01. 01. Sistema PosicionalSistema …institutofermat.com.br/wp-content/uploads/2017/07/07...5 01. 01. Sistema PosicionalSistema PosicionalSistema Posicional Nosso sistema de numeração

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01. 01. 01. 01. Sistema PosicionalSistema PosicionalSistema PosicionalSistema Posicional

Nosso sistema de numeração é o de base 10 em que 10 unidades formam um grupo que chamamos de dezena, 10 dezenas formam um grupo que chamamos de centena, etc. Um número é escrito a partir dos dez algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que representarão a quantidade de grupos de cada tipo (unidade, dezena, centena, etc) que esse número possui. No exemplo a seguir estão indicados os nomes das principais casas decimais do nosso sistema:

Cada grupo pode ser representado por uma potenciação de base 10 e todo número é representado como a soma de potências de base 10. Os algarismos representam justamente a quantidade de potências de cada tipo que serão utilizadas. O último algarismo representa quantas potências 100 são utilizadas, o penúltimo algarismo representa quantas potências 101 são utilizadas, o antepenúltimo algarismo representa quantas potências 102 são utilizadas, e assim por diante. Portanto, nosso sistema de numeração tem como princípio o conceito de valor posicional, em que cada algarismo escrito na representação de um número tem um valor relativo dado pela posição que ele ocupa. No número 777, por exemplo, os algarismos utilizados, apesar de serem iguais, não têm o mesmo valor. Exemplos a) O valor do número 1325 é expresso pela soma

3 2 1 01 10 3 10 2 10 5 10⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ b) O número de três algarismos abc (usamos a barra sobre o número para indicar que a, b e c são algarismos e não fatores de uma multiplicação) é expresso pela soma

210 10a b c⋅ + ⋅ + , ou seja, 100 10abc a b c= + + .

ExercícioExercícioExercícioExercícios Propostoss Propostoss Propostoss Propostos

01010101.... (Enem/14)(Enem/14)(Enem/14)(Enem/14) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o

número decimal 2 453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.

Disponível em: www.culturaperuana.com.br.

Acesso em: 13 dez. 2012 O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. b) 463. c) 3 064. d) 3 640. e) 4 603.

02020202.... (Enem/12)(Enem/12)(Enem/12)(Enem/12) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o numero de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o numero 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no numero de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão.

00003333. (Enem/16). (Enem/16). (Enem/16). (Enem/16) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.

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Nessa disposição, o número que está representado na figura é a) 46 171. b) 147 016. c) 171 064. d) 460 171. e) 610 741.

00004444.... (Enem/11)(Enem/11)(Enem/11)(Enem/11) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por "relógio de luz", é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura

Disponível em http://www.enersul.com.br. Acesso em: 26.abr.2010

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é a) 2 614 b) 3 624 c) 2 715 d) 3 725 e) 4 162

00005555.... (Enem/12)(Enem/12)(Enem/12)(Enem/12) Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir.

Disponível em: www.aguasdearacoiaba.com.br (adaptado).

Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a

a) 3.534,85. b) 3.544,20. c) 3.534.850,00. d) 3.534.859,35. e) 3.534.850,39.

00006666.... (Enem(Enem(Enem(Enem PPL PPL PPL PPL/12)/12)/12)/12) O sistema de numeração romana, hoje em desuso, já foi o principal sistema de numeração da Europa. Nos dias atuais, a numeração romana é usada no nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos, mas já foi necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse sistema de numeração. Para isto, os romanos colocavam um traço sobre o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por 1 000. Por exemplo, o número X representa o número 10 × 1 000, ou seja, 10 000. De acordo com essas informações, os números MCCV e XLIII são, respectivamente, iguais a a) 1 205 000 e 43 000. b) 1 205 000 e 63 000. c) 1 205 000 e 493 000. d) 1 250 000 e 43 000. e) 1 250 000 e 63 000

00007777. (Enem PPL/15). (Enem PPL/15). (Enem PPL/15). (Enem PPL/15) Os maias desenvolveram um sistema de numeração vigésima que podia representar qualquer número inteiro, não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19, os maias representavam os números como mostra a Figura 1:

Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2. Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado por 200 = 1, o número que se encontra na segunda posição é multiplicado por 201 = 20 e assim por diante. Os resultados obtidos em cada posição são somados para obter o número no sistema decimal. Um arqueólogo achou o hieroglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico:

O número, no sistema decimal, que o hieróglifo da Figura 3 representa é igual a a) 279. b) 539. c) 2 619. d) 5 219. e) 7 613.

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Exercício RExercício RExercício RExercício Resolvidoesolvidoesolvidoesolvido

Carlos Epaminondas, aluno do Instituto Fermat, na cidade de Goiânia, foi selecionado para fazer intercâmbio estudantil em uma instituição situada em Londres. Para embarcar para Londres, ele se dirigiu primeiro ao Aeroporto Internacional de Guarulhos, de onde partiu às 6 horas da manhã do dia 26 de fevereiro de 2014. O tempo de voo entre Guarulhos e Londres foi exatamente 11 horas. Sabendo que Guarulhos segue o horário de Brasília (GMT –3, ou seja, menos três horas em relação ao meridiano central Greenwich), qual era o horário em Londres quando Carlos Epaminondas desembarcou nessa cidade? Resolução

Se a viagem durou 11 horas, podemos calcular inicialmente qual o horário de chegada tomando como referência o horário de Brasília:

Chegada: + =6 11 17 h (horário de Brasília) Como o horário de Brasília é três horas a menos que o horário de Londres, então o horário de Londres é três horas a mais que o horário de Brasília:

Chegada: + =17 3 20 h (horário de Londres)

ExercícExercícExercícExercícioioioios Propostoss Propostoss Propostoss Propostos

08080808. (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16) O pacote de salgadinho preferido de uma menina é vendido em embalagens com diferentes quantidades. A cada embalagem é atribuído um número de pontos na promoção: “Ao totalizar exatamente 12 pontos em embalagens e acrescentar mais R$ 10,00 ao valor da compra, você ganhará um bichinho de pelúcia”. Esse salgadinho é vendido em três embalagens com as seguintes massas, pontos e preços:

Massa da Massa da Massa da Massa da embalagem (g)embalagem (g)embalagem (g)embalagem (g)

Pontos da Pontos da Pontos da Pontos da embalagemembalagemembalagemembalagem

Preço (R$)Preço (R$)Preço (R$)Preço (R$)

50 2 2,00 100 4 3,60 200 6 6,40

A menor quantia a ser gasta por essa menina que a possibilite levar o bichinho de pelúcia nessa promoção é a) R$ 10,80. b) R$ 12,80. c) R$ 20,80. d) R$ 22,00. e) R$ 22,80.

00009999. . . . (OBMEP) (OBMEP) (OBMEP) (OBMEP) Daniela fez uma tabela mostrando a quantidade de água que gastava em algumas de suas atividades domésticas.

AtividadeAtividadeAtividadeAtividade ConsumoConsumoConsumoConsumo FrequênciaFrequênciaFrequênciaFrequência

Lavar roupa 150 litros por

lavagem 1 vez ao dia

Tomar um banho de 15 minutos

90 litros por banho

1 vez ao dia

Lavar o carro com mangueira

100 litros por lavagem

1 vez por semana

Para economizar água, ela reduziu a lavagem de roupa a 3 vezes por semana, o banho diário a 5 minutos e a lavagem semanal do carro a apenas um balde de 10 litros. Quantos litros de água ela passou a economizar por semana? a) 1010 b) 1110 c) 1210 d) 1211 e) 1310

10101010. . . . (Enem/14)(Enem/14)(Enem/14)(Enem/14) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) a) 16h. b) 10h. c) 7h. d) 4h. e) 1h.

