blog.portalpositivo.com.brblog.portalpositivo.com.br/fisicacpv/files/2016/09/1c2ba...2016/09/01 · Questão 13 matemática e suas Tecnologias Disciplina

dis

trib

uiç

ão

gra

tuit

a

Matemáticae suas

Tecnologias

1a. série

Volume 2

2015Simuladoenem

G a b a r i t o

Simulado EnEm – 2015

1a. série – Volume 22

Questão 1 matemática e suas Tecnologias

Disciplina << Matemática

Gabarito: Alternativa A

Comentários:

Chamando o conjunto das pessoas que praticam power jump (PJ) e as pessoas que praticam apenas power jump de x, temos:

( A ) Correta

x = 109 – 20 – 5 – 23

x = 61

Se o aluno calcular a soma de 20 + 5 + 36 = 61 e descontar do total 203, que são as pessoas que fazem musculação, daria 142 (B); se o aluno apenas somar os valores 5 + 41 + 28 + 25 = 99 e descontar do total de 109, terá como resultado 10 (C); se o aluno apenas somou os valores sem descontar do total, encontrará 23 + 5 + 20 = 48 (D); se o aluno considerar o total de alunos, que é 500, e descontar os outros valores, teria como solução 500 – 115 – 109 – 162 = 20 (E).

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Habilidade ENEM: 3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.



Gabarito: Alternativa C

Comentários: A intersecção entre o conjunto A e B indica que os dois conjuntos possuem o elemento 5. A União entre o conjunto A e B será os elementos {5, 6, 7, 8, 9}. Como o elemento 6 pertence ao conjunto A e não ao conjunto B, temos o conjunto B com os elementos {5, 8, 9}.

A alternativa (A) está incorreta, pois os dois conjuntos apresentam elementos.

Se o aluno marcar a alternativa (B), estará incorreta pois falta o elemento 5, comum aos dois conjuntos. Se o aluno escolher a alternativa (D), estará incorreta, pois o elemento 6 é o elemento pertencente ao conjunto A e ao conjunto Y. Se aluno escolher a alternativa (E), estará incorreta, pois esses elementos pertencem ao conjunto A.





Gabarito: Alternativa B

Comentários: Os três primeiros termos da PA são a

1, a

2 e a

3. Sendo eles

diretamente proporcionais a 8, 13 e 18, temos:

a a a1 2 3

8 13 18= = e ainda

a a a a a a1 2 3 1 2 3

8 13 18 8 13 18

+ ++ +

= = = ,

portanto 234

39 8 13 181 2 3= = =

a a a, então temos que:

234

39 839 1 872

1 872

39481

1 1 1= → = → = → =a

a a a

234

39 1339 3042

3042

39782

2 2 2= → = → = → =a

a a a

234

39 1839 4 212

4 212

391083

3 3 3= → = → = → =a

a a a

Sendo a1 = 48, a

2 = 78 e a

3 = 108, observamos que a razão

r é igual a 30. Para encontrarmos a soma dos 5 primeiros termos, precisamos calcular também o quinto termo.

Para calcular o quinto termo, aplicamos a fórmula do termo geral da PA, então temos que:

an = a

1 + (n – 1) ⋅ r

logo: a5 = 48 + (5 – 1) ⋅ 30 → a

5 = 168.


3Matemática e suas Tecnologias

Assim, a soma dos cinco primeiros termos da PA será:

Sa a n

S Snn=

+ ⋅→ = + ⋅ → =

( ) ( )15 52

48 168 5

2540

Portanto, a razão e a soma dos 5 primeiros termos dessa PA são, respectivamente, 30 e 540.

Se o aluno calcular a soma esquecendo-se de dividir por dois irá obter 1 080 (A); se o aluno multiplicar o primeiro termo e o segundo termo e dividir por dois, irá obter 1 632 (C); se o aluno inverter as proporções do terceiro com o primeiro, obterá uma soma negativa (D); se o aluno trocar as proporções do terceiro termo com o primeiro, irá obter - 30 com razão (E).

