01. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL (CÁLCULO I)

5/13/2018 01. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL (CÁLCULO I) - slidepdf.com

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Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula EurípedesMachado Rodrigues

0

UNIP UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE SOROCABA

ENGENHARIA MECATRÔNICA / ELÉTRICA-1ºANO

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE UMA VARIÁVEL

(CÁLCULO I)

ALUNO:_______________________________ RA.:___________

TURMA:______________________________ SALA:__________

PROF. MACHADO

AGOSTO/2010




1

INDICE

1. Sistema Cartesiano Ortogonal....................................................................................02

2. Variáveis e Constantes...............................................................................................02

3. Funções......................................................................................................................03

3.1. Função Constante...............................................................................................03

3.2. Função Afim.........................................................................................................04

3.3. Equação da reta que “passa” por um ponto dado...............................................053.4. Função Quadrática..............................................................................................06

3.5. Exercícios de Funções........................................................................................07

3.6. Funções Trigonométricas....................................................................................11

3.6.1. Função Seno.............................................................................................11

3.6.2. Função Co-seno........................................................................................12

3.6.3. Função Tangente.......................................................................................13

3.6.4. Função Co-tangente, Secante e Co-secante............................................13

3.6.5. Exercícios propostos de trigonometria......................................................13

3.7. Função Exponencial............................................................................................14

3.8. Logaritmo.............................................................................................................15

3.9. Função Logaritmo................................................................................................16

4. Derivadas....................................................................................................................17

4.1. Taxa de variação.................................................................................................17

4.2. Noções intuitiva de Derivada...............................................................................18

4.3. A Derivada como Velocidade..............................................................................21

4.4. Regras de Derivação...........................................................................................23

4.5. Exercícios resolvidos...........................................................................................24

4.6. Exercícios propostos...........................................................................................25

4.7. Regra da Cadeia..................................................................................................26

4.8. Derivada Implícita................................................................................................27

4.9. Exercícios propostos...........................................................................................28

5. Noções de Integração.................................................................................................30

5.1. Integral Indefinida................................................................................................30

5.2. Regras de Integração..........................................................................................30

5.3. Exercícios Resolvidos..........................................................................................31

5.4. Exercícios Propostos...........................................................................................325.5. Método da Substituição.......................................................................................32

5.6. Exercícios Resolvidos..........................................................................................33

5.7. Método da Integração por Partes........................................................................34

5.8. Tabela de Integrais imediatas..............................................................................36

5.9. Integrais Definidas...............................................................................................36

5.10. Propriedades da Integral Definida.....................................................................38

5.11. Exercícios Resolvidos........................................................................................39

5.12. Exercícios Propostos.........................................................................................40

5.13. Exercícios Gerais de Integral.............................................................................41

5.14. Exercícios Resolvidos........................................................................................43

6. Gabarito dos Exercícios Propostos (livro indicado pela Unip)....................................48




2

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL*

1. Coordenadas cartesianas ortogonais

Seja αααα o plano determinado por dois eixos Ox e Oy perpendiculares em O.Considere um ponto P qualquer do plano, e conduza por ele as paralelas aos eixos, queinterceptarão Ox e Oy respectivamente em P1 e P2.

Escolhida uma unidade de medida (geralmente a mesma sobre os dois eixos), adota-se a seguinte nomenclatura:a) Abscissa de P é o número real xP = OP1 ;b) Ordenada de P é o número real yP = OP2 ;c) Coordenadas de P são os números reais xP e yP indicados na forma de um par

ordenado (xP ; yP);

d) O eixo dos x ou Ox será chamado eixo das abscissas;

e) O eixo dos y ou Oy será chamado eixo das ordenadas;

f) O plano formado pelo par de eixos Oy e Ox será chamado plano cartesiano;

g) O sistema de eixos formados por Oy e Ox é chamado sistema cartesianoortogonal (ou ortonormal ou retangular); h) O ponto O é chamado de origem do sistema cartesiano ortogonal.

y

xP (abscissa de P)P(x ; y)

P2

yP (ordenada de P)

O P1 x

αααα

NOTA: Os eixos coordenados Oy e Ox dividem o plano cartesiano em quatro regiõesangulares que são denominadas quadrantes:

y

2º quadrante 1º quadrante(- ; +) (+ ; +)

O x

3º quadrante 4º quadrante(- ; -) (+ ; -)

•

* A palavra “cartesiano” refere-se ao nome do criador da Geometria Analítica, René Descartes, o qual assinava as obrasescrevendo seu nome em latim: Cartesius.

A palavra “ortogonal” é utilizada aqui pelo fato de os eixos OX e OY formarem ângulo reto.




3

Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos:A(4 ; 3) , B(−1; 3) , C(−3 ; −4) , D(4 ; −2) , E(2 ; 0) , F(0 ; 4)

y

VARIÁVEIS E CONSTANTES

A grande finalidade dos números é sua utilização no sistema de medidas dasgrandezas do mundo real.

Uma constante é uma quantidade cujo valor permanece invariável num problemaparticular, como por exemplo: altitude de uma região, temperatura em que a águaferve, etc.

Uma variável é uma quantidade que assume diversos valores num determinadoproblema particular, como por exemplo: temperatura ambiente, uma distânciapercorrida, etc.

A matemática trabalha basicamente com variáveis e constantes. As variáveis ouquantidades que mudam na realidade ou nas nossas simulações são em geralrepresentadas pelas últimas letras do alfabeto: x, y, z, .... . As constantes são em geralrepresentadas pelas primeiras letras do alfabeto: a, b, c, .....

Existem dois tipos de constantes:a) constantes absolutas que sempre têm o mesmo valor: números ou símbolos

denotando números (ex. temperatura em que a água ferve, valor de π, etc.);b) constantes paramétricas que têm o mesmo valor em cada problema dado,

mas podem ter valores diferentes em problemas diferentes. Taisquantidades dependem da situação particular representada no problema.

Exemplo:

1) Na equação da área de um círculo, A = ππππr 2 temos que: ππππ é uma constante numérica (aproximadamente igual a 3,1416);A e r são variáveis .

2) Na equação segmentaria da reta 1 b

y

a

x=+ , temos:

1 é constante numérica;a e b são parâmetros;x e y são variáveis

NOTA: Na matemática aplicada freqüentemente convenciona-se representar uma variávelpela primeira letra do seu nome – por exemplo: p para preço, q para quantidade, c paracusto, d para demanda, o para oferta, r para receita e assim por diante.

x




4

FUNÇÕES

1. Definição – dizemos que uma relação f de um conjunto A em um conjunto B, nãovazios, é uma função de A em B, se e somente se, cada elemento (x) de A serelaciona com um único elemento (y) de B. Essa relação é denotada por y = f(x).Notação:

f : A B

x y = f(x)NOTA: x é denominado de variável independente e y de variável dependente, ou

seja, o valor de y depende do valor de x que geralmente é expresso por uma lei deformação ou lei de dependência, por exemplo: y = 2.x + 3

2. Domínio – o conjunto A é denominado de domínio da função , indicado por D(f) erepresenta os valores que a variável independente x pode assumir;

3. Contradomínio – o conjunto B é denominado contradomínio da função, indicadopor CD(f) e representa os valores da variável y;

4. Imagem – o conjunto imagem da função é o conjunto de valores que a variáveldependente y pode assumir para cada x correspondente.

A BA é o domínio ou seja, conjunto de partidaB é o contradomínio– conjunto de chegada

x f yConjunto Imagem da função : Im (f)

y é a imagem do domínio x

Im(f) = { y ∈ B | ∃ x ∈ A com y = f(x) }

Observações:1. Uma função definida em valores reais f: A B , A e B são subconjuntos reais;

2. Por simplificação, deixamos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínioda função f, falando apenas da lei y = f(x). Neste caso, fica implícito que ocontradomínio é real e o domínio o “maior” subconjunto dos reais para o qual afunção está definida (ou seja, para que faça sentido a lei);

3. Algumas funções que comumente são usadas na matemática e por serem utilizadasmuitas vezes em operações na própria matemática ou nas aplicações defenômenos físicos, químicos ou biológicos, ou na área econômica, sãodenominadas funções elementares. No estudo de tais funções, necessitamossempre de informações, tais como: Domínio, Imagem, Raízes, gráficos e suasprincipais propriedades.

I. FUNÇÃO CONSTANTE

1. Definição – f: R R é uma função constante se para cada x ∈ D(f) existe umúnico y tal que f(x) = k ou y = k, k é uma constante real

f: R Rx y = k

2. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo Ox pelo ponto (o ; k)y

k (0; k)Im(f) = { k }⊡

x




5

II. FUNÇÃO AFIM (ou função polinomial do 1º grau)

1. Definição – denomina-se função afim a funçãof: R R

x y = ax + b , com a ≠ 0

2.Gráfico – o gráfico da função afim é uma reta (não vertical)de coeficiente angular

a e coeficiente linear b, ou seja, a reta que “passa” pelos pontos (0 ; b) e (−b/a ; 0).

Para a > 0 Para a < 0y y

(0 ; b)−b/a b

(−b/a ; 0) xb (−b/a ; 0)

(0 ; b) −b/a x

Nota: o ponto onde a reta “corta“ o eixo x recebe o nome de raiz da função e é obtidofazendo y = o

Temos: y = ax + b

se y = 0 ax + b = 0 ax = − b x = − b/a que é a raiz ou zero da função

se x = 0 y = 0.x + b y = b, ou seja, b corresponde ao valor de y onde a reta“corta” o eixo dos y .

3. Inclinação A inclinação da reta é o ângulo “convexo”α entre o eixo x e a reta r, sempre medido dex para r no sentido anti-horário. As únicas situações possíveis são:

Reta Horizontal Reta “Crescente” Reta Vertical Reta “Decrescente”

y y y y

r r r r

α α α

x x x x

αααα = 0º 0º < αααα < 90º αααα = 90º 90º < αααα < 180º

4. Coeficiente angular da retaO coeficiente angular, ou declividade da reta r, não vertical, é a tangente trigonométricado ângulo α, ou seja, a = tg αααα

NOTA: Alguns autores denotam a função do 1º grau por y = mx + n, neste caso: m = tg αααα

●

●

●

●

⊡

⊡

(f é estritamentecrescente)

(f é estritamentedecrescente)




6

yP

y

∆y = y – n(0 ; n)

∆xα 0 x x

A partir do ponto (0 ; n), para uma variação ∆x de x haverá uma correspondentevariação ∆y de y.