11111.1.1.1. Analise esta tabela, em que se mostra como ficam os horários de diversas cidades em relação ao horário de Londres:

RomaRomaRomaRoma +1 hora CairoCairoCairoCairo +2 horas

CalcutáCalcutáCalcutáCalcutá +6 horas TóquioTóquioTóquioTóquio +9 horas BrasíliaBrasíliaBrasíliaBrasília − 3 horas

SantiagoSantiagoSantiagoSantiago − 5 horas ChicagoChicagoChicagoChicago − 6 horas

Suponha que João sai de Santiago do Chile e chega ao Cairo às 14 horas (horário de Brasília). Permanece no aeroporto por 1 hora e toma o mesmo avião para Roma, lá chegando após duas horas de vôo. É correto afirmar que, no momento da chegada a Roma, os ponteiros dos relógios, em Tóquio, devem estar indicando a) 3 horas. b) 4 horas. c) 5 horas. d) 6 horas e) 7 horas

00002222. . . . Divisão Divisão Divisão Divisão com Números Naturaiscom Números Naturaiscom Números Naturaiscom Números Naturais

Quando efetuamos a divisão de 27 por 4, no universo dos números reais, obtemos como quociente o número 6,75. Mas se estamos dividindo 27 livros por 4 alunos, então tal resultado não tem sentido, porque não iremos cortar o livro em pedaços. Quando efetuamos a mesma divisão, no universo dos números inteiros, então o quociente é o número inteiro que representa quantas vezes o número 4 cabe em 27. Nesse caso, cada aluno receberia 6 livros e sobraria 1 livro sem ser distribuído. Na linguagem matemática, dizemos que o quociente dessa divisão é 6 e o resto é 1. Nos problemas que serão abordados a partir de agora, consideramos apenas o conjunto dos inteiros em nossas operações. O conjunto dos inteiros não-negativos, chamados de números naturais, é o conjunto dos números que usamos para efetuar contagens: {0, 1, 2, 3,...}=ℕ . Eventualmente,

utilizaremos também o conjunto dos inteiros negativos: {..., 3, 2, 1}− − − . Chamamos de divisão euclidiana aquela cujo universo é o conjunto dos números inteiros e que envolve quatro elementos:

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a) o dividendo (D) é o número que pretendemos dividir b) o divisor (d) é o número não-nulo pelo qual será feita a divisão c) o quociente (q) é o número inteiro de vezes que o divisor cabe no dividendo d) o resto (r) é o número de unidades que sobram, e deve ser menor que o divisor (pois dessa forma o divisor será único). Particularmente, quando o divisor d é um número positivo, então a divisão de D por d é efetuada determinando-se os números q e r tais que seja válida a relação:

D d q r= ⋅ + , (Equação de Euclides)

com 0 r d≤ < . Ou seja, em toda divisão euclidiana o resto é um número inteiro menor que um divisor.

Exemplo

Na divisão de 75 por 4, obtemos quociente 18 e resto 3, pois 75 4 18 3= ⋅ + , e o resto (3) é menor que o divisor (4).

Exercício ResolvidoExercício ResolvidoExercício ResolvidoExercício Resolvido

(UFMG)(UFMG)(UFMG)(UFMG) José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a faze-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por diante. Nesse caso, em qual dia da semana José nadará pela centésima vez? Resolução

Vamos registrar os dias, a partir do sábado, em que José irá nadar:

(sab, qua, dom, qui, seg, sex, ter| sab, qua, dom, qui, ...)

Percebemos que a sequência se repete em ciclos de 7 dias, seguindo sempre a mesma ordem do primeiro ciclo. Assim, para determinamos em que dia cairá o 100º termo vamos calcular quantos ciclos desses teremos até lá:

O resultado da divisão indica que teremos 14 ciclos completos de 7 dias e sobrariam 2 dias de um último ciclo. Assim, a sequência de 100 termos terminaria no 2º termo de um ciclo, que seria um quarta-feira.


12121212. . . . Alguns exames médicos requerem uma ingestão de água maior do que a habitual. Por recomendação médica, antes do horário do exame, uma paciente deveria ingerir 1 copo de água de 150 mililitros a cada meia hora, durante as 10 horas que antecederiam um exame. A paciente foi a um supermercado comprar água e verificou que havia garrafas dos seguintes tipos:

• Garrafa I: 0,15 litro • Garrafa II: 0,30 litro • Garrafa III: 0,75 litro • Garrafa IV: 1,50 litro • Garrafa V: 3,00 litros

A paciente decidiu comprar duas garrafas do mesmo tipo, procurando atender à recomendação médica e, ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas garrafas antes do exame. Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente?

a) I b) II c) III d) IV e) V

11113333. (Enem. (Enem. (Enem. (Enem Cancelado/ Cancelado/ Cancelado/ Cancelado/09)09)09)09) As abelhas domesticadas da América do Norte e da Europa estão desaparecendo, sem qualquer motivo aparente. As abelhas desempenham papel fundamental na agricultura, pois são responsáveis pela polinização (a fecundação das plantas). Anualmente, apicultores americanos alugam 2 milhões de colmeias para polinização de lavouras. O sumiço das abelhas já inflacionou o preço de locação das colmeias. No ano passado, o aluguel de cada caixa(colmeia) com 50.000 abelhas estava na faixa de 75 dólares. Depois do ocorrido, aumentou para 150 dólares. A previsão é que faltem abelhas para polinização neste ano nos EUA. Somente as lavouras de amêndoa da Califórnia necessitam de 1,4 milhão de colmeias.

[Disponível em: <http://veja.abril.com.br>. Acesso em: 23 fev. 2009 (adaptado).]

De acordo com essas informações, o valor a ser gasto pelos agricultores das lavouras de amêndoa da Califórnia com o aluguel das colmeias será de (em dólares): a) 4,2 mil b) 105 milhões c) 150 milhões d) 210 milhões e) 300 milhões.

14141414. . . . (Enem/05)(Enem/05)(Enem/05)(Enem/05) Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 17326-9. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: 1º) multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. 2º) soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10. 3º) somam-se os resultados obtidos . 4º) calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador. O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 24685 é a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

15151515. (. (. (. (EnemEnemEnemEnem/09)/09)/09)/09) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma 1 2d d , em que os dígitos 1d e 2d são denominados

dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, 1d é zero, caso contrário 1 (11 )d r= − . O

dígito 2d é calculado pela mesma regra, na qual os números

a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo 1d o último algarismo,

isto é, 2d é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das

multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, 2 (11 )d s= − .

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Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores 1d e 2d

esquecidos são, respectivamente, a) 0 e 9 b) 1 e 4 c) 1 e 7 d) 9 e 1 e) 0 e 1

16161616.... ((((EnemEnemEnemEnem PPL PPL PPL PPL/10)/10)/10)/10) Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira. Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro? a) Domingo. b) Segunda-feira. c) Terça-feira. d) Quinta-feira. e) Sexta-feira.

17171717. (Souza Marques/10. (Souza Marques/10. (Souza Marques/10. (Souza Marques/10) O dia de nossa independência, 7 de setembro, é o 250º dia do ano quando o ano não é bissexto. Em certo ano não bissexto, o dia 1º de janeiro caiu em um sábado. Então, neste ano, o dia da independência caiu: a) em um domingo b) em uma segunda-feira c) em uma terça-feira d) em uma quarta-feira e) em uma quinta-feira

18181818. (Enem. (Enem. (Enem. (Enem PPL/14 PPL/14 PPL/14 PPL/14)))) Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis possíveis brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o terceiro recebe uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um sorvete, o sexto recebe um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo recebe um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos brindes. O milésimo cliente receberá de brinde um(a) a) bola. b) caneta. c) refrigerante. d) sorvete. e) CD

19191919. (São Leopoldo/09). (São Leopoldo/09). (São Leopoldo/09). (São Leopoldo/09) Abaixo está representada uma parte de uma fita decorada com 1000 figurinhas. As figurinhas são de 6 tipos diferentes e se repetem sempre na mesma ordem

A última figurinha da fita é do tipo a)

b)

c)

d)

e)

00003333. . . . Múltiplos e DivisoresMúltiplos e DivisoresMúltiplos e DivisoresMúltiplos e Divisores

3.1. Conceito3.1. Conceito3.1. Conceito3.1. Conceito Quando o resto de uma divisão é zero, então essa divisão é dita exata. A Equação de Euclides se reduz a

D d q= ⋅

Nesse caso, dizemos que o dividendo é múltiplo do divisor e do quociente. Dizemos ainda que o divisor e o quociente são divisores do dividendo. Exemplos

a) Os múltiplos positivos de 3 são os números 0, 3, 6, 9, etc, ou seja, todo número múltiplo de 3 é da forma 3 ,k sendo k algum número inteiro. b) Os divisores positivos do número 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. c) O número 1 é divisor de todo número inteiro. d) O número 0 é múltiplo de todo número inteiro. 3.2. Teorema Fundamen3.2. Teorema Fundamen3.2. Teorema Fundamen3.2. Teorema Fundamental da Aritméticatal da Aritméticatal da Aritméticatal da Aritmética Se um número possui exatamente dois divisores positivos, então ele é chamado de primo, como é o caso dos números 2, 3, 5, 7, etc. Se o número não é primo, então ele é composto. Números compostos têm três ou mais divisores positivos, como é o caso dos números 4, 6, 8, 9, etc. O enunciado do Teorema Fundamental da Aritmética afirma que todo número inteiro positivo maior do que 1 é primo ou pode ser decomposto de forma única, exceto pela ordem dos fatores, como um produto de número primos. Para decompor um número em um produto de fatores primos de maneira prática dividimos o número pelo menor número primo que seja seu divisor e procedemos com o quociente dessa divisão da mesma forma até encontrarmos quociente igual a 1. A partir dessa decomposição podemos determinar o número de divisores positivos de um número natural sem precisar determinar todos os seus divisores. O método prático para isso consiste em fatorarmos o número e então multiplicarmos os expoentes dos fatores primos presentes nessa decomposição, aumentados de uma unidade.


