/m) resultou em 0,95 cm2/m, correspondente ao valor de armadura mínima para laje armada em duas direções. Como agora a laje será armada em uma só direção, o valor da armadura mínima deve ser alterado para 1,44 cm2/m (1 φ de 5 mm @ 13 cm). Para a armadura de distribuição, tem-se:

=

m/cm90,0

A20,0maxA

2

princ,s

min,s

m/kNm56,2mm/cm44,1A Sd2

princ,s ==

=×=

m/cm90,0

m/cm29,044,120,0maxA

2

2

min,s

m/cm90,0A 2min,s = ◄

cm33scm10 ≤≤

A distribuição de armaduras do painel de lajes fica como a seguir indicado. armadura positiva

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►5 0,196 ►21 0,93 6,3 0,312 33 0,95

L1 L2

3,02

L3

10,34

L1 L2

φ 5 mm @ 13 cm

L3

φ 5 mm @ 11 cm φ 6 mm @ 9 cm

φ 5 mm @ 21 cm φ 5 mm @ 20 cm φ 6 mm @ 10 cm

2006 8-33 ufpr/tc405

armadura negativa (inalterada)

8.8.6 Comprimento de barras 8.8.6.1 Armadura positiva 8.8.6.1.1 Barras não alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras não alternadas devem seguir o indicado na Figura 8.24. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

Figura 8.24 � Comprimento de barras não alternadas � armadura positiva Observar na Figura 8.24 que as barras que constituem a armadura positiva das lajes

maciças de concreto devem terminar em gancho. Isto deve ser feito para melhorar as condições de ancoragem. O gancho de 90°, como mostrado na Figura 8.24, é o mais conveniente, embora nem sempre possa ser usado. A ponta superior deste gancho deve, também, respeitar o cobrimento nominal, o que nem sempre é possível. Quando o gancho de 90º não puder ser utilizado, pode-se fazer uso dos ganchos de 135° ou 180º, como mostrado na Figura [7.7] e na Figura 8.25.

c by =

l0y

+ b

wy1

+ b

wy2

� 2

cno

m - φ l

b wy1

b w

y2

l 0y

cbx = l0x + bwx1 + bwx2 � 2 cnom - φl

bwx2 l0x

bwx1

cbx

cby

bw

cnom

cnom φl

≥ cnom

L1 L2

φ 6 mm @ 12 cm

L3

φ 8 mm @ 10 cm

2006 8-34 ufpr/tc405

Figura 8.25 � Ganchos da armadura positiva O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração

deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela [7.4] e na Tabela 8.3. Tipo de Aço Bitola (mm)

CA-25 CA-50 CA-60 <20 4φ 5φ 6φ ≥20 5φ 8φ -

Tabela 8.3 � Diâmetro dos pinos de dobramento

8.8.6.1.2 Barras alternadas Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para

lajes contínuas, devem seguir o indicado na Figura 8.26. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da extremidade que chega ao apoio.

Figura 8.26 � Comprimento de barras alternadas � armadura positiva para lajes contínuas

2φ

D φ

a)

4φ

D φ

b)

8φ

D φ

c)

c by =

l0y

+ b

wy1

+ b

wy2

- 0,

2 l x

b wy1

b w

y2

l 0y

cbx = l0x + bwx1 + bwx2 � 0,2 lx

bwx2 l0x

bwx1

cbx

cby

bw

2006 8-35 ufpr/tc405

Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para lajes sem continuidade, devem seguir o indicado na Figura 8.27. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da extremidade que chega ao apoio.

Figura 8.27 � Comprimento de barras alternadas � armadura positiva para lajes sem continuidade

Para as lajes que apresentam continuidade em uma só direção, os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, devem ser determinados de tal forma que:

− na direção da continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.26; e − na direção onde não existe continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.27. É importante observar que a ABNT NBR 6118, item 20.1, não faz referência aos

espaçamentos máximo e mínimo da armadura de flexão de lajes maciças de concreto constituídas por barras alternadas. Como o mínimo de três barras por metro de laje deve ser mantido, o espaçamento máximo das barras alternadas deve seguir o indicado na Figura 8.28 {[3 bar x (2 x 17 cm )]= 102 cm ≈ 1 m}.

Figura 8.28 � Espaçamento máximo da armadura de flexão � barras alternadas

armadura principal

≤

h2

cm17mins

bw

cnom

cnom φl

≥ cnom

c by =

l0y

+ b

wy1

+ b

wy2

� 0

,1 l

x

b wy1

b w

y2

l 0y

cbx = l0x + bwx1 + bwx2 � 0,1 lx

bwx2 l0x

bwx1

cbx

cby

2006 8-36 ufpr/tc405

Quanto ao espaçamento mínimo deve-se ser mantido o estabelecido na Equação 8.17. Desta forma, pode-se estabelecer para armadura de flexão de lajes maciças de concreto constituídas por barras alternadas:

≤≤

h2cm17

minscm7 Equação 8.19

8.8.6.2 Armadura negativa 8.8.6.2.1 – Lajes contínuas - barras não alternadas

Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de lajes contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.29. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

Figura 8.29 - Comprimento de barras não alternadas de lajes contínuas � armadura negativa

As barras que constituem a armadura negativa das lajes continuas devem terminar em gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.29. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado na Figura 8.25 e na Tabela 8.3.

8.8.6.2.2 – Lajes contínuas - barras alternadas Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras alternadas de lajes

contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.30. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

cb = 0,5 lx,maior

cb

l xi

lxk

0,25 lx,maior 0,25 lx,maior

lxj

l xli

cnom

≥ cnom

2006 8-37 ufpr/tc405

Figura 8.30 - Comprimento de barras alternadas de lajes contínuas � armadura negativa

8.8.6.2.3 Lajes em balanço – barras não alternadas Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de

lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.31. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

As barras que constituem a armadura negativa das lajes em balanço devem terminar em gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.31. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado na Figura 8.25 e na Tabela 8.3.

Figura 8.31 � Comprimento de barras não alternadas de lajes em balanço � armadura negativa

8.8.6.2.4 Lajes em balanço – barras alternadas Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb,maior e cb,menor) de barras

alternadas de lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.32. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.

cnom

cnom

lbal

≥ cnom

bal

x25,0max

l

l

lbal

balbal

xb

25,0maxc l

l

l+

=

cb

lx

cnom

≥ cnom

cb = 0,375 lx,maior

cb

l xi

0,25 lx,maior 0,25 lx,maior

lxj

2006 8-38 ufpr/tc405

Figura 8.32 � Comprimento de barras alternadas de lajes em balanço � armadura negativa

8.8.6.3 Armadura de fissuração – vigas de contorno Nas vigas de contorno, embora consideradas como apoio simples (sem momento negativo),

é sempre conveniente colocar uma armadura de fissuração como indicado na Figura 8.33.

Figura 8.33 � Vigas de contorno � armadura de fissuração

cnom

cnom

lbal

≥ cnom

lbal

balbal

xmaior,b

25,0maxc l

l

l+

=

cb,maior

lx

bal

x25,0max

l

l

cb,menor

+

= bal

bal

xmenor,b

25,0max5,0c l

l

l

cnom

≥ cnom

8φ

l b

cb

φ

bw cb = 0,2 lxi + 0,5 bw

cb

l xi

0,2 lxi 0,2 lxi

Li

cb Asy,fiss

A sx,

fiss

2006 8-39 ufpr/tc405

A armadura de fissuração, como mostrada na Figura 8.33, deverá corresponder a:

=

cyd

cd

2pos,sx

fiss,sx

Aff018,0

cm9,0A25,0

maxA (por metro de laje)

=

cyd

cd

2pos,sy

fiss,sy

Aff018,0

cm9,0A25,0

maxA (por metro de laje)

Equação 8.20

8.9 Reações de apoio Segundo a ABNT NBR 6118, item 14.7.6.1, as reações de apoio das lajes maciças

retangulares com carga uniformemente distribuída, em cada apoio, são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:

− 45° entre dois apoios do mesmo tipo; − 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente

apoiado; e − 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. A Figura 8.34 mostra o esquema para cálculo de reações de apoio de lajes.

Figura 8.34 − Reações de apoio de lajes Para a viga Vn, sobre a qual as lajes mostradas na Figura 8.34 estão apoiadas, a reação de

apoio será dada por:

i

nkVn

Aprl

= Equação 8.21

onde: rVn reação de apoio na viga Vn; pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje; An área n definida pelo trapézio de base li da Figura 8.34; li vão da laje e da viga Vn, correspondente a base do trapézio da Figura 8.34. A Equação 8.21 é válida para qualquer trapézio ou triângulo mostrado na Figura 8.34. A

reação de apoio em qualquer viga suporte das lajes mostradas na Figura será sempre dada pelo produto da carga uniformemente distribuída pela área do triângulo ou trapézio onde atua esta carga, dividido pela base do trapézio ou triângulo (vão da viga suporte).

60° 45°

60° 45°

An

Vn

li

60° 90°

90° 45°

An

Vn

li

2006 8-40 ufpr/tc405

Exemplo 8.6: Determinar os esquemas de carregamento das vigas do painel abaixo representado. Determinar, também, os carregamentos nos pilares.

Dados: − carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2; − carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2; − paredes atuantes sobre as vigas de contorno (tijolo furado de 10 cm, reboco

de 1,5 cm e 2,5 m de altura): 4,5 kN/m; e − peso próprio das vigas (20 cm x 50 cm): 2,5 kN/m. Solução: A solução do problema consiste na determinação, para as lajes, dos triângulos e

trapézios conforme o item 14.7.6.1 da ABNT NBR 6118. Os carregamentos sobre as vigas são determinados pela aplicação da Equação 8.21. Os carregamentos nos pilares são determinados pelo cálculo das reações de apoio das vigas.

a. Laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)

21A m 928,2

2464,14A =

×=

23 m 177,5464,1

2072,25A =×

+

=

24 m 967,8536,2

2072,25A =×

+

=

22A m 928,2

2464,14A =

×=

OKm20928,2967,8177,5928,2A 2n =+++=∑

1,464

5 m

A1A

A2A

A3 A4

45°

45° 60°

60°

V4

V3

V2A

V1A 4 m

1,46

4

2,536

1,46

4 2,

072 AL1 = 4 m x 5 m = 20 m2

PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 7 m

5 m

2006 8-41 ufpr/tc405

i

nkVn

Aprl

=

kN/m 562,24

928,25,3rV1A =×

=

kN/m 624,35

177,55,3rV3 =×

=

kN/m 277,65

967,85,3rV4 =×

=

kN/m 562,24

928,25,3rV2A =×

=

OKkN70)562,24()277,65()624,35()562,24(Pn =×+×+×+×=∑

b. Laje L2 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)

21B m 088,12500,2

2670,27A =×

+

=

24 m 825,10

2330,45A =

×

=

22B m 088,12500,2

2670,27A =×

+

=

OKm35088,12825,10088,12A 2n =++=∑

5 m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

3,62

4 kN

/m

6,27

7 kN

/m

V4

V3

V2A

V1A 4 m

L1

AL2 = 5 m x 7 m = 35 m2

PL2 = 35 m2 x 3,5 kN/m2 = 122,5 kN

4,330

5 m

A1B

A2B

A4

60°

60° 90°

90°

V4

V2B

V1B 7 m

2,50

0

2,670

2,50

0

2006 8-42 ufpr/tc405

i

nkVn

Aprl

=

kN/m 044,67

088,125,3rV1B =×

=

kN/m 578,75

825,105,3rV4 =×

=

kN/m 044,67

088,125,3rV2B =×

=

OKkN5,122)044,67()578,75()044,67(Pn =×+×+×=∑

c. Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)

5 m

V4

V2B

V1B 7 m

6,044 kN/m

6,044 kN/m

7,57

8 kN

/m

06,2

77 k

N/m

07

,578

kN

/m

13,8

55 k

N/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 7 m

5 m

2,562 kN/m

3,62

4 kN

/m

2,562 kN/m

6,044 kN/m

6,044 kN/m

2006 8-43 ufpr/tc405

d. Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2)

Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens a, b e c). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item c, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente). e. V3 � carregamento e reações de apoio carga acidental: qk = 1,553 kN/m carga permanente: reação da laje: 03,624 kN/m parede: 04,500 kN/m peso próprio da viga: 02,500 kN/m gk = 10,624 kN/m

kN560,262

5624,10GG 3P,kP1k, =×

==

kN883,32

5553,1QQ 3P,kP1k, =×

==

f. V4 � carregamento e reações de apoio carga acidental: qk = 5,938 kN/m carga permanente: reação da laje: 13,855 kN/m peso próprio da viga: 02,500 kN/m gk = 16,355 kN/m

2,69

0 kN

/m

3,24

8 kN

/m

5,93

8 kN

/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 7 m

5 m

1,098 kN/m

1,55

3 kN

/m

1,098 kN/m

2,590 kN/m

2,590 kN/m

P3 P1

V3 5 m

qk = 1,553 kN/m

gk = 10,624 kN/m

Gk,P1 = 26,560 kN

Qk,P1 = 3,883 kN

Gk,P3

Qk,P3

2006 8-44 ufpr/tc405

kN888,402

5355,16GG 2V,kV1k, =×

==

kN845,142

5938,5QQ 2V,kV1k, =×

==

g. V1 = V2 � carregamento e reações de apoio V1A carga acidental: qk = 1,098 kN/m carga permanente: reação da laje: 02,562 kN/m parede: 04,500 kN/m peso próprio da viga: 02,500 kN/m gk = 9,562 kN/m V1B carga acidental: qk = 2,590 kN/m carga permanente: reação da laje: 06,044 kN/m parede: 04,500 kN/m peso próprio da viga: 02,500 kN/m gk = 13,044 kN/m

kN926,112117888,40

115,37044,13

1194562,9560,26GG 3P,kP1k, =

×+

××+

××+==

kN078,84114888,40

115,77044,13

1124562,9GG 4P,kP2k, =

×+

××+

××==

kN692,22117845,14

115,37590,2

1194098,1883,3QQ 3P,kP1k, =

×+

××+

××+==

V2 V1

V4 5 m

qk = 5,938 kN/m

gk = 16,355 kN/m

Gk,V1 = 40,888 kN

Qk,V1 = 14,845 kN

Gk,V2

Qk,V2

V1B 7 m P1 P2

V1A 4 m

Gk,P2 = 84,078 kN

Qk,P2 = 18,558 kN

Gk,P1 = 112,926 kN

Qk,P1 = 22,692 kN

qk = 2,590 kN/m

gk = 13,044 kN/m

qk = 1,098 kN/m

gk = 9,562 kN/m

Qk = 3,883 kN

Gk = 26,560 kN

Qk = 14,845 kN

Gk = 40,888 kN

2006 8-45 ufpr/tc405

kN558,18114845,14

115,77590,2

1124098,1QQ 4P,kP2k, =

×+

××+

××==

h. Verificação carga permanente: lajes: (20 m2 + 35 m2) x 3,5 kN/m2 ................................ 192,5 kN pp das vigas: [2 x (4 m + 7 m + 5 m)] x 2,5 kN/m ........... 80,0 kN paredes: {[2 x (4 m + 7 m)] + 5 m} x 4,5 kN/m ............. 121,5 kN total: .............................................................................. 394,0 kN carga acidental: lajes: (20 m2 + 35 m2) x 1,5 kN/m2 .................................. 82,5 kN carga permanente (V1 + V2): 2 x (Gk,P1 + Gk,P2) = 2 x (112,926 + 84,078) .................. 394,0 kN carga acidental (V1 + V2): 2 x (Qk,P1 + Qk,P2) = 2 x (22,692 + 18,558) ...................... 82,5 kN i. Observação Neste exemplo foram usados números com três casas decimais, o que não é necessário para cálculos normais de estruturas de concreto. Este número exagerado de casas decimais foi usado para demonstrar a precisão da verificação apresentada no item h.

8.10 Força cortante em lajes maciças de concreto armado Segundo o item 19.4.1 da ABNT NBR 6118, as lajes maciças podem prescindir de armadura

transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante solicitante de cálculo obedecer à expressão1:

1RdSd vv ≤ Equação 8.22 onde:

vSd força cortante solicitante de cálculo (por metro de laje), podendo ser assumidas as reações de apoio como mostrado em 8.9; e

vRd1 força cortante resistente de cálculo (por metro de laje). A força cortante resistente de cálculo2 é dada por:

( )[ ]d402,1kv 1Rd1Rd ρ+τ= Equação 8.23 onde:

τRd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento; k coeficiente função da taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde

está sendo considerada a força cortante; ρ1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde está sendo considerada

a força cortante; e d altura útil da laje. A tensão resistente de cálculo ao cisalhamento é dada por:

MPa em ff0525,0ck

3 2ck

cRd γ=τ Equação 8.24

1 A ABNT NBR 6118 apresenta a equação de verificação de força cortante como sendo VSd ≤ VRd1, ou seja,

verificação de forças pontuais (kN). A Equação 8.22 faz a verificação de forças cortantes por unidade de comprimento (kN/m).

2 A expressão apresentada pela ABNT NBR 6118 corresponde a ( )[ ] db15,0402,1kV wcp1Rd1Rd σ+ρ+τ= . Nesta expressão estão incluídos o valor de bw, para que a expressão resulte em força pontual (kN), e o valor σcp, relativo à força de protensão. A Equação 8.23 não tem bw (resulta em força cortante por unidade de comprimento - kN/m) e não tem σcp (não considera força de protensão).

OK

OK

2006 8-46 ufpr/tc405

O coeficiente k deve ser determinado da seguinte forma: a. para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio:

0,1k = Equação 8.25

b. para os demais casos:

metros em d0,1

d6,1maxk

−= Equação 8.26

A taxa de armadura ρ1, na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, é dada pela expressão:

=ρ%2

dbA

minw

1s

1 Equação 8.27

onde: As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + lb,nec além da seção

considerada (Figura 8.35)1; bw largura mínima da seção ao longo da altura útil d (1 metro); e d altura útil da laje.

Figura 8.35 � Armadura a ser considerada na verificação de força cortante em lajes De modo geral pode-se adotar para valores de As1: a. 100% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força

cortante, para o caso de armadura não alternada; e b. 50% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força

cortante, para o caso de armadura alternada.

