а к у с т и ч е с к и й ж у р н а л

Том XVIII 1972 В ы н. 2

УДК 534.6

О НЕОБХОДИМОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ИСКАЖЕНИЙВ ГРОМКОГОВОРИТЕЛЯХ

Б. Г . Б е л к и н

Рассматривается вопрос о связи между переходными искажениями в громкоговорителях и пх частотпыми характеристиками. На основе пред­ставления громкоговорителя в виде четырехполюсника и расчета искаже­ний, возникающих при передаче через громкоговоритель тонального им­пульса Гаусса, показывается, что вся информация, необходимая для оценки качества громкоговорителя с точки зрения вносимых им частот­ных искажений содержится в форме его частотной характеристики и в дополнительных измерениях переходных искажений нет необходимости.

В последнее время при оценке качества громкоговорителей много вни­мания уделяется переходным искажениям, которые трактуются, как само­стоятельный вид искажений, обусловленный свойствами громкоговорите­лей по передаче переходных процессов. Можно, однако, показать, что самостоятельная роль переходных искажений, их независимость от частот­ных искажений, сильно преувеличиваются.

1. Громкоговоритель, работающий в условиях свободного поля и изме­рительный микрофон, установленный на некотором расстоянии перед ним, можно рассматривать, как четырехполюсник (назовем его Дг), входными зажимами которого служат клеммы громкоговорителя, а выходными — электриче- ческие зажимы микрофона (фиг. 1). Если четырехполюс­ник Я г линеен, то его свой­ства полностью определяются передаточной функцией

К г( т ) —где Gr(<o) - амплитудно-частотная (частотная), а фг(со) — фазо-частотная (фазовая) характеристики Нг. Используя формулу (1), можно, применяя преобразование Фурье, найти выходной сигнал u(t), соответствующий произвольному входному сигналу e(t). Иными словами, измерение пере­ходных искажений можно заменить адекватным ему измерением частот­ной и фазовой характеристик громкоговорителя.

Если бы четырехполюсник Яг был минимальпо-фазовым, то для оценки переходных искажений достаточным было бы измерепие только частотной характеристики, поскольку частотная п фазовая характеристики мини­мально-фазовой цепи взаимно однозначно связаны между собой парой пре­образований Гильберта [1]. К сожалению, в общем случае громкоговори­тель не является мииималыю-фазовой системой. Следует, однако, учиты­вать, что взаимосвязь между частотной характеристикой и переходными искажениями нарушается не во всякой неминимально-фазовой цепи, а лишь в такой, в которой составляющая фазовой характеристики, не свя­занная преобразованием Гильберта с частотной характеристикой, является

175

нелинейной функцией частоты. Такие цепи уместно называть существенно неминимально-фазовыми.

2. Предположим, что четырехполюсник Rr является существенно не­минимально-фазовым и перейдем в формуле (1) от мнимой частоты га) к комплексной частоте р = о + гео. Передаточная функция (1) может тог­да быть переписана в виде [2]

К,(р) = Л̂м.ф (р) *̂ н.ф1 (р) • • • Ku.tyi(p) . . . Кн.фп(р) » (2)где Къг.ф(р) — передаточная функция, определяющая минимально-фазовую цепь; Кп.фХ(р) (i = 1, 2 , . . . , п) передаточные функции, определяющие су­щественно неминимально-фазовые цепи, каждая из которых содержит одну пару комплексно-сопряженных нулей р0« = о<>* + йо0<, ро* = сг0, — ш 0„

Фиг. 2

расположенных в правой полуплоскости /;; п — число пар нулей КГ{р), расположенных в правой полуплоскости р. Таким образом, четырехполюс­ник Иг заменяется последовательностью четырехполюсников, изображен­ных на фиг. 2, причем, как не трудно показать,

*■♦<(/>) =( Р — Р о д ( Р — Р о " )

( Р + P o t ) ( р + P«i*) ’Ooi > 0.

