Exemplo de carregamento (teleférico):

Exemplo de carregamento (ponte pênsil):

Ponte Hercílio Luz (Florianópolis) – 821 m

Exemplo de carregamento (ponte pênsil):

Golden Gate (EUA) – 2737 m (vão central 1280 m)

Akashi-Kaikyo (Japão) – 3911 m(vão central 1980m)

Objetivos do estudo de cabos:

- Equacionar as expressões que os descrevem;

- Calcular os valores de tração máxima e mínima (e respectivas posições);

- Estimar seus comprimentos totais.

0)cos()(cos ddTTTFx

0)()sin()(sin dxxwddTTTFy

Seja um cabo sujeito a um carregamento distribuído variável w(x).

Como determinar o valor da tração T ao longo desse cabo?

Se o cabo estiver em equilíbrio estático, o elemento infinitesimal mostrado à direita, também o estará:

Expandindo a equação acima, vem:

0)sinsincos(cos)(cos dddTTT

0sinsincoscossinsincoscoscos ddTddTdTdTT

Para pequenos ângulos, tem-se que: 1cos d dd sin

0sincossincoscos ddTdTdTTT

dTdTdTdT sincos 0cossin

tan dT

dT C )ln(cosln(T) tan d

T

dT

0)cos()(cos ddTTTFx

0

C )ln(cosln(T)

Fazendo: , vem:)ln( 0TC )ln()ln(cosln(T) 0T

Então,

coslnln(T) 0T

Finalmente:

cosT 0T

O que acontece quando = 0?

A tração é mínima e vale T0 !

Expandindo a equação acima, vem:

0)()cossincos(sin)(sin dxxwdddTTT

0)(cossincossincossincossinsin dxxwddTddTdTdTT

Para pequenos ângulos, tem-se que: 1cos d dd sin

0)(cossincossinsin dxxwdTddTTdTT

0)(sincos dxxwdTTd

tan dT

dTDo desenvolvimento anterior, tem-se que:

Substituindo dT na equação anterior, vem:

0)(sintancos dxxwdTTd

0)()sin()(sin dxxwddTTTFy

0

0)(sintancos dxxwdTTd

dxxwdTdT )(sincos

sincos

dxxw

dTdT)(

cos

sincos 22

dxxwTd

)(cos

cosT 0T

Mas,

Então, dxxwd

TdxxwdT

)(cos

)(cos 202

0

dxxwdx

dyTdxxwT )( )(tan 00

0

)(''

T

xwy

A equação representa a expressão geral da forma dos cabos. 0

)(''

T

xwy

Caso particular: Se w(x) for constante (= w) Cabo parabólico

w = carga por comprimento linear

Referenciando a origem dos eixos no ponto mais baixo da parábola e integrando a equação uma vez, vem:

1

0

)(' CxT

wxy Mas, para x =0, y’=0. Logo, C1=0!!

w = carga por comprimento linear

Integrando a equação mais uma vez, vem:

2

2

02)( Cx

T

wxy Mas, para x =0, y=0. Logo, C2=0!!

Portanto, a eq. de cabos parabólicos é dada por: 2

02)( x

T

wxy

Para x = lA e y = hA, tem-se que:B

B

A

AAA

h

wl

h

wlTl

T

wh

2

2

2

22

0

2

0

Como calcular, então, o valor da tração T para qualquer ponto do cabo?Fazendo o equilíbrio de corpo rígido de uma parte do cabo, tem-se:

wxT

TT

sin

cos 0

222

2

0

22

)(sin

cos

wxT

TT

22

0

2 )(wxTT

Assim, para qualquer ponto x do cabo, a tração vale:

22

0 )()( wxTxT

Nesse caso,0min TT

22

0max )( AwlTT

onde 2

ou 2

22

0

B

B

A

A

h

wl

h

wlT

Para lA > lB!!

O comprimento da parte “positiva” do cabo é calculada por:

dxdx

dyds

2

1

onde

ou

Essa integral pode ser resolvida expandindo-a em uma série convergente, desde que hA/lA seja menor que 0.5.

OBS: O mesmo desenvolvimento pode ser feito para calcular sB. Assim,o comprimento total do cabo pode ser calculado como S = (sA + sB).

2

ou 2

22

0

B

B

A

A

h

wl

h

wlT

Exemplo 1: um cabo de luz suporta uma massa de 12 kg pormetro linear e está suspenso nos pontos A e B, no mesmo nível,separados a 300 m de distância. Se a flecha no meio do vão é 60m, encontrar a tração mínima, a tração máxima e ocomprimento total do cabo.