No triângulo retângulo do gráfico acima temos que:

tg α =x

ny

x

y −=

∆

∆x . tg α = y – n y = tg α . x + n

m

Portanto, m = tgαααα

4.1. Como obter o coeficiente angular “m” sendo dados dois pontos:

yr

P2

y2

y2 – y1

P1 y1

x2 – x1

x1 x2 x

Seja r uma reta, não vertical, e sejam P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) dois pontos distintos de r.No triângulo retângulo da figura, temos:

tg α =12

12

x x

y y

−

−m =

12

12

x x

y y

−

−

5. Equação da reta que passa por um ponto Po(xo ; yo)Se Q(x ; y) é qualquer outro ponto da reta (isto é, um ponto genérico), então pode ser usado, juntamente com o ponto Po(xo ; xo) para determinar o coeficiente angular ou

declividade da reta: m =o

o

xx

y y

−

−e, como a declividade é constante, podemos

escrever:y – yo = m . (x – xo)

α

αααα

•

●

●

• α




7

III. FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2º grau)

1. Definição – denomina-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau afunção

f : R Rx y = ax2 + bx + c , com a ≠ 0

Ex.: y = x2

– 5x + 6 ; f(x) = – x2

– 4 ; y = 2x2

; etc.

2. Gráfico – o gráfico da função polinomial do 2º grau é uma parábola nas seguintescondições:

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

y y y

a > 0

x1 x2 x x1 = x2 xx

x1 ≠ x2 x ∈∃ R

y y x1 = x2 y x ∈∃ R

x xa < 0 x

x1 ≠ x2

Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos cartesianos Ox e Oy, denominam-seinterceptos. No eixo x temos os interceptos (x1 ; 0) e (x2 ; 0) e, no eixo y, o intercepto(0 ; c).

∆∆∆∆ = b2 – 4ac é o discriminante (determina o nº de raízes reais da função).As raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau são obtidas através da fórmula de

Báscara : x = 2a

b ∆±−

NOTA 1: Se ∆∆∆∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas:

x1 =2a

b ∆+−e x2 =

2a

b ∆−−, podemos escrever:

f(x) = a . (x – x1) . (x – x2)

NOTA 2: Se ∆∆∆∆ = 0, a função tem uma única raiz real de multiplicidade 2:

x1 = x2 =2a

b−, neste caso, podemos escrever:

f(x) = a . (x – x1)2




8

y a > 0 y a < 0NOTA 3 :

yV V(xV ; yV)

xV

xV xxyV V (xV ; yV)

eixo de simetria

As coordenadas do vértice da parábola são :

xV =2a

b−e yV =

4a

∆−, logo: V =

∆−−

a4

;

a2

b

OBSERVAÇÃO:

1. Se a > 0 , V é ponto de mínimo (ou minimante) da função. A imagem da

função neste caso, será: Im(f) =

∞+

∆− ;

4a

2. Se a < 0 , V é ponto de máximo (ou maximante) da função. A imagem da

função neste caso, será: Im(f) =

∆−∞−

4a

;

EXERCÍCIOS GERAIS DE FUNÇÃO

1. Se (a + 2b, a – 4) e (2 – a, 2b) representam o mesmo ponto do planocartesiano, determine o valor de ab.

2. Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 3; 5}. Represente num diagrama deflechas as seguintes relações binárias de A em B:

a. f = { (x; y) ∈ A x B | y = x + 2};b. g = { (x; y) ∈ A x B | y > x};c. h = { (x; y) ∈ A x B | y = 2x – 1}

3. Sendo A = {0; 2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente no gráfico cartesiano de A x B a relação

y = x + 1, com x ∈ A e y ∈ B.

4. Represente graficamente a função f : R R, definida por y = x + 1.

5. Quais dos seguintes diagramas definem uma função de A ={a, b, c, d} em B = {x, y,z,w}A B A B A B A B A B

(I) (II) (III) (IV) (V)

a) II, III e IV b) I e IV c) IV e V d) I, III e V e) I, IV e V

abcd

xyzw

abcd

xyzw

abcd

xyzw

abcd

xyzw

abcd

xyzw

●

(Concavidade para cima)

●

(Concavidade para baixo)




9

6. “Quando uma máquina tem t anos de idade, seu valor de revenda é de:v(t) = 4800 . e-t/5 + 400 reais.” Qual era o preço, em reais, da máquina nova?

7. Considere as funções f(x) = 3x – 5, g(x) = 3x2 + 2x – 4, h(x) = x – x2 e o número real

A =

−÷

h(2)

1)g(f(0). Determine o valor de 5 . A 1−

8. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandei-rada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custaR$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule:a) o preço de uma corrida de 11 km;b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

Solução: Seja P(x) o preço, em reais, a ser pago por uma corrida de x km.De acordo com o enunciado, temos:

P(x) = 3,44 + 0,86 . x

a) Para x = 11 P(11) = 3,44 + 0,86 . 11 = 3,44 + 9,46 P(11) = R$ 12,90 b) Para P(x) = 21,50, teremos:

3,44 + 0,86 . x = 21,50 0,86x = 18,06 x = 21 km

9. O diagrama abaixo representa uma função f de A em B. Determine o domínio e aimagem dessa função.

A Bf

D(f) =

Im(f) =

10. Determine o domínio das funções:

a) y =4

2

−xb) f(x) = 5−x c) y =

4

22 −x

d) f(x) = (2x – 6) ...333,0 e) y =5

5

−xf) f(x) =

3

2

−

−

x

x

g) y =44

22 +−

−

xx

xh) f(x) =

3

2

−

−

x

xi) y =

3

2

−

−

x

x

11. Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de R*+ em R ?

R R R a) b) c)

R R R

0

123

2

41009




10

R R d) e)

R R

12. O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos (0; 0)e (1; 2). Determine a imagem do domínio x = −2/3

13. Seja f: R R a função definida por f(x) = 2x – 4. Construa o gráfico de f ecomplete as sentenças abaixo:a) O conjunto solução da equação f(x) = 0 ou 2x – 4 = 0 é S = { }b) O conjunto solução de f(x) > 0 ou 2x – 4 > 0 é S = { }c) O conjunto solução de f(x) < 0 ou 2x – 4 < 0 é S = { }

14. Seja g: R R a função definida por g(x) = – x + 3. Construa o gráfico de g ecomplete as sentenças abaixo:a) O conjunto solução da equação g(x) = 0 ou – x + 3 = 0 é S = { }b) O conjunto solução de g(x) > 0 ou – x + 3 > 0 é S = { }c) O conjunto solução de g(x) < 0 ou – x + 3 < 0 é S = { }

15. A função f, do 1º grau, é definida por f(x) = 3x + k. Determine:

a) O valor de k para que o gráfico de f “corte” o eixo das ordenadas no ponto deordenada 5;

b) O ponto em que o gráfico de f “corta” o eixo das abscissas.

16. Determine a função polinomial do 1º grau que contém os pontos (1; 3) e (3; 7)

17. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 – 4x + 3 e determineo conjunto solução das inequações abaixo:a) x2 – 4x + 3 > 0 b) x2 – 4x + 3 ≥ 0c) x2 – 4x + 3 < 0 d) x2 – 4x + 3 ≤ 0

18. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 – 4x + 4 e determineo conjunto solução das inequações abaixo:a) x2 – 4x + 4 > 0 b) x2 – 4x + 4 ≥ 0c) x2 – 4x + 4 < 0 d) x2 – 4x + 4 ≤ 0

19. Um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola.Considerando que no instante de lançamento (t = 0) ele está a 3 metros do solo, 1segundo após ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos após o lançamento eleatinge o solo, pede-se:a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do

tempo t, medido em segundos; Resp.: h(t) = − t 2 + 2t + 3b) O valor de h para t = 2. Resp.: 3 metros




11

20. Determine o vértice da parábola de função y =4

1(x + 4) (x – 8)

21. Obtenha o vértice e o conjunto-imagem da função f : R R definida por f(x) = x2 – 6x + 5

22. Determine o conjunto-imagem da função f : R R definida por f(x) = −x2 + 8x – 12.

23. Esboçar o gráfico e obter o conjunto-imagem da função f : [−1; 4] R definida por f(x) = x2 – 2x – 3.

24. Esboce o gráfico da função f : [0; 5] R definida por f(x) = x2 – 4x + 3. Ache omáximo e o mínimo de f.

25. Nas funções polinomiais do 2º grau abaixo, determine os interceptos e construa o seugráfico:

a) f(x) = x2 – 2xb) f(x) = x2 – 4

c) y = – x

2

+ 2x + 3d) y = x2 – 6x + 8

26. Uma indústria produz óculos de sol pelo preço de R$ 20,00 cada. Calcula-se que secada óculos for vendido por p reais, os consumidores comprarão 120 – p unidades.

a) expresse o lucro L(p) da indústria em função do preço de venda;b) esboçar o gráfico;c) calcular o preço para o qual o lucro será máximoResolução:a) O lucro é expresso pelo produto : (preço vendido – custo de fabricação) . (unidades

vendidas) , ou seja:

L(p) = (p – 20) . (120 – p) L(p) = – p2 + 140 p – 2400

b) As raízes ou zeros da função são dadas por – p2 + 140 p – 2400 = 0 ou então, por (p – 20) . (120 – p) = 0

p – 20 = 0 p1 = R$ 20,00 I1 (20 ; 0)ou

120 – p = 0 p2 = R$ 120,00 I2 (120 ; 0)

O vértice é dado por : xV = 22

120 20

p p21

+=

+= 70 xV = R$ 70,00 e

yV = L(xV) = L(70) = (70 – 20) . ( 120 – 70) = 50 . 50 yV = R$ 2500,00que representa o preço máximo de lucro, ou seja, LMÀX = R$ 2.500,00

L(p)

2500

20 70 120 p

c) do gráfico e do cálculo doitem (b) , concluímos queo lucro será máximoquando o preço p for igualao xV , ou seja:

p = R$ 70,00




12

IV. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

1. FUNÇÃO SENO A) Definição: é uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = sen x.

f : IR IR | y = sen xGeometricamente, o valor do seno de x é a medida algébrica do segmento ON

obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP é um arco trigonométrico.

B) Gráfico: O gráfico da função seno é uma curva chamada “senóide”.

Do gráfico, temos:1) sen x = sen (x ± 2π), pois x e (x ± 2π) são arcos de mesma extremidade no

ciclo trigonométrico;2) D(f) = IR e Im(f) = [−1; 1] ou Im(f) = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1};3) a função é crescente no 1º e no 4º quadrantes;4) a função é decrescente no 2º e 3º quadrantes;5) o período (comprimento da senóide) da função seno é 2π;6) a função seno é ímpar, pois sen (−x) = −sen x

2. FUNÇÃO CO-SENO

A) Definição: é uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = cos x.

f : IR IR | y = cos xGeometricamente, o valor do co-seno de x é a medida algébrica do segmento

OM obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP é um arco trigonométrico.

Sinal do Seno :

⊕ ⊕

Θ Θ

Iº QIIº Q

IIIº Q IVº Q

x y

0º = 0 rad 0

30º = π/6 1/2

45º = π/4 2 /2

60º = π/3 3 /2

90º = π/2 1

180º = π 0

270º = 3π/2 −1

360º = 2π 0

1

−1

02

π

π 2

3π

2π 4π 2

π−

−π −

2

3π

−2π ⊕ ⊕

Θ Θ

Sinal do co-seno :

⊕

⊕ Θ

ΘIº QIIº Q

IIIº Q IVº Q

Eixo dos senos

N

O

P

AxSen x

⊡

y = sen x = ON

⊕

Θ

1

y = cos x = OM

Eixo dosco-senos

MO

P

Ax

cos x

⊡

⊕

Θ

1




13

B) Gráfico: O gráfico da função co-seno é uma curva chamada “co-senóide”.