Competência ENEM: 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

Habilidade ENEM: 16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.



Gabarito: Alternativa E

Comentários:

ya

yb ac

ay yv v v v= − → = − − → =∆

4

4

4

2 2

y y yv v v→ = − − ⋅ − ⋅⋅ −

→ = −−

→20 4 1 0

4 1

400

4

2 2[ ( ) ]

( )== 100 metros

A alternativa (A) é incorreta, pois como não há o termo c, se o aluno considerar como 1 o resultado será 101.

A alternativa (B) é incorreta, pois se o aluno calcular

xb

av = −2

, em vez do yv .

A alternativa (C) é incorreta, pois se o aluno dividir por 2a terá solução 200 metros.

A alternativa (D) é incorreta, pois se o aluno calcular o delta e não dividir por 4a

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.

Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.




Comentários:

V x x x x x( ) = ⋅ → = ⋅ → = →20 5 12500 20 512500

205 6

xx x x= → = → = → =5 625 5 5 5 44

Obtendo como correta a alternativa (C).

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvam variáveis usando representações algébricas.





Comentários:

A altura da subida é 100 3 m e está à frente do ângulo, ou seja, é o cateto oposto ao ângulo. O comprimento de 200 m é a hipotenusa, então o ângulo é encontrado através do seno de α, como mostra o desenho:

sen senα α= → =100 3

200

3

2. Então, o valor do ângulo

buscado é 60°.


Habilidade ENEM: 17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação..






Comentários: Montando a proporção temos:

3 5

1 69

2

1 69 2 3 5

3 38 1 69 3 5

3 5 1 69 3 38

1

,

,

, ( ) ,

, , ,

, , ,

,

= +

+ =+ =− =

x

x

x x

x x

x x

881 3 38

3 38

1 81

1 87

x

x

x

=

=

≅

,

,

,

,

Se o aluno inverter a divisão, no final irá encontrar o valor de 0,54 m (A); colocando na proporção inicial apenas o número 2, o aluno encontrará como solução 0,97 m (C); se o aluno inverter a primeira proporção e mantiver a segunda, encontrará o valor de 1,034 m (D); o aluno encontrará o valor de 4,14 m (E) se desconsiderar o número 2 da segunda proporção e multiplicar em paralelo.


Habilidade ENEM: 17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.



Gabarito: Alternativa D

Comentários: Como

f xx

xx x x x( ) ( )= → = +

+→ + = + → − = −1 1

2 4

4 31 4 3 2 4 4 2 4

x x .= − → = → =2 4 3 2 11

2

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.





Comentários: ( A ) função f não é sobrejetora, pois a imagem é

diferente do contradomínio;

( B ) f não é injetora, pois f(1) = f(3) = 0 e f(0) = f(4) = 3;

( C ) e também não é bijetora, pois para ser bijetora teria que ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

( D ) O conjunto imagem são os elementos {0, –1, 3}, portanto o número 4 não faz parte. Então, o conjunto imagem possui 3 elementos.

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problema que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.

Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/ geométricos como recurso para a construção de argumentação.




Comentários: Se S(x) representa o salário desse vendedor, então

2534 134 0 04= + →, x

2534 134 0 04 2400 0 04− = → = → =, ,x x temos que

2400

0 04→ =

,660000.

Logo, o vendedor precisará de um venda no valor de R$ 60.000,00, como aponta a alternativa (C).








Comentários: A intersecção das linhas ocorrerá quando elas tiverem as mesmas coordenadas, ou seja:

x x x

x x x x x

2

2 2

5 6 6

5 6 6 0 6 0

− + = +− − + − = → − =

Colocando o x em evidência, temos:

x x x e x( ) ’ "− = → = =6 0 0 6

Portanto, o único valor que podemos utilizar é x = 6, em razão do intervalo a que x pertence.

Calculando o valor de y:

y y ou y y= − ⋅ + → = = + → =( ) ( )6 5 6 6 12 6 6 122

Então, concluímos que as novas estradas se interceptarão no ponto (6; 12), como aponta a alternativa (A).

