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1 Curso de Clculo Diferencial Prof. Flaudio 2014 1
APRESENTAO
Pode-se dizer, sem exageros, que o clculo foi uma das maiores
descobertas, invenes ou criaes humana! Popularmente, sua inveno
atribuda ao ingls Isaac Newton. Mas, muito do clculo se deve ao
alemo G. W. Leibniz e outros cientistas dos sculos XVI e XVII.
Hoje, suas aplicaes abrangem, alm da Matemtica e da Fsica,
praticamente todas as reas de conhecimento, tais como: Qumica,
Biologia, Economia, Administrao, Logstica, Contabilidade, Finanas,
Computao, Engenharia,....
Este material uma pequena introduo a um curso de clculo que todo
estudante da rea de exatas e afins deve saber. importante ressaltar
que esse material no dispensa o uso de um livro de clculo.
Ao final desse curso, gostaramos que voc fosse capaz de resolver
os seguintes problemas: encontrar limites e achar derivadas das
principais funes matemticas, alm de resolver algumas integrais
elementares.
A matria prima do clculo a teoria das funes e suas variaes. No
entanto, para entender este curso sem grandes dificuldades,
necessrio que voc saiba trabalhar com alguns tpicos de Matemtica
elementar, tais como: clculo com nmeros, simplificao de expresses
algbricas, geometria analtica, ... 2 DEFINIES PRELIMINARES 1. Dados
dois conjuntos A e B, uma funo f de A em B (f : A B) uma regra que
associa a cada elemento x A
um nico elemento y B, denotado por y = f(x). 2. Dada uma funo f
: A B, o conjunto A chamado de domnio e B chamado de contra-domnio
da funo f. A
imagem de f o subconjunto de B formado por todos os y = f(x) tal
que x A. 3 TRABALHANDO COM FUNES EXEMPLOS RESOLVIDOS EXEMPLO 1
Se f(x) = x 1
x +1, x 1 , ento
f(3) f(2)1+ f(3).f(2)
igual a:
1 1 1 1A) B) C) D) 4 5 6 7
SOLUO
3 1 1f(3)3 1 2= =+
, 2 1 1f(2)2 1 3= =+
, e portanto
f(3) f(2)1+ f(3).f(2)
=
12 1
3
1+ 12
.13
=
1676
= 17
Resp. D EXEMPLO 2 Seja f uma funo definida por f(x) = ax + b .
Se f(1) = 6 e f(1) = 4, calcule o valor de a2 b2 . SOLUO f(1) = a +
b = 6 f(1) = a + b = 4 Resolvendo esse sistema, encontramos a = 1 e
b = 5. Assim, a2 b2 = 1 25 = 24. EXEMPLO 3 D o domnio da funo f(x)
= x 1 , sabendo que x um nmero real. SOLUO Como x real, x 1 0, e
portanto x 1. Assim, Df = {x ! / x 1} = [1, + [. 4 O GRFICO DE UMA
FUNO O grfico de uma funo f : A B o conjunto formado pelos pontos
(x, f(x)) onde x A. A figura a seguir ilustra o grfico de uma certa
funo y = f(x), e como podemos encontrar o domnio e a imagem dessa
funo a partir do seu grfico.
-
2
OBSERVAES 1. O grfico de uma funo interceptado apenas uma vez
por qualquer reta vertical que passa por um ponto do seu
domnio. 2. No grfico de uma funo, o domnio obtido quando
projetamos este grfico sobre o eixo Ox. 3. No grfico de uma funo, a
imagem obtida quando projetamos este grfico sobre o eixo Oy. 5
EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Se
f(x) = x +1
x 2 , ento f(3)+ f(1)
f(4)+ f(6) igual a:
a) 117
b) 217
c) 417
d) 817
2. Uma funo f definida por f(x) = x2 + x + 1. O valor da
expresso E = 2f(3) f(1)
2f(1) :
a) 233
b) 253
c) 236
d) 256
3. Se f(x) = x + 1
x , x 0 ,ento 10. f(2)+ 1
f(2)
igual a:
a) 23 b) 25 c) 27 d) 29
4. Se f(x) = x +2 , x 2 , ento
f(126)+ f(30)f(16)
igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
DOMNIO
I M A G E M
y
x
-
3
5. Seja f uma funo real de varivel real definida por:
f(x) =3x para -1< x 04 para 0 < x
-
4 7 PRINCIPAIS FUNES ELEMENTARES FUNO CONSTANTE qualquer funo do
tipo f(x) = c, onde c um nmero real que no varia com x.
O grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo dos x
passando pelo ponto (0, c).
FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU qualquer funo do tipo f(x) = ax + b,
onde a e b so nmeros reais e a 0. OBSERVAES: O grfico de uma funo
do 1 grau possui as seguintes caractersticas: uma reta (para a sua
construo so necessrios apenas dois pontos). intersecta o eixo das
abscissas no ponto (b/a, 0). intersecta o eixo das ordenadas no
ponto (0, b). se a > 0, ento f crescente. se a < 0, ento f
decrescente. o conjunto imagem de uma funo real do 1 grau o
conjunto dos nmeros reais. FUNO POLINOMIAL DO 2o GRAU OU FUNO
QUADRTICA toda funo do tipo f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so
nmeros reais e a 0. OBSERVAES: O grfico de uma funo quadrtica
possui as seguintes caractersticas: uma curva chamada parbola.
intersecta o eixo das abscissas nas razes da equao f(x) = 0.
intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, c). se a > 0, a
concavidade fica voltada para cima (a funo possui um ponto de
mnimo). se a < 0, a concavidade fica voltada para baixo (a funo
possui um ponto de mximo).
o vrtice o ponto
b2a
, 4a
.
se a > 0, o conjunto imagem da funo o intervalo
4a, +
.
se a < 0, o conjunto imagem da funo o intervalo ,
4a
.
8 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Se f uma funo do primeiro grau tal que
f(10) = 29 e f(40) = 89, ento f(30) igual a:
a) 39 b) 49 c) 59 d) 69 e) 79
2. A figura abaixo representa a funo f(x) = ax + b. O valor de
1f3
:
a) 2,8 b) 2,6 c) 2,5 d) 1,8 e) 1,7
y
c
x
y
3
2 x
-
5 3. Considere a funo f de R em R, dada por f(x) = ax + b, onde
a e b so constantes reais. Se os pontos A(1, 3) e
B(0, 1) pertencem ao grfico de f, ento: a) f crescente, x R.
b) 34
raiz da equao f(x) = 0.
c) o ponto (10, 41) pertence ao grfico de f.
d) f(x) < 0 se x < 14
e) f(x) < 0 se x > 14
4.O grfico da funo f(x) = x2 + mx + n passa pelos pontos (1, 3)
e (3, 1). O valor de m n :
a) 14 b) 14 c) 2 d) 2 e) 1
5. Se a parbola y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (1 , 3) , (0
, 5) e (2 , 3), ento o valor de a + b + c :
a) 3 b) 2 c) 1 d) 2
6. Considere uma funo do 2o grau dada por f(x) = ax2 + bx + c.
Se f(1) = 10 , f(1) = 0 e f(2) = 10, ento o valor de b
: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
7. Seja a funo quadrtica f(x) = x2 2 . Se f(p + 4) = f(p) + 4 ,
ento p um nmero real compreendido entre:
a) 3 e 2 b) 2 e 1 c) 1 e 2 d) 2 e 3
8. O conjunto Im = {y; y < p} a imagem da funo f(x) = x2 2x +
6. O valor de p : a) 7 b) 7 c) 6 d) 6
e) 5 9 GABARITO DE 8
1 2 3 4 5 6 7 8 d c e a a c b b
-
6 10 LIMITES DE FUNES A noo de limite de uma funo fundamental
para o estudo do clculo. Ele usado para desenvolver outras ideias
importantes do clculo, tais como: continuidade, derivao e integrao.