Легко показать, что независимо от расположения нулей р0 р0*, модули функций Кш.ф'(р) на мнимой оси, т. е. частотные характеристики всех Д„.ф1- тождественно равны единице. Следовательно, частотная характеристика R r совпадает с частотной характеристикой Нм.ф. Фазовая характеристика че­тырехполюсника Пг может быть представлена в виде

фг((о) = фм.ф(со)+ Г дФ-,.-((0),/=1

где фм.ф(ы) = arg/f.M<„(io)), ф„.Ф*(<о) = arg /С..ф, (<•>)• ЧетырехполюсникЛм.ф является минимально-фазовым по построению. Следовательно, ошиб­ка, возникающая при определении фг(<о) применением преобразования Гильберта к Gr(co) , составляет

1 = 1

Иными словами, опираясь в оценке переходных искажений громкоговори­теля только на его частотную характеристику, мы не учитываем фазовых искажений, обусловленных составляющей фазовой характеристики, опре­деляемой формулой (/i). Обратимся к исследованию этих искажений.

3. Передаточная функция четырехполюсника /?..ф. определяется выра­жением (3). Опуская для сокращения индексы г, имеем

Фп.ф (со) = [arg Ки.ф (р) ] Р=ы =

= — 2^arctg tg a 0̂ + arctg ^ - + tg a 0 j j , (5)

где a0 = arctg co0 / o0 — аргумепт нуля p0.

17(5

На фиг. 3, а представлены графики < р „ .ф (с 1> ) при значениях <х0 > л /4 (кри­вая 7), q < а0 < (кривая 2) и а 0 < -g (кривая 5). Выделим на оси сонекоторую точку cot и представим функцию фн.ф(о)) в окрестности <0i в виде степенного ряда:

ф п . ф ( < о ) — Ф п . ф ( C 0 i ) “ f " £•^фн.ф(0))

d (о Л <0 =о>| ^^Фн.ф((0)

d o r *̂1 = Ы,

Q 2 + . . . ,

(6)

где Й = со — (Оь Первый член этого ряда определяет фазовый сдвиг на частоте coi, второй — фазовый сдвиг, пропорциональный частоте, и, на­конец, третий и последующие — составляющие фазового сдвига, являющиеся нелинейными функциями частоты. Именно эти последние составляющие дела­ют четырехполюсник суще­ственно неминимально-фазовым и определяют вносимые им фа­зовые искажения. Не трудно показать, что ряд (6) сходится очень быстро и поэтому слагае­мые третьей и более высоких степеней можно в дальнейшем анализе не учитывать. При этом фазовые искажения в /?„.ф опре­деляются величиной й2ф11ф((о) //dco2. Графики этой функции, соответствующие различным значениям <х0, изображены на фиг. 3, б у причем по оси ординат здесь отложена нормированнаявеличина 0 = 4ст02 / ЗУЗ •^ 2ф н.ф (со ) / d o r .

Анализируя ход графиков, мы видим, что величина фазо­вых искажений, обусловленных парой нулей /;0, /V , зависит от arg ро. При | arg р0 | < я / 6 вно­симые искажения заведомо не­значительны. С увеличением |a rgp0| искажения возрастают, но локализу­ются во все более узкой полосе частот. При |arg/?0| > я /4 заметные искажения вносятся в полосе частот (со0 — Оо) Ч- (со0 + о0), достигая мак­симума на частотах со0 ± сг/уЗ, где они пропорциональны 1/<т02, т. е. быстро убывают с удалением нулей от мнимой оси. Учитывая, во-первых, что интерес представляют лишь искажения, возникающие в пределах но­минального диапазона частот громкоговорителя и, во-вторых, что искаже­ния, возникающие в узкой (по сравнению с частотной группой слуха) полосе частот не могут заметно исказить сигнал, представляющий нату­ральное звучание, мы приходим к ситуации, схематически изображенной на фиг. 4, где очерчена та часть полуплоскости р, в которой только и мо­гут располагаться нули передаточной функции громкоговорителя, способ­ные обусловить заметные искажения, пе вытекающие из вида частотной характеристики громкоговорителя. Границами очередной части полупло­скости служат: прямая 1 — определяемая верхней границей номинального диапазона частот, кривая 2 — обусловленная разрешающей способностью слуха, прямая 3 — обусловленная неравенством а г gp0 > я / 6 и, наконец,2 Акустический ж-л, М 2 177