Se o aluno trocar a ordem das coordenadas, obterá o ponto (12; 6), alternativa (B). Se considerar o x como zero, irá obter o ponto (0; 6), alternativa (C). Considerando os dois pontos irá obter (0;6) e (6;12), alternativa (E), que não é viável pelo fato de x estar em um intervalo de 2 a 8.






Comentários: Como há apenas um ponto em comum com o eixo das abscissas, temos ∆ = 0.

∆ = − → − − ⋅ ⋅ − = → − +b ac m m m m2 2 24 4 1 1 0 4 4( ) ( )

Resolvendo por soma e produto temos:

Sb

ae P

c

a= − → − − = = → =( )

.4

14

4

14

.

Portanto temos m m’ ’’= = 2 . Trocando m por 2, temos

y x x y= − + → = − − − + = + + =2 22 1 1 2 1 1 1 2 1 4( ) ( )

Se o aluno trocar o valor de m para –2, irá obter –4 (B) como solução; irá obter 2 ou –2, alternativas (C) e (D), se esquecer de fazer a substituição de x por –1; e o resultado será zero (E), se o aluno não realizar o jogo de sinal.






Comentários:

Sendo x a distância para que o motorista enxergue a placa, e a distância de 29 m sendo composta por: 5+22,40+1,6 = 29 m.

Montando a proporção:

7

3 70

29

1 67 11 2 3 7 107 3

, ,, , , ,= +

+→ + = + → =x

xx x

2 133 8 29 12, , ,→ = → =x x m

Para que o motorista consiga ver a placa, ele precisa estar a pelo menos 29,12 metros da carreta. Como está a 25 metros, a carreta esconde a placa. Se ele ficar muito além de 29,12 metros, que seria o ideal, também não conseguirá ver a placa.



Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.





Comentários:

4 096 2 4 096 2 2 2 120 012N N t diast t t= ⋅ → = → = → = .

Se o aluno não fatorar e dividir 4 096 por dois, irá obter 2 048, e os outros resultados irão aparecer por uma fatoração errada.






Comentários:

Para a função ser injetora, precisa ter x x e f x f x1 2 1 2≠ ≠( ) ( ),então, nesse caso, a única opção será a alternativa (E), pois todas as outras fogem à definição de função injetora.

Competência ENEM: 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

Habilidade ENEM: 26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.




Comentários: f x y( ) =

Sendo f x ax bx c( ) ,= + +2 em relação ao gráfico observa-se que f(1)=0, f(3)=0 e f(0)=3.

Colocando-se x=1 e y=0, temos:

I. a b c a b c( ) ( )1 1 3 02 + + = → + + =Para x=3 e y=0, temos:

II. a b c a b c( ) ( )3 3 0 9 3 02 + + = → + + =Para x=0 e y=3, temos:

a b c c( ) ( )0 0 3 32 + + = → =

Como encontramos o valor de c, podemos voltar nas equações I e II e substituirmos o valor de c por 3.

Então temos que:

I. a b c a b a b+ + = → + + = → + = −0 3 0 3

II. 9 3 0 9 3 3 0 9 3 3a b c a b a b+ + = → + + = → + = −Montando um sistema, temos:

a b

a b

+ = −+ = −

3

9 3 3

Dividindo a segunda equação por 3, temos:

a b

a b

+ = −+ = −

3

3 1

Multiplicando a primeira equação por –1

− − =+ = −

a b

a b

3

3 1

Somando a primeira equação com a segunda, temos:

2 2 1a a= → =

Substituindo o valor de a na segunda equação, temos:

3 1 1 4( ) + = − → = −b b

Portanto, a função é f x x x( ) .= − +2 4 3


Habilidade ENEM: 20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.






Comentários:

tgco

ca

xx x30

3

3 2 5003 2 500 3° = → = → = → =

x x x m2 500 3

3

2 500 1 71

31 425→ = → = ⋅ =,

Se o aluno calcular o seno, irá obter o valor de 1 250 m (A); calculando o cosseno, irá obter 2 137,5 m (B); caso o aluno inverta os catetos adjacente e oposto, vai encontrar o valor de 4 385,96 (D); e encontrará 2 500 (E) se inverter os catetos e dividir por 3 em vez de raiz de 3.


Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.




Comentários: Considerando x a altura do farol e y a distância em que a pessoa fica do farol depois de se deslocar 50 m, temos:

I. tgx

y

x

yx y45

50 501 50° =

+→

+= → = +

II. tgx

y

x

yy x60 3 1 7° = → = → =,



Substituindo o valor de x na primeira equação, temos:

1 7 50 0 7 50 71 43, , ,y y y y= + → = → =

x y x x m= + → = + → =50 50 71 43 121 43, ,

Se o aluno não substituir o valor de y encontrado, irá obter 71,43 (B) como solução; se colocar o valor da tangente de

60° como sendo 3

3, irá obter o resultado de 165,38m (C); considerando que y =1,7 o aluno encontrará 51,7 m (D);

invertendo x e y nas segunda equação, o aluno terá como resultado um valor negativo (E) que, na situação acima, não será possível, pois não existe altura negativa.


Habilidade ENEM: 6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.




Comentários: Aplicando a propriedade de potenciação, temos:

3 3 3 3

3 3 3

3 1

2

n n

n

⋅ − ⋅⋅ ⋅

−

− , , colocando em evidência 3n temos:

3 3 3

3 3 3

1

273

31

9

1 81

273

9

80

27

9

3

80

9

3 1

2

n

n

( ).

−

−

−⋅ ⋅

=−

⋅=

−

= − ⋅ = −

Se aluno errar o sinal do numerador, irá encontrar 80

9;

cancelando 3n e considerando apenas os expoentes ,

o aluno encontrará − 3

2; se o aluno cancelar o 3 do

numerador e o 3 do denominador e resolver normalmente,

irá obter 80

3, e, invertendo o sinal, encontrará na

alternativa (D) − 80

3.






Comentários: Aplicando-se uma regra de três simples, obtemos:

5 856 1 952

7 808

− − − − − − − −− − − − − − − − − −

kg

x kg

x x= ⋅ → = → =5 856 7 808

1 952

45 723 648

1 952

x→ = 23 424 impressões.

O total de impressões realizadas nessas duas semanas é de 29 280 (A).

Se o aluno esquecer-se de somar os primeiros exemplares, marcará 23 424 (B) como resposta. Se fizer a regra de três inversamente, chegará a 1 464 (C) como resultado; e a 7 320 (D) como resposta, e 17 568 (E) se descontar da primeira impressão.








Comentários: A alternativa (A) é falsa, pois a imagem será definida

para y ≤ 25

3; a alternativa (B) também é falsa, pois

a = − <3 0, então a concavidade será voltada para baixo. A letra (C) também é falsa, pois o eixo das abscissas será

interceptado nos pontos ( , );− 4

32 a alternativa (D) será

falsa, pois o seu vértice está localizado no primeiro quadrante, e a alternativa (E) está correta.

xb

ax xv v v= − → = −

−→ =

2

2

2 3

1

3( )

ya

y yv v v v= − → = − − ⋅ − ⋅−

→ =∆4

2 4 3 8

4 3

2( ) ( ) ( )

( )

yv v→ = −−

→ =100

12

25

3( )






Comentários: Para a primeira premissa, a única opção que temos é o gráfico 3, pois é necessário voltar; para a segunda premissa, o único gráfico é o número 2, pois há uma crescente e depois fica constante, já que há, nesse momento, uma parada e depois uma continuação; em relação à terceira premissa, temos o gráfico 4, pois há uma aceleração com o passar do tempo; e, para última premissa, temos o gráfico 1.






Comentários: A máquina que mais consome energia é a máquina que mais consome água, porém a que menos consome água não é a que tem melhor consumo de energia. O ideal seria o consumo de energia da máquina III e o consumo de água da máquina I Por isso, a alternativa correta é a (D).






