UFPI - PROFMAT 2011
Aluno: Fernando Francisco de Sousa Filho
Gostaria de contribuir com a demonstrac~ao do seguinte teorema,
discu-tido na aula do dia 16/jul/11. O conteudo abaixo e uma
adaptac~ao minha aparte do texto "Some Polynomial Theorems" baixado
no seguinte link:http :
==homepage:smc:edu=kennedyjohn=polytheorems:pdf .
Teorema das razes irracionais conjugadas: Se p(x) e um
polino^mio decoecientes racionais e a + b
pc e uma raiz da equac~ao p(x) = 0 onde
pc e
um numero irracional e a; b s~ao racionais, ent~ao a bpc sera
uma outra raizdesta equac~ao.
Prova: Temos de considerar b 6= 0, pois, de outra forma, a + bpc
seraracional.
Tomemos o polino^mio t(x) = [x (a+ bpc)][x (a bpc)]
Podemos observar que as razes de t(x) s~ao a+ bpc e a bpc.
Desenvolvendo t(x), temos:
t(x) = (x a bpc)(x a+ bpc) =
x2 ax+ bpcx ax+ a2 abpc bpcx+ abpc b2c =
x2 2ax+ a2 b2c
Podemos observar que, no caso especco de t(x) , seus coecientes
s~aoracionais.
Vamos analisar agora o caso generico para p(x). Como os
coecientes dep(x) s~ao racionais e uma de suas razes e a + b
pc podemos garantir que o
grau de p(x) e > 1, pois caso fosse igual a 1, teramos:
1
p(x) = k[x (a+ bpc)] = kx k(a+ bpc) com k racional e k(a+ bpc)
irra-cional, contrariando o fato de os coecientes de p(x) serem
todos racionais.Logo, o grau de p(x) e maior que 1.
Agora propomos analisar a divis~ao de p(x) por t(x). O resto
desta di-vis~ao sera um polino^mio r(x) de grau igual a zero ou 1,
pois t(x) e de 2o
grau. Vamos considerar r(x) = Cx+D com a possibilidade de C =
0.
Como p(x) e t(x) te^m coecientes racionais, os polino^mios
quociente q(x)e resto r(x) da divis~ao de p(x) por t(x) tambem
ter~ao coecientes racionais(todas as operac~oes de divis~ao e
multiplicac~ao ocorrer~ao entre racionais, por-tanto seus
resultados ser~ao racionais). Termos:
p(x) = t(x) q(x) + r(x)
p(x) = t(x) q(x) + Cx+D
Como a+bpc e raiz dos polino^mios p(x) e t(x), p(a+b
pc) = 0 e t(a+b
pc = 0,
Logo:
p(a+ bpc) = t(a+ b
pc) q(a+ bpc) + C (a+ bpc) +D
0 = 0 + C (a+ bpc) +D
C (a+ bpc) +D = 0
Como C e D s~ao racionais, a unica soluc~ao possvel para a
equac~aoC (a+ bpc) +D = 0 e C = 0 e D = 0.
Portanto, t(x) divide p(x), ou seja, p(x) = t(x)q(x), ou ainda,
p(abpc) = 0
Q.E.D
2