прямая 4 — обусловленная уменьшением искажений по закону 1 / о02 (зна­чение отмеченных на фиг. 4 точек будет разъяснено ниже).

4. Перейдем теперь к количественной оценке этих искажений, причем будем рассматривать случай, когда arg рй > л / 4, т. е. случай наибольших искажений. Полагая <о, = Шо + <ь/У3, перепишем выражение (6) в виде

гдеФи.ф(оз) = фо — ф1& + — Ф*й2,

лф о = Фп.ф (®i) = ---- g — 2 arctg

(7)

(8а)

зуз 1| « -4 а»2

зуз 1- •4 о02

Передаточная функция четырехполюсника /?„.ф при р = ш может теперь быть написана в виде

К а.ф(1(д)= e x p |i |̂ фо — fpiS2 + -^-ф2Й2]} •

В качестве входного сигнала для оценки фазовых искажений выберем то­нальный импульс Гаусса, амплитуду которого, не нарушая общности, по­

ложим равной единице, частоту гармонического заполнения— со i, а дли­тельность, оцениваемую по снижению интенсивности в е раз — 2т0. Строя с учетом (9) комплексный спектр сигнала на выходе RB.ф, и применяя178

к нему обратное преобразование Фурье, после вычисления разделения действительной и мнимой частей получаем

интеграла и

иг (t) = оV г 1- 1 т о Ф*

• ехр — 1 т02 (<[),2 О5ф*‘

хО

X CO S [ W lt + Ф о - 4 a r c L g Т Т - 4 Фт 4 + ф 0* т0 ^ т0 ~г Т22 (10)

Итак, проходя через четырехполюсник На ф тональный импульс Гаусса претерпевает два вида искажений: искажается форма огибающей импульса и модулируется частота его заполнения. Рассмотрим эти два вида искаже­ний последовательно.

Форма импульса определяется первыми двумя сомножителями в (10). Замечаем прежде всего, что импульс па выходе запаздывает относительно импульса на входе па время (pi = 3 /2 о0 сек (см. выражение (86)). К оценке этого искажения мы вернемся ниже. Мы видим далее, что ампли­туда выходного импульса уменьшается по сравнению с амплитудой вход­ного импульса, причем относительное уменьшение уровня амплитуды с учетом (8в) оказывается равным

Наконец, мы видим, что в результате искажения импульс удлиняется —- относительное удлинение с учетом (8в) при этом составляет

Графики зависимости АЬК и 6„ от параметра (о0т0) показаны на фиг. 5.Перейдем теперь к оценке искажений, вносимых в гармоническое за­

полнение импульса. Дифференцируя аргумент косинуса в формуле (10) по времени, переходя к переменной % = <р, — t и учитывая формулу (8в), находим, что мгновенная частота заполнения выходного импульса меняет­ся по линейному закону, убывая по ходу текущего времени с постоян­ной скоростью. Относительная девиация частоты, за время длительности импульса оказывается при этом равпой

— = ЗУЗ — [27 + (2(ТоТо) Ч 0)i COiTo

Зависимость Дсо / соi от (ovto) при различных значениях а>,т0 представлена на фиг. 6.

5. Глядя на фиг. 5 и 6, можно предположить, что искажения в четырех­полюснике Пн.ф могут достигать больших величин. Однако на самом деле это не так. Как видно из формул (И ), (12) и (13), искажения зависят от 0о, То и о>1. Выясним, каковы могут быть на практике значения этих пара­метров.