Comentários: Se o aluno marcar a alternativa (A), estará incorreta, pois não apresenta a parte constante que representa o trajeto realizado pelo avião; se o aluno marcar a alternativa (B), já estará errada no começo, pois o exercício fala que o avião começa em t = 0; a alternativa (C) também está incorreta, pois o avião também não começa no tempo t = 0; se o aluno marcar alternativa (E), também estará incorreta, pois o gráfico está apenas decrescente, ou seja, representa apenas a descida do avião. Portanto, a opção correta é a alternativa (D) que representa a subida constante e a descida do avião.








Comentários: O consumo para 1 pessoa equivale a 49,6 litros, se moram 4 pessoas, 49 6 4 198 4, ,⋅ = por dia, multiplicado por 30, pois o mês de novembro tem 30 dias, temos que 198 4 30 5 952, ⋅ = litros de água mensais.

Competência ENEM: 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

Habilidade ENEM: 12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.




Comentários: Como o triângulo é retângulo e o segmento que precisamos calcular é o valor de x, que nesse caso vem a ser a hipotenusa, sendo dado o valor do cateto adjacente 40 cm, utilizamos o α para encontra o valor da hipotenusa.

cos cos .α = → ° = → = → =ca

hip x xx cm60

40 1

2

4080

Se o aluno calcular a tangente, irá encontrar o valor

40 3 cm (A), se calcular o seno considerando x como o cateto e 40 da hipotenusa, irá encontrar o resultado de

20 3 cm (B); se calcular o cosseno invertendo o x com o valor da hipotenusa, irá encontrar 20 cm (D) como

solução. Considerando o cosseno de 60° como 3

2, irá

obter como solução 80 3

3 cm (E).






Comentários: Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

hip cat cat212

22= +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2x x x+ = + −

4 8 4 4 4 8 42 2 2x x x x x+ + = + − +Passando todos os termos para o primeiro membro, temos:

4 8 4 4 4 8 4 02 2 2x x x x x+ + − − + − =

− + =4 16 02x x

Colocando o x em evidência, temos:

x x x e x( ) ’ ’’− + = → = =4 16 0 0 4

Como o valor de x = 0 será desconsiderado, pois as medidas dos lados de um triângulo não podem ser nulas e nem negativas, o único valor que iremos utilizar será x = 4.

Substituindo x = 4, temos:

2 2 2 4 2 10x m+ → + =( )

2 2 4 8x m→ =( )

2 2 2 4 2 6x m− → − =( )

Portanto, a quantidade de arame a ser comprada será

10 + 8 + 6 = 24 m.


Habilidade ENEM: 9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.






Comentários: Podemos esquematizar a figura, na qual x e y representam as medidas dos segmentos determinados em PR

_____

pela reta s. Aplicando o teorema de Tales, temos:

20

8

3020 240

240

2012= → = → = → =

xx x x cm

x y y y y cm+ = → + = → = − → =30 12 30 30 12 18

Portanto, x = 12 cm e y = 18 cm.

Se o aluno calcular a proporção de 12

8

30=x

, encontrará

o valor de x = 20 cm e y = 10 cm (A); como será dividido em dois segmentos iguais, encontrará 15 cm e 15 cm como solução (C); se inverter a primeira proporção, encontrará como resultado 7,5 cm para x e 22,5 para y (D); e se o aluno colocar a primeira proporção como

sendo 20

6

30=x

, encontrará x = 9 cm e y = 21 cm (B).






Comentários:

CB AC AB AC AB2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅cosα

CB2 2 212 15 2 12 15 60= + − ⋅ ⋅ ⋅ °. cos

CB2 144 225 3601

2= + − ⋅

CB CB CB2 2369 180 189 189= − → = → = → ≅

CB m13 74→ ≅ ,

Portanto, a distância entre os pássaros é de 13,74 metros.

Competência ENEM: 5– Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.





Comentários: Sendo p o preço da camisa branca, o preço da camisa colorida é 2p.