11 INTRODUO IDEIA DE LIMITE Vamos comear desenvolvendo a ideia
intuitiva de limite de uma funo y = f(x). Para entendermos essa
ideia, estudaremos o comportamento da funo y = f(x) quando fazemos
x se aproximar de um valor particular x = p que no pertence,
necessariamente, ao domnio dessa funo. EXEMPLO PRELIMINAR Para que
a nossa ideia intuitiva de limite de uma funo fique clara,
consideremos a funo
f(x) = 2x 1.x 1
Veja que x 1. No entanto, mesmo sabendo que x no pode assumir o
valor 1, queremos saber o que acontece com essa funo f(x), quando
fazemos x aproximar-se de 1. Para isso, vamos determinar: a) f(0)
b) f(0,5) c) f(0,9) d) f(0,99) e) f(0,999) f) f(0,9999) g)
f(0,99999) h) f(1,5) i) f(1,1) j) f(1,01) k) f(1,001) l) f(1,0001)
m) f(1,00001) n) f(1,000001) 12 DEFINIO INTUITIVA DE LIMITE
Dada uma funo y = f(x) e um nmero real p, intuitivamente, dizer
que o limite de f(x), quando x tende a p, igual a L, que
simbolicamente, se escreve
x plim f(x) L
=
significa que f(x) fica arbitrariamente prximo de L, para todos
os valores de x suficientemente prximos de p. 13 DEFINIO FORMAL DE
LIMITE Considere um intervalo aberto, p ! com p , e seja f uma funo
definida em . Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a p L, e
escrito como
lim
xpf(x) = L
se dado > 0 qualquer, existe um > 0, tal que se 0 < |x
p| < ento |f(x) L| < . 14 PROPRIEDADES OPERATRIAS DOS LIMITES
Apresentamos a seguir, sem as demonstraes, as principais
propriedades operatrias dos limites. P1
lim
xpc = c , onde c um nmero real qualquer.
P2
lim
xpx = p .
P3
lim
xp(mx +n) = mp +n .
P4 Se 1x p
lim f(x) L
= e 2x plim g(x) L
= , ento 1 2x plim [f(x) g(x)] L L
= .
-
7 P5 Se 1x p
lim f(x) L
= e 2x plim g(x) L
= , ento 1 2x plim [f(x).g(x)] L .L
= .
P6 Se 1x plim f(x) L
= e 2x plim g(x) L
= , ento 1x p 2
Lf(x)limg(x) L
= , se 2L 0.
P7 Se
x plim f(x) L
= e n for um inteiro positivo qualquer, ento n nx plim [f(x)]
L
=
P8 Se
x plim f(x) L
= e n for um inteiro positivo qualquer, ento nnx plim f(x) L
= , com a condio de que se n for
par, L 0. 15 CALCULANDO LIMITES EXEMPLOS RESOLVIDOS
No existe uma tcnica nica e especfica para se calcular limites
de funes. A seguir apresentaremos alguns truques que facilitaro
esses clculos. importante que voc esteja atento! EXEMPLO 1
Encontrar 2
x 11
x 121limx 11 +
.
SOLUO
O truque : fatore x2 121 e obtenha: 2
x 11
x 121lim 22x 11 = +
.
EXEMPLO 2 Encontrar 2
x 2lim (3x 4x 5)
+ .
SOLUO Este no tem truque! Basta substituir x por 2. Assim, 2
x 2lim (3x 4x 5)
+ = 12 8 + 5 = 9.
EXEMPLO 3
Encontrar 2
3x 1
x 4lim3x 6
+
.
SOLUO
Este tambm muito fcil! Troque x por 1. A resposta 13
.
EXEMPLO 4
Encontrar 2
3x 2
4x 9lim .2x 3
+
SOLUO
Este idntico ao exemplo 1, fatore 4x2 9 e obtenha: 2
3x 2
4x 9lim 6.2x 3
= +
EXEMPLO 5
Encontrar x 4
x 2limx 4
.
1 SOLUO Mesma ideia do exemplo 1. Basta fatorar!
Ateno!
a2 b2 = (a + b)(a b)
-
8
x 4 x 4 x 4
x 2 x 2 1 1lim lim limx 4 4( x 2)( x 2) x 2 = = = + +
2 SOLUO Veja que podemos racionalizar o numerador dessa
expresso!
x 4 x 4 x 4 x 4
x 2 ( x 2)( x 2) x 4 1 1lim lim lim limx 4 4(x 4)( x 2) (x 4)( x
2) x 2 + = = = = + + +
3 SOLUO Esse merece mais uma soluo! Podemos fazer uma mudana de
varivel! Faa x k= e veja que x 4 equivale a k 2. Assim,
2x 4 k 2 x 2
x 2 k 2 k 2 1lim lim limx 4 (k 2)(k 2) 4k 4 = = = +
EXEMPLO 6
Encontrar 3
x 2
x 8limx 2
.
1 SOLUO Ainda fatorando!
3 2
x 2 x 2
x 8 (x 2)(x 2x 4)lim lim 12x 2 x 2 + += =
.
2 SOLUO Usando diviso de polinmios. Fica mais rpido usar o
dispositivo prtico de Briot-Ruffini. Divida x3 8 por x 2 e obtenha
x2 + 2x + 4, a s substituir x por 2. EXEMPLO 7
Encontrar 3
x 0
x 1 1limx+ .
SOLUO Faa 3 x 1 k+ = e veja que x 0 equivale k 1. Assim,
3
3 2x 0 k 1 k 1
x 1 1 k 1 k 1 1lim lim limx 3k 1 (k 1)(k k 1) + = = =
+ +.
EXEMPLO 8
Encontrar 2
2x 2
x x 6limx 5x 14
.
1 SOLUO Esse bom! O truque continua sendo: fatore o numerador e
o denominador e obtenha:
.
2
2x 2 x 2 x 2
x x 6 (x 2)(x 3) x 3 5lim lim lim(x 2)(x 7) x 7 9x 5x 14
+ = = =+
Ateno!
ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2), onde x1 e x2 so as razes da equao
ax2 + bx + c = 0.
Ateno!
a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
-
9 2 SOLUO Voc tambm pode usar diviso de polinmios. Veja que x =
2 raiz do numerador e do denominador. Assim, dividindo o numerador
e o denominador por x + 2, encontramos x 3 e x 7, respectivamente.
Portanto,
2
2x 2 x 2
x x 6 x 3 5lim limx 7 9x 5x 14
= =
.
EXEMPLO 9
Encontrar 3 2
3 2x 4
2x 11x 10x 8lim3x 17x 16x 16
+ + + +
.
SOLUO Use diviso de polinmios.
3 2 2
3 2 2x 4 x 4
2x 11x 10x 8 2x 3x 2 3lim lim .43x 17x 16x 16 3x 5x 4
+ + = = + +
16 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Encontre os limites a seguir:
2
x 2
2
1x3
x 4a) limx 2
9x 1b) lim3x 1
+
2
3x4
3
x 3
16x 9c) lim4x 3
x 27d) limx 3
+
3
x 2
x 8e) limx 2
++
2
x 3
2
2x 4
9 xf ) limx 3
x 3x 4g) limx 5x 4
+
2
2x 1
x 4x 5h) limx 1+
2
321x
2
2
3x 2
4x 4x 3i) lim4x 1
x 3x 4j) limx 1
+
+ ++
-
10
3x 3
x 1
5 2xk) lim5 x
x 1l) limx 1
+
x 0
x 0
2
2x 1
3 2
3 2x 3
3 2
2x 2
2
3 2x 1
9 x 3m) limx
1 1 xn) limx
2x x 3o) lim3x 8x 5
2x 5x 2x 3p) lim4x 13x 4x 3
x x x 10q) limx 3x 2
2x x 3r) limx 2x 6x 5
+
+ +
+
++ +
+ + +
2. O valor do lim
x0
x + a ax
(a)
1a
(b) a (c)
12 a
(d) 2 a (e) 0
3. O valor do limite limx4
x 2x 4
,
(a) 14
(b) 12
(c) 0 (d) 14
(e) 12
4. O valor do limite lim
x2
1x 1
2x2 4
,
(a) 18
(b) 116
(c) 0 (d) 1
16 (e)
18
5. Determine limx1
3x3 5x2 + x +1
2x3 3x2 +1
(a) 1 (b) c) e d) 34
e) 43
-
11
6. Calcule: lim
x0
1+ 2x 1 2xx
(a) (b) 0 c) 1 d) 2 e) +
7. O valor de limx2
x 23x 53 1
:
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. O valor de limx1
3x3 4x2 x + 2
2x3 3x2 +1
(a) 23
(b) 53
c) 35
d) 32
e) 2
17 GABARITO DE 16 1. a) 4 b) 2 c) 6 d) 27 e) 12 f) 6
g) 53
h) 3 i) 23 j)
143
k) 12
l) 12
m) 16
n) 12
o) 52
p) 1117
q) 15 r) 1
2. c 3. d 4. b 5. e 6. d 7. a 8. b 18 LIMITES LATERAIS
Em todos os exemplos anteriores, quando falamos em x plim
f(x)
, no fazemos restries sobre como x se
aproxima de p. Ou seja, x se aproxima de p, tanto pela direita,
isto , os valores de x so menores que p, quanto pela esquerda, os
valores de x so maiores que p. No entanto, para algumas funes,
podem ocorrer certas restries para x, que vamos abordar a
seguir.