Exemplo 8.7: Verificar, para o painel abaixo representado, se as lajes podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: - estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4

γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); − espessura das lajes (h): 10 cm; − cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm; − barras de flexão alternadas; − carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2; e − carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2. 1 Alguns autores preferem considerar, sempre, a armadura positiva que chega ao apoio, ignorando as armaduras

tracionadas negativas.

d

seção considerada

As

d + lb,nec

As1 d

seção considerada

As

d + lb,nec

As1

2006 8-47 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As armaduras devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10 a Equação 8.19. A determinação das reações de apoio das lajes (força cortante) deve ser feita conforme o item 14.7.6.1 da ABNT NBR 6118, com a aplicação da Equação 8.21. A verificação da força cortante é feita com o uso da Equação 8.22 a Equação 8.27.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2

ck kN/cm 2,5MPa 25f == normal) combinação - (ELU 1,40=γ c

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,402,5ff ==

γ=

2yk kN/cm 60MPa 600f ==

normal) combinação - (ELU 1,15=γ s

2

s

ykyd kN/cm 2,52

1,1560f

f ==γ

=

cm 010bw = cm 10h = cm5,2cnom = ( )lφ+−= 5,1chd nom ( ) cm3,68,05,15,210d =×+−= (assumido φl = 8 mm) 2

wc cm 000110100hbA =×== armadura negativa

cyd

cdmin,s A

ff035,0A =

m/cm20,110002,52

79,1035,0A 2min,s =××=

armadura positiva de lajes armadas em duas direções

cyd

cdmin,s A

ff023,0A =

m/cm79,010002,52

79,1023,0A 2min,s =××=

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 4 m

5 m V5

2006 8-48 ufpr/tc405

armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

cyd

cdmin,s A

ff035,0A =

m/cm20,110002,52

79,1035,0A 2min,s =××=

armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção

=

cyd

cd

2princ,s

min,s

Aff018,0

cm9,0A20,0

maxA

=××

=

m/cm62,010002,52

79,1018,0

cm9,0A20,0

maxA2

2princ,s

min,s

=

m/cm90,0A20,0

maxA 2princ,s

min,s

8h

≤φl

mm5,12cm25,18

10max, =φ⇒=≤φ ll

≤≤

h2cm17

minscm7 (barras alternadas)

=×

≤≤cm20102

cm17minscm7

cm17scm7 ≤≤ (armadura principal, barras alternadas) cm33scm10 ≤≤ (armadura secundária) MPa35ffdb272,0m ckcd

2wlim,1Rd ≤=

m/kNcm932179,13,6100272,0m 2lim,1Rd =×××=

m/kNm32,19m lim,1Rd = ⇐ máximo momento permitido na laje para que não haja armadura de compressão b. Carregamento das lajes (valores de cálculo) qqkgd qgp γ+γ=

2d m/kN0,75,14,15,34,1p =×+×=

c. Laje L1 m0,4x1 =l m0,5y1 =l

=β=α=α

⇒⇒==9,9

2,354,21

tab25,10,40,5

1x

1y

1x

x1

y1

l

l

m/kNm23,54,21

0,40,7pm2

1x

21xd

d,1x =×

=α

=l

m/kNm18,32,35

0,40,7pm2

1y

21xd

d,1y =×

=α

=l

l y1 =

5 m

lx1 = 4 m

L1

mbx1

mx1

my1

2006 8-49 ufpr/tc405

m/kNm31,119,9

0,40,7pm2

1x

21xd

d,1bx −=×

−=β

−=l

d. Momentos fletores das lajes com continuidade (L1/L2) A uniformização de momentos é feita pela própria simetria do painel de lajes.

e. Momentos fletores das lajes sem continuidades (L1 e L2)

f. Armadura para os momentos fletores mSd = 5,23 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm32,19

lim,1Rdm/kNm23,5

Sd ⇒<321

m/kNcm523mmm 1RdRdSd ===

MPa35f272,0fdb

mck

cd2

w

1Rdc ≤≤=β

OK272,0074,079,13,6100

5232c <=××

=β

=β=β

⇒⇒=β000,1954,0

074,0s

z

tabelac 321

min,sydsz

1Rds A

fdmA ≥ββ

=

m/cm79,0A 2min,s =

OKm/cm79,0m/cm67,12,52000,13,6954,0

523A 22s >=

×××=

m/cm67,1A 2s = ◄

L1

11,31 kN/m

5,23 kN/m

L2

5,23 kN/m

L1 L2

3,18

kN

/m

3,18

kN

/m

2006 8-50 ufpr/tc405

cm17scm7 ≤≤

mSd = -11,31 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm32,19

lim,1Rdm/kNm31,11

Sd ⇒<321

m/kNcm1131mmm 1RdRdSd ===

OK272,0159,079,13,6100

11312c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1896,0

159,0s

z

tabelac 321

m/cm20,1A 2min,s =

OKm/cm20,1m/cm84,32,52000,13,6896,0

1131A 22s >=

×××=

m/cm84,3A 2s = ◄

cm17scm7 ≤≤

mSd = 3,18 kNm/m

{compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm

m/kNm32,19

lim,1Rdm/kNm18,3

Sd ⇒<321

m/kNcm318mmm 1RdRdSd ===

OK272,0045,079,13,6100

3182c <=××

=β

=β

=β⇒⇒=β

000,1973,0

045,0s

z

tabelac 321

m/cm79,0A 2min,s =

OKm/cm79,0m/cm99,02,52000,13,6973,0

318A 22s >=

×××=

m/cm99,0A 2s = ◄

cm17scm7 ≤≤

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

6 0,283 7 4,04 7 0,385 10 3,85 ►8 0,503 ►13 3,87

s cm → 0,283 cm2 100 cm → 3,84 cm2

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►5 0,196 ►11 1,78 6 0,283 16 1,77 7 0,385 17 2,26

s cm → 0,196 cm2 100 cm → 1,67 cm2

φ (mm)

As,bar (cm2)

s (cm)

As,ef (cm2/m)

►5 0,196 ►17 1,15 6 0,283 17 1,66

2006 8-51 ufpr/tc405

g. Armadura

h. Reação de apoio - laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos

21A m 928,2

2464,14A =

×=

23 m 177,5464,1

2072,25A =×

+

=

24 m 967,8536,2

2072,25A =×

+

=

22A m 928,2

2464,14A =

×=

OKm20928,2967,8177,5928,2A 2n =+++=∑

i

nkVn

Aprl

=

kN/m 562,24

928,25,3rV1A =×

=

kN/m 624,35

177,55,3rV3 =×

=

kN/m 277,65

967,85,3rV4 =×

=

kN/m 562,24

928,25,3rV2A =×

=

1,464

5 m

A1A

A2A

A3 A4

45°

45° 60°

60°

V4

V3

V2A

V1A 4 m

1,46

4

2,536

1,46

4 2,

072 AL1 = 4 m x 5 m = 20 m2

PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN

L1 L2 φ 5 mm @ 17 cm 1,15 cm2/m

φ 5 mm @ 11 cm 1,78 cm2/m

φ 8 mm @ 13 cm 3,87 cm2/m

2006 8-52 ufpr/tc405

OKkN70)562,24()277,65()624,35()562,24(Pn =×+×+×+×=∑

i. Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos

j. Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2) � valores característicos

Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens h e i). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como

5 m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

3,62

4 kN

/m

6,27

7 kN

/m

V4

V3

V2A

V1A 4 m

L1

06,2

77 k

N/m

06

,277

kN

/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 4 m

5 m

2,562 kN/m

3,62

4 kN

/m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

2,562 kN/m

3,62

4 kN

/m

V5

02,6

90 k

N/m

02

,690

kN

/m

P1

P3 P4

P2

V4

V3

V2B V2A

V1B V1A

L1 L2

4 m 4 m

5 m

1,098 kN/m

1,55

3 kN

/m

1,098 kN/m

1,098 kN/m

1,098 kN/m

1,55

3 kN

/m

V5

2006 8-53 ufpr/tc405

não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item i, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente). k. Apoio V1A � verificação da força cortante (igual para V1B, V2A e V2B) qkgkSd r4,1r4,1v += m/kN562,2r A1V,gk = m/kN098,1r A1V,qk = m/kN1,5098,14,1562,24,1vSd =×+×=

MPa em ff0525,0ck

3 2ck

cRd γ=τ

23 2Rd cm/kN032,0MPa321,025

4,10525,0

===τ

0,1k = (barras alternadas)

2

AA ef,s

1s = (barras alternadas)

m/cm15,1A 2ef,s = (1 φ 5 mm @ 17 cm) � armadura positiva que chega na V1A

=ρ%2

dbA

minw

1s

1

%091,0%2

%091,0min

%2

3,6100215,1

min1 =

=

×=ρ

( )[ ]d402,1kv 1Rd1Rd ρ+τ=

m/kN9,24cm/kN249,03,6100091,0402,10,1032,0v 1Rd ==×

×+××=

1RdSd vv ≤

{ {OKvv

m/kN9,241Rd

m/kN1,5Sd <

l. Apoio V3 � verificação da força cortante (igual para V5) m/kN624,3r 3V,gk = m/kN553,1r 3V,qk = m/kN2,7553,14,1624,34,1vSd =×+×= 2

Rd cm/kN032,0=τ 0,1k = (barras alternadas) m/cm78,1A 2

ef,s = (1 φ 5 mm @ 11 cm) � armadura positiva que chega na V3 (V5)

%141,0%2

%141,0min

%2

3,6100278,1

min1 =

=

×=ρ

2006 8-54 ufpr/tc405

m/kN3,25cm/kN253,03,6100141,0402,10,1032,0v 1Rd ==×

×+××=

{ {

OKvvm/kN3,25

1Rdm/kN2,7

Sd <

m. Apoio V4 � verificação da força cortante m/kN277,6r 4V,gk = m/kN690,2r 4V,qk = m/kN6,12690,24,1277,64,1vSd =×+×= 2

Rd cm/kN032,0=τ 0,1k = (barras alternadas) m/cm87,3A 2

ef,s = (1 φ 8 mm @ 13 cm) � armadura negativa sobre a V41

%307,0%2

%307,0min

%2

3,6100287,3

min1 =

=

×=ρ

m/kN7,26cm/kN267,03,6100307,0402,10,1032,0v 1Rd ==×

×+××=

{ {

OKvvm/kN7,26

1Rdm/kN6,12

Sd <

8.11 Tabelas de CZERNY As tabelas as seguir apresentadas são válidas para lajes retangulares apoiadas em todas as

suas bordas, com carregamento uniformemente distribuído. Estas tabelas apresentadas por CZERNY no volume I do Beton Kalender de 1976 foram adaptadas por BURKE para coeficiente de Poisson (ν) igual a 0,20.

Nas tabelas que se seguem valem as seguintes notações: lx menor vão da laje; ly maior vão da laje; mx momento fletor positivo na direção x; my momento fletor positivo na direção na y; mbx momento fletor negativo (borda) na direção x; mby momento fletor negativo (borda) na direção y; a flecha máxima da laje; p carga uniformemente distribuída em toda laje; αx coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x; αy coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y; βx coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; βy coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y; αa coeficiente para definição da flecha; Ec módulo de elasticidade secante do concreto (Ecs); e h espessura da laje.

x

2x

xpmα

=l

y

2x

ypmα

=l

x

2x

bxpmβ

−=l

y

2x

bypmβ

−=l

a3

c

4x

hEpa

α=

l

1 Alguns autores consideram as armaduras positivas que chegam ao apoio (1,78 cm2/m � 1 φ de 5 mm @ 11 cm).

2006 8-55 ufpr/tc405

8.11.1 Quatro bordas com apoios simples

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 22,7 22,7 21,4 1,05 20,8 22,5 19,4 1,10 19,3 22,3 17,8 1,15 18,1 22,3 16,5 1,20 16,9 22,3 15,4 1,25 15,9 22,4 14,3 1,30 15,2 22,7 13,6 1,35 14,4 22,9 12,9 1,40 13,8 23,1 12,3 1,45 13,2 23,3 11,7 1,50 12,7 23,5 11,2 1,55 12,3 23,5 10,8 1,60 11,9 23,5 10,4 1,65 11,5 23,5 10,1 1,70 11,2 23,5 9,8 1,75 10,8 23,5 9,5 1,80 10,7 23,5 9,3 1,85 10,4 23,5 9,1 1,90 10,2 23,5 8,9 1,95 10,1 23,5 8,7 2,00 9,9 23,5 8,6 >2 8,0 23,5 6,7

8.11.2 Três bordas com apoios simples e um engaste em lx

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 >2 8,0 24,0 8,0 6,7

lx

ly

my

mx

mby

ly

my

mx

lx

2006 8-56 ufpr/tc405

8.11.3 Três bordas com apoios simples e um engaste em ly

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 26,5 32,4 11,9 31,2 1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 >2 14,2 42,5 8,0 16,7

8.11.4 Duas bordas com apoios simples e dois engastes em lx

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 29,8 13,4 39,2 1,10 36,0 28,8 12,7 34,4 1,15 31,9 27,9 12,0 30,4 1,20 29,0 26,9 11,5 27,2 1,25 26,2 26,1 11,1 24,5 1,30 24,1 25,6 10,7 22,3 1,35 22,1 25,1 10,3 20,4 1,40 20,6 24,8 10,0 18,8 1,45 19,3 24,6 9,75 17,5 1,50 18,1 24,4 9,5 16,3 1,55 17,0 24,3 9,3 15,3 1,60 16,2 24,3 9,2 14,4 1,65 15,4 24,3 9,05 13,7 1,70 14,7 24,3 8,9 13,0 1,75 14,0 24,3 8,8 12,4 1,80 13,5 24,3 8,7 11,9 1,85 13,0 24,3 8,6 11,4 1,90 12,6 24,3 8,5 11,0 1,95 12,1 24,3 8,4 10,6 2,00 11,8 24,3 8,4 10,3 >2 8,0 24,3 8,0 6,7

lx

ly

mbx

my

mx

ly

lx

my mby

mx

2006 8-57 ufpr/tc405

8.11.5 Duas bordas com apoios simples e dois engastes em ly

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 29,9 46,4 13,8 43,2 1,10 29,0 47,2 13,5 41,5 1,15 28,0 47,7 13,2 40,1 1,20 27,2 48,1 13,0 39,0 1,25 26,4 48,2 12,7 37,9 1,30 25,8 48,1 12,6 37,2 1,35 25,3 47,9 12,4 36,5 1,40 24,8 47,8 12,3 36,0 1,45 24,4 47,7 12,2 35,6 1,50 24,2 47,6 12,2 35,1 1,55 24,0 47,6 12,1 34,7 1,60 24,0 47,6 12,0 34,5 1,65 24,0 47,6 12,0 34,2 1,70 24,0 47,4 12,0 33,9 1,75 24,0 47,3 12,0 33,8 1,80 24,0 47,2 12,0 33,7 1,85 24,0 47,1 12,0 33,6 1,90 24,0 47,1 12,0 33,5 1,95 24,0 47,1 12,0 33,4 2,00 24,0 47,0 12,0 33,3 >2 24,0 47,0 12,0 32,0

8.11.6 Duas bordas com apoios simples, um engaste em lx e outro em ly

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5 1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7 1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9 1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2 1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8 1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5 1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5 1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5 1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7 1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1 1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5 1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0 1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5 1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1 1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7 1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4 1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0 1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8 2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5 >2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

lx

ly

my

mx

mbx

lx mby

ly

mbx

my

mx

2006 8-58 ufpr/tc405

8.11.7 Três bordas engastadas e um apoio simples em lx

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1 1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5 1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2 1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9 1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9 1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0 1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2 1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5 1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0 1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4 1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0 1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6 1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4 1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2 1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9 1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8 2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7 >2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

8.11.8 Três bordas engastadas e um apoio simples em ly

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7 1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8 1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7 1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7 1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1 1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6 1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5 1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5 1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6 1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8 1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1 1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5 1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0 1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5 1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1 1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7 2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3 >2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7

lx mby

ly

mbx

my

mx

lx

mby

ly

mbx

my

mx

2006 8-59 ufpr/tc405

8.11.9 Quatro bordas engastadas

ly/lx αx αy βx βy αa

1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3 1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0 1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5 1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6 1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9 1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3 1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8 1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4 1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1 1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7 1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 33,8 2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,5 >2 24,0 57,0 12,0 17,5 34,3

8.12 Simbologia específica 8.12.1 Símbolos base

a dimensão flecha bw largura da laje largura mínima da seção ao longo da altura útil d bwxi largura da viga i na direção x bwxj largura da viga j na direção x bwyi largura da viga i na direção y bwyj largura da viga j na direção y cb comprimento horizontal de barra cb,maior comprimento horizontal maior de barra cb,menor comprimento horizontal menor de barra cbx comprimento horizontal de barra na direção x cby comprimento horizontal de barra na direção y cnom cobrimento nominal d altura útil da laje ereb espessura do reboco etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo fyk resistência ao escoamento do aço característica g carga permanente uniformemente distribuída gk valor característico da carga permanente gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento gtaco peso do taco por metro quadrado

lx

mby

ly

mbx

my

mx

2006 8-60 ufpr/tc405

h espessura da laje espessura do material hconc arm espessura do concreto armado hcont piso espessura do contra-piso hgesso espessura do gesso hpar altura da parede k coeficiente função da taxa de armadura existente na região próxima ao apoio l vão de laje vão de viga lb comprimento de ancoragem lb,nec comprimento de ancoragem necessário lbal vão de laje em balanço lef vão efetivo da laje li vão de laje vão de viga lpar largura da parede lx menor dimensão da laje lx,maior maior dos vãos lx lxi menor dimensão da laje Li lxj menor dimensão da laje Lj ly maior dimensão da laje lyi maior dimensão da laje Li lyj maior dimensão da laje Lj l0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos l0x distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção x l0y distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção y mbi momento fletor negativo (borda) da laje Li mbi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje Li mbij momento fletor negativo (borda) na junção das lajes Li e Lj mbij,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na junção das lajes Li e Lj mbj momento fletor negativo (borda) da laje Lj mbj,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje Lj mbx momento fletor negativo (borda) na direção x mbxi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção x da laje Li mby momento fletor negativo (borda) na direção y mbyi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção y da laje Li mi momento fletor positivo da laje Li mi,cor momento fletor positivo corrigido da laje Li mi,d,cor momento fletor positivo corrigido de cálculo da laje Li mj momento fletor positivo da laje Lj mj,cor momento fletor positivo corrigido da laje Lj mx momento fletor positivo na direção x mxi,d momento fletor positivo de cálculo na direção x da laje Li my momento fletor positivo na direção y myi,d momento fletor positivo de cálculo na direção y da laje Li mAB momento fletor positivo no vão AB mB momento fletor negativo (engaste) no apoio B mRd momento fletor resistente de cálculo mRd1 momento fletor resistente de cálculo sem a consideração de armadura comprimida mRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção mRd1,lim transversal (βx = βx,lim) mSd momento fletor solicitante de cálculo p carga uniformemente distribuída correspondente à somatória da carga permanente mais a carga acidental carga uniformemente distribuída na laje carga uniformemente distribuída na viga