Se Anna comprou 4 camisas coloridas e x camisas brancas, temos:

Valor correto: 4 2⋅ +p xp

Valor cobrado: x p p⋅ +2 4

x p p p xp⋅ + = ⋅ ⋅ +2 4 1 5 4 2, ( )

p x p x( ) , ( )2 4 1 5 8+ = +2 4 12 1 5x x+ = + ,

2 1 5 12 4

0 5 8

8

0 5

x x

x

x

− = −=

=

,

,

,

X = 16 camisas brancas.






Comentários: Representando o primeiro diretor por a

1, o segundo

diretor por a2, e assim por diante até o trigésimo segundo,

temos:

a a r I

a a r II10 1

32 1

1937 9 1937

2003 31 2003

= ⇔ + == ⇔ + =

( )

( )



Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II), temos:

a r

a r1

1

9 1 937

31 2 003

+ =+ =

Multiplicando a primeira equação por (–1) temos:

− − = −+ =

a r

a r1

1

9 1 937

31 2 003

Somando a primeira equação com a segunda, temos:

22 66 3r r= → =

Substituindo r = 3 na primeira equação, temos:

a a1 19 3 1 937 1 910+ ⋅ = → =

Portanto, a data em que o primeiro diretor iniciou seu mandato foi em 1° de janeiro de 1910.






Comentários: Sabendo que a função é quadrática, temos:

∆ ∆ ∆= − ⋅ − ⋅ → = + → =( ) ( ) ( )4 41

210 16 20 362

Como o valor de ∆ é positivo, obtemos duas soluções distintas.

t t t t e= − ±

−→ = − ±

−→ = − +

−→ =

−= −4 6

21

2

4 6

1

4 6

1

2

12

( )’’ ’

t t= − −−

→ =4 6

1’’ ’’ −−

−→ =10

110t’’

O valor de t’ não convém, pois t precisa ser um valor maior que zero.

Como a função apresenta concavidade voltada para baixo, então temos ponto de máximo:

ya

y yv v v v= − → = −−

→ = −−

→ =∆4

36

41

2

36

2

y grausv v→ = 18 .

A temperatura máxima será de 18°C, correspondendo à alternativa (A). (B) está incorreta, pois se o valor do tempo for superior a 10, teremos uma temperatura negativa. (C) está incorreta também, pois se o aluno escolher, por exemplo, t =6 verá que o resultado para a temperatura será positivo também. A alternativa (D) está incorreta, pois temos dois valores que atingem zero t’ e o t”, como calculado anteriormente. A alternativa (E) está incorreta, pois quando calculamos o yv, encontramos a maior temperatura que nesse caso é 18°C.


Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.




Comentários: A função que descreve o lucro obtido em função de x é:

L x x x

L x x x

L x

( ) ( ) ( , )

( )

( )

= ⋅ − + − ⋅= − + −=

17 180 14 180 7 50

3 060 17 14 1 350

1 7710 3

3 1 710

−= − +

x

L x x( )


Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.






Comentários:

O conjunto será vazio, pois ( )

( )

Z Q Z

Z Q Q

∩ =∪ =

, então

Z Q vazio− = .






Comentários: Como x ’ e x ’’ representam as raízes da equação

x bx2 18 0− + = , então:

− = + =

= ⋅ =

b

ax x b I

c

ax x II

’ ’’ ( )

’ ’’ ( )18

Pelo enunciado temos: 1 1 1

6x x’ ’’,+ = tirando m.m.c.,

temos:

x x

x x

’ ’’

’ ’’

+⋅

= →1

6 como x x b’ ’’+ = e x x’ ’’⋅ = 18 temos:

bb b

18

1

66 18 3= → = → =


Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.




Comentários:

S t S t( ) ( , )= ⋅ −0

0 22 , para facilitar o cálculo podemos

atribuir um valor para S0 0≠ , como por exemplo 1.

Então, obtemos:

1

41 2

1

42

1

22

2 2

2 0 2

2

0 2

0 2

2

0 2

2 0 2

= ⋅

=

=

=− = −

−

−

−

−

− −

( , )

( , )

( , )

( , )

,

t

t

t

t

t

−−=

=0 2

10

,t

t anos

Para desintegrar um quarto da substância serão necessários 10 anos.