Do gráfico, temos:1) cos x = cos (x ± 2π), pois x e (x ± 2π) são arcos de mesma extremidade no

ciclo trigonométrico;2) D(f) = IR e Im(f) = [−1; 1] ou Im(f) = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1};3) a função é crescente no 3º e no 4º quadrantes;4) a função é decrescente no 1º e 2º quadrantes;5) o período (comprimento da co-senóide) da função co-seno é 2π;6) a função co-seno é par, pois cos (−x) = cos x.

3. FUNÇÃO TANGENTE

A) Definição: é uma função de IR – {2π + n π, n ∈ Z } em IR, tal que a cada x associa

um único y = tg x, ou seja:

f : IR – {2

π + n π, n ∈ Z } IR | y = tg x

Geometricamente, o valor da tangente de x é a medida algébrica do segmento

AT obtido pela projeção ortogonal do segmento OT no eixo das tangentes, em que

AP é um arco trigonométrico, conforme figura:

B) Gráfico: o gráfico da função tangente é uma curva chamada “tangentóide”.

D(f) = { x ∈ IR| x ≠ 2

π + n π, n ∈ Z }, Im(f) = IR e período = π

x y

0º = 0 rad 1

30º = π/6 3 /2

45º = π/4 2 /2

60º = π/3 1/2

90º = π/2 0

180º = π −1

270º = 3π/2 0

360º = 2π 1

x

1

−1

02π

π

2

3π

2π 4π 2π

−

−π

−

2

3π

−2π

⊕ ⊕

Θ Θ

y

Sinal da tangente:

⊕

⊕ Θ

ΘIº QIIº Q

IIIº Q IVº Q

02π

π 2

3π

2π −2π

−π 4π

−2

3π

−2π x

y x y

0º = 0 rad 0

30º = π/6 3 /3

45º = π/4 1

60º = π/3 3

90º = π/2 ∫ 180º = π 0

270º = 3π/2 ∫ 360º = 2π 0

Eixo das tangentes

T

O

P

Ax

tg x

y = tg x = AT

⊕

Θ

1•




14

4. FUNÇÃO COTANGENTE, SECANTE E CO-SECANTE

O estudo das funções Cotangente, Secante e Co-secante pode ser feito a partir das três funções já vistas (seno, co-seno e tangente), pois elas são funções inversas.Assim, podemos escrever:

FUNÇÃO COTANGENTE: f(x) = cotg x =xtg

1, com tg x ≠ 0 e

xcos

xsen xtg =

FUNÇÃO SECANTE: f(x) = sec x =xcos

1 , com cosx ≠ 0

FUNÇÃO CO-SECANTE: f(x) = cossec x =xsen

1, com sen x ≠ 0

NOTA: A relação fundamental da trigonometria é: 1 xcos xsen 22 =+ .Dessa relação, obtemos duas relações auxiliares:

1) xtg 1 xsec 22 +=

2) xcotg 1 xseccos 22 +=

EXERCÍCIOS

1. Esboce os gráficos das funções e determine a sua imagem:

a) y = | sen x| e) y = 2. cos x

b) f(x) = | cos x| f) y = 1 + sen x

c) y = | tg x | , para 2x2

π

<<

π

− g) f(x) = 1 + cos xd) y = 2. sen x h) y = − sen x i) f(x) = − cos x

2. Faça o estudo do sinal das funções:

a) y = sen x, para 0 ≤ x ≤ 2π

b) f(x) = cos x, para 0 ≤ x ≤ 2π

c) y = tg x, para2

x2

π≤≤

π−

3. Qual o ponto de máximo e de mínimo das funções:

a) y = sen x, para 0 ≤ x ≤ π

b) y = cos x , para π ≤ x ≤ 2π

c) y = tg x, para2

x0π

≤≤

d) y = | sen x |, para 0 ≤ x ≤ 2π

e) y = | cos x |, para 0 ≤ x ≤ 2π




15

V. FUNÇÃO EXPONENCIAL

Dado um número real a > 0 e a ≠≠≠≠1, chama-se função exponencial de base a à

função f: IR IR *+ definida por f(x) = ax

• Domínio = IR

• Contradomínio = Conjunto Imagem = IR *+

Em a > 0 e a ≠≠≠≠1, temos: 0 1a

0<a<1 ou a>1

Gráfico: O gráfico da função exponencial é uma curva exponencial do tipo:

A) Crescente se a > 1 B) Decrescente se 0 < a < 1 y y

a1

1a

1 x 1 x

Exemplo 1.

Esboçar o gráfico da função definida em IR por f(x) = 2x

Exemplo 2.

Esboçar o gráfico da função exponencial definida em IR por f(x) =x

2

1

x y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

∙

∙




16

PROPRIEDADES:

P1 : ∀ x ∈ IR, ax > o

P2 : f(0) = a o = 1

f(1) = a 1 = a

Se x1 , x2 ∈ IR e 0 < a ≠ 1 , então:

P3 : 212x1x x x a a =⇔=

P4 :

<<≤

>≥⇒≥

1a0se ,x x

1a se ,x x a a

21

212x1x

NOTA: Um caso particular importante é o número de Euler “ e” = 2, 7182818184..., que é usado no cálculo dos logaritmos naturais ou neperianos (em homenagemao seu criador John Napier 1550 - 1617) cuja base usa a constante de “Néper” que é o número de Euler. Assim, f(x) = ex é a função exponencial natural.

LOGARITMO – Chama-se logaritmo de um número N, numa base a o expoente x que sedeve elevar a base a para se obter o número N, ou seja:

N a xNlog x

a=⇔= , onde N e a são números reais, tais que N > 0 e

0 < a ≠≠≠≠ 1

Exemplos:a) log

28 = 3 , pois, 23 = 8

b) log2/14/1 = 2 , pois,

4

1

2

1 2=

x y=(1/2)x

-3 8

-2 4

-1 20 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8




17

c) log4x = 2 x = 42 x = 16 (x > 0)

d) logx

64 = 3 x3 = 64 x3 = 43 x = 4 (0 < x ≠ 1)

e) log3 (x2 – 1) = 1 x2 – 1 = 31 x2 = 4 x = ± 2

VI. FUNÇÃO LOGARITMODado um número real a, tal que, 0 < a ≠≠≠≠ 1, chama-se função logarítmica de base a

a função f: IR *+ IR definida por f(x) = log

ax

• Domínio = IR *+

• Contradomínio = Imagem = IR

Gráfico: O gráfico da função logarítmica é uma curva logarítmica do tipo:

A) Crescente se a > 1 B) Decrescente se 0 < a < 1 y y

11

1 a x

a 1 x

NOTA: A função logarítmica é inversa da função exponencial.

Exemplo 1.

Esboçar o gráfico da função definida em por IR *+ por f(x) = log

2x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

Exemplo 2.Esboçar o gráfico da função definida em IR *

+ por f(x) = log2/1

x

x y

1/8 -31/4 -21/2 -1

1 02 14 28 3

∙

∙

4 y

3

2

1

0

-1

-2

-3




18

tabela

PROPRIEDADES:

P1 : loga

x1 = loga

x2 x1 = x2 , se 0 < a ≠ 1

P2 : loga

x1 ≤ loga

x2 0 < x1 ≤ x2 , se a > 1

P3 : log a x1 ≤ log a x2 x1 ≥ x2 , se 0 < a < 1

P4 : para a > 1, temos:

≤<⇔≤

≥⇔≥

1x0 0 xlog

1x0 xlog

a

a

P5 : para 0 < a < 1 , temos:

≥⇔≤

≤<⇔≥

1 x0 xlog

1x0 0 xlog

a

a

DERIVADAS (Resumo)

1. TAXA DE VARIAÇÃO

Dada a função f(x) = 2x + 3, quando atribuímos valores para a variável x, obtemosvalores correspondentes para a variável y ou f(x):

x y = 2x + 3 (x ; y)

0 y = f(0) = 2 . 0 + 3 = 3 (0 ; 3)1 y = f(1) = 2 . 1 + 3 = 5 (1 ; 5)2 y = f(2) = 2 . 2 + 3 = 7 (2 ; 7)3 y = f(3) = 2 . 3 + 3 = 9 (3 ; 9)

De acordo com os valores da tabela, notamos que, a medida que x varia de 0 até 3,a variável y varia de 3 até 9, ou seja:

x1 = 0 y1 = 3x2 = 3 y2 = 9

∆x = x2 – x1 = 3 ∆y = y2 – y1 = 6(a variação de x foi de 3 unidades) (a variação de y foi de 6 unidades)

A taxa de variação de uma função em relação a sua variável independente x, dada

no caso por xy

∆

∆ , representa o coeficiente angular da reta ou a sua inclinação, e que é

sempre constante, quando a função dada é linear. Vejamos a tabela para y = 2x + 3:

x y

1/8 31/4 21/2 1

1 02 -14 -28 -3




19

x1 x2 ∆x = x2 – x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) ∆y = y2 – y1

x

y∆

∆

0 1 1 – 0 = 1 3 5 5 – 3 = 2 2 ÷÷÷÷1 = 2 1 3 3 – 1 = 2 5 9 9 – 5 = 4 4 ÷÷÷÷2 = 2 2 5 5 – 2 = 3 7 13 13 – 7 = 6 6 ÷÷÷÷3 = 2 3 6 6 – 3 = 3 9 15 15 – 9 = 6 6 ÷÷÷÷3 = 2

Assim, a taxa de variaçãox

y

∆

∆= 2 , isto significa que o coeficiente angular da reta (m)

é constante e igual a 2, ou seja, m = 2 na reta de equação y = mx + n.