Величипа о0 есть абсцисса некоторого из нулей, р0, передаточпой функ­ции Кг(р) четырехполюсника R rt представляющего громкоговоритель. Функция Кг(р) может быть записана в виде К г(р) = K v0( p ) e V p\ где Яго — модуль передаточной функции. Функция Кг0(р), трактуемая как функция двух переменных — п, и m образует некоторую поверхность над плоскостью р, причем сечение этой поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через мнимую ось m определяет частотную характеристику громкоговорителя. Как известно, частотные характеристики громкоговори­телей весьма нерегулярны и какие-либо конкретные закономерности в них выявить невозможно. Однако мы понимаем, что неравномерность час-тот-

2* 179

ных характеристик связана с компонентами сложной колебательной систе­мы со многими степенями свободы, каковой является громкоговоритель. Физическая природа этих компонент, их количество и связи между ними определяют особенности формы частотной характеристики громкоговорителя и, в частности, наибольшие значения ее крутизны. По­скольку наклоны функции К10(р) по различным направлениям определя­

ли

/

А 1и

■А

ALa , 65 О

ются одними и теми же компонентами, постольку нет основании полагать, что наибольшая возможная крутизна К г0{р) в направлении оси а может

превышать наибольшую возможную крутизну вдоль оси т. Анализ ча- стотпых характеристик большого числа, громкоговорителей различных типов показывает, что за исключе­нием области самых низких частот, где громкоговоритель является систе­мой с одной степенью свободы и где его минимальнофазовость нарушать­ся не может, наклоны их частотных характеристик не превосходят 0,1 дб/гц, что соответствует крутизне функции Кг0(р) равной S == 2̂ antilogi0 0,1 / 20 = g • 10”2 сек.

- 7

-Ч

- 6

1 1,25 1,6 г 2 ,5 3,15 Ч 5 6,3 8 *0*0

-8

Фиг. 5йш/w,, °/о

гтт\5

2 п ) о \

° 0 j 1 J '2 5 1 6 г i f i 3,1 5 4 5 6<3 в<?qTq

Фиг. 6

йш/ш, , %

/V

Фиг. 7

Следовательно, нули передаточных функций реальных громкоговорителей располагаются не ближе, чем на расстоянии

A r 'v - " •Сто mm = — = 200 сек~1 (14)

О

от мнимой оси.Обратимся теперь к длительности исходного импульса т0. Она также не

может быть сколь угодно малой уже просто потому, что очень короткие тональные импульсы никогда не встречаются в сигналах, представляющих натуральные звучания. Не рискуя впасть в грубую ошибку, можно пред­положить, что Tomm = Ю мсек*. Таким образом, в наиболее опасной си­туации, т. е. при самых коротких импульсах и минимально возможных значениях Оо параметр а0То составляет не менее

(00-Го) mm = 200-10-10-3 = 2, (15)

* Во всяком случае именно эта величина принимается в качестве минимально возможной при конструировании современных индикаторов уровня.

180

причем па практике такая ситуация, конечно, встречается исключительно редко. При этом запоздание импульса пе превосходит нескольких милли­секунд, уменьшение его амплитуды — долей децибела, а удлинение — не­сколько процентов. В подавляющем большинстве практически встречаю­щихся случаев эти искажения и того меньше. Поэтому с искажениями формы импульса, вносимыми существенно немипимальнофазовым четы­рехполюсником / ? н . ф , можно не считаться.