EXEMPLO 1 Considere a funo f(x) = x 2 . Como x 2, no faz sentido
x se aproximar de 2 pelo lado esquerdo, e portanto
x 2lim x 2
no possui significado.
Precisamos definir um novo limite, que chamaremos de limite
lateral. Para entendermos melhor esse caso, vamos fazer x se
aproximar de 2, com valores maiores do que 2. Neste
caso, dizemos que x tende a 2 pela direita, e escrevemos x 2+ .
Veja que quando x tende a 2 pela direita, a funo f(x) = x 2 tende a
zero. Vamos representar isto da seguinte forma:
x 2 x 2lim f(x) lim x 2 0
+ + = =
Que lemos: limite de f(x) quando x tende a 2 pela direita, igual
a zero.
EXEMPLO 2 De forma anloga, considerando a funo f(x) = 2 x , veja
que s podemos falar no limite de f(x) quando x se aproxima de 2
pela esquerda, e representaremos da seguinte forma:
x 2 x 2lim f(x) lim 2 x 0
= =
Que lemos: limite de f(x) quando x tende a 2 pela esquerda,
igual a zero.
-
12 EXEMPLO 3
Considere a funo f(x) = | x |x
, x 0. Podemos fazer x se aproximar de zero tanto pela direita
quanto pela esquerda.
Mas, agora temos uma nova situao. Veja que
x 0lim f(x) 1
+= e
x 0lim f(x) 1
= .
Neste exemplo, apesar de existirem os dois limites laterais,
direita e esquerda, eles so diferentes. Quando isto acontece,
dizemos que o
x 0lim f(x)
no existe.
Na verdade, temos PROPRIEDADE:
x plim f(x) L
= se, e somente se x p x plim f(x) = lim f(x) = L
+ .
19 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Em cada caso a seguir, ache o limite
indicado, se existir.
a)x 4 se x 4
f(x)4 x se x 4+
= >
x 4
x 4
x 4
lim f(x)
lim f(x)
lim f(x)
+
b)2 se x 0
f(x) 1 se x 03 se x 0
x 0
x 0
x 0
lim f(x)
lim f(x)
lim f(x)
+
c)2x se x 2f(x)
8 2x se x 2
= >
x 2
x 2
x 2
lim f(x)
lim f(x)
lim f(x)
+
d)2x 3 se x 1
f(x) 2 se x 17 2x se x 1
+
x 1
x 1
x 1
lim f(x)
lim f(x)
lim f(x)
+
e)3x 1 se x 1
f(x)3 x se x 1
= >
x 1
x 1
x 1
lim f(x)
lim f(x)
lim f(x)
+
2. Calcular ( )x 1lim f x
, se existir, sendo ( )2
x 1, se x 12f x
x , se x 1
+ >=
=
-
13
4. Calcular ( )x 1lim f x
, se existir, sendo ( ) 4, se x 1f x6, se x 1
= =
.
5. Dada ( )2x , se x 0
f x x , se x 02
, calcule ( )x 0lim f x
, se existir.
6. Calcule se existir:
a) ( )x 0lim f x
, se ( )22x 1, se x 0f x
2x 1, se x 0
b) ( )x 0lim f x
, se ( ) 2, se x 0f x2, se x 0
>=
-
14 21 LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
Considere a funo f(x) = 1x
, x 0. Inicialmente, vamos fazer x se aproximar de zero pela
direita e depois
pela esquerda. Com isso, estamos interessados em saber qual o
significado dos dois limites:
x 0
1limx+
e x 0
1limx
Em seguida, vamos fazer x ir para o mais infinito, ou seja
queremos que x fique cada vez maior, e depois
vamos fazer x ir para o menos infinito. Com isso, estamos
interessados em saber qual o significado dos dois limites:
x
1limx+
e x
1limx
Vamos fazer tabelas para entender, intuitivamente, o significado
desses limites.
Agora, vamos definir, intuitivamente, que:
x 0
1limx+= +
x 0
1limx=
x
1lim 0x+= V
x
1lim 0x=
claro que tambm podemos concluir, pelas ideias intuitivas acima,
que:
x f(x) =
0,1 10 0,01 100 0,001 1000
0,0001 10000 0,00001 100000
0,000001 1000000 0,0000001 10000000
0 +
TABELA 1
x f(x) =
0,1 10 0,01 100
0,001 1000 0,0001 10000
0,00001 100000 0,000001 1000000 0,0000001 10000000
0
TABELA 2
x f(x) =
10 0,1 100 0,01 1000 0,001
10000 0,0001 100000 0,00001 1000000 0,000001
10000000 0,0000001 + 0
TABELA 3
x f(x) =
10 0,1 100 0,01
1000 0,001 10000 0,0001 100000 0,00001
1000000 0,000001 10000000 0,0000001
0
TABELA 4
-
15 Se n for um inteiro positivo qualquer, ento:
V nx 0
1limx+
= +
V nx 0
se n for par1lim se n for mparx
+=
V nx
1lim 0x+
=
V nx
1lim 0x
=
De um modo geral, podemos definir, intuitivamente que:
X Se ( )x alim f x 0
= e, quando x a , f(x) assume valores positivos para x a ,
ento
x a
1limf(x)
= + .
X Se ( )
x alim f x 0
= e, quando x a , f(x) assume valores negativos para x a ,
ento
x a
1limf(x)
= .
22 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Encontre os limites a seguir:
a) x 1
3limx 1
b) x 2
2limx 2+
c) x 5
1limx 5+
d)x 2
x 2limx 2++
e) 2x 1
1limx 2x 1 +
f) 1x2
1 2xlim1 2x+
+
-
16
2x 2
2x 4
2
3 2x 0
3x5
x 2g) limx 4
2xh) lim16 x
x 5i) lim2x 3x
1j) lim5x 3
+
+
+
3
2 3x 0
3 2
2x 1
2 4xk) lim5x 3x
2x 5xl) limx 1
+
+
2
2x
2x
2x
3x 2x 5m) limx 4
4x 3n) lim5x x 1
3x 4o) lim2x 5
+
+
+ +
+
+
2x
3x 4p) lim2x 5
+
2
x
2
x
4 2
4x
x 4q) limx 4
x 2x 3r) limx 5
3x 7x 2s) lim2x 1
+
+
++
++
++
3
2x
x 2xt) lim2x 3+ +
2
x
4
2x
23
x
2 xu) limx 3
3x x 1v) limx 5
8 xx) limx(x 1)
+
+
+
+ +
++
-
17
2. Resolvendo
limx
4x3 4x2 + 5
6x3 + 3x 7 , encontramos:
a) + b) c) 0 d) 23
e) 4
23 GABARITO DE 22 1. a) b) c) + d) + e) +
f) g) + h) i) + j)
k) + l) m) 3 n) 0 o) 3 2
2
p) 3 2
2 q) 1 r) 1 s)
32
t)
u) + v) + x) 1
2. d
24 ASSNTOTA VERTICAL
A reta x = a ser uma assntota vertical do grfico da funo y =
f(x), se pelo menos uma das afirmativas a seguir for
verdadeira:
(i) ( )x alim f x
+= + (ii) ( )
x alim f x
+=
(iii) ( )x alim f x
= + (iv) ( )
x alim f x
=
25 ASSNTOTA HORIZONTAL A reta y = b uma assntota horizontal do
grfico da funo y = f(x), se pelo menos uma das afirmativas a
seguir for verdadeira:
(i) ( )xlim f x b+
= e f(x) b quando x +;
(ii) ( )xlim f x b
= e f(x) b quando x .