Para uma função do 2º grau, a taxa de variação não será mais uma constante, por exemplo, seja a função f(x) 2x2 – 1

x1 x2 ∆x = x2 – x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) ∆y = y2 – y1

x

y

∆

∆

0 –1 –1 – 0 = –1 –1 1 1 – (–1) = 2 –21 –2 –2 – 1 = –3 1 7 7 – 1 = 6 –2

2 4 4 – 2 = 2 7 31 31 – 7 = 24 12

3 5 5 – 3 = 2 17 49 49 – 17 = 32 16

Veja a situação dos dois gráficos: yy = x2 – 1

y y = 2x + 3

72=(∆y)

5 =(∆y)1=(∆x)

2=(∆y)3 = (∆x)

1=(∆x)

1 2 x x

Taxa de variação constante: Taxa de variação não constante:

x

y∆

∆=

1

2=

1

2= 2

x

y∆

∆=

1

6 ≠

1

2

2. NOÇÃO INTUITIVA DE DERIVADA

Seja a função y = f(x) contínua num intervalo [a ; b], com a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b.Se ∆x = x

2– x

1e ∆y = y

2– y

1= f(x

2) – f(x

1) , então a taxa de variação é dada

por:12

12

12

12

xx

)f(x)f(x

xx

y-y

x

y

−

−=

−=

∆

∆(I)

=(∆y)

=(∆x)




20

x

y

Como ∆x = x2 – x1 x2 = x1 + ∆x

Substituindo em (I) , teremos:x

)f(x x) f(x

xx

)f(x)f(x

x

y 11

12

12

∆

−∆+=

−

−=

∆

∆

y f(x)

reta secante

Qy2

∆y = y2 – y1

Py1

∆x = x2 – x1

x1 x2 = x1 + ∆x x

Sendo ∆x um acréscimo dado em x (positivo ou negativo) e ∆y um acréscimo dado

em y (positivo ou negativo), a taxa de variaçãox

y∆

∆, que é um quociente de acréscimos,

pode ser também positiva ou negativa, significando coeficiente angular ou inclinação

positiva ou negativa . Essa taxa de variaçãox

y∆

∆também é chamada de razão

incremental ou taxa média de variação. Na figura acima, a taxa de variaçãox

y

∆

∆

representa o coeficiente angular da reta secante à curva determinada pelos pontos

P(x1 ; y1) e Q(x2 ; y2). Quando o ponto Q tende a P, isto é, o ponto Q desloca-se sobre acurva até coincidir com o ponto P, a reta secante se aproxima da reta tangente à curva.Isto faz com que ∆x 0 (lê-se: delta x tende a zero).

reta

reta

Como vimos no gráfico, à medida que x2 x1 (x2 tende a x1), ∆x vai tendendo a zero,conseqüentemente , a reta secante vai se aproximando da reta tangente.

Usando a teoria dos limites, podemos escrever:

12

12

ox xx)f(x )f(x lim

−−

→∆=

x)f(x )xf(x lim 11

ox ∆−∆+

→∆=

xy lim

ox ∆∆

→∆que é o coeficiente

angular da reta secante quando Q P, ou seja, Q tende a coincidir com P.

ab




21

A esse limite,x

y lim

ox ∆

∆

→∆, que é o limite de uma taxa instantânea de variação ou

simplesmente, taxa de variação quando ∆x → 0, chamamos de derivada da funçãof(x) no ponto x1∈D(f) e indicamos por f ’(x1), quando o limite existe e é finito.

Portanto: f ’(x1) =x

)f(x )xf(x lim 11

ox ∆

−∆+

→∆

=x

y lim

ox ∆

∆

→∆

NOTA: Se um ponto P(x0 ; y0) pertence a uma função y = f(x), então o coeficienteangular da reta tangente à curva dada pela função será:

m = f ’(x0) =x

y lim

ox ∆

∆

→∆=

x

)f(x )xf(x lim 00

ox ∆

−∆+

→∆

A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por y’ ou f ’(x), tal que, seuvalor em qualquer x do domínio de f é dado por:

y’ = f ’(x) =x

)f(x )xf(xlim

ox ∆

−∆+

→∆, se o limite existir.

NOTA: Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada para todosos pontos do seu domínio.

OBSERVAÇÃO: A derivada de uma função pode ser denotada por:

y’ ou f ’(x) oudx

dyou

dx

df ou Dx(y) ou Df(x)

Exemplos:

1) Calcular a derivada da função f(x) = 3x2

f ’(x) =x

)f(x )xf(xlim

ox ∆

−∆+

→∆=

x

x3 )x3.(xlim

22

ox ∆

−∆+

→∆

f ’(x) =x

3x )xx2xx.(3 lim

222

ox ∆

−∆+∆+

→∆=

x

x3 x3x6x 3x lim

222

ox ∆

−∆+∆+

→∆

f ’(x) =x

x3xx6 lim 2

ox ∆∆+∆

→∆=

xx)36x(.x lim

ox ∆∆+∆

→∆= x36xlim

ox∆+

→∆= 6x + 3.0

Portanto : f’(x) = 6x ou y’ = 6x

2) Calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x) = 3x2 no ponto P( 1 ; 3 )Solução:

Da questão (1) vimos que f ’(x) = 6x e, sabendo que m = f ’(x0) , onde xo é aabscissa de um ponto pertencente à curva dada, concluímos que:

m = f ’(xo) = f ’(1) = 6 .1 m = 6

0

xo yo

nota ão de Leibniz




22

y

reta tangente (y = mx + n)

3 P(1 ; 3)

x

3) Determine a equação da reta tangente à curva f(x) = 3 x2, no ponto P(1; 3)

Solução:A equação da reta tangente pode ser obtida pela fórmula:

y – yo = m . ( x – xo )

Das questões (1) e (2) , temos que: m = 6, xo = 1 e yo = 3

Portanto: y – 3 = 6 . (x – 1) y – 3 = 6x – 6 y = 6x – 3 que é a

equação da reta tangente representada no gráfico acima.

A) A DERIVADA COMO VELOCIDADE

S(t)

S(t + ∆t)

∆S ∆S = S(t+∆t) – S(t) é oS(t) deslocamento

tt (t + ∆t)

∆t

Temos que:t

S(t) t)S(ttS

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++====

∆∆∆∆

∆∆∆∆= vm

Quando ∆t→0 , obtemos a velocidade instantânea, ou velocidade no instante t,que é o limite das velocidades médias, ou seja:

v(t) =dtdS

t

S(t) t)S(tlim

0t====

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++

→→→→∆∆∆∆ou v(t) = (t)S'

dtdS

====

Esse valor é o que se vê no velocímetro de um auto.

B) ACELERAÇÃO – De modo análogo à velocidade, temos:A aceleração média no instante t é dada por:

1




23

am =t

v(t) t) t(v∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++

Quando ∆t→0 , obtemos a aceleração instantânea, ou aceleração no instante t,que é o limite das acelerações médias, ou seja:

a(t) =dtdv

tv(t) t)v(tlim

0t====

∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆++++

→→→→∆∆∆∆ou a(t) = (t)v'

dtdv ====

EXEMPLO 1:No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua

posição no instante t é dada por S(t) = 16t – t2 .Determinar:

a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2 ; 4];b) a velocidade do corpo no instante t = 2;c) a aceleração média no intervalo [0 ; 4];

d) a aceleração no instante t = 4Resolução:

a) Vm =t

S

∆

∆= vel.unid. 10

22848

2)22.16()44.16(

24)2(S)4(S 22

====−−−−

====−−−−−−−−−−−−

====−−−−

−−−−

b) V(t) = S’(t) = 16 – 2tno instante t = 2, temos: v(2) = 16 – 2 . 2 = 12 unid. vel.

c) am =t

V∆

∆= acel.unid. 2

48

4168

4)0.216()4.216(

04)0(v)4(v

−−−−====−−−−

====−−−−

====−−−−−−−−−−−−

====−−−−

−−−−

d) a(t) = V’(t) = S’’(t) = −2

no instante t = 4, temos: a(4) = −2 unid. acel.

2. Calcular a taxa de variação da função f(x) = x2 + 3x – 1, quandox varia de 1 para 3.

xy

∆∆∆∆

∆∆∆∆= 7

214

2317

2)11.31()13.33(

13)1(f )3(f 22

========−−−−

====−−−−++++−−−−−−−−++++

====−−−−

−−−−

3. Dada a função y = x2 + x + 1, determinar a taxa de variação dafunção quando x aumenta de 0 para 1.

xy

∆∆∆∆

∆∆∆∆= 2 1

21

131

)100()111(01

)0(f )1(f 22

========

−−−−

====

++++++++−−−−++++++++

====−−−−

−−−−

4. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setoresde saúde calculam que o número de pessoas atingidas pelamoléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir doprimeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:

3

t 64t)(

3

−=tf .

a) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4 ?;b) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8 ?;c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia ?

Resolução:




24

Para um tempo t qualquer, a taxa é dada por f ’(t) = 64 – t2

a) no tempo t = 4 , temos: f’(4) = 64 – 42 = 64 – 16 = 48 pessoas / dia;

b) no tempo t = 8 , temos: f ’(8) = 64 – 82 = 64 – 64 = 0 a epidemia está

totalmente controlada.

c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia

corresponde à variação de t do 4º para o 5º dia.

O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5º dia foi:

f(5)–f(4) =3

64 256

3

125 320

3

4 4.64

3

5 564

33

+−−=

−−

−. ≅ 43 pessoas

OBSERVAÇÃO:

* A taxa de variação da função horária é chamada de velocidade escalar Vdt

dS= ;

* A taxa de variação da velocidade é chamada de aceleração escalar adt

dv= .

Para facilitar o cálculo das derivadas das funções, evitando o uso da definição, podemosusar as regras de derivação a seguir:

REGRAS DE DERIVAÇÃO:(derivadas de algumas funções elementares)Função Derivaday = k y’ = 0 K = constante real;

y = x y’ = 1 u e v são funções de x;

y = k . x y’ = k n é um número natural.

y = x n y’ = n . x n – 1

y = k . x n y’ = k . n . x n − 1

y = k . u y’ = k . u’

y = u n y’ = n . u n – 1 . u’

y = u ± v y’ = u’ ± v’y = u . v y’ = u’.v + v’. u

y =v

uy’ =

2v

u.v' v'.u −

y = eu y’ = eu . u’

y = ln u y’ = u'u Obtidas a partir daRegra da Cadeia

y = au y’ = au . ln a . u’

y = logau y’ =

u

'u. log

ae ou y’ =

aln.u

'u

y = sen u y’ = u’ . cos u

y = cos u y’ = − u’ . sen uy = tg u y’ = u’ . sec2 uy = cotg u y’ = − u’ . cossec2 u

Exemplos:

I) Calcular pela regra de derivação a derivada das seguintes funções:




25

1) f(x) = 5 f’(x) = D(k) = 0

2) f(x) = 3 . x f’(x) = D(k . x) = k f’(x) = 3

3) f(x) = x3 f’(x) = D(xn) = n . x n – 1 , n = 3

f’(x) = 3 . x 3 – 1 f’(x) = 3 x2

4) f(x) = 3x + 2 f’(x) = D(u + v) = u’ + v’ = 3 + 0 = 35) f(x) = (2x + 3)3 f’(x) = D(un) = n . un – 1 . u’

n = 3u = 2x + 3 u’ = 2 + 0 = 2

f’(x) = 3 . (2x + 3)3 – 1 . 2 f’(x) = 6 . (2x + 3)2

6) y = x3 – 12x + 5 y’ = 3x2 – 12

7) y = x3x2 − y = (x2 – 3x) 2

1

y’ = D(un) = n . un−1 . u’

n = 1/2u = x2 – 3x u’ = 2x – 3

y’ =2

1. (x2 – 3x)

12

1−

. (2x – 3) y’ =2

1. (x2 – 3x) 2

1−

. (2x – 3)