Decompor em fatores primos o número 60. Resolução

Iniciamos a decomposição do número 60 dividindo-o pelo menor número primo que é seu divisor, no caso o número 2. Com o resultado, procedemos de maneira análoga. O processo termina quando o resultado é igual a 1. Esquematicamente, temos:

Assim: 260 2 2 3 5 2 3 5= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

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Exercício ResolvidoExercício ResolvidoExercício ResolvidoExercício Resolvido Calcular o número de divisores de 252. Resolução

Fatoramos o número: 2 2252 2 3 7= ⋅ ⋅ Considere os expoentes dessa fatoração. Pela regra prática, o número de divisores positivos é

(2 1) (3 1) (1 1) 3 4 2 24+ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ =

3.3. Máximo Divisor Comum3.3. Máximo Divisor Comum3.3. Máximo Divisor Comum3.3. Máximo Divisor Comum Como o nome sugere, o máximo divisor comum (mdc) de um conjunto de números inteiros é o maior número que é divisor de todos simultaneamente. Exemplo

Consideremos os números 28 e 36. O conjunto dos divisores de 28 é {1, 2, 4, 7, 14, 28} O conjunto dos divisores de 36 é {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} O maior elemento que é comum a esses dois conjuntos é 4 e, portanto, MDC (28, 36) = 4. No algoritmo básico para o cálculo do máximo divisor comum escrevemos os números em linha horizontal, separados por vírgulas. A seguir, verificamos se os números são simultaneamente divisíveis por 2, que é o primeiro número primo. Se os números forem divisíveis, efetuamos as divisões e escrevemos os quocientes na linha seguinte e repetimos o processo. Quando os números não são simultaneamente divisíveis por 2, procedemos de modo análogo com os primos seguintes: 3, 5, 7, etc. Multiplicando finalmente os divisores primos utilizados, teremos o MDC.


Obter o MDC dos números 108, 126 e 180 Resolução

Decompomos simultaneamente os três números:

Pelo dispositivo prático, temos mdc (24, 60, 84) 22 3 12= ⋅ = 3.4. Mínimo Múltiplo Comum3.4. Mínimo Múltiplo Comum3.4. Mínimo Múltiplo Comum3.4. Mínimo Múltiplo Comum Como o nome sugere, o mínimo múltiplo comum (mmc) de um conjunto de números inteiros é o menor número inteiro positivo, diferente de zero, que é múltiplo de todos simultaneamente. Exemplo

Consideremos novamente os números 28 e 36. O conjunto (infinito) de múltiplos de 28 é {0, 28, 56, 84, 112, 140, 168, 196, 224, 252, ...} O conjunto (infinito) de múltiplos de 36 é {0, 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, ...} O menor elemento que é comum aos dois conjuntos é 252 e, portanto, MMC (28, 36) = 252

No algoritmo básico para o cálculo do mínimo múltiplo, escrevemos os números em linha horizontal, separados por vírgulas. A seguir, verificamos se há alguns deles que sejam divisíveis por 2, que é o primeiro número primo. Se houver, dividimos tais números e escrevemos o quociente na linha seguinte, conservando os demais números, que não sejam divisíveis por 2, e então repetimos o processo. Quando não houver algum números que seja divisível por 2, procedemos de modo análogo com os primos seguintes: 3, 5, 7, etc. Multiplicando finalmente os divisores primos utilizados, teremos o MMC.


Obter o MMC dos números 24, 42, 56. Resolução

Fatoramos os números tomando, em cada etapa, os números primos que dividam, em cada etapa, pelo menos um dos elementos daquela linha.

Pelo dispositivo prático, temos mmc(24, 42, 56) 32 3 7 168= ⋅ ⋅ = .


(Unesp)(Unesp)(Unesp)(Unesp) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A? Resolução

O primeiro viajante retorna a cidade A a cada 30 dias, ou seja, após 30, 60, 90, 120 dias, etc. Ou seja, passa na cidade sempre que o número de dias for um múltiplo de 30múltiplo de 30múltiplo de 30múltiplo de 30. Analogamente, o segundo viajante retorna à cidade A após 48, 96, 144 dias, etc. Ou seja, passa na cidade sempre que o número de dias for um múltiplo de 48múltiplo de 48múltiplo de 48múltiplo de 48. Finalmente, o terceiro viajante retorna à cidade A sempre que o número de dias for um múltiplo de 72múltiplo de 72múltiplo de 72múltiplo de 72. O número mínimo de dias para que eles estejam juntos na cidade A deve ser o menor número que seja múltiplo de 30, 48 e 72, ou seja, o MMC (30, 48, 72). Pelo algoritmo do MMC, temos:

Assim, MMC (30, 48, 72) = 4 22 3 5 720⋅ ⋅ = dias.

11


(UFU/02)(UFU/02)(UFU/02)(UFU/02) Uma empresa fabricou 9000 peças do tipo A, 2700 peças do tipo B e 4050 peças do tipo C. Sabendo-se que a avaliação de todas as peças pelo controle de qualidade foi realizada pelo menor número possível de funcionários e que cada funcionário avaliou apenas um tipo de peça e o mesmo número de peças que todos os demais, qual o número de funcionários utilizados no controle de qualidade? Resolução

Para que haja o menor número possível de funcionários cada terá que avaliar o número máximomáximomáximomáximo possível de peças. Para que os funcionários das peças tipo A avaliem o mesmo número de peças, essa quantidade deve ser um divisordivisordivisordivisor do total de 9000 peças desse tipo. Esse mesmo número de peças deve ser analisado por cada funcionário das peças tipo B e, portanto, essa quantidade também deve ser divisordivisordivisordivisor do total de 2700 peças desse tipo. Analogamente, essa mesma quantidade de peças deve ser divisordivisordivisordivisor do total de 4050 peças do tipo C. Assim, o número de peças que cada funcionário irá analisar deve ser o maior divisormaior divisormaior divisormaior divisor comum de 9000, 2700 e 4050, ou seja, MDC (9000, 2700, 4050). Pelo algoritmo do MDC, vem

Portanto, MDC (9000, 2700, 4050) = 2 22 3 5⋅ ⋅ = 450 peças. Com essa quantidade de peças para cada um, serão necessários 9000 450 20= funcionários para as peças do

tipo A, 2700 450 6= funcionários para as peças do tipo B e

4050 450 9= funcionários para as peças do tipo. O total de

funcionários utilizados no controle de qualidade é 20 6 9 35+ + = .


20202020.... (Fuvest)(Fuvest)(Fuvest)(Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30

21212121. (. (. (. (UnespUnespUnespUnesp)))) Um grande arranjo de flores deve ser formado com 800 rosas, 750 hortênsias e 600 cravos, sendo composto de ramos, todos os ramos com o mesmo número de rosas, o mesmo número de hortênsias e o mesmo número de cravos. Nestas condições, qual o maior número de ramos que pode ser formado? a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60

22222222.... (Espcex)(Espcex)(Espcex)(Espcex) Este ano, duas empresas patrocinarão a premiação, em dinheiro, dos alunos de uma escola pelo

destaque no critério “Melhor Rendimento Escolar”. A empresa Alfa doará um montante de R$ 9600,00 e a empresa Bravo de R$ 7800. Cada aluno deve receber como prêmio um cheque de somente uma das empresas e todos os cheques devem ter o mesmo valor. Se todo esse montante for distribuído, o número mínimo de alunos que poderá ser contemplado nessa premiação é: a) 25 b) 29 c) 30 d) 32 e) 40

23232323. (PUC. (PUC. (PUC. (PUC----MG/12)MG/12)MG/12)MG/12) Uma placa retangular de metal com 105 cm de largura e 280 cm de comprimento deve ser totalmente recortada em placas quadradas, todas com o mesmo tamanho e cada uma com a maior área possível. O perímetro de cada uma dessas placas, em centímetros, é: a) 120 b) 140 c) 160 d) 180 e) 200

22224444.... No ponto de ônibus perto de sua casa, Quinzinho pode pegar os ônibus de duas linhas para ir à escola. Os ônibus de uma linha passam de 15 em 15 minutos e os da outra de 25 em 25 minutos, sendo que às 7h30m da manhã os ônibus das duas linhas passam juntos. Quantas outras vezes eles passarão juntos no período da manhã, ou seja, até as 12h00? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

22225555.... Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível? a) 5 b) 13 c) 35 d) 65 e) 130

26262626.... (Enem/14)(Enem/14)(Enem/14)(Enem/14) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2 5 7x y z⋅ ⋅ , na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é a) x y z⋅ ⋅

b) ( ) ( )1 1x y+ ⋅ +

c) 1x y z⋅ ⋅ −

d) ( ) ( )1 1x y z+ ⋅ + ⋅

e) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x y z+ ⋅ + ⋅ + −

27272727. (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3 s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s. O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1 s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60 s. Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente. Qual é o termo geral da sequência anotada?