26 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Nos exerccios a seguir, ache as
assntotas horizontais e verticais e em seguida faa um esboo do
grfico de
cada funo.
x 8a) f(x)x 4
3x 2b) f(x)x 2
+=
=
-
18
2
2x 5c) f(x)x 1
4x 3d) f(x)2x 5
1e) f(x) 1x
=+
+=+
=
f) f(x) = 1(x 1).(x 6)
g) f(x) = 5x2
x2 4
h) f(x) = 2x2
x2 1
i) f(x) = 2x2 x 6
j) f(x) = 1x2 3x + 2
k) f(x) = 1
x2 4
l) f(x) = 1
x2 1
27 A FUNO EXPONENCIAL Seja a um nmero real positivo e diferente
de 1. A funo f : R R+
dada por f(x) = ax chamada de funo exponencial de base a.
Os exemplos mais simples de funes exponenciais so: xf(x) 2= e
x1f(x)
2 =
.
Nas figuras a seguir, esto os grficos das funes xf(x) 2= (Figura
1) e x1f(x)
2 =
(Figura 2).
FIGURA 1 FIGURA 2
-
19 De um modo intuitivo, observando esses grficos, fcil perceber
que: x
xlim 2+
= + , xxlim 2 0
= ,
x
x
1lim 02+
= e
x
x
1lim2
= + .
De um modo geral, vamos admitir que o grfico de toda funo dada
por xf(x) a= , com a > 1, comporta-se
da mesma forma que o grfico da funo xf(x) 2= , esboado na figura
1, enquanto que o grfico de toda funo da
forma xf(x) a= , com 0 < a < 1, comporta-se de forma
idntica ao grfico da funo x1f(x)
2 =
, esboado na figura
2.
Alm disso, vamos assumir que se, 0 < a 1, ento limxp
af(x) = alim
xpf(x)
para todo nmero real p, desde que
lim
xpf(x) exista.
28 O NMERO DE EULER
Um dos nmeros mais importantes da Matemtica conhecido como nmero
de Euler (pronuncia-se: iler). Esse nmero representado pela letra
e, a base do que vamos chamar de Funo Exponencial Natural e tambm a
base dos logaritmos naturais.
Considere a funo x1f(x) 1 ,x 0 e x 1.
x = +
Vamos atribuir alguns valores a x e em seguida, com a
ajuda de uma calculadora, calcular o y correspondente. Temos
ento a seguinte tabela:
x x1y 1
x = +
100 2,70481382... 1.000 2,71692393...
10.000 2,71814592... 100.000 2,71826823...
1.000.000 2,71828046... 10.000.000 2,71828169...
100.000.000 2,71828181...
De um modo intuitivo, observando esta tabela, percebemos que
tomando os valores de x muito grande, ou seja, fazendo x tender a
mais infinito, o valor de y tende ao nmero 2,7182818....
Usando a linguagem dos limites, podemos demonstrar que x
x
1lim 1 2,71828182...x+
+ = .
Vamos definir o nmero de Euler como sendo o
limx+
1+ 1x
x. Assim,
x
x
1e lim 1 2,71828182...x+
= + = .
Queremos deixar bem claro que isto apenas uma ideia intuitiva.
Existe muito a se fazer, e para se ter um
estudo mais completo sobre o nmero e, faltam muitas coisas.
Dentre elas, a mais importante provar que tal nmero realmente
existe. Outra, seria provar que e irracional. Mas, no este o nosso
propsito aqui.
interessante observar que na funo x1f(x) 1 ,x 0 e x 1
x = +
, quando x tende a menos infinito, f(x)
continua se aproximando do nmero e = 2,718282....
-
20
A figura 3 a seguir, mostra o esboo do grfico da funo f(x) = 1+
1
x
x,x 0 e x 1 .
29 A FUNO LOGARTMICA
Seja a um nmero real positivo e diferente de 1. A funo f : R+* R
dada por f(x) = loga x chamada de
funo logartmica de base a. A funo logartmica, assim como a funo
exponencial so funes bijetivas e uma a inversa da outra. Nas
figuras a seguir, esto representados os grficos das funes f(x) =
log2 x (Figura 4) e 1
2
f(x) log x=
(Figura 5).
De uma forma intuitiva, observe que 2x
lim log x+
= + , 2x 0lim log x
+= , 1x
2
lim log x+
= e 1x 0 2
lim log x+
= + .
De um modo geral, vamos assumir que o grfico de toda funo
logartmica dada por af(x) log x= , com a >
1, comporta-se da mesma forma que o grfico da funo 2f(x) log x=
, esboada na figura 4, enquanto que o grfico de toda funo
logartmica dada por af(x) log x= , com 0 < a < 1, comporta-se
de forma idntica ao grfico da funo
12
f(x) log x= , esboado na figura 5.
Alm disso, vamos assumir que se 0 < a 1, ento limxp
loga f(x) = loga limxpf(x)
, desde que lim
xpf(x) exista
e seja positivo.
FIGURA 3
FIGURA 4 FIGURA 5
-
21 Ateno! A funo f : R R+
definida por xf(x) e= chamada de funo exponencial natural.
A funo f : R+ ! definida por f(x) = lnx, onde lnx representa o
logaritmo de x na base e, chamada de funo
logartmica natural. 30 EXERCCIOS PROPOSTOS 1.Encontre os limites
a seguir:
a) limx
13
x
b) limx+
(0,3)x
c) limx0
23x+2x1
d) limx1
12
1x2
x1
e) limx1
3x1x 1
f) limx2
log2x2 4x 2
g) limx+
log5 x
h) limx0+
log0,1x
i) limx3
log 6x + 24x + 3
j) limx+
1+ 1x
3x
k) limx
1+ 3x
x
l) limx
1+ 1x
x+2
m) lim
x+1+ t
x
x
-
22
n) limxe2
lnx
o) limx0+
lnx
2. Mostre que lim
x0(1+ x)
1x = e.
3. Mostre que lim
x0
ex 1x
= 1.
4. Mostre que se a > 0, ento x
x 0
a 1lim lnax = .
5. Calcular:
a) x
x 0
2 1lim4x
b) limx0
1+ 2x( )1x
c)
2x
x 0
xlim 12
+
d) ( )4x
x 0lim 1 4x
+
e) 2x
x 0
e 1limx
f) 2x
x 0
2 1lim4x
6. Dada a funo
f(x) = 10x + 5, se x log2
2, se x = log2
, ento, o valor de
lim
xlog2f(x) igual a:
a) 7 b) 2 c) 5.log2 d) log2 e) 8
7. O valor de
limx
1+ 3x
x :
a) e3 b) e1 c) e d) e2 e) e3
8. Calcule lim
x0
e5x 1x
a) e5 b) 0 c) e d) 1 e) 5
9. Calcule
limx+
[log(x +1) logx]
a) + b) 0 c) 1 d) 1 e)
-
23 31 GABARITO DE 30 1. a) b) 0 c)
14
d) 4 e) 9
f) 2 g) h) i) log 43 j) e
3
k) e3 l) e m) et n) 2 o)
5. a) ln24
b) e2 c) e d) e16 e) 2
f) ln22
6. a 7. e 8. e 9. b 32 O TEOREMA DO CONFRONTO (TEOREMA DO
SANDUCHE) Sejam f, g e h funes com o mesmo domnio D e f(x) g(x)
h(x) para todo x em D. Se p um nmero real, no necessariamente em D,
tal que
x p x plim f(x) lim h(x) L
= = , ento x plim g(x) L.