8) y = (2 + 3x).(5 – 2x) y’ = D(u . v) = u’.v + v’. uu = 2 + 3x u’ = 3v = 5 – 2x v’ = −2

y’ = 3 . (5 – 2x) + (−2) . (2 + 3x) = 15 – 6x – 4 – 6x y’ = 11 – 12x

9) y =1x34x2

−+ y’ = D

vu = 2v

u.v' v'.u −

u = 2x + 4 u’ = 2v = 3x – 1 v’ = 3

y’ =2)1x3(

4)(2x.31)(3x.2

−

+−−=

2)1x3(

12x62x6

−

−−−y’ =

2)1x3(

14

−

−

10) f(x) = ln (x3 – 2) f’(x) = D(ln u) =u

'u

u = x3 – 2 u’ = 3x2 y’ =2x

x33

2

−

11) f(x) = e5x –2 f’(x) = D(eu) = eu . u’u = 5x – 2 u’ = 5 y’ = 5. e5x – 2

12) y = 2 x3x2 − y’ = D(au) = au . ln a . u’ a = 2 , u = x2 – 3x u’ = 2x – 3

y’ = 2 x3x2 − . ln 2 . (2x – 3)

13) y = log (2x + 3) y’ = D(log u) =aln.u

'u

u = 2x + 3 u’ = 2 y’ =10ln.)3x2(

2+

14) y = sen 5x y’ = D(sen u) = u’ . cos u




26

u = 5x u’ = 5 y’ = 5 . cos 5x

15) y = cos (2x + 3) y’ = D(cos u) = − u’ . sen uu = 2x + 3 u’ = 2 y’ = − 2 . sen (2x + 3)

16) y = tg (x2 – 4x) y’ = D(tg u) = u’ . sec2 uu = x2 – 4x u’ = 2x – 4 y’ = (2x – 4) . sec2 (x2 – 4x)

II) Dada a função f(x) = x2 + 2x –1 , determine:

1) a variação de y quando x aumenta de 1 para 3

para x1 = 1 , temos: y1 = 12 + 2 . 1 – 1 = 1 + 2 – 1 y1 = 2

para x2 = 3 , temos: y2 = 32 + 2 . 3 – 1 = 9 + 6 – 1 y2 = 14

Temos: quando x varia de 1 para 3, y varia de 2 para 14

2) a taxa de variação x

y

∆

∆

6 2

12

1

2 14

xx

yy

x

y

12

12 ==−

−=

−

−=

∆

∆

3

EXERCÍCIOS

1) Calcular a primeira derivada das seguintes funções:

a) f(x) = – 10 b) f(x) = 4x c) y = 5x2 + 6x - 2

d) f(x) = x e) y = (x2 – 3x).(x + 1)f) y =

3x

2x

+

−

g) y = x 3

1

h) y =

2x

1+

i) y = 3 3x +

j) f(x) = (2x + 3)5 k) y = 4x2 + 2x l) y = x + 4

m) y = 9x3 + 5 x 4

1−

n) y = (7 – x)(7 + x)

o) y =x

3x2 −

p) y = 4x3 + 5x2 +10x – 3 q) y = (2x + 2)2 + (x –1)2 r) y = (2x + 4)0,5

s) y =4x

x2

+

t) y = 3x . )3x( 5 ++ u) y =

3

1

x

x21

+

v) y = 4x23 + x) f(x) = log3

(x2 +5) z) y = ln (x3 – 3x)

2) Se λ é a curva de equação y = x3 – 12x, determine a equação da reta tangente àcurva, no ponto de abscissa 4, ou seja, xo = 4.

3) Determine a taxa de variação da função f(x) = x2 + 1 quando x varia de 1 para 3.

4) O lucro semanal de uma fábrica em função do preço de venda, é dado pela lei

denominada função lucro por: L(p) = 20.(10 – p).(p – 2) . Determinar a taxa de variaçãodo lucro se o preço p variar de R$ 2,00 para R$ 6,00.




27

REGRA DA CADEIA (Derivada da função composta)

Seja y = g(u), u = f(x) e se as derivadasdx

du e

du

dyexistem, então a

função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por:

du

dy

dx

dy

= . dx

du

ou y’(x) = g’(u) . f '

(x)

Exemplo: Determine as derivadasdx

dy:

a) y = (x2 + 3x + 4)5. A função equivale a y = u5 , então:

du

dy= 5.u4 ; sendo u = x2 + 3x + 4, temos

dx

du= 2x + 3 . Logo:

du

dy

dx

dy= .

dx

du= 5. u4 . (2x + 3) = 5.(x2 + 3x + 4)4.(2x + 3)

Obs.: Note que: se y = un , então y’ = n.un− −− − 1.u’

b) y = (2x +1)100 y = un

u = 2x + 1dx

du= 2 e

du

dy= 100.u99

∴∴∴∴ du

dy

dx

dy= .

dx

du= 100.u99.2 = 200.(2x + 1)99

c) y = ln(x2 + 1) y = ln u

u = x2 + 1dxdu = 2x e

dudy =

u1

∴∴∴∴ du

dy

dx

dy= .

dx

du=

u

1 . 2x =

1x

x22 +

dx

dy= y’ =

1x

x22 +

d) y = 5 . 3x2 + y = 5 . (x2 + 3)1/2 y = a.un

y’ =dx

dy= a.n.un−1.u’

a = 5 , n = ½

u = x2 + 3 u’ =dxdu = 2x

dx

dy= y’ = 5 .

2

1 . (x2 + 3)

121 −

. 2x = 5x . (x2 + 3) 21−

=

21

2 )3x(

x5

+

ou

dx

dy= y’ =

3x

x5

2 +




28

DERIVADA IMPLÍCITA

Seja F(x; y) = 0 uma equação nas variáveis x e y. Se existir uma funçãof, tal que para todo x pertencente ao seu domínio [∀x∈D(f)] se tenha F(x; y) =0, dizemos que f é dada implicitamente por essa equação.

Exemplos:

a) A equação 01y21x2 =−+ define implicitamente a função y = 2.(1- x2)

Verificação: substituindo y = 2.(1 – x2) na equação dada, temos:

2

1x2 + . 2 . (1 – x2) – 1 = 0 x2 + 1 – x2 – 1 = 0 0 = 0 (V)

b) A equação x2 + y2 = 4 (que é a equação de uma circunferência de centrona origem e raio igual a 2) define, implicitamente, as funções:

x2 + y2 = 4 y2 = 4 –x2 y = ± 2x4 −

y = 2x4 − ou funções na forma implícita

y = − 2x4 −

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA

Suponhamos que F(x; y) = 0 defina implicitamente uma função derivávely = f(x). Podemos determinar y’, sem explicitar y (sem precisar isolar y),usando a regra da cadeia.

Exemplos: 1) Determinar as derivadas implicitamente:a) x2 + y2 = 4

derivando ambos os membros em relação a x, temos:

dx

d )yx( 22 +=

dx

)4(dou (x2 + y2)’ = (4)’

0dx

dy

dx

dx 22

=+ ou (x2)’ + (y2)’ = 0

2x + 2y . dx

dy= 0 ou 2x + 2y . y’ = 0

isolando-sedx

dyou y’ , temos:

2y . dx

dy= − 2x ou 2y . y’ = − 2x

dx

dy=

y

x

y2

x2−=

−ou y’ =

y

x

y2

x2−=

−

b) x2 +2

1y – 1 = 0

derivando membro a membro, temos:




29

'2 1y

2

1x

−+ = 0’ (x2)’ +

'

y2

1

- (1)’ = 0 2x +

'y

2

1- 0 = 0

y2

1’ = − 2x y’ = −−−− 4x

c) x2 + 5y3 – x = 5

temos: (x2 + 5y3 – x )’ = 5’ 2x + 15y2.y’ – 1 = 0

15y2 . y’ = 1 – 2x y’ =2y15

x21 −

d) x . y – ln y = 2

temos: (x . y – ln y)’ = 2’ 1 . y + y’ . x -y

1. y’ = 0

y’ .

− xy1 = y y’ .

−

yxy1 = y y’ =

xy1y2−

e) x2.y + 3x.y3 – 3 = x

temos: (x2.y + 3x.y3 – 3)’ = x’ (x2.y)’ + 3(x.y3)’ – 3’ = 1

2x.y + x2.y’ + 3.(1.y3 + 3x2.y’) – 0 = 1

2xy + x2y’ + 3y3 + 9x2.y’ = 1 y’ .(x2 + 9xy2) = 1 – 2xy – 3y3

y’ = 22

3

xy9x

y3xy21

+

−−

2) Determinar a equação da reta tangente à curva x2 +2

1y – 1 = 0 no

ponto (−1 ; 0).

Solução:

I) Derivando implicitamente em relação a x, temos:

2x + 2

1y’ = 0 2

1y’ = −2x y’ = − 4x ou f’(x) = − 4x

II) No ponto de abscissa xo = −1 determinamos o coeficiente angular da

reta: m = f’(xo) = f’(−1) = −4.(−1) m = 4

III) Equação da reta: y – yo = m.(x – xo) y – 0 = 4 . [x – (-1)]

y = 4 . (x + 1) y = 4x + 4

EXERCÍCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE CÁLCULO – HAMILTON

LUIZ GUIDORIZZI, indicados no cronograma do programa.

Página 148:




30

Exercícios 7.3

2. Calcule g’(x) sendo g dada por:

a) g(x) = x6 b) g(x) = x100 c) g(x) =x

1d) g(x) = x2

e) g(x) =3

1

xf) g(x) =

7

1

xg) g(x) = x h) g(x) = x−3

Página 159:Exercícios 7.7

1. Calcule f ’(x).a) f(x) = 3x2 + 5x b) f(x) = x3 + x2 + 1 c) f(x) = 3x3 – 2x2 + 4

d) f(x) = 3x + x e) f(x) = 5 + 3x−2 f) f(x) = 2 3 x

g) f(x) = 3x +x

1h) f(x) =

x

4+

2

5

xi) f(x) =

3

2x3 +

4

1x2

j) f(x) = 3 x + x l) f(x) = 2x +x1 +

21x

m) f(x) = 6x3 + 3 x

n) f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde a, b, c e k são constantes.

7. Calcule F’(x) onde F(x) é igual a:

a)12 +x

xb)

1

12

+

−

x

xc)

35

33 2

−

+

x

xd)

1+x

x

Página 160: Exercícios 7.7

9. Calcule f ’(x) onde f(x) é igual a:

a) 3x2 + 5cos x b)1

cos2 +x

xc) x . sen x d) x2. tgx

12. Calcule f ’(x).a) f(x) = x2. ex b) f(x) = 3x + 5 ln x c) f(x) = ex . cos x

e) f(x) = x2. ln x + 2ex i) f(x) =x

xln

Página 179: Exercícios 7.11

1.Determine a derivada.a) y = sen 4x b) y = cos 5x c) f(x) = e3x d) f(x) = cos 8x

e) y = sen t3 f) g(t) = ln (2t + 1) g) y = esen t h) f(x) = cos ex

i) y = (sen x + cos x)3 j) y = 13 +x

Página 180: Exercícios 7.11 (regra da cadeia - funções compostas)

4.Derive.a) y = x e3x b) y = ex cos 2x c) y = e−x sen x

d) y = e−2t sen 3t e) f(x) = e 2x− + ln (2x + 1) g) y =xsenx

25cos




31

NOÇÕES DE INTEGRAÇÃO

I) INTEGRAL INDEFINIDA

A integral é a operação inversa da derivada, ou seja, conhecida a derivada de umafunção, a integração ou antiderivação desta gera a função que originou a derivada.