12

a) 12n , com n um número natural, tal que ≤ ≤1 5n .

b) 24 n , com n um número natural, tal que ≤ ≤1 2n .

c) −12( 1)n , com n um número natural, tal que ≤ ≤1 6n .

d) − +12( 1) 1n , com n um número natural, tal que ≤ ≤1 5n .

e) − +24( 1) 1n , com n um número natural, tal que ≤ ≤1 3n .

28282828. (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é a) 2. b) 4. c) 9. d) 40. e) 80.

29292929. (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças.

00004444.... Números RacionaisNúmeros RacionaisNúmeros RacionaisNúmeros Racionais

4444....1. Frações1. Frações1. Frações1. Frações Uma fração é uma divisão de dois números inteiros a e b,

representada na forma a

b ou a b , em que o número a é o

numerador e b é o denominador da fração (com 0b ≠ ). Podemos compreender a ideia de fração através da idéia de divisão em partes iguais. Se tomamos, por exemplo, uma barra inteira e dividimos em três partes e depois tomamos

duas partes, essa partes tomadas representam a fração 23

da

barra inteira. (Lemos “dois terços”). Assim, se tomarmos as

três partes, percebemos que a fração 33

representará a barra

inteira. Em outros contextos, se alguém gasta um fração igual

a 37

do seu dinheiro, então nesse caso a fração que

representa o dinheiro todo que ele possuía é 77

.

Chamamos de frações própriasfrações própriasfrações própriasfrações próprias aquelas em que o numerador é menor que o denominador, ou seja, representam uma parte

menor que o todo. As frações 15

e 27

são exemplos de

frações próprias. As frações imprópriasfrações imprópriasfrações imprópriasfrações impróprias são aquelas em que o numerador é maior que o denominador, ou seja, representam uma parte

maior que o todo. As frações 65

e 97

são exemplos de frações

impróprias. Temos ainda as frações aparentesfrações aparentesfrações aparentesfrações aparentes, que são aquelas em que o numerador é divisível pelo denominador. Na verdade essas

frações são números inteiros. As frações 44

e 63

são

exemplos de frações aparentes. Nesse assunto um conceito fundamental é o de frações frações frações frações equivalentesequivalentesequivalentesequivalentes, que são aquelas que representam a mesma parte do todo. Quando tomamos uma barra e dividimos em duas partes

tomando uma delas a fração tomada corresponde a 12

da

barra inteira. Se dividirmos a mesma barra em quatro partes e tomarmos

duas delas, a fração tomada corresponde a 24

da barra

inteira. Nos dois casos, teremos tomado a mesma proporção da barra, ou seja, essas duas frações são equivalentes e podemos

escrever 1 22 4= .

Uma mesma fração pode gerar infinitas outras equivalentes a

ela. Considere, por exemplo, a fração 25

. Multiplicando ou

dividindo o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número inteiro obtemos uma nova fração que ainda representa a mesma proporção de antes:

a) 4 4 12

10 10 30⋅

= =⋅

33333333

b) 4 4 : 2

10 10 : 5= =

22222222

Dessa forma, o processo de simplificar uma fração é dividir seu numerador e denominador pelo maior número inteiro que seja divisor de ambos simultaneamente. Exemplos:

a) Na fração 2430

o maior número que é divisor de 24 e 30

simultaneamente (o MDC desses números) é 6666. Simplificamos a fração dividindo seus termos por 6:

24 24 : 430 30 : 5

= =66666666

b) Na fração 15045

, o MDC de 150 e 45 é 15151515. Simplificamos a

fração dividindo seus termos por 15: 150 150 : 1045 45 : 3

= =1515151515151515

13

4444....2222. . . . OperaçOperaçOperaçOperações com fões com fões com fões com fraçõesraçõesraçõesrações AdiçãoAdiçãoAdiçãoAdição Quando os denominadores são iguais, somamos os numeradores e conservamos o denominador comum. Se os denominadores forem diferentes, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador. Para tanto calculamos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, que será o denominador comum. Após isso, dividimos o denominador comum por cada denominador, multiplicando, em seguida, o resultado pelo numerador correspondente. Então será uma soma de frações com mesmo denominador. Exemplos

a) 3 5 9 10 194 6 12 12 12+ = + =

b) 1 5 2 5 74 8 8 8 8+ = + =

SubtraçãoSubtraçãoSubtraçãoSubtração Procede-se de forma semelhante à adição. Exemplos

a) 4 1 12 7 57 3 21 21 21− = − =

b) 2 15 2 13

35 5 5 5

− = − =

MultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicação A multiplicação de frações é feita multiplicando-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Exemplos

a) 2 5 103 7 21⋅ =

b) 4 2 4 8

29 1 9 9⋅ = ⋅ =

DivisãoDivisãoDivisãoDivisão A divisão de frações é feita multiplicando-se a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplos

a) 3 4 3 11 33

:5 11 5 4 20

= ⋅ =

b) 2 2 1 2

: 57 7 5 35

= ⋅ =

4444.3. Números Decimais.3. Números Decimais.3. Números Decimais.3. Números Decimais A formalização do conceito de fração, como extensão do conjunto dos inteiros, permite a resolução de qualquer equação do tipo bx a= , cuja solução seria o número a b .

Esses novos números são chamados de racionais, que podem ser escritos na forma de uma fração a b (também chamada

de razão), sendo o numerador a e o denominador b números inteiros e b não-nulo. Todo número racional pode ser escrito também na forma decimal, obtida realizando-se a divisão do numerador pelo

denominador da fração. Tal divisão origina dois tipos de números decimais: aqueles que têm representação decimal finita e aqueles que tem representação decimal infinita mais com período de repetição.

Exemplos

a) O número racional 2/5 admite uma representação decimal que é obtida pela divisão de 2 por 5. Daí concluímos que 2/5 = 0,4. Vemos que a representação é composta por um número finito de dígitos, motivo pelo qual diremos que ela é uma representação decimal finita.

b) O número racional 3/7 admite uma representação decimal que é obtida pela divisão de 3 por 7. Daí concluímos que 3/7 = 0,428571428571428571.... Constatamos neste caso que existe um bloco de termos, ao qual chamaremos de período, que se repete ao longo de toda a representação decimal. Neste exemplo, o período é 428571. Esse tipo de expressão é chamado de dízima periódica. 4444....4444. Operações com números decimais. Operações com números decimais. Operações com números decimais. Operações com números decimais AdiçãoAdiçãoAdiçãoAdição No algoritmo utilizado, semelhante ao da soma dos números naturais, escrevemos as parcelas uma sobre a outra, de modo que as casas correspondentes fiquem alinhadas. Para facilitar o trabalho é possível completar com zeros a parte decimal de uma das parcelas de modo que fiquem com o mesmo número de casas decimais. Exemplo

A operação 2,741 3,45+ pode ser efetuada com o dispositivo abaixo

Assim, 2,741 3,450 6,191+ = SubtraçãoSubtraçãoSubtraçãoSubtração Procede-se de forma semelhante à adição. Exemplo

A operação 4,53 2,749− pode ser efetuada com o dispositivo abaixo, igualando-se primeiro a quantidade de casas decimais acrescentando zeros à direita, se for necessário:

Assim, 4,53 2,749 1,781− = MultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicação Multiplicam-se os números decimais como se fossem naturais e separam-se no resultado, a partir da direita, quantas casas decimais quantos forem, no total, os algarismos das partes decimais dos números dados. Exemplo

14

A operação 1,35 2,5× pode ser efetuada eliminando momentaneamente as vírgulas e realizando a multiplicação pelo algoritmo tradicional:

Como há, no total, três casas decimais nos números que estão sendo multiplicados, então esse será o número de casas decimais do resultado. Assim, 1,35 2,5 3,375× = . DivisãoDivisãoDivisãoDivisão A divisão de dois números decimais deve ser tratada com mais cuidado. Antes de efetuar a divisão de 2 numerais décimas, deve-se igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor e retirar as vírgulas. Exemplo