=
EXEMPLO 1
Calcular x 0
1lim x.cosx
.
SOLUO
Para calcular este limite, lembre-se que 1 cos 1 qualquer que
seja . Assim, 11 cos 1x
e 1x x.cos xx
.
Agora, como x 0 x 0lim ( x) lim x 0
= = , pelo teorema do sanduche, x 0
1lim x.cos 0.x=
EXEMPLO 2
Admita que f(x) uma funo que satisfaz a seguinte condio: 2 2x x1
f(x) 14 2
+ para todo x 0. Nestas
condies, determine x 0lim f(x)
.
SOLUO
Veja que 2
x 0
xlim 1 14
=
e 2
x 0
xlim 1 12
+ =
, ento pelo teorema do sanduiche, x 0lim f(x) 1
= .
33 LIMITE TRIGONOMTRICO FUNDAMENTAL
lim0
sen
= 1
A figura 6 mostra o grfico da funo senxf(x)x
= , com x pertencente ao intervalo [10, 10]. Observe, no grfico,
que
enquanto x tende a zero, senxx
tende a 1.
+
+
-
24
Ateno! No que segue, vamos admitir que as funes seno e cosseno
so tais que
limxp
senx = senp e
limxp
cosx = cosp para todo nmero real p.
Agora, estamos em condies de provar que lim0
sen
= 1.
Na nossa demonstrao, vamos supor que > 0, isto suficiente,
pois como a funo f() = sen
uma
funo par, o limite para < 0 ter o mesmo valor. Sendo assim,
observe a figura 7 a seguir: nela temos uma circunferncia de centro
na origem do plano cartesiano e raio igual a 1.
Veja que a rea do tringulo OAC menor que a rea do setor circular
OBC, a qual menor que a rea do tringulo OBD, isto ,
OA AC raio h OB BD2 2 2 < sen
> 1
cos
1
cos< sen
< cos
Agora, como , ento pelo teorema do sanduche .
Como queramos demonstrar. EXEMPLO 1
Agora, vamos mostrar que lim0
cos 1
= 0 .
Para tanto, veja que:
lim0
cos 1
= lim0
(cos 1)(cos +1)(cos +1)
= lim0
cos2 1h(cos +1)
= lim0
sen2(cos +1)
= lim0
1cos +1
.sen
.sen = 12
.1.0 = 0
EXEMPLO 2
Calcular 2
2x 0
tg xlimx
2
2 22
2 2 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0
sen xtg x sen x senx senx 1cos xlim lim lim lim . . 1.1.1 1
x xx x x .cos x cos x = = = = =
34 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Use o teorema do sanduche para achar
os limites a seguir:
x 0
1a) lim x.senx
x 1b) lim f(x)
, sabendo que 2| f(x) 2 | 3(x 1)
lim0
cos = lim0
1cos
= 1 lim0
sen
= 1
-
26 2. Encontre os limites a seguir:
a) limx0
sen3x5x
b) limx0+
xsen 3x
c) limx0
sen2xsen6x
d) limx0
tg6x2x
e) limx0
senx3
senx2
3. O valor do limite lim
x0
sen52x
4x5
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
4. Sendo lim
x0
senxx
= 1 , o valor de
limx0
x2sen(2x)3
x
igual a:
a) 23 b) e c) 3 d) 2 2 e) 3e
2 35 GABARITO DE 34 1. a) 0 b) 2
2. a) 35
b) 0 c) 13
d) 3 e) 0
3. e 4. a 36 CONTINUIDADE
Geometricamente falando, dizemos que uma funo y = f(x) contnua
quando podemos desenhar o seu grfico numa folha de papel sem tirar
a ponta do lpis dessa folha. Ou seja, quando no h saltos ou
rompimentos nesse grfico.
De um modo mais formal, dizemos que uma funo f contnua em p se,
e somente se as seguintes condies forem satisfeitas: (i) f(p)
existe; (ii)
x plim f(x)
existe;
(iii)x plim f(x) f(p).
=
Se uma ou mais de uma dessas condies no forem verificadas em p,
a funo f ser descontnua em p.
De um modo geral, dizemos que uma funo f contnua em todo seu
domnio Df, se f contnua em cada x Df. Alm disso, no que segue,
admitiremos que: Toda funo polinomial contnua. Toda funo racional
contnua em seu domnio. Todas as funes trigonomtricas e suas
respectivas inversas so contnuas em seus respectivos domnios. V As
funes exponenciais e as funes logartmicas so contnuas em seus
respectivos domnios.
-
27 Isso quer dizer que, dada uma funo f : AB e um nmero real p,
se f contnua em x = p, ento
x plim f(x) f(p).
=
37 EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Dada a funo definida por
f x( ) =x2 2x +1
x 1, se x 1
logk, se x = 1
. Determine o valor de k de modo que f seja contnua
em todo o seu domnio. 38 GABARITO DE 37 1. k = 1 39 A DERIVADA
DE UMA FUNO Dada a funo real y = f(x), se
limxa
f(x) f(a)x a
existir, ele chamado derivada de f em x = a. Indicamos a
derivada de
f em x = a por f '(a) . (leia: f linha de a). Assim,
definimos:
f '(a) = lim
xa
f(x) f(a)x a
A funo que a cada real x associa a derivada f '(x) , definida
nos pontos onde existe a derivada, chamada funo derivada de f. Para
obter f '(x) aplicamos a definio acima calculando f '(a) e depois
trocamos a por x. 40 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Dada f(x) = 6x +1,
calcule a derivada de f em x = 2.
2. Dada ( ) 2f x x 1= + , calcule: a) f '(1) b) f '(5) 3.
Obtenha a funo derivada de f(x) = x
2 +1 , x ! .
4. Obtenha a funo derivada de f(x) = x
2, x ! .
5. Obtenha a funo derivada de f(x) = 1
x, x !* .
6. Prove que, se a) ( )f x c= , x ! , onde c uma constante real
qualquer, ento f '(x) = 0 . b) f(x) = x , x ! , ento ( )f ' x 1= .
c) ( ) nf x x= , nQ , x ! , ento ( ) n 1f ' x n x = . d) f(x) = c
g(x) , x ! , ento f '(x) = c g'(x) . 41 GABARITO DE 40 1. 6 2. a) 2
b) 10 3. 2x 4.
12
5.
1x2
-
28 42 PROPRIEDADES OPERATRIAS DAS DERIVADAS P1. (Regra da
soma/diferena) Se h(x) = f(x) g(x) h'(x) = f '(x) g'(x) . P2.
(Regra do produto) Se h(x) = f(x) g(x) h'(x) = f '(x) g(x)+ f(x)
g'(x) .
P3. (Regra do quociente) Se
h(x) = f(x)g(x)
h'(x) = f '(x) g(x) f(x) g'(x)
g(x) 2
.
P4. (Regra da potncia) Se f(x) = [g(x)]n, nQ f '(x) = n[g(x)]n1
g'(x).
P5. (Regra da cadeia) Se h(x) = f(g(x)) h'(x) = f '(g(x)) g'(x)
43 OUTRAS NOTAES PARA A DERIVADA DE UMA FUNO Sendo y = f(x) uma
funo, muito comum usarmos as seguintes representaes para a derivada
da funo f.