Comentários: Aplicando a soma da PA, temos:

Sa a

n Sa a

nn=

+⋅ → =

+⋅

( ) ( )124

1 24

2 224



Substituindo o valor de S24

por 36 000 e desenvolvendo a

24, temos:

36 00023

224 36 000 2 21 1=

+ +⋅ → ⋅ =

( )a a r

2 2 23 241⋅ = + ⋅( )a r

72 000

242 23 3 000 2 231 1= + → = +a r a r I( )

Como a segunda parcela foi no valor de 2.550,00, iremos encontrar mais uma equação:

a a n r a a r a r IIn = + − ⋅ → = + − ⋅ → = +1 2 1 11 2 1 2 550( ) ( ) ( )

Construindo um sistema com as duas equações, temos:

2 23 3 000

2 5501

1

a r

a r

+ =+ =

Resolvendo o sistema por adição, e multiplicando a equação (II) por -2.

2 23 3 000

2 550 21

1

a r

a r

+ =+ = ⋅ −

( )

++ =

− − = −

→ = − → = −

2 23 3 000

2 2 5 10021 2 100 1001

1

a r

a rr r

Como a PA é decrescente, a razão precisa ser um valor negativo.






Comentários:

De acordo com o enunciado, a distância d do ponto A ao ponto P é tal que:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PBF, temos:

45 30 20

2 025 900 60 400

2 025 1 300 60

60

2 2 2

2

2

2

= + + ( )= + + += + +

+

( )d

d d

d d

d d −− =725 0Resolvendo a equação do segundo grau por Bháskara, temos:

∆∆∆∆

= − ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ −= +=

b a c2

2

4

60 4 1 725

3 600 2 900

6 500

( ) ( ) ( )



db

ad d= − ± → = − ± → = − ±∆

2

60 6 500

2 1

60 10 65

2.

' 60 10 65 10 ( 6 65)d d' 5 ( 6 65)

2 2

60 10 65 10 ( 6 65)d"

2 2

d' 5 ( 6 65) (não serve pois o valor da distâncianãopode ser negativo).

− + − += → → = − +

− − − −= → →

= − −

Como o valor da distância precisa ser positivo, 5 6 65( )− − não serve como solução, se o aluno trocar os sinais irá

encontrar − − −5 6 65( ) , o aluno colocando o sinal de menos em evidência erroneamente encontrará − − −5 6 65( ). .






Comentários: Em relação a figura, temos:

med MO x

med NO x

( )

( )

_____

_____

= +

= −

2

6

Utilizando as relações métricas do triângulo retângulo, temos:

PO MO NO

x x

x x x

x x

( ) = ( )⋅( )( ) = +( )⋅ −( )

⋅ = − + −= − + +

2

2

2

2

2 3 2 6

4 3 6 12 2

12 4 122

4 12 12 0

4 0

2

2

x x

x x

− − + =− =

Colocando x em evidência, temos:

( )x(x 4) 0

x ' 0 valor quenão serve, pois x 0 .

x " 4

− =

= >

=






Comentários: Seja r a razão das progressões aritméticas (18, a

2, a

3, ...) e

(3, b1, b

2, ...). Assim, a

1 = 18 e b

1 = 3. Como a

90 = b

90 = 1 089,

temos:

a r b r

r r

r

r

1 189 89 1 089

18 89 3 89 1 089

178 21 1 089

178 1 089 2

+ + + =+ + + =

+ == − 11

178 1 068

6

r

r

==

Logo, a

b

r

r90

90

18 89

3 89

18 89 6

3 89 6

552

5373

184

179= +

+= + ⋅

+ ⋅= =:



Se o aluno inverter a proporção, encontrará a solução 179

184(A); caso inverta o sinal, encontrará a resposta

− 184

179 (C); e irá obter 6 (E) como resultado se calcular

apenas a razão das progressões.