A operação 6,125 : 3,5 pode ser efetuada igualando o número de casas decimais dos dois números. Em seguida, podemos eliminar a vírgula e realizar a divisão pelo algoritmo tradicional:

Assim, 6,125 : 3,5 = 1,75


33330000. . . . (Enem/10)(Enem/10)(Enem/10)(Enem/10) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Uma representação possível para essa segunda situação é a)

b)

c)

d)

e)

33331.1.1.1. (Enem/09)(Enem/09)(Enem/09)(Enem/09) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula

do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 12

,

poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja

fórmula é 34

, poderia ser preenchido com

a) 24 fusas. b) 3 semínimas. c) 8 semínimas. d) 24 colcheias e 12 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

33332222. (Enem. (Enem. (Enem. (Enem PPL PPL PPL PPL/14/14/14/14)))) Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. Inscreveram-se 48 candidatos. Para realizar uma boa seleção, deverão ser escolhidos os que cumpram algumas exigências: os jogadores deverão ter mais de 14 anos, estatura igual ou superior à mínima exigida e um bom preparo físico. Entre os candidatos, 7/8 têm mais de 14 anos e foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, 1/2 destes têm estatura igual ou superior à mínima exigida e, destes, 2/3 tem bom preparo físico. A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi a) 12. b) 14. c) 16. d) 32. e) 42.

33333333. (Enem/16). (Enem/16). (Enem/16). (Enem/16) No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que o marcador de combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme a figura a seguir.

15

Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu destino, cinco postos de abastecimento de combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de partida. Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível na estrada? a) 570 b) 500 c) 450 d) 187 e) 150

33334444. (Enem PPL/16. (Enem PPL/16. (Enem PPL/16. (Enem PPL/16) Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que punisse fraude em concursos públicos. Isso dificultava o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é considerado crime utilizar ou divulgar indevidamente o conteúdo sigiloso de concurso público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário público, a

1 pena sofrerá um aumento de 13

.

Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012. Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, sua pena de reclusão poderá variar de a) 4 a 16 meses. b) 16 a 52 meses. c) 16 a 64 meses. d) 24 a 60 meses. e) 28 a 64 meses.

35353535. (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com

medidas em polegada, são os tubos de 1 3 5

, e2 8 4

.

Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos

a) 1 3 5

, ,2 8 4

b) 1 5 3

, ,2 4 8

c) 3 1 5

, ,2 2 4

d) 3 5 1

, ,8 4 2

e) 5 1 3

, ,4 2 8

36363636.... (Enem/11) (Enem/11) (Enem/11) (Enem/11) Café no BrasilCafé no BrasilCafé no BrasilCafé no Brasil

O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.

Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010. Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o

consumo em 15

do que foi consumido no ano anterior. De

acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010? a) 8 bilhões de litros.

b) 16 bilhões de litros. c) 32 bilhões de litros. d) 40 bilhões de litros. e) 48 bilhões de litros.

37373737.... (Enem/11)(Enem/11)(Enem/11)(Enem/11) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa. Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro a) 68,21 mm. b) 68,102 mm. c) 68,02 mm. d) 68,012 mm. e) 68,001 mm.

38383838. (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. d) 3,07. e) 3,10.

39393939.... (Enem/10)(Enem/10)(Enem/10)(Enem/10) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m.

40404040. (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma “caneta” na qual pode ser inserido um refil contendo 3 mL de insulina, como mostra a imagem.

Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite.

16

Qual o número máximo de aplicações por refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? a) 25 b) 15 c) 13 d) 12 e) 8

41414141. . . . (Ene(Ene(Ene(Enem/04) m/04) m/04) m/04) Em quase todo o Brasil existem restaurantes em que o cliente, após se servir, pesa o prato de comida e paga o valor correspondente, registrado na nota pela balança. Em um restaurante desse tipo, o preço do quilo era R$ 12,80. Certa vez a funcionária digitou por engano na balança eletrônica o valor R$ 18,20 e só percebeu o erro algum tempo depois, quando vários clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por a) 0,54 b) 0,65 c) 0,70 d) 1,28 e) 1,42

00005555. . . . PotenciaçãoPotenciaçãoPotenciaçãoPotenciação

5555.1. Definição.1. Definição.1. Definição.1. Definição A potencia de expoente m, com m natural maior que 1, do número real a é definida como sendo o produto de m fatores iguais ao número a e é representada por ma . Chamamos o número a de base da potenciação. Assim:

fatores

m

m

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅��

Definimos ainda que 1a a= e 0 1a = (nesse último caso devemos ter 0a ≠ ) Exemplos

a) 34 4 4 4= ⋅ ⋅ b) 2( 3) ( 3) ( 3) 9− = − ⋅ − =

Não confunda a operação anterior com 23 9− = − . 5555.2. Propriedades.2. Propriedades.2. Propriedades.2. Propriedades A operação de potenciação, como definida acima, possui as seguintes propriedades: P1.P1.P1.P1. m n m na a a +⋅ =

P2.P2.P2.P2. m

m n

n

aa

a

−= ( 0a ≠ )

P3.P3.P3.P3. ( )m n m na a ⋅=

P4.P4.P4.P4. ( )m m mab a b=

P5.P5.P5.P5. m m

m

a a

b b

=

Exemplos

a) 2 4 6x x x⋅ = Observe que não é difícil entender essa propriedade: o termo

2x representa o produto de dois fatores x, enquanto o termo 4x representa o produto de quatro fatores x. A multiplicação

desses dois termos representa, naturalmente, o produto de seis fatores x, ou seja, 6x .

b) 5 5

5

r r

s s

=

c) 3 2 3 2 6( )a a a⋅= =

Não confunda a operação anterior com 23 9a a= .

5555....3333. Notação Científica. Notação Científica. Notação Científica. Notação Científica No estudo de diversas ciências, como a Física, Química ou Astronomia, com freqüência nos deparamos com número muito grandes ou números muito pequenos e, em ambos os casos, o número de algarismos a ser escrito é muito grande. A massa do planeta Terra, por exemplo, no sistema internacional é

59.800.000.000.000.000.000.000.000 kg enquanto a massa de um elétron é de apenas

0,00000000000000000000000000000091 kg. Para facilitar a escrita e a comparação de números como esses foi criada a notação científica. A idéia é representar um numero qualquer como produto de um número real entre 1 e 10 por uma potência de base 10, ou seja, escrevê-lo na forma

10mα ⋅ , com 1 10α≤ < e em que m é denominada ordem de grandeza do número. Vejamos como é feita essa conversão: 1ª Regra: Se o número é maior do que 1, então deslocamos a vírgula para esquerda até que fique imediatamente após o primeiro algarismo do número. O número de casas que a vírgula percorrer será o expoente da base 10. Exemplos: a) 451000 5,1 10= ⋅

b) 11734000000000 7,34 10= ⋅ 2ª Regra:::: Se o número está entre 0 e 1, então deslocamos a vírgula para direita até que fique imediatamente após o primeiro algarismo diferente de zero na parte decimal do número. O número de casas que a vírgula percorrer será o expoente, negativo, da base 10. Exemplos: a) 40,000384 3,84 10−= ⋅

b) 90,0000000015 1,5 10−= ⋅

De maneira geral, cada deslocamento da vírgula de uma casa para esquerda significa o aumento em uma unidade no expoente da base 10 e cada deslocamento da vírgula de uma casa para direita significa a diminuição em uma unidade no expoente da base 10.


42424242.... (Enem/12)(Enem/12)(Enem/12)(Enem/12) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteróide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteróide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contem a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, esta indicada a proximidade do asteróide em relação a Terra, ou seja, a menor distancia que ele passou da superfície terrestre.

17

Fonte: NASA. Disponível em: http://noticias.terra.com.br (adaptado).

Com base nessas informações, a menor distancia que o asteróide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a a) 3,25 × 102 km. b) 3,25 × 103 km. c) 3,25 × 104 km. d) 3,25 × 105 km. e) 3,25 × 106 km.

43434343. . . . (Enem/09)(Enem/09)(Enem/09)(Enem/09) O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.

Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é a) 21,5 10× vezes a capacidade do reservatório novo.

b) 31,5 10× vezes a capacidade do reservatório novo.

c) 61,5 10× vezes a capacidade do reservatório novo.

d) 81,5 10× vezes a capacidade do reservatório novo.

e) 91,5 10× vezes a capacidade do reservatório novo.