f '(x) = dy
dx= y' = Dxy
44 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Usando as propriedades das derivadas,
ache a derivada de cada funo a seguir: a) f(x) = x28 b) f(x) = 5x3
7x2 + 2x 3 c) f(x) = 5(x4 + 3x7)
d) f(x)= 1x27
e) f(x)= x
f) f(x)= 1x
g) f(x) = x2
4+ 4
x2
h) f(x) = 4x2
3x4
1 12 21i) f(x) 2x x
2
=
j) f(x) = x
2 4x + 4x 1
2 3
4 2
k) f(x) (3x 4).(4x x 1)
l) f(x) (x 2x).(4x 2x 5)
= +
= + +
-
29
m) f(x) = x3 +1
x3 1
n) f(x) = x2
x3 + 8
o) f(x) = (2x3 3x + 7)4
p) f(x) = (4x4 4x2 +1)1
3
q) f(x) = x3 +13
r) f(x)=(x2 + 4)2
s) f(x) = (x4 x)3
2. Dada ( )2x xf x 14 2
= + + , calcule a derivada de f nos pontos:
a) x = 0 b) x = 2 c) x = 2
45 GABARITO DE 44 1. a) 28x27 b) 15x2 14x + 2 c) 5(4x
3 + 21x6) d) 27x28
e) 12
x 1
2 f) 12
x3
2 g) x2 8x3 h) 8x3 +12x5
i) x 1
2 + 14
x3
2 j)
x2 2x(x 1)2
k) 60x4 39x2 6x 4
l) 24x5 +10x4 + 20x3 24x2 8x 10 m)
6x2
(x3 1)2 n)
x4 +16x(x3 + 8)2
o) 4(2x3 3x + 7)3.(6x2 3) p)
1
3(4x4 4x2 +1)
43 .(16x3 8x)
q) x2.(x3 +1)
23 r) 4x(x
2 + 4)3 s) 3(x4 x)4.(4x3 1)
2. a) 12
b) 32
c) 1
2
46 FUNO IMPLCITA De um modo geral, a equao F(x, y) = 0 define y
como uma funo implcita de x. EXEMPLO
A equao x2 + y2 = 1 define, implicitamente, y como uma funo a
dois valores: y = 1 x
2 . Ou seja, temos duas
funes f1(x) = 1 x2 e f2(x) = 1 x
2 , definidas implicitamente pela equao x2 + y2 = 1.
-
30 47 DERIVAO IMPLCITA
Dada a equao F(x, y) = 0, para acharmos a derivada y ' = dy
dx no necessrio tirar o valor de y e derivar. Na
verdade, vamos derivar a equao dada em relao a x e isolar y ' =
dy
dx. Este processo conhecido como derivao
implcita. EXEMPLO
Obter y ' = dy
dx, por derivao implcita, sabendo que x
2 + y2 = 1.
SOLUO
Derivando os dois lados em relao a x, obtemos: 2x + 2y.y' = 0 e
portanto y ' = x
y.
48 A DERIVADA DA FUNO EXPONENCIAL NATURAL Lembre-se que a
derivada de uma funo pode ser encontrada pela expresso ( ) ( ) (
)
x a
f x f af ' a lim
x a
=
.
Fazendo uma mudana de varivel, digamos que x a = h, temos que a
= x + h e h 0
f(x h) f(x)f '(x) limh
+ = .
Assim, para f(x) = ex, temos que
x h x x h x x h hx x
h 0 h 0 h 0 h 0
e e e .e e e (e 1) e 1f '(x) lim lim lim e . lim e .h h h h
+
= = = = =
Portanto, no esquea! Se xf(x) e= , ento xf '(x) e= . Aplicando a
regra da cadeia na funo g(x)f(x) e= , podemos concluir que sua
derivada
g(x)f '(x) e .g'(x)= . EXEMPLOS 1) A derivada da funo 3x 5f(x) e
= 3x 5 3x 5f '(x) e .3 3e = = .
2) A derivada da funo x 1x 1f(x) e+=
x 1x 1
21.(x 1) (x 1).1f '(x) e .
(x 1)
+ +=
. Que simplificando, obtemos,
x 1x 1
22ef '(x)
x 2x 1
+=
+.
49 A DERIVADA DA FUNO LOGARTMICA NATURAL Considere a funo f(x) =
lnx.
Lembre-se que y = lnx equivale a yx e= . Assim, derivando
implicitamente, e lembrando que dyf '(x)dx
= ,
obtemos: y dy1 e .dx
= . Mas, como yx e= , ento dy1 x.dx
= e finalmente dy 1dx x
= .
Acabamos de demonstrar que: se f(x) = lnx, ento 1f '(x)x
= . E se usarmos a regra da cadeia na funo f(x) =
ln(g(x)), podemos concluir que g'(x)f '(x)g(x)
= .
EXEMPLO
A derivada da funo f(x) = ln(3x+1) 3f '(x)3x 1
=+
.
-
31 E se quisssemos encontrar a derivada da funo exponencial
xf(x) a= ? Ou a derivada da funo logartmica af(x) log x= ? A
resposta para a segunda pergunta mais simples que a primeira.
Assim, vamos comear por ela. s
mudar de base e obtemos: alnxf(x) log xlna
= = e agora obtemos
11xf '(x)
lna xlna= = .
Para responder a primeira pergunta, observe que xy a= equivale a
xlny lna lny x.lna= = . Agora,
derivando implicitamente, obtemos: 1 dy. lnay dx
= , e como xy a= , conclumos que xdy a .lnadx
= . Assim, descobrimos
que: 1) se xf(x) a= , ento xf '(x) a .lna= .
2) se af(x) log x= , ento 1f '(x)xlna
= .
50 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Encontre as derivadas das funes a
seguir:
a) f(x) = e3x
b) f(x) = ex22x
c) f(x) = x.ex
2. Ache dydx
por derivao implcita.
a) ex + ey = ex+y
b) x.y = ex + ey
c) x.ex + y.ey = 1
d) x.ey + y.ex + x + y = 0
3. Encontre as derivadas das funes a seguir: a) f(x) = ln(4 +
5x) b) f(x) = ln(1 + 4x2) c) f(x) = ln(8 2x) d) f(x) = ln 21 4x+ e)
f(x) = ln 3 24 x f) f(x) =ln(lnx) g) f(x) = x.lnx
h) xf(x)lnx
=
i) f(x) = 3 3lnx
-
32 j) f(x) = 35x
k) f(x) = 10x22x
l) f(x) = 25x.34x2
m) f(x) = log3(2x2 +1)
51 GABARITO DE 50 1. a) 3e3x b) (2x 2)e
x22x c) (1+ x)ex
2. a) eyx b)
ex yx ey
c) 1+ x
1+ y
.exy d)
1 ey y.ex
1+ ex + x.ey
3. a)
54 + 5x
b)
8x1+ 4x2
c) 1
4 x d)
4x1+ 4x2
e)
2x12 3x2
f)
1x lnx
g) 1 + lnx h)
lnx 1(lnx)2
i) (lnx)
23
x j) 35x.5.ln3 k) 10
x22x.(2x 2).ln10
l) 25x.34x
2.(5.ln2+ 8x.ln3) m)
4x(2x2 +1)ln3
52 A DERIVADA DA FUNO SENO
Agora, vamos encontrar a derivada da funo f(x) = senx. Antes de
mais nada, lembre-se que a derivada de uma funo pode ser encontrada
pela expresso
f '(x) = lim
0
f(x + ) f(x)
. Alm disso,
[1] sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa [2] sen(a b) = sena.cosb
senb.cosa [3] cos(a + b) = cosa.cosb sena.senb [4] cos(a b) =
cosa.cosb + sena.senb
Assim, temos que:
f '(x) = lim0
f(x + ) f(x)
= lim0
sen(x + ) senx
= lim0
senx cos + sen cosx senx
= lim0
senx (cos 1)+ sen cosx
= senx lim0
cos 1
+ cosx lim0
sen
= senx 0 + cosx 1= cosx
Isto , se f(x) =senx, ento f(x) = cosx.
Aplicando a regra da cadeia na funo f(x) = sen[g(x)], tem-se
que: f '(x) cos(g(x)) g'(x)= .
EXEMPLOS
A derivada da funo 2f(x) sen(3x )= a funo 2f '(x) cos(3x ) 6x= e
a derivada da funo f(x) sen(2x )2= a
funo f '(x) cos(2x ) 2 2.cos(2x ) 2.sen(2x)2 2 = = = .
-
33 53 A DERIVADA DA FUNO COSSENO
Para encontrarmos a derivada da funo cosseno, basta lembrar que
cosx sen( x)2= e usar a regra da
cadeia, como acima. Assim, se f(x) = cosx, tem-se:
f(x) cosx sen( x)2= = e f '(x) cos( x).( 1) senx
2= = .