2006 8-61 ufpr/tc405

pd valor de cálculo da somatória carga permanente mais carga acidental pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje valor característico da somatória carga permanente mais carga acidental ppar peso da parede por unidade de área peso da parede por unidade de área q carga acidental uniformemente distribuída qedif com carga acidental de edifícios comerciais qk valor característico da carga acidental rgk reação de apoio característica devida à carga permanente rgk,Vi reação de apoio característica devida à carga permanente na viga Vi rqk reação de apoio característica devida à carga acidental rqk,Vi reação de apoio característica devida à carga acidental na viga Vi rVn reação de apoio na viga s espaçamento entre as barras que constituem a armadura longitudinal t comprimento do apoio vRd1 força cortante resistente de cálculo vSd força cortante solicitante de cálculo As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + lb,nec além da seção considerada Ac área de concreto An área de triângulo ou trapézio As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada As,bar área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada de uma barra As,min área da seção transversal mínima da armadura longitudinal tracionada As,princ área da seção transversal principal da armadura longitudinal tracionada As,ef área da seção transversal efetiva da armadura longitudinal tracionada Asx,fiss armadura de fissuração na direção x Asx,pos armadura positiva na direção x Asy,fiss armadura de fissuração na direção y Asy,pos armadura positiva na direção y ALi área da laje Li D diâmetro interno da curvatura Es módulo de elasticidade do aço Ec módulo de elasticidade secante do concreto Gk,Pi Reação de apoio devida à carga permanente no pilar Pi Gk,Vi Reação de apoio devida à carga permanente na viga Vi PLi força resultante atuante na laje Li Qk,Pi Reação de apoio devida à carga acidental no pilar Pi Qk,Vi Reação de apoio devida à carga acidental na viga Vi

αa coeficiente para definição da flecha αx coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x αy coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y βc valor adimensional auxiliar βs valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As βx coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x βx valor adimensional que define a posição da linha neutra βy coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y βz valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1 φ diâmetro das barras da armadura φl diâmetro da barra longitudinal γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto γconc arm peso específico do concreto armado γcont piso peso específico do contra-piso γg coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas γgesso peso específico do gesso γmat peso específico do material γq coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas

2006 8-62 ufpr/tc405

γreb peso específico do reboco γs coeficiente de ponderação da resistência do aço γtij peso específico do tijolo ρ1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio τRd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento

8.12.2 Símbolos subscritos bal balanço bar barra conc arm concreto armado cont piso contra-piso cor corrigido edif com edifício comercial ef efetivo fiss fissuração gesso gesso lim limite maior maior mat material menor menor min mínimo nec necessário par parede pos positivo princ principal reb reboco taco taco tij tijolo

8.13 Exercícios Ex. 8.1: Dimensionar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes

abaixo representado. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 11 cm; − altura útil da laje (d): 8 cm; − carga permanente (gk): 4,5 kN/m2 (peso próprio incluído); e − carga acidental (qk): 2,0 kN/m2. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes; − as armaduras das lajes devem ser alternadas; e − as dimensões da figura correspondem a centímetros.

2006 8-63 ufpr/tc405

Ex. 8.2: Para o painel abaixo indicado, determinar o valor da carga acidental uniformemente distribuída (qk) que as lajes podem suportar.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 12 cm; − altura útil da laje (d): 9 cm; − armadura positiva: 1 φ de 8 mm @ 15 cm nas duas direções; − armadura negativa: 1 φ de 8 mm @ 10 cm; e − carga permanente (gk): 5 kN/m2 (peso próprio incluído). Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

Ex. 8.3: Dimensionar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes abaixo representado.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60.

7 m 7 m

4 m

15

15

300 435 15 15 15

660 L1 L2

2006 8-64 ufpr/tc405

Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e − carga acidental (qk): 2 kN/m2. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes; − as armaduras das lajes devem ser alternadas; e − as dimensões da figura correspondem a centímetros.

Ex. 8.4: A figura abaixo representa a forma de um pavimento de um edifício. Sabendo-se que as lajes serão carregadas, além do peso próprio, por uma carga de revestimentos de 1,50 kN/m2 e por uma carga acidental igual a 2,0 kN/m2, pede-se determinar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e − as armaduras das lajes devem ser alternadas.

20 20

20 520 20

20

20

300

20

400

300

L2

L1

2006 8-65 ufpr/tc405

4,0 m 6,0 m

4,0 m

2,5 m L1

L2 L3

Ex. 8.5: A figura abaixo representa um painel de lajes de um pavimento de um edifício. Sabendo-se que as lajes estão carregadas, além do peso próprio, por uma carga de revestimentos de 1,50 kN/m2 e por uma carga acidental igual a 2,0 kN/m2, pede-se determinar as armaduras positivas e negativas da laje L3.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 11 cm; − altura útil da laje (d): 8 cm; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e − as armaduras das lajes devem ser alternadas.

L1 L2

L3

4 m

2,4 m

3 m 3 m

2006 8-66 ufpr/tc405

Ex. 8.6: Apresenta-se, na figura abaixo, o esquema estrutural de um pavimento constituído por três lajes maciças de concreto armado. Determinar as armaduras necessárias nas posições N1, N2 e N3 (cm2/m).

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e − carga acidental (qk): 2 kN/m2. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e − as dimensões da figura correspondem a centímetros.

Ex. 8.7: Determinar a máxima carga acidental (qk) que o painel de laje abaixo representado pode suportar.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 11 cm; − altura útil da laje (d): 8 cm; − armadura positiva: 1 φ de 10 mm @ 15 cm nas duas direções; − armadura negativa: 1 φ de 10 mm @ 10 cm; e − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído). Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

L1

L2

L3

200 400

600

400

400

200 700

200

N1

N2

N3

2006 8-67 ufpr/tc405

Ex. 8.8: Determinar, para o painel de lajes abaixo representado: a. o diagrama de momentos fletores (valores de cálculo) na direção x; b. a armadura negativa necessária na borda (encontro) das lajes L1/L2; e c. a armadura positiva, na direção x, da laje L3. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 12 cm; − altura útil da laje (d): 9 cm; − revestimento: 1 kN/m2; − carga acidental (qk): 6 kN/m2; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e − as armaduras das lajes devem ser alternadas.

2,2 m 5,0 m

5,0 m

L1 L2

L2 4,2 m

9,0 m

6,0 m

L1

L3

3,0 m

6,0 m

7,0 m

x

y

2006 8-68 ufpr/tc405

Ex. 8.9: Determinar o diagrama de momentos fletores de cálculo sobre os eixos u e v do painel de lajes abaixo representado.

Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); − carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e − peso da parede (ppar): 4,8 kN/m. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente em todas as lajes.

Ex. 8.10: Determinar a máxima carga acidental (qk) que o painel de lajes abaixo representado podem suportar.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − armadura positiva: 1 φ de 6,3 mm @ 12 cm nas duas direções; − armadura negativa: 1 φ de 8 mm @ 10 cm; e − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído). Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

v

u

4 m

4 m

3 m

1 m

2m 4m 4m

4m

4m

2m L4

L3

L2 L1

3 m

1 m

parede vazado

2006 8-69 ufpr/tc405

Ex. 8.11: Determinar o espaçamento necessário para as barras N1 e N2 do painel de laje abaixo representado.

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); − carga acidental (qk): 2 kN/m2; − armadura positiva (N2): φ de 6,3 mm; e − armadura negativa (N1): φ de 8 mm. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

Ex. 8.12: Para a laje abaixo indicada, determinar: a. o diagrama de momentos fletores de calculo das lajes L1, L2 e L3, na direção x; b. a armadura positiva (cm²/m) da laje L2, na direção y; e c. a armadura negativa (cm²/m) entre as lajes L2 e L3, na direção x. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm;

5,0 m 3,2 m

4,0 m

L1 L2

5,0 m 3,2 m

4,0 m

L1 L2

N1

N2

2006 8-70 ufpr/tc405

− carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e − carga acidental (qk): 2 kN/m2.

Obs.: − a laje L1 é em balanço, apoiada apenas na sua borda direita (ligação com a laje L2); − as demais lajes são suportadas por vigas; − a região entre as lajes L2 e L4 não tem laje (vazio); − a laje L3 tem uma parede com peso de 2,5 kN/m2 e altura 2,8 m (área hachureada); e − as cargas acidentais atuam simultaneamente em todas as lajes. Ex. 8.13: Determinar as armaduras positivas e negativas (cm2/m) na direção x do conjunto

de lajes abaixo representado. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 12 cm; − altura útil da laje (d): 9 cm; − carga permanente (gk): 5 kN/m2 (peso próprio incluído); e − carga acidental (qk): 3 kN/m2. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes; − as armaduras das lajes devem ser alternadas; e − apresentar, ao final dos cálculos, o esquema das armaduras, com as indicações das

áreas (cm2/m).

x

y

parede pilar

vazado

2,0 m 2,0 m 4,0 m 1,5 m

L2 L1 L3

L4 3,0 m

4,0 m

2006 8-71 ufpr/tc405

Ex. 8.14: Determinar, para a laje abaixo representada, a altura h mínima (múltiplo de 5 cm), de tal modo que a resistência aos momentos fletores ocorra sem a necessidade de armadura de compressão.

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 (γg = 1,35, γq = 1,5,

γc = 1,4 e γs = 1,15); − espessura da laje: h = d + 4 cm; − revestimento: 1 kN/m2; − carga acidental (qk): 10 kN/m2; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.

12 m

12 m L1

6,0 m 4,0 m

4,0 m

5,0 m

L1

L2

P6

P2

P4 P5

P7

P1 P3

V5A

V5B

x

y

V4

V6

V1A V1B

V3

V2

2006 8-72 ufpr/tc405

Ex. 8.15: A planta de formas abaixo indicada representa um conjunto de quatro lajes maciças de concreto armado. Levando-se em consideração que na extremidade livre das lajes em balanço L3 e L4 atua uma carga de 2 kN/m na vertical e uma carga horizontal de 0,8 kN/m posicionada a 80 cm do piso, determinar:

a. as armaduras positivas (cm2/m) para a laje L1; e b. as armaduras negativas (cm2/m) para as lajes L2 e L3. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e − carga acidental (qk): 3 kN/m2. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas lajes; e − as dimensões da figura correspondem a centímetros.

Ex. 8.16: Para o painel de laje abaixo representado, determinar: a. o esquema de carga atuante na viga V2; e b. as condições de segurança quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais. Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,2 kN/m2 e altura

2,2 m. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm;

355

20

110

205

355

110 20

20

20

V1A

V3

V2

V1B

P1 V6

V4

L1 L2

P6 P5

P3

20

V5

P2

P4

20

L4

L3

580

2006 8-73 ufpr/tc405

− acabamento dos pisos: ! regularização: 0,5 kN/m2; ! revestimento: 0,7 kN/m2;

− carga acidental (qk): 3 kN/m2; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − as dimensões da figura correspondem a centímetros; e − as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

Ex. 8.17: Para o painel de laje abaixo representado, determinar: a. o esquema de cargas (permanente e acidental) atuantes na viga V5; e b. as condições de segurança quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura das lajes (h):

! L1: 12 cm; ! L2: 8 cm;

− altura útil das lajes: d = h � 3 cm; − acabamento dos pisos:

! regularização: 0,5 kN/m2; ! revestimento: 1,0 kN/m2;

− carga acidental (qk): 2,0 kN/m2; − dimensões das vigas: 20 cm x 50 cm; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

V1 � 15 x 60

L1 h = 10 cm

L2 h = 10 cm

V2 � 15 x 60

V3 �

15

x 60

V4 �

15

x 60

V5 �

15

x 60

285

285 285

P1 P2

P3 P4

2006 8-74 ufpr/tc405

Ex. 8.18: O condomínio de um certo edifício pretende aproveitar a laje de cobertura para construir um depósito e decidiu consultar um especialista para opinar sobre a viabilidade da proposta.

O depósito a ser construído será em alvenaria de tijolos furados, 15 cm de espessura (tijolos de 10 cm + reboco de 2,5 cm por face) com 2,8 m de altura. Possuirá laje de cobertura (L2) impermeabilizada com carga total (valor característico) de 3,0 kN/m2.

Levantando informações do projeto estrutural a época da construção, soube-se que: − a laje de cobertura existente (L1) foi dimensionada para suportar um momento fletor

solicitante de cálculo igual a 10 kNm/m na direção x e 20 kNm/m na direção y. − A viga V1 foi dimensionada para suportar um momento fletor solicitante de cálculo

igual a 120 kNm. Considerando as informações fornecidas, você autorizaria ou não a construção do depósito?

Justifique sua resposta. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje L1: 10 cm; − acabamento do piso da laje L1:

! regularização: 0,5 kN/m2; ! impermeabilização: 0,5 kN/m2;

− carga acidental da laje L1: 0,5 kN/m2; − dimensões da viga V1: 20 cm x 50 cm; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − para o levantamento de cargas, desprezar as aberturas de portas e janelas; − a viga V1 só recebe carga da laje (L1) existente (não existe parede sobre ela); − a viga V1 pode ser considerada como simplesmente apoiada nos pilares; e − ignorar as verificações de força cortante nas lajes e vigas.

6,0 m 4,0 m

4,0 m

5,0 m

L1 h = 12 cm

L2 h = 8 cm

P6

P2

P4 P5

P7

P1 P3

V5A

V5B

V4

V6

V1A V1B

V3

V2

2006 8-75 ufpr/tc405

Ex. 8.19: No projeto de lajes comuns de edifícios de concreto armado (lajes sem armadura de compressão), após o pré-dimensionamento (fixação da altura da laje), deve-se:

a. verificar os esforços de cisalhamento; b. dimensionar a armadura de flexão; e c. verificar as deformações (flechas). Considerando apenas os itens a e b acima (ignorar as deformações), determine o máximo

valor possível de lx para a laje abaixo representada. Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − solicitações normais (momento fletor) e solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 12 cm; − altura útil da laje (d): 9,5 cm; − relação entre vãos (ly / lx); 1,5; − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e − carga acidental (qk): 1,5 kN/m2. Obs.: − adotar para lx um valor múltiplo de 5 cm.

L2

Laje impermeabilizada com carga total igual a

3,0 kN/m2

Vista frontal do depósito

3,0 m

3,0 m 2,80 m

Área prevista para o depósito (no meio da laje

de cobertura)

8,0 m

5,0 m

V1

Laje de cobertura (existente) h = 10 cm

L1

y

x

2006 8-76 ufpr/tc405

Ex. 8.20: Para a estrutura abaixo representada, determinar: a. o esquema de carga atuante na viga V7; e b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações

tangenciais. Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,2 kN/m2 e altura

2,3 m. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); − carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e − peso próprio das vigas: 3 kN/m. Obs.: − as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

lx

ly

P6

4,0 m 4,0 m

1,2

m

4,0

m

1,2

m

3,2

m

3,2

m

P1

P2 P3

P4 P5

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7B

V8

L1

V7C

V7

A

L2

L3

2006 8-77 ufpr/tc405

Ex. 8.21: Para a estrutura abaixo representada, determinar: a. o esquema de carga atuante na viga V2; e b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações

tangenciais. Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,8 kN/m2 e altura

2,2 m. Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − acabamento dos pisos (revestimento + regularização): 1,5 kN/m2; − carga acidental (qk): 2 kN/m2; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

Ex. 8.22: Para a estrutura abaixo representada, determinar: a. o máximo momento fletor solicitante de cálculo atuante na viga V4; e b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações

tangenciais. Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 8 kN/m.

V4B

V6B

V3

P1 P2

P3 P4

P5 P6

V1

V2

L1

L3

L2

V4A

V6A

6,0 m

3,0 m

4,0 m

3,0 m 3,0 m

V5

2006 8-78 ufpr/tc405

Dados: − concreto: C25; e − aço: CA-60. Considerar: − somente solicitações tangenciais (força cortante); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − acabamento dos pisos (revestimento + regularização): 1,5 kN/m2; − carga acidental (qk): 2 kN/m2; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − as dimensões da figura correspondem a centímetros; e − as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

Ex. 8.23: Determinar o carregamento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada. Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 9 kN/m. Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − acabamento dos pisos:

! regularização: 0,5 kN/m2; ! revestimento: 1,0 kN/m2;

− carga acidental (qk): 3,0 kN/m2; − dimensões das vigas: 20 cm x 50 cm; e − peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: − as dimensões da figura correspondem a centímetros; e − as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

V4 �

20X

50

P1 20X20

V1 � 20X50

V2 � 20X50

V3 � 20X50

L1 h = 10 cm

L2 h = 10 cm

P4 20X20

P3 20X20

P2 20X20

480 20 20

280

280

20

20

20

V5 �

20X

50

2006 8-79 ufpr/tc405

Ex. 8.24: Determinar o carregamento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada. Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); − carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e − peso próprio das vigas: 3 kN/m. Obs.: − as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.