44444444.... Na verdade, dá para dobrar um papel mais de 8 vezes! Basicamente, o número de dobras possíveis depende do tamanho e da espessura do papel. “O problema é que a cada dobra a espessura duplica e a área cai pela metade. Portanto, para conseguir mais dobras precisa-se usar um papel muito fino ou extenso e, de preferência, bastante maleável”, diz o físico Cláudio Furukawa, da USP.

Disponível em: <http://mundoestranho.abril.com.br>. Acesso em: 28 out. 2012

Utilizando-se um papel com 50 metros de comprimento e

59,0 10−× metros de espessura, a equipe de reportagem da revista realizou um total de nove dobras. Nessas condições, o número de camadas e a espessura do papel dobrado são, respectivamente,

a) 512 e 24,608 10−× m

b) 512 e 22,748 10−× m

c) 356 e 20,546 10−× m

d) 256 e 23,332 10−× m

e) 256 e 25,460 10−× m

45454545. (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) . (Enem/15) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.

Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de a) 4,129× 103 b) 4,129× 106 c) 4,129× 109 d) 4,129× 1012 e) 4,129× 1015

00006666. . . . RadiciaçãoRadiciaçãoRadiciaçãoRadiciação

6666.1. Definições.1. Definições.1. Definições.1. Definições Considere a equação 2 9x = . Como sabemos, tal equação tem duas raízes: 3 e – 3. Os números cujo quadrado é igual a 9 são denominado raízes quadradas de 9 e são representadas por 9 (raiz positiva) e por 9− (raiz negativa).

De uma maneira geral, definimos: • Se n é par, 0a ≥ , 0b ≥ :

oun n na b a b a b= ⇔ = = −

• Se n é ímpar: n na b b a= ⇔ =

No símbolo n b , o número n é o índice da raiz e o número b é o radicando. Exemplos: a) 16 4= e 16 4− = − . Todo número real positivo possui duas raízes quadradas reais. A raiz positiva é simbolizada por e a negativa por − .

b) 3 8 2− = − .

c) 5− ∉ℝ (O conceito de raiz quadrada, no conjunto dos números reais, exige que o radicando seja positivo).

Há raízes cujo valor não é um número racional. Nesse caso, sendo o valor da raiz um número irracional, sua expressão decimal seria infinita e não periódica. Em aplicações práticas, não há sentido em tentar trabalhar com expressões infinitas e nesse caso buscamos valores aproximados para essas raízes. Considere, por exemplo, o número 2 .

Sabemos que 1 2 4< < , ou seja, 1 2 2< < . Como 2(1,4) 1,96= e 2(1,5) 2,25= , percebemos que 1,4 é uma

aproximação melhor para 2 . Se quisermos melhorar a aproximação podemos considerar a casa dos centésimos em nosso valor. Como 2(1,41) 1,988= e 2(1,42) 2,016= ,

percebemos que 1,41 é uma aproximação melhor para 2 .

18

Podemos continuar esse processo indefinidamente e jamais chegaremos a um valor exato para 2 , mas a aproximação pode ser tão boa quanto quisermos. 6666.2. Expoentes Racionais.2. Expoentes Racionais.2. Expoentes Racionais.2. Expoentes Racionais Para qualquer número real a e quaisquer números naturais m e n, com 2n ≥ , tais que n a exista, definimos

1 n na a= Como conseqüência dessa definição, seguem duas propriedades:

E1.E1.E1.E1. ( )nm n m mna a a= =

E2.E2.E2.E2. 1m n

m na

a

− =

Para entendermos o motivo dessa definição, relembremos que as propriedades de potenciação foram estabelecidas apenas para expoentes inteiros. Por uma questão de conveniência, gostaríamos que essas propriedades continuassem válidas para expoentes fracionários. Sendo assim, consideremos, como exemplo, o número 1 25 . O que ocorre quando elevamos esse número ao quadrado? Se utilizarmos as propriedades de potenciação vistas anteriormente, teríamos:

1 2 2(5 ) 2 1 2 15 5 5⋅= = = Ampliando a validade das propriedades, concluímos que o número 1 25 ao quadrado é igual a 5. Mas isso significa que esse número é uma raiz quadrada do número 5, ou seja,

1 25 5= .

Exemplos

a) 1 4 43 3=

b) 3 5 5 32 2= 6666.3. Propriedades.3. Propriedades.3. Propriedades.3. Propriedades Para operar corretamente com raízes é importante conhecer as propriedades da radiciação: R1.R1.R1.R1. n n na b ab⋅ =

R2.R2.R2.R2. n

nn

a a

bb=

R3.R3.R3.R3. ( )n m mna a=

R4.R4.R4.R4. n p nm p mb b⋅ ⋅ =

R5.R5.R5.R5. m n m nb b⋅=

Exemplos: a) 4 9 4 9⋅ = ⋅ , pois 2 3 6⋅ =

b) 16 9 16 9+ ≠ + , pois 4 3 5+ ≠

c) 3 34 ( 4)= , pois 38 2=

d) 3 62 45 5=


46464646.... O IDH (índice de desenvolvimento humano) é um critério que o PNUD (programa das nações unidas para o desenvolvimento) utiliza para medir o nível de desenvolvimento dos países e é representado por um valor

numérico que varia de 0 a 1. Quanto mais próximo de 1, mais desenvolvido é o país. Para calcular esse índice, são levadas em conta três condições básicas do desenvolvimento humano: uma vida longa e saudável (longevidade, que corresponde à expectativa de vida ao nascer), acesso ao conhecimento (educação) e um padrão de vida digno (baseado na renda per capita). Desde 2010, o PNUD utiliza a seguinte fórmula para calcular o IDH dos países:

3IDH L E R= ⋅ ⋅ em que L corresponde ao índice de longevidade, E ao índice de educação e R ao índice de renda. Considere um certo país que possuía, em 2010, um IDH de 0,216, e seu índice de educação era o dobro do índice de longevidade e o quádruplo do índice de renda. determine o índice de renda desse país. a) 0,216 b) 0,108 c) 0,432 d) 0,054 e) 0,144

47474747. . . . (Enem/12)(Enem/12)(Enem/12)(Enem/12) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela formula 2 3A k m= ⋅ , em que k e uma constante positiva. Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal? a) 3 16 b) 4 c) 24 d) 8 d) 64

48484848. . . . (Unifor/13)(Unifor/13)(Unifor/13)(Unifor/13) Dentre as muitas funções exercidas por nossa pele, encontra-se aquela de regular a temperatura corporal através da troca de calor entre o corpo e o meio ambiente. A equação de DuBois relaciona a área superficial s s s s de um ser humano, em m2, com seu peso, em kg e sua altura h em cm,

através da expressão 340,01s h p= ⋅ . Baseado nessa

equação, qual é o peso aproximadamente de uma pessoa que tem uma altura de 180 cm e que tem 1,5 m2 de superfície corporal?

Fonte: www.demec.ufmg.br/disciplina/ema Adaptado.

a) 84,0 kg b) 85,5 kg c) 86,8 kg d) 90,0 kg e) 92,5 kg

49494949. . . . (Enem(Enem(Enem(Enem PPL PPL PPL PPL/09)/09)/09)/09) A lei de Fenchel explica como o índice de crescimento populacional de organismos unicelulares (R) relaciona-se ao peso (massa) corporal desses organismos (w), expresso pela equação

1 4( )R w a w−= ⋅ Em que a é uma constante real positiva, que varia de acordo com o tipo de organismo estudado.

http://www.ecologia.info/leis-ecologia-populacional. Suponha P e Q dois organismos unicelulares distintos, com massas corporais p e q, respectivamente, de modo que 0 < p < q. Nesse caso, o índice de crescimento populacional de P comparado com o índice de Q, de acordo com a Lei de Fenchel, satisfaz a relação

a) 4 4

a a

p q< b)

4 4

a a

p q> c)

4 4

a a

p q=

d) 4 4

a a

p q< e) 4 4

a a

p q=

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00007777. . . . Sequências de ProcedimentosSequências de ProcedimentosSequências de ProcedimentosSequências de Procedimentos

Há problemas do Enem em que o aluno deve realizar uma certa sequência de passos para atingir um determinado objetivo. Um caso muito importante é o da interpretação de fluxogramas. O termo fluxograma designa uma representação gráfica de um determinado processo ou fluxo de trabalho,

efetuado geralmente com a utilização de figuras geométricas padronizadas e setas unindo essas figuras geométricas. Através desta representação gráfica é possível compreender de forma rápida e fácil a transição de informações entre os elementos que participam no processo em questão. Uma das características dos fluxogramas é a utilização de símbolos para representar as diversas etapas do processo, as decisões a serem tomadas, a sequência das operações, etc.