Isto , se f(x) = cosx, ento f(x) = senx. Com os resultados que
acabamos de encontrar e com as regras de derivao, j estudadas,
podemos encontrar as derivadas das demais funes trigonomtricas. 54
A DERIVADA DA FUNO TANGENTE Se f(x) = tgx, ento
( )
' 2 2
2 2
22
senx cosx cosx senx ( senx) cos x sen xf '(x) tgx 'cosx cos x
cos x
1 sec xcos x
+ = = = =
= =
Isto , se f(x) = tgx, ento f(x) = 2sec x . 55 A DERIVADA DA FUNO
COTANGENTE Se f(x) = cotgx, ento
( )' 2 2
2 2
22
cosx senx senx cosx cosx (sen x cos x)f '(x) cotgx 'senx sen x
sen x
1 cossec xsen x
+ = = = = = =
Isto , se f(x) = cotgx, ento f(x) = 2cossec x . 56 A DERIVADA DA
FUNO SECANTE Se f(x) = secx, ento
( )'
2 21 0 cosx 1 ( senx) senx 1 senxf '(x) sec x ' .
cosx cosx cosxcos x cos xsec x tgx
= = = = = =
Isto , se f(x) = secx, ento f(x) = secx.tgx . 57 A DERIVADA DA
FUNO COSSECANTE Se f(x) = cossecx, ento
( )'
2 21 0 senx 1 cosx cosx 1 cosxf '(x) cossecx ' .
senx senx senxsen x sen xcossecx cotgx
= = = = = =
Isto , se f(x) = cossecx, ento f(x) = cossecx.cotgx . RESUMINDO:
[1] se f(x) = senx, ento f(x) = cosx [2] se f(x) = cosx, ento f(x)
= senx [3] se f(x) = tgx, ento f(x) = sec2x [4] se f(x) = cotgx,
ento f(x) = cossec2x [5] se f(x) = secx, ento f(x) = secx.tgx
-
34 [6] se f(x) = cossecx, ento f(x) = cossecx.cotgx 58 EXERCCIOS
PROPOSTOS 1. Encontre as derivadas das funes a seguir: a) f(x)
3senxb) g(x) senx cosx
== +
c) f(x) = tgx + cotgx d) f(x) 4sec x 2cossec xe) f(x) xcos x
= =
== +
2f) f(x) x .cosxg) f(x) x.senx cosx
h) f(x) 3senx x.cosx=
i) f(x) = senx.cosx
j) f(x) = sen2xk) f(x) = sen3xl) f(x) = 4cos3x 3sen4x
m) f(x) = senx2
2n) f(x) cos(3x 1)= +
o) f(x) = 1
3sec3 2x sec 2x
2. Se f(x) = sen(3x) e !M= f ' 3 + f " 2 + f ''' 23 , a tera
parte de M vale:
a) 7 b) 21 c) 8 d) 24 e) 25 59 GABARITO DE 58 1. a) 3cosx b)
cosx senx c) sec2x cossec2x d) 4secx.tgx + 2cossecx.cotgx e) cosx
x.senx f) x(2cosx xsenx) g) x.cosx h) 2cosx + x.senx i) cos2x j)
sen2x k) 3cos3x l) 12(sen3x + cos4x) m) 2x.cosx2 n) 6x.sen(3x2 + 1)
o) 2sec2x.tg32x 2. a 60 AS FUNES TRIGONOMTRICAS INVERSAS E SUAS
DERIVADAS
Vamos apresentar as inversas das funes seno, cosseno, tangente,
cotangente, secante e cossecante. Antes de qualquer coisa, no
esquea que uma funo inversvel se, e somente se bijetora.
i) Uma funo f bijetora, se injetora e sobrejetora,
simultaneamente. ii) f injetora quando: quaisquer dois elementos
distintos do domnio, esto associados a elementos distintos no
contra-domnio. iii) f sobrejetora quando sua imagem igual ao seu
contra-domnio.
-
35 61 A FUNO ARCO SENO E SUA DERIVADA A funo f(x) = senx no
bijetora, se definida no conjunto dos nmeros reais. Para
contornarmos esse problema, vamos restringir o domnio e o
contra-domnio da funo seno como
segue: considere f : , [ 1,1]2 2
, dada por f(x) = senx.
Agora sim, f bijetora, portanto inversvel, e a sua inversa a
funo 1f : [ 1,1] ,2 2
dada por f
1(x) = arcsenx
ou f1(x) = sen1x
Para encontrarmos a derivada da funo f(x) = arcsenx, vamos
observar que: y = arcsenx seny = x.
Derivando implicitamente essa ltima expresso, em relao a x,
temos: dycosy. 1dx
= .
Lembrando que 2 2cos y sen y 1+ = , tem-se que 2 2cosy 1 sen y 1
x= = , e isolando dydx
obtemos:
2
dy 1 1dx cosy 1 x
= =
.
Assim, se 2
1f(x) arcsenx, ento f '(x)1 x
= =
.
Usando a regra da cadeia na funo f(x) = arcsen(g(x)), tem-se
que:
2
g'(x)f '(x)1 (g(x))
=
.
EXEMPLO
A derivada da funo f(x) = arcsen(2x3)
2 2
3 2 6
6x 6xf '(x)1 (2x ) 1 4x
= =
.
62 A FUNO ARCO COSSENO E SUA DERIVADA A funo f(x) = cosx no uma
funo bijetora no conjunto dos nmeros reais,
No entanto, do mesmo modo que fizemos na funo seno, vamos
restringir o domnio e o contra-domnio da funo cosseno de forma que
ela fique bijetora. Considere a funo [ ]f : 0, [ 1,1] dada por f(x)
= cosx. claro que f bijetora, portanto f inversvel e sua
inversa
[ ]1f : 1,1 [0, ] dada por 1f (x) arccosx = ou f1(x) = cos1x
.
Para encontrarmos a derivada da funo f(x) = arccosx, vamos
observar que: y = arccosx cosy = x.
Derivando implicitamente essa ltima expresso, em relao a x,
temos: dyseny. 1dx
= .
Lembrando que 2 2cos y sen y 1+ = , tem-se que 2 2seny 1 cos y 1
x= = , e isolando dydx
obtemos:
2
dy 1 1dx seny 1 x
= =
.
Assim, se 2
1f(x) arccosx, ento f '(x)1 x
= =
.
-
36 63 A FUNO ARCO TANGENTE E SUA DERIVADA A funo arco tangente
definida de maneira anloga ao arco seno. Considere a funo f : ,
R
2 2
dada por f(x) = tgx. Nessas condies f bijetora, e sua inversa a
funo 1f : R ,2 2
dada por
1f (x) arctgx = ou f1(x) = tg1x .
Para encontrarmos a derivada da funo arco tangente, observe que:
y = arctgx tgy = x
Derivando implicitamente essa ltima expresso, em relao a x,
temos: 2 dysec y. 1dx
= .
Lembrando que 2 21 tg y sec y+ = , temos que:
2 2 2dy 1 1 1dx sec y 1 tg y 1 x
= = =+ +
.
Assim, se 2
1f(x) arctgx, ento f '(x)1 x
= =+
.
64 A FUNO ARCO COTANGENTE E SUA DERIVADA
Vamos considerar, agora, a funo arco cotangente. Como 1
cosxcotgxtgx senx
= = , ento a funo f(x) = cotgx
bijetora para 0 < x < e y R, e a sua inversa a funo dada
por 1f (x) arccotgx = ou f1(x) = cotg1x , x R e 0
< y < . Para encontrarmos a derivada da funo f(x) =
arccotgx, observe que: y = arccotgx cotgy = x
Derivando implicitamente essa ltima expresso, em relao a x,
temos: 2 dycossec y. 1dx
= .
Lembrando que 2 21 cotg y cossec y+ = , temos que:
2 2 2dy 1 1 1dx cossec y 1 cotg y 1 x
= = =+ +
.
Assim, se 21f(x) arccotgx, ento f '(x)
1 x= =+
.