80 20

20

20

580

V2

V4

V3

V1

P2

V7

V5

L1

L2

P5 P4

P1

380 20 20

80

20

20

20

V6

P3

P6

580

380 20

3 m

4 m

4 m

3 m 6 m

P1 P2

P3 P4

P5 P6

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

L1

L2

2006 8-80 ufpr/tc405

Ex. 8.25: Determinar a máxima carga acidental qk que as lajes L1 e L2 são capazes de suportar, sabendo-se que:

− as armaduras positivas (N1, N2, N3 e N4) são constituídas por barras de 5 mm espaçadas a cada 10 cm;

− a armadura negativa (N5) é constituída por barras de 8 mm espaçadas a cada 10 cm; e

− o carregamento máximo que a viga V4 é capaz de suportar, decorrente das reações das lajes e de seu peso próprio, é igual a 25 kN/m (valor característico).

Dados: − concreto: C20; e − aço: CA-50. Considerar: − somente solicitações normais (momento fletor); − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − espessura da laje (h): 10 cm; − altura útil da laje (d): 7 cm; − carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); − peso próprio das vigas: 1,5 kN/m. Obs.: − a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.

V2

N2

N4

N1 N3

L1 L2 480 cm

N5

V1

V3

V4

V5

400 cm 400 cm

480 cm

2006 9-1 ufpr/tc405

9 9PILARES

9.1 Definição ABNT NBR 6118, item 14.4.1.2:

�Pilares: Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes.�

9.2 Efeitos de 2ª Ordem1 Efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira

ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada (Figura 9.1).

Figura 9.1 � Efeitos de 1ª e 2ª ordem

Os efeitos de 2ª ordem, em cuja determinação deve ser considerado o comportamento não-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que não representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. Na Figura 9.1, o efeito de 2ª ordem (Nd x ∆) poderá ser desconsiderado se M2d ≤ 0,10 M1d.

A análise estrutural com efeitos de 2ª ordem deve assegurar que, para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo, não ocorra perda de estabilidade, nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo.

A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser obrigatoriamente considerada.

9.3 Classificação das Estruturas2 9.3.1 Efeitos Globais, Locais e Localizados de 2ª Ordem

Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia dos itens 15.2 e 15.3 da ABNT NBR 6118. 2 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.4 da ABNT NBR 6118.

Md

Hd

Nd

321l

ordemª1

dd

d1d

HMMM

×==

l

∆

Md

Hd

Nd

4342143421l

ordemª2

d

ordemª1

dd

d2d1d

)N()H(MMMM

∆×+×=+=

l

2006 9-2 ufpr/tc405

não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas.

9.3.2 Estruturas de Nós Fixos e Estruturas de Nós Móveis As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos quando os

deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem (Figura 9.2).

Figura 9.2 � Estruturas de nós fixos

As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados (Figura 9.3).

Figura 9.3 - Estruturas de nós móveis

9.3.3 Contraventamento Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que,

devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos contraventados. As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós moveis, de acordo com o estabelecido em 9.3.2 (Figura 9.4).

Figura 9.4 � Subestruturas de contraventamento e elementos contraventados

subestrutura de contraventamento

elemento contraventado

elemento contraventado

caixa de elevador ou pilar parede

2006 9-3 ufpr/tc405

9.3.4 Elementos Isolados São considerados elementos isolados, os seguintes: − os elementos estruturais isostáticos; − os elementos contraventados; − os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; e − os elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis desde que, aos

esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de 2ª ordem.

9.4 Dispensa da Consideração dos Esforços Globais de 2ª Ordem1 Os processos aproximados, apresentados em 9.4.1 e 9.4.2, podem ser utilizados para

verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem, ou seja, para indicar se a estrutura pode ser classificada como de nós fixos, sem necessidade de cálculo rigoroso.

9.4.1 Parâmetro de Instabilidade Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu

parâmetro de instabilidade α satisfazer as seguintes condições:

≥≤+

≤=α4n6,03nn1,02,0

IENH

ccs

ktot Equação 9.1

onde: n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um

nível pouco deslocável do subsolo; Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco

deslocável do subsolo; Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível

considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico; e Ecs Ic representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção

considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão Ecs Ic de um pilar equivalente de seção constante.

Na análise de estabilidade global pode ser adotado o valor do módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial dado em [1.4.6].

O valor de Ic deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada (Figura 9.5) da seguinte forma:

− calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal;

− calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.

Figura 9.5 � Rigidez do pilar equivalente � estrutura de contraventamento

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.5 da ABNT NBR 6118.

F ∆

F ∆

Htot

2006 9-4 ufpr/tc405

O valor limite 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Pode ser adotado para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares-parede. Pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos.

Exemplo 9.1: Classificar a estrutura abaixo representada de acordo com seu parâmetro de instabilidade α. A estrutura corresponde a um pórtico constituído por vigas e pilares de seção retangular.

Dados: � concreto: C25; � seção transversal dos pilares: 20 cm x 40 cm (na direção das solicitações

horizontais); � seção transversal das vigas: 20 cm x 50 cm (na direção das solicitações

horizontais); � vão entre pilares: 5 m; � diferença de cota entre pisos: 3 m; � carga acidental da cobertura: qk,cob = 3 kN/m; � carga permanente da cobertura: gk,cob = 12 kN/m; � carga acidental do pavimento tipo: qk,tipo = 5 kN/m; � carga permanente do pavimento tipo: gk,tipo = 15 kN/m; e � carga do vento: qk,vento = 5 kN/m.

Solução: O parâmetro de instabilidade α fica definido pela Equação 9.1. Por se tratar de um pórtico, e sendo n = 4, o valor limite de α deve ser tomado igual a 0,5.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C25kN/cm 2,5MPa 25f 2

ck ==

deelasticida de módulokN/cm8002MPa00028256005f6005E 2ckci ====

secante deelasticida de módulokN/cm3802800285,0E85,0E 2cics =×==

total alturacm1200m0,12Htot ==

fundação da acima andares de número4n =

simples pórtico 4,n5,0lim ==α

b. Determinação de Nk Deve ser observado que as equações de cálculo para as ações, conforme

estabelecido em [3.6], não se aplicam na determinação do parâmetro α. Especificamente para este caso, Fd não existe, resultando:

verticais cargas somenteFFFFF qkqkgkgkk εε +++= , constituindo-se na combinação de ações para da determinação de α.

20x50 (tipo)

20x50 (tipo)

5 m 5 m

20x50 (tipo)

20x50 (cob)

20x40 cm2 20x40 20x40

12 m 3 m

2006 9-5 ufpr/tc405

Com o auxílio do programa FTOOL1, chega-se:

c. Rigidez do pilar equivalente Com o auxílio do programa FTOOL, chega-se:

23

c cm82762371216620I =

×=

fixos nós de estrutura5,024,082762373802

7501200 ⇒<=×

=α

9.4.2 Coeficiente γz O coeficiente γz de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem global é válido

para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de carregamento, adotando-se os seguintes valores de rigidez:

1 FTOOL ⇒ programa destinado ao ensino do comportamento estrutural de pórticos planos, desenvolvido por Luiz

Fernando Martha do Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) [www.tecgraf.puc-rio.br/ftool].

388 kN 181 kN

3 + 12 = 15 kN/m (cobertura)

5 m 5 m

12 m

181 kN

5 + 15 = 20 kN/m (tipo)

Nk = 181 + 388 + 181 = 750 kN

forças horizontais e momentos fletores

não mostrados

5 kN/m 7,2 mm

20x50

20x50

5 m 5 m

20x50

20x50

20x40 cm2 20x40 20x40

12 m

7,2 mm

20x166 cm2

5 kN/m

2006 9-6 ufpr/tc405

( )

( )( )

( ) ccisec

s's

s's

ccisec

ccisec

ccisec

IE8,0EIpilares

AAparaAApara

IE5,0EIIE4,0EI

vigas

IE3,0EIlajes

=

=≠

==

=

Equação 9.2

onde: Eci é módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial dado em [1.4.6]; e Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as

mesas colaborantes. O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão:

d,tot,1

d,totz

MM

1

1∆

−=γ

Equação 9.3

onde: M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças

horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; e

∆Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem.

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: γz ≤ 1,1.

Exemplo 9.2: Classificar a estrutura abaixo representada de acordo com seu parâmetro de instabilidade γz. A estrutura corresponde a um pórtico constituído por vigas e pilares de seção retangular.

Considerar : estado limite último � combinação normal Dados: � concreto: C25; � seção transversal dos pilares: 20 cm x 40 cm (na direção das solicitações

horizontais); � seção transversal das vigas: 20 cm x 50 cm (na direção das solicitações

horizontais); � vão entre pilares: 5 m; � diferença de cota entre pisos: 3 m; � carga acidental da cobertura: qk,cob = 3 kN/m (ψ0 = 0,5);

20x50 (tipo)

20x50 (tipo)

5 m 5 m

20x50 (tipo)

20x50 (cob)

20x40 cm2 20x40 20x40

12 m 3 m

2006 9-7 ufpr/tc405

� carga permanente da cobertura: gk,cob = 12 kN/m; � carga acidental do pavimento tipo: qk,tipo = 5 kN/m (ψ0 = 0,5); � carga permanente do pavimento tipo: gk,tipo = 15 kN/m; e � carga do vento: qk,vento = 5 kN/m (ψ0 = 0,6). Solução: O parâmetro de instabilidade γz fica definido pela Equação 9.3, com as rigidez de

vigas e pilares definidas pela Equação 9.2. a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) C25kN/cm 2,5MPa 25f 2

ck ==

deelasticida de módulokN/cm8002MPa00028256005f6005E 2ckci ====

b. Rigidez equivalente das vigas e pilares (Equação 9.2) ( )[ ] ( ) c

E

ciccivigasec IE4,0IE4,0EIviga,c

43421==

2viga,c cm/kN1120MPa20011000284,0E ==×=

( )[ ] ( ) c

E

ciccipilarsec IE8,0IE8,0EIpilar,c

43421==

2pilar,c cm/kN2402MPa40022000288,0E ==×=

c. Combinações de ações Deve ser observado que as equações de cálculo para as ações, conforme

estabelecido em [3.6], se aplicam na determinação do parâmetro γz. As combinações possíveis das ações resultam:

)F6,0F(4,1F4,1F vento,qkacid,qkgk)1(

d ++=

)F5,0F(4,1F4,1F acid,qkvento,qkgk)2(

d ++=

)F6,0F(4,1F0,1F vento,qkacid,qkgk)3(

d ++=

)F5,0F(4,1F0,1F acid,qkvento,qkgk)4(

d ++=

d. 1ª combinação )F6,0F(4,1F4,1F vento,qkacid,qkgk

)1(d ++=

vento,qkacid,qkgk)1(

d F84,0F4,1F4,1F ++=

cobertura: vertical cargam/kN2134,1124,1)qg( d ⇒=×+×=+ tipo: lvertica cargam/kN2854,1154,1)qg( d ⇒=×+×=+ vento:

4,2 kN/m (vento) 21 kN/m (cobertura)

5 m 5 m

12 m

28 kN/m (tipo)

2006 9-8 ufpr/tc405

horizontal cargam/kN2,4584,0)q( d ⇒=×= Com o auxílio do programa FTOOL, chega-se:

kNmm400302kNm4,3022122,4

2)q(

M22

vento,ddtot,1, ==

×=

×=

l

fixos nós de estrutura1,1022,1

40030265871

1

MM

1

1

d,tot,1

d,totz ⇒<=

−=

∆−

=γ

e. demais combinações Repete-se o processo para as diferentes combinações de carregamentos. Para o

carregamento 2, γz igual a 1,020; carregamento 3, γz igual a 1,017; e carregamento 4, γz igual a 1,015.

9.5 Imperfeições Geométricas - Efeitos de 1ª Ordem1 De modo geral, os carregamentos (carga permanente, carga acidental, vento, etc),

combinados como mostrado em [3.6], provocam nas estruturas solicitações (momento fletor, força normal, força cortante, etc) e deformações (deslocamentos, rotações, etc). Quando as deformações são de pequena monta, diz-se que os efeitos causados na estrutura são de 1ª ordem.

É sabido porém, que, de uma forma genérica, as construções de concreto são geometricamente imperfeitas, apresentando, antes do carregamento, deformações decorrentes do processo construtivo.

No caso das estruturas reticuladas, por exemplo, existem imperfeições na posição e forma dos eixos das peças, na forma e dimensões da seção transversal, na distribuição da armadura, etc. Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, mas as imperfeições dos eixos das peças, não. Elas devem ser explicitamente consideradas, porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. Esses efeitos decorrem não só das solicitações diretamente atuantes, mas também da fluência e da sensibilidade a

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 11.3.3.4 da ABNT NBR 6118.

∆x 12,0 m

9,0 m

6,0 m

3,0 m

0,0 m

Cota ∆x,médio Nd,cota Nd x ∆x (m) (mm) (kN) (kNmm) 0,0 0,0 0,0 0 3,0 2,7 280,0 756 6,0 5,9 280,0 1652 9,0 8,1 280,0 2268

12,0 9,1 210,0 1911 ∆Mtot,d = 6587

∆x,médio: deslocamento horizontal médio dos nós do pórtico, na cota considerada.

Nd,cota: carga vertical total, na cota considerada (vão x carga distribuída).

2006 9-9 ufpr/tc405

imperfeições das estruturas de concreto. Esses efeitos são considerados, também, como de 1ª ordem.

Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos:

− imperfeições globais; e − imperfeições locais.

9.5.1 Imperfeições Globais � Desaprumo da Estrutura Na análise global das estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado

um desaprumo dos elementos verticais conforme mostrado na Figura 9.6. Considerando θ1 como sendo o desaprumo de um elemento vertical contínuo e θa o desaprumo global da estrutura, seus valores são determinados pela Equação 9.4 e Equação 9.5, respectivamente.

Figura 9.6 � Imperfeições geométricas global

≥θ≥

=θ

móveis nós de estruturas300

1

fixos nós de estruturas400

1

2001

H1001

1

1

Equação 9.4

2n11

1a

+θ=θ

Equação 9.5

onde: H é a altura total da edificação, em metros; e n é o número total de elementos verticais contínuos. ABNT NBR 6118, item 11.3.3.4-b:

�O desaprumo não deve necessariamente ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido através do que provoca o maior momento total na base de construção.�

θa

n prumadas de pilares

H

2006 9-10 ufpr/tc405

Exemplo 9.3: Determinar o desaprumo da estrutura abaixo representada. Considerar estrutura de nós fixos e móveis.

Solução: O desaprumo fica definido pela Equação 9.4 e Equação 9.5. a. Dados estrutura da total alturam12H =

contínuos verticais elementos de total número3n =

b. θ1 para estrutura de nós fixos

fixos nós de estrutura400

1200

11 ⇒≥θ≥

H100

11 =θ

346

112100

11 ==θ OK

c. θa para estrutura de nós fixos

2

n11

1a

+θ=θ

424

12

311

3461

a =+

=θ

d. θ1 para estrutura de nós móveis

móveis nós de estrutura300

1200

11 ⇒≥θ≥

300

1300

1346

112100

111 =θ⇒<==θ

e. θa para estrutura de nós móveis

367

12

311

3001

a =+

=θ

θa 12 m

1

367

1

424

2006 9-11 ufpr/tc405

9.5.2 Imperfeições Locais � Desaprumo de Um Lance de Pilar No caso de elementos que ligam pilares contraventados1 a pilares de contraventamento2,

usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado, conforme mostrado na Figura 9.7.

Figura 9.7 � Elementos de travamento (tracionado ou comprimido)

Considerando Hi como sendo a altura de um lance de pilar (Figura 9.7), em metros, define-se θ1 como sendo:

≥

≤

=θ

3001

2001

H1001

i1 Equação 9.6

No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito da falta de retilinidade do eixo do pilar3 (Figura 9.8.a) ou do desaprumo (Figura 9.8.b). Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente.

Figura 9.8 � Imperfeições geométricas locais

9.5.3 Momento Mínimo de 1ª Ordem � Consideração das Imperfeições Locais O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas

pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir: ( )h03,0015,0NM dmin,d1 += Equação 9.7

onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros; e Nd é a força normal de cálculo. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja

atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2º ordem com apresentados em 9.7.

1 Pilares de pouca rigidez a ações horizontais. 2 Pilares de grande rigidez a ações horizontais que resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. 3 No caso da falta de retilinidade do eixo do pilar usar Hi/2 na raiz quadrada da Equação 9.6.

θ1 θ1

Hi

Pilar de contraventamento Pilar

contraventado

Elemento de travamento

Hi/2 θ1 Hi θ1

a) falta de retilinidade b) desaprumo

2006 9-12 ufpr/tc405

Pode-se dizer que o efeito das imperfeições locais estará atendido se for considerado atuando no pilar uma força normal Nd associada a uma excentricidade mínima dada por:

h03,0015,0e min,1 += Equação 9.8

ABNT NBR 6118, item 16.3: �Deve-se observar, também, que não se aceita o dimensionamento de pilares para carga centrada.�

De qualquer forma, é possível estabelecer uma equação geral para a excentricidade que leva em consideração a falta de retilinidade do pilar, como mostrado na Figura 9.9.

Figura 9.9 � Excentricidade por falta de retilinidade de pilar

Da Figura 9.9 tem-se:

i

a

i

a1 H

e2

2He

==θ

Considerando a Equação 9.6,com Hi/2 definindo a falta de retilinidade do pilar, chega-se:

≥

≤

=⇒

≥

≤

==θ

6001

4001

2H200

1He

3001

2001

2H100

1He2

ii

a

ii

a1

Desta forma, a Equação 9.8 pode ser estendida para:

metros em H

6001

4001

2H200

1He

iii

a

≥

≤

= Equação 9.9

Exemplo 9.4: Determinar o valor de excentricidade de 1ª ordem ea para um pilar cuja seção transversal tem altura (h) igual a 40 cm. Este pilar poderá ter altura (Hi) variando entre 7 e 14 m.

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 9.9. a. Excentricidade mínima e1 h03,0015,0e min,1 += ( ) cm7,2m027,04,003,0015,0e min,1 ==×+=

Hi/2

ea

θ1

Nd

Nd

2006 9-13 ufpr/tc405

b. Pilar com 7 m da altura

400

1He

6001

4001

3741

27200

1

2H200

1He

i

a

ii

a =⇒

≥

≤

=×

==

cm7,2cm8,1m018,04007ea <===

c. Pilar com 14 m da altura

≥

≤

=×

==

6001

4001

5291

214200

1

2H200

1He

ii

a

cm7,2cm6,2m026,052914ea <===

Para alturas superiores a 15 m, a equação de θ1 (ea) passa a prevalecer sobre a equação de e1,min.