50505050.... (Enem/04)(Enem/04)(Enem/04)(Enem/04) Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, cada componente, ao final da linha de montagem, é submetido a um rigoroso controle de qualidade, que mede o desvio percentual (D) de seu desempenho em relação a um padrão ideal. O fluxograma a seguir descreve, passo a passo, os procedimentos executados por um computador para imprimir um selo em cada componente testado, classificando-o de acordo com o resultado do teste:

Os símbolos usados no fluxograma têm os seguintes significados

Segundo essa rotina, se D =1,2%, o componente receberá um selo com a classificação a) “Rejeitado”, impresso na cor vermelha. b) “3ª Classe”, impresso na cor amarela. c) “3ª Classe”, impresso na cor azul. d) “2ª Classe”, impresso na cor azul. e) “1ª Classe”, impresso na cor azul.

51515151.... O IRRF (imposto de Renda Retido na Fonte) é o imposto que os trabalhadores têm automaticamente descontado de seus rendimentos mensais, sendo uma das mais importantes fontes de arrecadação para o governo federal. O fluxograma a seguir foi usado por uma empresa para desenvolver um software capaz de calcular o imposto de renda a ser descontado de cada um de seus funcionários.

Nesse fluxograma, os símbolos utilizados possuem os significados mostrados a seguir:

20

Suponha que um determinado funcionário dessa empresa tenha um salário (S) mensal de R$ 3 000,00. Qual alternativa apresenta, respectivamente, o valor do IRRF descontado desse empregado e o número de condições testadas pelos software para se chegar a esse valor? a) R$ 191,16 e 3 b) R$ 162,06 e 3 c) R$ 191,16 e 4 d) R$ 162,06 e 4 e) R$ 181,16 e 3

52525252.... (Enem/07)(Enem/07)(Enem/07)(Enem/07) A diversidade de formas geométricas espaciais criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que traz benefícios, causa dificuldades em algumas situações. Suponha, por exemplo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 mL de azeite de uma lata que contenha 1200 mL e queira guardar o restante do azeite em duas garrafas, com capacidade para 500 mL e 800 mL cada, deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele não disponha de instrumento de medida e decida resolver o problema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. As etapas do procedimento utilizado por ele estão ilustradas nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5ª etapa.

Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 5ª etapa do procedimento? a)

b)

c)

d)

e)

53535353.... (Enem(Enem(Enem(Enem Cancelado Cancelado Cancelado Cancelado/09/09/09/09)))) Um dos diversos instrumentos que o homem concebeu para medir o tempo foi a ampulheta, também conhecida como relógio de areia. Suponha que uma cozinheira tenha de marcar 11 minutos, que é o tempo exato para assar os biscoitos que ela colocou no forno. Dispondo de duas ampulhetas, uma de 8 minutos e outra de 5, ela elaborou 6 etapas, mas fez o esquema, representado a seguir somente até a 4ª etapa, pois é só depois dessa etapa que ela começa a contar os 11 minutos.

A opção que completa o esquema é a)

b)

c)

d)

e)

21

08. 08. 08. 08. Questões ComplementaresQuestões ComplementaresQuestões ComplementaresQuestões Complementares

54545454. (Enem PPL/15) . (Enem PPL/15) . (Enem PPL/15) . (Enem PPL/15) Um paciente precisa ser submetido a um tratamento, sob orientação médica, com determinado medicamento. Há cinco possibilidades de medicação, variando a dosagem e o intervalo de ingestão do medicamento. As opções apresentadas são: A: um comprimido de 400 mg, de 3 em 3 horas, durante 1 semana; B: um comprimido de 400 mg, de 4 em 4 horas, durante 10 dias; C: um comprimido de 400 mg, de 6 em 6 horas, durante 2 semanas; D: um comprimido de 500 mg, de 8 em 8 horas, durante 10 dias; E: um comprimido de 500 mg, de 12 em 12 horas, durante 2 semanas. Para evitar efeitos colaterais e intoxicação, a recomendação é que a quantidade total de massa da medicação ingerida, em miligramas, seja a menor possível. Seguindo a recomendação, deve ser escolhida a opção a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.

55555555. (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16). (Enem PPL/16) O gerente de um estacionamento, próximo a um grande aeroporto, sabe que um passageiro que utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 10,00 em combustível nesse trajeto. Ele sabe, também, que um passageiro que não utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 80,00 com transporte. Suponha que os passageiros que utilizam seus próprios veículos deixem seus carros nesse estacionamento por um período de dois dias. Para tornar atrativo a esses passageiros o uso do estacionamento, o valor, em real, cobrado por dia de estacionamento deve ser, no máximo, de a) 35,00. b) 40,00. c) 45,00. d) 70,00. e) 90,00.

56565656.... (Enem/13)(Enem/13)(Enem/13)(Enem/13) Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado.

ProdutoProdutoProdutoProduto Tipo ATipo ATipo ATipo A Tipo BTipo BTipo BTipo B Arroz 2,00 1,70 Feijão 4,50 4,10 Soja 3,80 3,50 Milho 6,00 5,30

Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, a) A, A, A, A. b) A, B, A, B. c) A, B, B, A. d) B, A, A, B. e) B, B, B, B.

57575757.... (Enem/13)(Enem/13)(Enem/13)(Enem/13) O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:

Dados Dados Dados Dados rrrrelativos à pelativos à pelativos à pelativos à prrrroduçãooduçãooduçãoodução das vacas das vacas das vacas das vacas

VacaVacaVacaVaca Tempo de Tempo de Tempo de Tempo de Lactação Lactação Lactação Lactação (em dias)(em dias)(em dias)(em dias)

Produção Produção Produção Produção média diária de média diária de média diária de média diária de

leite (em kg)leite (em kg)leite (em kg)leite (em kg)

Intervalo entre Intervalo entre Intervalo entre Intervalo entre partos partos partos partos

(em meses)(em meses)(em meses)(em meses) Malhada 360 12,0 15 Mamona 310 11,0 12 Maravilha 260 14,0 12 Mateira 310 13,0 13 Mimosa 270 12,0 11 Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a a) Malhada. b) Mamona. c) Maravilha. d )Mateira. e) Mimosa.

58585858.... (Enem/12)(Enem/12)(Enem/12)(Enem/12) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.

Rotina JuvenilRotina JuvenilRotina JuvenilRotina Juvenil Durante a semanaDurante a semanaDurante a semanaDurante a semana No fim de semanaNo fim de semanaNo fim de semanaNo fim de semana Assistir à televisão 3 3

Atividades domésticas 1 1 Atividades escolares 5 1 Atividades de lazer 2 4 Descanso, higiene e

alimentação 10 12

Outras atividades 3 3 De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 27 59595959. . . . (Enem/11)(Enem/11)(Enem/11)(Enem/11) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:

• Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos.

• Meia hora de supermercado: 100 calorias. • Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias. • Passear com o cachorro: 200 calorias em 30

minutos. • Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos. • Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.

Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado)

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades.

22

a) 50 minutos. b) 60 minutos. c) 80 minutos. d) 120 minutos. e) 170 minutos.

60606060.... (Enem/11)(Enem/11)(Enem/11)(Enem/11) Um técnico em refrigeração precisa revisar todos os pontos de saída de ar de um escritório com várias salas. Na imagem apresentada, cada ponto indicado por uma letra é a saída do ar, e os segmentos são as tubulações.

Iniciando a revisão pelo ponto K e terminando em F, sem passar mais de uma vez por cada ponto, o caminho será passando pelos pontos a) K, I e F. b) K, J, I, G, L e F. c) K, L, G, I, J, H e F. d) K, J, H, I, G, L e F e) K, L, G, I, H, J e F.

61616161. . . . (Enem PPL/13)(Enem PPL/13)(Enem PPL/13)(Enem PPL/13) Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é: a)

b)

c)

d)

e)

62626262.... (Enem/09)(Enem/09)(Enem/09)(Enem/09) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de 1 GB. c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB. e) um cartão de memória de 64 MB.

63636363.... (Enem/09)(Enem/09)(Enem/09)(Enem/09) Joana freqüenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa. b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa. c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa. d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min. e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.

64646464.... (Enem/03)(Enem/03)(Enem/03)(Enem/03) Dados divulgados pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais mostraram o processo de devastação sofrido pela Região Amazônica entre agosto de 1999 e agosto de 2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de 20 000 quilômetros quadrados de floresta. Um órgão de imprensa noticiou o fato com o seguinte texto:

"O assustador ritmo de destruição é de um campo de futebol a

cada oito segundos."