Comentários: Como o gráfico descreve uma função quadrática, temos:

y = ax2 + bx + c = 0. Substituindo os valores do gráfico, temos:

Para x = 0, y também será 0.

y ax bx c

a b c c

= + + == + + = → =

2

2

0

0 0 0 0 0( ) ( )

Não seria necessário calcular o valor de c, pois o gráfico sempre corta o eixo y no termo independente, e como no exercício a parábola passa na origem, determinamos c = 0.

Para x = 4, y também será 0.

0 4 4 0 0

0 16 4 16 4 0

2= + + == + + =

a b

a b ou a b I

( ) ( )

( )

Para x = 3, y = 6

6 3 3 0 0

6 9 3 9 3 6

2= + + == + + =

a b

a b ou a b II

( ) ( )

( )

Resolvendo por sistema (I) e (II), temos:

16 4 0 4

9 3 6 3

4 0

3 2

a b

a b

a b

a b

+ = ÷+ = ÷

→+ =+ =

( )

( )

Multiplicando a primeira equação por (–1), temos:

− − =+ =

4 0

3 2

a b

a b

Somando a primeira equação com a segunda obtemos:

− = → = −a a2 2

Substituindo o valor de a na primeira equação

16 4 0

16 2 4

32 4 0 4 32 8

a b

b

b b b

+ =− + =

− + = → = → =( )

Portanto, a equação será y x x= − +2 82

Como precisamos calcular o valor máximo da função, precisamos do valor de y

v.

∆∆

= − → − ⋅ − ⋅ →

= − → −−

=

b ac

yav

2 24 8 4 2 0 64

4

64

88

( ) ( )

Se aluno considerar o valor de a como 2, irá encontrar ao final –8 (A) como solução, o que será incorreto pois a concavidade é para baixo. Se considerar apenas o valor de delta, encontrará 64 como resposta e se calcular y

v

encontrará 2 e –2 como solução (C) e (D).






Comentários: Comentários:

Como o número de pessoas que tomam uma das marcas de refrigerante é 81, descontamos o número de pessoas que tomam apenas uma das marcas.

81 – 61 = 20

Então, como 17 pessoas consomem duas marcas de refrigerante, temos:

20 – 17 = 3

Concluímos que 3 pessoas consomem as três marcas de refrigerante.

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os



números naturais, inteiros, racionais e reais.





Comentários:

Pelo Teorema de Tales, montamos a proporção:

x

xx x x

6

13 513 5 6 81 92 2= → = ⋅ → = → = ±,

,

Como –9 não serve para a solução, pois o lado de um triângulo não pode ser negativo, o valor de x é 9.

Calculando o perímetro do triângulo, temos:

Perímetro = 6+ 9 + 20 + 13,5 + 9 = 57,5 cm

Se o aluno somar apenas uma vez o valor de x, obterá 48,5 cm (A). Se esquecer de somar o valor 6, obterá 51,5 cm (C). Se esquecer de somar o valor 13,5, obterá 44 cm (D). Se esquecer de somar o valor 20, obterá 37,5 cm (E).






Comentários: Para descobrir o conjunto-imagem da função, substituímos os valores do contradomínio na função dada, ou seja:

h

h

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− = − − + − − = − − − = −− = − − + − − = − − −

2 2 2 2 3 4 4 3 11

1 1 2 1 3 1 2 3

2

2 == −= − + − = −

= − + − = − + − = −

6

0 0 2 0 3 3

1 1 2 1 3 1 2 3 2

2

2

h

h

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Portanto, o conjunto-imagem é: Im = {–11, – 6, –3, –2}.






Comentários: Se aluno verificar no gráfico, irá perceber que de junho a julho a variação é de 5% (A); de outubro a novembro é de 4% (B); de dezembro a janeiro a variação é de 8% (C); de março a maio também 4% (D) e de setembro a outubro, apenas 1% (E). Portanto, a maior variação ocorre de dezembro a janeiro.


Habilidade ENEM: 24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.



Anotações

CARTÃO-RESPOSTA

Simulado EnEm 2015 – 1.a SériE – VolumE 2

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

gAbARiTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

Nome da Escola:

Aluno(a):

Série:

Turma:

Data:

Assinatura:

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