O modo simplificado de representar o momento total M1d,min de primeira ordem está mostrado na Figura 9.10.

Figura 9.10 � Momento mínimo de 1ª ordem

ea Hi

Nd M1d,B

M1d,min A

B

Nd

le

M1d,A < M1d,min

ou

Nd M1d,B

M1d,A > M1d,B A

B

Nd

le

Nd M1d,B

M1d,A A

B

Nd

le

M1d,A ≥ M1d,min

Nd M1d,min

M1d,mim A

B

Nd

le

Nd

A

B

Nd

le

2006 9-14 ufpr/tc405

9.6 Análise de Estruturas de Nós Fixos1 Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento

comprimido isoladamente (Figura 9.11), como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem.

O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, é dado pela Equação 9.10.

Figura 9.11 � Elemento isolado de estrutura de nó fixo

lll ≤+= h0e Equação 9.10 onde:

l0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;

h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; e l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser realizada de acordo com o estabelecido

em 9.7. Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato

de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2ª ordem.

9.7 Análise de Elementos Isolados2 Os itens 9.7.1 e 9.7.2.1 são aplicáveis apenas a elementos isolados de seção constante e

armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos a flexo-compressão. Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de

postes com força normal menor que 0,10 fcd Ac, o índice de esbeltez pode ser maior que 200. O índice de esbeltez deve ser calculado pela expressão:

iel=λ Equação 9.11

onde: le é o comprimento equivalente do pilar; e i é o raio de giração da seção transversal do pilar. No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de le deve ser tomado igual a 2l

(Figura 9.12). Nos demais casos adotar os valores calculados conforme 9.5 (Equação 9.10).

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.6 da ABNT NBR 6118. 2 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.8 da ABNT NBR 6118.

h

pilar

l0

eixo da viga

viga

l le

2006 9-15 ufpr/tc405

Figura 9.12 � Comprimentos equivalentes de pilar

Exemplo 9.5: Estabelecer os índices de esbeltez (λ) para pilares de seção retangular e circular.

Solução: Os índices de esbeltez (λ) ficam definidos pela Equação 9.11. Para a seção retangular devem ser observados os valores dos raios de giração (momentos de inércia) nas duas direções.

a. Seção retangular

xdireção na flambagem possível x direção na rigidez12

hhI

3xy

x ⇒×

= 1

ydireção na flambagem possível y direção na rigidez12

hhI

3yx

y ⇒×

= 2

pilar do ltransversa seção da áreahhA yxc ×=

1 Observar que o momento de inércia Ix é referido a direção x. Corresponde ao momento de inércia Iyy da Resistência

dos Materiais (momento de inércia em torno do eixo yy). 2 Observar que o momento de inércia Iy é referido a direção y. Corresponde ao momento de inércia Ixx da Resistência

dos Materiais (momento de inércia em torno do eixo xx).

l

le = 2l

le

hx

hy

x

y

2006 9-16 ufpr/tc405

xdireção na giração de raio12h

hh12

hh

AIi x

yx

3xy

c

xx =

×

×

==

ydireção na giração de raio12h

hh12

hh

AI

i y

yx

3yx

c

yy =

×

×

==

xdireção na esbeltez de índiceh

46,3h

12

12hi x

e

x

e

x

e

x

ex

llll====λ

ydireção na esbeltez de índiceh

46,3h

12

12hi y

e

y

e

y

e

y

ey

llll====λ

Caso os comprimentos equivalentes sejam diferentes nas direções x e y (lex ≠ ley), os valores de λ resultam:

y

eyy

x

exx

h46,3

h46,3

l

l

=λ

=λ

A deformada pilar se dará no plano xz (flambagem na direção x) se λx > λy. Caso contrário (λy > λx), a deformada pilar se dará no plano yz (flambagem na direção y).

b. Seção circular

direção qualquer em rigidez64

dI4×π

=

x

y

distancia entre vigas no plano yz

z

hx

hy

ley2

ley1

lex

eixo de viga no plano yz

eixo de viga no plano xz eixo do

pilar (z)

dimensão do pilar na direção y

dimensão do pilar na direção x

distancia entre vigas no plano xz

deformada do pilar no plano xz

deformada do pilar no plano yz

2006 9-17 ufpr/tc405

pilar do ltransversa seção da área4dA

2

c×π

=

direção qualquer em giração de raio4d

4d

64d

AIi 2

4

c

=×π

×π

==

direção qualquer em esbeltez de índiced

0,4

4di

eee lll===λ

9.7.1 Dispensa da Análise dos Efeitos Locais de 2ª ordem1 Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o

índice de esbeltez for menor que o valor limite λ1 estabelecido a seguir. O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:

− a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; − a vinculação dos extremos da coluna isolada; e − a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.

O valor de λ1 poder ser calculado pela expressão:

≤

≥

α

+=λ

90

35

he5,1225

b

1

1 Equação 9.12

onde o valor de αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir: a. pilares biapoiados sem cargas transversais

a.1 momentos de mesmo sinal (tracionam a mesma face) M1,A e M1,B são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, com M1,A ≥ M1,B(valores absolutos).

A,1

B,1b M

M40,060,0 +=α

==

<=

)centrada compressão(0,0MMou

MM1,00α

B,1A,1

min,d1A1d,

b

Equação 9.13

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.8.2 da ABNT NBR 6118

M1,A

B

A

M1,B

2006 9-18 ufpr/tc405

a.2 momentos de sinais diferentes (não tracionam a mesma face) M1,A e M1,B são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, com M1,A ≥ M1,B(valores absolutos).

40,0MM

40,060,0A,1

B,1b ≥−=α

==

<=

)centrada compressão(0,0MMou

MM1,00α

B,1A,1

min,d1A1d,

b

Equação 9.14

b. pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura

00,1b =α Equação 9.15 c. pilares em balanço

M1,A é o momento de 1ª ordem no engaste e M1,C é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço, em valores absolutos.

85,0MM

20,080,0A,1

C,1b ≥+=α

==

<=

)centrada compressão(0,0MMou

MM1,00α

C,1A,1

min,d1A1d,

b

Equação 9.16

M1,A

B

A

M1,B

M1,A

M1,B

B

C

A M1,A

M1,C

2006 9-19 ufpr/tc405

Algumas observações se fazem necessárias quanto à aplicação da Equação 9.12 (equação para definição do valor λ1). São elas:

− Excentricidade e1 Embora não explicitamente citado na ABNT NBR 6118, pode-se entender que o valor

da excentricidade e1 será referente ao maior, em valor absoluto, momento fletor. Se, na figura ao lado, M1,A corresponder ao maior momento (valor absoluto), e1 será dão por:

NM

e A,11 =

Para valores de cálculo:

d

A,d11 N

Me =

− Valores próximos de M1d,A e M1d,min Para efeito de raciocínio, vamos admitir que em dois pilares de mesma seção

transversal e mesmo comprimento equivalente (mesma altura) atue momentos fletores como mostrados na figura ao lado. Admitindo que os pilares tenham seção transversal quadrada, de dimensão 20 cm, pela Equação 9.8, chega-se:

h03,0015,0e min,1 += cm1,2m021,02,003,0015,0e min,1 ==×+=

cm1,2ee 1min,1 ==

105,020

1,2he1 ==

O Pilar 1 pode ser enquadrado no item a.2, de tal forma que (Equação 9.14):

40,0MM

40,060,0A,d1

B,d1b ≥−=α

40,0M

M5,040,060,0

A,d1

A,d11PILAR,b =×−=α

Pela Equação 9.12, tem-se:

≤

≥

α

+=λ

90

35

he5,1225

b

1

1

N

N M1,A

M1,B

M1,C

M1d,A = M1d,min

B

A

M1d,B = 0,5 M1d,A

PILAR 1

M1d,A = 0,99M1d,min

B

A

M1d,B = 0,5 M1d,A

PILAR 2

2006 9-20 ufpr/tc405

=λ⇒

≤

≥

=×+

=λ 8,65

90

35

8,6540,0

105,05,12251PILAR,11PILAR,1

Para o Pilar 2, sendo o valor de M1d,A inferior a M1d,min, ainda de acordo com o item a.2 (Equação 9.14), tem-se:

00,12PILAR,b =α Pela Equação 9.12, tem-se:

≤

≥

α

+=λ

90

35

he5,1225

b

1

1

=λ⇒

≤

≥

=×+

=λ 0,35

90

35

3,260,1

105,05,12252PILAR,12PILAR,1

Os valores calculados para λ1 indicam que o pilar P1 (λ1 = 65,8) tem um valor limite para esbeltez 1,9 vezes maior que o valor limite para o pilar P2 (λ1 = 35,0), embora os mesmos tenham a mesma altura, as mesmas dimensões e o mesmo carregamento (a diferença de 1% nos valores de M1d,A não justifica a diferença nos valores de λ1). Há, portanto, a necessidade de usar com cuidado os valores de αb.

− Cargas transversais significativas O item b anteriormente referido faz referência a �pilares biapoiados com cargas

transversais significativas ao longo da altura�. O que não se sabe é como quantificar carga transversal significativa. Talvez a referência seja feita à figura ao lado quando um momento intermediário resulte, em valor absoluto, maior que os momentos das extremidades (M1,C ≥M1,A ≥ M1,B).

Como pode ser observado, a interpretação do item 15.8.2 da ABNT NBR 6118/2003, referente à determinação de λ1, requer alguns cuidados. A ABNT NBR 6118/1980 era bem mais simples neste assunto.

ABNT NBR 6118/1980: �4.1.1.3 Compressão por força normal Fd (barras isoladas) ....................... A consideração ou não consideração, no cálculo, do efeito das deformações obedecerá ao seguinte critério:

− quando λ ≤ 40, este efeito pode ser desprezado; − quando λ > 40, o efeito das deformações será obrigatoriamente

considerado (teoria de 2ª ordem).� Como pode ser visto houve uma grande mudança entre a edição da ABNT NBR 6118 de

1980 e a de 2003 no que se refere à consideração ou não dos efeitos de 2ª ordem em barras isoladas. Pela edição de 1980 o valor correspondente de λ1 ficaria limitado a 40 enquanto que a edição de 2003 prevê um valor limite de 90 (Equação 9.12). Em caso de dúvida, considerar sempre αb da ABNT NBR 6118/2003 igual a 1,00, o que levaria a valores de λ1 mais próximos do recomendado pela ABNT NBR 6118/1980.

N

N M1,A

M1,B

M1,C

2006 9-21 ufpr/tc405

Exemplo 9.6: Verificar, para o pilar abaixo indicado, se os efeitos de 2ª ordem devem ser considerados. O pilar tem dimensão igual a 20 cm na direção x (onde atuam os momentos fletores) e 40 cm na direção y.

Solução: A solução do problema consiste na determinação do valor λ, dado pela Equação 9.11, e no valor λ1, dado pela Equação 9.12, com αb determinado pela Equação 9.14. A comparação entre estes valores define se os efeitos de 2ª ordem devem ou não ser considerados no dimensionamento do pilar. O valor de M1d,min é dado pela Equação 9.7.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) cm20hx = (direção x) cm40hy = (direção y) cm420m2,4ex ==l (direção x) cm420m2,4ey ==l (direção y)

kN400Nd = kNcm0002kNm20M A,xd1 == (plano xz) kNcm5001kNm15M B,xd1 == (plano xz) ( )xdmin,xd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm840kNm40,820,003,0015,0400M min,xd1 ==×+×= kNcm0kNm0M A,yd1 == (plano yz) kNcm0kNm0M B,yd1 == (plano yz) ( )ydmin,yd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm0801kNm80,1040,003,0015,0400M min,yd1 ==×+×=

b. Determinação de λx e λy (ver Exemplo 9.5)

7,722042046,3

h46,3

x

exx =×==λ

l (direção x)

3,3640

42046,3h

46,3y

eyy =×==λ

l (direção y)

B

A

Md = 20 kNm

Nd = 400 kN

x

lex = 4,2 m

Md = 15 kNm

Nd = 400 kN

x

y

z

hx

hy

ley lex

deformada no plano xz (direção x), pela ação dos momentos fletores

2006 9-22 ufpr/tc405

c. Determinação de λ1 na direção x 0,1MM bx

kNm4,8

min,xd1

kNm20

A,xd1 <α⇒>321321

cm00,5400

2000N

Mee

d

A,xd1A,x1x1 ====

40,0MM

40,060,0A,1

B,1b ≥−=α (item 9.7.1-a.2)

40,0MM

40,060,0A,xd1

B,xd1bx ≥−=α

40,040,030,02000150040,060,0 bxbx =α⇒<=×−=α (direção x)

≤

≥

α

+=λ

90

35

he5,1225

b

1

1

≤

≥

α

+=λ

90

35he5,1225

bx

x

x1

x1

3,70

90

35

3,7040,0

0,200,55,1225

x1x1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção x)

{ { ordem2ª de efeitos considerar3,70x1

7,72x ⇒λ>λ

d. Determinação de λ1 na direção y 0,1MM by

kNm8,10

min,yd1

kNm0

A,yd1 =α⇒<321321

(item 9.7.1-a)

cm0,04000

NM

eed

A,yd1A,y1y1 ====

0,35

90

35

0,250,1

0,400,05,1225

y1y1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção y)

{ {

ordem2ª de efeitos considerar0,35

y1

3,36

y ⇒λ>λ

9.7.2 Determinação dos Efeitos Locais de 2ª Ordem No caso de barras submetidas a flexo-compressão normal, o cálculo pode ser feito pelo

método geral ou por métodos aproximados. Para barras submetidas a flexo-compressão oblíqua deve ser seguido o estabelecido em 9.7.2.4.

A consideração da fluência é obrigatória para λ > 90.

2006 9-23 ufpr/tc405

9.7.2.1 Método Geral Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra,

consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada.

O método geral é obrigatório para λ > 140.

9.7.2.2 Método Aproximado 1 - Pilar Padrão com Curvatura Aproximada Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90, seção constante e armadura

simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a

deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.

O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:

min,d1A,d1

A,d1

2e

dA,d1btot,d

MM

Mr1

10NMM

≥

≥××+α=l

Equação 9.17

sendo M1d,min definido pela Equação 9.7. A curvatura na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada:

( )

cdc

d

fAN

h005,0

5,0h005,0

r1

=ν

≤+ν

=

Equação 9.18

onde: h é a altura da seção do pilar na direção considerada; e ν é a força normal adimensional O momento M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições estabelecidas em 9.7.1,

sendo M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento M1,A. O momento M1d,min tem o significado e o valor estabelecidos em 9.5.3.

Exemplo 9.7: Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo indicado. Esse pilar, de seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo, tem dimensão igual a 40 cm na direção do plano onde atuam os momentos fletores (direção x) e dimensão 25 cm na outra direção (direção y). Na direção y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os pontos A e B. O valor de Md,tot deverá ser calculado pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada, considerando concreto classe C20 (γc = 1,4).

Solução: A solução do problema consiste na determinação do valor λ dado pela Equação 9.11 e no valor λ1 dado pela Equação 9.12 para verificar a necessidade, ou não, de serem considerados os efeitos de 2ª ordem. O valor de Md,tot fica definido pela Equação 9.17 combinada com a Equação 9.18. O valor de M1d,min é definido pela Equação 9.7.

2006 9-24 ufpr/tc405

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

2

c

ckcd cm/kN43,1MPa3,14

4,120ff ===

γ=

cm40hx = (direção x) cm25hy = (direção y)

2yxc cm10002540hhA =×=×=

cm600m0,6ex ==l (direção x) cm300m0,3ey ==l (direção y) kN600Nd = kNcm0002kNm20M A,xd1 == (plano xz) kNcm5001kNm15M B,xd1 == (plano xz) ( )xdmin,xd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm6201kNm2,1640,003,0015,0600M min,xd1 ==×+×= kNcm0kNm0M A,yd1 == (plano yz) kNcm0kNm0M B,yd1 == (plano yz) ( )ydmin,yd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm3501kNm5,1325,003,0015,0600M min,yd1 ==×+×=

42,043,11000

600fA

Ncdc

d =×

==ν

b. Determinação de λx e λy (ver Exemplo 9.5)

9,5140

60046,3h

46,3x

exx =×==λ

l (direção x)

5,4125

30046,3h

46,3y

eyy =×==λ

l (direção y)

ley

ley y

x

z

hx

hy

lex

deformada no plano xz (direção x)

A

Md = 20 kNm

Nd = 600 kN

x

lex = 6,0 m

Md = 15 kNm

Nd = 600 kN

B

2006 9-25 ufpr/tc405

c. Determinação de λ1 na direção x 0,1MM bx

kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 <α⇒>43421321

cm33,3600

2000N

Mee

d

A,xd1A,x1x1 ====

40,0MM

40,060,0A,1

B,1b ≥−=α (item 9.7.1-a.2)

40,0MM

40,060,0A,xd1

B,xd1bx ≥−=α

40,040,030,02000150040,060,0 bxbx =α⇒<=×−=α (direção x)

≤

≥

α

+=λ

90

35

he5,1225

b

1

1

≤

≥

α

+=λ

90

35he5,1225

bx

x

x1

x1

1,65

90

35

1,6540,0

0,4033,35,1225

x1x1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção x)

{ { ordem2ª de efeitos considerar não1,65x1

9,51x ⇒λ<λ

kNcm0002MMMM A,xd1tot,xd

kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 ==⇒>43421321

cm33,36000002

NM

ed

tot,xdtot,x === (direção x)

d. Determinação de λ1 na direção y 0,1MM by

kNm5,13

min,yd1

kNm0

A,yd1 =α⇒<43421321

(item 9.7.1-a)

cm0,06000

NM

eed

A,yd1A,y1y1 ====

0,35

90

35

0,250,1

0,250,05,1225

y1y1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção y)

{ {

ordem2ª de efeitos considerar0,35

y1

5,41

y ⇒λ>λ

e. Determinação do raio de curvatura na direção y

( ) h005,0

5,0h005,0

r1

≤+ν

=

2006 9-26 ufpr/tc405

( ) yyy h005,0

5,0h005,0

r1

≤+ν

=

( )

1

x1

y

11

y

cm00051

r1

cm5000

125005,0

h005,0

cm5000

1cm60041

5,042,025005,0

r1

−

−

−−

=⇒

==

>=+

=

f. Determinação do momento total máximo na direção y

A,d1

2e

dA,d1btot,d Mr1

10NMM ≥××+α=

l

A,yd1y

2ey

dA,yd1bytot,yd Mr1

10NMM ≥××+α=

l

kNcm3501kNm5,13MMM A,yd1

kNm5,13

min,yd1

kNm0

A,yd1 ==⇒<43421321

( ) OKkNcm3501kNcm430200051

1030060035010,1M

2

tot,yd >=

××+×=

cm05,46004302

NM

ed

tot,ydtot,y === (direção y)

g. Condições de dimensionamento

9.7.2.3 Método Aproximado 2 - Pilar Padrão com Rigidez κ Aproximada Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90, seção retangular constante,

armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a

deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física deve ser considerada através de uma expressão aproximada da rigidez.