Exemplo: a derivada da função f(x) = x3 + C é a função f’(x) = 3x2 , então a integral

ou integração da função f’(x) = 3x2

é a função f(x) = x3

+ C , onde C = constante real.Simbolicamente podemos escrever:23x

dx

dy= , cuja diferencial é representada por dy = 3x2 . dx

∫ ∫ = dx.3xdy 2 y = x3 + C ou f(x) = x3 + C

∫ símbolo da operação integração (lê-se: integral)

Definições:

I. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo dado,se para todo valor de x pertencente ao intervalo dado, tem-se F’(x) = f(x);

II. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C , onde C é uma constante échamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:

∫ )x(f dx = F(x) + C (notação de Leibniz)

III. Da definição de integral indefinida, decorre que:

∫ )x(f dx = F(x) + C F’(x) = f(x)

f(x) é a função integrando;F(x) é uma integral;F(x) + C é a integral indefinida;C é uma constante de integração

Obs.: O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamadoIntegração.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA

I. ∫ )x(f .k dx = k ∫ )x(f dx , k = constante real

II. ∫ ± .dxg(x)])x(f [ = ∫ )x(f dx ± ∫ )x(g dx

III. [ ]∫ dx.)x(f dx

d = f(x) , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria

função.

REGRAS DE INTEGRAÇÃO:Considerando: C ∈ IR, K ∈ IR, u = f(x) , v = g(x) e n ≠ −1, temos as seguintes

integrais (elementares) imediatas:




32

1. ∫ dx = x + C 2. ∫ dxk = k ∫ dx = k . x + C

3. ∫ dxxn =1n

x 1n

+

+

+ C 4. ∫ − dxx 1 = ∫ dx x

1= ln |x| + C

5. ∫ dxax =aln

ax

+ C , 0 < a ≠ 1 6. ∫ dxex = xe + C

7. ∫ ∫ ∫ ±=± dv du dv) du(

Exemplo 1:

Calcular as integrais indefinidas:

a) ∫ dx5 = 5 ∫ dx = 5 x + C , C∈IR

b)

∫ ∫ +−=+

+

−=−=−+

C

2

x C

11

x dxxdxx

211

, C∈IR

c) dx5 dxx3 dx5 dx3xdx5)x3(∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =+=+=+

C 5xx2

3 C x5

11

x . 3 2

11

++=+++

=+

d) ∫ ∫ ∫ ∫ =−+=−+ dxx2 dxx dxx dx2x)xx( 3232

= C 11

x 2

13

x

12

x 111312

++

−+

++

+++

=

= C x 4x

3x 243 +−+ , C∈IR

e) ∫ ∫ ∫ ∫ +−=−=−=−+ C x3

x dx dxx dx1)(x dx1)(x.1)x(

322 , C∈IR

f) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =++=++=+ dx9 dxx6 dxx dx9)x6 (x dx3)x( 242422

= C 9xx2 5

x C 9x

3

x 6

5

x 3535

+++=+++ , C∈IR

g) C

x

1 C

1

x C

12

x dxx dx

x

1 1122

2

+−=+

−

=+

+−

==−+−

−

∫ ∫ , C∈IR

h) C |x|ln dx x

1 dx x 1 +== ∫ ∫ − , C∈IR

i) C x 3

2 C x

3

2 C

x C

1

x dxx dxx 32

3

23

2

3

21

1 2

1

2

1

+=+=+=++

==

+

∫ ∫ , C∈IR

j) ∫ ∫ ∫ ++=+=+ C 2ln

2 e2 dx2 dxe2 dx)2e2(

xxxxxx , C∈IR

EXERCÍCIOS

Calcular as integrais indefinidas:




33

a) ∫ dxx b) ∫ dxx5 c) ∫ dxx6 2

d) ∫ dxx 2/1 e) ∫ dxx.3

4 3 f) ∫ − dxx 3/1

g)

∫ − dtt 2 h)

∫ dxx.2

3 2 i)

∫ dt.t3

j) ∫ + dx)3x2( k) ∫ + dx .x1 l) ∫ dxx3 2

m) ∫ ++ dx.4)3xx1,0( 2 n) ∫ − dx.9) x( 2 o) ∫ +− dx5).4xx3( 2

p) ∫ − dx.1)(xx2 q) ∫ + dt.3)(2t 2 r) ∫ −+ dx).1x2).(3x(

s) ∫ 3t

dtt) ∫

+ 1x

dxu) ∫

+

dx.

3x

1

Respostas:

a) C x.2

1 2 + b) C x.2

5 2 + c) C 2x3 +

d) C x.

3

2 23

+ e) C x 34

+ f) C x.

2

3 2/3 +

g) C t

1+− h) C x.

5

6 35

+ i) C t.3.3

2 3/2 +

j) C3xx2 ++ k) C x).(13

2 3/2 ++ l) C x3 +

m) C 4xx.2

3 x.

30

1 23 +++ n) C 9xx.3

1 3 +− o) C 5x2xx 23 ++−

p) C x.3

1

x.4

1 34 +−q) C 9t6tt.3

4 23 +++r) C 3xx.2

5

x.3

2 23 +−+

s) C t2

1

2+− t) C 1)2(x 1/2 ++ u) Ln |x + 3| + C

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO

Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x). Se g(x) é uma função deriváveltal que Im(g) ⊂ D(F), podemos considerar a função composta F[g(x)].

Pela regra da cadeia, temos:

F[g(x)]’ = F’[g(x)] . g’(x) = f[g(x)] . g’(x), isto é, F[g(x)] é uma primitiva de f[g(x)].g’(x).Então, podemos escrever:




34

∫ ])([ xgf . g’(x) dx = F[g(x)] + C

Fazendo u = g(x), du = g’(x) dx, temos:

∫ ])([ xgf . g’(x) dx = ∫ du)(uf = F(u) + C

Exemplos: Calcular as integrais por substituição:

a)

∫ + 2)3(x dx

Fazendo u = x + 3 du = dx, então, ∫ + 2)3(x dx = ∫ u n du =1

1

+

+

n

un

+ C

∫ + 2)3(x dx =3

)3( 3+x+ C

b) ∫ + 2)32( x dx

Fazendo u =2x + 3 du = 2dx, então, ∫ + 2)32( x dx =2

1∫ u n du =

2

1.

1

1

+

+

n

un

+ C

∫ + 2)32( x dx = 21 . 3 )32(

3

+x + C = 6 )32(

3

+x + C

c) ∫ −15x dx = ∫ − 21

)15( x dx

Fazendo u = 5x – 1 du = 5 dx

Então: ∫ − 21

)15( x dx =5

1. ∫ − 2

1)15( x .5dx =

5

1∫ u n du =

5

1.

1

1

+

+

n

un

+ C

∫ −15x dx =5

1.

1

)15(

2

1

121

+

−+

x+ C =

5

1.

2

3

23

)15( −x+ C =

15

2. 3)15( −x + C

d) ∫ 29t . 3 3 10+t dt = ∫ + 31

)10( 3t . 29t dt

Fazendo u = t3 + 10 du = 3t2 dt

Então: ∫ + 31

)10( 3t . 29t dt = 3 .∫ + 31

)10( 3t . 23t dt = 3 .∫ u n du = 3 . 1

1

+

+

n

un

+ C

∫ 29t . 3 3 10+t dt = 3 . 1

)10(

31

13 31

+

++

t+ C = 3 .

34

3 34

)10( +t+ C =

4

9. 3

4)10( 3 +t + C

e) ∫ + 21

2

x

xdx

Fazendo u = 1 + x2 du = 2x dx

Então: ∫ + 21

2

x

xdx = ∫ u

du= ln |u| + C = ln |1 + x2| + C

f) ∫ + 22 )1(

dx 3

x

x= 3 .∫ −+ 22 )1(x . x dx

Fazendo u = x2 + 1 du = 2x dx

Então: 3 .∫ −+ 22 )1(x . x dx =

23 . ∫

−+ 22 )1(x . 2x dx =23 . ∫ u

n du =23 .

11

++

nun + C




35

∫ + 22 )1(

dx 3

x

x=

2

3.

12

)1( 122

+−

+ +−x+ C =

2

3.

1

)1( 12

−

+ −x+ C =

)1.(2

32 +

−x

+ C

g) ∫ −3 2x8

dx 4x= 4 . ∫

− 31

)(8

dx 2x

x= 4 . ∫

−− 3

1)8( 2x . x dx

Fazendo u = 8 – x2 du = − 2x dx

Então: 4.∫ −

− 31

)8( 2x . x dx =2

4−

. ∫ −

− 31

)8( 2x .(−2)x dx = −2. ∫ u n du = −2 . 1

1

+

+

n

un+ C

∫ −3 2x8

dx 4x= −2 .

1

)8(

31

12 31

+−

−+−

x + C = −2 .

32

2 32

)8( x−+ C = − 3 . (8 – x2) 3

2

+ C

h) ∫ )5cos( x dx

Fazendo u = 5x du = 5 dx

Então: ∫ )5cos( x dx =5

1 . ∫ )5cos( x . 5 dx =

5

1. ∫ ucos du =

5

1. senu + C

∫ )5cos( x dx =51 . sen(5x) + C

i) ∫ − )13( xsen dx

Fazendo u = 3x – 1 du = 3 dx

Então: ∫ − )13( xsen dx =3

1. ∫ − )13( xsen . 3 dx =

3

1 . ∫ usen du =

3

1. (−cos u) + C

∫ − )13( xsen dx = − 3

1 . cos (3x – 1) + C

j) ∫ xsen2 . cos x dx

Fazendo u = sen x du = cos x dx

Então: ∫ xsen2 . cos x dx = ∫ u n du =1

1

+

+

n

un

+ C =12

x)( 12

+

+sen+ C =

3

3xsen+ C

MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis num intervalo. A derivada do produto

[f(x) . g(x)]’ = f(x) . g’(x) + g(x) . f ’(x) f(x) . g’(x) = [f(x) . g(x)]’ – g(x) . f ’(x) .