Оценим теперь девиацию частоты, определяемую формулой (13). Это искажение зависит не только от п 9То. по и от согго, т . е. от числа периодов частоты заполнения, «помещающихся» в исходном импульсе, N. Зависи­мость Аса / со, от N при различных о0т0 представлена на фис. 7. Уже при N = 10 девиация частоты даже при наименьших возможных значениях о0х0 не превосходит 1%. С увеличением N это искажение падает столь же быстро, сколь и с увеличением а0т0. Вместе с тем нельзя не отметить, что при очень коротких импульсах и малом о0х0 девиация частоты может пре­взойти 1%. По счастью чувствительность человеческого слуха к частотной модуляции очень коротких импульсов столь мала, что и это искажение пе достигает заметных на слух величин.

6. До сих пор мы рассматривали искажения, возникающие в существен­но пемипимально-фазовом четырехполюснике Ян.ф«, содержащем в правой полуплоскости р одну пару комплексно-сопряженных нулей. Теперь нам надо рассмотреть, к чему может привести совместное действие всех четы­рехполюсников Дн.ф1, . . . , Дн.фЬ . . . » Дп.фп.

Как уже отмечалось, мы лишены возможности конкретизировать эле­менты, образующие колебательную систему громкоговорителя и, следова­тельно, количество и расположение нулей передаточной функции Кг(р). Можно, однако, утверждать, что расстояние между двумя ближайшими друг к другу нулями не может быть меньше 2o0min (см. выражение (14)). Имея в виду это обстоятельство, а также изложенные ранее соображения и идеализируя ситуацию, предположим, что нули Кг(р) расположены, как показано на фиг. 4 точками. Второй столбец отстоит от первого на расстоя­нии не менее 2аошт = 400 сект'. Если, следовательно, для нулей первого столбца о0То = 2 (см. выражение (15)), то для нулей второго столбца этот параметр оказывается равным 4, для нулей третьего столбца — 8 и т. д. Кроме того, и число нулей, попадающих в очерченную часть полуплоско­сти р с удалением от мнимой оси убывает. В этих условиях четырехполюс­ники Дн.ф.-, определяемые нулями второго и последующих столбцов сколь­ко-нибудь заметных искажений вносить не могут и их можно в расчет не принимать.

Рассмотрим теперь нули первого столбца. Все они лежат не ближе, чем на расстоянии 2a0mm друг от друга. Искажения, обусловленные каждым из этих нулей, как мы уже отмечали ранее, локализуются в полосе частот(о)о± о0), т. е. в полосе шириною также 2a0min. Иными словами, искаже­ния, вносимые отдельными четырехполюсниками Дп.ф«, определяемыми нулями первого столбца, возникают в различных, взаимно не перекрываю­щихся полосах частот. Это означает, что совместное действие всех рас­сматриваемых четырехполюсников сказывается на частости возникновения искажений, по не на их величине.

7. Подводя итоги нашил! рассуждениям, можно утверждать, что иска­жения, обусловленные всей совокупностью существенно неминимально­фазовых четырехполюсников R„ ф1, . . . , Дн.ф„ и определяемые не связан­ной с частотной характеристикой составляющей фазовой характеристики(4), можно не учитывать при оценке свойств громкоговорителя. Вся ин­формация, необходимая для оценки качества громкоговорителя примени­тельно к передаче сигналов, представляющих натуральные звучания и их восприятию человеческим органом слуха, содержится в форме частотной характеристики громкоговорителя. В дополнительных измерениях фазо­

181

вых характеристик или переходных искажений в громкоговорителях нет необходимости.

Конечно, форма частотной характеристики громкоговорителя должна оцениваться более подробно, чем это обычно делается на практике, когда дело ограничивается только оценкой воспроизводимого диапазона частот и общей неравномерности в этом диапазоне. Однако этот вопрос уже вы­ходит за рамки настоящего исследования.

1. С. С е ш у и Н. Б а л а б а н я п . Анализ линейных цепей. М.— Л., Госэнергоиздат,

2. И. С. Г о п о р о в с к и й . Радиотехнические цепи и сигналы, ч. 1. М., Сов. радио,

ЛИТЕРАТУРА

4963.

1967.

Поступила в редакцию 9 поября 1970 г.