AB

Tração mínima: dada por

Sendo

mh hmLl AA 60 e 1502

AB

Como T0 é dado em unidades de força, w deverá ser convertidopara a mesma unidade.

mNs

m

m

kg

m

kgw 72,11781,91212

2

Assim kNNh

wlT

A

A 07,225,22072602

15072,117

2

22

0

2

2

0

A

A

h

wlT

Tração máxima: dada por

kNNT 27,286,28266)15072,117()5,22072( 22

max

Sendo NTmNwm LlA 5,22072 ,/72,117 ,1502 0

Como o cabo é simétrico, a tração máxima ocorre tanto em Acomo em B.

22

0max )( AwlTT

AB

Comprimento do cabo: sendo ,

podemos usar a expressão abaixo para calcular o comprimento docabo:

5,04,0150

60

A

A

l

h

msA 5,164150

60

5

2

150

60

3

21150

42

Como o cabo é simétrico, o comprimento total é igual a 2sA

msS A 3295,16422

Exemplo 2: Um cabo suporta uma carga distribuída uniforme de40kg/m e está suspenso a partir de dois pontos fixos A e B comomostrado abaixo. Calcule as trações no cabo em A e B, a traçãomínima e o comprimento total do cabo.

A

B

Respostas: T0 = 33,66kN, TA = 40,76kN, TB = 37,38kN,sA = 62,81m, sB = 42,97 m, S = 105,78m

Cabos em Catenária (linhas de transmissão)

Cabos em Catenária (linhas de transmissão)

Nesse caso, não há carregamento externo (w) atuante; apenas a massa linear m do cabo.

Cabo parabólico Catenária

dxxwdR )( dsdR m

dsdxxw m)( dxdsxw m)(

Equação geral dos cabos:0

)(''

T

xwy

Fazendo a troca de variáveis:dx

ds

Ty

0

''m

dxdx

dyds

2

1

onde ou

Então2

0

2

2

1

dx

dy

Tdx

yd m

Fazendo , vem:pdx

dy

2

0

1 pTdx

dp

mdx

Tp

dp

021

m

Integrando ambos os membros:

CxT

p 0

)(arcsinhm

Mas C = 0, pois para x = 0, dy/dx = 0

Avaliando ‘sinh’ em ambos os membros:

x

Tp

0

sinhm

pdx

dyVoltando com e integrando, vem:

x

Tdx

dy

0

sinhm

KxT

Ty

0

0 coshm

m

Para x = 0, y = 0. Logo, mm

00 0cosh0T

KKT

Portanto, a equação que descreve a forma da catenária é dada por:

1cosh)(

0

0 xT

Txy

m

m

Perceba que a forma da catenária é independente do peso próprio do cabo e do valor da tração mínima. Seja qual forem esses valores, a forma do cabo sempre será a de uma cossenoide hiperbólica.

Fazendo o equilíbrio de corpo rígido de uma parte do cabo, tem-se:

sT

TT

m

sin

cos 0

222

2

0

22

)(sin

cos

sT

TT

m

22

0

2 )( sTT m

Assim, para qualquer ponto do cabo, a tração vale:

22

0 )( sTT m

Pela figura acima, tem-se que: . Mas,0

tanT

s

dx

dy m

x

Tdx

dy

0

sinhm

Portanto,

x

T

Ts

0

0 sinhm

m

Substituindo s na equação geral, vem:

x

TTx

TTTxT

0

22

0

2

0

0

2

0 sinh1sinh)(mm

x

TTxT

0

0 cosh)(m

1cosh

0

0 xT

Ty

m

mSendo , tem-se que: 1cosh

00

y

Tx

T

mm

Finalmente, yTyT m0)( 0min TT

hTT m0max

Em resumo, para as catenárias:

yTyT m0)(

x

T

Ts

0

0 sinhm

m

1cosh)(

0

0 xT

Txy

m

m

Exemplo 3: uma linha de transmissão possui uma massa de 12kg por metro linear e está suspensa entre os dois pontos, nomesmo nível, separados de 300 m de distância. Se a flecha nomeio do vão é 60 m, encontrar a tração mínima, a tensãomáxima, e o comprimento total do cabo.

Para calcular a tração mínima, devemos usar a equação geral:

mymx 60 e 150

Como T0 é dado em unidades de força, w deverá ser convertidopara a mesma unidade.

mkNmNs

m

m

kg

m

kgw /1177,072,11781,91212

2

1cosh

0

0 xT

Ty

m

m

Para

1150

1177,0cosh

1177,060

0

0

T

T1

66,17cosh

06,7

00

TT

166,17

cosh06,7

00

TT

Para resolver a equação,

traçam-se os gráficos everifica-se o ponto ondeeles se interceptam.

Tração mínima: 23,16 kN

Tração máxima: kNhTT 22,30601177,016,230max m

mxT

TsS 330150

16,23

1177,0sinh

1177,0

16,23sinh22

0

0

m

m

Comprimento total:

O comprimento total da catenária também pode ser calculado comas expressões desenvolvidas para o cabo parabólico, com boaaproximação, desde que h/L < 0.5.