O momento total máximo Md,tot no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão:

≥

νκ

λ−

α=

min,d1

A,d1

2A,d1b

tot,d

M

M

1201

MM Equação 9.19

40 cm

25 cm

y

x

3,33 cm

600 kN

y

x 4,05 cm 600 kN

25 cm

40 cm

2006 9-27 ufpr/tc405

O valor da rigidez adimensional κ é dado pela expressão:

+=

νκ

d

tot,d

NhM

5132 Equação 9.20

A determinação de Md,tot, variável, simultaneamente, da Equação 9.19 e da Equação 9.20, pode ser obtida fazendo-se:

a2ca4bb

M

NhM2,0c

M20019NhNh2,0b

0,1a

2

tot,d

dA,d1b

A,d1bd

2

d

−+−=

α−=

α−λ

−=

=

Equação 9.21

As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas em 9.7.2.2.

Exemplo 9.8: Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo indicado. Esse pilar, de seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo, tem dimensão igual a 40 cm na direção do plano onde atuam os momentos fletores (direção x) e dimensão 25 cm na outra direção (direção y). Na direção y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os pontos A e B. O valor de Md,tot deverá ser calculado pelo Método do Pilar Padrão com Rigidez κ Aproximada.

Solução: A solução do problema consiste na determinação do valor λ dado pela Equação 9.11 e no valor λ1 dado pela Equação 9.12 para verificar a necessidade, ou não, de serem considerados os efeitos de 2ª ordem. O valor de Md,tot fica definido pela Equação 9.21. O valor de M1d,min é definido pela Equação 9.7.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) cm40hx = (direção x) cm25hy = (direção y) cm600m0,6ex ==l (direção x) cm300m0,3ey ==l (direção y)

ley

ley y

x

z

hx

hy

lex

deformada no plano xz (direção x)

A

Md = 20 kNm

Nd = 600 kN

x

lex = 6,0 m

Md = 15 kNm

Nd = 600 kN

B

2006 9-28 ufpr/tc405

kN600Nd = kNcm0002kNm20M A,xd1 == (plano xz) kNcm5001kNm15M B,xd1 == (plano xz) ( )xdmin,xd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm6201kNm2,1640,003,0015,0600M min,xd1 ==×+×= kNcm0kNm0M A,yd1 == (plano yz) kNcm0kNm0M B,yd1 == (plano yz) ( )ydmin,yd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm3501kNm5,1325,003,0015,0600M min,yd1 ==×+×=

b. Determinação de λx e λy (ver Exemplo 9.5)

9,5140

60046,3h

46,3x

exx =×==λ

l (direção x)

5,4125

30046,3h

46,3y

eyy =×==λ

l (direção y)

c. Determinação de λ1 na direção x 0,1MM bx

kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 <α⇒>43421321

cm33,3600

2000N

Mee

d

A,xd1A,x1x1 ====

40,0MM

40,060,0A,1

B,1b ≥−=α (item 9-17-a.2)

40,0MM

40,060,0A,xd1

B,xd1bx ≥−=α

40,040,030,02000150040,060,0 bxbx =α⇒<=×−=α (direção x)

≤

≥

α

+=λ

90

35

he5,1225

b

1

1

≤

≥

α

+=λ

90

35he5,1225

bx

x

x1

x1

1,65

90

35

1,6540,0

0,4033,35,1225

x1x1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção x)

{ { ordem2ª de efeitos considerar não1,65x1

9,51x ⇒λ<λ

kNcm0002MMMM A,xd1tot,xd

kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 ==⇒>43421321

cm33,36000002

NM

ed

tot,xdtot,x === (direção x)

2006 9-29 ufpr/tc405

d. Determinação de λ1 na direção y 0,1MM by

kNm5,13

min,yd1

kNm0

A,yd1 =α⇒<43421321

(item 9.7.1-a)

cm0,06000

NM

eed

A,yd1A,y1y1 ====

0,35

90

35

0,250,1

0,250,05,1225

y1y1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção y)

{ {

ordem2ª de efeitos considerar0,35

y1

5,41

y ⇒λ>λ

e. Determinação do momento total na direção y kNcm3501kNm5,13MMM A,yd1

kNm5,13

min,yd1

kNm0

A,yd1 ==⇒<43421321

0,1by =α 5,41y =λ cm25hy = kN600Nd =

A,d1bd

2

d M20019NhNh2,0b α−

λ−=

492,30413500,120019

600255,41600252,0b2

=×−××

−××=

dA,d1b NhM2,0c α−= 00005046002513500,12,0c −=××××−=

2

c4bbM2

tot,d−+−

=

( ) kNcm86612

00005044492,304492,304M2

tot,d =−×−+−

=

+=

νκ

d

tot,d

NhM

5132

90,5160025

18665132 =

××+×=

νκ

OKkNcm3501kNcm8661M tot,yd >=

cm11,36008661

NM

ed

tot,ydtot,y === (direção y)

2006 9-30 ufpr/tc405

f. Condições de dimensionamento

Observar que, para estas características de pilar, o método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada mostrou-se mais conservador que o método do Pilar Padrão com Rigidez κ Aproximada. O valor de Myd,tot resultou em 2 430 kNcm para a Curvatura Aproximada (Exemplo 9.7) e em 1 866 kNcm para a Rigidez κ Aproximada.

9.7.2.4 Método do Pilar Padrão para Pilares de Seção Retangular Submetidos à Flexão Composta Obliqua

Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua for menor que 90 (λ < 90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo aproximado descrito no item 9.7.2.3 (Pilar Padrão com Rigidez κ Aproximada) simultaneamente em cada uma das duas direções.

A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez.

Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de 1ª e 2ª ordem, em cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direções (x e y)

Exemplo 9.9: Determinar os valores de Mxd,tot e Myd,tot para o pilar abaixo indicado. Esse pilar, de seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo, tem dimensão igual a 20 cm na direção x e dimensão 40 cm na direção y. Os valores de Md,tot, nas duas direções, deverão ser calculados pelo Método do Pilar Padrão para Pilares de Seção Retangular Submetidos à Flexão Composta Obliqua (Método da Rigidez κ Aproximada).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação separada (direção x e direção y) do Método do Pilar Padrão com Rigidez κ Aproximada. Os valores λ serão dados pela Equação 9.11 e os valores λ1 dados pela Equação 9.12, necessários para verificar a necessidade, ou não, de serem considerados efeitos de 2ª ordem. Os valores de Md,tot ficarão definidos pela Equação 9.21. Os valores de M1d,min serão definidos pela Equação 9.7.

40 cm

25 cm

y

x

3,33 cm

600 kN

y

x 3,11 cm 600 kN

25 cm

40 cm

2006 9-31 ufpr/tc405

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) cm20hx = (direção x) cm40hy = (direção y) cm500m0,5ex ==l (direção x) cm500m0,5ey ==l (direção y) kN800Nd = kNcm5001kNm15M A,xd1 == (plano xz) kNcm0001kNm10M B,xd1 == (plano xz) ( )xdmin,xd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm6801kNm8,1620,003,0015,0800M min,xd1 ==×+×= kNcm50002kNm25M A,yd1 == (plano yz) kNcm5001kNm15M B,yd1 == (plano yz) ( )ydmin,yd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm1602kNm6,2140,003,0015,0800M min,yd1 ==×+×=

b. Determinação de λx e λy (ver Exemplo 9.5)

5,8620

50046,3h

46,3x

exx =×==λ

l (direção x)

3,4340

50046,3h

46,3y

eyy =×==λ

l (direção y)

Nd = 800 kN

Mxd = 10 kNm

Mxd = 15 kNm

Myd = 15 kNm

z

y

x hx = 20 cm

hy = 40 cm

ley = 5,0 m

lex = 5,0 m

Nd = 800 kN

Myd = 25 kNm

2006 9-32 ufpr/tc405

c. Consideração dos momentos atuando no plano xz (direção x)

kNcm5001kNm15M A,xd1 == (plano xz) kNcm0001kNm10M B,xd1 == (plano xz) kNcm6801kNm8,16M min,xd1 ==

c.1. Determinação de λ1 na direção x 0,1MM bx

kNm8,16

min,xd1

kNm15

A,xd1 =α⇒<43421321

(item 9.7.1-a.2)

cm88,18005001

NM

eed

A,xd1A,x1x1 ====

≤

≥

α

+=λ

90

35he5,1225

bx

x

x1

x1

0,35

90

35

18,2600,1

0,2088,15,1225

x1x1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção x)

{ { ordem2ª de efeitos considerar 0,35x1

5,86x ⇒λ>λ

c.2. Determinação do momento total na direção x kNcm6801kNm8,16MMM A,xd1

kNm8,16

min,xd1

kNm15

A,xd1 ==⇒<43421321

0,1bx =α 5,86x =λ cm20hx = kN800Nd =

B

A

Md = 15 kNm

Nd = 800 kN

x

lex = 5,0 m

Md = 10 kNm

Nd = 800 kN

y

x

z

hx

hy

lex

deformada no plano xz (direção x)

2006 9-33 ufpr/tc405

A,d1bd

2

d M20019NhNh2,0b α−

λ−=

208,715416800,120019

800205,86800202,0b2

−=×−××

−××=

dA,d1b NhM2,0c α−= 00037658002016800,12,0c −=××××−=

2

c4bbM2

tot,d−+−

=

( ) ( ) ( ) kNcm66452

00037654208,7154208,7154M2

tot,d =−×−−+−−

=

+=

νκ

d

tot,d

NhM

5132

64,8880020

66455132 =

××+×=

νκ

OKkNcm6801kNcm6645M tot,xd >=

cm08,78006645

NM

ed

tot,xdtot,x === (direção x)

d. Consideração dos momentos atuando no plano yz (direção y)

kNcm50002kNm25M A,yd1 == (plano yz) kNcm5001kNm15M B,yd1 == (plano yz) kNcm1602kNm6,21M min,yd1 ==

d.1. Determinação de λ1 na direção y 0,1MM by

kNm6,21

min,yd1

kNm25

A,yd1 <α⇒>43421321

cm13,38005002

NM

eed

A,yd1A,y1y1 ====

A

B

Md = 15 kNm

Nd = 800 kN

y

ley = 5,0 m

Md = 25 kNm

Nd = 800 kN

z

x

y hy

hx

ley

deformada no plano yz (direção y)

2006 9-34 ufpr/tc405

40,0MM

40,060,0A,yd1

B,yd1by ≥−=α (item 9.7.1-a.2)

40,040,036,02500150040,060,0 byby =α⇒<=×−=α (direção y)

9,64

90

35

9,6440,0

0,4013,35,1225

y1y1 =λ⇒

≤

≥

=

×+=λ (direção y)

{ {

ordem2ª de efeitos considerar não9,64

y1

3,43

y ⇒λ<λ

kNcm5002MMMM A,yd1tot,yd

kNm6,21

min,yd1

kNm25

A,yd1 ==⇒>43421321

cm13,38005002

NM

ed

tot,ydtot,y === (direção y)

e. Condições de dimensionamento

Observar que os sinais dos momentos fletores (sinais das excentricidades) não foram considerados na tabela acima. Isto se deve ao fato da obrigatoriedade do pilar ter seção constante, ser simétrico na geometria e na distribuição de armadura. Desta forma o par de excentricidades pode atuar em qualquer quadrante que, devido às simetrias, o resultado do dimensionamento da armadura será sempre o mesmo.

Por outro lado, a ABNT NBR 6118 solicita que o dimensionamento da armadura seja feito em três seções distintas: topo, intermediária e base. Neste caso o dimensionamento poderá ser feito somente para a seção intermediaria porque as excentricidades, simultaneamente, são maiores que nas demais seções. Na direção x, 7,08 da intermediaria > 2,10 do topo e da base. Na direção y, 3,13 da intermediaria = 3,13 da base > 2,70 do topo. Como as excentricidades maiores ocorrem simultaneamente na seção intermediaria, basta fazer o dimensionamento para esta seção.

9.8 Dimensionamento de Pilares - ELU 9.8.1 Hipóteses Básicas

Na análise dos esforços resistentes de uma seção de pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas (ABNT NBR 6118, item 17.2.2):

− as seções transversais se mantêm planas após deformação; − a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, deve ser a mesma do

concreto em seu contorno; − as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser

desprezadas, obrigatoriamente no ELU; − a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama

parábola-retângulo, definido em [4.1], com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd

Nd = 800 kN Mxd kNm

Myd kNm

ex,tot cm

ey,tot cm

Topo 16,80 21,60 2,10 2,70

Intermediaria 56,64 25,00 7,08 3,13 Base 16,80 25,00 2,10 3,13

Nd

40 cm

y

x

ex,tot

20 cm

ey,tot

2006 9-35 ufpr/tc405

definido em [3.8.2.2]. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: ! 0,85 fcd no caso da largura da seção,

medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;

! 0,80 fcd no caso contrário;

− a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em [3.8.2.3] e [4.2.2]; e

− o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 9.13.

Figura 9.13 � Domínios de estado limite último de uma seção transversal

Deve ser observado que a reta a e o domínio 1 (tração uniforme e tração não uniforme) só é aplicável aos tirantes de concreto armado. No entanto, os ábacos usados para a resolução de pilares (Figura 9.16), normalmente englobam a solução para tirantes.

0,85 fcd

x

linha neutra y = 0,8 x

5 4

2

1

encurtamentos

εc = 2� εc = 3,5�

d�

alongamentos

εs = εyd

4a

3 d

εs = 10�

As

A�s

h74

a

b

h73

0,80 fcd

y = 0,8 x

x

linha neutra

2006 9-36 ufpr/tc405

9.8.2 Valores Limites para Armaduras Longitudinais de Pilares1 9.8.2.1 Valores Mínimos

Conforme especifica a ABNT NBR 6118, item 17.3.5.3.1, a armadura longitudinal mínima deve ser:

=

c

yd

d

min,s

A%4,0

fN15,0

maxA Equação 9.22

9.8.2.2 Valores Máximos Conforme especifica a ABNT NBR 6118, item 17.3.5.3.2, a maior armadura possível em

pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda (Equação 9.23), respeitado o disposto em 9.10.1.2.

cmax,s A%0,8A = Equação 9.23

Devido ao processo construtivo, a grande maioria dos pilares é executada por etapas (pisos) de tal forma que de um piso para o outro sejam necessárias armaduras de emenda (armaduras de espera). Isto fará com que na região de emenda venha a ocorrer uma região de sobreposição de armaduras, cuja taxa de armadura total As/Ac (espera mais armadura calculada) deva ficar limitada a 8,0%. Desta forma, quando do cálculo da armadura longitudinal de pilares com emendas, no seu dimensionamento, e já prevendo as esperas, deve-se limitar a taxa de armadura calculada a 4,0% (4% para a armadura calculada mais 4% para as esperas).

9.8.3 Condições de Segurança Para uma condição geral de solicitação normal de uma seção transversal de concreto

armado, valem as notações mostradas na Figura 9.14.

Figura 9.14 � Seção de concreto armado submetida a flexão oblíqua

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 17.3.4.3 da ABNT NBR 6118.

x

ey

ex

y

εsi

NSd

εs

εc

σc

y = 0,8 x

x

d

h

dx, dy

Asi, xsi, ysi

Acc MSd,y = NSd x ey

MSd,x = NSd x ex

2006 9-37 ufpr/tc405

Definindo as solicitações de cálculo como NSd, MSd,x e MSd,y de tal forma que:

0e e compressão de N para poisitivo yeixo do torno em momento

eNM

0e e compressão de N para positivo xeixo do torno em momento

eNM

ySdySdy,Sd

xSdxSdx,Sd

>×=

>×=

Equação 9.24

a condição de segurança (estado limite último) resulta:

≤

≤

≤

≤

y,Rdy,Sd

x,Rdx,Sd

RdSd

y,Rdx,RdRdy,Sdx,SdSd

MM

MM

NN

M,M,NRM,M,NS Equação 9.25

com:

∑∫∫

∑∫∫

∑∫∫

=

=

=

σ+σ=×=

σ+σ=×=

σ+σ=

n

1isisisi

AcyRdy,Rd

n

1isisisi

AcxRdx,Rd

n

1isisi

AcRd

yAdycc

dxyeNM

xAdycc

dxxeNM

Adycc

dxN

Equação 9.26

A resolução da Equação 9.26 conduz a uma superfície de interação, como mostrado na Figura 9.15.