Integrando membro a membro, temos:

∫ )(xf . g’(x) dx = ∫ )([ xf . g(x)]’ dx − ∫ )(xg . f ’(x) dx

Fazendo

=

=

)(

)(

xgv

xf utemos:

∫ u . dv = u . v − ∫ v du

Exemplos: Calcular as integrais por partes:

du = f ’(x) dx

dv = g’(x) dx




36

Fazendo

a) ∫ x . eX dx

u = x du = dxdv = ex dx v = ex

Temos: ∫ x . eX dx = x . ex − ∫ xe dx = x . ex – ex + C = ex . (x – 1) + C

b) ∫ xln dx

Fazendo u = ln x du =x

1dx e dv = dx v = x

Temos:∫ xln dx = u . v − ∫ vdu = ln x . x − ∫ x . x

1dx = x . ln x − ∫ dx = x . ln x – x + C

c) ∫ x . sen x dx

Fazendo: u = x du = dx e dv = sen x dx v = − cos x

Então:

∫ x . sen x dx = u . v −

∫ vdu = x . (−cos x) −

∫ − )cos( x dx = − x cosx +

∫ xcos dx

∫ x . sen x dx = − x cosx + senx + C

d) ∫ x . cos x dx

Fazendo: u = x du = dx e dv = cos x dx v = sen x

Então:∫ x . cos x dx = u . v − ∫ vdu = x . sen x − ∫ sen x dx = x sen x −(−cos x) + C

∫ x . cos x dx = x sen x + cos x + C

e) ∫ x . sen(3x) dx

Fazendo: u = x du = dx e

dv = sen(3x) dx v =3

1. ∫ )3( xsen . 3dx = −

3

1. cos (3x)

Temos: ∫ x . sen(3x) dx = u . v − ∫ vdu = x .

− )3cos(.

3

1x − ∫ − )3cos(.

3

1x dx =

= −3

1x . cos (3x) +

3

1. ∫ )3(cos x dx =

= − 3

1

x . cos (3x) + 3

1

. 3

1

.∫ )3(cos x . 3dx =

= −3

1x . cos (3x) +

9

1. sen (3x) + C

f) ∫ x . x+1 dx = ∫ x . 21

)1( x+ dx

Fazendo: u = x du = dx e

dv = (1 + x) 21

dx v =∫ + 21

)1( x dx =1

)1(

21

121

+

++

x=

3

2. (1 + x) 2

3

Temos: ∫ x .2

1

)1( x+ dx = u . v − ∫ vdu = x . 3

2

. (1 + x)2

3

− ∫ +2

3

)1.(3

2x dx=

= x . 3

2. (1 + x) 2

3 −

3

2. ∫ + 2

3)1( x dx =




37

= x . 3

2. (1 + x) 2

3 −

3

2.

1

)1(

23

123

+

++

x + C =

= x . 3

2. (1 + x) 2

3 −

3

2.

5

2. (1 + x) 2

5+ C =

=3

2x. (1 + x) 2

3 −

15

4. (1 + x) 2

5+ C

TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS:

1) ∫ du = u + C 2) ∫ u

du= ln |u| + C 3) ∫ ue du = ue + C

4) ∫ nu du =1

1

+

+

n

un

+ C (n é constante ≠ −1) 5)∫ ua du =aln

ua+ C

6) ∫ usen du = − cos u + C 7)∫ ucos du = sen u + C

8) ∫ u2

sec du = tg u + C 9)∫ uec2

cos du = −cotg u + C

10)∫ usec . tg u du = sec u + C 11)∫ ucosec . cotg u du = −cosec u + C

II) INTEGRAIS DEFINIDAS

No desenvolvimento do cálculo integral uma das suas aplicações é o cálculo dasáreas de figuras de formas variadas, que é uma forma de se apresentar a integraldefinida.

Seja y = f(x) uma função contínua num intervalo real [a ; b]. A integral definida de

f(x), de a até b , é um número real, simbolizado por:

∫ b

adxxf )( , onde:

• a é o limite inferior de integração;• b é o limite superior de integração;• f(x) é o integrando

Geometricamente, a integral definida corresponde a área destacada na figura:

yf(x)

A

a b xA área limitada pela curva contínua positiva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a

e x = b é obtida dividindo-se a base [a ; b] em n subintervalos: a = x1 , x2 , x3 , ..... , xn ,xn+1 = b e os comprimentos dos n subintervalos por ∆xi = xi + 1 – xi , i = 1 ; 2 ; ... ; n. Apartir daí, a área destacada (figura acima) será a soma das áreas dos retângulos obtidos

nesses subintervalos.




38

y f(ci) f(x)

ci

a=x1 xi xi + 1 xn+1= b x∆xi = xi+1 – xi

A medida que cada retângulo é construído com a menor base possível, a basesuperior do mesmo se confundi com a curva da função, ou seja, se aproxima de uma reta.Isto significa que quando n → ∞ , ∆xi 0→ e a área total da curva, no intervalo [a ; b] seráo limite das somas das áreas de todos os retângulos possíveis de serem inscritos namesma, ou seja:

A = ∫ ∑ =∆

=

∞→

b

a

n

1i

iin

dxf(x) x.f(c )lim

OBS: Esse somatório é chamada soma de Riemann (Geog Friedrich BernhardRiemann , 1826 – 1866) da função f(x).

Para facilitar o cálculo da integral definida de uma maneira rápida e simples,considere a área das figuras abaixo quando deslocamos a extremidade direita:

y y y

f(x) f(x) f(x)

A(x) A(b) A(x+∆∆∆∆x) – A(x) x x x

a x a b a x x+∆x

∫ x

adxxf )( ∫

b

adxxf )( ∫

∆+ xx

xdxxf )(

Temos: A’(x) =x

A(x) x)A(xlim

dx

dA

0x ∆

−∆+=

→∆, então A(x) é uma das

antiderivadas de f(x). Se F(x) é a antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C.

Fazendo x = a , teremos:

A(a) = F(a) + C. Por outro lado, A(a) = ∫ a

adxxf )( = 0

Logo : F(a) + C = 0 C = – F(a)

Então: A(x) = F(x) – F(a)

Portanto: ∫ b

adxxf )( = A(b) = F(b) – F(a)

ou ainda: ∫ b

adxxf )( = F(x)

b

a= [ ]baxF )( = F(b) – F(a)




39

Casos particulares:

1. Se f(x) ≥ 0 , ∫ b

adxxf )( representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

a ≤ x ≤ b yf(x)

A

a b x

2. Se f(x) ≥ g(x), ∫ −b

adxxgxf )]()([ representa a área entre as curvas, para

a ≤ x ≤ by

f(x)

A

g(x)

a b x3. Se f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ 0 para c ≤ x ≤ b , então a área entre f(x) e o

eixo x, para a ≤ x ≤ b é dada por:

yf(x)

ba c x

4. Se f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ g(x), c ≤ x ≤ b , então a área entre f(x) e g(x),para a ≤ x ≤ b é dada por:

yg(x)

A = ∫ −ca

dxxgxf )]()([ + ∫ −bc

dxxf xg )]()([

f(x)

a c b x

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

I. ∫ ∫ =b

a

b

adxf(x)k dxf(x).k , k = constante real

A = ∫ b

a dxxf )(

A = ∫ −b

adxxgxf )]()([

A = ∫ c

adxxf )( + ∫ −

b

cdxxf )]([

A




40

II. 0 dxf(x)a

a=∫ , pois ==∫ F(x) dxf(x)

a

a

a

a F(a) − F(a) = 0

III. ∫ ∫ −=a

b

b

adxf(x) dxf(x) , pois F(b) F(a) dxf(x)

a

b−=∫

IV. ∫ ∫ ∫ +=b

c

c

a

b

a

dxf(x) dxf(x) dxf(x) , a ≤ c ≤ b

Exemplos:1. Calcular as integrais definidas:

a)3

1 0

3

1

3

0

3

1

3

x dx.x

331

0

31

0

2 =−=−==∫

b)6

63

6

1

6

64

6

1

6

2

6

x dx.x

662

1

62

1

5 =−=−==∫

c) 0 2 2

2

2 x

4

x4 dx.x4 444

42

2

3 =−===

∫

d) 1.43

1 3.4

3

2

1

2 4x

3

x dx4).x(

3332

1

2 =

+−

+=+=+∫

=3

31 8

3

7 4

3

1 12

3

8=+=−−+

2. Calcular a área limitada pela curva y = 2x – x2 e o eixo xSolução:

Os pontos interceptos da curva com o eixo x são obtidos fazendo y = 0.Logo: 2x – x2 = 0 x . (2 – x) = 0 x = 0 ou x = 2

y

f(x)

A

0 2 x

A =

−−

−=−=−=−

∫ 3

0 0

3

2 2

0

2

3

x x

3

x

2

2x dx.x(2x

32

32

32

322

0

2 ) =

= 0 3

8 4 −− A =

3

4u.a. (unidades de área)

3. Determine a área da curva f(x) = x3 no intervalo [0 ; 4]y f(x) = x3

A

0 4 x

A = ∫ 4

0

3 dxx . =4

0

4

4

0

4

44

4x4

−= = 04

256−

A = 64 – 0 A = 64 u. a.




41

4. Calcular a área limitada pelas curvas : y = x2 e y = 3x

Solução: Os pontos de intersecção entre as curvas dadas são obtidos resolvendo-

se o sistema de equações formado pelas curvas:

=

=

x3y

xy 2x2 = 3x x2 – 3x = 0 x . (x – 3) = 0

=

=

3x

0x

Como não usaremos os valores de y, os mesmos não serão por nós obtidos.

y y = x2 y = 3x

A

0 3 x

EXERCÍCIOS1. Calcular as intergrais definidas:

a) ∫ 2

1

4 dxx , Resp.: 6,2 b) ∫ 1

1-dxx , Resp.: 0

c)

∫

2

2

3 dxx4 , Resp.: 0 d)

∫ ++

1

0

2 dx3)2xx( , Resp.: 13/3

e) ∫ +1

0dt t1 , Resp.: ( )122

3

2− f) ∫ −−

1

2-

2 dx)xx2( , Resp.: 4,5

g) ∫ 1

0

x2 dxe , Resp.: ( )1e2

1 2 − h) ∫ +

3

0dx.

3x

1 , Resp.: ln 2

2. Calcular a área limitada pela curva y = 2x + 3 , o eixo x e as retas x = 3 e x = 4Resp.: 10 u.a.

3. Determinar a área limitada pela curva y =2x + 1 e o eixo x, no intervalo [0 ; 5].

Resp.: 11,25 u.a.

4. Achar a área limitada pela parábola y =2

x 2e o eixo x, no intervalo [0 ; 2].

Resp.: 4/3 u.a.

5. Determine a área limitada pela parábola cúbica y = 3x e o eixo x , no intervalo [0 ;4].Resp.: 64 u.a.

6. Calcular a área limitada pela curva y = x2 + 4 e a reta y = 5 Resp.: 4/3 u.a.

7. Determinar a área limitada pela curva y = x e o eixo x, no intervalo [0 ; 9]Resp.: 18 u.a.

A =0

3

3

x

2

3x dxx-(3x

323

0

2 −=∫ ).

A =

−−

−

3

0

2

0.3

3

3

2

3.3 3232

A = 9 2

27 0

3

27

2

27−=−−

∴∴∴∴

A = 2

9

u. a.




42

8. Calcular a área limitada por:a) y = 2x – x2 e o eixo x, acima do eixo x; Resp.: 4/3 u.a. b) y = x2 e y = 2 – x Resp.: 4,5 u.a. c) y = x2 e y = 8 – x2 Resp.: 64/3 u.a.