Considerando que um ano tem aproximadamente 632 10⋅

s (trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da área oficial de um campo de futebol é aproximadamente 210−

km2

(um centésimo de quilômetro quadrado), as informações apresentadas nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de desmatamento, em um ano, implica a destruição de uma área de

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a) 10 000 km2 e a comparação dá a idéia de que a devastação não é tão grave quanto o dado numérico nos indica. b) 10 000 km2, e a comparação dá a idéia de que a devastação é mais grave do que o dado numérico nos indica. c) 20 000 km2, e a comparação retrata exatamente o ritmo da destruição. d) 40 000 km2, e o autor da notícia exagerou na comparação, dando a falsa impressão de gravidade a um fenômeno natural. e) 40 000 km2

e, ao chamar a atenção para um fato realmente grave, o autor da notícia exagerou na comparação

65656565.... (Enem/02)(Enem/02)(Enem/02)(Enem/02) Um estudo realizado com 100 indivíduos que abastecem seu carro uma vez por semana em um dos postos XXXX, Y Y Y Y ou Z Z Z Z mostrou que:

• 45 preferem X a Y, e Y a Z.

• 25 preferem Y a Z, e Z a X.

• 30 preferem Z a Y, e Y a X. Se um dos postos encerrar suas atividades, e os 100 consumidores continuarem se orientando pelas preferências descritas, é possível afirmar que a liderança de preferência nunca pertencerá a a) X b) Y c) Z d) X ou Y e) Y ou Z

66666666.... (Enem/01)(Enem/01)(Enem/01)(Enem/01) A pesca não predatória pressupõe que cada peixe retirado de seu hábitat já tenha procriado, pelo menos uma vez. Para algumas espécies, isso ocorre depois dos peixes apresentarem a máxima variação anual de seu peso. O controle de pesca no Pantanal é feito com base no peso de cada espécie. A tabela fornece o peso do pacu, uma dessas espécies, em cada ano.

Idade (anos)Idade (anos)Idade (anos)Idade (anos) Peso (kg)Peso (kg)Peso (kg)Peso (kg) 1 1,1 2 1,7 3 2,6 4 3,9 5 5,1 6 6,1 7 7 8 7,8 9 8,5 10 8,9 11 9,1 12 9,3 13 9,4

Considerando esses dados, a pesca do pacu deve ser autorizada para espécimes com peso de, no mínimo, a) 4 kg b) 5 kg c) 7 kg d) 9 kg e) 11 kg

67676767.... (Enem/99)(Enem/99)(Enem/99)(Enem/99) Vinte anos depois da formatura, cinco colegas de turma decidem organizar uma confraternização. Para marcar o dia e o local da confraternização, precisam comunicar-se por telefone. Cada um conhece o telefone de alguns colegas e desconhece o de outros. No quadro abaixo, o número 1 indica que o colega da linha correspondente conhece o telefone do colega da coluna correspondente; o número 0 indica que o colega da linha não conhece o telefone do colega da coluna. Exemplo: Beto sabe o telefone do Dino que não conhece o telefone do Aldo.

Aldo Beto Carlos Dino Enio Aldo 1 1 0 1 0 Beto 0 1 0 1 0

Carlos 1 0 1 1 0 Dino 0 0 0 1 1 Enio 1 1 1 1 1

O número mínimo de telefonemas que Aldo deve fazer para se comunicar com Carlos é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

68686868. (Unisinos/12). (Unisinos/12). (Unisinos/12). (Unisinos/12) Uma fração unitária é uma fração da forma 1/n, onde n é um número natural. Uma fração escrita como soma de frações unitárias é denominada fração egípcia.

Por exemplo: 2 1 13 2 6= + e

5 1 1 111 3 9 99

= + + .

A soma 1 1 13 8 60+ + é a representação egípcia de qual fração?

a) 71

120 b)

371

c) 1760

d) 1940

e) 1730

69696969. (São Leopoldo/14). (São Leopoldo/14). (São Leopoldo/14). (São Leopoldo/14) Nos últimos anos, o desenvolvimento dos sistemas automáticos para leitura de números, rápidos, confiáveis, relativamente baratos, permitiram a justaposição dos algarismos de controle ao número de um código, para detectar erros mais comuns. Os sistemas não corrigem os erros, mas “avisam” que ele foi cometido. Quando um código é digitado, o computador onde está instalado o sistema de identificação aplica o algoritmo de teste, para verificar se o último(s) algarismo(s) é de fato o mesmo algarismo que o algoritmo aplica ao código sem proteção. O sistema de identificação usado para o cadastramento de pessoas físicas no Brasil, que fornece o número CPF, emitido pela Receita Federal, é um número de 11 algarismos que fornecem as seguintes informações:

Os algarismos de controle, nesse caso, são obtidos de um cálculo dado pelo seguinte algoritmo (regra):

• Da esquerda para a direita, multiplique cada um dos nove primeiros dígitos do código, respectivamente por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9.

• Some os resultados destes produtos e chame esta soma de S1.

• Divida S1 por 11. • O resto desta divisão é o primeiro dígito de controle. • Considere agora, o número formado pelos nove

primeiros algarismos do código e o primeiro dígito de controle determinado.

• Da esquerda para a direita, multiplique cada um destes dez dígitos, respectivamente por 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• Some estes resultados e chame esta soma de S2. • Divida S2 por 11. • O resto desta divisão é o segundo dígito de controle. • O resto 10 é considerado zero (0).

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Por exemplo, o CPF 136.985.516.04 tem seus dígitos de controle 04 errados pois, os dígitos corretos formam o número a) 45. b) 49. c) 58. d) 63. e) 83

70707070. . . . ((((UnespUnespUnespUnesp/01)/01)/01)/01) Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brindes, a alguns dos participantes, caixas (kits), com o mesmo conteúdo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que ele possui exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros. Nesse caso, o número máximo de caixas, com o mesmo conteúdo, que o organizador conseguirá formar utilizando todos os chaveiros e camisetas disponíveis é a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55

71717171.... (Enem/12)(Enem/12)(Enem/12)(Enem/12) Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá aquele potencial comprador é a) 0,20 m e 1,45 m. b) 0,20 m e 1,40 m. c) 0,25 m e 1,35 m. d) 0,25 m e 1,30 m. e) 0,45 m e 1,20 m.

72727272. . . . No código numérico de diversos produtos, como, por exemplo, aquele que aparece no código de barras, utiliza-se o seguinte esquema para detectar erros de digitação: multiplicando-se cada dígito alternadamente por 1 e 3 e adicionando-se os resultados, sempre se obtém um múltiplo de 10. Por exemplo, um possível código de um produto é 4905370265546, pois

4 1 9 3 0 1 5 3 3 1 7 3 0 1

2 3 6 1 5 3 5 1 4 3 6 1 120

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

é um múltiplo de 10. Por outro lado, 4905370265564 não pode ser o código de um produto pois

4 1 9 3 0 1 5 3 3 1 7 3 0 1

2 3 6 1 5 3 5 1 6 3 4 1 124

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

não é um múltiplo de 10. Assim, conferindo esta conta, o computador é capaz de detectar erros de digitação. O último dígito do código de um produto é chamado dígito de

verificação. O dígito de verificação que aparece na

embalagem de um desodorante está ilegível. Abaixo, ele está indicado por um _:

789103304863_ Qual é esse dígito? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

73737373. (PUC. (PUC. (PUC. (PUC----RS)RS)RS)RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais.

Para encontrarmos o número 1627

(relativo à nota LÁ),

multiplicamos 23

(o correspondente da nota SOL) por 89

.

Assim, para obtermos 34

(relativo à nota FÁ), devemos

multiplicar 6481

(da nota MI) por:

a) 89

b) 98

c) 243256

d) 256243

e) 192423

74747474.... Hoje em dia é comum um processador ter frequência medida em Gigahertz (109 hertz). Considerando um chip com frequência de 4.37 GHz, o algarismo 7 na medida escrita em hertz ocupa a posição de: a) Centena de milhar b) Milhão c) Dezena de milhão d) Centena de milhão e) Bilhão

75757575.... A fórmula que fornece uma aproximação para a velocidade de um veículo em km/h, baseada no comprimento da marca de frenagem (em metros) no asfalto é dada por

1 215,68V S= ⋅ . Se a distância de frenagem de um veículo foi de 25 metros, a que velocidade estava o veículo? a) 84,6 km/h b) 78,4 km/h c) 72 km/h d) 68,4 km/h e) 64 km/h

76767676. . . . (En(En(En(Enem PPL/13)em PPL/13)em PPL/13)em PPL/13) O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol. Quantos algarismos tem um gugolplex? a) 100 b) 101 c) 10010 d) +10010 1 e) +100010 1

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