Figura 9.15 � Superfície de interação

NRd

MRd,x

MRd,y

diagrama de interação NRd, MRxd (flexão composta

normal)

diagrama de interação NRd, MRxd, MRyd

(flexão composta obliqua)

2006 9-38 ufpr/tc405

Os diagramas de interação mais usados para dimensionamento de pilares são os desenvolvidos pela Escola de Engenharia de São Carlos - USP, especificamente:

− Dimensionamento de Peças Retangulares de Concreto Armado Solicitadas à Flexão Reta, de W. S. Venturini, 1987; e

− Ábacos para Flexão Obliqua, de L. M. Pinheiro, L. T. Baraldi e M. E. Porem, 1994. Dentre os programas computacionais desenvolvidos para o dimensionamento de pilares

podem ser destacados os desenvolvidos por M. F. F. de Oliveira e C. A. W. Zandona, CESEC � UFPR, 2001, a saber1:

− Normal 1.3 � Flexão Composta Reta; e − Obliqua 1.0 � Flexão Composta Obliqua. Os ábacos apresentados por Venturini, para flexão normal composta, tem o aspecto

mostrado na Figura 9.16, onde: − a posição 1 representa uma seção dimensionada com segurança, porém com excesso

de material (concreto ou aço); − a posição 2 corresponde à condição limite de segurança, sem excesso de material; e − a posição 3 corresponde a uma seção fora dos limites de segurança, devendo ser

alterada em suas dimensões ou na quantidade de armadura. Os ábacos e programas computacionais referidos preferem não fazer distinção entre valores

correspondentes a solicitações e a valores de resistência. Os valores apresentados nos ábacos e programas usam, para força normal e momentos fletores, as expressões de cálculo Nd, Mxd e Myd, no lugar de NRd, MRd,x e MRd,y, respectivamente.

Figura 9.16 � Ábaco para flexão normal composta

Exemplo 9.10: Determinar a armadura para a seção transversal de um pilar submetido ao carregamento abaixo indicado.

Considerar: � estado limite último � combinação normal de carregamento; � concreto: C25; e � aço: CA-50.

1 Acesso aos programas pelo www.cesec.ufpr.br/concretoarmado.

tração compressão

cdc

d

fAN

=ν

he

ν=µ

zona de segurança

cdc

yds

fAfA

=ω

1

2

3

2006 9-39 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta do ábaco A-1 apresentado em Dimensionamento de Peças Retangulares de Concreto Armado Solicitadas à Flexão Reta, W. S. Venturini, EESC/USP. A armadura mínima deve ser verificada pela Equação 9.22 e a armadura máxima com a Equação 9.23.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

2

c

ckcd cm/kN79,1MPa9,17

4,125ff ===

γ=

2

s

ykyd cm/kN5,43MPa435

15,1500f

f ===γ

=

cm60h = cm20b = cm3'd =

05,0603

h'd

==

2c cm12006020hbA =×=×=

=

c

yd

d

min,s

A%4,0

fN15,0

maxA

2

2

2

min,s cm80,4

cm80,42001100

4,0

cm44,45,43

128915,0

maxA =

=×

=×

=

emendas de região admitidoA%0,4A cmax,s =

2max,s cm0,482001

1000,4A =×=

kN1289NN Sdd == cm20e =

b. Coeficientes ν e µ

60,079,11200

1289fA

Ncdc

d =×

==ν

Nd

e

20 cm

3 cm

54 cm

3 cm

0,5 As

0,5 As

Nd = NSd = 1289 kN

e = 20 cm

2006 9-40 ufpr/tc405

20,0602060,0

he

fhAeN

fhAM

cdc

d

cdc

d =×=ν=×

==µ

c. Coeficiente ω e determinação de As Utilizando o ábaco A-1, obtém-se ω = 0,32

cdc

yds

fAfA

=ω

)cm 16,0816mm 8(cm80,15A79,112005,43A32,0 22

ss =φ=⇒

××

=

OKcm0,48

cm80,4cm08,16A

2

2

2s

<

>=

d. Verificação da outra direção cm60b = cm20h = cm3'd =

15,0203

h'd

==

2c cm12002060hbA =×=×=

2min,s cm80,4A =

2max,s cm0,48A =

kN1289NN Sdd == cm1,2m021,0)2,03,0(015,0h03,0015,0ee min,d1 ==×+=+==

compressão tração

0,60

he

ν=µ

0,20

cdc

d

fAN

=ν

ω = 0,30

ω = 0,40

ω = 0,32

d�

Nd e

b

d�

h

0,5 As

0,5 As

4 φ 16

4 φ 16

2006 9-41 ufpr/tc405

60,0=ν

063,020

1,260,0he

=×=ν=µ

Utilizando o ábaco A-12, obtém-se ω = 0,00

Como o ω calculado pela segunda verificação (0,00) resultou inferior ao ω da primeira verificação (0,32), prevalece a solução ω = 0,32 (8 φ 16 mm).

Os ábacos apresentados por Pinheiro, Baraldi e Porem, para flexão obliqua composta, tem o aspecto mostrado na Figura 9.17, onde:

− a posição 1 representa uma seção dimensionada com segurança, porém com excesso de material (concreto ou aço);

− a posição 2 corresponde à condição limite de segurança, sem excesso de material; e − a posição 3 corresponde a uma seção fora dos limites de segurança, devendo ser

alterada em suas dimensões ou na quantidade de armadura.

Nd e

60 cm

3 cm

14 cm

3 cm

Nd = 1289 kN

e = 2,1 cm

compressã tração

0,60

he

ν=µ

0,063

cdc

d

fAN

=ν

ω = 0,00 Nd e

b

d�

d�

h

2006 9-42 ufpr/tc405

Figura 9.17 � Ábaco para flexão obliqua composta

Exemplo 9.11: Determinar a armadura para a seção transversal de um pilar submetido ao carregamento abaixo indicado.

Considerar: � estado limite último � combinação normal de carregamento; � concreto: C25; e � aço: CA-50.

y

yy h

eν=µ

x

xx h

eν=µ

8,0fA

N

cdc

d ==ν

zona de segurança cdc

yds

fAfA

=ω

1

2

3

2,1fA

N

cdc

d ==ν 4,1fA

N

cdc

d ==ν

0,1fA

N

cdc

d ==ν

(d�y)

y

x

Nd

ex

ey

4 cm 4 cm

12 cm 4 cm

32 cm

4 cm Nd = 573 kN (NSd) ex = 5 cm ey = 15 cm hx = 20 cm hy = 40 cm d�x = 4 cm (0,20 hx) d�y = 4 cm (0,10 hy)

(d�x)

2006 9-43 ufpr/tc405

Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta do ábaco A-51 apresentado em Ábacos para Flexão Obliqua, L. M. Pinheiro, L. T. Baraldi e M. E. Porem, EESC/USP. A armadura mínima deve ser verificada pela Equação 9.22 e a armadura máxima com a Equação 9.23.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

2

c

ckcd cm/kN79,1MPa9,17

4,125ff ===

γ=

2

s

ykyd cm/kN5,43MPa435

15,1500f

f ===γ

=

cm20hx = cm40hy =

)h20,0(cm4d x'x =

)h10,0(cm4d y'y =

2yxc cm8004020hhA =×=×=

=

c

yd

d

min,s

A%4,0

fN15,0

maxA

2

2

2

min,s cm20,3

cm20,3800100

4,0

cm98,15,43

57315,0

maxA =

=×

=×

=

emendas de região admitidoA%0,4A cmax,s =

2max,s cm0,32800

1000,4A =×=

kN573NN Sdd == cm5ex = cm15ey =

b. Coeficientes ν e µx e µy

40,079,1800

573fA

Ncdc

d =×

==ν

10,020540,0

he

hfAeN

hfAM

x

x

xcdc

xd

xcdc

xdx =×=ν=

×==µ

15,0401540,0

he

hfAeN

hfAM

y

y

ycdc

yd

ycdc

ydy =×=ν=

×==µ

2006 9-44 ufpr/tc405

c. Coeficiente ω e determinação de As Utilizando o ábaco A-51, obtém-se ω = 0,42

cdc

yds

fAfA

=ω

)cm 18,84mm20 6(cm83,13A79,18005,43A42,0 22

ss =φ=⇒

××

=

OKcm0,32

cm20,3cm84,18A

2

2

2s

<

>=

9.9 Análise de Estruturas de Nós Móveis1 Na análise estrutural de estruturas de nós móveis devem ser obrigatoriamente considerados

os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e, portanto, no dimensionamento, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem.

9.9.1 Análise Não-Linear com 2ª Ordem Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, consiste

na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95 γz. Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3.

9.9.2 Consideração Aproximada da Não-Linearidade Física Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo

quatro andares, pode ser considerada a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes:

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.7 da ABNT NBR 6118.

0,15

0,10

x

xx h

eν=µ

4,0=ν

ω = 0,40

ω = 0,50

ω = 0,42

y

yy h

eν=µ

Mxd

Myd

Nd ey

ey

hx

d�y

d�x

hy

Mxd = Nd ex Myd = Nd ey

20 cm

40 cm

φ 20 mm

2006 9-45 ufpr/tc405

( )

( )

( )

( ) ccisec

s'sccisec

s'sccisec

ccisec

IE8,0EI:pilares

AAIE5,0EI

AAIE4,0EI:vigas

IE3,0EI:lajes

=

==

≠=

=

Equação 9.27

onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as

mesas colaborantes. Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares e

γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: ( ) ccisec IE7,0EI = Equação 9.28

Os valores de rigidez adotados neste item são aproximados e não podem ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem.

9.9.3 Análise dos Efeitos Locais de 2ª Ordem A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras,

devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de acordo com o prescrito em 9.7.

Os elementos isolados, para fins de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento le, de acordo com o estabelecido em 9.6, porém aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª ordem.

9.10 Disposições Construtivas1 As exigências que seguem referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversal

não exceda cinco vezes a menor dimensão, e não são válidas para as regiões especiais2.

9.10.1 Armaduras Longitudinais 9.10.1.1 Diâmetro Mínimo e Taxa de Armadura

O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão transversal.

A taxa geométrica de armadura deve respeitar os valores máximos e mínimos especificados em 9.8.2.

9.10.1.2 Distribuição transversal As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a

adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro.

O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

− 20 mm; − diâmetro da barra, do feixe ou da luva; e − 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado. Para feixes de barras, deve-se considerar o diâmetro do feixe φn = φ n½. Esses valores aplicam-se também às regiões de emendas por traspasse de barras.

1 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 18.4 da ABNT NBR 6118 2 Seção 21 da ABNT NBR 6118.

2006 9-46 ufpr/tc405

Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador.

O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 400 mm.

9.10.2 Armaduras transversais A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por

grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.

O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal.

O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:

− 200 mm; − menor dimensão da seção; e − 24 φ para CA-25, 12 φ para CA 50. Pode ser adotado o valor φt < φ/4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo

tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação

yk

2t

max f19000s

φφ

= (fyk em MPa)

Quando houver necessidade de armaduras transversais para força cortante e momento torçor, esses valores devem ser comparados com o especificado no item 18.3.3.2 da ABNT NBR 6118 para vigas, adotando-se o menor dos limites especificados.

9.11 Simbologia Específica d diâmetro da seção transversal de concreto altura útil da viga - distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de

gravidade da armadura tracionada d' distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da

armadura comprimida dx dimensão infinitesimal de um elemento de concreto comprimido dy dimensão infinitesimal de um elemento de concreto comprimido e excentricidade e1 excentricidade de 1ª ordem e1,min excentricidade de 1ª ordem associada ao momento fletor M1d,min e1x excentricidade de 1ª ordem, na direção x e1y excentricidade de 1ª ordem, na direção y etot excentricidade referente ao Md,tot ex excentricidade na direção x ex,tot excentricidade referente ao Mxd,tot ey excentricidade na direção y ey,tot excentricidade referente ao Myd,tot fcd resistência à compressão do concreto de cálculo fck resistência à compressão do concreto característica fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo g valor da ação permanente h altura total da seção transversal altura da seção transversal de pilar na direção considerada hx altura da seção transversal de pilar na direção x hy altura da seção transversal de pilar na direção y i raio de giração da seção transversal do pilar ix raio de giração referido á direção x

2006 9-47 ufpr/tc405

iy raio de giração referido á direção y l altura de um lance de pilar l distância entre eixos de elementos estruturais aos quais um pilar esteja vinculado l0 distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais,

que vinculam o pilar le comprimento equivalente de pilar lex comprimento equivalente de pilar na direção x ley comprimento equivalente de pilar na direção y n número de níveis de barras horizontais (andares) número total de elementos verticais contínuos q valor da ação variável r raio de curvatura rx raio de curvatura na direção x ry raio de curvatura na direção y x altura da linha neutra coordenada de um elemento infinitesimal de concreto comprimido xsi coordenada de uma barra genérica y altura da região de tensões constantes no concreto comprimido coordenada de um elemento infinitesimal de concreto comprimido ysi coordenada de uma barra genérica Ac área da seção transversal de concreto Acc área de concreto comprimido A's área da seção da armadura longitudinal de compressão As área da seção transversal da armadura longitudinal de tração área da seção transversal da armadura longitudinal de pilar Asi área da seção transversal da armadura longitudinal de uma barra genérica Eci módulo de deformação tangente inicial do concreto Ecs módulo de deformação secante do concreto EI rigidez F força Fd valor de cálculo das ações Fgk valor característico das ações permanentes diretas Fεgk valor característico das ações permanentes indiretas Fk valor característico das ações Fqk valor característico das ações variáveis Fεqk valor característico das ações variáveis indiretas H altura total da edificação Hd força horizontal de cálculo Hi altura de um lance de pilar Htot altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco

deslocável do subsolo I momento de inércia Ic momento de inércia da seção bruta de concreto Ix momento de inércia referido à direção x (Iyy) Iy momento de inércia referido à direção y (Ixx) M momento fletor M1 momento de 1ª ordem M1,tot,d momento de tombamento - soma dos momentos de todas as forças horizontais da

combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura

M1d momento de 1ª ordem de cálculo M1d,min momento total de 1ª ordem de cálculo mínimo que possibilita o atendimento da

verificação das imperfeições localizadas de um lance de pilar M1xd momento de 1ª ordem de cálculo na direção x M1xd,min momento total de 1ª ordem de cálculo mínimo na direção x M1yd momento de 1ª ordem de cálculo na direção y M1yd,min momento total de 1ª ordem de cálculo mínimo na direção y

2006 9-48 ufpr/tc405

M2 momento de 2ª ordem M2d momento de 2ª ordem de cálculo MA momento de 1ª ordem no extremo do pilar MB momento de 1ª ordem no extremo do pilar MC momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço Md momento fletor de cálculo Md,tot momento total máximo no pilar MRd momento fletor resistente de cálculo MRd,x momento fletor resistente de cálculo na direção x MRd,y momento fletor resistente de cálculo na direção y MSd momento fletor solicitante de cálculo MSd,x momento fletor solicitante de cálculo na direção x MSd,y momento fletor solicitante de cálculo na direção y Mxd,tot momento total máximo no pilar na direção x Myd,tot momento total máximo no pilar na direção y N força normal Nd força normal de cálculo Nk somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível

considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico NRd força normal resistente de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo R resistência S solicitação α parâmetro de instabilidade αb fator que define as condições de vínculo nos apoios αbx fator que define as condições de vínculo nos apoios, na direção x αby fator que define as condições de vínculo nos apoios, na direção y εc deformação específica do concreto εs deformação específica do aço à tração εsi deformação específica do aço de uma barra genérica ε's deformação específica do aço à compressão εyd deformação específica de escoamento do aço γz coeficiente de majoração dos esforços globais finais de 1ª ordem para obtenção

dos finais de 2ª ordem κ rigidez adimensional κinicial valor inicial da rigidez adimensional κx rigidez adimensional na direção x κy rigidez adimensional na direção y λ índice de esbeltez λx índice de esbeltez na direção x λy índice de esbeltez na direção y λ1 valor limite para índice de esbeltez µ momento fletor reduzido adimensional ν força normal adimensional θa desaprumo global de uma estrutura θ1 desaprumo de um elemento vertical contínuo desaprumo de um lance de pilar de altura Hi σc tensão à compressão no concreto σsi tensão na armadura longitudinal de uma barra genérica ω taxa mecânica de armadura longitudinal ∆ deslocamento ∆Mtot,d soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na

combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem

2006 9-49 ufpr/tc405

9.12 Exercícios Ex. 9.1: Dimensionar e detalhar as armaduras (longitudinal e transversal) para o pilar de

seção transversal como abaixo indicado, de altura igual a 7 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de cálculo (Nd) de 4000 kN.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação

tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); − concreto: C25; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e − diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm. Ex. 9.2 Determinar o diâmetro da armadura para a seção transversal do pilar abaixo

representado, de altura igual a 3 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de cálculo (Nd) de 1716 kN.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2

(γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e − armadura longitudinal: 8 φ.

Ex. 9.3: Determinar a máxima carga axial (Nd) que o pilar, de seção transversal como abaixo representado, pode suportar.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2

(γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; − armadura longitudinal: 8 φ12,5 mm; e − altura do pilar (comprimento de flambagem): 3 m. Ex. 9.4: Determinar o diâmetro da armadura para a seção transversal do pilar abaixo

representado. Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2

(γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; − armadura longitudinal: 8 φ; − altura do pilar (comprimento de flambagem): 4 m; − carregamento axial (Nd): 2317 kN; e − excentricidade: 5 cm.

60 cm

30 cm

40 cm

30 cm

40 cm

30 cm

60 cm

Nd

2006 9-50 ufpr/tc405

Ex. 9.5: Considerando que as duas seções transversais de pilar, como abaixo representadas, deverão suportar uma mesma força normal centrada de mesma intensidade, pede-se:

a. o valor de cálculo desta força normal (Nd); e b. a definição de qual seção deverá possuir a menor taxa de armadura longitudinal.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 2,5 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e − diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm. Ex. 9.6: Determinar máxima carga axial (Nd) que o pilar, de seção transversal como abaixo

representado, pode suportar. Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; − diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm; e − armadura longitudinal (As): 20,11 cm2.

z

y

x hx

hy

lex = 5 m

ley = 2 m

40 cm

30 cm

y

x Nd

y

x Nd 30 cm

40 cm

2006 9-51 ufpr/tc405

Ex. 9.7: Os pilares P01 e P02 foram executados com o mesmo tipo de aço e o mesmo concreto e têm as características geométricas indicadas abaixo. Os dois pilares suportam forças normais centradas, sendo a carga do pilar P02 dez por cento maior que a carga do pilar P01. Nestas condições, determinar a armadura necessária para o pilar P02, considerando as distribuições de barras conforme indicadas na figura.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 2,5 cm; − diâmetro da armadura transversal: 0,53 mm; − altura do pilar P01 (comprimento de flambagem): 3,0 m; − altura do pilar P02 (comprimento de flambagem): 2,5 m; − taxa de armadura longitudinal (ρ) do pilar P01: 1,75%; e − carga (NSd) atuante no pilar P01: 1400 kN (centrada).