9. Calcule a área da região indicada na figura:

y y = ex

1 Resp.: (e2 – 1) u.a.

0 2 x

EXERCÍCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE CÁLCULO – HAMILTONLUIZ GUIDORIZZI, indicados no cronograma do programa.

Página 296: (Integral) - Exercícios 10.2 1. Calcule.

a) ∫ xdx b) ∫ 3 dx c) ∫ + )13( x dx

d) ∫ ++ )1( 2 xx dx e) ∫ 3x dx f) ∫ ++ )32( 3 xx dx

g)

∫ 2

1

x

dx h)

∫

+

3

1

x

x dx i)

∫ x dx

j) ∫ 3 x dx l) ∫

+

xx

1 dx m) )2( 4∫ + x dx

n) ∫ + )( bax dx, a e b constantes o) ∫

++

32 1

3x

xx dx

p) ∫

+

2

1

xx dx q) ∫

+

2

32

xxdx r) ∫

+ 335 2x dx

s) ∫

−

43 1

2

x

x dx t) ∫ +

x

x 12

dx

Página 351: (Integral) − Exercícios 12.2 (métodos de integração – Substituição)1. Calcule.

a) ∫ − 3)23( x dx b) ∫ − 23x dx c)∫ − 23

1

xdx

d) ∫ − 2)23(

1

xdx e) ∫ 2 xsenx dx f) ∫

2xex dx

g) ∫ 3x2 ex dx h) ∫ xsen5 dx i) ∫ 43 xcosx dx

j)

∫ x6cos dx l)

∫ xsen cos3 x dx m)

∫ xcos 5xsen dx

n) ∫ + 3

2

xdx o) ∫ + 34

5

xdx p) ∫ + 24 1 x

x dx




43

q) ∫ + 26 5

3

x

x dx r) ∫ + 22 )4 1( x

x dx s) ∫ + 23x1x dx

t) ∫ + xe1xe dx u) ∫ − 3)1(

1

xdx v) ∫ xcos

x2

sen dx x) ∫ − 2e xx dx

Página 360: (Integral) − Exercícios 13.3 (métodos de integração – Partes)1. Calcule.

a) ∫ xex dx b) ∫ xsenx dx c) ∫

x2 ex dx

d) ∫ xln.x dx e) ∫ xln dx f) ∫ xln.2x dx

g) ∫ xx 2sec dx h) ∫ 2x)(ln.x dx i) ∫ 2x)(ln dx

j) ∫ 2xex dx l) ∫ xcosxe dx m) ∫ − xsen2xe dx

n) ∫ 2x3 ex dx o) ∫ 23 xcosx dx p) ∫ − 2xcosxe dx

q) ∫ xsen2

x dx

Página 311: (Integral - soma de Geog Friedrich Bernhard Riemann , 1826 – 1866)Exemplo1. Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0,x = 1, y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x 2 .Solução:

Página 313:Exemplo 3.a) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x 3, pelo eixo x e

pelas retas x =− 1 e x = 1.Solução:

x = −1 x = 1

b) Calcule41

41

4x

1

1

41

1

3 −=

=

−−∫ dxx = 0 = Área A2 – Área A1

Área A =

3

1

3

0

3

1

3

x dx

331

0

31

0

2 =−=

=∫ x u.a.

Área A = área A1 + área A2

Área A1 = − 4

1 1

0

4

x 1

43

=−−=∫ −o

dxx

Área A2 =4

1

0

1

4

x

1

43 ==∫ o dxx

Portanto:

Área =2

1

4

1

4

1=+ = 0,5 u.a.

y = x2

0 1

y

x

−1

y = x

0 1

y

xA1

A2




44

Página 314:Exemplo 4. Calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1,y = 2 e pelo gráfico de y = x 2 .Solução:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcular:a)

6

1

6

64

6

1

6

2

1

2

6

x

6662

1

5 =−=−==∫ dxx663

b) ∫ −1

1 3

1

dxx = 1)(.4

31.

4

3

1

1 x

4

3

1

1 x

1

1

13 43 43 4

34

31

134

31

−−

=

−=

−=

−+

+x

=

=43

43

1.43

1.43

=−=

−

0

c) ( ) 11)1()1()](cos[cos cosxdx =−=−+−−=π−−−π−=π−π−=∫

π

π−senx 0

d) 00 0sen sen 0

xsen dxcos 0

=−=−π=π

=∫ π

x 0

2. Achar a área entre as curvas, em cada caso:

a) y = x e y = x 2

Pontos interceptos: x 2 = x x 2 – x = 0 x(x – 1) = 0 x = 0 ou x = 1Gráfico:

y = x 2 y = x A = ∫ −1

0

2 ][ dxxx

A =0

1

3

x

2

32

−x

A =

−−

−

3

0

2

0

3

1

2

1 3232

A =61

31

21

=− u.a.

y = 2

y = x

0 1

y

x

2

x = 0 x = 1

Área A =1

0

31

0

2

3

x 2x)2(

−=−

∫ dxx =

3

5

3

1 2

3

00.2

3

11.2

33

=−=

−−

−

Portanto: Área A =3

5u.a.




45

b) y = x e y = x 3 Pontos interceptos: x 3 = x x 3 – x = 0 x(x 2 – 1) = 0

x = 0 ou x 2 = 1 x = 0 ou x = ± 1Gráfico:

A1 = A2 AT =2.A1

y = x y = x 3

A1 = ∫ −

1

0

3

][ dxxx A1

A2

Portanto: AT = 2 . A1 = 2 . 41 AT =

21 u.a.

OBS.: Se considerar A = ∫ − −1

1

3 ][ dxxx , obtém-se A = 0 (verifique.)

c) y = x 2 e y = x 3 Pontos interceptos: x 3 = x 2 x 3 – x 2 = 0 x 2 (x – 1) = 0

x 2 = 0 ou x – 1 = 0 x = 0 ou x = 1

Gráfico:

y= x 2

y= x 3

A =4

1

3

1 0

4

1

3

1

0

1

4

x

3

x dx]xx[

431

0

4332 −=−

−=−=−∫ A =

121

u.a.

3. Achar a área entre a curva y = (x – 1).(x – 2).(x – 3) e o eixo dos x.(esboçar o gráfico)

A curva intercepta o eixo x em y = 0 , logo:

(x – 1).(x – 2).(x – 3) = 0 x = 1 ou x = 2 ou x = 3(que são as abscissas dos pontos onde a curva “corta” o eixo x)Gráfico:

A1 =0

1

42

42 xx−

A1 = 0 4

1

2

1 42

−

−

A1 =4

1

4

1

2

1=− u.a.




46

y = (x-1)(x-2)(x-3)

y = (x 2–3x+2)(x-3)

y = x 3 – 6x 2 + 11x – 6

A1 AT = A1 + A2 A2

y = (x – 1).(x – 2).(x – 3)

AT

=

∫ ∫ −+

3

2

2

1 )]([ )( dxxf dxxf

I) A1 =1

26

211

36

4

x )6116(x

2342

1

23 xxx

dxxx −+−=−+−∫ =1

26

2112

4

x 23

4

xx

x −+−

A1= ( )

−+−−−+−=

−+−−

−+− 6

2

112

4

112221641.6

2

1.111.2

4

12.6

2

2.112.2

4

2 23

423

4

A1 = − 2 – (4 +

4

23 ) = − 2 + 8 −

4

23= 6 –

4

23=

4

1u.a.

II) A2 =2

36

211

36

4

x )6116(x

2343

2

23 xxx

dxxx +−+−=−+−−∫ =

=2

36

2112

4

x 23

4

xx

x +−+−

A2 =

+−+− 3.6

2

3.113.2

4

3 23

4

−

+−+− 2.6

2

2.112.2

4

2 23

4

A2 = ( )1222164182

99544

81+−+−−

+−+−

A2 = 72 − 4

279 − ( 2) = 70

4

279− A2 =

41

u.a.

III) AT = A1 + A2 =4

1+

4

1=

4

2 AT =

2

1u.a.

4. Achar a área entre a curva y = (x + 1).(x – 1).(x + 2) e o eixo dos x.(esboçar o gráfico)

A curva intercepta o eixo x em y = 0 , logo:

(x + 1).(x – 1).(x + 2) = 0 x =− 1 ou x = 1 ou x =− 2 (que são asabscissas dos pontos onde a curva “corta” o eixo x)

OBS.: Se considerar aIntegral da função nointervalo 1 ≤ x ≤ 3 ,obtemos área igual a

zero. Faça a Verificação.




47

Gráfico:

y=(x+1)(x-1)(x+2)

y = (x 2 –1)(x+2)

A1 y = x 3 – x + 2x 2 – 2

A2 A1 ≠ ≠≠ ≠ A2 , então:

AT = A1 + A2

y=(x+1)(x-1)(x+2)

AT =

∫ ∫ −

−

−

−+1

1

1

2

)]([ )( dxxf dxxf

I) A1 = )( 1

2∫ −

−dxxf = ∫

−

− −

−−+−=−+−

1

2

32423

2

12

3.2

24

x dx)22( x

xxxxx

A1 = −

−−

−+

−−

−)1.(2

3

)1(.2

2

)1(

4

)1( 324

−−

−+

−−

−)2.(2

3

)2(.2

2

)2(

4

)2( 324

A1 = −

+−− 2

3

2

2

1

4

1

+

−+− 4

3

8.2

2

4

4

16= −

+−−

12

24863

+−− 4

3

1624

A1 =

−−

3

166

12

13=

12

5

12

813

3

2

12

13=

−=− u.a.

II) A2 = ∫ − −1

1 )]([ dxxf = ∫ − −

+−+−=−+−−1

1

32423

1

1 2

3

.22

4x

dx)22( xxx

xxx

A2 = −

+−+− 1.2

31

.221

41 324

−+

−−

−+

−− )1.(2

3)1(

.22)1(

4)1( 324

A2 = −

+−+− 2

32

21

41

−++− 2

32

21

41

= −

+−+−

1224863

−++−

1224863

A2 =

−−

1213

1219

=1213

1219

+ =1232

=1232

u.a.

III) AT = A1 + A2 =1232

125

+ AT =1237

u.a.




48

5. Achar a área entre as curvas y = senx, y = cosx, o eixo y e o primeiro ponto onde essas curvas se interceptam para x positivo (x>0).

Solução:senx = cosx x = π /4, com x ∈ 1º quadrante.

Gráfico:

A y = senx

π /4

y = cosx

A =

∫

π

−4

0

][cos dxsenxx =o

xsenx

)cos( 4π

−− =o

xsenx

cos 4π

+

A = ( )0cos04

cos4

+−

π+

πsensen = )10(

2

2

2

2+−

+

A =2

22 − 1 A = ( 1 2 − ) u.a.




49

ENGENHARIA MECATRÔNICA/ELÉTRICA – CÁLCULO DIF. E INTEGRAL – 1º ANO GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO LIVRO DO GUIDORIZZI

CAPÍTULO 77.3

7.7

7.11




50

CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 1210.2 12.2

CAPÍTULO 1313.3

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01. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL (CÁLCULO I)