65 A FUNO ARCO SECANTE E SUA DERIVADA A funo secante crescente
no intervalo [0, [ ] , ]
2 2 . Alm disso, para x [0, [ ] , ]
2 2 ,
y = sec x ] ,1] [1,+[ , o que torna a funo secante bijetora
neste intervalo, e portanto inversvel. y = arcsecx secy = x Para
encontrarmos a derivada da funo arco secante, derivamos
implicitamente, em relao x, a ltima expresso acima. Temos ento
dysecy.tgy. 1dx
=
Lembrando que 2 21 tg y sec y+ = , temos: 2 2 2tg y sec y 1 x 1=
= e 2tgy x 1= . Assim, 2
dy 1 1dx sec y.tgy x x 1
= =
-
37
Ou seja, se 2
1f(x) arcsecx, ento f '(x)x x 1
= =
.
66 A FUNO ARCO COSSECANTE E SUA DERIVADA Temos que y =
arccossecx cossecy = x Para encontrarmos a derivada da funo arco
cossecante, derivamos implicitamente, em relao x, a ltima expresso
acima. Temos ento
cossecy.cotgy.dy
dx= 1
Lembrando que 2 21 cotg y cossec y+ = , temos: 2 2 2cotg y
cossec y 1 x 1= = e 2cotgy x 1= . Assim,
2
dy 1 1dx cossecy.cotgy x x 1
= =
Ou seja, se 2
1f(x) arccossecx, ento f '(x)x x 1
= =
.
RESUMINDO:
[1] se 2
1f(x) arcsenx, ento f '(x)1 x
= =
[2] se 2
1f(x) arccosx, ento f '(x)1 x
= =
[3] se 2
1f(x) arctgx, ento f '(x)1 x
= =+
[4] se 21f(x) arccotgx, ento f '(x)
1 x= =+
[5] se 2
1f(x) arcsecx, ento f '(x)x x 1
= =
[6] se 2
1f(x) arccossecx, ento f '(x)x x 1
= =
67 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Ache a derivada da funo dada em cada
item a seguir.
xa) f(x) arcsen2
b) f(x) arccos3xc) f(x) arctg2xd) f(x) arccossec 2x
=
===
2
e) f(x) 2arccos x1f ) f(x) arcsenx2
=
=
2
g) f(x) arc sec5x arccossec5x
h) f(x) arccotg(2x )
= +
=
68 GABARITO DE 67 1. a)
1
4 x2 b)
3
1 9x2 c)
21+ 4x2
d)
1
x 4x2 1
e)
1
x x2 f)
x
1 x4 g) 0 h)
4x1+ 4x4
-
38 69 A REGRA DE LHPITAL [1] Sejam f e g funes diferenciveis
tais que
limxa
f(x) = 0 e limxa
g(x) = 0 . Se limxa
f '(x)g'(x)
= L , ento limxa
f(x)g(x)
= L .
OBS: A regra continua vlida se trocarmos a por a+ ou a ou +
ou
[2] Sejam f e g funes diferenciveis tais que limxa
f(x) = + ou e limxa
g(x) = + ou . Se limxa
f '(x)g'(x)
= L , ento
limxa
f(x)g(x)
= L .
OBS: A regra continua vlida se trocarmos a por a+ ou a ou +
ou
EXEMPLOS
1. limx1
x2 5x + 4x2 3x + 2
= limx1
2x 52x 3
= 31
= 3
2. limx0
x1 ex
= limx1
1ex
= 11
= 1
3.
! limx2 3cosx2x = limx2 3senx2 = 32
4.
limx0+
x.lnx = limx0+
lnx1x
= limx0+
1x1x2
= limx0+
(x) = 0
5.
limx+
ln(2+ ex)3x
= limx+
ex
2+ ex3
= limx+
ex
6 + 3ex= lim
x+
ex
3ex= 1
3.
Veja que no ltimo exemplo, usamos a regra de LHpital duas vezes.
70 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Calcule os limites a seguir.
a) ! limx2 senx2 x
b)
limx+
x2
ex
71 GABARITO DE 62 1. a) ! b) 0
-
39 72 ALGUMAS APLICAES DAS DERIVADAS A1 Dizemos que x = c nmero
crtico de y = f(x), se f(c) existe e f '(c) = 0 ou se f(c) existe e
f '(c) no existe. Nos
nmeros crticos, a funo f pode assumir um valor mximo relativo ou
um valor mnimo relativo. A2 Num intervalo em que f '(x) > 0 , f
crescente. A3 Num intervalo em que f '(x) < 0 , f decrescente.
A4 Num intervalo em que f ''(x) > 0 , o grfico de f cncavo para
cima. A5 Num intervalo em que f ''(x) < 0 , o grfico de f cncavo
para baixo. A6 Os pontos em que o grfico de f muda de concavidade
so chamados pontos de inflexo. Num ponto de
inflexo, a reta tangente ao grfico corta a curva. A7 No ponto de
inflexo ( )f '' x 0= , a recproca no verdadeira. A8 Se y = f(x), a
taxa de variao instantnea de y em relao a x dada pela derivada f
'(x) se esta derivada
existir.
A9 Como ( ) ( ) ( )x a
f x f af ' a lim
x a
=
, podemos dizer que ( ) ( ) ( )f x f af ' ax a
, para valores de x bastante prximos de
a. Assim, f(x) f '(a).(x a)+ f(a) , para valores de x prximos de
a. A10 A derivada de uma funo em um ponto o coeficiente angular da
reta tangente ao grfico dessa funo neste ponto. A11 Se f(x) for uma
funo que expresse a posio de uma partcula no tempo x, ento a
derivada de f a velocidade instantnea dessa partcula. A12 (Teorema
do valor extremo) Se a funo f for contnua no intervalo fechado [a,
b], ento f atinge um valor
mximo absoluto e um valor mnimo absoluto em [a, b]. E para
encontrar os valores extremos, mximo e mnimo, siga os seguintes
procedimentos:
1 Ache os valores da funo nos nmeros crticos de f que esto em
(a, b). 2 Ache os valores de f(a) e f(b). 3 O maior dentre os
valores das etapas 1 e 2 ser o valor mximo absoluto e o menor ser o
valor mnimo
absoluto. 73 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Ache os extremos (mximo e
mnimo) de f no intervalo dado.
23
23
4 2
c) f(x) 1 x ; [ 1,8]
d) f(x) (x 1) 2; [0, 9]
e) f(x) x 5x 4; [0, 2]
=
= +
= +
2. Se f(x) = ax3 + bx2, determine a e b, de forma que o grfico
de f tenha um ponto de inflexo em (1, 2). 3. Um fabricante de
caixas de papelo deseja fazer caixas abertas a partir de pedaos
quadrados de papelo com
12dm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e
dobrando os lados para cima. Determine o comprimento do lado do
quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume
possvel.
2 3
3
a) f(x) 5 6x 2x ; [ 3,1]
b) f(x) x 12x; [ 3,5]
=
=
-
40 4. Ache uma equao da reta tangente curva dada, no ponto
indicado, em cada item a seguir. a) y = x2 4x 5 ; P(2, 7)
b) y =3x8
; P(4, 8)
c) y = 6x
; P(3, 2)
5. Ache uma equao da reta tangente curva y = 2x x3 no ponto P(2,
4).
6. Ache a velocidade instantnea de 1s(t)t 2
=+
no tempo t = 3.
7. Nos itens a seguir, para cada funo, faa o seguinte: a)
determine os nmeros crticos ; b) determine os intervalos
nos quais a funo crescente; c) determine os intervalos nos quais
a funo decrescente; d) encontre os pontos de inflexo; e) determine
os intervalos onde o grfico cncavo para cima e onde ele cncavo para
baixo; f) encontre os extremos relativos; g) faa um esboo do
grfico.
3 2
3 2
3 2
a) f(x) x x x
b) f(x) 2x 9x 2
c) f(x) x x 5x 5
=
= +
= +
74 GABARITO DE 73 1. a) Mx. = 5 e Mn. = 3 b) Mx. = 65 e Mn. = 16
c) Mx. = 1 e Mn. = 3 d) Mx. = 6 e Mn. = 0
e) Mx. 4 e Mn. = 94
2. a = 1 e b = 3 3. 2 4. a) y = 8x 9
b) y = 6x 16 c) y = 2x +12
3 5. y = 10x 16
6. 125