Ex. 9.8: O pilar central P2 de um edifício recebe, em cada nível, as reações de apoio das vigas V1, V2, V3 (pavimento tipo) e V4 (cobertura). Sabendo-se que, em cada lance, o peso próprio do pilar pode ser avaliado como sendo igual a 1% da força normal acumulada atuante no seu topo, pede-se:

z

y

x hx

hy

lex = 5,0 m

ley = 2,5 m y

x Nd 25 cm

50 cm

30 cm

60 cm

X

Y

P01

armadura uniformemente distribuída nas quatro faces

25 cm

P02

75 cm X

Y armadura

uniformemente distribuída nas duas

faces maiores

2006 9-52 ufpr/tc405

a. o valor da força normal de cálculo, suposta centrada, atuante no primeiro lance do pilar P2 (carga atuante no pilar situado abaixo da V1);

b. o dimensionamento da seção transversal do primeiro lance (definição de hx), prevendo-se uma taxa geométrica de armadura em torno de 2%; e

c. o dimensionamento da armadura para a carga estabelecida no item a, com hx definido no item b.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; e − reações das vigas:

― V4: 300 kN (valor característico); ― V1 = V2 = V3: 400 kN (valor característico).

Obs: − admitir dx�/hx = 0,10 e d�y/hy = 0,20; − edifício constituído por pavimento térreo, três pavimentos tipo (onde atuam as vigas

V1, V2 e V3) e cobertura (onde atua a viga V4); − largura do pilar hx como múltiplo de 5 cm; e − armadura longitudinal do pilar colocada paralelamente ao lado hx (metade para cada

lado). Ex. 9.9: Determinar o diâmetro mínimo (φ) para as barras do pilar abaixo representado. O

pilar deverá ser constituído por dez barras longitudinais dispostas, cinco a cinco, paralelamente ao lado maior.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20 (γc = 1,40); − aço: CA-50 (γs = 1,15); − Nd: 2053 kN (compressão ao longo do eixo z); e − d�/h = 0,10 (nas duas direções).

z

x

1º lance

2º lance

4º lance

P1

V1 (tipo)

V2 (tipo)

V3 (tipo)

V4 (cob)

Elevação do Edifício

P3 P2

3º lance

3 m

3 m

3 m

3 m

20 cm x

hx

Vi

y

Seção Transversal Pilar P2

V1, V2, V3 e V4

2006 9-53 ufpr/tc405

Obs: − o eixo z da figura corresponde à altura do pilar e o plano xy contém a seção

transversal do mesmo; − efetuar o cálculo da armadura (determinação obrigatória dos valores de As)

considerando, isoladamente, as duas direções; e − nas considerações envolvendo a posição J, os momentos fletores atuantes no pilar

(plano yz) não deverão ser somados. Ex. 9.10: Determinar o menor valor possível para hx (valor múltiplo de 5 cm) de tal forma que

o pilar abaixo representado possa resistir a uma força normal suposta centrada de cálculo (Nd) igual 5105 kN. Este pilar, componente de uma estrutura de 5 pavimentos, será construído por etapas (por pisos) o que vale dizer que na sua região inferior as armaduras serão emendadas (emendas por traspasse).

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50;

y

x

60 cm

30 cm

Seção Transversal

I

Elevações Diagrama Md

Momentos atuantes no plano yz

100 kNm

100 kNm

154 kNm

154 kNm

y

z

x

z

30 cm 60 cm

6,0 m

3,0 m

3,0 m

J

K

2006 9-54 ufpr/tc405

− cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e − diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm. Obs: − obedecer rigorosamente às taxas limites de armadura estabelecidas pela

ABNT NBR-6118.

Ex. 9.11: Determinar a armadura necessária para o pilar abaixo representado. Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; e − d�/h = 0,10 (nas duas direções). Obs: − as solicitações (força normal e momentos fletores) correspondem a valores de cálculo; − os momentos atuam no plano xz e tracionam o mesmo lado do pilar; − o pilar tem seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo de

seu eixo (eixo vertical); − o pilar é bi-rotulado, sem viga intermediária de travamento; e − taxa máxima de armadura longitudinal do pilar igual a 4% (armadura com traspasse).

z

y

x hx

hy

lex = 5,6 m

ley = 2,8 m y

x Nd 30 cm

hx

2006 9-55 ufpr/tc405

Ex. 9.12: Determinar as armaduras necessárias para os pilares AB e DC do pórtico indicado na figura.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − d� = 0,10 h (nas duas direções) − estrutura de nós fixos; − comprimento de flambagem dos pilares lex = ley = 0,7 x 3,5 = 2,45 m; − carregamento atuante com valores de cálculo para a carga permanente e para a carga

acidental; e − diagramas Md e Nd (valores de cálculo) indicados nas figuras. Obs: − o pórtico está contido no plano xz; − o pilar tem seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo de

seu eixo vertical; e − taxa máxima de armadura longitudinal do pilar igual a 4% (armadura com traspasse).

z

5,0 m

25 cm

50 cm

y

x

A

B

Nd = 1787,5 kN

Nd = 1787,5 kN

Mxd,A = 71,50 kNm

Mxd,B = 35,75 kNm

50 cm (hy)

25 cm (hx)

2006 9-56 ufpr/tc405

Ex. 9.13: Determinar a armadura longitudinal do pilar indicado abaixo, sabendo que a força normal de cálculo (Nd), no lance em questão, é de 2250 kN e que o momento fletor de cálculo transferido pela viga V1 ao pilar (MSd - momento fletor atuante no plano y), tanto no piso superior

6,0 m

3,5 m

A

B C

D

20 kN/m

Viga � 20 cm x 60 cm

Pilares � 20 cm x 40 cm

22,6 kNm 22,6 kNm

46,2 kNm

46,2 kNm 46,2 kNm

46,2 kNm

43,8 kNm

-1144 kN -1144 kN

Diagrama Nd

Diagrama Md

x

z

1084 kN 1084 kN

20 cm

40 cm

y

x

Seção Transversal dos Pilares

2006 9-57 ufpr/tc405

quanto no piso inferior, é de 125 kNm. A armadura do pilar deverá ser distribuída uniformemente ao longo das faces paralelas ao eixo y (metade em cada face de 50 cm).

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e − diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm. Obs: − considerar o pórtico como indeslocável.

Ex. 9.14: As cargas Nd1, Nd2 e Nd3 atuam simultaneamente sobre o eixo x, tal como indicado na figura. Admitindo que a armadura longitudinal As seja distribuída igualmente em dois lados (paralelos ao eixo x), determine o máximo valor admissível para o conjugado Nd2 e Nd3.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm;

B

Elevação

A

2,80 m

V1 V2

V1 V2

Pilar

30 cm

y

x

B

A

125 kNm

125 kNm

Solicitações (valores de

cálculo)

2250 kN

2250 kN

y

50 cm

30 cm

V1

V2

x

Planta

2006 9-58 ufpr/tc405

− armadura longitudinal: 10 φ 16 mm; − altura do pilar (comprimento de flambagem): 3,2 m; e − carregamento axial (Nd1): 1290 kN; Obs: − admitir dx�/hx = 0,10 e d�y/hy = 0,20.

Ex. 9.15: Determinar qual das duas seções transversais de pilar, S1 ou S2, é a mais adequada (mais econômica) para o carregamento abaixo indicado. Determinar, também, qual a bitola (diâmetro) necessária para compor as barras da seção S1 e da seção S2. As seções transversais S1 e S2 tem a mesma área de concreto (1500 cm2) e a mesma quantidade de armadura (20 barras).

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − aço: CA-50 (γs = 1,15); − bitolas: 10 mm, 12,5 mm, 16 mm, 20 mm, 22 mm, 25 mm e 32 mm; − concreto: C20 (γc = 1,4); − força normal de cálculo: Nd = 2145 kN; − excentricidade (eixo y): ey = 7,5 cm; − posição da armadura: d� = 0,10 h; e − pilar curto: λ < 35. Obs.: − é necessário (obrigatório) efetuar as verificações em todas as direções,

independentemente da existência, ou não, de excentricidades iniciais.

20 cm

Nd3 = - Nd2 Nd2

Nd1

x

60 cm

25 cm

20 cm

2006 9-59 ufpr/tc405

Ex. 9.16: Usando bitolas (φ) de 20 mm, determinar o número total de barras da armadura longitudinal que, colocadas conforme disposição indicada na seção transversal, são necessárias para o pilar pré-moldado representado na figura abaixo.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C30 (γc = 1,40); − aço: CA-50 (γs = 1,15); − altura do pilar: l = 3,2 m; − força normal (eixo z): NSd = Nd = 1028,57 kN; − momento fletor (plano yz): MSd = MA,d = MB,d; e − posição da armadura: d� = 0,10 h. Obs.: − o pilar tem seção transversal constante (40 cm x 40 cm) e armadura simétrica

constante (paralela ao eixo x) ao longo do eixo z; − o pilar deve ser considerado livre no topo e engastado na base (le = 2l); − a força normal Nd atua com uma excentricidade de 30 cm somente na direção y; − no plano yz, o diagrama de momentos é o indicado na figura; − no plano xz, não existem momentos provenientes do carregamento atuante; e − no dimensionamento da armadura considerar apenas os esforços (solicitações) no

plano yz.

50 cm

30 cm

X

Y

S1

Nd

20 cm

S2

75 cm X

Y

Nd

2006 9-60 ufpr/tc405

Ex. 9.17: Considere um pórtico simétrico e indeslocável de concreto armado, tal como indicado na Fig. 01. Sob a ação do vento, os pilares AB e DE comportam-se diferentemente. Os diagramas de momentos fletores de cálculo (MSd) dos pilares estão representados na Fig. 02, onde estão indicadas também as forças normais de cálculo (NSd) atuantes nos mesmos, forças essas consideradas como constantes ao longo de todo o comprimento dos pilares. Como o vento pode mudar de sentido, o comportamento dos pilares também se inverte. Assim, cada um deles deve ser verificado para duas situações possíveis, isto é, vento para direita e vento para esquerda. Nestas condições, determinar o diâmetro (bitola) da armadura necessária nos pilares de modo a serem atendidas as duas possibilidades de carregamento.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − d�x = d�y= 4,5 cm; − lex = ley = 3,0 m; e − estrutura de nós fixos. Obs: − o pórtico está contido no plano xz; − a seção transversal do pilar está contida no plano xy; − os pilares têm seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo

de seu eixo vertical (8 barras uniformemente distribuídas); e − taxa máxima de armadura longitudinal do pilar igual a 4% (armadura com traspasse).

x

40 cm

40 cm

y

seção transversal

z

y

x

Nd

Nd

3,2 m

30 cm

esquema do pilar

A

Md

Nd

Md

solicitações de cálculo (plano yz)

B

30 c

m

y

x

30 cm

2006 9-61 ufpr/tc405

Fig. 01 � Esquema estrutural do pórtico sob ação do vento

Fig. 02 � Diagramas NSd e MSd para os pilares AB e DE.

Ex. 9.18: Um pilar curto (λ <λ1), de seção transversal 30 cm x 30 cm, suporta uma força normal de cálculo (Nd) igual a 965 kN com dupla excentricidade, sendo a excentricidade na direção y igual a 7,5 cm. Considerando que o pilar está armado com 4 barras de 20 mm, determine qual a máxima excentricidade na direção y permitida à força Nd.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C25; − aço: CA-50; − αb = 1,0; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e − armadura longitudinal: 4 φ 20 mm.

vento

z

x A

B

C

D

E

1,5

m

3,0

m

6,0 m

514,8 kN 128,7 kN

57,9 kNm

15,4 kNm 15,4 kNm

15,4 kNm

2006 9-62 ufpr/tc405

Ex. 9.19: Determinar o diâmetro da armadura para a seção transversal do pilar abaixo representado.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2

(γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 6,3 mm; − armadura longitudinal: 10 φ; − altura do pilar (comprimento de flambagem): 3 m; − carregamento axial (Nd): 3004 kN; − excentricidade na direção x: 3 cm; e − excentricidade na direção y: 7 cm.

Ex. 9.20: O pilar abaixo esquematizado servirá, temporariamente, como suporte (engaste) para um guindaste cujo peso corresponde à 2284 kN (Ngk). Verificar se este pilar tem condições de suportar o içamento e transporte de uma carga de 100 kN (Nqk), distante 5,79 m (llança) do centro de giração do guindaste (centro de gravidade do pilar). O içamento da carga, após a fixação do guindaste no topo do pilar, se dará na seguinte seqüência:

a. inicialmente a carga será parcialmente levantada na posição A (ângulo de 45º com o eixo horizontal); e

b. posteriormente o guindaste fará uma rotação de 135º até a carga atingir a posição C, quando será totalmente içada.

A verificação das condições de segurança deverá ser feita apenas no topo do pilar (engaste do guindaste), para as posições de carga e descarga em A, B e C, não sendo necessário verificar situações intermediarias.

Considerar: − estado limite último � combinação especial (construção) de carregamento (γg = 1,3;

γq = 1,2; γc = 1,2; γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − αb = 1,0; − cobrimento da armadura: 3 cm; − diâmetro da armadura transversal: 8 mm; − armadura longitudinal: 10 φ 32 mm; e − altura do pilar (comprimento de flambagem): 6 m.

70 cm (hy)

30 cm (hx)

Nd

y

x 30 cm

30 cm

ex

ey

2006 9-63 ufpr/tc405

Ex. 9.21: Determinar os valores das excentricidades atuantes no topo (J), na base (K) e na seção intermediária do pilar abaixo representado. Esse pilar tem seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. Os valores de Md,tot, necessários para a determinação das excentricidades na seção intermediária deverão ser calculados pelo Método do Pilar Padrão para Pilares de Seção Retangular Submetidos à Flexão Composta Obliqua (Método da Rigidez κ Aproximada), considerando concreto classe C20.

Nd = 1140 kN Mxd kNm

Myd kNm

ex cm

ey cm

Topo

Intermediaria

Base

Obs: − as solicitações (força normal e momentos fletores) correspondem a valores de cálculo;

e − considerar efeitos de 2ª ordem, independentemente de λ1 (ignorar λ1 e ir diretamente

ao Método da Rigidez κ Aproximada).

C

B

A

y

x

Plano de giro da lança do guindaste Carga a 5,79 m do centro de giração

Seção transversal do pilar

90 cm

60 cm

MSd = (γq Nqk) x llança

NSd = (γg Ngk) + (γq Nqk)

Carregamento do pilar

2006 9-64 ufpr/tc405

Ex. 9.22: Abaixo é representado um pilar de concreto armado com altura de um lance igual a 3,8 m e seção transversal quadrada com 40 cm x 40 cm. Considerando os esforços solicitantes de cálculo indicados abaixo e sabendo que a seção transversal do pilar terá dez barras, com a distribuição indicada na figura, pede-se a área de aço (As) necessária e o diâmetro (φ) das barras.

Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20 (γc = 1,4); − aço: CA-50 (γs = 1,15); − taxa de armadura: As = 8% Ac; e − d� = 4 cm. Obs: − as solicitações (força normal e momentos fletores) correspondem a valores de cálculo; − o pilar tem seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo de

seu eixo (z); − os momentos fletores 50,10 kNm e 183,04 kNm atuam no plano xz (direção x), os

momentos fletores 62,40 kNm e 91,52 kNm atuam no plano yz (direção y); − hx corresponde à dimensão do pilar na direção x, hy corresponde à dimensão do pilar

na direção y; e − o preenchimento do quadro abaixo é obrigatório.

1140 kN

57 kNm

114 kNm

y

x

K

J

114 kNm

57 kNm

Solicitações (valores de cálculo)

1140 kN

K

Elevação

J

9,25 m

V1 V2

V1 V2

Pilar

40 cm y

40 cm

40 cm

V1

V2

x

Planta

2006 9-65 ufpr/tc405

Nd = 2746 kN Mxd kNm

Myd kNm

ex cm

ey cm

Topo

Intermediaria

Base

Ex. 9.23: Determinar a armadura necessária para o pilar de canto abaixo representado. Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − d�y = 0,05 hy; d�x = 0,10 hx; − lex = ley = 5,0 m; − Nd = 686 kN; e − Mxd,topo = Mxd,base = Myd,topo = Myd,base = 102,9 kNm. Obs: − as solicitações (força normal e momentos fletores) correspondem a valores de cálculo; − o pilar tem seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo de

seu eixo (eixo vertical); − os momentos Mxd,topo e Mxd,base estão contidos no plano xz; − os momentos Myd,topo e Myd,base estão contidos no plano yz; − o pilar é bi-rotulado, sem viga intermediária de travamento; e − taxa máxima de armadura longitudinal do pilar igual a 4% (armadura com traspasse).

y

x

2746 kN

50,10 kNm

183,04 kNm

K

J

62,40 kNm

91,52 kNm

Solicitações (valores de cálculo)

2746 kN

40 cm (hy)

40 cm (hx)

Seção Transversal

2006 9-66 ufpr/tc405

Ex. 9.24: Para o pilar abaixo indicado determinar: a. o máximo valor da força normal característica Nk que o mesmo é capaz de suportar; e b. os momentos fletores característicos máximos correspondentes a Nk, nas direções x e

y. Considerar: − estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4

e γs = 1,15); − concreto: C20; − aço: CA-50; − diâmetro da armadura: 22 mm; e − d�y = 0,15 hy; d�x = 0,15 hx. Obs: − admitir que a condição indicada na figura atende a todas as verificações exigidas por

norma com relação a esbeltez e, portanto, as excentricidades incluem valores de 2ª ordem, se for o caso; e

− admitir, para efeito de uniformização de uso de ábaco, que fcd seja igual a 14 MPa.

40 cm (hy)

30 cm (hx)

x

Nd

y

z Myd,topo

Myd,bas

Mxd,topo

Mxd,bas

Nd

Nk

5 cm

5 cm

y

x

25 cm

25 c

m